---

Isaac Newton

Nydus Foundation

This edition is based on a public-domain work by Isaac Newton. The base text is believed to be in the public domain in the United States (95 years from publication, or life of the author plus 70 years). Public-domain status may vary by jurisdiction and depends on the author's death year and local copyright term rules. Modern additions, formatting, cover design, notes, and metadata may have separate rights where stated. Published by Nydus Foundation. Released 2026-07-12.

Autore *IS. NEWTON*, *Trin. Coll. Cantab. Soc.* Matheseos Professore *Lucasiano*, & Societatis Regalis Sodali.

*Julii 5. 1686.*

Jussu *Societatis Regiæ* ac Typis *Josephi Streater*. Prostat apud plures Bibliopolas. *Anno* MDCLXXXVII.

a Serenissimo

*Cum Veteres*Mechanicam*(uti Author est*Pappus*) in verum Naturalium investigatione maximi fecerint, & recentiores, missis formis substantialibus & qualitatibus occultis, Phænomena Naturæ ad leges Mathematicas revocare aggressi sint: Visum est in hoc Tractatu*Mathesin*excolere quatenus ea ad*Philosophiam*spectat.*Mechanicam*vero duplicem Veteres constituerunt:*Rationalem*quæ per Demonstrationes accurate procedit, &*Practicam*. Ad practicam spectant Artes omnes Manuales, a quibus utiq;*Mechanica*nomen mutuata est. Cum autem Artifices parum accurate operari soleant, fit ut*Mechanica*omnis a*Geometria*ita distinguatur, ut quicquid accuratum sit ad*Geometriam*referatur, quicquid minus accuratum ad*Mechanicam*. Attamen errores non sunt Artis sed Artificum. Qui minus accurate operatur, imperfectior est Mechanicus, & si quis accuratissime operari posset, hic foret Mechanicus omnium perfectissimus. Nam & Linearum rectarum & Circulorum descriptiones in quibus*Geometria*fundatur, ad*Mechanicam*pertinent. Has lineas describere*Geometria*non docet sed postulat. Postulat enim ut Tyro easdem accurate describere prius didicerit quam limen attingat*Geometriæ*; dein, quomodo per has operationes Problemata solvantur, docet. Rectas & circulos describere Problemata sunt sed non Geometrica. Ex*Mechanica*postulatur horum solutio, in*Geometria*docetur solutorum usus. Ac gloriatur*Geometria*quod tam paucis principiis aliunde petitis tam multa præstet. Fundatur igitur*Geometria*in praxi Mechanica, & nihil aliud est quam*Mechanicæ universalis*pars illa quæ artem mensurandi accurate proponit ac demonstrat. Cum autem artes Manuales in corporibus movendis præcipue versentur, fit ut*Geometria*ad magnitudinem,*Mechanica*ad motum vulgo reseratur. Quo sensu*Mechanica rationalis*erit Scientia Motuum qui ex viribus quibuscunq; resultant, & virium quæ ad motus quoscunq; requiruntur, accurate proposita ac demonstrata. Pars hæc*Mechanicæ*a Veteribus in*Potentiis quinque*ad artes manuales spectantibus exculta fuit, qui Gravitatem (cum potentia manualis non sit) vix aliter quam in ponderibus per potentias illas movendis considerarunt. Nos autem non Artibus sed Philosophiæ consulentes, deq; potentiis non manualibus sed naturalibus scribentes, ea maxime tractamus quæ ad Gravitatem, levitatem, vim Elasticam, resistentiam Fluidorum & ejusmodi vires seu attractivas seu impulsivas spectant: Et ea propter hæc nostra tanquam Philosophiæ principia Mathematica proponimus. Omnis enim Philosophiæ difficultas in eo versari videtur, ut a Phænomenis motuum investigemus vires Naturæ, deinde ab his viribus demonstremus phænomena reliqua. Et hac spectant Propositiones generales quas Libro primo & secundo pertractavimus. In Libro autem tertio exemplum hujus rei proposuimus per explicationem Systematis mundani. Ibi enim, ex phænomenis cælestibus, per Propositiones in Libris prioribus Mathematice demonstratas, derivantur vires gravitatis quibus corpora ad Solem & Planetas singulos tendunt. Deinde ex his viribus per Propositiones etiam Mathematicas deducuntur motus Planetarum, Cometarum, Lunæ & Maris. Utinam cætera Naturæ phænomena ex principiis Mechanicis eodem argumentandi genere derivare liceret. Nam multa me movent ut nonnihil suspicer ea omnia ex viribus quibusdam pendere posse, quibus corporum particulæ per causas nondum cognitas vel in se mutuo impelluntur & secundum figuras regulares cohærent, vel ab invicem fugantur & recedunt: quibus viribus ignotis, Philosophi hactenus Naturam frustra tentarunt. Spero autem quod vel huic Philosophandi modo, vel veriori alicui, Principia hic posita lucem aliquam præbebunt.*

*In his edendis, Vir acutissimus & in omni literarum genere eruditissimus*Edmundus Halleius*operam navavit, nec solum Typothetarum Sphalmata correxit & Schemata incidi curavit, sed etiam Author fuit ut horum editionem aggrederer. Quippe cum demonstratam a me figuram Orbium cælestium impetraverat, rogare non destitit ut eadem cum*Societate Regali*communicarem, Quæ deinde hortatibus & benignis suis auspiciis effecit ut de eadem in lucem emittenda cogitare inciperem. At postquam Motuum Lunarium inæqualitates aggressus essem, deinde etiam alia tentare cæpissem quæ ad leges mensuras Gravitatis & aliarum virium, ad figuras a corporibus secundum datas quascunque leges attractis describendas, ad motus corporum plurium inter se, ad motus corporum in Mediis resistentibus, ad vires, densitates & motus Mediorum, ad Orbes Cometarum & similia spectant, editionem in aliud tempus differendam esse putavi, ut cætera rimarer & una in publicum darem. Quæ ad motus Lunares spectant, (imperfecta cum sint,) in Corollariis Propositionis*LXVI.*simul complexus sum, ne singula methodo prolixiore quam pro rei dignitate proponere, & sigillatim demonstrare tenerer, & seriem reliquarum Propositionum interrumpere. Nonnulla sero inventa locis minus idoneis inserere malui, quam numerum Propositionum & citationes mutare. Ut omnia candide legantur, & defectus, in materia tam difficili non tam reprehendantur, quam novis Lectorum conatibus investigentur, & benigne suppleantur, enixe rogo.*

*Sæculi Gentisque nostræ Decus egregium.*

En tibi norma Poli, & divæ libramina Molis,

Computus atque Jovis; quas, dum primordia rerum

Pangeret, omniparens Leges violare Creator

Noluit, æternique operis fundamina fixit.

Intima panduntur victi penetralia cæli,

Nec latet extremos quæ Vis circumrotat Orbes.

Sol solio residens ad se jubet omnia prono

Tendere descensu, nec recto tramite currus

Sidereos patitur vastum per inane moveri;

Sed rapit immotis, se centro, singula Gyris.

Jam patet horrificis quæ sit via flexa Cometis;

Jam non miramur barbati Phænomena Astri.

Discimus hinc tandem qua causa argentea Phœbe

Passibus haud æquis graditur; cur subdita nulli

Hactenus Astronomo numerorum fræna recuset:

Cur remeant Nodi, curque Auges progrediuntur.

Discimus & quantis refluum vaga Cynthia Pontum

Viribus impellit, dum fractis fluctibus Ulvam

Deserit, ac Nautis suspectas nudat arenas;

Alternis vicibus suprema ad littora pulsans.

Quæ toties animos veterum torsere Sophorum,

Quæque Scholas frustra rauco certamine vexant

Obvia conspicimus nubem pellente Mathesi.

Jam dubios nulla caligine prægravat error

Queis Superum penetrare domos atque ardua Cœli

Scandere sublimis Genii concessit acumen.

Surgite Mortales, terrenas mittite curas

Atque hinc cœligenæ vires dignoscite Mentis

A pecudum vita longe lateque remotæ.

Qui scriptis jussit Tabulis compescere Cædes

Furta & Adulteria, & perjuræ crimina Fraudis;

Quive vagis populis circumdare mœnibus Urbes

Autor erat; Cererisve beavit munere gentes;

Vel qui curarum lenimen pressit ab Uva;

Vel qui Niliaca monstravit arundine pictos

Consociare sonos, oculisque exponere Voces;

Humanam sortem minus extulit; utpote pauca

Respiciens miseræ solummodo commoda vitæ.

Jam vero Superis convivæ admittimur, alti

Jura poli tractare licet, jamque abdita cœcæ

Claustra patent Terræ rerumque immobilis ordo,

Et quæ præteriti latuerunt sæcula mundi.

Talia monstrantem mecum celebrate Camænis,

Vos qui cœlesti gaudetis nectare vesci,

*NEWTONVM* clausi reserantem scrinia Veri,

*NEWTONVM* Musis charum, cui pectore puro

Phœbus adest, totoque incessit Numine mentem:

Nec fas est propius Mortali attingere Divos.

*EDM. HALLEY.*

Page 1

*Quantitas Materiæ est mensura ejusdem orta ex illius Densitate & Magnitudine conjunctim.*

Aer duplo densior in duplo spatio quadruplus est. Idem intellige de Nive et Pulveribus per compressionem vel liquefactionem condensatis. Et par est ratio corporum omnium, quæ per causas quascunq; diversimode condensantur. Medii interea, si quod fuerit, interstitia partium libere pervadentis, hic nullam rationem habeo. Hanc autem quantitatem sub nomine corporis vel Massæ in sequentibus passim intelligo. Innotescit ea per corporis cujusq; pondus. Nam ponderi proportionalem esse reperi per experimenta pendulorum accuratissime instituta, uti posthac docebitur. Page 2

*Quantitas motus est mensura ejusdem orta ex Velocitate et quantitate Materiæ conjunctim.*

Motus totius est summa motuum in partibus singulis, adeoq; in corpore duplo majore æquali cum Velocitate duplus est, et dupla cum Velocitate quadruplus.

*Materiæ vis insita est potentia resistendi, qua corpus unumquodq;, quantum in se est, perseverat in statu suo vel quiescendi vel movendi uniformiter in directum.*

Hæc semper proportionalis est suo corpori, neq; differt quicquam ab inertia Massæ, nisi in modo concipiendi. Per inertiam materiæ fit ut corpus omne de statu suo vel quiescendi vel movendi difficulter deturbetur. Unde etiam vis insita nomine significantissimo vis inertiæ dici possit. Exercet vero corpus hanc vim solummodo in mutatione status sui per vim aliam in se impressam facta, estq; exercitium ejus sub diverso respectu et Resistentia et Impetus: Resistentia quatenus corpus ad conservandum statum suum reluctatur vi impressæ; Impetus quatenus corpus idem, vi resistentis obstaculi difficulter cedendo, conatur statum ejus mutare. Vulgus Resistentiam quiescentibus et Impetum moventibus tribuit; sed motus et quies, uti vulgo concipiuntur, respectu solo distinguuntur ab invicem, neq; semper vere quiescunt quæ vulgo tanquam quiescentia spectantur.

*Vis impressa est actio in corpus exercita, ad mutandum ejus statum vel quiescendi vel movendi uniformiter in directum.*

Consistit hæc vis in actione sola, neq; post actionem permanet in corpore. Perseverat enim corpus in statu omni novo per solam Page 3 vim inertiæ. Est autem vis impressa diversarum originum, ut ex ictu, ex pressione, ex vi centripeta.

*Vis centripeta est qua corpus versus punctum aliquod tanquam ad centrum trahitur, impellitur, vel utcunq; tendit.*

Hujus generis est gravitas, qua corpus tendit ad centrum Terræ: Vis magnetica, qua ferrum petit centrum Magnetis, et vis illa, quæcunq; sit, qua Planetæ perpetuo retrahuntur a motibus rectilineis, et in lineis curvis revolvi coguntur. Est autem vis centripetæ quantitas trium generum, absoluta, acceleratrix et motrix.

*Vis centripetæ quantitas absoluta est mensura ejusdem major vel minor pro efficacia causæ eam propagantis a centro per regiones in circuitu.*

Uti virtus Magnetica major in uno magnete, minor in alio.

*Vis centripetæ quantitas acceleratrix est ipsius mensura Velocitati proportionalis, quam dato tempore generat.*

Uti Virtus Magnetis ejusdem major in minori Distantia, minor in majori: vel vis gravitans major in Vallibus, minor in cacuminibus præaltorum montium (ut experimento pendulorum constat) atq; adhuc minor (ut posthac patebit) in majoribus distantiis a Terra; in æqualibus autem distantiis eadem undiq; propterea quod corpora omnia cadentia (gravia an levia, magna an parva) sublata Aeris resistentia, æqualiter accelerat.

*Vis centripetæ quantitas motrix est ipsius mensura proportionalis motui, quem dato tempore generat.*

Uti pondus majus in majori corpore, minus in minore; inq; Page 4 corpore eodem majus prope terram, minus in cælis. Hæc vis est corporis totius centripetentia seu propensio in centrum & (ut ita dicam) pondus, & innotescit semper per vim ipsi contrariam & æqualem, qua descensus corporis impediri potest.

Hasce virium quantitates brevitatis gratia nominare licet vires absolutas, acceleratrices & motrices, & distinctionis gratia referre ad corpora, ad corporum loca, & ad centrum virium: Nimirum vim motricem ad corpus, tanquam conatum & propensionem totius in centrum, ex propensionibus omnium partium compositum; & vim acceleratricem ad locum corporis, tanquam efficaciam quandam, de centro per loca singula in circuitu diffusam, ad movenda corpora quæ in ipsis sunt; vim autem absolutam ad centrum, tanquam causa aliqua præditum, sine qua vires motrices non propagantur per regiones in circuitu; sive causa illa sit corpus aliquod centrale (quale est Magnes in centro vis Magneticæ vel Terra in centro vis gravitantis) sive alia aliqua quæ non apparet. Mathematicus saltem est hic conceptus. Nam virium causas & sedes physicas jam non expendo.

Est igitur vis acceleratrix ad vim motricem ut celeritas ad motum. Oritur enim quantitas motus ex celeritate ducta in quantitatem Materiæ, & vis motrix ex vi acceleratrice ducta in quantitatem ejusdem materiæ. Nam summa actionum vis acceleratricis in singulas corporis particulas est vis motrix totius. Unde juxta Superficiem Terræ, ubi gravitas acceleratrix seu vis gravitans in corporibus universis eadem est, gravitas motrix seu pondus est ut corpus: at si in regiones ascendatur ubi gravitas acceleratrix fit minor, pondus pariter minuetur, eritq; semper ut corpus in gravitatem acceleratricem ductum. Sic in regionibus ubi gravitas acceleratrix duplo minor est, pondus corporis duplo vel triplo minoris erit quadruplo vel sextuplo minus.

Porro attractiones et impulsus eodem sensu acceleratrices & motrices nomino. Voces autem attractionis, impulsus vel propensionis cujuscunq; in centrum, indifferenter et pro se mutuo promiscue usurpo, has vires non physice sed Mathematice tantum Page 5 considerando. Unde caveat lector ne per hujusmodi voces cogitet me speciem vel modum actionis causamve aut rationem physicam alicubi definire, vel centris (quæ sunt puncta Mathematica) vires vere et physice tribuere, si forte aut centra trahere, aut vires centrorum esse dixero.

Hactenus voces minus notas, quo in sensu in sequentibus accipiendæ sunt, explicare visum est. Nam tempus, spatium, locum et motum ut omnibus notissima non definio. Dicam tamen quod vulgus quantitates hasce non aliter quam ex relatione ad sensibilia concipit. Et inde oriuntur præjudicia quædam, quibus tollendis convenit easdem in absolutas & relativas, veras & apparentes, Mathematicas et vulgares distingui.

I. Tempus absolutum verum & Mathematicum, in se & natura sua absq; relatione ad externum quodvis, æquabiliter fluit, alioq; nomine dicitur Duratio; relativum apparens & vulgare est sensibilis & externa quævis Durationis per motum mensura, (seu accurata seu inæquabilis) qua vulgus vice veri temporis utitur; ut Hora, Dies, Mensis, Annus.

II. Spatium absolutum natura sua absq; relatione ad externum quodvis semper manet similare & immobile; relativum est spatii hujus mensura seu dimensio quælibet mobilis, quæ a sensibus nostris per situm suum ad corpora definitur, & a vulgo pro spatio immobili usurpatur: uti dimensio spatii subterranei, aerei vel cælestis definita per situm suum ad Terram. Idem sunt spatium absolutum & relativum, specie & magnitudine, sed non permanent idem semper numero. Nam si Terra, verbi gratia, movetur, spatium Aeris nostri quod relative & respectu Terræ semper manet idem, nunc erit una pars spatii absoluti in quam Aer transit, nunc alia pars ejus, & sic absolute mutabitur perpetuo.

III. Locus est pars spatii quam corpus occupat, estq; pro Page 6 ratione spatii vel absolutus vel relativus. Partem dico spatii, non situm corporis vel superficiem ambientem. Nam solidorum æqualium æquales semper sunt loci; Superficies autem ob dissimilitudinem figurarum ut plurimum inæquales sunt; situs vero proprie loquendo quantitatem non habent, neq; tam sunt loca quam affectiones locorum. Motus totius idem est cum summa motuum partium, hoc est, translatio totius de ipsius loco eadem cum summa translationum partium de locis suis, adeoq; locus totius idem cum summa locorum partium, & propterea internus & in corpore toto.

IV. Motus absolutus est translatio corporis de loco absoluto in locum absolutum, relativus de relativo in relativum. Sic in Navi quæ velis passis fertur, relativus corporis locus est navis regio illa in qua corpus versatur, seu cavitatis totius pars illa quam corpus implet, quæq; adeo movetur una cum Navi; & Quies relativa est permansio corporis in eadem illa navis regione vel parte cavitatis. At Quies vera est permansio corporis in eadem parte spatii illius immoti in qua Navis ipsa una cum cavitate sua & contentis universis movetur. Unde si Terra vere quiescit, corpus quod relative quiescit in Navi, movebitur vere et absolute ea cum Velocitate qua Navis movetur in Terra. Sin Terra etiam movetur, orietur verus et absolutus corporis motus partim ex Terræ motu vero in spatio immoto, partim ex Navis motu relativo in Terra; et si corpus etiam movetur relative in Navi, orietur verus ejus motus partim ex vero motu Terræ in spatio immoto, partim ex relativis motibus tum Navis in Terra, tum corporis in Navi, et ex his motibus relativis orietur corporis motus relativus in Terra. Ut si Terræ pars illa ubi Navis versatur moveatur vere in Orientem, cum Velocitate partium 10010, et velis ventoq; feratur Navis in Occidentem cum Velocitate partium decem, Nauta autem ambulet in Navi Orientem versus cum Velocitatis parte una, movebitur Nauta vere et absolute in spatio immoto cum Velocitatis partibus 10001 in Orientem, et relative in Terra Occidentem versus cum Velocitatis partibus novem. Page 7

Tempus absolutum a relativo distinguitur in Astronomia per Æquationem Temporis vulgi. Inæquales enim sunt dies Naturales, qui vulgo tanquam æquales pro Mensura Temporis habentur. Hanc inæqualitatem corrigunt Astronomi ut ex veriore Tempore mensurent motus cælestes. Possibile est ut nullus sit motus æquabilis quo Tempus accurate mensuretur. Accelerari & retardari possunt motus omnes, sed fluxus Temporis absoluti mutari nequit. Eadem est duratio seu perseverantia existentiæ rerum, sive motus sint celeres, sive tardi, sive nulli; proinde hæc a mensuris suis sensibilibus merito distinguitur, & ex ijsdem colligitur per Æquationem Astronomicam. Hujus autem æquationis in determinandis Phænomenis necessitas, tum per experimentum Horologii oscillatorii, tum etiam per Eclipses Satellitum Jovis evincitur.

Ut partium Temporis ordo est immutabilis, sic etiam ordo partium Spatii. Moveantur hæ de locis suis, & movebuntur (ut ita dicam) de seipsis. Nam Tempora & Spatia sunt sui ipsorum & rerum omnium quasi loca. In Tempore quoad ordinem successionis; in Spatio quoad ordinem situs locantur universa. De illorum Essentia est ut sint loca, & loca primaria moveri absurdum est. Hæc sunt igitur absoluta loca, & solæ translationes de his locis sunt absoluti motus.

Verum quoniam hæ spatii partes videri nequeunt, & ab invicem per sensus nostros distingui, earum vice adhibemus mensuras sensibiles. Ex positionibus enim & distantiis rerum a corpore aliquo, quod spectamus ut immobile, definimus loca universa; deinde etiam & omnes motus æstimamus cum respectu ad prædicta loca, quatenus corpora ab iisdem transferri concipimus. Sic vice locorum & motuum absolutorum relativis utimur, nec incommode in rebus humanis: in Philosophicis autem abstrahendum est a sensibus. Fieri etenim potest ut nullum revera quiescat corpus, ad quod loca motusq; referantur.

Distinguuntur autem Quies & Motus absoluti & relativi ab invicem per eorum proprietates, causas & effectus. Quietis proprietas Page 8 est, quod corpora vere quiescentia quiescunt inter se. Ideoq; cum possibile sit ut corpus aliquod in regionibus fixarum, aut longe ultra, quiescat absolute; sciri autem non possit ex situ corporum ad invicem in regionibus nostris, utrum horum aliquod ad longinquum illud datam positionem servet, quies vera ex horum situ inter se definiri nequit.

Motus proprietas est, quod partes quæ datas servant positiones ad tota, participant motus eorundem totorum. Nam gyrantium partes omnes conantur recedere de axe motus, et progredientium impetus oritur ex conjuncto impetu partium singularum. Igitur motis corporibus ambientibus, moventur quæ in ambientibus relative quiescunt. Et propterea motus verus et absolutus definiri nequit per translationem e vicinia corporum, quæ tanquam quiescentia spectantur. Debent corpora externa non solum tanquam quiescentia spectari, sed etiam vere quiescere. Alioquin inclusa omnia, præter translationem e vicinia ambientium, participabunt etiam ambientium motus veros, et sublata illa translatione non vere quiescent, sed tanquam quiescentia solummodo spectabuntur; sunt enim ambientia ad inclusa ut totius pars exterior ad partem interiorem, vel ut cortex ad nucleum. Moto autem cortice, nucleus etiam, absq; translatione de vicinia corticis, ceu pars totius, movetur.

Præcedenti proprietati affinis est, quod moto loco movetur una locatum, adeoq; corpus, quod de loco moto movetur, participat etiam loci sui motum. Igitur motus omnes, qui de locis motis fiunt, sunt partes solummodo motuum integrorum et absolutorum, et motus omnis integer componitur ex motu corporis de loco suo primo, et motu loci hujus de loco suo, et sic deinceps, usq; dum perveniatur ad locum immotum, ut in exemplo Nautæ supra memorato. Unde motus integri et absoluti non nisi per loca immota definiri possunt, et propterea hos ad loca immota, relativos ad mobilia supra retuli: Loca autem immota non sunt, nisi quæ omnia ab infinito in infinitum datas Page 9 servant positiones ad invicem, atq; adeo semper manent immota, spatiumq; constituunt quod immobile appello.

Causæ, quibus motus veri et relativi distinguuntur ab invicem, sunt vires in corpora impressæ ad motum generandum. Motus verus nec generatur nec mutatur nisi per vires in ipsum corpus motum impressas: at motus relativus generari et mutari potest absq; viribus impressis in hoc corpus. Sufficit enim ut imprimantur in alia solum corpora ad quæ fit relatio, ut ijs cedentibus mutetur relatio illa in qua hujus quies vel motus relativus consistit. Rursus motus verus a viribus in corpus motum impressis semper mutatur, at motus relativus ab his viribus non mutatur necessario. Nam si eædem vires in alia etiam corpora, ad quæ fit relatio, sic imprimantur ut situs relativus conservetur, conservabitur relatio in qua motus relativus consistit. Mutari igitur potest motus omnis relativus ubi verus conservatur, et conservari ubi verus mutatur; et propterea motus verus in ejusmodi relationibus minime consistit.

Effectus quibus motus absoluti et relativi distinguuntur ab invicem, sunt vires recedendi ab axe motus circularis. Nam in motu circulari nude relativo hæ vires nullæ sunt, in vero autem et absoluto majores vel minores pro quantitate motus. Si pendeat situla a filo prælongo, agaturq; perpetuo in orbem donec filum a contorsione admodum rigescat, dein impleatur aqua, et una cum aqua quiescat; tum vi aliqua subitanea agatur motu contrario in orbem, et filo se relaxante, diutius perseveret in hoc motu: superficies aquæ sub initio plana erit, quemadmodum ante motum vasis, at postquam, vi in aquam paulatim impressa, effecit vas, ut hæc quoq; sensibiliter revolvi incipiat, recedet ipsa paulatim e medio, ascendetq; ad latera vasis, figuram concavam induens, (ut ipse expertus sum) et incitatiore semper motu ascendet magis & magis, donec revolutiones in æqualibus cum vase temporibus peragendo, quiescat in eodem relative. Indicat hic ascensus conatum recedendi ab axe motus, & per talem conatum & innotescit & mensuratur motus aquæ circularis verus & absolutus, motuiq; relativo hic Page 10 omnino contrarius. Initio ubi maximus erat aquæ motus relativus in vase, motus ille nullum excitabat conatum recedendi ab axe: Aqua non petebat circumferentiam ascendendo ad latera vasis, sed plana manebat, & propterea motus illius circularis verus nondum inceperat. Postea vero ut aquæ motus relativus decrevit, ascensus ejus ad latera vasis indicabat conatum recedendi ab axe, atq; hic conatus monstrabat motum illius circularem verum perpetuo crescentem, ac tandem maximum factum ubi aqua quiescebat in vase relative. Igitur conatus iste non pendet a translatione aquæ respectu corporum ambientium, & propterea motus circularis verus per tales translationes definiri nequit. Unicus est corporis cujusq; revolventis motus vere circularis, conatui unico tanquam proprio & adæquato effectui respondens; motus autem relativi pro varijs relationibus ad externa innumeri sunt, & relationum instar, effectibus veris omnino destituuntur, nisi quatenus de vero illo & unico motu participant. Unde & in Systemate eorum qui Cælos nostros infra Cælos fixarum in orbem revolvi volunt, & Planetas secum deferre; Planetæ & singulæ Cælorum partes, qui relative quidem in Cælis suis proximis quiescunt, moventur vere. Mutant enim positiones suas ad invicem (secus quam fit in vere quiescentibus) unaq; cum cælis delati participant eorum motus, & ut partes revolventium totorum, ab eorum axibus recedere conantur.

Igitur quantitates relativæ non sunt eæ ipsæ quantitates quarum nomina præ se ferunt, sed earum mensuræ illæ sensibiles (veræ an errantes) quibus vulgus loco mensuratarum utitur. At si ex usu definiendæ sunt verborum significationes; per nomina illa Temporis, Spatij, Loci & Motus proprie intelligendæ erunt hæ mensuræ; & sermo erit insolens & pure Mathematicus si quantitates mensuratæ hic subintelligantur. Proinde vim inferunt Sacris literis qui voces hasce de quantitatibus mensuratis ibi interpretantur. Neq; minus contaminant Mathesin & Philosophiam qui quantitates veras cum ipsarum relationibus & vulgaribus mensuris confundunt. Page 11

Motus quidem veros corporum singulorum cognoscere, & ab apparentibus actu discriminare, difficillimum est; propterea quod partes spatij illius immobilis in quo corpora vere moventur, non incurrunt in sensus. Causa tamen non est prorsus desperata. Nam suppetunt argumenta partim ex motibus apparentibus, qui sunt motuum verorum differentiæ, partim ex viribus quæ sunt motuum verorum causæ & effectus. Ut si globi duo ad datam ab invicem distantiam filo intercedente connexi, revolverentur circa commune gravitatis centrum; innotesceret ex tensione fili conatus globorum recedendi ab axe motus, & inde quantitas motus circularis computari posset. Deinde si vires quælibet æquales in alternas globorum facies ad motum circularem augendum vel minuendum simul imprimerentur, innotesceret ex aucta vel diminuta fili tensione augmentum vel decrementum motus; & inde tandem inveniri possent facies globorum in quas vires imprimi deberent, ut motus maxime augeretur, id est facies posticæ, sive quæ in motu circulari sequuntur. Cognitis autem faciebus quæ sequuntur & faciebus oppositis quæ præcedunt, cognosceretur determinatio motus. In hunc modum inveniri posset & quantitas & determinatio motus hujus circularis in vacuo quovis immenso, ubi nihil extaret externum & sensibile, quocum globi conferri possent. Si jam constituerentur in spatio illo corpora aliqua longinqua datam inter se positionem servantia, qualia sunt stellæ fixæ in regionibus nostris: sciri quidem non posset ex relativa globorum translatione inter corpora, utrum his an illis tribuendus esset motus. At si attenderetur ad filum & inveniretur tensionem ejus illam ipsam esse quam motus globorum requireret; concludere liceret motum esse globorum, & tum demum ex translatione globorum inter corpora, determinationem hujus motus colligere. Motus autem veros ex eorum causis, effectibus & apparentibus differentijs colligere, & contra, ex motibus seu veris seu apparentibus, eorum causas & effectus, docebitur fusius in sequentibus. Hunc enim in finem Tractatum sequentem composui. Page 12

*Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.*

Projectilia perseverant in motibus suis nisi quatenus a resistentia aeris retardantur & vi gravitatis impelluntur deorsum. Trochus, cujus partes cohærendo perpetuo retrahunt sese a motibus rectilineis, non cessat rotari nisi quatenus ab aere retardatur. Majora autem Planetarum & Cometarum corpora motus suos & progressivos & circulares in spatiis minus resistentibus factos conservant diutius.

*Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressæ, & fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.*

Si vis aliqua motum quemvis generet, dupla duplum, tripla triplum generabit, sive simul & semel, sive gradatim & successive impressa suerit. Et hic motus quoniam in eandem semper plagam cum vi generatrice determinatur, si corpus antea movebatur, motui ejus vel conspiranti additur, vel contrario subducitur, vel obliquo oblique adjicitur, & cum eo secundum utriusq; determinationem componitur. Page 13

*Actioni contrariam semper & æqualem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse æquales & in partes contrarias dirigi.*

Quicquid premit vel trahit alterum, tantundem ab eo premitur vel trahitur. Siquis lapidem digito premit, premitur & hujus digitus a lapide. Si equus lapidem funi allegatum trahit, retrahetur etiam & equus æqualiter in lapidem: nam funis utrinq; distentus eodem relaxandi se conatu urgebit Equum versus lapidem, ac lapidem versus equum, tantumq; impediet progressum unius quantum promovet progressum alterius. Si corpus aliquod in corpus aliud impingens, motum ejus vi sua quomodocunq; mutaverit, idem quoque vicissim in motu proprio eandem mutationem in partem contrariam vi alterius (ob æqualitatem pressionis mutuæ) subibit. His actionibus æquales fiunt mutationes non velocitatum sed motuum, (scilicet in corporibus non aliunde impeditis:) Mutationes enim velocitatum, in contrarias itidem partes factæ, quia motus æqualiter mutantur, sunt corporibus reciproce proportionales.

*Corpus viribus conjunctis diagonalem parallelogrammi eodem tempore describere, quo latera separatis.*

Si corpus dato tempore, vi sola *M*, ferretur ab *A* ad *B*, & vi sola *N*, ab *A* ad *C*, compleatur parallelogrammum *ABDC*, & vi utraq; feretur id eodem tempore ab *A* ad *D*. Nam quoniam vis *N* agit secundum lineam *AC* ipsi *BD* parallelam, hæc vis nihil mutabit velocitatem accedendi ad lineam illam *BD* a vi altera genitam. Accedet igitur corpus eodem tempore ad lineam *BD* sive vis *N* imprimatur, sive non, atq; adeo in fine illius temporis reperietur alicubi in linea Page 14 illa *BD*. Eodem argumento in fine temporis ejusdem reperietur alicubi in linea *CD*, & idcirco in utriusq; lineæ concursu *D* reperiri necesse est.

*Et hinc patet compositio vis directæ*AD*ex viribus quibusvis obliquis*AB*&*BD*, & vicissim resolutio vis cujusvis directæ*AD*in obliquas quascunq;*AB*&*BD*. Quæ quidem Compositio & resolutio abunde confirmatur ex Mechanica.*

Ut si de rotæ alicujus centro *O* exeuntes radij inæquales *OM*, *ON* filis *MA*, *NP* sustineant pondera *A* & *P*, & quærantur vires ponderum ad movendam rotam: per centrum *O* agatur recta *KOL* filis perpendiculariter occurrens in *K* & *L*, centroq; *O* & intervallorum *OK*, *OL* majore *OL* describatur circulus occurrens filo *MA* in *D*: & actæ rectæ *OD* parallela sit *AC* & perpendicularis *DC*. Quoniam nihil refert utrum filorum puncta *K*, *L*, *D* affixa sint vel non affixa ad planum rotæ, pondera idem valebunt ac si suspenderentur a punctis *K* & *L* vel *D* & *L*. Ponderis autem *A* exponatur vis tota per lineam *AD*, & hæc resolvetur in vires *AC*, *CD*, quarum *AC* trahendo radium *OD* directe a centro nihil valet ad movendam rotam; vis autem altera *DC*, trahendo radium *DO* perpendiculariter, idem valet ac si perpendiculariter traheret radium *OL* ipsi *OD* æqualem; hoc est idem atq; pondus *P*, quod sit ad pondus *A* ut vis *DC* ad vim *DA*, id est (ob similia triangula *ADC*, *DOK*,) ut *OK* ad *OD* seu *OL*. Pondera igitur *A* & *P*, quæ sunt reciproce ut radii in directum positi *OK* & *OL*, idem pollebunt & sic consistent in æquilibrio: (quæ est proprietas notissima Libræ, Page 15 Vectis & Axis in Peritrochio:) sin pondus alterutrum sit majus quam in hac ratione, erit vis ejus ad movendam rotam tanto major.

Quod si pondus *p* ponderi *P* æquale partim suspendatur silo *Np*, partim incumbat plano obliquo *pG*: agantur *pH*, *NH*, prior horizonti, posterior plano *pG* perpendicularis; & si vis ponderis *p* deorsum tendens, exponatur per lineam *pH*, resolvi potest hæc in vires *pN*, *HN*. Si filo *pN* perpendiculare esset planum aliquod *pQ* secans planum alterum *pG* in linea ad horizontem parallela; & pondus *p* his planis *pQ*, *pG* solummodo incumberet; urgeret illud hæc plana viribus *pN*, *HN* perpendiculariter, nimirum planum *pQ* vi *pN* & planum *pG* vi *HN*. Ideoque si tollatur planum *pQ* ut pondus tendat filum, quoniam filum sustinendo pondus, jam vicem præstat plani sublati, tendetur illud eadem vi *pN*, qua planum antea urgebatur. Unde tensio fili hujus obliqui erit ad tensionem fili alterius perpendicularis *PN*, ut *pN* ad *pH*. Ideoq; si pondus *p* sit ad pondus *A* in ratione quæ componitur ex ratione reciproca minimarum distantiarum filorum suorum *AM*, *pN* a centro rotæ, & ratione directa *pH* ad *pN*; pondera idem valebunt ad rotam movendam, atq; adeo se mutuo sustinebunt, ut quilibet experiri potest.

Pondus autem *p* planis illis duobus obliquis incumbens, rationem habet cunei inter corporis fissi facies internas: & inde vires cunei & mallei innotescunt: utpote cum vis qua pondus *p* urget planum *pQ* sit ad vim, qua idem vel gravitate sua vel ictu mallei impellitur secundum lineam *pH* in plano, ut *pN* ad *pH*; atq; ad vim qua urget planum alterum *pG* ut *pN* ad *NH*. Sed & vis Cochleæ per similem virium divisionem colligitur; quippe quæ cuneus est a vecte impulsus. Usus igitur Corollarij hujus latissime patet, & late patendo veritatem ejus evincit, cum pendeat ex jam dictis Mechanica tota ab Authoribus diversimode demonstrata. Ex hisce enim facile derivantur vires Machinarum, quæ ex Rotis, Tympanis, Trochleis, Vectibus, radijs volubilibus, nervis tensis & ponderibus directe vel oblique ascendentibus, cæterisq; potentijs Page 16 Mechanicis componi solent, ut & vires Nervorum ad animalium ossa movenda.

*Quantitas motus quæ colligitur capiendo summam motuum factorum ad eandem partem, & differentiam factorum ad contrarias, non mutatur ab actione corporum inter se.*

Etenim actio eiq; contraria reactio æquales sunt per Legem 3, adeoq; per legem 2, æquales in motibus efficiunt mutationes versus contrarias partes. Ergo si motus fiunt ad eandem partem, quicquid additur motui corporis fugientis subducetur motui corporis insequentis sic, ut summa maneat eadem quæ prius. Sin corpora obviam eant, æqualis erit subductio de motu utriusq;, adeoq; differentia motuum factorum in contrarias partes manebit eadem.

Ut si corpus sphæricum A sit triplo majus corpore sphærico B , habeatq; duas velocitatis partes, et B sequatur in eadem recta cum velocitatis partibus decem, adeoq; motus ipsius A sit ad motum ipsius B ut sex ad decem; ponantur motus illis esse partium sex & decem, & summa erit partium sexdecim. In corporum igitur concursu, si corpus A lucretur motus partes tres vel quatuor vel quinq; corpus B amittet partes totidem, adeoq; perget corpus A post reflexionem cum partibus novem vel decem vel undecim; & B cum partibus septem vel sex vel quinq; existente semper summa partium sexdecim ut prius. Sin corpus A lucretur partes novem vel decem vel undecim vel duodecim, adeoq; progrediatur post concursum cum partibus quindecim vel sexdecim vel septendecim vel octodecim; corpus B amittendo, tot partes quot A lucratur, vel progredietur cum una parte, amissis partibus novem, vel quiescet amisso motu suo progressivo partium decem, vel regredietur cum una parte amisso motu suo & (ut ita dicam) una parte amplius, vel regredietur cum partibus duabus ob detractum motum progressivum partium duodecim. Atq; ita summæ motuum conspirantium 15 + 1 vel 16 + 0, differentiæ contrariorum Page 17 17 - 1 & 18 - 2 semper erunt partium sexdecim ut ante concursum & reflexionem. Cognitis autem motibus quibuscum corpora post reflexionem pergent, invenietur cujusq; velocitas ponendo eam esse ad velocitatem ante reflexionem ut motus post ad motum ante. Ut in casu ultimo, ubi corporis A motus erat partium sex ante reflexionem; partium octodecim postea, & velocitas partium duarum ante reflexionem; invenietur ejus velocitas partium sex post reflexionem, dicendo, ut motus partes sex ante reflexionem ad motus partes octodecim postea, ita velocitatis partes duæ ante reflexionem ad velocitatis partes sex postea.

Quod si corpora vel non Sphærica vel diversis in rectis moventia incidant in se mutuo oblique, & requirantur eorum motus post reflexionem, cognoscendus est situs plani a quo corpora concurrentia tanguntur in puncto concursus; dein corporis utriusq; motus (per Corol. 2.) distinguendus est in duos, unum huic plano perpendicularem, alterum eidem parallelum: motus autem paralleli, propterea quod corpora agant in se invicem secundum lineam huic plano perpendicularem, retinendi sunt iidem post reflexionem atq; antea, & motibus perpendicularibus mutationes æquales in partes contrarias tribuendæ sunt sic, ut summa conspirantium & differentia contrariorum maneat eadem quæ prius. Ex hujusmodi reflexionibus oriri etiam solent motus circulares corporum circa centra propria. Sed hos casus in sequentibus non considero, & nimis longum esset omnia huc spectantia demonstrare.

*Commune gravitatis centrum ab actionibus corporum inter se non mutat statum suum vel motus vel quietis, & propterea corporum omnium in se mutuo agentium (exclusis actionibus & impedimentis externis) commune centrum gravitatis vel quiescit vel movetur uniformiter in directum.*

Nam si puncta duo progrediantur uniformi cum motu in lineis rectis & distantia eorum dividatur in ratione data, punctum Page 18 dividens vel quiescet vel progredietur uniformiter in linea recta, Hoc postea in Lemmate xxiii demonstratur in plano, & eadem ratione demonstrari potest in loco solido. Ergo si corpora quotcunq; moventur uniformiter in lineis rectis, commune centrum gravitatis duorum quorumvis, vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta, propterea quod linea horum corporum centra in rectis uniformiter progredientia jungens, dividitur ab hoc centro communi in ratione data: similiter & commune centrum horum duorum & tertii cujusvis vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta, propterea quod ab eo dividitur distantia centri communis corporum duorum & centri corporis tertii in data ratione. Eodem modo & commune centrum horum trium & quarti cujusvis vel quiescit vel progreditur uniformiter in linea recta, propterea quod ab eo dividitur distantia inter centrum commune trium & centrum quarti in data ratione, & sic in infinitum. Igitur in systemate corporum quæ actionibus in se invicem, alijsq; omnibus in se extrinsecus impressis, omnino vacant, adeoq; moventur singula uniformiter in rectis singulis, commune omnium centrum gravitatis vel quiescit vel movetur uniformiter in directum.

Porro in systemate duorum corporum in se invicem agentium, cum distantiæ centrorum utriusq; a communi gravitatis centro sint reciproce ut corpora, erunt motus relativi corporum eorundem vel accedendi ad centrum illud vel ab eodem recedendi, æquales inter se. Proinde centrum illud a motuum æqualibus mutationibus in partes contrarias factis, atq; adeo ab actionibus horum corporum inter se, nec promovetur nec retardatur nec mutationem patitur in statu suo quoad motum vel quietem. In systemate autem corporum plurium, quoniam duorum quorumvis in se mutuo agentium commune gravitatis centrum ob actionem illam nullatenus mutat statum suum; & reliquorum, quibuscum actio illa non intercedit, commune gravitatis centrum nihil inde patitur; distantia autem horum duorum centrorum dividitur, a communi corporum omnium centro, in partes summis totalibus corporum, Page 19 quorum sunt centra, reciproce proportionales, adeoq; centris illis duobus statum suum movendi vel quiescendi servantibus, commune omnium centrum servat etiam statum suum; manifestum est quod commune illud omnium centrum, ob actiones binorum corporum inter se, nunquam mutat statum suum quoad motum & quietem. In tali autem systemate actiones omnes corporum inter se, vel inter bina sunt corpora, vel ab actionibus inter bina compositæ, & propterea communi omnium centro mutationem in statu motus ejus vel Quietis nunquam inducunt. Quare cum centrum illud ubi corpora non agunt in se invicem, vel quiescit, vel in recta aliqua progreditur uniformiter, perget idem, non obstantibus corporum actionibus inter se, vel semper quiescere, vel semper progredi uniformiter in directum, nisi a viribus in systema extrinsecus impressis deturbetur de hoc statu. Est igitur systematis corporum plurium Lex eadem quæ corporis solitarii, quoad perseverantiam in statu motus vel quietis. Motus enim progressivus seu corporis solitarii seu systematis corporum ex motu centri gravitatis æstimari semper debet.

*Corporum dato spatio inclusorum ijdem sunt motus inter se, sive spatium illud quiescat, sive moveatur idem uniformiter in directum absq; motu circulari.*

Nam differentiæ motuum tendentium ad eandem partem, & summæ tendentium ad contrarias, eadem sunt sub initio in utroq; casu (ex hypothesi) & ex his summis vel differentiis oriuntur congressus & impetus quibus corpora se mutuo feriunt. Ergo per Legem 2 æquales erunt congressuum effectus in utroq; casu, & propterea manebunt motus inter se in uno casu æquales motibus inter se in altero. Idem comprobatur experimento luculento. Motus omnes eodem modo se habent in Navi, sive ea quiescat, sive moveatur uniformiter in directum. Page 20

*Si corpora moveantur quomodocunq; inter se & a viribus acceleratricibus æqualibus secundum lineas parallelas urgeantur; pergent omnia eodem modo moveri inter se ac si viribus illis non essent incitata.*

Nam vires illæ æqualiter (pro quantitatibus movendorum corporum) & secundum lineas parallelas agendo, corpora omnia æqualiter (quoad velocitatem) movebunt (per Legem 2.) adeoq; nunquam mutabunt positiones & motus eorum inter se.

Hactenus principia tradidi a Mathematicis recepta & experientia multiplici confirmata. Per leges duas primas & Corollaria duo prima adinvenit Galilæus descensum gravium esse in duplicata ratione temporis, & motum projectilium fieri in Parabola, conspirante experientia, nisi quatenus motus illi per aeris resistentiam aliquantulum retardantur. Ab ijsdem Legibus & Corollariis pendent demonstrata de temporibus oscillantium Pendulorum, suffragante Horologiorum experientia quotidiana. Ex his ijsdem & Lege tertia D. Christopherus Wrennus Eques auratus, Johannes Wallisius S.T.D. & D. Christianus Hugenius , hujus ætatis Geometrarum facile Principes, regulas congressuum & reflexionum duorum corporum seorsim adinvenerunt, & eodem fere tempore cum Societate Regia communicarunt, inter se (quoad has leges) omnino conspirantes; Et primus quidem D. Wallisius dein D. Wrennus & D. Hugenius inventum prodidit. Sed & veritas comprobata est a D. Wrenno coram Regia Societate per experimentum Pendulorum, quod etiam Clarissimus Mariottus Libro integro exponere mox dignatus est. Verum ut hoc experimentum cum Theorijs ad amussim congruat, habenda est ratio tum resistentiæ aeris, tum etiam vis Elasticæ concurrentium corporum. Pendeant corpora A , B filis parallelis AC , BD a centris C , D . His centris & Page 21 intervallis describantur semicirculi EAF , GBH radijs CA , DB bisecti. Trahatur corpus A ad arcus EAF punctum quodvis R , & (subducto corpore B ) demittatur inde, redeatq; post unam oscillationem ad punctum V . Est RV retardatio ex resistentia aeris. Hujus RV fiat ST pars quarta sita in medio, & hæc exhibebit retardationem in descensu ab S ad A quam proxime. Restituatur corpus B in locum suum. Cadat corpus A de puncto S , & velocitas ejus in loco reflexionis A , absq; errore sensibili, tanta erit ac si in vacuo cecidisset de loco T . Exponatur igitur hæc velocitas per chordam arcus TA . Nam velocitatem Penduli in puncto infimo esse ut chorda arcus quem cadendo descripsit, Propositio est Geometris notissima. Post reflexionem perveniat corpus A ad locum s , & corpus B ad locum k . Tollatur corpus B & inveniatur locus v , a quo si corpus A demittatur & post unam oscillationem redeat ad locum r , sit st pars quarta ipsius rv sita in medio, & per chordam arcus tA exponatur velocitas quam corpus A proxime post reflexionem habuit in loco A . Nam t erit locus ille verus & correctus ad quem corpus A , sublata aeris resistentia, ascendere debuisset. Simili methodo corrigendus erit locus k , ad quem corpus B ascendit, & inveniendus locus l , ad quem corpus illud ascendere debuisset in vacuo. Hoc pacto experiri licet omnia perinde ac si in vacuo constituti essemus. Tandem ducendum erit corpus A in chordam arcus TA (quæ velocitatem ejus exhibet) ut habeatur motus ejus in loco A proxime ante reflexionem, deinde in chordam arcus tA ut habeatur motus ejus in loco A proxime post reflexionem. Et sic corpus B ducendum erit in chordam arcus Bl , ut habeatur motus ejus proxime post reflexionem. Et simili methodo ubi corpora duo simul demittuntur de locis diversis, inveniendi sunt motus utriusq; tam ante, quam post reflexionem; & tum Page 22 demum conferendi sunt motus inter se & colligendi effectus reflexionis. Hoc modo in Pendulis pedum decem rem tentando, idq; in corporibus tam inæqualibus quam æqualibus, & faciendo ut corpora de intervallis amplissimis, puta pedum octo, duodecim vel sexdecim concurrerent, reperi semper sine errore trium digitorum in mensuris, ubi corpora sibi mutuo directe occurrebant quod in partes contrarias mutatio motus erat corpori utriq; illata, atq; adeo quod actio & reactio semper erant æquales. Ut si corpus A incidebat in corpus B cum novem partibus motus, & amissis septem partibus pergebat post reflexionem cum duabus, corpus B resiliebat cum partibus istis septem. Si corpora obviam ibant, A cum duodecim partibus & B cum sex & redibat A cum duabus, redibat B cum octo, facta detractione partium quatuordecim utrinque. De motu ipsius A subducantur partes duodecim & restabit nihil; subducantur aliæ partes duæ & fiet motus duarum partium in plagam contrariam. & sic de motu corporis B partium sex subducendo partes quatuordecim, fiunt partes octo in plagam contrariam. Quod si corpora ibant ad eandem plagam, A velocius cum partibus quatuordecim & B tardius cum partibus quinq; & post reflexionem pergebat A cum quinq; partibus, pergebat B cum quatuordecim, facta translatione partium novem de A in B . Et sic in reliquis. A congressu & collisione corporum nunquam mutabatur quantitas motus quæ ex summa motuum conspirantium & differentia contrariorum colligebatur. Namq; errorem digiti unius & alterius in mensuris tribuerim difficultati peragendi singula satis accurate. Difficile erat tum pendula simul demittere sic, ut corpora in se mutuo impingerent in loco infimo AB , tum loca s , k , notare ad quæ corpora ascendebant post concursum. Sed & in ipsis pilis inæqualis partium densitas, & textura aliis de causis irregularis, errores inducebant. Page 23

Porro nequis objiciat Regulam ad quam probandam inventum est hoc experimentum præsupponere corpora vel absolute dura esse, vel saltem perfecte elastica, cujusmodi nulla reperiuntur in compositionibus naturalibus; addo quod experimenta jam descripta succedunt in corporibus mollibus æque ac in duris, nimirum a conditione duritiei neutiquam pendentia. Nam si conditio illa in corporibus non perfecte duris tentanda est, debebit solummodo reflexio minui in certa proportione pro quantitate vis Elasticæ. In Theoria *Wrenni* & *Hugenij* corpora absolute dura redeunt ab invicem cum velocitate congressus. Certius id affirmabitur de perfecte Elasticis. In imperfecte Elasticis velocitas reditus minuenda est simul cum vi Elastica; propterea quod vis illa, (nisi ubi partes corporum ex congressu læduntur, vel extensionem aliqualem quasi sub malleo patiuntur,) certa ac determinata sit (quantum sentio) faciatq; corpora redire ab invicem cum velocitate relativa quæ sit ad relativam velocitatem concursus in data ratione. Id in pilis ex lana arcte conglomerata & fortiter constricta sic tentavi. Primum demittendo Pendula & mensurando reflexionem, inveni quantitatem vis Elasticæ; deinde per hanc vim determinavi reflexiones in aliis casibus concursuum, & respondebant experimenta. Redibant semper pilæ ab invicem cum velocitate relativa, quæ esset ad velocitatem relativam concursus ut 5 ad 9 circiter. Eadem fere cum velocitate redibant pilæ ex chalybe: aliæ ex subere cum paulo minore. In vitreis autem proportio erat 15 ad 16 circiter. Atq; hoc pacto Lex tertia quoad ictus & reflexiones per Theoriam comprobata est, quæ cum experientia plane congruit.

In attractionibus rem sic breviter ostendo. Corporibus duobus quibusvis *A*, *B* se mutuo trahentibus, concipe obstaculum quodvis interponi quo congressus eorum impediatur. Si corpus alterutrum *A* magis trahitur versus corpus alterum *B*, quam illud alterum *B* in prius *A*, obstaculum magis urgebitur pressione corporis *A* quam pressione corporis *B*; proindeq; non manebit in æquilibrio. Prævalebit pressio fortior, facietq; systema corporum Page 24 duorum & obstaculi moveri in directum in partes versus *B*, motuq; in spatiis liberis semper accelerato abire in infinitum. Quod est absurdum & Legi primæ contrarium. Nam per Legem primam debebit systema perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, proindeq; corpora æqualiter urgebunt obstaculum, & idcirco æqualiter trahentur in invicem. Tentavi hoc in Magnete & ferro. Si hæc in vasculis propriis sese contingentibus seorsim posita, in aqua stagnante juxta fluitent, neutrum propellet alterum, sed æqualitate attractionis utrinq; sustinebunt conatus in se mutuos, ac tandem in æquilibrio constituta quiescent.

Ut corpora in concursu & reflexione idem pollent, quorum velocitates sunt reciproce ut vires insitæ: sic in movendis Instrumentis Mechanicis agentia idem pollent & conatibus contrariis se mutuo sustinent, quorum velocitates secundum determinationem virium æstimatæ, sunt reciproce ut vires. Sic pondera æquipollent ad movenda brachia Libræ, quæ oscillante Libra, sunt reciproce ut eorum velocitates sursum & deorsum: hoc est pondera, si recta ascendunt & descendunt, æquipollent, quæ sunt reciproce ut punctorum a quibus suspenduntur distantiæ ab axe Libræ; sin planis obliquis aliisve admotis obstaculis impedita ascendunt vel descendunt oblique, æquipollent quæ sunt ut ascensus & descensus quatenus facti secundum perpendiculum: id adeo ob determinationem gravitatis deorsum. Similiter in Trochlea seu Polyspasto vis manus funem directe trahentis, quæ sit ad pondus vel directe vel oblique ascendens ut velocitas ascensus perpendicularis ad velocitatem manus funem trahentis, sustinebit pondus. In horologiis & similibus instrumentis, quæ ex rotulis commissus constructa sunt, vires contrariæ ad motum rotularum promovendum & impediendum si sunt reciproce ut velocitates partium rotularum in quas imprimuntur, sustinebunt se mutuo. Vis Cochleæ ad premendum corpus est ad vim manus manubrium circumagentis, ut circularis velocitas Manubrii ea in parte ubi a manu urgetur, ad velocitatem progressivam Cochleæ versus corpus pressum. Vires quibus Page 25 cuneus urget partes duas ligni fissi est ad vim mallei in cuneum, ut progressus cunei secundum determinationem vis a malleo in ipsum impressæ, ad velocitatem qua partes ligni cedunt cuneo, secundum lineas faciebus cunei perpendiculares. Et par est ratio Machinarum omnium.

Harum efficacia & usus in eo solo consistit ut diminuendo velocitatem augeamus vim, & contra: Unde solvitur in omni aptorum instrumentorum genere Problema; *Datum pondus data vi movendi*, aliamve datam resistentiam vi data superandi. Nam si Machinæ ita formentur ut velocitates Agentis & Resistentis sint reciproce ut vires, Agens resistentiam sustinebit, & majori cum velocitatum disparitate eandem vincet. Certe si tanta sit velocitatum disparitas ut vincatur etiam resistentia omnis, quæ tam ex contiguorum & inter se labentium corporum attritione, quam ex continuorum & ab invicem separandorum cohæsione & elevandorum ponderibus oriri solet; superata omni ea resistentia, vis redundans accelerationem motus sibi proportionalem, partim in partibus Machinæ, partim in corpore resistente producet. Cæterum Mechanicam tractare non est hujus instituti. Hisce volui tantum ostendere quam late pateat, quamq; certa sit Lex tertia motus. Nam si æstimetur Agentis actio ex ejus vi & velocitate conjunctim; & Resistentis reactio ex ejus partium singularum velocitatibus & viribus resistendi ab earum attritione, cohæsione, pondere & acceleratione oriundis; erunt actio & reactio, in omni instrumentorum usu, sibi invicem semper æquales. Et quatenus actio propagatur per instrumentum & ultimo imprimitur in corpus omne resistens, ejus ultima determinatio determinationi reactionis semper erit contraria.

Page 26

*De Methodo Rationum primarum & ultimarum, cujus ope sequentia demonstrantur.*

*Quantitates, ut & quantitatum rationes, quæ ad æqualitatem dato tempore constanter tendunt & eo pacto propius ad invicem accedere possunt quam pro data quavis differentia; fiunt ultimo æquales.*

Si negas, sit earum ultima differentia *D*. Ergo nequeunt propius ad æqualitatem accedere quam pro data differentia *D*: contra hypothesin. Page 27

*Si in figura quavis*AacE*rectis*Aa*,*AE*, & curva*acE*comprehensa, inscribantur parallelogramma quotcunq;*Ab*,*Bc*,*Cd*, &c. sub basibus*AB*,*BC*,*CD*, &c. æqualibus, & lateribus*Bb*,*Cc*,*Dd*, &c. figuræ lateri*Aa*parallelis contenta; & compleantur parallelogramma*aKbl*,*bLcm*,*cMdn*, &c. Dein horum parallelogrammorum latitudo minuatur, & numerus augeatur in infinitum: dico quod ultimæ rationes, quas habent ad se invicem figura inscripta*AKbLcMdD*, circumscripta*AalbmcndoE*, & curvilinea*AabcdE*, sunt rationes æqualitatis.*

Nam figuræ inscriptæ & circumscriptæ differentia est summa parallelogrammorum *Kl* + *Lm* + *Mn* + *Do*, hoc est (ob æquales omnium bases) rectangulum sub unius basi *Kb* & altitudinum summa *Aa*, id est rectangulum *ABla*. Sed hoc rectangulum, eo quod latitudo ejus *AB* in infinitum minuitur, sit minus quovis dato. Ergo, per Lemma I, figura inscripta & circumscripta & multo magis figura curvilinea intermedia fiunt ultimo æquales.   *Q. E. D.*

*Eædem rationes ultimæ sunt etiam æqualitatis, ubi parallelogrammorum latitudines*AB*,*BC*,*CD*,*&c.*sunt inæquales, & omnes minuuntur in infinitum.*

Sit enim *AF* æqualis latitudini maximæ & compleatur parallelogrammum *FAaf*. Hoc erit majus quam differentia figuræ inscriptæ & figuræ circumscripta, at latitudine sua *AF* Page 28 in infinitum diminuta, minus fiet quam datum quodvis rectangulum.

*Corol. 1.* Hinc summa ultima parallelogrammorum evanescentium coincidit omni ex parte cum figura curvilinea.

*Corol. 2.* Et multo magis figura rectilinea, quæ chordis evanescentium arcuum *ab*, *bc*, *cd*, *&c.* comprehenditur, coincidit ultimo cum figura curvilinea.

*Corol. 3.* Ut & figura rectilinea quæ tangentibus eorundem arcuum circumscribitur.

*Corol. 4.* Et propterea hæ figuræ ultimæ (quoad perimetros *acE*,) non sunt rectilineæ, sed rectilinearum limites curvilinei.

*Si in duabus figuris*AacE*,*PprT*, inscribantur (ut supra) duæ parallelogrammorum series, sitq; idem amborum numerus, & ubi latitudines in infinitum diminuitur, rationes ultimæ parallelogrammorum in una figura ad parallelogramma in altera, singulorum ad singula, sint eædem; dico quod figuræ duæ*AacE*,*PprT*, sunt ad invicem in eadem illa ratione.*

Etenim ut sunt parallelogramma singula ad singula, ita (componendo) fit summa omnium ad summam omnium, & ita figura Page 29 ad figuram; existente nimirum figura priore (per Lemma III.) ad summam priorem, & posteriore figura ad summam posteriorem in ratione æqualitatis.

*Corol.* Hinc si duæ cujuscunq; generis quantitates in eundem partium numerum utcunq; dividantur, & partes illæ, ubi numerus earum augetur & magnitudo diminuitur in infinitum, datam obtineant rationem ad invicem, prima ad primam, secunda ad secundam cæteræq; suo ordine ad cæteras; erunt tota ad invicem in eadem illa data ratione. Nam si in Lemmatis hujus figuris sumantur parallelogramma inter se ut partes, summæ partium semper erunt ut summæ parallelogrammorum; atq; adeo, ubi partium & parallelogrammorum numerus augetur & magnitudo diminuitur in infinitum, in ultima ratione parallelogrammi ad parallelogrammum, id est (per hypothesin) in ultima ratione partis ad partem.

*Similium figurarum latera omnia, quæ sibi mutuo respondent, sunt proportionalia, tam curvilinea quam rectilinea, & areæ sunt in duplicata ratione laterum.*

*Si arcus quilibet positione datus*AB*subtendatur chorda*AB*, & in puncto aliquo*A*, in medio curvaturæ continuæ, tangatur a recta utrinq; producta*AD*; dein puncta*A*,*B*ad invicem accendant & coeant; dico quod angulus*BAD*sub chorda & tangente contentus minuetur in infinitum & ultimo evanescet.*

Nam producatur *AB* ad *b* & *AD* ad *d*, & punctis *A*, *B* coeuntibus, nullaq; adeo ipsius *Ab* parte *AB* jacente amplius intra curvam, manifestum esi quod hæc recta *Ab*, Page 30 vel coincidet cum tangente *Ad*, vel ducetur inter tangentem & curvam. Sed casus posterior est contra naturam Curvaturæ, ergo prior obtinet.   *Q. E. D.*

*Iisdem positis, dico quod ultima ratio arcus, chordæ & tangentis ad invicem est ratio æqualitatis. Vide*Fig.*Lem. 6 & 8 vi.*

Nam producantur *AB* & *AD* ad *b* & *d* secanti *BD* parallela agatur *bd*. Sitq; arcus *Ab* similis arcui *AB*. Et punctis *A*, *B* coeuntibus, angulus *dAb*, per Lemma superius, evanescet; adeoq; rectæ *Ab*, *Ad* arcus intermedius *Ab* coincident, & propterea æquales erunt. Unde & hisce semper proportionales rectæ *AB*, *AD*, & arcus intermedius *AB* rationem ultimam habebunt æqualitatis.   *Q. E. D.*

*Corol. 1.* Unde si per *B* ducatur tangenti parallela *BF* rectam quamvis *AF* per *A* transeuntem perpetuo secans in *F*, hæc ultimo ad arcum evanescentem *AB* rationem habebit æqualitatis, eo quod completo parallelogrammo *AFBD*, rationem semper habet æqualitatis ad *AD*.

*Corol. 2.* Et si per *B* & *A* ducantur plures rectæ *BE*, *BD*, *AF*, *AG*, secantes tangentem *AD* & ipsius parallelam *BF*, ratio ultima abscissarum omnium *AD*, *AE*, *BF*, *BG*, chordæq; & arcus *AB* ad invicem erit ratio æqualitatis.

*Corol. 3.* Et propterea hæ omnes lineæ in omni de rationibus ultimis argumentatione pro se invicem usurpari possunt.

*Si rectæ datæ*AR*,*BR*cum arcu*AB*, chorda*AB*& tangente*AD*, triangula tria*ARB*,*ARB*,*ARD*constituunt, dein puncta*A, B*accedunt ad invicem: dico quod ultima forma triangulorum evanescentium est similitudinis, & ultima ratio æqualitatis.*

Page 31

Nam producantur *AB*, *AD*, *AR* ad *b*, *d* & *r*. Ipsi *RD* agatur parallela *rbd*, & arcui *AB* similis ducatur arcus *Ab*. Coeuntibus punctis *A*, *B*, angulus *bAd* evanescet, & propterea triangula tria *rAb*, *rAb*, *rAd* coincident, suntq; eo nomine similia & æqualia. Unde & hisce semper similia & proportionalia *RAB*, *RAB*, *RAD* fient ultimo sibi invicem similia & æqualia.   *Q. E. D.*

*Corol.* Et hinc triangula illa in omni de rationibus ultimis argumentatione pro se invicem usurpari possunt.

*Si recta*AE*& Curva*AC*positione datæ se mutuo secent in angulo dato*A*, & ad rectam illam in alio dato angulo ordinatim applicentur*BD*,*EC*, curvæ occurrentes in*B*,*C*; dein puncta*B*,*C*accedant ad punctum*A*: dico quod areæ triangulorum*ADB*,*AEC*erunt ultimo ad invicem in duplicata ratione laterum.*

Etenim in *AD* producta capiantur *Ad*, *Ae* ipsis *AD*, *AE* proportionales, & erigantur ordinatæ *db*, *ec* ordinatis *DB*, *EC* parallelæ & proportionales. Producatur *AC* ad *c*, ducatur curva *Abc* ipsi *ABC* similis, & recta *Ag* tangatur curva utraq; in *A*; & secantur ordinatim applicatæ in *F*, *G*, *f*, *g*. Tum coeant puncta *B*, *C* cum puncto *A*, & angulo *cAg* evanescente, coincident areæ curvilineæ *Abd*, *Ace* cum rectilineis *Afd*, *Age*, adeoq; per Lemma V, erunt in Page 32 duplicata ratione laterum *Ad*, *Ae*: Sed his areis proportionales semper sunt areæ *ABD*, *ACE*, & his lateribus latera *AD*, *AE*. Ergo & areæ *ABD*, *ACE* sunt ultimo in duplicata ratione laterum *AD*, *AE*.   *Q. E. D.*

*Spatia, quæ corpus urgente quacunq; vi regulari describit, sunt ipso motus initio in duplicata ratione temporum.*

Exponantur tempora per lineas *AD*, *AE*, & velocitates genitæ per ordinatas *DB*, *EC*, & spatia his velocitatibus descripta erunt ut areæ *ABD*, *ACE* his ordinatis descriptæ, hoc est ipso motus initio (per Lemma IX) in duplicata ratione temporum *AD*, *AE*.   *Q. E. D.*

*Corol. 1.* Et hinc facile colligitur, quod corporum similes similium figurarum partes temporibus proportionalibus describentium errores, qui viribus æqualibus in partibus istis ad corpora similiter applicatis generantur, & mensurantur a locis figurarum, ad quæ corpora temporibus ijsdem proportionalibus absq; viribus istis pervenirent, sunt ut quadrata temporum in quibus generantur quam proxime.

*Corol. 2.* Errores autem qui viribus proportionalibus similiter applicatis generantur, sunt ut vires & quadrata temporum conjunctim.

*Subtensa evanescens anguli contactus est ultimo in ratione duplicata subtensæ arcus contermini.*

Cas. 1. Sit arcus ille AB , tangens ejus AD , subtensa anguli contactus ad tangentem perpendicularis BD , subtensa arcus AB . Huic subtensæ AB & tangenti AD perpendiculares erigantur AG , BG , concurrentes in G ; dein accedant puncta D , B , G , ad puncta d , b , g , sitq; J intersectio linearum BG , AG ultimo facta ubi puncta D , B accedunt usq; ad A . Manifestum est quod Page 33 distantia GJ minor esse potest quam assignata quævis. Est autem (ex natura circulorum per puncta ABG , Abg transeuntium) AB quad. æquale AG × BD & Ab quad. æquale Ag × bd , adeoq; ratio AB quad. ad Ab quad. componitur ex rationibus AG ad Ag & BD ad bd . Sed quoniam JG assumi potest minor longitudine quavis assignata, fieri potest ut ratio AG ad Ag minus differat a ratione æqualitatis quam pro differentia quavis assignata, adeoq; ut ratio AB quad. ad Ab quad. minus differat a ratione BD ad bd quam pro differentia quavis assignata. Est ergo, per Lemma I, ratio ultima AB quad. ad Ab quad. æqualis rationi ultimæ BD ad bd.   Q. E. D.

*Cas. 2.* Inclinetur jam *BD* ad *AD* in angulo quovis dato, & eadem semper erit ratio ultima *BD* ad *bd* quæ prius, adeoq; eadem ac *AB quad.* ad *Ab quad.*   *Q. E. D.*

*Cas. 3.* Et quamvis angulus D non detur, tamen anguli *D*, *d* ad æqualitatem semper vergent & propius accedent ad invicem quam pro differentia quavis assignata, adeoq; ultimo æquales erunt, per Lem. I. & propterea lineæ *BD*, *bd* in eadem ratione ad invicem ac prius.   *Q. E. D.*

*Corol. 1.* Unde cum tangentes *AD*, *Ad*, arcus *AB*, *Ab* & eorum sinus *BC*, *bc* fiant ultimo chordis *AB*, *Ab* æquales; erunt etiam illorum quadrata ultimo ut subtensæ *BD*, *bd*.

*Corol. 2.* Triangula rectilinea *ADB*, *Adb* sunt ultimo in triplicata ratione laterum *AD*, *Ad*, inq; sesquiplicata laterum *DB*, *db*: Utpote in composita ratione laterum *AD* & *DB*, *Ad* & *db* existentia. Sic & triangula *ABC*, *Abc* sunt ultimo in triplicata ratione laterum *BC*, *bc*.

*Corol. 3.* Et quoniam *DB*, *db* sunt ultimo parallelæ & in duplicata ratione ipsarum *AD*, *Ad*; erunt areæ ultimæ curvilineæ Page 34 *ADB*, *Adb* (ex natura Parabolæ) duæ tertiæ partes triangulorum rectilineorum *ADB*, *Adb*, & segmenta *AB*, *Ab* partes tertiæ eorundem triangulorum. Et inde hæ areæ & hæc segmenta erunt in triplicata ratione tum tangentium *AD*, *Ad*; tum chordarum & arcuum *AB*, *Ab*.

Cæterum in his omnibus supponimus angulum contactus nec infinite majorem esse angulis contactuum, quos circuli continent cum tangentibus suis, nec iisdem infinite minorem; hoc est curvaturam ad punctum *A*, nec infinite parvam esse nec infinite magnam, seu intervallum *AJ* finitæ esse magnitudinis. Capi enim potest *DB* ut *AD*³: quo in casu circulus nullus per punctum *A* inter tangentem *AD* & curvam *AB* duci potest, proindeq; angulus contactus erit infinite minor circularibus. Et simili argumento si fiat *DB* successive ut *AD*⁴, *AD*⁵, *AD*⁶, *AD*⁷, &c. habebitur series angulorum contactus pergens in infinitum, quorum quilibet posterior est infinite minor priore. Et si fiat *DB* successive ut *AD*², *AD*^³/₂, *AD*^⁴/₃, *AD*^⁵/₄, *AD*^⁶/₅, *AD*^⁷/₆, &c. habebitur alia series infinita angulorum contactus, quorum primus est ejusdem generis cum circularibus, secundus infinite major, & quilibet posterior infinite major priore. Sed & inter duos quosvis ex his angulis potest series utrinq; in infinitum pergens angulorum intermediorum inseri, quorum quilibet posterior erit infinite major priore. Ut si inter terminos *AD*² & *AD*³ inseratur series *AD*^¹³/₆, *AD*^¹¹/₅, *AD*^⁹/₄, *AD*^⁷/₃, *AD*^⁵/₂, *AD*^⁸/₃, *AD*^¹¹/₄, *AD*^¹⁴/₅, *AD*^¹⁷/₆, &c. Et rursus inter binos quosvis angulos hujus seriei inseri potest series nova angulorum intermediorum ab invicem infinitis intervallis differentium. Neq; novit natura limitem.

Quæ de curvis lineis deq; superficiebus comprehensis demonstrata sunt, facile applicantur ad solidorum superficies curvas & Page 35 contenta. Præmisi vero hæc Lemmata ut effugerem tædium deducendi perplexas demonstrationes, more veterum Geometrarum, ad absurdum. Contractiores enim redduntur demonstrationes per methodum indivisibilium. Sed quoniam durior est indivisibilium Hypothesis; & propterea Methodus illa minus Geometrica censetur, malui demonstrationes rerum sequentium ad ultimas quantitatum evanescentium summas & rationes, primasq; nascentium, id est, ad limites summarum & rationum deducere, & propterea limitum illorum demonstrationes qua potui breuitate præmittere. His enim idem præstatur quod per methodum indivisibilium, & principiis demonstratis jam tutius utemur. Proinde in sequentibus, siquando quantitates tanquam ex particulis constantes consideravero, vel si pro rectis usurpavero lineolas curvas, nolim indivisibilia sed evanescentia divisibilia, non summas & rationes partium determinatarum, sed summarum & rationum limites semper intelligi, vimq; talium demonstrationum ad methodum præcedentium Lemmatum semper revocari.

Objectio est, quod quantitatum evanescentium nulla sit ultima proportio; quippe quæ, antequam evanuerunt, non est ultima, ubi evanuerunt, nulla est. Sed & eodem argumento æque contendi posset nullam esse corporis ad certum locum pergentis velocitatem ultimam. Hanc enim, antequam corpus attingit locum, non esse ultimam, ubi attigit, nullam esse. Et responsio facilis est. Per velocitatem ultimam intelligi eam, qua corpus movetur neq; antequam attingit locum ultimum & motus cessat, neq; postea, sed tunc cum attingit, id est illam ipsam velocitatem quacum corpus attingit locum ultimum & quacum motus cessat. Et similiter per ultimam rationem quantitatum evanescentium intelligendam esse rationem quantitatum non antequam evanescunt, non postea, sed quacum evanescunt. Pariter & ratio prima nascentium est ratio quacum nascuntur. Et summa prima & ultima est quacum esse (vel augeri & minui) incipiunt & cessant. Extat limes quem velocitas in fine motus attingere potest, non autem transgredi. Page 36 Hæc est velocitas ultima. Et par est ratio limitis quantitatum & proportionum omnium incipientium & cessantium. Cumq; hic limes sit certus & definitus, Problema est vere Geometricum eundem determinare. Geometrica vero omnia in aliis Geometricis determinandis ac demonstrandis legitime usurpantur.

Contendi etiam potest, quod si dentur ultimæ quantitatum evanescentium rationes, dabuntur & ultimæ magnitudines; & sic quantitas omnis constabit ex indivisibilibus, contra quam *Euclides* de incommensurabilibus, in libro decimo Elementorum, demonstravit. Verum hæc Objectio falsæ innititur hypothesi. Ultimæ rationes illæ quibuscum quantitates evanescunt, revera non sunt rationes quantitatum ultimarum, sed limites ad quos quantitatum sine limite decrescentium rationes semper appropinquant, & quas propius assequi possunt quam pro data quavis differentia, nunquam vero transgredi, neq; prius attingere quam quantitates diminuuntur in infinitum. Res clarius intelligetur in infinite magnis. Si quantitates duæ quarum data est differentia augeantur in infinitum, dabitur harum ultima ratio, nimirum ratio æqualitatis, nec tamen ideo dabuntur quantitates ultimæ seu maximæ quarum ista est ratio. Igitur in sequentibus, siquando facili rerum imaginationi consulens, dixero quantitates quam minimas, vel evanescentes vel ultimas, cave intelligas quantitates magnitudine determinatas, sed cogita semper diminuendas sine limite.

Page 37

*De Inventione Virium Centripetarum.*

*Areas quas corpora in gyros acta radiis ad immobile centrum virium ductis describunt, & in planis immobilibus consistere, & esse temporibus proportionales.*

Dividatur tempus in partes æquales, & prima temporis parte describat corpus vi insita rectam AB . Idem secunda temporis parte, si nil impediret, recta pergeret ad c , (per Leg. I) describens lineam Bc æqualem ipsi AB , adeo ut radiis AS , BS , cS ad centrum actis, consectæ forent æquales areæ ASB , BSc . Verum ubi corpus venit ad B , agat vis centripeta impulsu unico sed magno, faciatq; corpus a recta Bc deflectere & pergere in recta BC . Ipsi BS parallela agatur cC occurrens BC in C , & completa secunda temporis parte, corpus (per Legum Corol. I) reperietur in C , in eodem plano cum triangulo ASB . Junge SC , & triangulum SBC , ob parallelas SB , Cc , æquale erit triangulo SBc , atq; adeo etiam triangulo SAB . Simili argumento si Page 38 vis centripeta successive agat in C , D , E , &c. faciens ut corpus singulis temporis particulis singulas describat rectas CD , DE , EF , &c. jacebunt hæ in eodem plano, & triangulum SCD triangulo SBC & SDE ipsi SCD & SEF ipsi SDE æquale erit. Æqualibus igitur temporibus æquales areæ in plano immoto describuntur: & componendo, sunt arearum summæ quævis SADS , SAFS inter se, ut sunt tempora descriptionum. Augeatur jam numerus & minuatur latitudo triangulorum in infinitum, & eorum ultima perimeter ADF , (per Corollarium quartum Lemmatis tertii) erit linea curva; adeoq; vis centripeta qua corpus de tangente hujus curvæ perpetuo retrahitur, aget indesinenter; areæ vero quævis descriptæ SADS , SAFS temporibus descriptionum semper proportionales, erunt iisdem temporibus in hoc casu proportionales.   Q. E. D.

*Corol. 1.* In mediis non resistentibus, si areæ non sunt temporibus proportionales, vires non tendunt ad concursum radiorum.

*Corol. 2.* In mediis omnibus, si arearum descriptio acceleratur, vires non tendunt ad concursum radiorum, sed inde declinant in consequentia.

*Corpus omne quod, cum movetur in linea aliqua curva, & radio ducto ad punctum vel immobile, vel motu rectilineo uniformiter progrediens, describit areas circa punctum illud temporibus proportionales, urgetur a vi centripeta tendente ad idem punctum.*

*Cas. 1.* Nam corpus omne quod movetur in linea curva, detorquetur de cursu rectilineo per vim aliquam in ipsum agentem. (per Leg. I.) Et vis illa qua corpus de cursu rectilineo detorquetur & cogitur triangula quam minima *SAB*, *SBC*, *SCD* &c. circa punctum immobile *S*, temporibus æqualibus æqualia describere, agit in loco *B* secundum lineam parallelam ipsi *cC* (per Prop. 40 Lib. I Elem. & Leg. II.) hoc est secundum lineam Page 39 *BS* & in loco *C* secundum lineam ipsi *dD* parallelam, hoc est secundum lineam *CS*, &c. Agit ergo semper secundum lineas tendentes ad punctum illud immobile *S*.   *Q. E. D.*

*Cas. 2.* Et, per Legum Corollarium quintum, perinde est sive quiescat superficies in qua corpus describit figuram curvilineam, sive moveatur eadem una cum corpore, figura descripta & puncto suo *S* uniformiter in directum.

Urgeri potest corpus a vi centripeta composita ex pluribus viribus. In hoc casu sensus Propositionis est, quod vis illa quæ ex omnibus componitur, tendit ad punctum *S*. Porro si vis aliqua agat secundum lineam superficiei descriptæ perpendicularem, hæc faciet corpus deflectere a plano sui motus, sed quantitatem superficiei descriptæ nec augebit nec minuet, & propterea in compositione virium negligenda est.

*Corpus omne quod, radio ad centrum corporis alterius utcunq; moti ducto, describit areas circa centrum illud temporibus proportionales, urgetur vi composita ex vi centripeta tendente ad corpus alterum & ex vi omni acceleratrice, qua corpus alterum urgetur.*

Nam (per Legum Corol. 6.) si vi nova, quæ æqualis & contraria sit illi qua corpus alterum urgetur, urgeatur corpus utrumq; secundum lineas parallelas, perget corpus primum describere circa corpus alterum areas easdem ac prius: vis autem qua corpus alterum urgebatur, jam destruetur per vim sibi æqualem & contrariam, & propterea (per Leg. 1.) corpus illud alterum vel quiescet vel movebitur uniformiter in directum, & corpus primum, urgente differentia virium, perget areas temporibus proportionales circa corpus alterum describere. Tendit igitur (per Theor. 2.) differentia virium ad corpus illud alterum ut centrum.   *Q. E. D.* Page 40

*Corol. 1.* Hinc si corpus unum radio ad alterum ducto describit areas temporibus proportionales, atq; de vi tota (sive simplici, sive ex viribus pluribus, juxta Legum Corollarium secundum, composita,) qua corpus prius urgetur, subducatur (per idem Legum Corollarium) vis tota acceleratrix qua corpus alterum urgetur; vis omnis reliqua qua corpus prius urgetur tendet ad corpus alterum ut centrum.

*Corol. 2.* Et si areæ illæ sunt temporibus quamproxime proportionales, vis reliqua tendet ad corpus alterum quamproxime.

*Corol. 3.* Et vice versa, si vis reliqua tendit quamproxime ad corpus alterum, erunt areæ illæ temporibus quamproxime proportionales.

*Corol. 4.* Si corpus radio ad alterum corpus ducto describit areas quæ, cum temporibus collatæ, sunt valde inæquales, & corpus illud alterum vel quiescit vel movetur uniformiter in directum; actio vis centripetæ ad corpus illud alterum tendentis, vel nulla est, vel miscetur & componitur cum actionibus admodum potentibus aliarum virium: Visq; tota ex omnibus, si plures sunt vires, composita, ad aliud (sive immobile sive mobile) centrum dirigitur, circum quod æquabilis est arearum descriptio. Idem obtinet ubi corpus alterum motu quocunq; movetur, si modo vis centripeta sumatur, quæ restat post subductionem vis totius agentis in corpus illud alterum.

Quoniam æquabilis arearum descriptio Index est centri quod vis illa respicit qua corpus maxime afficitur, corpus autem vi ad hoc centrum tendente retinetur in orbita sua, & motus omnis circularis recte dicitur circa centrum illud fieri, cujus vi corpus retrahitur de motu rectilineo & retinetur in Orbita: quidni usurpemus in sequentibus æquabilem arearum descriptionem ut Indicem centri circum quod motus omnis circularis in spatiis liberis peragitur? Page 41

*Corporum quæ diversos circulos æquabili motu describunt, vires centripetas ad centra eorundem circulorum tendere, & esse inter se ut arcuum simul descriptorum quadrata applicata ad circulorum radios.*

Corpora B , b in circumferentiis circulorum BD , bd gyrantia, simul describant arcus BD , bd . Quoniam sola vi insita describerent tangentes BC , bc his arcubus æquales, manifestum est quod vires centripetæ sunt quæ perpetuo retrahunt corpora de tangentibus ad circumferentias circulorum, atq; adeo hæ sunt ad invicem in ratione prima spatiorum nascentium CD , cd : tendunt vero ad centra circulorum per Theor. II, propterea quod areæ radiis descriptæ ponuntur temporibus proportionales. Fiat figura tkb figuræ DCB similis, & per Lemma V, lineola CD erit ad lineolam kt ut arcus BD ad arcum bt : nec non, per Lemma XI, lineola nascens tk

ad lineolam nascentem dc ut bt quad. ad bd quad. & ex æquo lineola nascens DC ad lineolam nascentem dc ut BD × bt ad bd quad. seu quod perinde est, ut BD × bt ÷ Sb ad bd quad. ÷ Sb , adeoq; (ob æquales rationes bt ÷ Sb & BD ÷ SB ) ut BD quad. ÷ SB ad bd quad. ÷ Sb   Q. E. D.

*Corol. 1.* Hinc vires centripetæ sunt ut velocitatum quadrata applicata ad radios circulorum.

*Corol. 2.* Et reciproce ut quadrata temporum periodicorum Page 42 applicata ad radios ita sunt hæ vires inter se. Id est (ut cum Geometris loquar) hæ vires sunt in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum directe & ratione simplici radiorum inverse: necnon in ratione composita ex ratione simplici radiorum directe & ratione duplicata temporum periodicorum inverse.

*Corol. 3.* Unde si tempora periodica æquantur, erunt tum vires centripetæ tum velocitates ut radii, & vice versa.

*Corol. 4.* Si quadrata temporum periodicorum sunt ut radii, vires centripetæ sunt æquales, & velocitates in dimidiata ratione radiorum: Et vice versa.

*Corol. 5.* Si quadrata temporum periodicorum sunt ut quadrata radiorum, vires centripetæ sunt reciproce ut radii, & velocitates æquales; Et vice versa.

*Corol. 6.* Si quadrata temporum periodicorum sunt ut cubi radiorum, vires centripeta: sunt reciproce ut quadrata radiorum; velocitates autem in radiorum dimidiata ratione: Et vice versa.

*Corol. 7.* Eadem omnia de temporibus, velocitatibus & viribus, quibus corpora similes figurarum quarumcunq; similium, centraq; similiter posita habentium, partes describunt, consequuntur ex Demonstratione præcedentium ad hosce casus applicata.

Casus Corollarii sexti obtinet in corporibus cælestibus (ut seorsum colligerunt etiam nostrates *Wrennus, Hookius & Halleus*) & propterea quæ spectant ad vim centripetam decrescentem in duplicata ratione distantiarum a centris decrevi fusius in sequentibus exponere.

Porro præcedentis demonstrationis beneficio colligitur etiam proportio vis centripetæ ad vim quamlibet notam, qualis est ea gravitatis. Nam cum vis illa, quo tempore corpus percurrit arcum *BC*, impellat ipsum per spatium *CD*, quod ipso motus initio æquale est quadrato arcus illius *BD* ad circuli diametrum applicato; & corpus omne vi eadem in eandem semper plagam Page 43 continuata, describat spatia in duplicata ratione temporum: Vis illa, quo tempore corpus revolvens arcum quemvis datum describit, efficiet ut corpus idem recta progrediens describat spatium quadrato arcus illius ad circuli diametrum applicato æquale; adeoq; est ad vim gravitatis ut spatium illud ad spatium quod grave cadendo eodem tempore describit. Et hujusmodi Propositionibus *Hugenius*, in eximio suo Tractatu de Horologio oscillatorio, vim gravitatis cum revolventium viribus centrifugis contulit.

Demonstrari etiam possunt præcedentia in hunc modum. In circulo quovis describi intelligatur Polygonum laterum quotcunq; Et si corpus in Polygoni lateribus data cum velocitate movendo, ad ejus angulos singulos a circulo reflectatur; vis qua singulis reflexionibus impingit in circulum erit ut ejus velocitas, adeoq; summa virium in dato tempore erit ut velocitas illa & numerus reflexionum conjunctim, hoc est (si Polygonum detur specie) ut longitudo dato illo tempore descripta & longitudo eadem applicata ad Radium circuli, id est ut quadratum longitudinis illius applicatum ad Radium; adeoq; si Polygonum lateribus infinite diminutis coincidat cum circulo, ut quadratum arcus dato tempore descripti applicatum ad radium. Hæc est vis qua corpus urget circulum, & huic æqualis est vis contraria qua circulus continuo repellit corpus centrum versus.

*Data quibuscunq; in locis velocitate, qua corpus figuram datam viribus ad commune aliquod centrum tendentibus describit, centrum illud invenire.*

Figuram descriptam tangant rectæ tres PT , TQV , VR in punctis totidem P , Q , R , concurrentes in T & V . Ad tangentes erigantur perpendicula PA , QB , RC , velocitatibus corporis in punctis illis P , Q , R a quibus eriguntur reciproce proportionalia; id est ita ut sit PA ad QB ut velocitas in Q ad velocitatem in P , & QB ad RC ut velocitas in R ad velocitatem Page 44 in Q . Per perpendiculorum terminos A , B , C ad angulos rectos ducantur AD , DBE , EC concurrentia in D & E : Et actæ TD , VE concurrent in centro quæsito S .

Nam cum corpus in *P* & *Q* radiis ad centrum ductis areas describat temporibus proportionales, sintq; areæ illæ simul descriptæ ut velocitates in *P* & *Q* ductæ respective in perpendicula a centro in tangentes *PT*, *QT* demissa: Erunt perpendicula illa ut velocitates reciproce, adeoq; ut perpendicula *AP*, *BQ* directe, id est ut perpendicula a puncto *D* in tangentes demissa. Unde facile colligitur quod puncta *S*, *D*, *T* sunt in una recta. Et simili argumento puncta *S*, *E*, *V* sunt etiam in una recta; & propterea centrum *S* in concursu rectarum *TD*, *VE* versatur.   *Q. E. D.*

*Si corpus*P*revolvendo circa centrum*S*, describat lineam quamvis curvam*APQ*, tangat vero recta*ZPR*curvam illam in puncto quovis*P*, & ad tangentem ab alio quovis curvæ*Q*agatur*QR*distantiæ*SP*parallela, ac demittatur*QT*perpendicularis ad distantiam*SP*: Dico quod vis centripeta sit reciproce ut solidum*SP quad.*×*QT quad.*÷*QR*, si modo solidi illius ea semper sumatur quantitas quæ ultimo fit ubi coeunt puncta*P*&*Q*.*

Namq; in figura indefinite parva *QRPT* lineola nascens *QR*, dato tempore, est ut vis centripeta (per Leg. II.) & Page 45 data vi, ut quadratum temporis (per Lem. X.) atq; adeo, neutro dato, ut vis centripeta & quadratum temporis conjunctim, adeoq; vis centripeta ut lineola *QR* directe & quadratum temporis inverse. Est autem tempus ut area *SPQ*, ejus dupla *SP* × *QT*, id est ut *SP* & *QT* conjunctim, adeoq; vis centripeta ut *QR* directe atq; *SP quad.* in *QT quad.* inverse, id est ut *SP quad.* × *QT quad.* ÷ *QR* inverse.   *Q. E. D.*

*Corol.* Hinc si detur figura quævis, & in ea punctum ad quod vis centripeta dirigitur; inveniri potest lex vis centripetæ quæ corpus in figuræ illius perimetro gyrari faciet. Nimirum computandum est solidum *SP quad.* × *QT quad.* ÷ *QR* huic vi reciproce proportionale. Ejus rei dabimus exempla in problematis sequentibus.

*Gyretur corpus in circumferentia circuli, requiritur lex vis centripetæ tendentis ad punctum aliquod in circumferentia datum.*

Esto circuli circumferentia *SQPA*, centrum vis centripetæ *S*, corpus in circumferentia latum *P*, locus proximus in quem movebitur *Q*. Ad diametrum *SA* & rectam *SP* demitte perpendiculi *PK*, *QT*, & per *Q* ipsi *SP* parallelam age *LR* occurrentem circulo in *L* & tangenti *PR* in *R*, & coeant *TQ*, *PR* in *Z*. Ob similitudinem triangulorum *ZQR*, *ZTP*, *SPA* erit *RP quad.* (hoc est *QRL*) ad *QT quad.* ut *SA quad.* ad *SP quad.* Ergo *QRL* × *SP quad.* ÷ *SA quad.* æquatur *QT quad.* Ducantur hæc Page 46 æqualia in *SP quad.* ÷ *QR*, & punctis *P* & *Q* coeuntibus, scribatur *SP* pro *RL*. Sic fiet *SP qc.* ÷ *SAq.* æquale *QTq.* × *SPq.* ÷ *QR*. Ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est ut *SP qc.* ÷ *SAq.*, id est (ob datum *SA quad.*) ut quadrato-cubus distantiæ *SP*. Quod erat inveniendum.

*Moveatur corpus in circulo*PQA*: ad hunc effectum requiritur lex vis centripetæ tendentis ad punctum adeo longinquum, ut lineæ omnes*PS*,*RS*ad id ductæ, pro parallelis haberi possint.*

A circuli centro C agatur semidiameter CA parallelas istas perpendiculariter secans in M & N , & jungantur CP . Ob similia triangula CPM , & TPZ , vel (per Lem. VIII.) TPQ , est CPq. ad PMq. ut PQq. vel (per Lem. VII.) PRq. ad QTq. & ex natura circuli rectangulum QR × RN + QN æquale est PR quadrato. Coeuntibus autem punctis P , Q fit RN + QN æqualis 2 PM . Ergo est CP quad. ad PM quad. ut QR × 2 PM ad QT quad. adeoq; QT quad. ÷ QR æquale 2 PM cub. ÷ CP quad. , & QT quad. × SP quad. ÷ QR æquale 2 PM cub. × SP quad. ÷ CP quad. Est ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce ut 2 PM cub. × SP quad. ÷ CP quad. hoc est (neglecta ratione determinata 2 SP quad. ÷ CP quad. ) reciproce ut PM cub.   Q. E. I.

Page 47

Et simili argumento corpus movebitur in Ellipsi vel etiam in Hyperbola vel Parabola, vi centripeta quæ sit reciproce ut cubus ordinatim applicatæ ad centrum virium maxime longinquum tendentis.

*Gyretur corpus in spiral*PQS*secante radios omnes*SP*,*SQ*, &c. in angulo dato: Requiritur lex vis centripetæ tendentis ad centrum spiralis.*

Detur angulus indefinite parvus *PSQ*, & ob datos omnes angulos dabitur specie figura *SPQRT*. Ergo datur ratio *QT* ÷ *RQ* estq; *QT quad.* ÷ *QR* ut *QT*, hoc est ut *SP*. Mutetur jam utcunq; angulus *PSQ*, & recta *QR* angulum contactus *QPR* subtendens mutabitur (per Lemma XI.) in duplicata ratione ipsius *PR* vel *QT*. Ergo manebit *QT quad.* ÷ *QR* eadem quæ prius, hoc est ut *SP*. Quare *QTq.* × *SPq.* ÷ *QR* est ut *SP cub.* id est (per Corol. Theor. V.) vis centripeta ut cubus distantiæ *SP*.   *Q. E. I.*

*Parallelogramma omnia circa datam Ellipsin descripta esse inter se æqualia. Idem intellige de Parallelogrammis in Hyperbola circum diametros ejus descriptis.*

Constat utrumq; ex Conicis. Page 48

*Gyretur corpus in Ellipsi: requiritur lex vis centripetæ tendentis ad centrum Ellipseos.*

Sunto *CA*, *CB* semiaxes Ellipseos; *GP*, *DK* diametri conjugatæ; *PF*, *Qt*, perpendicula ad diametros; *Qv* ordinatim applicata ad diametrum *GP*; & si compleatur parallelogrammum *QvRP*, erit (ex Conicis) *PvG* ad *Qv quad.* ut *PC quad.* ad *CD quad.* & (ob similia triangula *Qvt*, *PCF*) *Qv quad.* est ad *Qt quad.* ut *PC quad.* ad *PF quad.* & conjunctis rationibus, *PvG* ad *Qt quad.* ut *PC quad.* ad *CD quad.* & *PC quad.* ad *PF quad.* id est *vG* ad *Qt quad.* ÷ *Pv* ut *PC quad.* ad *CDq.* × *PFq.* ÷ *PCq.*. Scribe *QR* pro *Pv*, & (per Lemma xii.) *BC* × *CA* pro *CD* × *PF*, nec non (punctis *P* & *Q* coeuntibus) 2*PC* pro *vG*, & ductis extremis & medijs in se mutuo, fiet *QTq.* × *PCq.* ÷ *QR* æquale 2*BCq.* × *CAq.* ÷ *PC*. Est ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce ut 2*BCq.* × *CAq.* ÷ *PC*, id est Page 49 (ob datum 2*BCq.* × *CAq.*) ut 1 ÷ *PC*, hoc est, directe ut distantia *PC*.   *Q. E. I.*

*Corol. 1.* Unde vicissim si vis sit ut distantia, movebitur corpus in Ellipsi centrum habente in centro virium, aut forte in circulo, in quem Ellipsis migrare potest.

*Corol. 2.* Et æqualia erunt revolutionum in Figuris universis circa centrum idem factarum periodica tempora. Nam tempora illa in Ellipsibus similibus æqualia sunt per Corol. 3 & 7 Prop. IV: In Ellipsibus autem communem habentibus axem majorem, sunt ad invicem ut Ellipseon areæ totæ directe & arearum particulæ simul descriptæ inverse; id est ut axes minores directe & corporum velocitates in verticibus principalibus inverse, hoc est ut axes illi directe & ordinatim applicatæ ad axes alteros inverse, & propterea (ob æqualitatem rationum directarum & inversarum) in ratione æqualitatis.

Si Ellipsis, centro in infinitum abeunte, vertatur in Parabolam, corpus movebitur in hac Parabola, & vis ad centrum infinite distans jam tendens, evadet æquabilis. Hoc est Theorema *Galilei*. Et si Conisectio Parabolica, inclinatione plani ad conum sectum mutata, vertatur in Hyperbolam, movebitur corpus in hujus perimetro, vi centripeta in centrifugam versa.

Page 50

*De motu Corporum in Conicis Sectionibus excentricis.*

*Revolvatur corpus in Ellipsi: Requiritur lex vis centripetæ tendentis ad umbilicum Ellipseos.*

Esto Ellipseos superioris umbilicus S . Agatur SP secans Ellipseos tum diametrum DK in E , tum ordinatim applicatam Qv in x , & compleatur parallelogrammum QxPR . Patet EP æqualem esse semiaxi majori AC , eo quod acta ab altero Ellipseos umbilico H linea HI ipsi EC parallela, (ob æquales CS , CH ) æquentur ES , EI , adeo ut EP semisumma sit ipsarum PS , PI , id est (ob parallelas HI , PR & angulos æquales IPR , HPZ ) ipsorum PS , PH , quæ conjunctim axem totum 2 AC adæquant. Ad SP demittatur perpendicularis QT , & Ellipseos latere recto principali (seu 2 BC quad. ÷ AC ) dicto L , erit L × QR ad L × Pv ut QR ad Pv ; id est ut PE (seu AC ) ad PC ; & L × Pv ad GvP ut L ad Gv ; Page 51 & GvP ad Qv quad. ut CP quad. ad CD quad. ; & (per Lem. VIII.) Qv quad. ad Qx quad. punctis Q & P coeuntibus, est ratio æqualitatis, & Qx quad. seu Qv quad. est ad QT quad. ut EP quad. ad PF quad. , id est ut CA quad. ad PF quad. sive (per Lem. XII.) ut CD quad. ad CB quad. Et conjunctis his omnibus rationibus, L × QR fit ad QT quad. ut AC ad PC + L ad Gv + CPq. ad CDq. + CDq. ad CBq. id est ut AC × L (seu 2 CBq. ) × CPq. ad PC × Gv × CBq. sive ut 2 PC ad Gv . Sed punctis Q & P coeuntibus, æquantur 2 PC & Gv . Ergo & his proportionalia L × QR & QT quad. æquantur. Ducantur hæc aqualia in SPq. ÷ QR & fiet L × SPq. æquale SPq. × QTq. ÷ QR . Ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est ut L × SPq. id est reciproce in ratione duplicata distantiæ SP .   Q. E. I.

Eadem brevitate qua traduximus Problema quintum ad Parabolam, & Hyperbolam, liceret idem hic facere: verum ob dignitatem Problematis & usum ejus in sequentibus, non pigebit casus cæteros demonstratione confirmare.

*Moveatur corpus in Hyperbola: requiritur lex vis centripetæ tendentis ad umbilicum figuræ.*

Sunto CA , CB semi-axes Hyperbolæ; PG , KD diametri conjugatæ; PF , Qt perpendicula ad diametros; & Qv ordinatim applicata ad diametrum GP . Agatur SP secans tum diametrum DK in E , tum ordinatim applicatam Qv in x , & compleatur parallelogrammum QRPx . Patet EP æqualem esse semi-axi transverso AC , eo quod, acta ab altero Hyperbolæ umbilico H linea HI ipsi EC parallela, ob æquales CS , CH , æquentur ES , EI ; adeo ut EP semidifferentia sit ipsarum PS , PI , id est (ob parallelas HI , PR & angulos æquales IPR , HPZ ) ipsarum PI , PH , quarum differentia axem totum 2 AC adæquat. Ad SP Page 52 demittatur perpendicularis

QT . Et Hyperbolæ latere recto principali (seu 2 BCq. ÷ AC ) dicto L , erit L × QR ad L × Pv ut QR ad Pv , id est, ut PE (seu AC ) ad PC ; Et L × Pv ad GvP ut L ad Gv ; & GvP ad Qvq. ut CPq. ad CDq. ; & (per Lem. VIII.) Qvq. ad Qxq. , punctis Q & P coeuntibus fit ratio æqualitatis; & Qxq. seu Qvq. est ad QTq. ut EPq. ad PFq. , id est ut CAq. ad PFq. , sive (per Lem. XII.) ut CDq. ad CBq. : & conjunctis his omnibus rationibus L × QR fit ad QTq. ut AC ad PC + L ad Gv + CPq. ad CDq. + CDq. ad CBq. : id est ut AC × L (seu 2 BCq. ) × PCq. ad PC × Gv × CB quad. sive ut 2 PC ad Gv , sed punctis Q & P coeuntibus æquantur 2 PC & Gv . Ergo & his proportionalia L × QR & QTq. æquantur. Ducantur hæc æqualia in SPq. ÷ QR & fiet L × SPq. æquale SPq. × QTq. ÷ QR . Ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est ut L × SPq. id est in ratione duplicata distantiæ SP .   Q. E. I. Page 53

Eodem modo demonstratur quod corpus, hac vi centripeta in centrifugam versa, movebitur in Hyperbola conjugata.

*Latus rectum Parabolæ ad verticem quemvis pertinens, est quadruplum distantiæ verticis illius ab umbilico figuræ.* Patet ex Conicis.

*Perpendiculum quod ab umbilico Parabolæ ad tangentem ejus demittitur, medium est proportionale inter distantias umbilici a puncto contactus & a vertice principali figuræ.*

Sit enim *APQ* Parabola, *S* umbilicus ejus, *A* vertex principalis, *P* punctum contactus, *PO* ordinatim applicata ad diametrum principalem, *PM* tangens diametro principali occurrens in *M*, & *SN* linea perpendicularis ab umbilico in tangentem. Jungatur *AN*, & ob æquales *MS* & *SP*, *MN* & *NP*, *MA* & *AO*, parallelæ erunt rectæ *AN* & *OP*, & inde triangulum *SAN* rectangulum erit ad *A* & simile triangulis æqualibus *SMN*, *SPN*. Ergo *PS* est ad *SN* ut *SN* ad *SA*.   *Q. E. D.*

Corol. 1. *PSq.* est ad *SNq.* ut *PS* ad *SA*.

Corol. 2. Et ob datam *SA*, est *SNq.* ut *PS*.

Corol. 3. Et concursus tangentis cujusvis *PM* cum recta *SN* quæ ab umbilico in ipsam perpendicularis est, incidit in rectam *AN*, quæ Parabolam tangit in vertice principali. Page 54

*Moveatur corpus in perimetro Parabolæ: requiritur Lex vis centripetæ tendentis ad umbilicum hujus figuræ.*

Maneat constructio Lemmatis, sitq; *P* corpus in perimetro Parabolæ, & a loco *Q* in quem corpus proxime movetur, age ipsi *SP* Parallelam *QR* & perpendicularem *QT*, necnon *Qv* tangentiparallelam & occurrentem tum diametro *YPG* in *v*, tum distantiæ *SP* in *x*. Jam ob similia triangula *Pxv*, *MSP* & æqualia unius latera *SM*, *SP*, æqualia sunt alterius latera *Px* seu *QR* & *Pv*. Sed, ex Conicis, quadratum ordinatæ *Qv* æquale est rectangulo sub latere recto & segmento diametri *Pv*, id est (per Lem. XIII.) rectangulo 4*PS* × *Pv* seu 4*PS* × *QR*; & punctis *P* & *Q* coeuntibus, ratio *Qv* ad *Qx* (per Lem. 8.) fit æqualitatis. Ergo *Qxq.* eo in casu, æquale est rectangulo 4*PS* × *QR*. Est autem (ob æquales angulos *QxT*, *MPS*, *PMO*) *Qxq.* ad *QTq.* ut *PSq.* ad *SNq.* hoc est (per Corol. I. Lem. XIV.) ut *PS* ad *AS*, id est ut 4*PS* × *QR* ad 4*AS* × *QR*, & inde (per Prop. 9. Lib. V. Elem.) *QTq.* & 4*AS* × *QR* æquantur. Ducantur hæc æqualia in *SPq.* ÷ *QR*, & fiet *SPq.* × *QTq.* ÷ *QR* æquale *SPq.* × 4*AS*: & propterea (per Corol. Theor. V.) vis centripeta est reciproce ut *SPq.* × 4*AS*, id est, ob datam 4*AS*, reciproce in duplicata ratione distantiæ *SP*.   *Q. E. I.* Page 55

*Corol. I.* Ex tribus novissimis Proportionibus consequens est, quod si corpus quodvis *P*, secundum lineam quamvis rectam *PR*, quacunq; cum velocitate exeat de loco *P*, & vi centripeta quæ sit reciproce proportionalis quadrato distantiæ a centro, simul agitetur; movebitur hoc corpus in aliqua sectionum Conicarum umbilicum habente in centro virium; & contra.

*Corol. II.* Et si velocitas, quacum corpus exit de loco suo *P*, ea sit, qua lineola *PR* in minima aliqua temporis particula describi possit, & vis centripeta potis sit eodem tempore corpus idem movere per spatium *QR*: movebitur hoc corpus in Conica aliqua sectione cujus latus rectum est quantitas illa *QTq.* ÷ *QR* quæ ultimo fit ubi lineolæ *PR*, *QR* in infinitum diminuuntur. Circulum in his Corollariis refero ad Ellipsin, & casum excipio ubi corpus recta descendit ad centrum.

*Si corpora plura revolvantur circa centrum commune, & vis centripeta decrescat in duplicata ratione distantiarum a centro; dico quod Orbium Latera recta sunt in duplicata ratione arearum quas corpora, radiis ad centrum ductis, eodem tempore describunt.*

Nam per Corol. II. Prob. VIII. Latus rectum *L* æquale est quantitati *QTq.* ÷ *QR* quæ ultimo fit ubi coeunt puncta *P* & *Q*. Sed linea minima *QR*, dato tempore, est ut vis centripeta generans, hoc est (per Hypothesin) reciproce ut *SPq.* Ergo *QTq.* ÷ *QR* est ut *QTq.* × *SPq.* hoc est, latus rectum *L* in duplicata ratione areæ *QT* × *SP*.   *Q. E. D.*

Corol. Hinc Ellipseos area tota, eiq; proportionale rectangulum sub axibus, est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti & integra ratione temporis periodici. Page 56

*Iisdem positis, dico quod tempora periodica in Ellipsibus sunt in ratione sesquiplicata transversorum axium.*

Namq; axis minor est medius proportionalis inter axem majorem (quem transversum appello) & latus rectum, atq; adeo rectangulum sub axibus est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti & sesquiplicata ratione axis transversi. Sed hoc rectangulum, per Corollarium Theorematis Sexti, est in ratione composita ex dimidiata ratione lateris recti & integra ratione periodici temporis. Dematur utrobiq; dimidiata ratio lateris recti & manebit sesquiplicata ratio axis transversi æqualis rationi periodici temporis.   *Q. E. D.*

Corol. Sunt igitur tempora periodica in Ellipsibus eadem ac in circulis, quorum diametri æquantur majoribus axibus Ellipseon.

*Iisdem positis, & actis ad corpora lineis rectis, quæ ibidem tangant orbitas, demissisq; ab umbilico communi ad has tangentes perpendicularibus: dico quod velocitates corporum sunt in ratione composita ex ratione perpendiculorum inverse & dimidiata ratione laterum rectorum directe.* Vide Fig. Prop. X. &. XI.

Ab umbilico *S* ad tangentem *PR* demitte perpendiculum *SY* & velocitas corporis *P* erit reciproce in dimidiata ratione quantitatis *SYq.* ÷ *L*. Nam velocitas illa est ut arcus quam minimus *PQ* in data temporis particula descriptus, hoc est (per Lem. VII.) ut tangens *PR*, id est (ob proportionales *PR* ad *QT* & *SP* ad *SY*) ut *SP* × *QT* ÷ *SY*, sive ut *SY* reciproce & *SP* × *QT* directe; estq; Page 57 *SP* × *QT* ut area dato tempore descripta, id est, per Theor. VI. in dimidiata ratione lateris recti   *Q. E. D.*

*Corol. 1.* Latera recta sunt in ratione composita ex duplicata ratione perpendiculorum & duplicata ratione velocitatum.

*Corol. 2.* Velocitates corporum in maximis & minimis ab umbilico communi distantiis, sunt in ratione composita ex ratione distantiarum inverse & dimidiata ratione laterum rectorum directe. Nam perpendicula jam sunt ipsæ distantiæ.

*Corol. 3.* Ideoq; velocitas in Conica sectione, in minima ab umbilico distantia, est ad velocitatem in circulo in eadem a centro distantia, in dimidiata ratione lateris recti ad distantiam illam duplicatam.

*Corol. 4.* Corporum in Ellipsibus gyrantium velocitates in mediocribus distantiis ab umbilico communi sunt eædem quæ corporum gyrantium in circulis ad easdem distantias, hoc est (per Corol. VI. Theor. IV.) reciproce in dimidiata ratione distantiarum. Nam perpendicula jam sunt semi-axes minores, & hi sunt ut mediæ proportionales inter distantias & latera recta. Componatur hæc ratio inverse cum dimidiata ratione laterum rectorum directe, & fiet ratio dimidiata distantiarum inverse.

*Corol. 5.* In eadem vel æqualibus figuris, vel etiam in figuris inæqualibus, quarum latera recta sunt æqualia, velocitas corporis est reciproce ut perpendiculum demissum ab umbilico ad tangentem.

*Corol. 6.* In Parabola, velocitas est reciproce in dimidiata ratione distantiæ corporis ab umbilico figuræ, in Ellipsi minor est, in Hyperbola major quam in hac ratione. Nam (per Corol. 2 Lem. XIV.) perpendiculum demissum ab umbilico ad tangentem Parabolæ est in dimidiata ratione distantiæ.

*Corol. 7.* In Parabola, velocitas ubiq; est ad velocitatem corporis revolventis in circulo ad eandem distantiam, in dimidiata ratione numeri binarii ad unitatem; in Ellipsi minor est, in Hyperbola Page 58 major quam in hac ratione. Nam per hujus Corollarium secundum, velocitas in vertice Parabolæ est in hac ratione, & per Corollaria sexta hujus & Theorematis quarti, servatur eadem proportio in omnibus distantiis. Hinc etiam in Parabola velocitas ubiq; æqualis est velocitati corporis revolventis in circulo ad dimidiam distantiam, in Ellipsi minor est, in Hyperbola major.

*Corol. 8.* Velocitas gyrantis in Sectione quavis Conica est ad velocitatem gyrantis in circulo in distantia dimidii lateris recti Sectionis, ut distantia illa ad perpendiculum ab umbilico in tangentem Sectionis demissum. Patet per Corollarium quintum.

*Corol. 9.* Unde cum (per Corol. 6. Theor. IV.) velocitas gyrantis in hoc circulo sit ad velocitatem gyrantis in circulo quovis alio, reciproce in dimidiata ratione distantiarum; fiet ex æquo velocitas gyrantis in Conica sectione ad velocitatem gyrantis in circulo in eadem distantia, ut media proportionalis inter distantiam illam communem & semissem lateris recti sectionis, ad perpendiculum ab umbilico communi in tangentem sectionis demissum.

*Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato distantiæ a centro, & quod vis illius quantitas absoluta sit cognita; requiritur linea quam corpus describit, de loco dato cum data velocitate secundum datam rectam egrediens.*

Vis centripeta tendens ad punctum *S* ea sit quæ corpus *p* in orbita quavis data *pq* gyrare faciat, & cognoscatur hujus velocitas in loco *p*. De loco *P* secundum lineam *PR* exeat corpus *P* cum data velocitate, & mox inde, cogente vi centripeta, deflectat illud in Conisectionem *PQ*. Hanc igitur recta *PR* tanget in *P*. Tangat itidem recta aliqua *pr* orbitam *pq* in *p*, & si ab *S* ad eas tangentes demitti intelligantur perpendicula, erit (per Corol. 1. Theor. VIII.) latus rectum Conisectionis ad latus Page 59 rectum orbitæ datæ, in ratione composita ex duplicata ratione perpendiculorum & duplicata ratione velocitatum, atq; adeo datur. Sit istud *L*. Datur præterea Conisectionis umbilicus *S*. Anguli *RPS* complementum ad duos rectos fiat angulus *RPH*, & dabitur positione linea *PH*, in qua umbilicus alter *H* locatur. Demisso ad *PH* perpendiculo *SK*, & erecto semiaxe conjugato *BC*, est *SPq.* - 2*KPH* + *PHq.* (per Prop. 13. Lib. II. Elem.) = *SHq.* = 4*CHq.* = 4*BHq.* - 4*BCq.* = *SP* + *PH* *quad.* - *L* × *SP* + *PH* = *SPq.* + 2*SPH* + *PHq.* - *L* × *SP* + *PH*. Addantur utrobiq; 2*KPH* + *L* × *SP* + *PH* - *SPq.* - *PHq.* & fiet *L* × *SP* + *PH* = 2*SPH* + 2*KPH*, seu *SP* + *PH* ad *PH* ut 2*SP* + 2*KP* ad *L*. Unde datur *PH* tam longitudine quam positione. Nimirum si ea sit corporis in *P* velocitas, ut latus rectum *L* minus fuerit quam 2*SP* + 2*KP*, jacebit *PH* ad eandem partem tangentis *PR* cum linea *PS*, adeoq; figura erit Ellipsis, & ex datis umbilicis *S*, *H*, & axe principali *SP* + *PH*, dabitur: Sin tanta sit corporis velocitas ut latus rectum *L* æquale fuerit 2*SP* + 2*KP*, longitudo *PH* infinita erit, & propterea figura erit Parabola axem habens *SH* parallelum lineæ *PK*, & inde dabitur. Quod si corpus majori adhuc cum velocitate de loco suo *P* exeat, capienda erit longitudo *PH* ad alteram partem tangentis, adeoq; tangente inter umbilicos pergente, figura erit Hyperbola axem habens principalem æqualem differentiæ linearum *SP* & *PH*, & inde dabitur.   *Q. E. I.*

*Corol. 1.* Hinc in omni Conisectione ex dato vertice principali *D*, latere recto *L*, & umbilico *S*, datur umbilicus alter *H* capiendo *DH* ad *DS* ut est latus rectum ad differentiam inter Page 60 latus rectum & 4*DS*. Nam proportio *SP* + *PH* ad *PH* ut 2*SP* ad *L*, in casu hujus Corollarii, fit *DS* + *DH* ad *DH* ut 4*DS* ad *L*, & divisim *DS* ad *DH* ut 4*DS* - *L* ad *L*.

*Corol. 2.* Unde si datur corporis velocitas in vertice principali *D*, invenietur Orbita expedite, capiendo scilicet latus rectum ejus, ad duplam distantiam *DS*, in duplicata ratione velocitatis hujus datæ ad velocitatem corporis in circulo ad distantiam *DS* gyrantis: (Per Corol. 3. Theor. VIII.) dein *DH* ad *DS* ut latus rectum ad differentiam inter latus rectum & 4*DS*.

*Corol. 3.* Hinc etiam si corpus moveatur in Sectione quacunq; Conica, & ex orbe suo impulsu quocunq; exturbetur; cognosci potest orbis in quo postea cursum suum peraget. Nam componendo proprium corporis motum cum motu illo quem impulsus solus generaret, habebitur motus quocum corpus de dato impulsus loco, secundum rectam positione datam, exibit.

*Corol. 4.* Et si corpus illud vi aliqua extrinsecus impressa continuo perturbetur, innotescet cursus quam proxime, colligendo mutationes quas vis illa in punctis quibusdam inducit, & ex seriei analogia, mutationes continuas in locis intermediis æstimando.

Page 61

*De Inventione Orbium Ellipticorum, Parabolicorum & Hyperbolicorum ex umbilico dato.*

*Si ab Ellipseos vel Hyperbolæ cujusvis umbilicis duobus*S*,*H*, ad punctum quodvis tertium*V*inflectantur rectæ duæ*SV*,*HV*, quarum una*HV*æqualis sit axi transverso figuræ, altera*SV*a perpendiculo*TR*in se demisso bisecetur in*T*; perpendiculum illud*TR*sectionem Conicam alicubi tangit: & contra, si tangit, erit*VH*æqualis axi figuræ.*

Secet enim *VH* sectionem conicam in *R*, & jungatur *SR*. Ob æquales rectas *TS*, *TV*, æquales erunt anguli *TRS*, *TRV*. Bisecat ergo *RT* angulum *VRS* & propterea figuram tangit: & contra.   *Q. E. D.*

*Datis umbilico & axibus transversis describere Trajectorias Ellipticas & Hyperbolicas, quæ transibunt per puncta data, & rectas positione datas contingent.*

Sit S communis umbilicus figuraram; AB longitudo axis transversi Trajectoriæ cujusvis; P punctum per quod Trajectoria debet transire; & TR recta quam debet tangere. Centro P intervallo AB - SP , si orbita sit Ellipsis, vel AB + SP , si ea sit Hyperbola, describatur circulus HG . Ad tangentem TR demittatur Page 62 perpendiculum ST , & producatur ea ad V ut sit TV æqualis ST ; centroq; V & intervallo AB describatur circulus FH . Hac methodo sive dentur duo puncta P , p , sive duæ tangentes TR , tr , sive punctum P & tangens TR , describendi sunt circuli duo. Sit H eorum intersectio communis, & umbilicis S , H , axe illo dato describatur Trajectoria. Dico factum. Nam Trajectoria descripta (eo quod PH + SP in Ellipsi, & PH - SP in Hyperbola æquatur axi) transibit per punctum P , & (per Lemma superius) tanget rectam TR . Et eodem argumento vel transibit eadem per puncta duo P , p , vel tanget rectas duas TR , tr .   Q. E. F.

*Circa datum umbilicum Trajectoriam Parabolicam describere, quæ transibit per puncta data, & rectas positione datas continget.*

Sit S umbilicus, P punctum & TR tangens trajectoriæ describendæ. Centro P , intervallo PS describe circulum FG . Ab umbilico ad tangentem demitte perpendicularem ST , & produc eam ad V , ut sit TV æqualis ST . Eodem modo describendus est alter circulus fg , si datur alterum punctum p ; vel inveniendum alterum punctum v , si datur altera tangens tr ; dein ducenda recta IF quæ tangat duos circulos FG , fg si dantur duo puncta P , Page 63 p ; vel transeat per duo puncta V , v , si dantur duæ tangentes TR , tr , vel tangat circulum FG & transeat per punctum V , si datur punctum P & tangens TR . Ad FI demitte perpendicularem SI , eamq; biseca in K , & axe SK , vertice principali K describatur Parabola. Dico factum. Nam Parabola ob æquales SK & IK , SP & FP transibit per punctum P ; & (per Lemmatis XIV. Corol. 3.) ob æquales ST & TV & angulum rectum STR , tanget rectam TR .   Q. E. F.

*Circa datum umbilicum Trajectoriam quamvis specie datam describere, quæ per data puncta transibit & rectas tanget positione datas.*

*Cas. 1.* Dato umbilico *S*, describenda sit Trajectoria *ABC* per puncta duo *B*, *C*. Quoniam Trajectoria datur specie, dabitur ratio axis transversi ad distantiam umbilicorum. In ea ratione cape *KB* ad *BS*, & *LC* ad *CS*. Centris *B*, *C*, intervallis *BK*, *CL*, describe circulos duos, & ad rectam *KL*, quæ tangat eosdem in *K* & *L*, demitte perpendiculum *SG*, idemq; seca in *A* & *a*, ita ut sit *SA* ad *AG* & *Sa* ad *aG*, ut est *SB* ad *BK*, & axe *Aa*, verticibus *A*, *a*, describatur Trajectoria. Dico factum. Sit enim *H* umbilicus alter figuræ descriptæ, & cum sit *SA* ad *AG* ut *Sa* ad *aG*, erit divisim *Sa* - *SA* seu *SH* ad *aG* - *AG* seu *Aa* in eadem ratione, adeoq; in ratione quam habet axis transversus figuræ describendæ ad distantiam umbilicorum ejus; & propterea figura descripta est ejusdem speciei cum describenda. Cumq; sint *KB* ad *BS* & *LC* ad *CS* in eadem ratione, transibit hæc Figura per puncta *B*, *C*, ut ex Conicis manifestum est. Page 64

*Cas. 2.* Dato umbilico *S*, describenda sit Trajectoria quæ rectas duas *TR*, *tr* alicubi contingat. Ab umbilico in tangentes demitte perpendicula *ST*, *St* & produc eadem ad *V*, *v*, ut sint *TV*, *tv* æquales *TS*, *ts*. Biseca *Vv* in *O*, & erige perpendiculum infinite *OH*, rectamq; *VS* infinite productam seca in *K* & *k* ita, ut sit *VK* ad *KS* & *Vk* ad *kS* ut est Trajectoriæ describendæ axis transversus ad umbilicorum distantiam. Super diametro *Kk* describatur circulus secans rectam *OH* in *H*; & umbilicis *S*, *H*, axe transverso ipsam *VH* æquante, describatur Trajectoria. Dico factum. Nam biseca *Kk* in *X*, & junge *HX*, *HS*, *HV*, *Hv*. Quoniam est *VK* ad *KS* ut *Vk* ad *kS*; & composite ut *VK* + *Vk* ad *KS* + *kS*; divisimq; ut *Vk* - *VK* ad *kS* - *KS* id est ut 2*VX* ad 2*KX* & 2*KX* ad 2*SX*, adeoq; ut *VX* ad *HX* & *HX* ad *SX*, similia erunt triangula *VXH*, *HXS*, & propterea *VH* erit ad *SH* ut *VX* ad *XH*, adeoq; ut *VK* ad *KS*. Habet igitur Trajectoria; descriptæ axis transversus *VH* eam rationem ad ipsius umbilicorum distantiam *SH*, quam habet Trajectoriæ describendæ axis transversus ad ipsius umbilicorum distantiam, & propterea ejusdem est speciei. Insuper cum *VH*, *vH* æquentur axi transverso, & *VS*, *vS* a rectis *TR*, *tr* perpendiculariter bisecentur, liquet, ex Lemmate XV, rectas illas Trajectoriam descriptam tangere.   *Q. E. F.*

*Cas. 3.* Dato umbilico *S* describenda sit Trajectoria quæ rectam *TR* tanget in puncto dato *R*. In rectam *TR* demitte perpendicularem *ST*, & produc eandem ad *V*, ut sit *TV* æqualis *ST*. Junge *VR*, & rectam *VS* infinite productam seca in *K* & *k*, ita ut sit *VK* ad *SK* & *Vk* ad *Sk* ut Ellipseos describendæ axis transversus ad distantiam umbilicorum; circuloq; super diametro *Kk* Page 65 descripto, secetur producta recta *VR* in *H*, & umbilicis *S*, *H*, axe transverso rectam *HV* æquante, describatur Trajectoria. Dico factum. Namq; *VH* esse ad *SH* ut *VK* ad *SK*, atq; adeo ut axis transversus Trajectoriæ describendæ ad distantiam umbilicorum ejus, patet ex demonstratis in Casu secundo, & propterea Trajectoriam descriptam ejusdem esse speciei cum describenda: rectam vero *TR* qua angulus *VRS* bisecatur, tangere Trajectoriam in puncto *R*, patet ex Conicis.   *Q. E. F.*

*Cas. 4.* Circa umbilicum *S* describenda jam sit Trajectoria *APB*, quæ tangat rectam *TR*, transeatq; per punctum quodvis *P* extra tangentem datum, quæq; similis sit figuræ *apb*, axe transverso *ab* & umbilicis *s*, *h* descriptæ. In tangentem *TR* demitte perpendiculum *ST*, & produc idem ad *V*, ut sit *TV* æqualis *ST*. Angulis autem *VSP*, *SVP* fac angulos *hsq*, *shq* æquales; centroq; *q* intervallo quod sit ad *ab* ut *SP* ad *VS* describe Page 66 circulum secantem figuram *apb* in *p*. Junge *sp* & age *SH* quæ sit ad *sh* ut est *SP* ad *sp* quæq; angulum *PSH* angulo *psh* & angulum *VSH* angulo *psq* æquales constituat. Deniq; umbilicis *S*, *H*, axe distantiam *VH* æquante, describatur sectio conica.

Dico factum. Nam si agatur *sv* quæ sit ad *sp* ut est *sh* ad *sq*, quæq; constituat angulum *vsp* angulo *hsq* & angulum *vsh* angulo *psq* æquales, triangula *svh*, *spq* erunt similia, & propterea *vh* erit ad *pq* ut est *sh* ad *sq*, id est (ob similia triangula *VSP*, *hsq*) ut est *VS* ad *SP* seu *ab* ad *pq.* Æquantur ergo *vh* & *ab*. Porro ob similia triangula *VSH*, *vsh* est *VH* ad *SH* ut *vh* ad *sh*, id est, axis Conicæ actionis jam descripta: ad illius umbilicorum intervallum, ut axis *ab* ad umbilicorum intervallum *sh*, & propterea figura jam descripta similis est figuræ *apb*. Transit autem hæc figura per punctum *P*, eo quod triangulum *PSH* simile sit triangulo *psh*; & quia *VH* æquatur ipsius axi & *VS* bisecatur perpendiculariter a recta *TR* tangit eadem rectam *TR*.   *Q. E. F.* Page 67

*A datis tribus punctis ad quartum non datum inflectere tres rectas quarum differentiæ vel dantur vel nullæ sunt.*

Cas. 1. Sunto puncta illa data A , B , C & punctum quartum Z , quod invenire oportet: Ob datam differentiam linearum AZ , BZ , locabitur punctum Z in Hyperbola cujus umbilici sunt A & B , & axis transversus differentia illa data. Sit axis ille MN . Cape PM ad MA ut est MN ad AB , & erecto PR perpendiculari ad AB , demissoq; ZR perpendiculari ad PR , erit ex natura hujus Hyperbolæ ZR ad AZ ut est MN ad AB . Simili discursu punctum Z locabitur in alia Hyperbola, cujus umbilici sunt A , C & axis transversus differentia inter AZ & CZ , duciq; potest QS ipsi AC perpendicularis, ad quam si ab Hyperbolæ hujus puncto quovis Z demittatur normalis ZS , hæc fuerit ad AZ ut est differentia inter AZ & CZ ad AC . Dantur ergo rationes ipsarum ZR & ZS ad AZ , & idcirco datur earundem ZR & ZS ratio ad invicem; adeoq; rectis RP , SQ concurrentibus in T , locabitur punctum Z in recta TZ positione data. Eadem Methodo per Hyperbolam tertiam, cujus umbilici sunt B & C & axis transversus differentia rectarum BZ , CZ , inveniri potest alia recta in qua punctum Z locatur. Habitis autem duobus locis rectilineis, habetur punctum quæsitum Z in earum intersectione,   Q. E. I.

*Cas. 2.* Si duæ ex tribus lineis, puta *AZ* & *BZ* æquantur, punctum *Z* locabitur in perpendiculo bisecante distantiam *AB*, & locus alius rectilineus invenietur ut supra.   *Q. E. I.* Page 68

*Cas. 3.* Si omnes tres æquantur, locabitur punctum *Z* in centro circuli per puncta *A*, *B*, *C* transeuntis.   *Q. E. I.*

Solvitur etiam hoc Lemma problematicum per Librum. Tactionum *Apollonii* a *Vieta* restitutum.

*Trajectoriam circa datum umbilicum describere, quæ transibit per puncta data & rectas positione datas continget.*

Detur umbilicus *S*, punctum *P*, & tangens *TR*, & inveniendus sit umbilicus alter *H*. Ad tangentem demitte perpendiculum *ST*, & produc idem ad *Y*, ut sit *TY* æqualis *ST*, & erit *YH* æqualis axi transverso. Junge *SP*, *HP* & erit *SP* differentia inter *HP* & axem transversum. Hoc modo si dentur plures tangentes *TR*, vel plura puncta *P*, devenietur semper ad lineas totidem *YH*, vel *PH*, a dictis punctis *Y* vel *P* ad umbilicum *H* ductas, quæ vel æquantur axibus, vel datis longitudinibus *SP* differunt ab iisdem, atq; adeo quæ vel æquantur sibi invicem, vel datas habent differentias; & inde, per Lemma superius, datur umbilicus ille alter *H*. Habitis autem umbilicis una cum axis longitudine (quæ vel est *YH*, vel si Trajectoria Ellipsis est, *PH* + *SP*; sin Hyperbola *PH* - *SP*) habetur Trajectoria.   *Q. E. I.*

Casus ubi dantur tria puncta sic solvitur expeditius. Dentur puncta *B*, *C*, *D*. Junctas *BC*, *CD* produc ad *E*, *F*, ut sit *EB* ad *EC* ut *SB* ad *SC*, & *FC* ad *FD* ut *SC* ad *SD*. Ad *EF* ductam & productam demitte normales *SG*, *BH*, inq; *GS* infinite producta cape *GA* ad *AS* & *Ga* ad *aS* ut est *HB* ad *BS*; & erit *A* Page 69 vertex, & *Aa* axis transversus Trajectoriæ: quæ, perinde ut *GA* minor, æqualis vel major fuerit quam *AS*, erit Ellipsis, Parabola vel Hyperbola; puncto *a* in primo casu cadente ad eandem partem lineæ *GK* cum puncto *A*; in secundo casu abeunte in infinitum; in tertio cadente ad contrariam partem lineæ *GK*. Nam si demittantur ad *GF* perpendicula *CI*, *DK*, erit *IC* ad *HB* ut *EC* ad *EB*, hoc est ut *SC* ad *SB*; & vicissim *IC* ad *SC* ut *HB* ad *SB*, seu *GA* ad *SA*. Et simili argumento probabitur esse *KD* ad *SD* in eadem ratione. Jacent ergo puncta *B*, *C*, *D* in Conisectione circa umbilicum *S* ita descripta, ut rectæ omnes ab umbilico *S* ad singula Sectionis puncta ductæ, sint ad perpendicula a punctis iisdem ad rectam *GK* demissa in data illa ratione.

Methodo haud multum dissimili hujus problematis solutionem tradit Clarissimus Geometra *De la Hire*, Conicorum suorum Lib. VIII. Prop. XXV.

Page 70

*Inventio orbium ubi umbilicus neuter datur.*

*Si a datæ conicæ sectionis puncto quovis*P*, ad Trapezii alicujus*ABCD*, in Conica illa sectione inscripti, latera quatuor infinite producta*AB*,*CD*,*AC*,*DB*, totidem rectæ*PQ*,*PR*,*PS*,*PT*in datis angulis ducantur, singulæ ad singula: rectangulum ductarum ad opposita duo latera*PQ*×*PR*, erit ad rectangulum ductarum ad alia duo latera opposita*PS*×*PT*in data ratione.*

*Cas. 1.* Ponamus imprimis lineas ad opposita latera ductas parallelas esse alterutri reliquorum laterum, puta *PQ* & *PR* lateri *AC*, & *PS* ac *PT* lateri *AB*. Sintq; insuper latera duo ex oppositis, puta *AC* & *BD*, parallela. Et recta quæ bisecat parallela illa latera erit una ex diametris Conicæ sectionis, & bisecabit etiam *RQ*. Sit *O* punctum in quo *RQ* bisecatur, & erit *PO* ordinatim applicata ad diametrum illam. Produc *PO* ad *K* ut sit *OK* æqualis *PO*, & erit *OK* ordinatim applicata ad contrarias partes diametri. Cum igitur puncta *A*, *B*, *P* & *K* sint ad Conicam sectionem, & *PR* secet *AB* in dato angulo, erit (per Prop. 17 & 18 Lib. III *Apollonii*) rectangulum *PQK* ad rectangulum *AQB* in data ratione. Sed *QK* & *PR* æquales sunt, utpote æqualium *OK*, *OP*, & *OQ*, *OR* differentiæ, & inde etiam Page 71 rectangula *PQK* & *PQ* × *PR* æqualia sunt; atq; adeo rectangulum *PQ* × *PR* est ad rectangulum *AQB*, hoc est ad rectangulum *PS* × *PT* in data ratione.   *Q. E. D.*

Cas. 2. Ponamus jam Trapezii latera opposita AC & BD non esse parallela. Age Bd parallelam AC & occurrentem tum rectæ ST in t , tum Conicæ sectioni in d . Junge Cd secantem PQ in r , & ipsi PQ parallelam age DM secantem Cd in M & AB in N . Jam ob similia triangula BTt , DBN , est Bt seu PQ ad Tt ut DN ad NB . Sic & Rr est ad AQ seu PS ut DM ad AN . Ergo ducendo antecedentes in antecedentes & consequentes in consequentes, ut rectangulum PQ in Rr est ad rectangulum Tt in PS , ita rectangulum NDM est ad rectangulum ANB , & (per Cas. 1) ita rectangulum QPr est ad rectangulum SPt , ac divisim ita rectangulum QPR est ad rectangulum PS × PT .   Q. E. D.

*Cas. 3.* Ponamus deniq; lineas quatuor *PQ*, *PR*, *PS*, *PT* non esse parallelas lateribus *AC*, *AB*, sed ad ea utcunq; inclinatas. Earum vice age *Pq*, *Pr* parallelas ipsi *AC*; & *Ps*, *Pt* parallelas ipsi *AB*; & propter datos angulos triangulorum *PQq*, *PRr*, *PSs*, *PTt*, dabuntur rationes *PQ* ad *Pq*, *PR* ad *Pr*, *PS* ad *Ps* & *PT* ad *Pt*, atq; adeo rationes compositæ *PQ* in *PR* ad *Pq* in *Pr*, & *PS* in *PT* ad *Ps* in *Pt*. Sed per superius demonstrata, ratio *Pq* in *Pr* ad *Ps* in *Pt* data est: Ergo & ratio *PQ* in *PR* ad *PS* in *PT*.   *Q. E. D.* Page 72

*Iisdem positis, si rectangulum ductarum ad opposita duo latera Trapezii*PQ*×*PR*sit ad rectangulum ductarum ad reliqua duo latera*PS*×*PT*in data ratione; punctum*P*, a quo lineæ ducuntur, tanget Conicam sectionem circa Trapezium descriptam.*

Per puncta *A*, *B*, *C*, *D* & aliquod infinitorum punctorum *P*, puta *p*, concipe Conicam sectionem describi: dico punctum *P* hanc semper tangere. Si negas, junge *AP* secantem hanc Conicam sectionem alibi quam in *P* si fieri potest, puta in *b*. Ergo si ab his punctis *p* & *b* ducantur in datis angulis ad latera Trapezii rectæ *pq*, *pr*, *ps*, *pt* & *bk*, *b*r, *bſ*, *bd*; erit ut *bk* × *b*r ad *bd* × *bſ* ita (per Lemma XVII) *pq* × *pr* ad *ps* × *pt* & ita (per hypoth.) *PQ* × *PR* ad *PS* × *PT*. Est & propter similitudinem Trapeziorum *bkAſ*, *PQAS*, ut *bk* ad *bſ* ita *PQ* ad *PS*. Quare applicando terminos prioris propositionis ad terminos correspondentes hujus, erit *b*r ad *bd* ut *PR* ad *PT*. Ergo Trapezia æquiangula *D*r*bd*, *DRPT* similia sunt, & eorum diagonales *Db*, *DP* propterea coincidunt. Incidit itaq; *b* in intersectionem rectarum *AP*, *DP* adeoq; coincidit cum puncto *P*. Quare punctum *P*, ubicunq; sumatur, incidit in assignatam Conicam sectionem.   *Q. E. D.*

Corol. Hinc si rectæ tres PQ , PR , PS a puncto communi P ad alias totidem positione datas rectas AB , CD , AC , singulæ ad singulas, in datis angulis ducantur, sitq; rectangulum sub duabus ductis PQ × PR ad quadratum tertii, PS quad. in data ratione: punctum Page 73 P , a quibus rectæ ducuntur, locabitur in sectione Conica quæ tangit lineas AB , CD in A & C & contra. Nam coeat linea BD cum linea AC manente positione trium AB , CD , AC ; dein coeat etiam linea PT cum linea PS : & rectangulum PS × PT evadet PS quad. rectæq; AB , CD quæ curvam in punctis A & B , C & D secabant, jam Curvam in punctis illis coeuntibus non amplius secare possunt sed tantum tangent.

Nomen Conicæ sectionis in hoc Lemmate late sumitur, ita ut sectio tam rectilinea per verticem Coni transiens, quam circularis basi parallela includatur. Nam si punctum *p* incidit in rectam, qua quævis ex punctis quatuor *A*, *B*, *C*, *D* junguntur, Conica sectio vertetur in geminas rectas, quarum una est recta illa in quam punctum *p* incidit, & altera recta qua alia duo ex punctis quatuor junguntur. Si trapezii anguli duo oppositi simul sumpti æquentur duobus rectis, & lineæ quatuor *PQ*, *PR*, *PS*, *PT* ducantur ad latera ejus vel perpendiculariter vel in angulis quibusvis æqualibus, sitq; rectangulum sub duabus ductis *PS* × *PR* æquale rectangulo sub duabus aliis *PS* × *PT*, Sectio conica evadet Circulus. Idem fiet si lineæ quatuor ducantur in angulis quibusvis & rectangulum sub duabus ductis *PQ* × *PR* sit ad rectangulum sub aliis duabus *PS* × *PT* ut rectangulum sub sinubus angulorum *S*, *T*, in quibus duæ ultimæ *PS*, *PT* ducuntur, ad rectangulum sub sinubus angulorum *Q*, *R*, in quibus duæ primæ *PQ*, *PR* ducuntur. Cæteris in casibus Locus puncti *P* erit aliqua trium figurarum quæ vulgo nominantur Sectiones Conicæ. Vice autem Trapezii *ABCD* substitui potest quadrilaterum cujus latera duo opposita se mutuo instar diagonalium decussant. Sed & e punctis quatuor *A*, *B*, *C*, *D* possunt unum vel duo abire in infinitum, eoq; pacto latera figuræ quæ ad puncta illa convergunt, Page 74 evadere parallela: quo in casu sectio conica transibit per cætera puncta, & in plagas parallelarum abibit in infinitum.

*Invenire punctum*P*, a quo si rectæ quatuor*PQ*,*PR*,*PS*,*PT*ad alias totidem positione datas rectas*AB*,*CD*,*AC*,*BD*singulæ ad singulas in datis angulis ducantur, rectangulum sub duabus ductis,*PQ*×*PR*, sit ad rectangulum sub aliis duabus,*PS*×*PT*, in data ratione.*

Lineæ *AB, CD*, ad quas rectæ duæ *PQ*, *PR*, unum rectangulorum continentes ducuntur, conveniant cum aliis duabus positione datis lineis in punctis *A*, *B*, *C*, *D*. Ab eorum aliquo *A* age rectam quamlibet *AH*, in qua velis punctum *P* reperiri. Secet ea lineas oppositas *BD*, *CD*, nimirum *BD* in *H* & *CD* in *I*, & ob datos omnes angulos figuræ, dabuntur rationes *PQ* ad *PA* & *PA* ad *PS*, adeoq; ratio *PQ* ad *PS*. Auferendo hanc a data ratione *PQ* × *PR* ad *PS* × *PT*, dabitur ratio *PR* ad *PT*, & addendo datas rationes *PI* ad *PR*, & *PT* ad *PH* dabitur ratio *PI* ad *PH* atq; adeo punctum *P*.   *Q. E. I.*

*Corol. 1.* Hinc etiam ad Loci punctorum infinitorum *P* punctum quodvis *D* tangens duci potest. Nam chorda *PD* ubi puncta *P* ac *D* conveniunt, hoc est, ubi *AH* ducitur per punctum *D*, tangens evadit. Quo in casu, ultima ratio evanescentium *IP* & *PH* invenietur ut supra. Ipsi igitur *AD* duc parallelam *CF*, occurrentem *BD* in *F*, & in ea ultima ratione sectam in *E*, Page 75 & *DE* tangens erit, propterea quod *CF* & evanescens *IH* parallelæ sunt, & in *E* & *P* similiter sectæ.

Corol. 2. Hinc etiam Locus punctorum omnium P definiri potest. Per quodvis punctorum A , B , C , D , puta A , duc Loci tangentem AE , & per aliud quodvis punctum B duc tangenti parallelam BF occurrentem Loco in F . Invenietur autem punctum F per Lemma superius. Biseca BF in G , & acta AG diameter erit ad quam BG & FG ordinatim applicantur. Hæc AG occurrat Loco in H , & erit AH latus transversum, ad quod latus rectum est ut BGq. ad AGH . Si AG nullibi occurrit Loco, linea AH existente infinita, Locus erit Parabola & latus rectum ejus BGq. ÷ AG . Sin ea alicubi occurrit, Locus Hyperbola erit ubi puncta A & H sita sunt ad easdem partes ipsius G : & Ellipsis, ubi G intermedium est, nisi forte angulus AGB rectus sit & insuper BG quad. æquale rectangulo AGH , quo in casu circulus habebitur.

Atq; ita Problematis veterum de quatuor lineis ab *Euclide* incæpti & ab *Apollonio* continuati non calculus, sed compositio Geometrica, qualem Veteres quærebant, in hoc Corollario exhibetur.

*Si parallelogrammum quodvis*ASPQ*angulis duobus oppositis*A*&*P*tangit sectionem quamvis Conicam in punctis*A*&*P*, & lateribus unius angulorum illorum infinite productis*AQ*,*AS*occurrit eidem sectioni Conicæ in*B*&*C*; a punctis autem Page 76 occursuum*B*&*C*ad quintum quodvis sectionis Conicæ punctum*D*agantur rectæ duæ*BD*,*CD*occurrentes alteris duobus infinite productis parallelogrammi lateribus*PS*,*PQ*in*T*&*R*: erunt semper abscissæ laterum partes*PR*&*PT*ad invicem in data ratione. Et contra, si partes illæ abscissæ sunt ad invicem in data ratione, punctum*D*tanget Sectionem Conicam per puncta quatuor*A*,*B*,*P*,*C*transeuntem.*

Cas. 1. Jungantur BP , CP & a puncto D agantur rectæ duæ DG , DE , quarum prior DG ipsi AB parallela sit & occurrat PB , PQ , CA in H , I , G ; altera DE parallela sit ipsi AC & occurrat PC , PS , AB in F , K , E : & erit (per Lemma XVII.) rectangulum DE × DF ad rectangulum DG × DH in ratione data. Sed est PQ ad DE seu IQ , ut PB ad HB , adeoq; ut PT ad DH ; & vicissim PQ ad PT ut DE ad DH . Est & PR ad DF ut RC ad DC , adeoq; ut IG vel PS ad DG , & vicissim PR ad PS ut DF ad DG ; & conjunctis rationibus fit rectangulum PQ × PR ad rectangulum PS × PT ut rectangulum DE × DF ad rectangulum DG × DH , atq; adeo in data ratione. Sed dantur PQ & PS & propterea ratio PR ad PT datur.   Q. E. D.

*Cas. 2.* Quod si *PR* & *PT* ponantur in data ratione ad invicem, tunc simili ratiocinio regrediendo, sequetur esse rectangulum *DE* × *DF* ad rectangulum *DG* × *DH* in ratione data, adeoq; punctum *D* (per Lemma XVIII.) contingere Conicam sectionem transeuntem per puncta *A*, *B*, *P*, *C*.   *Q. E. D.*

*Corol. 1.* Hinc si agatur *BC* secans *PQ* in *r*, & in *PT* capiatur *Pt* in ratione ad *Pr* quam habet *PT* ad *PR*, erit *Bt* Tangens Page 77 Conicæ sectionis ad punctum *B*. Nam concipe punctum *D* coire cum puncto *B* ita ut, chorda *BD* evanescente, *BT* Tangens evadet; & *CD* ac *BT* coincident cum *CB* & *Bt*.

*Corol. 2.* Et vice versa si *Bt* sit Tangens, & ad quodvis Conicæ sectionis punctum *D* conveniant *BD*, *CD* erit *PR* ad *PT* ut *Pr* ad *Pt*. Et contra, si sit *PR* ad *PT* ut *Pr* ad *Pt*, convenient *BD*, *CD* ad Conicæ sectionis punctum aliquod *D*.

*Corol. 3.* Conica sectio non secat Conicam sectionem in punctis pluribus quam quatuor. Nam, si fieri potest, transeant duæ Conicæ sectiones per quinq; puncta *A*, *B*, *C*, *D*, *P*, easq; secet recta *BD* in punctis *D*, *d*, & ipsam *PQ* secet recta *Cd* in r. Ergo *PR* est ad *PT* ut *P*r ad *PT*, hoc est, *PR* & *P*r sibi invicem æquantur, contra Hypothesin.

*Si recta duæ mobiles & infinitæ*BM*,*CM*per data puncta*B*,*C*, ceu polos ductæ, concursu suo*M*describant tertiam positione datam rectam*MN*; & aliæ duæ infinitæ rectæ*BD*,*CD*cum prioribus duabus ad puncta illa data*B*,*C*, datos angulos*MBD*,*MCD*efficientes ducantur; dico quod hæ duæ*BD*,*CD*concursu suo*D*describent sectionem Page 78 Conicam. Et vice versa, si rectæ*BD*,*CD*concursu suo*D*describant Sectionem Conicam per puncta*B*,*C*,*A*transeuntem, & harum concursus tunc incidit in ejus punctum aliquod*A*, cum alteræ duæ*BM*,*CM*coincidunt cum linea*BC*, punctum*M*continget rectam positione datam.*

Nam in recta *MN* detur punctum *N*, & ubi punctum mobile *M* incidit in immotum *N*, incidat punctum mobile *D* in immotum *P*. Junge *CN*, *BN*, *CP*, *BP*, & a puncto *P* age rectas *PT*, *PR* occurrentes ipsis *BD*, *CD* in *T* & *R*, & facientes angulum *BPT* æqualem angulo *BNM* & angulum *CPR* æqualem angulo *CNM*. Cum ergo (ex Hypothesi) æquales sint anguli *MBD*, *NBP*, ut & anguli *MCD*, *NCP*: aufer communes *NBD* & *MCP*, & restabunt æquales *NBM* & *PBT*, *NCM* & *PCR*: adeoq; triangula *NBM*, *PBT* similia sunt, ut & triangula *NCM*, *PCR*. Quare *PT* est ad *NM* ut *PB* ad *NB*, & *PR* ad *NM* ut *PC* ad *NC*. Ergo *PT* & *PR* datam habent rationem ad *NM*, proindeq; datam rationem inter se, atq; adeo, per Lemma XX, punctum *P* (perpetuus rectarum mobilum *BT* & *CR* concursus) contingit sectionem Conicam.   *Q. E. D.*

Et contra, si punctum *D* contingit sectionem Conicam transeuntem per puncta *B*, *C*, *A*, & ubi rectæ *BM*, *CM* coincidunt cum recta *BC*, punctum illud *D* incidit in aliquod sectionis punctum Page 79 *A*; ubi vero punctum *D* incidit successive in alia duo quævis sectionis puncta *p*, *P*, punctum mobile *M* incidit successive in puncta immobilia *n*, *N*: per eadem *n*, *N* agatur recta *nN*, & hæc erit Locus perpetuus puncti illius mobilis *M*. Nam, si fieri potest, versetur punctum *M* in linea aliqua curva. Tanget ergo punctum *D* sectionem Conicam per puncta quinq; *C*, *p*, *P*, *B*, *A*, transeuntem, ubi punctum *M* perpetuo tangit lineam curvam. Sed & ex jam demonstratis tanget etiam punctum *D* sectionem Conicam per eadem quinq; puncta *C*, *p*, *P*, *B*, *A*, transeuntem, ubi punctum *M* perpetuo tangit lineam rectam. Ergo duæ sectiones Conicæ transibunt per eadem quinq; puncta, contra Corol. 3. Lem. XX. Igitur punctum *M* versari in linea curva absurdum est.   *Q. E. D.*

*Trajectoriam per data quinq; puncta describere.*

Dentur puncta quinq; *A*, *B*, *C*, *D*, *P*. Ab eorum aliquo *A* ad alia duo quævis *B*, *C*, quæ poli nominentur, age rectas *AB*, *AC* hisq; parallelas *TPS*, *PRQ* per punctum quartum *P*. Deinde a polis duobus *B*, *C* age per punctum quintum *D* infinitas duas *BDT*, *CRD*, novissime ductis *TPS*, *PRQ* (priorem priori & posteriorem posteriori) occurrentes in *T* & *R*. Deniq; de rectis *PT*, *PR*, acta recta *tr* ipsi *TR* parallela, abscinde Page 80 quasvis *Pt*, *Pr* ipsis *PT*, *PR* proportionales, & si per earum terminos *t*, *r* & polos *B*, *C* actæ *Bt*, *Cr* concurrant in *d*, locabitur punctum illud *d* in Trajectoria quæsita. Nam punctum illud *d* (per Lem. XX) versatur in Conica Sectione per puncta quatuor *A*, *B*, *P*, *C* transeunte; & lineis *Rr*, *Tt* evanescentibus, coit punctum *d* cum puncto *D*. Transit ergo sectio Conica per puncta quinq; *A*, *B*, *C*, *D*, *P*.   *Q. E. D.*

E punctis datis junge tria quævis A , B , C , & circum duo eorum B , C ceu polos, rotando angulos magnitudine datos ABC , ACB , applicentur crura BA , CA primo ad punctum D deinde ad punctum P , & notentur puncta M , N in quibus altera crura BL , CL casu utroq; se decussant. Agatur recta infinita MN , & rotentur anguli illi mobiles circum polos suos B , C , ea lege ut Page 81 crurum BL , CL vel BM , CM intersectio, quæ jam sit m , incidat semper in rectam illam infinitam MN , & crurum BA , CA , vel BD , CD intersectio, quæ jam sit d , Trajectoriam quæsitam PADdB delineabit. Nam punctum d per Lem. XXI continget sectionem Conicam per puncta B , C transeuntem & ubi punctum m accedit ad puncta L , M , N , punctum d (per constructionem) accedet ad puncta A , D , P . Describetur itaq; sectio Conica transiens per puncta quinq; A , B , C , D , P .   Q. E. F.

*Corol. 1.* Hinc rectæ expedite duci possunt quæ trajectoriam in punctis quibusvis datis *B*, *C* tangent. In casu utrovis accedat punctum *d* ad punctum *C* & recta *Cd* evadet tangens quæsita.

*Corol. 2.* Unde etiam Trajectoriarum centra, diametri & latera recta inveniri possunt, ut in Corollario secundo Lemmatis XIX.

Constructio in casu priore evadet paulo simplicior jungendo *BP*, & in ea si opus est producta, capiendo *Bp* ad *BP* ut est *PR* ad *PT*, & per *p* agendo rectam infinitam *pD* ipsi *SPT* parallelam, inq; ea capiendo semper *pD* æqualem *Pr*, & agendo rectas *BD*, *Cr* concurrentes in *d*. Nam cum sint *Pr* ad *Pt*, *PR* ad *PT*, *pB* ad *PB*, *pD* ad *Pt* in eadem ratione, erunt *pD* & *Pr* semper æquales. Hac methodo puncta Trajectoriæ inveniuntur expeditissime, nisi mavis Curvam, ut in casu secundo, describere Mechanice.

*Trajectoriam describere quæ per data quatuor puncta transibit, & rectam continget positione datam.*

*Cas. 1.* Dentur tangens *HB*, punctum contactus *B*, & alia tria puncta *C*, *D*, *P*. Junge *BC*, & agendo *PS* parallelam Page 82 *BH*, & *PQ* parallelam *BC*, comple parallelogrammum *BSPQ*. Age *BD* secantem *SP* in *T*, & *CD* secantem *PQ* in *R*. Deniq; agendo quamvis *tr* ipsi *TR* parallelam, de *PQ*, *PS* abscinde *Pr*, *Pt* ipsis *PR*, *PT* proportionales respective; & actarum *Cr*, *Bt* concursus *d* (per Corol. 2. Lem. XX) incidet semper in Trajectoriam describendam.

Revolvatur tum angulus magnitudine datus *CBH* circa polum *B*, tum radius quilibet rectilineus & utrinq; productus *DC* circa polum *C*. Notentur puncta *M*, *N* in quibus anguli crus *BC* secat radium illum ubi crus alterum *BH* concurrit cum eodem radio in punctis *D* & *P*. Deinde ad actam infinitam *MN* concurrant perpetuo radius ille *CP* vel *CD* & anguli crus *CB*, & Page 83 cruris alterius *BH* concursus cum radio delineabit Trajectoriam quæsitam.

Nam si in constructionibus Problematis superioris accedat punctum *A* ad punctum *B*, lineæ *CA* & *CB* coincident, & linea *AB* in ultimo suo situ fiet tangens *BH*, atq; adeo constructiones ibi positæ evadent eædem cum constructionibus hic descriptis. Delineabit igitur cruris *BH* concursus cum radio sectionem Conicam per puncta *C*, *D*, *P* transeuntem, & rectam *BH* tangentem in puncto *B*.   *Q. E. F.*

*Cas. 2.* Dentur puncta quatuor *B*, *C*, *D*, *P* extra tangentem *HI* sita. Junge bina *BD*, *CP* concurrentia in *G*, tangentiq; occurrentia in *H* & *I*. Secetur tangens in *A*, ita ut sit *HA* ad *AI*, ut est rectangulum sub media proportionali inter *BH* & *HD* & media proportionali inter *CG* & *GP*, ad rectangulum sub media proportionali inter *PI* & *IC* & media proportionali inter *DG* & *GB*, & erit *A* punctum contactus. Nam si rectæ *PI* parallela *HX* trajectoriam secet in punctis quibusvis *X* & *Y*: erit (ex Conicis) *HA quad.* ad *AI quad.* ut rectangulum *XHY* ad rectangulum *BHD* (seu rectangulum *CGP* ad rectangulum *DGB*) & rectangulum *BHD* ad rectangulum *PIC* conjunctim. Invento autem contactus puncto *A*, describetur Trajectoria ut in casu primo.   *Q. E. F.*   Capi autem potest punctum *A* vel inter puncta *H* & *I*, vel extra; & perinde Trajectoria dupliciter describi. Page 84

*Trajectoriam describere quæ transibit per data tria puncta & rectas duas positione datas continget.*

Dentur tangentes HI , KL & puncta B , C , D . Age BD tangentibus occurrentem in punctis H , K & CD tangentibus occurrentem in punctis I , L . Actas ita seca in R & S , ut sit HR ad KR ut est media

proportionalis inter BH & HD ad mediam proportionalem inter BK & KD ; & IS ad LS ut est media proportionalis inter CI & ID ad mediam proportionalem inter CL & LD . Age RS secantem tangentes in A & P , & erunt A & P puncta contactus. Nam si A & P sint Puncta contactuum ubivis in tangentibus sita, & per punctorum H , I , K , L quodvis I agatur recta IY tangenti KL parallela & occurrens curvæ in X & Y , & in ea sumatur IZ media proportionalis inter IX & IY : erit, ex Conicis, rectangulum XIY (seu IZ quad. ) ad LP quad. ut rectangulum CID ad rectangulum CLD ; id est (per constructionem) ut SI quad. ad SL quad. atq; adeo IZ ad LP ut SI ad SL . Jacent ergo puncta S , P , Z in una recta. Porro tangentibus concurrentibus in G , erit (ex Conicis) rectangulum XIY (seu IZ quad. ) ad IA quad. ut GP quad. ad GA quad. , adeoq; IZ ad IA ut GP ad GA . Jacent ergo puncta P , Z & A in una recta, adeoq; puncta S , P & A sunt in una recta. Et eodem argumento probabitur quod puncta R , P & A sunt in una recta. Jacent igitur puncta contactus A & P in recta SR . Page 85 Hisce autem inventis, Trajectoria describetur ut in casu primo Problematis superioris.   Q. E. F.

*Figuras in alias ejusdem generis figuras mutare.*

Transmutanda sit figura quævis HGI . Ducantur pro lubitu rectæ duæ parallelæ AO , BL tertiam quamvis positione datam AB secantes in A & B , & a figuræ puncto quovis G , ad rectam AB ducatur GD , ipsi OA parallela. Deinde a puncto aliquo O in linea OA dato ad punctum D ducatur recta OD , ipsi BL occurrens in d ; & a puncto occursus erigatur recta gd , datum quemvis angulum cum recta BL continens, atq; eam habens rationem ad Od quam habet GD ad OD ; & erit g punctum in figura nova hgi puncto G respondens. Eadem ratione puncta singula figuræ primæ dabunt puncta totidem figuræ novæ. Concipe igitur punctum G motu continuo percurrere puncta omnia figuræ primæ, & punctum g motu itidem continuo percurret puncta omnia figuræ novæ & eandem describet. Distinctionis gratia nominemus DG ordinatam primam, dg ordinatam novam; BD abscissam primam, Bd abscissam novam; O polum, OD radium abscindentem, OA radium ordinatum primum & Oa (quo parallelogrammum OABa completur) radium ordinatum novum.

Dico jam quod si punctum *G* tangit rectam lineam positione datam, punctum *g* tanget etiam lineam rectam positione datam. Page 86 Si punctum *G* tangit Conicam sectionem, punctum *g* tanget etiam conicam sectionem. Conicis sectionibus hic circulum annumero. Porro si punctum *G* tangit lineam tertii ordinis Analytici, punctum *g* tanget lineam tertii itidem ordinis; & sic de curvis lineis superiorum ordinum: Lineæ duæ erunt ejusdem semper ordinis Analytici quas puncta *G*, *g* tangunt. Etenim ut est *ad* ad *OA* ita sunt *Od* ad *OD*, *dg* ad *DG*, & *AB* ad *AD*; adeoq; *AD* æqualis est *OA* × *AB* ÷ *ad* & *DG* æqualis est *OA* × *dg* ÷ *ad*. Jam si punctum *D* tangit rectam lineam, atq; adeo in æquatione quavis, qua relatio inter abscissam *AD* & ordinatam *DG* habetur, indeterminatæ illæ *AD* & *DG* ad unicam tantum dimensionem ascendunt, scribendo in hac æquatione *OA* × *AB* ÷ *ad* pro *AD*, & *OA* × *dg* ÷ *ad* pro *DG*, producetur æquatio nova, in qua abscissa nova *ad* & ordinata noua *dg* ad unicam tantum dimensionem ascendent, atq; adeo quæ designat lineam rectam. Sin *AD* & *DG* (vel earum alterutra) ascendebant ad duas dimensiones in æquatione prima, ascendent itidem *ad* & *dg* ad duas in æquatione secunda. Et sic de tribus vel pluribus dimensionibus. Indeterminatæ *ad*, *dg* in æquatione secunda & *AD*, *DG* in prima ascendent semper ad eundem dimensionum numerum, & propterea lineæ, quas puncta *G*, *g* tangunt, sunt ejusdem ordinis Analytici.

Dico præterea quod si recta aliqua tangat lineam curvam in Page 87 figura prima; hæc recta translata tanget lineam curvam in figura nova: & contra. Nam si Curvæ puncta quævis duo accedunt ad invicem & coeunt in figura prima, puncta eadem translata coibunt in figura nova, atq; adeo rectæ, quibus hæc puncta junguntur simul, evadent curvarum tangentes in figura utraq;. Componi possent harum assertionum Demonstrationes more magis Geometrico. Sed brevitati consulo.

Igitur si figura rectilinea in aliam transmutanda est, sufficit rectarum intersectiones transferre, & per easdem in figura nova lineas rectas ducere. Sin curvilineam transmutare oportet, transferenda sunt puncta, tangentes & aliæ rectæ quarum ope Curva linea definitur. Inservit autem hoc Lemma solutioni difficiliorum Problematum, transmutando figuras propositas in simpliciores. Nam rectæ quævis convergentes transmutantur in parallelas, adhibendo pro radio ordinato primo *AO* lineam quamvis rectam, quæ per concursum convergentium transit; id adeo quia concursus ille hoc pacto abit in infinitum, lineæ autem parallelæ sunt quæ ad punctum infinite distans tendunt. Postquam autem Problema solvitur in figura nova, si per inversas operationes transmutetur hæc figura in figuram primam, habebitur Solutio quæsita.

Utile est etiam hoc Lemma in solutione Solidorum problematum. Nam quoties duæ sectiones conicæ obvenerint, quarum intersectione Problema solvi potest, transmutare licet unum earum in circulum. Recta item & sectio Conica in constructione planorum problematum vertuntur in rectam & circulum.

*Trajectoriam describere quæ per data duo puncta transibit & rectas tres continget positione datas.*

Per concursum tangentium quarumvis duarum cum se invicem, & concursum tangentis tertiæ cum recta illa, quæ per puncta duo Page 88 data transit, age rectam infinitam; eaq; adhibita pro radio ordinato primo, transmutetur figura, per Lemma superius, in figuram novam. In hac figura tangentes illæ duæ evadent parallelæ, & tangens tertia fiet parallela rectæ per puncta duo transeunti. Sunto hi , kl tangentes duæ parallelæ, ik tangens tertia, & hl recta huic parallela transiens per puncta illa a , b , per quæ Conica sectio in hac figura nova transire debet, & parallelogrammum hikl complens. Secentur rectæ hi , ik , kl in c , d & e , ita ut sit hc ad latus quadratum rectanguli ahb , ic ad id , & ke ad kd ut est summa rectarum hi & kl ad summam trium linearum quarum prima est recta ik , & alteræ duæ sunt latera quadrata rectangulorum ahb & alb : Et erunt c , d , e puncta contactus. Etenim, ex Conicis, sunt hc quadratum ad rectangulum ahb , & ic quadratum ad id quadratum, & ke quadratum ad kd quadratum, & el quadratum ad alb rectangulum in eadem ratione, & propterea hc ad latus quadratum ipsius ahb , ic ad id , ke ad kd & el ad latus quadratum ipsius alb sunt in

dimidiata illa ratione, & composite, in data ratione omnium antecedentium hi & kl ad omnes consequentes, quæ sunt latus quadratum rectanguli ahb & recta ik & latus quadratum rectanguli alb . Habentur igitur ex data illa ratione puncta contactus c , d , e , in figura nova. Per inversas operationes Lemmatis novissimi transferantur hæc puncta in figuram primam & ibi, per casum primum Problematis XIV, describetur Trajectoria.   Q. E. F.   Cæterum perinde ut puncta a , b jacent vel inter puncta h , l , vel extra, debent puncta c , d , e vel inter puncta h , i , k , l capi, vel extra. Si punctorum a , b alterutrum cadit inter puncta h , l , & alterum extra, Problema impossibile est. Page 89

*Trajectoriam describere quæ transibit per punctum datum & rectas quatuor positione datas continget.*

Ab intersectione communi duarum quarumlibet tangentium ad intersectionem communem reliquarum duarum agatur recta infinita, & eadem pro radio ordinato primo adhibita, transmutetur figura (per Lem. XXII) in figuram novam, & Tangentes binæ, quæ ad radium ordinatum concurrebant, jam evadent parallelæ. Sunto illæ *hi* & *kl*, *ik* & *hl* continentes parallelogrammum *hikl*. Sitq; *p* punctum in hac nova figura, puncto in figura prima dato respondens. Per figuræ centrum *O* agatur *pq*, & existente *Oq* æquali *Op* erit *q* punctum alterum per quod sectio Conica in hac figura nova transire debet. Per Lemmatis XXII operationem inversam transferatur hoc punctum in figuram primam, & ibi habebuntur puncta duo per quæ Trajectoria describenda est. Per eadem vero describi potest Trajectoria illa per Prob. XVII.   *Q. E. F.*

*Si rectæ duæ positione datæ*AC*,*BD*ad data puncta*A*,*B*terminentur, datamq; habeant rationem ad invicem, & recta*CD*, qua puncta indeterminata*C*,*D*junguntur secetur in ratione data in*K*: dico quod punctum*K*locabitur in recta positione data.*

Concurrant enim rectæ *AC, BD* in *E*, & in *BE* capiatur *BG* ad *AE* ut est *BD* ad *AC*, sitq; *FD* æqualis *EG*, & erit *EC* ad Page 90 *GD*, hoc est ad *EF* ut *AC* ad *BD*, adeoq; in ratione data, & propterea dabitur specie triangulum *EFC*. Secetur *CF* in *L* in ratione *CK* ad *CD*, & dabitur etiam specie triangulum *EFL*, proindeq; punctum *L* locabitur in recta *EL* positione data. Junge *LK*, & ob datam *FD* & datam rationem *LK* ad *FD*, dabitur *LK*. Huic æqualis capiatur *EH*, & erit *ELKH* parallelogrammum. Locatur igitur punctum *K* in parallelogrammi latere positione dato *HK*.   *Q. E. D.*

*Si rectæ tres tangant quamcunq; conisectionem, quarum duæ parallelæ sint ac dentur positione; dico quod sectionis semidiameter hisce duabus parallela, sit media proportionalis inter harum segmenta, punctis contactum & tangenti tertiæ interjecta.*

Sunto *AF*, *GB* parallelæ duæ Conisectionem *ADB* tangentes in *A* & *B*; *EF* recta tertia Conisectionem tangens in *I*, & occurrens prioribus tangentibus in *F* & *G*; sitq; *CD* semidiameter Figuræ tangentibus parallela: Dico quod *AF*, *CD*, *BG* sunt continue proportionales. Page 91

Nam si diametri conjugatæ *AB*, *DM* tangenti *FG* occurrant in *E* & *H*, seq; mutuo secent in *C*, & compleatur parallelogrammum *IKCL*; erit ex natura sectionum Conicarum, ut *EC* ad *CA* ita *CA* ad *LC*, & ita divisim *EC* - *CA* ad *CA* - *CL* seu *EA* ad *AL*, & composite *EA* ad *EA* + *AL* seu *EL* ut *EC* ad *EC* + *CA* seu *EB*; adeoq; (ob similitudinem triangulorum *EAF*, *ELI*, *ECH*, *EBG*) *AF* ad *LI* ut *CH* ad *BG*. Est itidem ex natura sectionum Conicarum *LI* seu *CK* ad *CD* ut *CD* ad *CH* atq; adeo ex æquo perturbate *AF* ad *CD* ut *CD* ad *BG*.   *Q. E. D.*

*Corol. 1.* Hinc si tangentes duæ *FG*, *PQ* tangentibus parallelis *AF*, *BG* occurrant in *F* & *G*, *P* & *Q*, seq; mutuo secent in *O*, erit (ex æquo perturbate) *AF* ad *BQ* ut *AP* ad *BG*, & divisim ut *FP* ad *GQ*, atq; adeo ut *FO* ad *OG*.

*Corol. 2.* Unde etiam rectæ duæ *PG*, *FQ* per puncta *P* & *G*, *F* & *Q* ductæ, concurrent ad rectam *ACB* per centrum figuræ & puncta contactuum *A*, *B* transeuntem.

*Si parallelogrammi latera quattuor infinite producta tangant sectionem quamcunq; Conicam & abscindantur ad tangentem quamvis quintam; sumantur autem abscisse terminate ad angulos oppositos parallelogrammi: dico quod abscissa unius lateris ad latus illud, ut pars lateris contermini inter punctum contactus & latus tertium, ad abscissam lateris hujus contermini.*

Tangant parallelogrammi *MIKL* latera quatuor *ML*, *IK*, Page 92 *KL*, *MI* sectionem Conicam in *A*, *B*, *C*, *D*, & secet tangens quinta *FQ* hæc latera in *F*, *Q*, *H* & *E*: dico quod sit *ME* ad *MI* ut *BK* ad *KQ* & *KH* ad *KL* ut *AM* ad *MF*. Nam per Corollarium Lemmatis superioris, est *ME* ad *EI* ut *AM* seu *BK* ad *BQ*, & componendo *ME* ad *MI* ut *BK* ad *KQ*.   Q. E. D. Item *KH* ad *HL* ut *BK* seu *AM* ad *AF*, & dividendo *KH* ad *KL* ut *AM* ad *MF*.   *Q. E. D.*

*Corol. 1.* Hinc si parallelogrammum *IKLM* datur, dabitur rectangulum *KQ* × *ME*, ut & huic æquale rectangulum *KH* × *MF*. Æquantur enim rectangula illa ob similitudinem triangulorum *KQH*, *MFE*.

*Corol. 2.* Et si sexta ducatur tangens *eq* tangentibus *KI*, *MI* occurrens in *e* & *q*, rectangulum *KQ* × *ME* æquabitur rectangulo *Kq* × *Me*, eritq; *KQ* ad *Me* ut *Kq* ad *ME*, & divisim ut *Qq* ad *Ee*.

*Corol. 3.* Unde etiam si *Eq*, *eQ* jungantur & bisecentur, & recta per puncta bisectionum agatur, transibit hæc per centrum Sectionis Conicæ. Nam cum sit *Qq* ad *Ee* ut *KQ* ad *Me*, transibit eadem recta per medium omnium *Eq*, *eQ*, *MK*; (per Lemma XXIII) & medium rectæ *MK* est centrum Sectionis.

*Trajectoriam describere quæ rectas quinq; positione datas continget.*

Dentur positione tangentes ABG , BCF , GCD , FDE , EA . Figuræ quadrilateræ sub quatuor quibusvis contentæ ABFE Page 93 diagonales AF , BE biseca, & (per Cor. 3. Lem. XXV) recta per puncta bisectionum acta transibit per centrum Trajectoriæ. Rursus figuræ quadrilateræ BGDF , sub alijs quibusvis quatuor tangentibus contentæ, diagonales (ut ita dicam) BD , GF biseca, & recta per puncta bisectionum acta transibit per centrum sectionis. Dabitur ergo centrum in concursu bisecantium. Sit illud O . Tangenti cuivis BC parallelam age KL , ad eam distantiam ut centrum O in medio inter parallelas locetur, & acta KL tanget trajectoriam describendam. Secet hæc tangentes alias quasvis duas CD , FDE in L & K . Per tangentium non parallelarum CL , FK cum parallelis CF , KL concursus C & K , F & L age CK , FL concurrentes in R , & recta OR ducta & producta secabit tangentes parallelas CF , KL in punctis contactuum. Patet hoc per Corol. 2. Lem. XXIV. Eadem methodo invenire licet alia contactuum puncta, & tum demum per Casum 1. Prob. XIV. Trajectoriam describere.   Q. E. F. Page 94

Problemata, ubi dantur Trajectoriarum vel centra vel Asymptoti includuntur in præcedentibus. Nam datis punctis & tangentibus una cum centro, dantur alia totidem puncta aliæq; tangentes a centro ex altera ejus parte æqualiter distantes. Asymptotos autem pro tangente habenda est, & ejus terminus infinite distans (si ita loqui fas sit) pro puncto contactus. Concipe tangentis cujusvis punctum contactus abire in infinitum, & tangens vertetur in Asymptoton, atq; constructiones Problematis XV & Casus primi Problematis XIV vertentur in constructiones Problematum ubi Asymptoti dantur.

Postquam Trajectoria descripta est, invenire licet axes & umbilicos ejus hac methodo. In constructione & Figura Lemmatis XXI, fac ut angulorum mobilium *PBN*, *PCN* crura *BP*, *CP* quorum concursu Trajectoria describebatur sint sibi invicem parallela, eumq; servantia situm revolvantur circa polos suos *B*, *C* in figura illa. Interea vero describant altera angulorum illorum crura *CN*, *BN* concursu suo *K* vel *k*, circulum *IBKGC*. Sit circuli hujus centrum *O*. Ab hoc centro ad Regulam *MN*, ad quam altera illa crura *CN*, *BN* interea concurrebant dum Trajectoria describebatur, demitte normalem *OH* circulo occurrentem in *K* & *L*. Et ubi Page 95 crura illa altera *CK*, *BK*concurrant ad punctum istud *K* quod Regulæ proprius est, crura prima *CP*, *BP* parallela erunt axi majori & perpendicularia minori; & contrarium eveniet si crura eadem concurrunt ad punctum remotius *L*. Unde si detur Trajectoriæ centrum, dabuntur axes. Hisce autem datis, umbilici sunt in promptu.

Axium vero quadrata sunt ad invicem ut *KH* ad *LH*, & inde facile est Trajectoriam specie datam per data quatuor puncta describere. Nam si duo ex punctis datis constituantur poli *C*, *B*, tertium dabit angulos mobiles *PCK*, *PBK*. Tum ob datam specie Trajectoriam, dabitur ratio *OH* ad *OK*, centroq; *O* & intervallo *OH* describendo circulum, & per punctum quartum agendo rectam quæ circulum illum tangat, dabitur regula *MN* cujus ope Trajectoria describatur. Unde etiam vicissim Trapezium specie datum (si casus quidam impossibiles excipiantur) in data quavis sectione Conica inscribi potest.

Sunt & alia Lemmata quorum ope Trajectoriæ specie datæ, datis punctis & tangentibus, describi possunt. Ejus generis est quod, si recta linea per punctum quodvis positione datum ducatur, quæ datam Conisectionem in punctis duobus intersecet, & intersectionum intervallum bisecetur, punctum bisectionis tanget aliam Conisectionem ejusdem speciei cum priore, atq; axes habentem prioris axibus parallelos. Sed propero ad magis utilia.

*Trianguli specie & magnitudine dati tres angulos ad rectas totidem positione datas, quæ non sunt omnes parallelæ, singulos ad singulas ponere.*

Dantur positione tres rectæ infinitæ AB , AC , BC , & oportet triangulum DEF ita locare, ut angulus ejus D lineam AB , Page 96 angulus E lineam AC , & angulus F lineam BC tangat. Super DE , DF & EF describe tria circulorum segmenta DRE , DGF , EMF , quæ capiant angulos angulis BAC , ABC , ACB æquales respective. Describantur autem hæc segmenta ad eas partes linearum DE , DF , EF ut literæ DRED eodem ordine cum literis BACB , literæ DGFD eodem cum literis ABCA , & literæ EMFE eodem cum literis ACBA in orbem redeant: deinde compleantur hæc segmenta in circulos. Secent circuli duo priores se mutuo in G , sintq; centra eorum P & Q . Junctis GP , PQ , cape Ga ad AB ut est GP ad PQ , & centro G , intervallo Ga describe circulum, qui secet circulum primum DGE in a . Jungatur tum aD secans circulum secundum DFG in b , tum aE secans circulum tertium GEc in c . Et compleatur figura ABCdef similis & æqualis figuræ abcDEF . Dico factum.

Agatur enim *Fc* ipsi *aD* occurrens in *n*. Jungantur *aG*, Page 97 *bG*, *PD*, *QD* & producatur *PQ* ad *R*. Ex constructione est angulus *EaD* æqualis angulo *CAB*, & angulus *EcF* æqualis angulo *ACB*, adeoq; triangulum *anc* triangulo *ABC* æquiangulum. Ergo angulus *anc* seu *FnD* angulo *ABC*, adeoq; angulo *FbD* æqualis est, & propterea punctum *n* incidit in punctum *b*. Porro angulus *GPQ*, qui dimidius est anguli ad centrum *GPD*, æqualis est angulo ad circumferentiam *GaD*; & angulus *GQR*, qui dimidius est complementi anguli ad centrum *GQD*, æqualis est angulo ad circumferentiam *GbD*, adeoq; eorum complementa *PQG*, *abG* æquantur, suntq; ideo triangula *GPQ*, *Gab* similia, & *Ga* est ad *ab* ut *GP* ad *PQ*; id est (ex constructione) ut *Ga* ad *AB*. Æquantur itaq; *ab* & *AB*, & propterea triangula *abc*, *ABC*, quæ modo similia esse probavimus, sunt etiam æqualia. Unde cum tangant insuper trianguli *DEF* anguli *D*, *E*, *F* trianguli *abc* latera *ab*, *ac*, *bc* respective, compleri potest figura *ABCdef* figuræ *abcDEF* similis & æqualis, atq; eam complendo solvetur Problema.   *Q. E. F.*

*Corol.* Hinc recta duci potest cujus partes longitudine datæ rectis tribus positione datis interjacebunt. Concipe Triangulum *DEF*, puncto *D* ad latus *EF* accedente, & lateribus *DE*, *DF* in directum positis, mutari in lineam rectam, cujus pars data *DE*, rectis positione datis *AB*, *AC*, & pars data *DF* rectis positione datis *AB*, *BC* interponi debet; & applicando constructionem præcedentem ad hunc casum solvetur Problema.

*Trajectoriam specie & magnitudine datam describere, cujus partes datæ rectis tribus positione datis interjacebunt.*

Describenda sit Trajectoria quæ sit similis & æqualis lineæ curvæ *DEF*, quæq; a rectis tribus *AB*, *AC*, *BC* positione datis, in Page 98 partes datis hujus partibus *DE* & *EF* similes & æquales secabitur.

Age rectas *DE*, *EF*, *DF*, & trianguli hujus *DEF* pone angulos *D*, *E*, *F* ad rectas illas positione datas: (per Lem. XXVI) Dein circa triangulum describe Trajectoriam curvæ *DEF* similem & æqualem.   *Q. E. F.*

*Trapezium specie datum describere cujus anguli ad rectas quatuor positione datas (quæ neq; omnes parallelæ sunt, neq; ad commune punctum convergunt) singuli ad singulas consistent.*

Dentur positione rectæ quatuor ABC , AD , BD , CE , quarum prima secet secundam in A , tertiam in B , & quartam in C : & describendum sit Trapezium fghi quod sit Trapezio FGHI simile, & cujus angulus f , angulo dato F æqualis, tangat rectam ABC cæteriq; anguli g , h , i cæteris angulis datis G , H , I æquales tangant cæteras lineas AD , BD , CE respective. Jungatur FH , & super FG , FH , FI describantur totidem circulorum segmenta FSG , FTH , FVI ; quorum primum FSG capiat angulum æqualem angulo BAD , secundum FTH capiat angulum æqualem angulo CBE ; ac tertium FVI capiat angulum æqualem angulo ACE . Page 99 Describi autem debent segmenta ad eas partes linearum FG , FH , FI , ut literarum FSGF idem sit ordo circularis qui literarum BADB , utq; literæ FTHF eodem ordine cum literis CBEC , & literæ FVIF eodem cum literis ACEA in orbem redeant. Compleantur segmenta in circulos, sitq; P centrum circuli primi FSG , & Q centrum secundi FTH . Jungatur & utrinq; producatur PQ , & in ea capiatur QR in ea ratione ad PQ quam habet BC ad AB . Capiatur autem QR ad eas partes puncti Q ut literarum P , Q , R idem sit ordo circularis atq; literarum A , B , C : centroq; R & intervallo RF describatur circulus quartus FNc secans circulum tertium FVI in c . Jungatur Fc secans circulum primum in a & secundum in b . Agantur aG , bH , cI , & figuræ abcFGHI similis constituatur figura ABCfghi : Eritq; Trapezium fghi illud ipsum quod constituere oportuit.

Secent enim circuli duo primi *FSG*, *FTH* se mutuo in *K*. Jungantur *PK*, *QK*, *RK*, *aK*, *bK*, *cK* & producatur *QP* ad Page 100 *L*. Anguli ad circumferentias *FaK*, *FbK*, *FcK*, sunt semisses angulorum *FPK*, *FQK*, *FRK* ad centra, adeoq; angulorum illorum dimidiis *LPK*, *LQK*, *LRK* æquales. Est ergo figura *PQRK* figuræ *abcK* æquiangula & similis, & propterea *ab* est ad *bc* ut *PQ* ad *QR*, id est ut *AB* ad *BC*. Angulis insuper *FaG*, *FbH*, *FcI* æquantur *fAg*, *fBh*, *fCi* per constructionem. Ergo figuræ *abcFGHI* figura similis *ABCfghi* compleri potest. Quo facto Trapezium *fghi* constituetur simile Trapezio *FGHI* & angulis suis *f*, *g*, *h*, *i* tanget rectas *AB*, *AD*, *BD*, *CE*.   *Q. E. F.*

*Corol.* Hinc recta duci potest cujus partes, rectis quatuor positione datis dato ordine interjectæ, datam habebunt proportionem ad invicem. Augeantur anguli *FGH*, *GHI* usq; eo, ut rectæ *FG*, *GH*, *HI* in directum jaceant, & in hoc casu construendo Problema, ducetur recta *fghi* cujus partes *fg*, *gh*, *hi*, rectis quatuor positione datis *AB* & *AD*, *AD* & *BD*, *BD* & *CE* interjectæ, erunt ad invicem ut lineæ *FG*, *GH*, *HI*, eundemq; servabunt ordinem inter se. Idem vero sic fit expeditius. Page 101

Producantur *AB* ad *K*, & *BD* ad *L*, ut sit *BK* ad *AB* ut *HI* ad *GH*; & *DL* ad *BD* ut *GI* ad *FG*; & jungatur *KL* occurrens rectæ *CE* in *i*. Producatur *iL* ad *M*, ut sit *LM* ad *iL* ut *GH* ad *HI*, & agatur tum *MQ* ipsi *LB* parallela rectæq; *AD* occurrens in *g*, tum *gi* secans *AB*, *BD* in *f*, *h*. Dico factum.

Secet enim *Mg* rectam *AB* in *Q*, & *AD* rectam *KL* in *S*, & agatur *AP*, quæ sit ipsi *BD* parallela & occurrat *iL* in *P*, & erunt *Mg* ad *Lh* (*Mi* ad *Li*, *gi* ad *hi*, *AK* ad *BK*) & *AP* ad *BL* in eadem ratione. Secetur *DL* in *R* ut sit *DL* ad *RL* in eadem illa ratione, & ob proportionales *gS* ad *gM*, *AS* ad *AP* & *DS* ad *DL*, erit ex æquo ut *gS* ad *Lh* ita *AS* ad *BL* & *DS* ad *RL*; & mixtim, *BL* - *RL* ad *Lh* - *BL* ut *AS* - *DS* ad *gS* - *AS*. Id est *BR* ad *Bh* ut *AD* ad *Ag*, adeoq; ut *BD* ad *gQ*. Et vicissim *BR* ad *BD* ut *Bh* ad *gQ* seu *fh* ad *fg*. Sed ex constructione est *BR* ad *BD* ut *FH* ad *FG*. Ergo *fh* est ad *fg* ut *FH* ad *FG*. Cum igitur sit etiam *ig* ad *ih* ut *Mi* ad *Li*, id est, ut *IG* ad *IH*, patet lineas *FI*, *fi* in *g* & *h*, *G* & *H* similiter sectas esse.   *Q. E. F.*

In constructione Corollarii hujus postquam ducitur *LK* secans Page 102 *CE* in *i*, producere licet *iE* ad *V*, ut sit *EV* ad *iE* ut *FH* ad *HI*, & agere *Vf* parallelam ipsi *BD*. Eodem recidit si centro *i*, intervallo *IH* describatur circulus secans *BD* in *X*, producatur *iX* ad *Y*, ut sit *iY* æqualis *IF*, & agatur *Yf* ipsi *BD* parallela.

*Trajectoriam specie datam describere, quæ a rectis quatuor positione datis in partes secabitur, ordine, specie & proportione datas.*

Describenda sit Trajectoria *fghi*, quæ similis sit lineæ curvæ *FGHI*, & cujus partes *fg*, *gh*, *hi* illius partibus *FG*, *GH*, *HI* similes & proportionales, rectis *AB* & *AD*, *AD* & *BD*, *BD* & *EC* positione datis, prima primis, secunda secundis, tertia tertiis interjaceant. Actis rectis *FG*, *GH*, *HI*, *FI*, describatur Trapezium *fghi* quod sit Trapezio *FGHI* simile & cujus anguli *f*, *g*, *h*, *i* tangant rectas illas positione datas *AB*, *AD*, *BD*, *CE* singuli singulas dicto ordine. Dein (per Lem. XXVII) circa hoc Trapezium describatur Trajectoria curvæ lineæ *FGHI* consimilis. Page 103

Construi etiam potest hoc Problema ut sequitur. Junctis *FG*, *GH*, *HI*, *FI* produc *GF* ad *V*, jungeq; *FH*, *IG*, & angulis *FGH*, *VFH* fac angulos *CAK*, *DAL* æquales. Concurrant *AK*, *AL* cum recta *BD* in *K* & *L*, & inde aguntur *KM*, *LN*, quarum *KM* constituat angulum *AKM* æqualem angulo *GHI*, sitq; ad *AK* ut est *HI* ad *GH*; & *LN* constituat angulum *ALN* æqualem angulo *FHI*, sitq; ad *AL* ut *HI* ad *FH*. Ducantur autem *AK*, *KM*, *AL*, *LN* ad eas partes linearum *AD*, *AK*, *AL*, ut literæ *CAKMC*, *ALK*, *DALND* eodem ordine cum literis *FGHIF* in orbem redeant, & acta *MN* occurrat rectæ *CE* in *i*. Fac angulum *iEP* æqualem angulo *IGF*, sitq; *PE* ad *Ei* ut *FG* ad *GI*; & per *P* agatur *QPf*, quæ cum recta *AED* contineat angulum *PQE* æqualem angulo *FIG*, rectæq; *AB* occurrat in *f*, & jungatur *fi*. Agantur autem *PE* & *PQ* ad eas partes linearum *CE*, *PE*, ut literarum *PEiP* & *PEQP* idem sit ordo circularis qui literarum *FGHIF*, & si super linea *fi* eodem quoq; literarum ordine constituatur Trapezium *fghi* Trapezio *FGHI* simile, & circumscribatur Trajectoria specie data, solvetur Problema.

Hactenus de orbibus inveniendis. Superest ut motus corporum orbibus inventis determinemus.

Page 104

*De inventione motuum in Orbibus datis.*

*Corporis in data Trajectoria Parabolica moventis, invenire locum ad tempus assignatum.*

Sit *S* umbilicus & *A* vertex principalis Parabolæ, sitq; 4*AS* × *M* area Parabolica *APS*, quæ radio *SP*, vel post excessum corporis de vertice descripta fuit, vel ante appulsum ejus ad verticem describenda est. Innotescit area illa ex tempore ipsi proportionali. Biseca *AS* in *G*, erigeq; perpendiculum *GH* æquale 3*M*, & circulus centro *H*, intervallo *HS* descriptus secabit Parabolam in loco quæsito *P*. Nam demissa ad axem perpendiculari *PO*, est *HGq.* + *GSq.* (= *HSq.* = *HPq.* = *GOq.* + *PO* - *HG**q.*) = *GOq.* + *HGq.* - 2*HG* × *PO* + *POq.* Et deleto utrinq; *HGq.* fiet *GSq.* = *GOq.* - 2*HG* × *PO* + *POq.* seu 2*HG* × *PO* (= *GOq.* + *POq.* - *GSq.* = *AOq.* - 2*GAO* + *POq.*) = *AOq.* + ¾*POq.* Pro *AOq.* scribe *AO* × *POq.* ÷ 4*AS*, & applicatis terminis omnibus ad 3*PO*, ductisq; in 2*AS*, fiet ⁴/₃*GH* × *AS* (= ¹/₆*AO* × *PO* + ½*AS* × *PO* = {*AO* + 3*AS*} ÷ 6 × *PO* = {4*AO* - 3*SO*} ÷ 6 × *PO* = areæ *APO* - *SPO*) = areæ *APS*. Sed *GH* erat 3*M*, & inde Page 105 ⁴/₃*HG* × *AS* est 4*AS* × *M*. Ergo area *APS* æqualis est 4*AS* × *M*.   *Q. E. D.*

*Corol. 1.* Hinc *GH* est ad *AS*, ut tempus quo corpus descripsit arcum *AP* ad tempus quo corpus descripsit arcum inter verticem *A* & perpendiculum ad axem ab umbilico *S* erectum.

*Corol. 2.* Et circulo *ASP* per corpus movens perpetuo transeunte, velocitas puncti *H* est ad velocitatem quam corpus habuit in vertice *A*, ut 3 ad 8; adeoq; in ea etiam ratione est linea *GH* ad lineam rectam quam corpus tempore motus sui ab *A* ad *P*, ea cum velocitate quam habuit in vertice *A*, describere posset.

*Corol. 3.* Hinc etiam viceversa inveniri potest tempus quo corpus descripsit arcum quemvis assignatum *AP*. Junge *AP* & ad medium ejus punctum erige perpendiculum rectæ *GH* occurrens in *H*.

*Nulla extat figura Ovalis cujus area, rectis pro lubitu abscissa, possit per æquationes numero terminorum ac dimensionum finitas generaliter inveniri.*

Intra Ovalem detur punctum quodvis, circa quod ceu polum revolvatur perpetuo linea recta, & interea in recta illa exeat punctum mobile de polo, pergatq; semper ea cum velocitate, quæ sit ut rectæ illius intra Ovalem longitudo. Hoc motu punctum illud describet Spiralem gyris infinitis. Jam si area Oualis per finitam æquationem inveniri potest, invenietur etiam per eandem æquationem distantia puncti a polo; quæ huic areæ proportionalis est, adeoq; omnia Spiralis puncta per æquationem finitam inveniri possunt: & propterea rectæ cujusvis positione datæ intersectio cum spirali inveniri etiam potest per æquationem finitam. Atqui recta omnis infinite producta spiralem secat in punctis numero infinitis, & æquatio, qua intersectio aliqua duarum linearum invenitur, exhibet earum intersectiones omnes radicibus totidem, Page 106 adeoq; ascendit ad tot dimensiones quot sunt intersectiones. Quoniam circuli duo se mutuo secant in punctis duobus, intersectio una non invenitur nisi per æquationem duarum dimensionum, qua intersectio altera etiam inveniatur. Quoniam duarum sectionum Conicarum quatuor esse possunt intersectiones, non potest aliqua earum generaliter inveniri nisi per æquationem quatuor dimensionum, qua omnes simul inveniantur. Nam si intersectiones illæ seorsim quærantur, quoniam eadem est omnium lex & conditio, idem erit calculus in casu unoquoq; & propterea eadem semper conclusio, quæ igitur debet omnes intersectiones simul complecti & indifferenter exhibere. Unde etiam intersectiones Sectionum Conicarum & curvarum tertiæ potestatis, eo quod sex esse possunt, simul prodeunt per æquationes sex dimensionum, & intersectiones duarum curvarum tertiæ potestatis, quia novem esse possunt, simul prodeunt per æquationes dimensionum novem. Id nisi necessario fieret, reducere liceret Problemata omnia Solida ad Plana, & plusquam solida ad solida. Eadem de causa intersectiones binæ rectarum & sectionum Conicarum prodeunt semper per æquationes duarum dimensionum; ternæ rectarum & curvarum tertiæ potestatis per æquationes trium, quaternæ rectarum & curvarum quartæ potestatis per æquationes dimensionum quatuor, & sic in infinitum. Ergo intersectiones numero infinitæ rectarum, propterea quod omnium eadem est lex & idem calculus, requirunt æquationes numero dimensionum & radicum infinitas, quibus omnes possunt simul exhiberi. Si a polo in rectam illam secantem demittatur perpendiculum, & perpendiculum una cum secante revolvatur circa polum, intersectiones spiralis transibunt in se mutuo, quæq; prima erat seu proxima, post unam revolutionem secunda erit, post duas tertia, & sic deinceps: nec interea mutabitur æquatio nisi pro mutata magnitudine quantitatum per quas positio secantis determinatur. Unde cum quantitates illæ post singulas revolutiones redeunt ad magnitudines primas, æquatio redibit ad formam primam, adeoq; una eademq; exhibebit Page 107 intersectiones omnes, & propterea radices habebit numero infinitas, quibus omnes exhiberi possunt. Nequit ergo intersectio rectæ & spiralis per æquationem finitam generaliter inveniri, & idcirco nulla extat Ovalis cujus area, rectis imperatis abscissa, possit per talem æquationem generaliter exhiberi.

Eodem argumento, si intervallum poli & puncti, quo spiralis describitur, capiatur Ovalis perimetro abscissæ proportionale, probari potest quod longitudo perimetri nequit per finitam æquationem generaliter exhiberi.

Hinc area Ellipseos, quæ radio ab umbilico ad corpus mobile ducto describitur, non prodit ex dato tempore, per æquationem finitam; & propterea per descriptionem Curuarum Geometrice rationalium determinari nequit. Curvas Geometrice rationales appello quarum puncta omnia per longitudines æquationibus definitas, id est, per longitudinum rationes complicatas, determinari possunt; cæterasq; (ut Spirales, Quadratrices, Trochoides) Geometrice irrationales. Nam longitudines quæ sunt vel non sunt ut numerus ad numerum (quemadmodum in decimo Elementorum) sunt Arithmetice rationales vel irrationales. Aream igitur Ellipseos tempori proportionalem abscindo per Curvam Geometrice irrationalem ut sequitur.

*Corporis in data Trajectoria Elliptica moventis invenire locum ad tempus assignatum.*

Ellipseos *APB* sit *A* vertex principalis, *S* umbilicus, *O* centrum, sitq; *P* corporis locus inveniendus. Produc *OA* ad *G* ut sit *OG* Page 108 ad *OA* ut *OA* ad *OS*. Erige perpendiculum *GH*, centroq; *O* & intervallo *OG* describe circulum *EFG*, & super regula *GH*, ceu fundo, progrediatur rota *GEF* revolvendo circa axem suum, & interea puncto suo *A* describendo Trochoidem *ALI*. Quo facto, cape *GK* in ratione ad rotæ perimetrum *GEFG*, ut est tempus quo corpus progrediendo ab *A* descripsit arcum *AP*, ad tempus revolutionis unius in Ellipsi. Erigatur perpendiculum *KL* occurrens Trochoidi in *L*, & acta *LP* ipsi *KG* parallela occurret Ellipsi in corporis loco quæsito *P*.

Nam centro *O* intervallo *OA* describatur semicirculus *AQB*, & arcui *AQ* occurrat *LP* producta in *Q*, junganturq; *SQ*, *OQ*. Arcui *EFG* occurrat *OQ* in *F*, & in eandem *OQ* demittatur perpendiculum *SR*. Area *APS* est ut area *AQS*, id est, ut differentia inter sectorem *OQA* & triangulum *OQS*, sive ut differentia rectangulorum ½*Q* × *AQ* & ½*OQ* × *SR*, hoc est, ob datam ½*OQ*, ut differentia inter arcum *AQ* & rectam *SR*, adeoq; (ob æqualitatem rationum *SR* ad sinum arcus *AQ*, *OS* ad *OA*, *OA* ad *OG*, *AQ* ad *GF*, & divisim *AQ* - *SR* ad *GF* - sin. arc. *AQ*) ut *GK* differentia inter arcum *GF* & sinum arcus *AQ*.   *Q. E. D.* Page 109

Cæterum ob difficultatem describendi hanc curvam præstat constructiones vero proximas in praxi Mechanica adhibere. Ellipseos cujusvis *APB* sit *AB* axis major, *O* centrum, *S* umbilicus, *OD* semiaxis minor, & *AK* dimidium lateris recti. Secetur *AS* in *G*, ut sit *AG* ad *AS* ut *BO* ad *BS*; & quæratur longitudo *L*, quæ sit ad ½*GK* ut est *AO quad.* ad rectangulum *AS* × *OD*. Bisecetur *OG* in *C*, centroq; *C* & intervallo *CG* describatur semicirculus *GFO*. Deniq; capiatur angulus *GCF* in ea ratione ad angulos quatuor rectos, quam habet tempus datum, quo corpus descripsit arcum quæsitum *AP*, ad tempus periodicum seu revolutionis unius in Ellipsi: Ad *AO* demittatur normalis *FE*, & producatur eadem versus *F* ad usq; *N*, ut sit *EN* ad longitudinem *L*, ut anguli illius sinus *EF* ad radium *CF*; centroq; *N* & intervallo *AN* descriptus circulus secabit Ellipsin in corporis loco quæsito *P* quam proxime.

Nam completo dimidio temporis periodici, corpus P semper reperietur in Apside summa B , & completo altero temporis dimidio, redibit ad Apsidem imam, ut oportet. Ubi vero proxime abest ab Apsidibus, ratio prima nascentium sectorum ASP , GCF , & ratio ultima evanescentium BSP & OCF , eadem est rationi Ellipseos totius ad circulum totum. Nam punctis Page 110 P , F & N incidentibus in loca p , f & n axi AB quam proximis; ob æquales An , pn , recta nq , quæ ad arcum Ap perpendicularis est, adeoq; concurrit cum axe in puncto K , bisecat arcum Ap . Proinde est ½ Ap ad Gn ut AK ad GK , & Ap ad Gn ut 2 AK ad GK . Est & Gn ad Gf ut EN ad EF , seu L ad CF , id est, ut { GK × AOq. } ÷ {2 AS × OD } ad CF , seu GK × AOq. ad 2 AS × OD × CF , & ex æquo Ap ad Gf ut 2 AK ad GK + GK × AOq. ad 2 AS × OD × CF , id est, ut AK × AOq. ad AS × OD × CF , hoc est, ob æqualia AK × AO × ODq. ut AO × OD ad AS × CF . Proinde Ap × ½ AS est ad Gf × ½ GC ut AO × OD × AS ad AS × CF × GC , seu AO × OD ad CGq. id est, sector nascens ASp ad sectorem nascentem GCf ut AO × OD ad CGq. & propterea ut area Ellipseos totius ad aream circuli totius.   Q. E. D.   Argumento prolixiore probari potest analogia ultima in Sectoribus evanescentibus BSP , OCF : ideoq; locus puncti P prope Apsides satis accurate inventus est. In quadraturis error quasi quingentesimæ partis areæ Ellipseos totius vel paulo major obvenire solet: qui tamen propemodum evanescet per ulteriorem Constructionem sequentem.

Per puncta *G*, *O*, duc arcum circularem *GTO* justæ magnitudinis; dein produc *EF* hinc inde ad *T* & *N* ut sit *EN* ad *FT* ut ½*L* ad *CF*; centroq; *N* & intervallo *AN* describe circulum qui secet Ellipsin in *P*, ut supra. Arcus autem *GTO* determinabitur Page 111 quærendo ejus punctum aliquod *T*; quod constructionem in illo casu accuratam reddet.

Si Ellipseos latus transversum multo majus sit quam latus rectum, & motus corporis prope verticem Ellipseos desideretur, (qui casus in Theoria Cometarum incidit,) educere licet e puncto *G* rectam *GI* axi *AB* perpendicularem, & in ea ratione ad *GK* quam habet area *AVPS* ad rectangulum *AK* × *AS*; dein centro *I* & intervallo *AI* circulum describere. Hic enim secabit Ellipsim in corporis loco quæsito *P* quamproxime. Et eadem constructione (mutatis mutandis) conficitur Problema in Hyperbola. Hæ autem constructiones demonstrantur ut supra, & si Figura (vertice ulteriore *B* in infinitum abeunte) vertatur in Parabolam, migrant in accuratam illam constructionem Problematis XXII.

Si quando locus ille P accuratius determinandus sit, inveniatur tum angulus quidam B , qui sit ad angulum graduum 57,29578 quem arcus radio æqualis subtendit, ut est umbilicorum distantia SH ad Ellipseos diametrum AB ; tum etiam longitudo quædam L , quæ sit ad radium in eadem ratione inverse. Quibus semel inventis, Problema deinceps confit per sequentem Analysin. Per constructionem superiorem (vel utcunq; conjecturam faciendo) cognoscatur corporis locus P quam proxime. Demissaq; ad axem Ellipseos ordinatim applicata PR , ex proportione diametrorum Ellipseos, dabitur circuli circumscripti AQB ordinatim applicata RQ , quæ sinus est anguli ACQ Page 112 existente AC radio. Sufficit angulum illum rudi calculo in numeris proximis invenire. Cognoscatur etiam angulus tempori proportionalis, id est, qui sit ad quatuor rectos ut est tempus quo corpus descripsit arcum AP , ad tempus revolutionis unius in Ellipsi. Sit angulus iste N . Tum capiatur & angulus D ad angulum B , ut est sinus iste anguli ACQ ad Radium, & angulus E ad angulum N - ACQ + D , ut est longitudo L ad longitudinem eandem L cosinu anguli ACQ + ½ D diminutam, ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Postea capiatur tum angulus F ad angulum B , ut est sinus anguli ACQ + E ad radium, tum angulus G ad angulum N - ACQ - E + F ut est longitudo L ad Longitudinem eandem cosinu anguli ACQ + E + ½ F diminutam ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Tertia vice capiatur angulus H ad angulum B , ut est sinus anguli ACQ + E + G ad radium; & angulus I ad angulum N - ACQ - E - G + H , ut est longitudo L ad eandem longitudinem cosinu anguli ACQ + E + G + ½ H diminutam, ubi angulus iste recto minor est, auctam ubi major. Et sic pergere licet in infinitum. Deniq; capiatur angulus ACq æqualis angulo ACQ + E + G + I &c. & ex cosinu ejus Cr & ordinata pr , quæ est ab sinum qr ut Ellipseos axis minor ad axem majorem, habebitur corporis locus correctus p . Siquando angulus N - ACQ + D negativus est, debet signum + ipsius E ubiq; mutari in -, & signum - in +. Idem intelligendum est de signis ipsorum G & I , ubi anguli N - ACQ - E + F , & N - ACQ - E - G + H Page 113 negative prodeunt. Convergit autem series infinita ACQ + E + G + I quam celerrime, adeo ut vix unquam opus fuerit ultra progredi quam ad terminum secundum E . Et fundatur calculus in hoc Theoremate, quod area APS sit ut differentia inter arcum AQ & rectam ab umbilico S in Radium CQ perpendiculariter demissam.

Non dissimili calculo conficitur Problema in Hyperbola. Sit ejus centrum *C*, Vertex *A*, Umbilicus *S* & Asymptotos *CK*. Cognoscatur quantitas areæ *APS* tempori proportionalis. Sit ea *A*, & fiat conjectura de positione rectæ *SP*, quæ aream illam abscindat quamproxime. Jungatur *CP*, & ab *A* & *P* ad Asymptoton agantur *AI*, *PK* Asymptoto alteri parallelæ, & per Tabulam Logarithmorum dabitur Area *AIKP*, eiq; æqualis area *CPA*, quæ subducta de triangulo *CPS* relinquet aream *APS*. Applicando arearum *A* & *APS* semidifferentiam ½*APS* - ½*A* vel ½*A* - ½*APS* ad lineam *SN*, quæ ab umbilico *S* in tangentem *PT* perpendicularis est, orietur longitudo *PQ*. Capiatur autem *PQ* inter *A* & *P*, si area *APS* major sit area *A*, secus ad puncti *P* contrarias partes: & punctum *Q* erit locus corporis accuratius. Et computatione repetita invenietur idem accuratius in perpetuum.

Atq; his calculis Problema generaliter confit Analytice. Verum usibus Astronomicis accommodatior est calculus particularis qui sequitur. Existentibus AO , OB , OD semiaxibus Ellipseos, ( Vide fig. pag. 109. 110. ) & L ipsius latere recto, quære tum angulum Y , cujus Tangens sit ad Radium ut est semiaxium differentia AO - OD ad eorum summam AO + OD ; tum angulum Z , cujus tangens sit ad Radium ut rectangulum sub umbilicorum distantia SH & semiaxium differentia AO - OD ad triplum rectangulum sub OQ semiaxe minore & AO - ¼ L differentia inter Page 114 semiaxem majorem & quartam partem lateris recti. His angulis semel inventis, locus corporis sic deinceps determinabitur. Sume angulum T proportionalem tempori quo arcus BP descriptus est, seu motui medio (ut loquuntur) æqualem; & angulum V (primam medii motus æquationem) ad angulum Y (æquationem maximam primam) ut est sinus anguli T duplicati ad radium; atq; angulum X (æquationem secundam) ad angulum Z (æquationem maximam secundam) ut est sinus versus anguli T duplicati ad radium duplicatum, vel (quod eodem recidit) ut est quadratum sinus anguli T ad quadratum Radii. Angulorum T , V , X vel summæ T + X + V , si angulus T recto minor est, vel differentiæ T + X - V , si is recto major est rectisq; duobus minor, æqualem cape angulum BHP (motum medium æquatum;) & si HP occurrat Ellipsi in P , acta SP abscindet aream BSP tempori proportionalem quamproxime. Hæc Praxis satis expedita videtur, propterea quod angulorum perexiguorum V & X (in minutis secundis, si placet, positorum) figuras duas tresve primas invenire sufficit. Invento autem angulo motus medii æquati BHP , angulus veri motus HSP & distantia SP in promptu sunt per methodum notissimam Dris. Sethi Wardi Episcopi Salisburiensis mihi plurimum colendi.

Hactenus de motu corporum in lineis curvis. Fieri autem potest ut mobile recta descendat vel recta ascendat, & quæ ad istiusmodi motus spectant, pergo jam exponere.

Page 115

*De Corporum Ascensu & Descensu Rectilineo.*

*Posito quod vis centripeta sit reciproce proportionalis quadrato distantiæ locorum a centro, spatia definire quæ corpus recta cadendo datis temporibus describit.*

*Cas. 1.* Si corpus non cadit perpendiculariter describet id sectionem aliquam Conicam cujus umbilicus inferior congruit cum centro. Id ex Propositionibus XI, XII, XIII & earum Corollariis constat. Sit sectio illa Conica *ARPB* & umbilicus inferior *S*. Et primo si Figura illa Ellipsis est, super hujus axe majore *AB* describatur semicirculus *ADB*, & per corpus decidens transeat recta *DPC* perpendicularis ad axem; actisq; *DS*, *PS* erit area *ASD* areæ *ASP* atq; adeo etiam tempori proportionalis. Manente axe *AB* minuatur perpetuo latitudo Ellipseos, & semper manebit area *ASD* tempori proportionalis. Minuatur latitudo illa in infinitum, & orbe *APB* jam coincidente cum axe *AB* & umbilico *S* cum axis termino *B*, descendet corpus in recta *AC*, & area *ABD* evadet tempori proportionalis. Dabitur itaq; spatium *AC*, quod corpus de loco *A* perpendiculariter cadendo tempore dato describit, si modo tempori proportionalis capiatur area *ABD*, & a puncto *D* ad rectam *AB* demittatur perpendicularis *DC*.   *Q. E. I.* Page 116

Cas. 2. Sin figura superior RPB Hyperbola est, describatur ad eandem diametrum principalem AB Hyperbola rectangula BD : & quoniam areæ CSP , CBfP , SPfB sunt ad areas CSD , CBED , SDEB , singulæ ad singulas, in data ratione altitudinum CP , CD ; & area SPfB proportionalis est tempori quo corpus P movebitur per arcum PB , erit etiam area SDEB eidem tempori proportionalis. Minuatur latus rectum Hyperbolæ RPB in infinitum manente latere transverso, & coibit arcus PB cum recta CB , & umbilicus S cum vertice B & recta SD cum recta BD . Proinde area BDEB proportionalis erit tempori quo corpus C recto descensu describit lineam CB .   Q. E. I.

*Cas. 3.* Et simili argumento si figura *RPB* Parabola est, & eodem vertice principali *B* describatur alia Parabola *BED*, quæ semper maneat data, interea dum Parabola prior in cujus perimetro corpus *P* movetur, diminuto & in nihilum redacto ejus Latere recto, conveniat cum linea *CB*, fiet segmentum Parabolicum *BDEB* proportionale tempori quo corpus illud *P* vel *C* descendet ad centrum *B*.   *Q. E. I.*

*Positis jam inventis, dico quod corporis cadentis velocitas in loco quovis*C*est ad velocitatem corporis centro*B*intervallo*BC*circulum describentis, in dimidiata ratione quam*CA*, distantia corporis a Circuli vel Hyperbolæ vertice ulteriore*A*, habet ad figuræ semidiametrum principalem ½*AB*.*

Page 117

Namq; ob proportionales CD , CP , linea AB communis est utriusq; figuræ RPB , DEB diameter. Bisecetur eadem in O , & agatur recta PT quæ tangat figuram RPB in P , atq; etiam secet communem illam diametrum AB (si opus est productam) in T ; sitq; SY ad hanc rectam & BQ ad hanc diametrum perpendicularis, atq; figuræ RPB latus rectum ponatur L . Constat per Cor. 9. Theor. VIII. quod corporis in linea RPB circa centrum S moventis velocitas in loco quovis P sit ad velocitatem corporis intervallo SP circa idem centrum circulum describentis in dimidiata ratione rectanguli ½ L × SP ad SY quadratum. Est autem ex Conicis ACB ad CPq. ut 2 AO ad L , adeoq; 2 CPq. × AO ÷ ACB æquale L . Ergo velocitates illæ sunt ad invicem in dimidiata ratione CPq. × AO × SP ÷ ACB ad SY quad. Porro ex Conicis est CO ad BO ut BO ad TO , & composite vel divisim ut CB ad BT . Unde dividendo vel componendo fit BO - uel + CO ad BO ut CT ad BT , id est AC ad AO ut CP ad BQ ; indeq; CPq. × AO × SP ÷ ACB æquale est BQq. × AC × SP ÷ { AO × BC }. Minuatur jam in infinitum figuræ RPB latitudo CP , sic ut punctum P coeat cum puncto C , punctumq; S cum puncto B , & linea SP cum linea BC , lineaq; SY cum linea BQ ; & corporis jam recta descendentis in linea CB velocitas fiet ad velocitatem corporis centro B interuallo BC circulum describentis, in dimidiata ratione ipsius BQq. × AC × SP ÷ { AO × BC } ad SYq. hoc est (neglectis æqualitatis rationibus SP ad BC & BQq. ad SYq. ) in dimidiata ratione AC ad AO .   Q. E. D. Page 118

*Corol.* Punctis *B* & *S* coeuntibus, fit *TC* ad *ST* ut *AC* ad *AO*.

*Si figura*BED*Parabola est, dico quod corporis cadentis velocitas in loco quovis*C*æqualis est velocitati qua corpus centro*B*dimidio intervalli sui*BC*circulum uniformiter describere potest.*

Nam corporis Parabolam *RPB* circa centrum *S* describentis velocitas in loco quovis *S* (per Corol. 7. Theor. VIII) æqualis est velocitati corporis dimidio intervalli *SP* circulum circa idem *S* uniformiter describentis. Minuatur Parabolæ latitudo *CP* in infinitum eo, ut arcus Parabolicus *PfB* cum recta *CB*, centrum *S* cum vertice *B*, & interuallum *SP* cum intervallo *BP* coincidat, & constabit Propositio.   *Q. E. D.*

*Iisdem positis, dico quod area figuræ*DES*, radio indefinito*SD*descripta, æqualis sit areæ quam corpus, radio dimidium lateris recti figuræ*DES*æquante, circa centrum*S*uniformiter gyrando, eodem tempore describere potest.*

Nam concipe corpus *C* quam minima temporis particula lineolam *Cc* cadendo describere, & interea corpus aliud *K*, uniformiter in circulo *OKk* circa centrum *S* gyrando, arcum *Kk* Page 119 describere. Erigantur perpendicula *CD*, *cd* occurrentia figuræ *DES* in *D*, *d*. Jungantur *SD*, *SK*, *Sk* & ducatur *Dd* axi *AS* occurrens in *T*, & ad eam demittatur perpendiculum *SY*.

*Cas. 1.* Jam si figura *DES* Circulus est vel Hyperbola, bisecetur ejus transversa diameter *AS* in *O*, & erit *SO* dimidium Lateris recti. Et quoniam est *TC* ad *TD* ut *Cc* ad *Dd*, & *TD* ad *TS* ut *CD* ad *SY*, erit ex æquo *TC* ad *TS* ut *CD* × *Cc* ad *SY* × *Dd*. Sed per Corol. Prop. 33. est *TC* ad *ST* ut *AC* ad *AO*, puta si in coitu punctorum *D*, *d* capiantur linearum rationes ultimæ. Ergo *AC* est ad *AO*, id est ad *SK*, ut *CD* × *Cc* ad *SY* × *Dd*. Porro corporis descendentis velocitas in *C* est ad velocitatem corporis circulum intervallo *SC* circa centrum *S* describentis in dimidiata ratione *AC* ad *AO* vel *SK* (per Theor. IX.) Et hæc velocitas ad velocitatem corporis describentis circulum *OKk* in dimidiata ratione *SK* ad *SC* per Cor. 6. Theor. IV. & ex æquo velocitas prima ad ultimam, hoc est lineola *Cc* ad arcum *Kk* in dimidiata ratione *AC* ad *SC*, id est in ratione *AC* ad *CD*. Quare est *CD* × *Cc* æquale *AC* × *Kk*, & propterea *AC* ad *SK* ut *AC* × *Kk* ad *SY* × *Dd*, indeq; *SK* × *Kk* æquale *SY* × *Dd*, & ½*SK* × *Kk* æquale ½*SY* × *Dd*, id est area *KSk* æqualis areæ *SDd*. Singulis igitur temporis particulis generantur arearum duarum particulæ *KSk*, *SDd*, quæ, si magnitudo earum minuatur & numerus augeatur in infinitum, rationem obtinent æqualitatis, & propterea (per Corollarium Lemmatis IV) areæ totæ simul genitæ sunt semper æquales.   *Q. E. D.*

*Cas. 2.* Quod si figura *DES* Parabola sit, invenietur ut supra *CD* × *Cc* esse ad *SY* × *Dd* ut *TC* ad *ST*, hoc est ut 2 ad 1, adeoq; ¼*CD* × *Cc* æqualem esse ½*SY* × *Dd*. Sed corporis Page 120 cadentis velocitas in *C* æqualis est velocitati qua circulus intervallo ½*SC* uniformiter describi possit (per Theor. X.) Et hæc velocitas ad velocitatem qua circulus radio *SK* describi possit, hoc est, lineola *Cc* ad arcum *Kk* est in dimidiata ratione *SK* ad ½*Sc*, id est, in ratione *SK* ad ½*CD*, per Corol. 6. Theorem. IV. Quare est ½*SK* × *Kk* æquale ¼*CD* × *Cc*, adeoq; æquale ½*SY* × *Dd*, hoc est, area *KSk* æqualis Areæ *SDd*, ut supra. *Quod erat demonstrandum.*

*Corporis de loco dato*A*cadentis determinare tempora descensus.*

Super diametro AS (distantia corporis a centro sub initio) describe semicirculum ADS , ut & huic æqualem semicirculum OKH circa centrum S . De corporis loco quovis C erige ordinatim applicatam CD . Junge SD , &

areæ ASD æqualem constitue Sectionem OSK . Patet per Theor. XI, quod corpus cadendo describet spatium AC eodem tempore quo corpus aliud uniformiter circa centrum S gyrando, describere potest arcum OK . Quod erat faciendum.

*Corporis de loco dato sursum vel deorsum projecti definire tempora ascensus vel descensus.*

Page 121

Exeat corpus de loco dato G secundum lineam ASG cum velocitate quacunq;. In duplicata ratione hujus velocitatis ad uniformem in circulo velocitatem, qua corpus ad intervallum datum SG circa centrum S revolvi posset, cape CA ad ½ AS . Si ratio illa est numeri binarii ad unitatem, punctum A cadet ad infinitam distantiam, quo in casu Parabola uertice S , axe SC , latere quovis recto describenda est. Patet hoc per Theorema X. Sin ratio illa minor vel major est quam 2 ad 1, priore casu Circulus, posteriore Hyperbola rectangula super diametro SA describi debet. Patet per Theorema IX. Tum centro S , intervallo æquante dimidium lateris recti, describatur circulus HKk , & ad corporis ascendentis vel descendentis loca duo quævis G , C , erigantur perpendicula GI , CD occurrentia Conicæ Sectioni vel circulo in I ac D . Dein junctis SI , SD , fiant segmentis SEIS , SEDS Sectores HSK , HSk æquales, & per Theorema XI. corpus G describet spatium GC eodem tempore quo corpus K describere potest arcum Kk .   Q. E. F.

*Posito quod vis centripeta proportionalis sit altitudini seu distantiæ locorum a centro, dico quod cadentium tempora, velocitates & spatia descripta sunt arcubus arcuumq; sinibus versis & sinibus rectis respective proportionales.*

Cadat corpus de loco quovis *A* secundum rectam *AS*; & centro virium *S*, intervallo *AS*, describatur circuli quadrans *AE*, sitq; *CD* sinus rectus arcus Page 122 cujusvis *AD*, & corpus *A*, tempore *AD*, cadendo describet spatium *AC*, inq; loco *C* acquisierit velocitatem *CD*. Demonstratur eodem modo ex Propositione X. quo Propositio XXXII. ex Propositione XI. demonstrata fuit.   Q. E. D.

*Corol. 1.* Hinc æqualia sunt tempora quibus corpus unum de loco *A* cadendo provenit ad centrum *S*, & corpus aliud revolvendo describit arcum quadrantalem *ADE*.

*Corol. 2.* Proinde æqualia sunt tempora omnia quibus corpora de locis quibusvis ad usq; centrum cadunt. Nam revolventium tempora omnia periodica (per Corol. 3. Prop. IV.) æquantur.

*Posita cujuscunq; generis vi centripeta, & concessis figurarum curvilinearum quadraturis, requiritur corporis recta ascendentis vel descendentis tum velocitas in locis singulis, tum tempus quo corpus ad locum quemvis perveniet: Et contra.*

De loco quovis *A* in recta *ADEC* cadat corpus *E*, deq; loco ejus *E* erigatur semper perpendicularis *EG*, vi centripetæ in loco illo ad centrum *C* tendenti proportionalis: Sitq; *BFG* linea curva quam punctum *G* perpetuo tangit. Coincidat autem *EG* ipso motus initio cum perpendiculari *AB*, & erit corporis velocitas in loco quovis *E* ut areæ curvilineæ *ABGE* latus quadratum.   *Q. E. I.*   In *EG* capiatur *EM* lateri quadrato areæ *ABGE* reciproce proportionalis, & sit *ALM* linea curva quam punctum *M* perpetuo tangit, & erit tempus quo corpus cadendo describit lineam *AE* ut area curvilinea *ALME*. *Quod erat Inveniendum.*

Etenim in recta *AE* capiatur linea quam minima *DE* datæ longitudinis, sitq; *DLF* locus lineæ *EMG* Page 123 ubi corpus versabatur in *D*; & si ea sit vis centripeta, ut area *ABGE* latus quadratum sit ut descendentis velocitas, erit area ipsa in duplicata ratione velocitatis, id est, si pro velocitatibus in *D* & *E* scribantur *V* & *V* + *I*, erit area *ABFD* ut *V²*, & area *ABGE* ut *V*² + 2*VI* + *I*², & divisim area *DFGE* ut 2*VI* + *I*², adeoq; *DFGE* ÷ *DE* ut {2*I* × *V* + ½*I*} ÷ *DE*, id est, si primæ quantitatum nascentium rationes sumantur, longitudo *DF* ut quantitas 2*I* × *V* ÷ *DE*, adeoq; etiam ut quantitatis hujus dimidium *I* × *V* ÷ *DE*. Est autem tempus quo corpus cadendo describit lineolam *DE*, ut lineola illa directe & velocitas *V* inverse, estq; vis ut velocitatis incrementum *I* directe & tempus inverse, adeoq; si primæ nascentium rationes sumantur, ut *I* × *V* ÷ *DE*, hoc est, ut longitudo *DF*. Ergo vis ipsi *DF* vel *EG* proportionalis facit corpus ea cum velocitate descendere quæ sit ut areæ *ABGE* latus quadratum. Q. E. D.

Porro cum tempus, quo quælibet longitudinis datæ lineola *DE* describatur, sit ut velocitas, adeoq; ut areæ *ABFD* latus quadratum inverse; sitq; *DL*, atq; adeo areæ nascens *DLME*, ut idem latus quadratum inverse: erit tempus ut area *DLME*, & summa omnium temporum ut summa omnium arearum, hoc est (per Corol. Lem. IV.) tempus totum quo linea *AE* describitur ut area tota *AME*.   Q. E. D.

*Corol. 1.* Si *P* sit locus de quo corpus cadere debet, ut, urgente aliqua uniformi ui centripeta nota (qualis vulgo supponitur gravitas) velocitatem acquirat in loco *D* æqualem velocitati quam corpus aliud vi quacunq; cadens acquisivit eodem loco *D*, & in perpendiculari *DF* capiatur *DR*, quæ sit ad *DF* ut vis illa uniformis ad vim alteram in loco *D*, & compleatur rectangulum *PDRQ*, eiq; æqualis abscindatur area *ABFD*; erit *A* locus de quo corpus alterum cecidit. Namq; completo rectangulo Page 124 *EDRS*, cum sit area *ABFD* ad aream *DFGE* ut *VV* ad 2*V* × *I*, adeoq; ut ½*V* ad *I*, id est, ut semissis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis vi inæquabili cadentis; & similiter area *PQRD* ad aream *DRSE* ut semissis velocitatis totius ad incrementum velocitatis corporis uniformi vi cadentis; sintq; incrementa illa (ob æqualitatem temporum nascentium) ut vires generatrices, id est ut ordinatim applicatæ *DF*, *DR*, adeoq; ut areæ nascentes *DFGE*, *DRSE*; erunt (ex æquo) areæ totæ *ABFD*, *PQRD* ad invicem ut semisses totarum velocitatum, & propterea (ob æqualitatem velocitatum) æquantur.

*Corol. 2.* Unde si corpus quodlibet de loco quocunq; *D* data cum velocitate vel sursum vel deorsum projiciatur, & detur lex vis centripetæ, invenietur velocitas ejus in alio quovis loco *e*, erigendo ordinatam *eg*, & capiendo velocitatem illam ad velocitatem in loco *D* ut est latus quadratum rectanguli *PQRD* area curvilinea *DFge* vel aucti, si locus *e* est loco *D* inferior, vel diminuti, si is superior est, ad latus quadratum rectanguli solius *PQRD*, id est ut √*PQRD* + vel - *DFge* ad √*PQRD*.

*Corol. 3.* Tempus quoq; innotescet erigendo ordinatam *em* reciproce proportionalem lateri quadrato ex *PQRD* + vel - *DFge*, & capiendo tempus quo corpus descripsit lineam *De* ad tempus quo corpus alterum vi uniformi cecidit a *P* & cadendo pervenit ad *D*, ut area curvilinea *DLme* ad rectangulum 2*PD* × *DL*. Namq; tempus quo corpus vi uniformi descendens descripsit lineam *PD* est ad tempus quo corpus idem descripsit lineam *PE* in dimidiata ratione *PD* ad *PE*, id est (lineola *DE* Page 125 jamjam nascente) in ratione *PD* ad *PD* + ½*DE* seu 2*PD* ad 2*PD* + *DE*, & divisim, ad tempus quo corpus idem descripsit lineolam *DE* ut 2*PD* ad *DE*, adeoq; ut rectangulum 2*PE* × *DL* ad aream *DLME*; estq; tempus quo corpus utrumq; descripsit lineolam *DE* ad tempus quo corpus alterum inæquabili motu descripsit lineam *De* ut area *DLME* ad aream *DLme*, & ex æquo tempus primum ad tempus ultimum ut rectangulum 2*PD* × *DL* ad aream *DLme*.

*De Inventione Orbium in quibus corpora viribus quibuscunq; centripetis agitata revolventur.*

*Si corpus, cogente vi quacunq; centripeta, moveatur utcunq;, & corpus aliud recta ascendat vel descendat, sintq; eorum velocitates in aliquo æqualium altitudinum casu æquales, velocitates eorum in omnibus æqualibus altitudinibus erunt æquales.*

Descendat corpus aliquod ab A per D , E , ad centrum C , & moveatur corpus aliud a V in linea curva VIKk . Centro C intervallis quibusvis describantur circuli concentrici DI , EK rectæ AC in D & E , curvæq; VIK in I & K occurrentes. Jungatur IC occurrens ipsi KE in N ; & in IK demittatur perpendiculum NT ; sitq; circumferentiarum circulorum intervallum DE vel IN quam minimum, & habeant corpora in D & I velocitates æquales. Quoniam distantiæ CD , CI æquantur, erunt vires centripetæ in D & I æquales. Exponantur hæ vires per æquales lineolas DE , IN ; & si vis una IN , per Legum Corol. 2. resolvatur in duas NT & IT , vis NT , agendo secundum lineam Page 126 NT corporis cursui ITK perpendicularem, nil mutabit velocitatem corporis in cursu illo, sed retrahet solummodo corpus a cursu rectilineo, facietq; ipsum de Orbis tangente perpetuo deflectere, inq; via curvilinea ITKk , progredi. In hoc effectu producendo vis illa tota consumetur: vis autem altera IT , secundum corporis cursum agendo, tota accelerabit illud, ac dato tempore quam minimo accelerationem generabit sibi ipsi proportionalem. Proinde corporum in D & I accelerationes æqualibus temporibus factæ (si sumantur linearum nascentium DE , IN , IK , IT , NT rationes primæ) sunt ut lineæ DE , IT : temporibus autem inæqualibus ut lineæ illæ & tempora conjunctim. Tempora ob æqualitatem velocitatum sunt ut viæ descriptæ DE & IK , adeoq; accelerationes, in cursu corporum per lineas DE & IK , sunt ut DE & IT , DE & IK conjunctim, id est ut DE quad. & IT × IK rectangulum. Sed rectangulum IT × IK æquale est IN quadrato , hoc est, æquale DE quadrato & propterea accelerationes in transitu corporum a D & I ad E & K æquales generantur. Æquales igitur sunt corporum velocitates in E & K & eodem Page 127 argumento semper reperientur æquales in subsequentibus æqualibus distantiis.   Q. E. D.   Sed & eodem argumento corpora æquivelocia & æqualiter a centro distantia, in ascensu ad æquales distantias æqualiter retardabuntur.   Q. E. D.

*Corol. 1.* Hinc si corpus vel funipendulum oscilletur, vel impedimento quovis politissimo & perfecte lubrico cogatur in linea curva moveri, & corpus aliud recta ascendat vel descendat, sintq; velocitates eorum in eadem quacunq; altitudine æquales: erunt velocitates eorum in aliis quibuscunq; æqualibus altitudinibus æquales. Namq; impedimento vasis absolute lubrici idem præstatur quod vi transversa *NT*. Corpus eo non retardatur, non acceleratur, sed tantum cogitur de cursu rectilineo discedere.

*Corol. 2.* Hinc etiam si quantitas *P* sit maxima a centro distantia, ad quam corpus vel oscillans vel in Trajectoria quacunq; revolvens, deq; quovis trajectoriæ puncto, ea quam ibi habet velocitate sursum projectum ascendere possit; sitq; quantitas *A* distantia corporis a centro in alio quovis Orbis puncto, & vis centripeta semper sit ut ipsius *A* dignitas quælibet *A*^{*n* - 1}, cujus Index *n* - 1 est numerus quilibet *n* unitate diminutus; velocitas corporis in omni altitudine *A* erit ut √*nP*^*n* - *nA*^*n*, atq; adeo datur. Namq; velocitas ascendentis ac descendentis (per Prop. XXXIX.) est in hac ipsa ratione.

*Posita cujuscunq; generis vi centripeta & concessis figurarum curvilinearum quadraturis, requiruntur tum Trajectoriæ in quibus corpora movebuntur, tum tempora motuum in Trajectoriis inventis.*

Tendat vis quælibet ad centrum C & invenienda sit Trajectoria VITKk . Detur circulus VXY centro C intervallo quovis CV descriptus, centroq; eodem describantur alii quivis circuli ID , Page 128 KE trajectoriam secantes in I & K rectamq; CV in D & E . Age tum rectam CNIX secantem circulos KE , VY in N & X , tum rectam CKY occurrentem circulo VXY in Y . Sint autem puncta I & K sibi invicem vicinissima, & pergat corpus ab V per I , T & K ad k ; sitq; A altitudo illa de qua corpus aliud cadere debet ut in loco D velocitatem acquirat æqualem velocitati corporis prioris in I ; & stantibus quæ in Propositione XXXIX, quoniam lineola IK , dato tempore quam minimo descripta, est ut velocitas atq; adeo ut latus quadratum areæ ABFD , & triangulum ICK tempori proportionale datur, adeoq; KN est reciproce ut altitudo IC , id est, si detur quantitas aliqua Q , & altitudo IC nominetur A , ut Q ÷ A ; quam nominemus Z . Ponamus eam esse magnitudinem ipsius Q ut sit √ ABFD in aliquo casu ad Z ut est IK ad KN , & erit semper √ ABFD ad Z ut IK ad KN , & ABFD ad ZZ ut IK quad. ad KN quad. & divisim ABFD - ZZ ad ZZ ut IN quad. ad KN quad. adeoq; √ ABFD - ZZ ad Z ut IN ad KN , & propterea A × KN Page 129 æquale Q × IN ÷ √ ABFD - ZZ . Unde cum YX × XC sit ad A × KN in duplicata ratione YC ad KC , erit rectang. YX × XC æquale Q × IN × CX quad. ÷ AA √ ABFD - ZZ . Igitur si in perpendiculo DF capiantur semper Db , Dc ipsis Q ÷ 2√ ABFD - ZZ & Q × CX quad. ÷ 2 AA √ ABFD - ZZ æquales respective, & describantur curvæ lineæ ab , cd quas puncta b , c perpetuo tangunt; deq; puncto V ad lineam AC erigatur perpendiculum Vad abscindens areas curvilineas VDba , VDdc , & erigantur etiam ordinatæ Ez , Ex : quoniam rectangulum Db × IN seu DbzE æquale est dimidio rectanguli A × KN , seu triangulo ICK ; & rectangulum Dc × IN seu Dc × E æquale est dimidio rectanguli YX in CX , seu triangulo XCY ; hoc est, quoniam arearum VDba , VIC æquales semper sunt nascentes particulæ DbzE , ICK , & arearum VDcd , VCX æquales semper sunt nascentes particulæ DExc , XCY , erit area genita VDba æqualis areæ genitæ, VIC , adeoq; tempori proportionalis, & area genita VDdc æqualis Sectori genito VCX . Dato igitur tempore quovis ex quo corpus discessit de loco V , dabitur area ipsi

proportionalis VDba , & inde dabitur corporis altitudo CD vel CI ; & area VDcd , eiq; æqualis Sector VCX una cum ejus angulo VCI . Datis autem angulo VCI & altitudine CI datur locus I , in quo corpus completo illo tempore reperietur.   Q. E. I.

*Corol. 1.* Hinc maximæ minimæq; corporum altitudines, id est Apsides Trajectoriarum expedite inveniri possunt. Incidunt enim Apsides in puncta illa in quibus recta *IC* per centrum ducta incidit perpendiculariter in Trajectoriam *VIK*: id quod fit ubi rectæ *IK* & *NK* æquantur, adeoq; ubi area *ABFD* æqualis est *ZZ*.

*Corol. 2.* Sed & angulus *KIN*, in quo Trajectoria alibi secat lineam illam *IC*, ex data corporis altitudine *IC* expedite invenitur, Page 130 nimirum capiendo sinum ejus ad radium ut *KN* ad *IK*, id est ut *Z* ad latus quadratum areæ *ABFD*.

Corol. 3. Si centro C & vertice principali V describatur sectio quælibet Conica VRS , & a quovis ejus puncto R agatur Tangens RT occurrens axi infinite producto CV in puncto T ; dein juncta CR ducatur recta CP , quæ æqualis sit abscissæ CT , angulumq; VCP Sectori VCR proportionalem constituat; tendat autem ad centrum C vis centripeta cubo distantiæ locorum a centro reciproce proportionalis, & exeat corpus de loco V justa cum velocitate secundum lineam rectæ CV perpendicularem: progredietur corpus illud in Trajectoria quam punctum P perpetuo tangit; adeoq; si conica sectio CVRS Hyperbola sit, descendet idem ad centrum: Sin ea Ellipsis sit, ascendet illud perpetuo & abibit in infinitum. Et contra, si corpus quacunq; cum velocitate exeat de loco V , & perinde ut incæperit vel oblique descendere ad centrum, vel ab eo oblique ascendere, figura CVRS vel Hyperbola sit vel Ellipsis, inveniri potest Trajectoria augendo vel minuendo angulum VCP in data aliqua ratione. Sed et vi centripeta in centrifugam versa, ascendet corpus oblique in Trajectoria VPQ quæ invenitur capiendo angulum VCP Sectori Elliptico CVRC proportionalem, & longitudinem CP longitudini CT æqualem: ut supra. Consequuntur hæc omnia ex Page 131 Propositione præcedente, per Curvæ cujusdam quadraturam, cujus inventionem ut satis facilem brevitatis gracia missam facio.

*Data lege vis centripetæ, requiritur motus corporis de loco dato data cum velocitate secundum datam rectam egressi.*

Stantibus quæ in tribus Propositionibus præcedentibus: exeat corpus de loco *I* secundum lineolam *IT*, ea cum velocitate quam corpus aliud, vi aliqua uniformi centripeta, de loco *P* cadendo acquirere posset in *D*: sitq; hæc vis uniformis ad vim qua corpus primum urgetur in *I*, ut *DR* ad *DF*. Pergat autem corpus versus *k*; centroq; *C* & intervallo *Ck* describatur circulus *ke* occurrens rectæ *PD* in *e*, & erigantur curvarum *ALMm*, *BFGg*, *abzv*, *dcxw* ordinatim applicatæ *em*, *eg*, *ev*, *ew*. Ex dato rectangulo *PDRQ*, dataq; lege vis centripetæ qua corpus primum agitatur, dantur curvæ lineæ *BFGg*, *ALMm*, per constructionem Problematis XXVIII. & ejus *Corol. 1.* Deinde ex dato angulo *CIT* datur proportio nascentium *IK*, *KN* & inde, per constructionem Prob. XXVIII, datur quantitas *Q*, una cum curvis lineis *abzv*, *dcxw*: adeoq; completo tempore quovis *Dbve*, datur tum corporis altitudo *Ce* vel *Ck*, tum area *Dcwe*, eiq; æqualis Sector *XCy*, angulusq; *XCy* & locus *k* in quo corpus tunc versabitur.   Q. E. I.

Supponimus autem in his Propositionibus vim centripetam in recessu quidem a centro variari secundum legem quamcunq; quam quis imaginari potest, in æqualibus autem a centro distantiis esse undiq; eandem. Atq; hactenus corporum in Orbibus immobilibus consideravimus. Superest ut de motu eorum in Orbibus qui circa centrum virium revolvuntur adjiciamus pauca.

Page 132

*De Motu Corporum in Orbibus mobilibus, deq; motu Apsidum.*

*Efficiendum est ut corpus in Trajectoria quacunq; circa centrum virium revolvente perinde moveri possit, atq; corpus aliud in eadem Trajectoria quiescente.*

In Orbe *VPK* positione dato revolvatur corpus *P* pergendo a *V* versus *K*. A centro *C* agatur semper *Cp*, quæ sit ipsi *CP* æqualis, angulumq; *VCp* angulo *VCP* proportionalem constituat; & area quam linea *Cp* describit erit ad aream *VCP* quam linea *CP* describit, ut velocitas lineæ describentis *Cp* ad velocitatem lineæ describentis *CP*; hoc est, ut angulus *VCp* ad angulum *VCP*, adeoq; in data ratione, & propterea tempori proportionalis. Cum area tempori proportionalis sit quam linea *Cp* in plano immobili describit, manifestum est quod corpus, cogente justæ quantitatis vi centripeta, revolvi possit una cum puncto *p* in curva illa linea quam punctum idem *p* ratione jam exposita describit in plano immobili. Fiat angulus *VCv* angulo *PCp*, & linea *Cv* Page 133 lineæ CV , atq; figura vCp figuræ VCP æqualis, & corpus in p semper existens movebitur in perimetro figuræ revolventis *vCp*, eodemq; tempore describet arcum ejus *vp* quo corpus aliud *P* arcum ipsi similem & æqualem *VP* in figura quiescente *VPK* describere potest. Quæratur igitur, per Corollarium Propositionis VI, vis centripeta qua corpus revolvi possit in curva illa linea quam punctum *p* describit in plano immobili, & solvetur Problema. Q. E. F.

*Differentia virium, quibus corpus in Orbe quiescente, & corpus aliud in eodem Orbe revolvente æqualiter moveri possunt, est in triplicata ratione communis altitudinis inverse.*

Partibus orbis quiescentis *VP*, *PK* sunto similes & æquales orbis revolventis partes *vp*, *pk*. A puncto *k* in rectam, *pC* demitte perpendiculum *kr*, idemq; produc ad *m*, ut sit *mr* ad *kr* ut angulus *VCp* ad angulum *VCP*. Quoniam corporum altitudines *PC* & *pC*, *KC* & *kC* semper æquantur, manifestum est quod si corporum in locis *P* & *p* existentium distinguantur motus singuli (per Legum Corol. 2.) in binos, (quorum hi versus centrum, sive secundum lineas *PC*, *pC*; alteri prioribus transversi secundum lineas ipsis *PC*, *pC* perpendiculares determinantur) motus versus centrum erunt æquales, & motus transversus corporis *p* erit ad motum transversum corporis *P*, ut motus angularis lineæ *pC* ad motum angularem lineæ *PC*, id est ut angulus *VCp* ad angulum *VCP*. Igitur eodem tempore quo corpus *P* motu suo utroq; pervenit ad punctum *K*, corpus *p* æquali in centrum motu æqualiter movebitur a *P* versus *C*, adeoq; completo illo tempore reperietur alicubi in linea *mkr*, quæ per punctum *k* in lineam *pC* perpendicularis est; & motu transverso acquiret distantiam a linea *pC*, quæ sit ad distantiam quam corpus alterum acquirit a linea *PC*, ut est hujus motus transversus ad motum Page 134 transversum alterius. Quare cum *kr* æqualis sit distantiæ quam corpus alterum acquirit a linea *pC*, sitq; *mr* ad *kr* ut angulus *VCp* ad angulum *VCP*, hoc est, ut motus transversus corporis *p* ad motum transversum corporis *P*, manifestum est quod corpus *p* completo illo tempore reperietur in loco *m*. Hæc ita se habebunt ubi corpora *P* & *p* æqualiter secundum lineas *pC* & *PC* moventur, adeoq; æqualibus viribus secundum lineas illas urgentur. Capiatur autem angulus *pCn* ad angulum *pCk* ut est angulus *VCp* ad angulum *VCP*, sitq; *nC* æqualis *kC*, & corpus *p* completo illo tempore revera reperietur in *n*; adeoq; vi majore urgetur, si modo angulus *mCp* angulo *kCp* major est, id est si orbis *Vpk* movetur in consequentia, & minore, si orbis regreditur; estq; virium differentia ut locorum intervallum *mn*, per quod corpus illud *p* ipsius actione, dato illo temporis spatio transferri debet. Centro *C* intervallo *Cn* vel *Ck* describi intelligetur circulus secans lineas *mr*, *mn* productas in *s* & *t*, & erit rectangulum *mn* × *mt* æquale rectangulo *mk* × *ms*, adeoq; *mn* æquale *mk* × *ms* ÷ *mt*. Cum autem triangula *pCk*, *pCn* dentur magnitudine, sunt *kr* & *mr*, earumq; differentia *mk* & summa *ms* reciproce ut altitudo *pC*, adeoq; rectangulum *mk* × *ms* est reciproce ut quadratum altitudinis *pC*. Est & *mt* directe ut ½*mt*, id est ut altitudo *pC*. Hæ sunt primæ rationes linearum nascentium; & hinc fit *mk* × *ms* ÷ *mt*, id Page 135 est lineola nascens *mn*, eiq; proportionalis virium differentia reciproce ut cubus altitudinis *pC*.   Q. E. D.

*Corol. 1.* Hinc differentia virium in locis *P* & *p* vel *K* & *k* est ad vim qua corpus motu circulari revolvi posset ab *r* ad *k*, eodem tempore quo corpus *P* in orbe immobili describit arcum *PK*, ut *mk* × *ms* ad *rk* quadratum; hoc est si capiantur datæ quantitates *F*, *G* in ea ratione ad invicem quam habet angulus *VCP* ad angulum *VCp*, ut *Gq.* - *Fq.* ad *Fq.* Et propterea, si centro *C* intervallo quovis *CP* vel *Cp* describatur Sector circularis æqualis areæ toti *VPC*, quam corpus *P* tempore quovis in orbe immobili revolvens radio ad centrum ducto descripsit, differentia virium, quibus corpus *P* in orbe immobili & corpus *p* in orbe mobili revolvuntur, erit ad vim centripetam qua corpus aliquod radio ad centrum ducto Sectorem illum, eodem tempore quo descripta sit area *VPC*, uniformiter describere potuisset, ut *Gq.* - *Fq.* ad *Fq.* Namq; sector ille & area *pCk* sunt ad invicem ut tempora quibus describuntur.

*Corol. 2.* Si orbis *VPK* Ellipsis sit umbilicum habens *C* & Apsidem summam *V*; eiq; similis & æqualis ponatur Ellipsis *vpk*, ita ut sit semper *pc* æqualis *PC*, & angulus *VCp* sit ad angulum *VCP* in data ratione *G* ad *F*; pro altitudine autem *PC* vel *pc* scribatur *A*, & pro Ellipseos latere recto ponatur 2*R*: erit vis qua corpus in Ellipsi mobili revolvi potest, ut *Fq.* ÷ *Aq.* + {*RGq.* - *RFq.*} ÷ *A cub.* & contra. Exponatur enim vis qua corpus revolvatur in immota Ellipsi per quantitatem *Fq.* ÷ *Aq.*, & vis in *V* erit *Fq.* ÷ *CV quad.* Vis autem qua corpus in circulo ad distantiam *CV* ea cum velocitate revolvi posset quam corpus in Ellipsi revolvens habet in *V*, est ad vim qua corpus in Ellipsi revolvens urgetur in Apside *V*, ut dimidium lateris recti Ellipseos ad circuli semidiametrum *CV*, adeoq; valet *RFq.* ÷ *CV cub.*: & vis quæ sit ad hanc ut *Gq.* - *Fq.* Page 136 ad *Fq.*, valet {*RGq.* - *RFq.*} ÷ *CV cub.*: estq; hæc vis (per hujus Corol. 1.) differentia virium quibus corpus *P* in Ellipsi immota *VPK*, & corpus *p* in Ellipsi mobili *vpk* revolvuntur. Unde cum (per hanc Prop.) differentia illa in alia quavis altitudine *A* sit ad seipsam in altitudine *CV* ut 1 ÷ *A cub.* ad 1 ÷ *CV cub.*, eadem differentia in omni altitudine *A* valebit {*RGq.* - *RFq.*} ÷ *A cub.* Igitur ad vim *Fq.* ÷ *Aq.* qua corpus revolvi potest in Ellipsi immobili *VPK*, addatur excessus {*RGq.* - *RFq.*} ÷ *A cub.* & componetur vis tota *Fq.* ÷ *Aq.* + {*RGq.* - *RFq.*} ÷ *A cub.* qua corpus in Ellipsi mobili *vpk* iisdem temporibus revolvi possit.

*Corol. 3.* Ad eundem modum colligetur quod, si orbis immobilis *VPK* Ellipsis sit centrum habens in virium centro *C*; eiq; similis, æqualis & concentrica ponatur Ellipsis mobilis *vpk*, sitq; 2*R* Ellipseos hujus latus rectum, & 2*T* latus transversum atq; angulus *VCp* semper sit ad angulum *VCP* ut *G* ad *F*; vires quibus corpora in Ellipsi immobili & mobili temporibus æqualibus revolvi possunt, erunt ut *Fq.A* ÷ *T cub.* & *Fq.A* ÷ *T cub.* + {*RGq.* - *RFq.*} ÷ *A cub.* respective.

*Corol. 4.* Et universaliter, si corporis altitudo maxima *CV* nominetur *T*, & radius curvaturæ quam Orbis *VPK* habet in *V*, id est radius circuli æqualiter curvi, nominetur *R*, & vis centripeta qua corpus in Trajectoria quacunq; immobili *VPK* revolvi potest, in loco *V* dicatur {*Fq.* ÷ *Tq.*} *V*, atq; aliis in locis *P* indefinite dicatur *X*, altitudine *CP* nominata *A*, & capiatur *G* ad *F* in data ratione anguli *VCp* ad angulum *VCP*: erit vis centripeta qua corpus idem eosdem motus in eadem Trajectoria *vpk* Page 137 circulariter mota temporibus iisdem peragere potest, ut summa virium *X* + {*VRGq.* - *VRFq.*} ÷ *A cub.*

*Corol. 5.* Dato igitur motu corporis in Orbe quocunq; immobili, augeri vel minui potest ejus motus angularis circa centrum virium in ratione data, & inde inveniri novi orbes immobiles in quibus corpora novis viribus centripetis gyrentur.

*Corol. 6.* Igitur si ad rectam *CV* positione datam erigatur perpendiculum *VP* longitudinis indeterminatæ, jungaturq; *PC*, & ipsi æqualis agatur *Cp*, constituens angulum *VCp*, qui sit ad angulum *VCP* in data ratione; vis qua corpus gyrari potest in Curva illa *Vpk* quam punctum *p* perpetuo tangit, erit reciproce ut cubus altitudinis *Cp*. Nam corpus *P*, per vim inertiæ, nulla alia vi urgente, uniformiter progredi potest in recta *VP*. Addatur vis in centrum *C*, cubo altitudinis *CP* vel *Cp* reciproce proportionalis, & (per jam demonstrata) detorquebitur motus ille rectilineus in lineam curvam *Vpk*. Est autem hæc Curva *Vpk* eadem cum Curva illa *VPQ* in Corol. 3. Prop. XLI inventa, in qua ibi diximus corpora hujusmodi viribus attracta oblique ascendere.

*Orbium qui sunt Circulis maxime finitimi requiruntur motus Apsidum.*

Problema solvitur Arithmetice faciendo ut orbis, quem corpus in Ellipsi mobili, ut in Propositionis superioris Corol. 2. vel 3. revolvens, describit in plano immobili, accedat ad formam orbis cujus Apsides requiruntur, & quærendo Apsides orbis quem corpus illud in plano immobili describit. Orbes autem eandem acquirent formam, si vires centripetæ quibus describuntur, inter se Page 138 collatæ, in æqualibus altitudinibus reddantur proportionales. Sit punctum *V* Apsis summa, & scribantur *T* pro altitudine maxima *CV*, *A* pro altitudine quavis alia *CP* vel *Cp*, & *X* pro altitudinum differentia *CV* - *CP*; & vis qua corpus in Ellipsi circa umbilicum ejus *C* (ut in Corollario 2.) revolvente movetur, quæq; in Corollario 2. erat ut *Fq.* ÷ *Aq.* + {*RGq.* - *RFq.*} ÷ *A cub.* id est ut {*Fq. A* + *RGq.* - *RFq.*} ÷ *A cub.*, substituendo *T* - *X* pro *A*, erit ut {*RGq.* - *RFq.* + *TFq.* - *Fq.X*} ÷ *A cub.* Reducenda similiter est vis alia quævis centripeta ad fractionem cujus denominator sit *A cub.* & numeratores, facta homologorum terminorum collatione, statuendi sunt analogi. Res Exemplis parebit.

*Exempl. 1.* Ponamus vim centripetam uniformem esse, adeoq; ut *A cub.* ÷ *A cub.*, sive (scribendo *T* - *X* pro *A* in Numeratore) ut {*T cub.* - 3*Tq.X* + 3*TXq.* - *X cub.*} ÷ *A cub.*; & collatis Numeratorum terminis correspondentibus, nimirum datis cum datis & non datis cum non datis, fiet *RGq.* - *RFq.* + *TFq.* ad *T cub.* ut -*Fq.X* ad -3*Tq.X* + 3*TXq.* - *X cub.* sive ut -*Fq.* ad -3*Tq.* + 3*TX* - *Xq.* Jam cum Orbis ponatur circulo quam maxime finitimus, coeat orbis cum circulo; & ob factas *R*, *T* æquales, atq; *X* in infinitum diminutam, rationes ultimæ erunt *RGq.* ad *T cub.* ut -*Fq.* ad -3*Tq.* seu *Gq.* ad *Tq.* ut *Fq.* ad 3*Tq.* & vicissim *G quadrat.* ad *F quadrat.* ut *T quad.* ad 3*T quad.* id est, ut 1 ad 3; adeoq; *G* ad *F*, hoc est angulus *VCp* ad angulum *VCP* ut 1 ad √3. Ergo cum corpus in Ellipsi immobili, ab Apside summa ad Apsidem imam descendendo conficiat angulum *VCP* (ut ita dicam) graduum 180; corpus aliud in Ellipsi mobili, atq; adeo in orbe immobili de quo agimus, ab Abside summa ad Apsidem imam descendendo conficiet angulum *VCp* graduum 180 ÷ √3: id Page 139 adeo ob similitudinem orbis hujus, quem corpus agente uniformi vi centripeta describit, & orbis illius quem corpus in Ellipsi revolvente gyros peragens describit in plano quiescente. Per superiorem terminorum collationem similes redduntur hi orbes, non universaliter, sed tunc cum ad formam circularem quam maxime appropinquant. Corpus igitur uniformi cum vi centripeta in orbe propemodum circulari revolvens, inter Apsidem summam & Apsidem imam conficiet semper angulum 180 ÷ √3 graduum, seu 103 *gr.* 55 *m.* ad centrum; perveniens ab Apside summa ad Apsidem imam, ubi semel confecit hunc angulum, & inde ad Apsidem summam rediens, ubi iterum confecit eundem angulum, & sic deinceps in infinitum.

Exempl. 2. Ponamus vim centripetam esse ut altitudinis A dignitas quælibet A n - 3 seu A n ÷ A 3 : ubi n - 3 & n significant dignitatum indices quoscunq; integros vel fractos, rationales vel irrationales, affirmativos vel negativos. Numerator ille A n seu T - X n in seriem indeterminatam per Methodum nostram Serierum convergentium reducta, evadit T n - nXT n - 1 + { nn - n }÷2 Xq.T n - 2 &c. Et collatis hujus terminis cum terminis Numeratoris alterius RGq. - RFq. + TFq. - Fq.X , fit RGq. - RFq. + TFq. ad T n ut - Fq. ad - nT n - 1 + { nn - n }÷2 XT n - 2 &c. Et sumendo rationes ultimas ubi orbes ad formam circularem accedunt, fit RGq. ad T n ut - Fq. ad - nT n - 1 , seu Gq. ad T n - 1 ut Fq. ad nT n - 1 , & vicissim Gq. ad Fq. ut T n - 1 ad nT n - 1 id est ut 1 ad n ; adeoq; G ad F , id est angulus VCp ad angulum VCP , ut 1 ad √ n . Quare cum angulus VCP , in descensu Page 140 corporis ab Apside summa ad Apsidem imam in Ellipsi confectus, sit graduum 180, conficietur angulus VCp , in descensu corporis ab Apside summa ad Apsidem imam in Orbe propemodum circulari, quem corpus quodvis vi centripeta dignitati A n - 3 proportionali describit, æqualis angulo graduum 180 ÷ √ n ; & hoc angulo repetito corpus redibit ab Apside ima ad Apsidem summam, & sic deinceps in infinitum. Ut si vis centripeta sit ut distantia corporis a centro, id est ut A seu A 4 ÷ A 3 , erit n æqualis 4 & √4 æqualis 2; adeoq; angulus inter Apsidem summam & Apsidem imam æqualis 180 ÷ 2 gr. seu 90 gr. Completa igitur quarta parte revolutionis unius corpus perveniet ad Apsidem imam, & completa alia quarta parte ad Apsidem summam, & sic deinceps per vices in infinitum. Id quod etiam ex Propositione X. manifestum est. Nam corpus urgente hac vi centripeta revolvetur in Ellipsi immobili, cujus centrum est in centro virium. Quod si vis centripeta sit reciproce ut distantia, id est directe ut 1 ÷ A seu A 2 ÷ A 3 , erit n = 2, adeoq; inter Apsidem summam & imam angulus erit graduum 180 ÷ √2 seu 127 gr. 17 min. & propterea corpus tali vi revolvens, perpetua anguli hujus repetitione, vicibus alternis ab Apside summa ad imam & ab ima ad summam perveniet in æternum. Porro si vis centripeta sit reciproce ut Latus quadrato-quadratum undecimæ dignitatis Altitudinis, id est reciproce ut A 11 / 4 , adeoq; directe ut 1 ÷ A 11 / 4 seu ut A ¼ ÷ A 3 erit n æqualis ¼, & 180 ÷ √ n gr. æqualis 360 gr. & propterea corpus de Apside summa discedens & subinde perpetuo descendens, perveniet ad Apsidem imam ubi complevit revolutionem integram, dein perpetuo ascensu complendo aliam revolutionem integram, redibit ad Apsidem summam: & sic per vices in æternum. Page 141

*Exempl. 3.* Assumentes *m* & *n* pro quibusvis indicibus dignitatum Altitudinis, & *b*, *c* pro numeris quibusvis datis, ponamus vim centripetam esse ut {*bA*^*m* + *cA*^*n*} ÷ *A cub.* id est ut {*b* in *T* - *X*^*m* + *c* in *T* - *X*^*n*} ÷ *A cub.* seu (per eandem Methodum nostram Serierum convergentium) ut

& collatis numeratorum terminis, fiet *RGq.* - *RFq.* + *TFq.* ad *bT*^*m* + *cT*^*n*, ut -*Fq.* ad -*mbT*^{*m* - 1} - *ncT*^{*n* - 1} + {*mm* - *m*}÷2 *XT*^{*m* - 2} + {*nn* - *n*}÷2 *XT*^{*n* - 2} &c. Et sumendo rationes ultimas quæ prodeunt ubi orbes ad formam circularem accedunt, fit *Gq.* ad *bT*^{*m* - 1} + *cT*^{*n* - 1}, ut *Fq.* ad *mbT*^{*m* - 1} + *ncT*^{*n* - 1}, & vicissim *Gq.* ad *Fq.* ut *bT*^{*m* - 1} + *cT*^{*n* - 1} ad *mbT*^{*m* - 1} + *ncT*^{*n* - 1}. Quæ proportio, exponendo altitudinem maximam *CV* seu *T* Arithmetice per unitatem, fit *Gq.* ad *Fq.* ut *b* + *c* ad *mb* + *nc*, adeoq; ut 1 ad {*mb* + *nc*} ÷ {*b* + *c*}. Unde est *G* ad *F*, id est angulus *VCp* ad angulum *VCP*, ut 1 ad √{{*mb* + *nc*} ÷ {*b* + *c*}}. Et propterea cum angulus *VCP* inter Apsidem summam & Apsidem imam in Ellipsi immobili sit 180 *gr.* erit angulus *VCp* inter easdem Apsides, in Orbe quem corpus vi centripeta quantitati {*bA*^*m* + *cA*^*n*} ÷ *A cub.* proportionali describit, æqualis angulo graduum 180 √{{*b* + *c*} ÷ {*mb* + *nc*}}. Et eodem argumento si vis centripeta sit ut {*bA*^*m* - *cA*^*n*} ÷ *A cub.*, angulus inter Apsides invenietur 180 √{{*b* - *c*} ÷ {*mb* - *nc*}} graduum. Nec secus resolvetur Problema in Page 142 casibus difficilioribus. Quantitas cui vis centripeta proportionalis est, resolvi semper debet in series convergentes denominatorem habentes *A cub.* Dein pars data Numeratoris hujus *RGq.* - *RFq.* + *TFq.* - *Fq.X* ad partem non datam in eadem ratione ponendæ sunt: Et quantitates superfluas delendo, scribendoq; unitatem pro *T*, obtinebitur proportio *G* ad *F*.

Corol. 1. Hinc si vis centripeta sit ut aliqua altitudinis dignitas, inveniri potest dignitas illa ex motu Apsidum; & contra. Nimirum si motus totus angularis, quo corpus redit ad Apsidem eandem, sit ad motum angularem revolutionis unius, seu graduum 360, ut numerus aliquis m ad numerum alium n , & altitudo nominetur A : erit vis ut altitudinis dignitas illa A nn / mm - 3 , cujus Index est nn / mm - 3. Id quod per Exempla secunda manifestum est. Unde liquet vim illam in majore quam triplicata altitudinis ratione decrescere non posse: Corpus tali vi revolvens deq; Apside discedens, si cæperit descendere, nunquam perveniet ad Apsidem imam seu altitudinem minimam, sed descendet usq; ad centrum, describens curvam illam lineam de qua egimus in Corol. 3. Prop. XLI. Sin cæperit illud de Apside discedens vel minimum ascendere, ascendet in infinitum, neq; unquam perveniet ad Apsidem summam. Describet enim curvam illam lineam de qua actum est in eodem Corol. & in Corol. 6. Prop. XLIV. Sic & ubi vis in recessu a centro decrescit in majori quam triplicata ratione altitudinis, corpus de Apside discedens, perinde ut cæperit descendere vel ascendere, vel descendet ad centrum usq; vel ascendet in infinitum. At si vis in recessu a centro vel decrescat in minori quam triplicata ratione altitudinis, vel crescat in altitudinis ratione quacunq; Corpus nunquam descendet ad centrum usq; sed ad Apsidem imam aliquando perveniet: & contra, si corpus de Apside ad Apsidem alternis vicibus descendens & ascendens nunquam appellat ad centrum, Vis in recessu a centro aut augebitur, aut in Page 143 minore quam triplicata altitudinis ratione decrescet: & quo citius corpus de Apside ad Apsidem redierit, eo longius ratio virium recedet a ratione illa triplicata. Ut si corpus revolutionibus 8 vel 4 vel 2 vel 1 1 / 2 de Apside summa ad Apsidem summam alterno descensu & ascensu redierit, hoc est, si fuerit m ad n ut 8 vel 4 vel 2 vel 1 1 / 2 ad 1, adeoq; nn / mm - 3 ualeat 1 / 64 - 3 vel 1 / 16 - 3 vel 1 / 4 - 3 vel 4 / 9 - 3, erit vis ut A 1 / 64 - 3 vel A 1 / 16 - 3 vel A 1 / 4 - 3 vel A 4 / 9 - 3 , id est reciproce ut A 3 - 1 / 64 vel A 3 - 1 / 16 vel A 3 - 1 / 4 vel A 3 - 4 / 9 . Si corpus singulis revolutionibus redierit ad Apsidem eandem immotam, erit m ad n ut 1 ad 1, adeoq; A nn / mm - 3 æqualis A -2 seu 1 ÷ A 2 , & propterea decrementum virium in ratione duplicata altitudinis, ut in præcedentibus demonstratum est. Si corpus partibus revolutionis unius vel tribus quartis, vel duabus tertiis, vel una tertia, vel una quarta, ad Apsidem eandem redierit, erit m ad n ut 3 / 4 vel 2 / 3 vel 1 / 3 vel 1 / 4 ad 1, adeoq; A nn / mm - 3 æqualis A 16 / 9 - 3 vel A 9 / 4 - 3 vel A 9 - 3 vel A 16 - 3 & propterea Vis aut reciproce ut A 11 / 9 vel A 3 / 4 , aut directe ut A 6 vel A 13 . Deniq; si Corpus pergendo ab Apside summa ad Apsidem summam confecerit revolutionem integram, & præterea gradus tres, adeoq; Apsis illa singulis corporis revolutionibus confecerit in Consequentia gradus tres, erit m ad n ut 363 gr. ad 360 gr. adeoq; A nn / mm - 3 erit æquale A -265707÷131769 , & propterea Vis centripeta reciproce ut A 265707÷131769 seu A 2 4 / 243 . Decrescit igitur Vis centripeta in ratione paulo majore quam duplicata, sed quæ vicibus 60 3 / 4 propius ad duplicatam quam ad triplicatam accedit.

*Corol. 2.* Hinc etiam si corpus, vi centripeta quæ sit reciproce ut quadratum altitudinis, revolvatur in Ellipsi umbilicum habente in centro virium, & huic vi centripetæ addatur vel auferatur vis alia quævis extranea; cognosci potest (per Exempla Page 144 tertia) motus Apsidum qui ex vi illa extranea orietur: & contra. Ut si vis qua corpus revolvitur in Ellipsi sit ut 1 ÷ *A*², & vis extranea ablata ut *cA*, adeoq; vis reliqua ut {*A* - *cA*⁴} ÷ *A*³; erit (in Exemplis tertiis) *A* æqualis 1 & *n* æqualis 4, adeoq; angulus revolutionis inter Apsides æqualis angulo graduum 180√{{1 - *c*} ÷ {1 - 4*c*}}. Ponatur vim illam extraneam esse 357,45 vicibus minorem quam vis altera qua corpus revolvitur in Ellipsi, id est *c* esse 100 ÷ 35745, & 180√{{1 - *c*} ÷ {1 - 4*c*}} evadet 180√{35645 ÷ 35345} seu 180,7602, id est 180*gr.* 45*m.* 37*s.* Igitur corpus de Apside summa discedens, motu angulari 180*gr.* 45*m.* 37*s.* perveniet ad Apsidem imam, & hoc motu duplicato ad Apsidem summam redibit: adeoq; Apsis summa singulis revolutionibus progrediendo conficiet 1*gr.* 31*m.* 14*s.*

Hactenus de motu corporum in orbibus quorum plana per centrum virium transeunt. Superest ut motus etiam determinemus in planis excentricis. Nam Scriptores qui motum gravium tractant, considerare solent ascensus & descensus ponderum, tam obliquos in planis quibuscunq; datis, quam perpendiculares: & pari jure motus corporum viribus quibuscunq; centra petentium, & planis excentricis innitentium hic considerandus venit. Plana autem supponimus esse politissima & absolute lubrica ne corpora retardent. Quinimo in his demonstrationibus, vice planorum quibus corpora incumbunt quasq; tangunt incumbendo, usurpamus plana his parallela, in quibus centra corporum moventur & orbitas movendo describunt. Et eadem lege motus corporum in superficiebus curvis peractos subinde determinamus.

Page 145

*De Motu Corporum in Superficiebus datis, deq; Funipendulorum Motu reciproco.*

*Posita cujuscunq; generis vi centripeta, datoq; tum virium centro tum plano quocunq; in quo corpus revolvitur, & concessis Figurarum curvilinearum quadraturis: requiritur motus corporis de loco dato data cum velocitate secundum Rectam in Plano illo datam egressi.*

Sit S centrum virium, SC distantia minima centri hujus a plano dato, P corpus de loco P secundum rectam PZ egrediens, Q corpus idem in Trajectoria sua revolvens, & PQR Trajectoria illa in plano dato descripta, quam invenire oportet. Jungantur CQ , QS , & si in QS capiatur SV proportionalis vi centripetæ qua corpus trahitur versus centrum S , & agatur VT quæ sit parallela CQ & occurrat SC in T : Vis SV resolvetur (per Legum Corol. 2.) in vires ST , TV ; quarum ST trahendo corpus secundum lineam plano perpendicularem, nil mutat motum ejus in hoc plano. Vis autem altera TV , agendo secundum positionem plani, trahit corpus directe versus punctum C in plano Page 146 datum, adeoq; facit illud in hoc plano perinde moveri ac si vis ST tolleretur, & corpus vi sola TV revolveretur circa centrum C in spatio libero. Data autem vi centripeta TV qua corpus Q in spatio libero circa centrum datum C revolvitur, datur per Prop. XLII. tum Trajectoria PQR quam corpus describit, tum locus Q in quo corpus ad datum quodvis tempus versabitur, tum deniq; velocitas corporis in loco illo Q ; & contra.   Q. E. I.

*Posito quod vis centripeta proportionalis sit distantiæ corporis a centro; corpora omnia in planis quibuscunq; revolventia describent Ellipses, & revolutiones temporibus æqualibus peragent; quæq; moventur in lineis rectis ultro citroq; discurrendo, singulas eundi & redeundi periodos iisdem temporibus absolvent.*

Nam stantibus quæ in superiore Propositione; vis *SV* qua corpus *Q* in plano quovis *PQR* revolvens trahitur versus centrum *S* est ut distantia *SQ*; atq; adeo ob proportionales *SV* & *SQ*, *TV* & *CQ*, vis *TV* qua corpus trahitur versus punctum *C* in Orbis plano datum, est ut distantia *CQ*. Vires igitur, quibus corpora in plano *PQR* versantia trahuntur versus punctum *C*, sunt pro ratione distantiarum æquales viribus quibus corpora unaquaq; trahuntur versus centrum *S*; & propterea corpora movebuntur iisdem temporibus in iisdem figuris in plano Page 147 quovis *PQR* circa punctum *C*, atq; in spatiis liberis circa centrum *S*, adeoq; (per Corol. 2. Prop. X. & Corol. 2. Prop. XXXVIII.) temporibus semper æqualibus, vel describent Ellipses in plano illo circa centrum *C*, vel periodos movendi ultro citroq; in lineis rectis per centrum *C* in plano illo ductis, complebunt.   Q. E. D.

His affines sunt ascensus ac descensus corporum in superficiebus curvis. Concipe lineas curvas in plano describi, dein circa axes quosvis datos per centrum virium transeuntes revolvi, & ea revolutione superficies curvas describere; tum corpora ita moveri ut eorum centra in his superficiebus perpetuo reperiantur. Si corpora illa oblique ascendendo & descendendo currant ultro citroq; peragentur eorum motus in planis per axem transeuntibus, atq; adeo in lineis curvis quarum revolutione curvæ illæ superficies genitæ sunt. Istis igitur in casibus sufficit motum in his lineis curvis considerare.

*Si rota globo extrinsecus ad angulos rectos insistat, & more rotarum revolvendo progrediatur in circulo maximo; longitudo itineris curvilinei, quod punctum quodvis in rotæ perimetro datum, ex quo globum tetigit, confecit, erit ad duplicatum sinum versum arcus dimidii qui globum ex eo tempore inter eundem tetigit, ut summa diametrorum globi & rotæ ad semidiametrum globi.*

*Si rota globo concavo ad rectos angulos intrinsecus insistat & revolvendo progrediatur in circulo maximo; longitudo itineris curvilinei Page 148 quod punctum quodvis in Rotæ Perimetro datum, ex quo globum tetigit, confecit, erit ad duplicatum sinum versum arcus dimidii qui globum toto hoc tempore inter eundum tetigit, ut differentia diametrorum globi & rotæ ad semidiametrum globi.*

Sit *ABL* globus, *C* centrum ejus, *BPV* rota ei insistens, *E* centrum rotæ, *B* punctum contactus, & *P* punctum datum in perimetro rotæ. Concipe hanc Rotam pergere in circulo maximo *ABL* ab *A* per *B* versus *L*, & inter eundum ita revolvi ut arcus *AB*, *PB* sibi invicem semper æquentur, atq; punctum illud *P* in Perimetro rotæ datum interea describere viam curvilineam *AP*. Sit autem *AP* via tota curvilinea descripta ex quo Rota globum tetigit in *A*, & erit viæ hujus longitudo *AP* ad duplum sinum versum arcus ½*PB*, ut 2*CE* ad *CB*. Nam recta *CE* (si Page 149 opus est producta) occurrat Rotæ in *V*, junganturq; *CP*, *BP*, *EP*, *VP*, & in *CP* productam demittatur Normalis *VF*. Tangant *PH*, *VH* circulum in *P* & *V* concurrentes in *H*, secetq; *PH* ipsam *VF* in *G*, & ad *VP* demittantur Normales *GI*, *HK*. Centro item *C* & intervallo quovis describatur circulus *nom* secans rectam *CP* in *n*, Rotæ perimetrum *Bp* in *o* & viam curvilineam *AP* in *m*, centroq; *V* & intervallo *Vo* describatur circulus secans *VP* productam in *q*.

Quoniam Rota eundo semper revolvitur circa punctum contactus *B*, manifestum est quod recta *BP* perpendicularis est ad lineam illam curvam *AP*, quam Rotæ punctum *P* describit, atq; adeo quod recta *VP* tanget hanc curvam in puncto *P*. Circuli *nom* radius sensim auctus æquetur tandem distantiæ *CP*, & ob similitudinem figuræ evanescentis *Pnomq* & figuræ *PFGVI*, ratio ultima lineolarum evanescentium *Pm*, *Pn*, *Po*, *Pq*, id est ratio incrementorum momentaneorum curvæ *AP*, rectæ *CP* & arcus circularis *BP*, ac decrementi rectæ *VP*, eadem erit quæ linearum *PV*, *PF*, *PG*, *PI* respective. Cum autem *VF* ad *CF* & *VH* ad *CV* perpendiculares sunt, anguliq; *HVG*, *VCF* propterea æquales; & angulus *VHP*, (ob angulos quadrilateri *HVEP* ad *V* & *P* rectos,) complet angulum *VEP* ad duos rectos, adeoq; angulo *CEP* æqualis est, similia erunt triangula *VHG*, *CEP*; & inde fiet ut *EP* ad *CE* ita *HG* ad *HV* seu *HP*, & ita *KI* ad *KP*, & divisim ut *CB* ad *CE* ita *PI* ad *PK*, & duplicatis consequentibus ut *CB* ad 2*CE* ita *PI* ad *PV*. Est igitur decrementum lineæ *VP*, id est incrementum lineæ *BV* - *VP*, ad incrementum lineæ curvæ *AP* in data ratione *CB* ad 2*CE*, & propterea (per Corol. Lem. IV.) longitudines *BV* - *VP* & *AP* incrementis illis genitæ sunt in eadem ratione. Sed existente *BV* radio, est *VP* cosinus anguli *VPB* seu ½*BEP*, adeoq; *BV* - *VP* sinus versus ejusdem anguli, & propterea in hac Rota cujus radius est ½*BV*, erit *BV* - *VP* duplus sinus versus arcus ½*BP*. Ergo *AP* est ad duplum sinum versum arcus ½*BP* ut 2*CE* ad *CB*.   Q. E. D. Page 150

Lineam autem *AP* in Propositione priore Cycloidem extra Globum, alteram in posteriore Cycloidem intra Globum distinctionis gratia nominabimus.

*Corol. 1.* Hinc si describatur Cyclois integra *ASL* & bisecetur ea in *S*, erit longitudo partis *PS* ad longitudinem *VP* (quæ duplus est sinus anguli *VBP*, existente *EB* radio) ut 2*CE* ad *CB* atq; adeo in ratione data.

*Corol. 2.* Et longitudo semiperimetri Cycloidis *AS* æquabitur lineæ rectæ, quæ est ad Rotæ diametrum *BV* ut 2*CE* ad *CB*.

*Corol. 3.* Ideoq; longitudo illa est ut rectangulum *BEC*, si modo Globi detur semidiameter.

*Facere ut Corpus pendulum oscilletur in Cycloide data.*

Intra Globum QVS centro C descriptum detur Cyclois QRS bisecta in R & punctis suis extremis Q & S superficiei Globi hinc inde occurrens. Agatur CR bisecans arcum QS in O , & producatur ea ad A , ut sit CA ad CO ut CO ad CR . Centro C intervallo CA describatur Globus exterior ABD , & intra hunc globum Rota, cujus diameter sit AO , describantur duæ semicycloides AQ , AS , quæ globum interiorem tangant in Q & S & globo exteriori occurrant in A . A puncto illo A , filo APT longitudinem AR æquante, pendeat corpus T , & ita intra semicycloides AQ , AS oscilletur, ut quoties pendulum digreditur a perpendiculo AR , filum parte sui

superiore AP applicetur ad semicycloidem illam APS , versus quam peragitur motus, & circum eam ceu obstaculum flectatur, parteq; reliqua PT cui semicyclois nondum objicitur, protendatur in lineam rectam; & pondus T oscillabitur in Cycloide data QRS .   Q. E. F.

Occurrat enim filum *PT* tum Cycloidi *QRS* in *T*, tum circulo *QOS* in *V*, agaturq; *CV* occurrens circulo *ABD* in *B*; & ad fili partem rectam *PT*, e punctis extremis *P* ac *T*, erigantur Page 151 perpendicula *PB*, *TW*, occurrentia rectæ *CV* in *B* & *W*. Patet enim ex genesi Cycloidis, quod perpendicula illa *PB*, *TW*, abscindent de *CV* longitudines *VB*, *VW* rotarum diametris *OA*, *OR* æquales, atq; adeo quod punctum *B* incidet in circulum *ABD*. Est igitur *TP* ad *VP* (duplum sinum anguli *VBP* existente ½*BV* radio) ut *BW* ad *BV*, seu *AO* + *OR* ad *AO*, id est (cum sint *CA* ad *CO*, *CO* ad *CR* & divisim *AO* ad *OR* proportionales,) ut *CA* + *CO* seu 2*CE* ad *CA*. Proinde per Corol. 1. Prop. XLIX. longitudo *PT* æquatur Cycloidis arcui *PS*, & filum totum *APT* æquatur Cycloidis arcui dimidio *APS*, hoc est (per Corollar. 2. Prop. XLIX) longitudini *AR*. Et propterea vicissim si filum manet semper æquale longitudini *AR* movebitur punctum *T* in Cycloide *QRS*. Q. E. D.

*Corol.* Filum *AR* æquatur Cycloidis arcui dimidio *APS*.

*Si vis centripeta tendens undiq; ad Globi centrum*C*sit in locis singulis ut distantia loci cujusq; a centro, & hac sola vi agente Corpus*T*Page 152 oscilletur (modo jam descripto) in perimetro Cycloidis*QRS*: dico quod oscillationum utcunq; inæqualium æqualia erunt Tempora.*

Nam in Cycloidis tangentem *TW* infinite productam cadat perpendiculum *CX* & jungatur *CT*. Quoniam vis centripeta qua corpus *T* impellitur versus *C* est ut distantia *CT*, (per Legum Corol. 2.) resolvitur in partes *CX*, *TX*, quarum *CX* impellendo corpus directe a *P* distendit filum *PT* & per cujus resistentiam tota cessat, nullum alium edens effectum; pars autem altera *TX* urgendo corpus transversim seu versus *X*, directe accelerat motum ejus in Cycloide; manifestum est quod corporis acceleratio huic vi acceleratrici proportionalis sit singulis momentis ut longitudo *TX*, id est, ob datas *CV*, *WV* iisq; proportionales *TX*, *TW*, ut longitudo *TW*, hoc est (per Corol. 1. Prop. XLIX.) ut longitudo arcus Cycloidis *TR*. Pendulis igitur duabus *APT*, *Apt* de perpendiculo *AR* inæqualiter deductis & simul dimissis, accelerationes eorum semper erunt ut arcus describendi *TR*, *tR*. Sunt autem partes sub initio descriptæ ut accelerationes, hoc est ut totæ sub initio describendæ, & propterea partes quæ manent describendæ & accelerationes subsequentes his partibus proportionales sunt etiam ut totæ; & sic deinceps. Sunt igitur accelerationes atq; adeo velocitates genitæ & partes his velocitatibus descriptæ partesq; describendæ, semper ut totæ; & propterea partes describendæ datam servantes rationem ad invicem simul evanescent, id est corpora duo oscillantia simul pervenient ad perpendiculum *AR*. Cumq; vicissim ascensus perpendiculorum de loco infimo *R*, per eosdem arcus Trochoidales motu retrogrado facti, retardentur in locis singulis a viribus iisdem a quibus descensus accelerabantur, patet velocitates ascensuum ac descensuum per eosdem arcus factorum æquales esse, atq; adeo temporibus æqualibus fieri; & propterea, cum Cycloidis partes duæ *RS* & *RQ* ad utrumq; perpendiculi latus jacentes sint similes & æquales, pendula duo oscillationes suas tam totas quam dimidias iisdem temporibus semper peragent.   Q. E. D. Page 153

*Definire & velocitates Pendulorum in locis singulis, & Tempora quibus tum oscillationes totæ, tum singulæ oscillationum partes peraguntur.*

Centro quovis *G*, intervallo *GH* Cycloidis arcum *RS* æquante, describe semicirculum *HKMG* semidiametro *GK* bisectum. Et si vis centripeta distantiis locorum a centro proportionalis tendat ad centrum *G*, sitq; ea in perimetro *HIK* æqualis vi centripetæ in perimetro globi *QOS* (*Vide Fig. Prop. L. & LI.*) ad ipsius centrum tendente; & eodem tempore quo pendulum *T* dimittitur e loco supremo *S*, cadat corpus aliquod *L* ab *H* ad *G*: quoniam vires quibus corpora urgentur sunt æquales sub initio & spatiis describendis *TR*, *GL* semper proportionales, atq; adeo, si æquantur *TR* & *LG*, æquales in locis *T* & *L*; patet corpora illa describere spatia *ST*, *HL* æqualia sub initio, adeoq; subinde pergere æqualiter urgeri, & æqualia spatia describere. Quare, per Prop. XXXVIII., tempus quo corpus describit arcum *ST* est ad tempus oscillationis unius, ut arcus *HI* (tempus quo corpus *H* perveniet ad *L*) ad semicirculum *HKM* (tempus quo corpus *H* perveniet ad *M*.) Et velocitas corporis penduli in loco *T* est ad velocitatem ipsius in loco infimo *R*, (hoc est velocitas corporis *H* in loco *L* ad velocitatem ejus in loco *G*, seu incrementum momentaneum lineæ *HL* ad incrementum momentaneum lineæ *HG*, arcubus *HI*, *HK* æquabili fluxu crescentibus) ut ordinatim applicata *LI* ad radium *GK*, sive ut √*SRq.* - *TRq.* ad *SR*. Unde cum in Oscillationibus inæqualibus describantur æqualibus temporibus arcus totis Oscillationum arcubus proportionales, habentur ex datis Page 154 temporibus & velocitates & arcus descripti in Oscillationibus universis. Quæ erant primo invenienda.

Oscillentur jam funipendula duo corpora in Cycloidibus inæqualibus & earum semiarcubus æquales capiantur rectæ *GH*, *gh*, centrisq; *G*, *g* & intervallis *GH*, *gh* describantur semicirculi *HZKM*, *hzkm*. In eorum diametris *HM*, *hm* capiantur lineolæ æquales *HY*, *hy*, & erigantur normaliter *YZ*, *yz* circumferentiis occurrentes in *Z* & *z*. Quoniam corpora pendula sub initio motus versantur in circumferentia globi *QOS*, adeoq; a viribus æqualibus urgentur in centrum, incipiuntq; directe versus centrum moveri, spatia simul consecta æqualia erunt sub initio. Urgeantur igitur corpora *H*, *h* a viribus iisdem in *H* & *h*, sintq; *HY*, *hy* spatia æqualia ipso motus initio descripta, & arcus *HZ*, *hz* denotabunt æqualia tempora. Horum arcuum nascentium ratio prima duplicata est eadem quæ rectangulorum *GHY*, *ghy*, id est, eadem quæ linearum *GH*, *gh* adeoq; arcus capti in dimidiata ratione semidiametrorum denotant æqualia tempora. Est ergo tempus totum in circulo *HKM*, Oscillationi in una Cycloide respondens, ad tempus totum in circulo *hkm* Oscillationi in altera Cycloide respondens, ut semiperiferia *HKM* ad medium proportionale inter hanc semiperiferiam & semiperiferiam circuli alterius *hkm*, id est in dimidiata ratione diametri *HM* ad diametrum *hm*, hoc est in dimidiata ratione perimetri Cycloidis primæ ad perimetrum Cycloidis alterius, adeoq; tempus illud in Page 155 Cycloide quavis est (per Corol. 3. Prop. XLIX.) ut latus quadratum rectanguli *BEC* contenti sub semidiametro Rotæ, qua Cyclois descripta fuit, & differentia inter semidiametrum illam & semidiametrum globi.   Q. E. I.   Est & idem tempus (per Corol. Prop. L.) in dimidiata ratione longitudinis fili *AR*.   Q. E. I.

Porro si in globis concentricis describantur similes Cycloides: quoniam earum perimetri sunt ut semidiametri globorum & vires in analogis perimetrorum locis sunt ut distantiæ locorum a communi globorum centro, hoc est ut globorum semidiametri, atq; adeo ut Cycloidum perimetri & perimetrorum partes similes, æqualia erunt tempora quibus perimetrorum partes similes Oscillationibus similibus describuntur, & propterea Oscillationes omnes erunt Isochronæ. Cum igitur Oscillationum tempora in Globo dato sint in dimidiata ratione longitudinis *AR*, atq; adeo (ob datam *AC*) in dimidiata ratione numeri *AR* ÷ *AC*, id est in ratione integra numeri √{*AR* ÷ *AC*}; & hic numerus √{*AR* ÷ *AC*} servata ratione *AR* ad *AC* (ut fit in Cycloidibus similibus) idem semper maneat, & propterea in globis diversis, ubi Cycloides sunt similes, sit ut tempus: manifestum est quod Oscillationum tempora in alio quovis globo dato, atq; adeo in globis omnibus concentricis sunt ut numerus √{*AR* ÷ *AC*}, id est, in ratione composita ex dimidiata ratione longitudinis fili *AR* directe & dimidiata ratione semidiametri globi *AC* inverse.   Q. E. I.

Deniq; si vires absolutæ diversorum globorum ponantur inæquales, accelerationes temporibus æqualibus factæ, erunt ut vires. Unde si tempora capiantur in dimidiata ratione virium inverse, velocitates erunt in eadem dimidiata ratione directe, & propterea spatia erunt æqualia quæ his temporibus describuntur. Ergo Oscillationes in globis & Cycloidibus omnibus, quibuscunq; cum viribus absolutis factæ, sunt in ratione quæ componitur ex Page 156 dimidiata ratione longitudinis Penduli directe, & dimidiata ratione distantiæ inter centrum Penduli & centrum globi inverse, & dimidiata ratione vis absolutæ etiam inverse, id est, si vis illa dicatur V , in ratione numeri √{ AR ÷ { AC × V }}.   Q. E. I.

*Corol. 1.* Hinc etiam Oscillantium, cadentium & revolventium corporum tempora possunt inter se conferri. Nam si Rotæ, qua Cyclois intra globum describitur, diameter constituatur æqualis semidiametro globi, Cyclois evadet linea recta per centrum globi transiens, & Oscillatio jam erit descensus & subsequens ascensus in hac recta. Unde datur tum tempus descensus de loco quovis ad centrum, tum tempus huic æquale quo corpus uniformiter circa centrum globi ad distantiam quamvis revolvendo arcum quadrantalem describit. Est enim hoc tempus (per Casum secundum) ad tempus semioscillationis in Trochoide quavis *APS* ut ½*BC* ad √*BEC*.

*Corol. 2.* Hinc etiam consectantur quæ *D. C. Wrennus* & *D. C. Hugenius* de Cycloide vulgari adinvenerunt. Nam si globi diameter augeatur in infinitum, mutabitur ejus superficies Sphærica in planum, visq; centripeta aget uniformiter secundum lineas huic plano perpendiculares, & Cyclois nostra abibit in Cycloidem vulgi. Isto autem in casu, longitudo arcus Cycloidis, inter planum illud & punctum describens, æqualis evadet quadruplicato sinui verso dimidii arcus Rotæ inter idem planum & punctum describens; ut invenit *D. C. Wrennus*: Et pendulum inter duas ejusmodi Cycloides in simili & æquali Cycloide temporibus æqualibus Oscillabitur, ut demonstravit *Hugenius*. Sed & descensus gravium, tempore Oscillationis unius, is erit quem *Hugenius* indicavit.

Aptantur autem Propositiones a nobis demonstratæ ad veram constitutionem Terræ, quatenus Rotæ eundo in ejus circulis maximis describunt motu clavorum Cycloides extra globum; & Pendula inferius in fodinis & cavernis Terra suspensa, in Cycloidibus Page 157 intra globos Oscillari debent, ut Oscillationes omnes evadant Isochronæ. Nam Gravitas (ut in Libro tertio docebitur) decrescit in progressu a superficie Terræ, sursum quidem in duplicata ratione distantiarum a centro ejus, deorsum vero in ratione simplici.

*Concessis figurarum curvilinearum Quadraturis, invenire vires quibus corpora in datis curvis lineis Oscillationes semper Isochronas peragent.*

Oscilletur corpus *T* in curva quavis linea *STRQ*, cujus axis sit *OR* transiens per virium centrum *C*. Agatur *TX* quæ curvam illam in corporis loco quovis *T* contingat, inq; hac Tangente *TX* capiatur *TY* æqualis arcui *TR*. Nam longitudo arcus illius ex figurarum Quadraturis per Methodos vulgares innotescit. De puncto *Y* educatur recta *YZ* Tangenti perpendicularis. Agatur *CT* perpendiculari illi occurrens in *Z*, & erit vis centripeta proportionalis rectæ *TZ*.   Q. E. I.

Nam si vis, qua corpus trahitur de T versus C , exponatur per rectam TZ captam ipsi proportionalem, resolvetur hæc in vires Page 158 TY , YZ ; quarum YZ trahendo corpus secundum longitudinem fili PT , motum ejus nil mutat, vis autem altera TY motum ejus in curva STRQ directe accelerat vel directe retardat. Proinde cum hæc sit ut via describenda TR , accelerationes corporis vel retardationes in Oscillationum duarum (majoris & minoris) partibus proportionalibus describendis, erunt semper ut partes illæ, & propterea facient ut partes illæ simul describantur. Corpora autem quæ partes totis semper proportionales simul describunt, simul describent totas.   Q. E. D.

*Corol. 1.* Hinc si corpus *T* filo rectilineo *AT* a centro *A* pendens, describat arcum circularem *STRQ*, & interea urgeatur secundum lineas parallelas deorsum a vi aliqua, quæ sit ad vim uniformem gravitatis, ut arcus *TR* ad ejus sinum *TN*: æqualia erunt Oscillationum singularum tempora. Etenim ob parallelas *TZ*, *AR*, similia erunt triangula *ANT*, *TYZ*; & propterea *TZ* erit ad *AT* ut *TY* ad *TN*; hoc est, si gravitatis vis uniformis exponatur per longitudinem datam *AT*, vis *TZ*, qua Oscillationes evadent Isochronæ, erit ad vim gravitatis *AT*, ut arcus *TR* ipsi *TY* æqualis ad arcus illius sinum *TN*.

*Corol. 2.* Igitur in Horologiis, si vires a Machina in Pendulum ad motum conservandum impressæ ita cum vi gravitatis componi possint, ut vis tota deorsum semper sit ut linea quæ oritur applicando rectangulum sub arcu *TR* & radio *AR*, ad sinum *TN*, Oscillationes omnes erunt Isochronæ.

*Concessis figurarum curvilinearum quadraturis, invenire tempora quibus corpora vi qualibet centripeta in lineis quibuscunq; curvis in plano per centrum virium transeunte descriptis, descendent & ascendent.*

Descendat enim corpus de loco quovis S per lineam quamvis curvam STtR in plano per virium centrum C transeunte datam. Jungatur CS & dividatur eadem in partes innumeras æquales, Page 159 sitq; Dd partium illarum aliqua. Centro C , intervallis CD , Cd describantur circuli DT , dt , Lineæ curvæ STtR occurrentes in T & t . Et ex data tum lege vis centripetæ, tum altitudine CS de qua corpus cecidit; dabitur velocitas corporis in alia quavis altitudine CT , per Prop. XXXIX. Tempus autem, quo corpus describit lineolam Tt , est ut lineolæ hujus longitudo (id est ut secans anguli tTC ) directe, & velocitas inverse. Tempori huic proportionalis sit

ordinatim applicata DN ad rectam CS per punctum D perpendicularis, & ob datam Dd erit rectangulum Dd × DN , hoc est area DNnd , eidem tempori proportionale. Ergo si SNn sit curva illa linea quam punctum N perpetuo tangit, erit area SNDS proportionalis tempori quo corpus descendendo descripsit lineam ST ; proindeq; ex inventa illa area dabitur tempus.   Q. E. I.

*Si corpus movetur in superficie quacunq; curva, cujus axis per centrum virium transit, & a corpore in axem demittatur perpendicularis, eiq; parallela & æqualis ab axis puncto quovis ducatur: dico quod parallela illa aream tempori proportionalem describet.*

Sit BSKL superficies curva, T corpus in ea revolvens, STtR Trajectoria quam corpus in eadem describit, S initium Trajectoriæ, OMNK axis superficiei curvæ, TN recta a corpore in axem perpendicularis, OP huic parallela & æqualis a puncto O quod in axe datur educta, AP vestigium Trajectoriæ a puncto P Page 160 in lineæ volubilis OP plano AOP descriptum, A vestigii initium puncto S respondens, TC recta a corpore ad centrum ducta; TG pars ejus vi centripetæ qua corpus urgetur in centrum C proportionalis; TM recta ad superficiem curvam perpendicularis; TI pars ejus vi pressionis qua corpus urget superficiem, vicissimq; urgetur versus M a superficie, proportionalis; PHTF recta axi parallela per corpus transiens, & GF , IH rectæ a punctis G & I in parallelam illam PHTF perpendiculariter demissæ. Dico jam quod area AOP , radio OP ab initio motus descripta, sit tempori proportionalis. Nam vis TG (per Legum Corol. 2.) resolvitur in vires TF , FG ; & vis TI in vires TH , HI : Vires autem TF , TH agendo secundum lineam PF plano AOP perpendicularem mutant solummodo motum corporis quatenus huic plano perpendicularem. Ideoq; motus ejus quatenus secundum positionem plani factus, hoc est motus puncti P , quo Trajectoriæ vestigium AP in hoc plano describitur, idem est ac si vires TF , TH tollerentur, & corpus solis viribus FG , HI agitaretur, hoc est idem ac si corpus in plano AOP vi centripeta ad centrum O tendente & summam virium FG & HI æquante, describeret curvam AP . Sed vi tali describetur area AOP (per Prop. I.) tempori proportionalis.   Q. E. D.

*Corol.* Eodem argumento si corpus a viribus agitatum ad centra Page 161 duo vel plura in eadem quavis recta *CO* data tendentibus, describeret in spatio libero lineam quamcunq; curvam *ST*, foret area *AOP* tempori semper proportionalis.

*Concessis figurarum curvilinearum Quadraturis, datisq; tum lege vis centripetæ ad centrum datum tendentis, tum superficie curva cujus axis per centrum illud transit; invenienda est Trajectoria quam corpus in eadem superficie describet, de loco dato, data cum velocitate versus plagam in superficie illa datam egressum.*

Stantibus quæ in superiore Propositione constructa sunt, exeat corpus de loco *S* in Trajectoriam inveniendam *STtR* & ex data ejus velocitate in altitudine *SC* dabitur ejus velocitas in alia quavis altitudine *TC*. Ea cum velocitate, dato tempore quam minimo, describat corpus Trajectoriæ suæ particulam *Tt*, sitq; *Pp* vestigium ejus plano *AOP* descriptum. Jungatur *Op*, & circelli centro *T* intervallo *Tt* in superficie curva descripti sit *PpQ* vestigium Ellipticum in eodem plano *OAPp* descriptum. Et ob datum magnitudine & positione circellum, dabitur Ellipsis illa *PpQ*. Cumq; area *POp* sit tempori proportionalis, atq; adeo ex dato tempore detur, dabitur *Op* positione, & inde dabitur communis ejus & Ellipseos intersectio *p*, una cum angulo *OPp*, in quo Trajectoriæ vestigium *APp* secat lineam *OP*. Inde autem invenietur Trajectoriæ vestigium illud *APp*, eadem methodo qua curva linea *VIKk* in Propositione XLI. ex similibus datis inventa fuit. Tum ex singulis vestigii punctis *P* erigendo ad planum *AOP* perpendicula *PT* superficiei curvæ occurrentia in *T*, dabuntur singula Trajectoriæ puncta *T*.   Q. E. I.

Page 162

*De Motu Corporum Sphæricorum viribus centripetis se mutuo petentium.*

Hactenus exposui motus corporum attractorum ad centrum immobile, quale tamen vix extat in rerum natura. Attractiones enim fieri solent ad corpora; & corporum trahentium & attractorum actiones semper mutuæ sunt & æquales, per Legem tertiam: adeo ut neq; attrahens possit quiescere neq; attractum, si duo sint corpora, sed ambo (per Legum Corollarium quartum) quasi attractione mutua, circum gravitatis centrum commune revolvantur: & si plura sint corpora (quæ vel ab unico attrahantur vel omnia se mutuo attrahant) hæc ita inter se moveri debeant, ut gravitatis centrum commune vel quiescat vel uniformiter moveatur in directum. Qua de causa jam pergo motum exponere corporum se mutuo trahentium, considerando vires centripetas tanquam Attractiones, quamvis fortasse, si physice loquamur, verius dicantur Impulsus. In Mathematicis enim jam versamur, & propterea missis disputationibus Physicis, familiari utimur sermone, quo possimus a Lectoribus Mathematicis facilius intelligi.

*Corpora duo se invicem trahentia describunt, & circum commune centrum gravitatis, & circum se mutuo, figuras similes.*

Sunt enim distantiæ a communi gravitatis centro reciproce proportionales corporibus, atq; adeo in data ratione ad invicem, & componendo, in data ratione ad distantiam totam inter corpora. Feruntur autem hæ distantiæ circum terminos suos communi Page 163 motu angulari, propterea quod in directum semper jacentes non mutant inclinationem ad se mutuo. Lineæ autem rectæ, quæ sunt in data ratione ad invicem, & æquali motu angulari circum terminos suos feruntur, figuras circum eosdem terminos (in planis quæ una cum his terminis vel quiescunt vel motu quovis non angulari moventur) describunt omnino similes. Proinde similes sunt figuræ quæ his distantiis circumactis describuntur.   Q. E. D.

*Si corpora duo viribus quibusvis se mutuo trahunt, & interea revolvuntur circa gravitatis centrum commune: dico quod figuris, quas corpora sic mota describunt circum se mutuo, potest figura similis & æqualis, circum corpus alterutrum immotum, viribus iisdem describi.*

Revolvantur corpora *S*, *P* circa commune gravitatis centrum *C*, pergendo de *S* ad *T* deq; *P* ad *Q*. A dato puncto *s* ipsis *SP*, *TQ* æquales & parallelæ ducantur semper *sp*, *sq*; & curva *pqv* quam punctum *p*, revolvendo circum punctum immotum *s*, describit, erit similis & æqualis curvis quas corpora *S*, *P* describunt circum se mutuo: proindeq; (per Theor. XX.) similis curvis *ST* & *PQV*, quas eadem corpora describunt circum commune gravitatis centrum *C*: id adeo quia proportiones linearum *SC*, *CP* & *SP* vel *sp* ad invicem dantur.

*Cas. 1.* Commune illud gravitatis centrum *C*, per Legum Page 164 Corollarium quartum, vel quiescit vel movetur uniformiter in directum. Ponamus primo quod id quiescit, inq; *s* & *p* locentur corpora duo, immobile in *s*, mobile in *p*, corporibus *S* & *P* similia & æqualia. Dein tangant rectæ *PR* & *pr* Curvas *PQ* & *pq* in *P* & *p*, & producantur *CQ* & *sq* ad *R* & *r*. Et ob similitudinem figurarum *CPRQ*, *sprq*, erit *RQ* ad *rq* ut *CP* ad *sp*, adeoq; in data ratione. Proinde si vis qua Corpus *P* versus Corpus *S*, atq; adeo versus centrum intermedium *C* attrahitur, esset ad vim qua corpus *p* versus centrum *s* attrahitur in eadem illa ratione data, hæ vires æqualibus temporibus attraherent semper corpora de tangentibus *PR*, *pr* ad arcus *PQ*, *pq*, per intervalla ipsis proportionalia *RQ*, *rq*; adeoq; vis posterior efficeret ut corpus *p* gyraretur in curva *pqv*, quæ similis esset curvæ *PQV*, in qua vis prior efficit ut corpus *P* gyretur, & revolutiones iisdem temporibus complerentur. At quoniam vires illæ non sunt ad invicem in ratione *CP* ad *sp*, sed (ob similitudinem & æqualitatem corporum *S* & *s*, *P* & *p*, & æqualitatem distantiarum *SP*, *sp*) sibi mutuo æquales, corpora æqualibus temporibus æqualiter trahentur de Tangentibus; & propterea ut corpus posterius *p* trahatur per intervallum majus *rq*, requiritur tempus majus, idq; in dimidiata ratione intervallorum; propterea quod, per Lemma decimum, spatia ipso motus initio descripta sunt in duplicata ratione temporum. Ponatur igitur velocitas corporis *p* esse ad velocitatem corporis *P* in dimidiata ratione distantiæ *sp* ad distantiam *CP*, eo ut temporibus quæ sint in eadem dimidiata ratione Page 165 describantur arcus *PQ*, *pq*, qui sunt in ratione integra: Et corpora *P*, *p* viribus æqualibus semper attracta describent circum centra quiescentia *C* & *s* figuras similes *PQV*, *pqv*, quarum posterior *pqv* similis est & æqualis figuræ quam corpus *P* circum corpus mobile *S* describit.   Q. E. D.

*Cas. 2.* Ponamus jam quod commune gravitatis centrum, una cum spatio in quo corpora moventur inter se, progreditur uniformiter in directum; &, per Legum Corollarium sextum, motus omnes in hoc spatio peragentur ut prius, adeoq; corpora describent circum se mutuo figuras easdem ac prius, & propterea figuræ *pqv* similes & æquales. Q. E. D.

*Corol. 1.* Hinc corpora duo viribus distantiæ suæ proportionalibus se mutuo trahentia, describunt (per Prop. X.) & circum commune gravitatis centrum, & circum se mutuo, Ellipses concentricas: & vice versa, si tales figuræ describuntur, sunt vires distantiæ proportionales.

*Corol. 2.* Et corpora duo viribus quadrato distantiæ suæ reciproce proportionalibus describunt (per Prop. XI, XII, XIII.) & circum commune gravitatis centrum, & circum se mutuo sectiones conicas umbilicos habentes in centro circum quod figuræ describuntur. Et vice versa, si tales figuræ describuntur, vires centripetæ sunt quadrato distantiæ reciproce proportionales.

*Corol. 3.* Corpora duo quævis circum gravitatis centrum commune gyrantia, radiis & ad centrum illud & ad se mutuo ductis, describunt areas temporibus proportionales.

*Corporum duorum*S*&*P*circa commune gravitatis centrum*C*revolventium tempus periodicum esse ad tempus periodicum corporis alterutrius*P*, circa alterum immotum*S*gyrantis & figuris quæ corpora circum se mutuo describunt figuram similem & æqualem describentis, in dimidiata ratione corporis alterius*S*, ad summam corporum*S*+*P*.*

Page 166

Namq; ex demonstratione superioris Propositionis, tempora quibus arcus quivis similes *PQ* & *pq* describuntur, sunt in dimidiata ratione distantiarum *CP* & *SP* vel *sp*, hoc est, in dimidiata ratione corporis *S* ad summam corporum *S* + *P*. Et componendo, summæ temporum quibus arcus omnes similes *PQ* & *pq* describuntur, hoc est tempora tota quibus figuræ totæ similes describuntur, sunt in eadem dimidiata ratione.   Q. E. D.

*Si corpora duo*S*&*P*, viribus quadrato distantiæ suæ reciproce proportionalibus se mutuo trahentia, revolvuntur circa gravitatis centrum commune: dico quod Ellipseos, quam corpus alterutrum*P*hoc motu circa alterum*S*describit, Axis transversus erit ad axem transversum Ellipseos, quam corpus idem*P*circa alterum quiescens*S*eodem tempore periodico describere posset, ut summa corporum duorum*S*+*P*ad primam duarum medie proportionalium inter hanc summam & corpus illud alterum*S*.*

Nam si descriptæ Ellipses essent sibi invicem æquales, tempora periodica, per Theorema superius, forent in dimidiata ratione corporis *S* ad summam corporum *S* + *P*. Minuatur in hac ratione tempus periodicum in Ellipsi posteriore, & tempora periodica evadent æqualia, Ellipseos autem axis transversus per Theorema VII. minuetur in ratione cujus hæc est sesquiplicata, id est in ratione, cujus ratio *S* ad *S* + *P* est triplicata; adeoq; ad axem transversum Ellipseos alterius, ut prima duarum medie proportionalium inter *S* + *P* & *S* ad *S* + *P*. Et inverse, axis transversus Ellipseos circa corpus mobile descriptæ erit ad axem transversum descriptæ circa immobile, ut *S* + *P* ad primam duarum medie proportionalium inter *S* + *P* & *S*.   Q. E. D. Page 167

*Si corpora duo viribus quibusvis se mutuo trahentia, neq; alias agitata vel impedita, quomodocunq; moveantur; motus eorum perinde se habebunt ac si non traherent se mutuo, sed utrumq; a corpore tertio in communi gravitatis centro constituto viribus iisdem traheretur: Et Virium trahentium eadem erit Lex respectu distantiæ corporum a centro illo communi atq; respectu distantiæ totius inter corpora.*

Nam vires illæ, quibus corpora se mutuo trahunt, tendendo ad corpora, tendunt ad commune gravitatis centrum intermedium, adeoq; eædem sunt ac si a corpore intermedio manarent.   Q. E. D.

Et quoniam data est ratio distantiæ corporis utriusvis a centro illo communi ad distantiam corporis ejusdem a corpore altero, dabitur ratio cujusvis potestatis distantiæ unius ad eandem potestatem distantiæ alterius; ut & ratio quantitatis cujusvis, quæ ex una distantia & quantitatibus datis utcunq; derivatur, ad quantitatem aliam, quæ ex altera distantia & quantitatibus totidem datis datamq; illam distantiarum rationem ad priores habentibus similiter derivatur. Proinde si vis, qua corpus unum ab altero trahitur, sit directe vel inverse ut distantia corporum ab invicem; vel ut quælibet hujus distantiæ potestas; vel deniq; ut quantitas quævis ex hac distantia & quantitatibus datis quomodocunq; derivata: erit eadem vis, qua corpus idem ad commune gravitatis centrum trahitur, directe itidem vel inverse ut corporis attracti distantia a centro illo communi, vel ut eadem distantiæ hujus potestas, vel deniq; ut quantitas ex hac distantia & analogis quantitatibus datis similiter derivata. Hoc est Vis trahentis eadem erit Lex respectu distantiæ utriusq;.   Q. E. D. Page 168

*Corporum duorum quæ viribus quadrato distantiæ suæ reciproce proportionalibus se mutuo trahunt, ac de locis datis demittuntur, determinare motus.*

Corpora, per Theorema novissimum, perinde movebuntur, ac si a corpore tertio in communi gravitatis centro constituto traherentur; & centrum illud ipso motus initio quiescet (per Hypothesin) & propterea (per Legum Corol. 4.) semper quiescet. Determinandi sunt igitur motus Corporum (per Probl. XXV.) perinde ac si a viribus ad centrum illud tendentibus urgerentur, & habebuntur motus corporum se mutuo trahentium.   Q. E. I.

*Corporum duorum quæ viribus quadrato distantiæ suæ reciproce proportionalibus se mutuo trahunt, deq; locis datis, secundum datas rectas, datis cum velocitatibus exeunt, determinare motus.*

Ex datis corporum motibus sub initio, datur uniformis motus centri communis gravitatis, ut & motus spatii quod una cum hoc centro movetur uniformiter in directum, nec non corporum motus initiales respectu hujus spatii. Motus autem subsequentes (per Legum Corollarium quintum & Theorema novissimum) perinde fiunt in hoc spatio, ac si spatium ipsum una cum communi illo gravitatis centro quiesceret, & corpora non traherent se mutuo, sed a corpore tertio sito in centro illo traherentur. Corporis igitur alterutrius in hoc spatio mobili de loco dato, secundum datam rectam, data cum velocitate exeuntis, & vi centripeta ad centrum illud tendente correpti, determinandus est motus per Problema nonum & vicesimum sextum: & habebitur simul motus corporis alterius e regione. Cum hoc motu componendus est uniformis ille Systematis spatii & corporum in eo gyrantium Page 169 motus progressivus supra inventus, & habebitur motus absolutus corporum in spatio immobili.   Q. E. I.

*Viribus quibus Corpora se mutuo trahunt crescentibus in simplici ratione distantiarum a centris: requiruntur motus plurium Corporum inter se.*

Ponantur imprimis corpora duo T & L commune habentia gravitatis centrum D . Describent hæc per Corollarium primum Theorematis XXI. Ellipses centra habentes in D , quarum magnitudo ex Problemate V. innotescit.

Trahat jam corpus tertium *S* priora duo *T* & *L* viribus acceleratricibus *ST*, *SL*, & ab ipsis vicissim trahatur. Vis *ST* per Legum Corol. 2. resolvitur in vires *SD*, *DT*; & vis *SL* in vires *SD*, *DL*. Vires autem *DT*, *DL*, quæ sunt ut ipsarum summa *TL*, atq; adeo ut vires acceleratrices quibus corpora *T* & *L* se mutuo trahunt, additæ his viribus corporum *T* & *L*, prior priori & posterior posteriori, componunt vires distantiis *DT* ac *DL* proportionales, ut prius, sed viribus prioribus majores; adeoq; (per Corol. 1. Prop. X. & Corol. 1 & 7. Prop. IV.) efficiunt ut corpora illa describant Ellipses ut prius, sed motu celeriore. Vires reliquæ acceleratrices *SD* & *SD*, actionibus motricibus *SD* × *T* & *SD* × *L*, quæ sunt ut corpora, trahendo corpora illa æqualiter & secundum lineas *TI*, *LK*, ipsi *DS* parallelas, nil mutant situs earum ad invicem, sed faciunt ipsa æqualiter accedere ad lineam *IK*; quam ductam concipe per medium corporis *S*, & lineæ *DS* perpendicularem. Impedietur autem iste ad lineam *IK* accessus Page 170 faciendo ut Systema corporum *T* & *L* ex una parte, & corpus *S* ex altera, justis cum velocitatibus, gyrentur circa commune gravitatis centrum *C*. Tali motu corpus *S* (eo quod summa virium motricium *SD* × *T* & *SD* × *L*, distantiæ *CS* proportionalium, trahitur versus centrum *C*) describit Ellipsin circa idem *C*; & punctum *D* ob proportionales *CS*, *CD* describet Ellipsin consimilem, e regione. Corpora autem *T* & *L* viribus motricibus *SD* × *T* & *SD* × *L*, (prius priore, posterius posteriore) æqualiter & secundum lineas parallelas *TI* & *LK* (ut dictum est) attracta, pergent (per Legum Corollarium quintum & sextum) circa centrum mobile *D* Ellipses suas describere, ut prius.   Q. E. I.

Addatur jam corpus quartum *V*, & simili argumento concludetur hoc & punctum *C* Ellipses circa omnium commune centrum gravitatis *B* describere; manentibus motibus priorum corporum *T*, *L* & *S* circa centra *D* & *C*, sed paulo acceleratis. Et eadem methodo corpora plura adjungere licebit.   Q. E. I.

Hæc ita se habent ubi corpora *T* & *L* trahunt se mutuo viribus acceleratricibus majoribus vel minoribus quam trahunt corpora reliqua pro ratione distantiarum. Sunto mutuæ omnium attractiones acceleratrices ad invicem ut distantiæ ductæ in corpora trahentia, & ex præcedentibus facile deducetur quod corpora omnia æqualibus temporibus periodicis Ellipses varias, circa omnium commune gravitatis centrum *B*, in plano immobili describunt.   Q. E. I.

*Corpora plura quorum vires decrescunt in duplicata ratione Page 171 distantiarum ab eorundem centris, moveri posse inter se in Ellipsibus, & radiis ad umbilicos ductis Areas describere temporibus proportionales quam proxime.*

In Propositione superiore demonstratus est casus ubi motus plures peraguntur in Ellipsibus accurate. Quo magis recedit lex virium a lege ibi posita, eo magis corpora perturbabunt mutuos motus, neq; fieri potest ut corpora secundum legem hic positam se mutuo trahentia moveantur in Ellipsibus accurate, nisi servando certam proportionem distantiarum ab invicem. In sequentibus autem casibus non multum ab Ellipsibus errabitur.

*Cas. 1.* Pone corpora plura minora circa maximum aliquod ad varias ab eo distantias revolvi, tendantq; ad singula vires absolutæ proportionales iisdem corporibus. Et quoniam omnium commune gravitatis centrum (per Legum Corol. quartum.) vel quiescet vel movebitur uniformiter in directum, fingamus corpora minora tam parva esse, ut corpus maximum nunquam distet sensibiliter ab hoc centro: & maximum illud vel quiescet vel movebitur uniformiter in directum, absq; errore sensibili; minora autem revolventur circa hoc maximum in Ellipsibus, atq; radiis ad idem ductis describent areas temporibus proportionales; nisi quatenus errores inducuntur, vel per errorem maximi a communi illo gravitatis centro, vel per actiones minorum corporum in se mutuo. Diminui autem possunt corpora minora usq; donec error iste & actiones mutuæ sint datis quibusvis minores, atq; adeo donec orbes cum Ellipsibus quadrent, & areæ respondeant temporibus, absq; errore qui non sit minor quovis dato.   Q. E. O.

*Cas. 2.* Fingamus jam Systema corporum minorum modo jam descripto circa maximum revolventium, aliudve quodvis duorum circum se mutuo revolventium corporum Systema progredi uniformiter in directum, & interea vi corporis alterius longe maximi & ad magnam distantiam siti urgeri ad latus. Et quoniam æquales vires acceleratrices, quibus corpora secundum lineas parallelas urgentur, non mutant situs corporum ad invicem, sed ut Page 172 Systema totum, servatis partium motibus inter se, simul transferatur efficiunt: manifestum est quod ex attractionibus in corpus maximum, nulla prorsus orietur mutatio motus attractorum inter se, nisi vel ex attractionum acceleratricum inæqualitate, vel ex inclinatione linearum ad invicem, secundum quas attractiones fiunt. Pone ergo attractiones omnes acceleratrices in corpus maximum esse inter se reciproce ut quadrata distantiarum, & augendo corporis maximi distantiam, donec rectarum ab hoc ad reliqua ductarum minores sint differentiæ & inclinationes ad invicem quam datæ quævis, perseverabunt motus partium Systematis inter se absq; erroribus qui non sint quibusvis datis minores. Et quoniam, ob exiguam partium illarum ab invicem distantiam, Systema totum ad modum corporis unius attrahitur, movebitur idem hac attractione ad modum corporis unius; hoc est, centro suo gravitatis describet circa corpus maximum, Sectionem aliquam Conicam (*viz.* Hyperbolam vel Parabolam attractione languida, Ellipsim fortiore,) & Radio ad maximum ducto, verret areas temporibus proportionales, absq; ullis erroribus, nisi quas partium distantiæ (perexiguæ sane & pro lubitu minuendæ) valeant efficere.   Q. E. O.

Simili argumento pergere licet ad casus magis compositos in infinitum.

*Corol. 1.* In casu secundo; quo propius accedit corpus omnium maximum ad Systema duorum vel plurium, eo magis turbabuntur motus partium Systematis inter se, propterea quod linearum a corpore maximo ad has ductarum jam major est inclinatio ad invicem, majorq; proportionis inæqualitas.

*Corol. 2.* Maxime autem turbabuntur, ponendo quod attractiones acceleratrices partium Systematis versus corpus omnium maximum, non sint ad invicem reciproce ut quadrata distantiarum a corpore illo maximo; præsertim si proportionis hujus inæqualitas major sit quam inæqualitas proportionis distantiarum a corpore maximo: Nam si vis acceleratrix, æqualiter & secundum lineas Page 173 parallelas agendo, nil perturbat motus inter se, necesse est ut ex actionis inæqualitate perturbatio oriatur, majorq; sit vel minor pro majore vel minore inæqualitate. Excessus impulsuum majorum agendo in aliqua corpora & non agendo in alia, necessario mutabunt situm eorum inter se. Et hæc perturbatio addita perturbationi, quæ ex linearum inclinatione & inæqualitate oritur, majorem reddet perturbationem totam.

*Corol. 3.* Unde si Systematis hujus partes in Ellipsibus vel Circulis sine perturbatione insigni moveantur, manifestum est, quod eædem a viribus acceleratricibus ad alia corpora tendentibus, aut non urgentur nisi levissime, aut urgentur æqualiter & secundum lineas parallelas quamproxime.

*Si corpora tria, quorum vires decrescunt in duplicata ratione distantiarum, se mutuo trahant, & attractiones acceleratrices binorum quorumcunq; in tertium sint inter se reciproce ut quadrata distantiarum; minora autem circa maximum in plano communi revolvantur: Dico quod interius circa intimum & maximum, radiis ad ipsum ductis, describet areas temporibus magis proportionales, & figuram ad formam Ellipseos umbilicum in concursu radiorum habentis magis accedentem, si corpus maximum his attractionibus agitetur, quam si maximum illud vel a minoribus non attractum quiescat, vel multo minus vel multo magis attractum aut multo minus aut multo magis agitetur.*

Liquet fere ex demonstratione Corollarii secundi Propositionis præcedentis; sed argumento magis distincto & latius cogente sic evincitur.

*Cas. 1.* Revolvantur corpora minora *P* & *Q* in eodem plano circa maximum *S*, quorum *P* describat orbem interiorem *PAB*, & *Q* exteriorem *QE*. Sit *QK* mediocris distantia corporum *P* & *Q*; & corporis *P* versus *Q* attractio acceleratrix in mediocri illa distantia exponatur per eandem. In duplicata ratione *QK* Page 174 ad *QP* capiatur *QL* ad *QK*, & erit *QL* attractio acceleratrix corporis *P* versus *Q* in distantia quavis *QP*. Junge *PS*, eiq; parallelam age *LM* occurrentem *QS* in *M*, & attractio *QL* resolvetur (per Legum Corol. 2.) in attractiones *QM*, *LM*. Et sic urgebitur corpus *P* vi acceleratrice triplici: una tendente ad *S* & oriunda a mutua attractione corporum *S* & *P*. Hac vi sola corpus *P*, circum corpus *S* sive immotum, sive hac attractione agitatum, describere deberet & areas, radio *PS* temporibus proportionales, & Ellipsin cui umbilicus est in centro corporis *S*. Patet hoc per Prob. VI. & Corollaria Theor. XXI. Vis altera est attractionis *LM*, quæ quoniam tendit a *P* ad *S*, superaddita vi priori coincidet cum ipsa, & sic faciet ut areæ etiamnum temporibus proportionales describantur per Corol. 3. Theor. XXI. At quoniam non est quadrato distantiæ *PS* reciproce proportionalis, componet ea cum vi priore vim ab hac proportione aberrantem, idq; eo magis quo major est proportio hujus vis ad vim priorem, cæteris paribus. Proinde cum (per Corol. 1. Prob. VIII. & Corol. 2. Theor. XXI.) vis qua Ellipsis circa umbilicum S describitur tendere debeat ad umbilicum illum, & esse quadrato distantiæ *PS* reciproce proportionalis; vis illa composita aberrando ab hac proportione, faciet ut Orbis *PAB* aberret a forma Ellipseos umbilicum habentis in *S*; idq; eo magis quo major est aberratio ab hac proportione; atq; adeo etiam quo major est proportio vis secundæ *LM* ad vim primam, cæteris paribus. Jam vero vis tertia *QM*, trahendo corpus *P* secundum lineam ipsi *QS* parallelam, componet cum viribus prioribus vim quæ non amplius dirigitur a *P* in *S*, quæq; ab hac determinatione tanto Page 175 magis aberrat, quanto major est proportio hujus tertiæ vis ad vires priores, cæteris paribus; atq; adeo quæ faciet ut corpus *P*, radio *SP*, areas non amplius temporibus proportionales describet, atq; aberratio ab hac proportionalitate ut tanto major sit, quanto major est proportio vis hujus tertiæ ad vires cæteras. Orbis vero *PAB* aberrationem a forma Elliptica præfata hæc vis tertia duplici de causa adaugebit, tum quod non dirigitur a *P* ad *S*, tum etiam quod non sit proportionalis quadrato distantiæ *PS*. Quibus intellectis, manifestum est quod areæ temporibus tum maxime fiunt proportionales, ubi vis tertia, manentibus viribus cæteris, fit minima; & quod Orbis *PAB* tum maxime accedit ad præfatam formam Ellipticam, ubi vis tam secunda quam tertia, sed præcipue vis tertia, fit minima, vi prima manente.

Exponatur corporis *S* attractio acceleratrix versus *Q* per lineam *QN*; & si attractiones acceleratrices *QM*, *QN* æquales essent, hæ trahendo corpora *S* & *P* æqualiter & secundum lineas parallelas, nil mutarent situm eorum ad invicem. Iidem jam forent corporum illorum motus inter se (par Legum Corol. 6.) ac si hæ attractiones tollerentur. Et pari ratione si attractio *QN* minor esset attractione *QM*, tolleret ipsa attractionis *QM* partem *QN*, & maneret pars sola *MN*, qua temporum & arearum proportionalitas & Orbitæ forma illa Elliptica perturbaretur. Et similiter si attractio *QN* major esset attractione *QM*, oriretur ex differentia sola *MN* perturbatio proportionalitatis & Orbitæ. Sic per attractionem *QN* reducitur semper attractio tertia superior *QM* ad attractionem *MN*, attractione prima & secunda manentibus prorsus immutatis: & propterea areæ ac tempora ad proportionalitatem, & Orbita *PAB* ad formam præfatam Ellipticam tum maxime accedunt, ubi attractio *MN* vel nulla est, vel quam fieri possit minima; hoc est ubi corporum *P* & *S* attractiones acceleratrices, factæ versus corpus *Q*, accedunt quantum fieri potest ad æqualitatem; id est ubi attractio *QN* non est nulla, neq; minor minima attractionum omnium *QM*, sed inter attractionum Page 176 omnium *QM* maximam & minimam quasi mediocris, hoc est, non multo major neq; multo minor attractione *QK*.   Q. E. D.

*Cas. 2.* Revolvantur jam corpora minora *P*, *Q* circa maximum *S* in planis diversis, & vis *LM*, agendo secundum lineam *PS* in plano Orbitæ *PAB* sitam, eundem habebit effectum ac prius, neq; corpus *P* de plano Orbitæ suæ deturbabit. At vis altera *NM*, agendo secundum lineam quæ ipsi *QS* parallela est, (atq; adeo, quando corpus *Q* versatur extra lineam Nodorum, inclinatur ad planum Orbitæ *PAB*;) præter perturbationem motus in longitudinem jam ante expositam, inducet perturbationem motus in latitudinem, trahendo corpus *P* de plano suæ Orbitæ. Et hæc perturbatio in dato quovis corporum *P* & *S* ad invicem situ, erit ut vis illa generans *MN*, adeoq; minima evadet ubi *MN* est minima, hoc est (uti jam exposui) ubi attractio *QN* non est multo major neq; multo minor attractione *QK.*   Q. E. D.

*Corol. 1.* Ex his facile colligitur quod si corpora plura minora *P*, *Q*, *R* &c. revolvantur circa maximum *S*: motus corporis intimi *P* minime perturbabitur attractionibus exteriorum, ubi corpus maximum *S* pariter a cæteris, pro ratione virium acceleratricum, attrahitur & agitatur atq; cæteri a se mutuo.

*Corol. 2.* In Systemate vero trium corporum *S*, *P*, *Q*; si attractiones acceleratrices binorum quorumcunq; in tertium sint ad invicem reciproce ut quadrata distantiarum, corpus *P* radio *PS* aream circa corpus *S* velocius describet prope conjunctionem *A* & oppositionem *B*, quam prope quadraturas *C*, *D*. Namq; vis omnis qua corpus *P* urgetur & corpus *S* non urgetur, quæq; non agit secundum lineam *PS*, accelerat vel retardat descriptionem areæ, perinde ut ipsa in antecedentia vel in consequentia dirigitur. Talis est vis *NM*. Hæc in transitu corporis *P* a *C* ad *A* tendit in antecedentia, motumq; accelerat; dein usq; ad *D* in consequentia, & motum retardat; tum in antecedentia usq; ad *B*, & ultimo in consequentia transeundo a *B* ad *C*.

*Corol. 3.* Et eodem argumento patet quod corpus *P*, cæteris Page 177 paribus, velocius movetur in Conjunctione & Oppositione quam in Quadraturis.

*Corol. 4.* Orbita corporis *P* cæteris paribus curvior est in quadraturis quam in Conjunctione & Oppositione. Nam corpora velociora minus deflectunt a recto tramite. Et præterea vis *NM*, in Conjunctione & Oppositione, contraria est vi qua corpus *S* trahit corpus *P*, adeoq; vim illam minuit; corpus autem *P* minus deflectet a recto tramite, ubi minus urgetur in corpus *S*.

Corol. 5. Unde corpus P , cæteris paribus, longius recedet a corpore S in quadraturis, quam in Conjunctione & Oppositione. Hæc ita se habent excluso motu Excentricitatis. Nam si Orbita corporis P excentrica sit, Excentricitas ejus (ut mox in hujus Corol. 9. ostendetur) evadet maxima ubi Apsides sunt in Syzygiis; indeq; fieri potest ut corpus P , ad Apsidem summam appellans, absit longius a corpore S in Syzygiis quam in Quadraturis.

*Corol. 6.* Quoniam vis centripeta corporis centralis *S*, qua corpus *P* retinetur in Orbe suo, augetur in quadraturis per additionem vis *LM*, ac diminuitur in Syzygiis per ablationem vis *KL*, & ob magnitudinem vis *KL*, magis diminuitur quam augeatur, est autem vis illa centripeta (per Corol. 2, Prop. IV.) in ratione composita ex ratione simplici radii *SP* directe & ratione duplicata temporis periodici inverse: patet hanc rationem compositam diminui per actionem vis *KL*, adeoq; tempus periodicum, si maneat Orbis radius *SP*, augeri, idq; in dimidiata ratione qua vis illa centripeta diminuitur: auctoq; adeo vel diminuto hoc Radio, tempus periodicum augeri magis, vel Page 178 diminui minus quam in Radii hujus ratione sesquiplicata, per Corol. 6. Prop. IV. Si vis illa corporis centralis paulatim languesceret, corpus *P* minus semper & minus attractum perpetuo recederet longius a centro *S*; & contra, si vis illa augeretur, accederet propius. Ergo si actio corporis longinqui *Q*, qua vis illa diminuitur, augeatur ac diminuatur per vices, augebitur simul ac diminuetur Radius *SP* per vices, & tempus periodicum augebitur ac diminuetur in ratione composita ex ratione sesquiplicata Radii & ratione dimidiata qua vis illa centripeta corporis centralis *S* per incrementum vel decrementum actionis corporis longinqui *Q* diminuitur vel augetur.

*Corol. 7.* Ex præmissis consequitur etiam quod Ellipseos a corpore *P* descriptæ axis seu Apsidum linea, quoad motum angularem progreditur & regreditur per vices, sed magis tamen progreditur, & in singulis corporis revolutionibus per excessum progressionis fertur in consequentia. Nam vis qua corpus *P* urgetur in corpus *S* in Quadraturis, ubi vis *MN* evanuit, componitur ex vi *LM* & vi centripeta qua corpus *S* trahit corpus *P*. Vis prior *LM*, si augeatur distantia *PS*, augetur in eadem fere ratione cum hac distantia, & vis posterior decrescit in duplicata illa ratione, adeoq; summa harum virium decrescit in minore quam duplicata ratione distantiæ *PS*, & propterea, per Corol. 1. Prop. XLV. facit Augem seu Apsidem summam regredi. In Conjunctione vero & Oppositione, vis qua corpus *P* urgetur in corpus *S* differentia est inter vim qua corpus *S* trahit corpus *P* & vim *KL*; & differentia illa, propterea quod vis *KL* augetur quamproxime in ratione distantiæ *PS*, decrescit in majore quam duplicata ratione distantiæ *PS*, adeoq; per Corol. 1. Prop. XLV. facit Augem progredi. In locis inter Syzygias & Quadraturas, pendet motus Augis ex causa utraq; conjunctim, adeo ut pro hujus vel alterius excessu progrediatur ipsa vel regrediatur. Unde cum vis *KL* in Syzygiis sit quasi duplo major quam vis *LM* in quadraturis, excessus in tota revolutione erit penes vim *KL*, transferetq; Augem singulis Page 179 revolutionibus in consequentia. Veritas autem hujus & præcedentis Corollarii facilius intelligetur concipiendo Systema corporum duorum *S*, *P* corporibus pluribus *Q*, *Q*, *Q* &c. in Orbe *QE* consistentibus, undiq; cingi. Namq; horum actionibus actio ipsius *S* minuetur undiq;, decrescetq; in ratione plusquam duplicata distantiæ.

*Corol. 8.* Cum autem pendeat Apsidum progressus vel regressus a decremento vis centripetæ facto in majori vel minori quam duplicata ratione distantiæ *SP*, in transitu corporis ab Apside ima ad Apsidem summam; ut & a simili incremento in reditu ad Apsidem imam; atq; adeo maximus sit ubi proportio vis in Apside summa ad vim in Apside ima maxime recedit a duplicata ratione distantiarum inversa: manifestum est quod Apsides in Syzygiis suis, per vim ablatitiam *KL* seu *NM* - *LM*, progredientur velocius, inq; Quadraturis suis tardius recedent per vim addititiam *LM*. Ob diuturnitatem vero temporis quo velocitas progressus vel tarditas regressus continuatur, fit hæc inæqualitas longe maxima.

Corol. 9. Si corpus aliquod vi reciproce proportionali quadrato distantiæ suæ a centro, revolveretur circa hoc centrum in Ellipsi, & mox, in descensu ab Apside summa seu Auge ad Apsidem imam, vis illa per accessum perpetuum vis novæ augeretur in ratione plusquam duplicata distantiæ diminutæ: Manifestum est quod corpus, perpetuo accessu vis illius novæ impulsum semper in centrum, magis vergeret in hoc centrum, quam si urgeretur vi sola crescente in duplicata ratione distantiæ diminutæ, adeoq; Orbem describeret Orbe Elliptico interiorem, & in Apside ima propius accederet ad centrum quam prius. Orbis igitur, accessu Page 180 hujus vis novæ, fiet magis excentricus. Si jam vis, in recessu corporis ab Apside ima ad Apsidem summam, decresceret iisdem gradibus quibus ante creverat, rediret corpus ad distantiam priorem, adeoq; si vis decrescat in majori ratione, corpus jam minus attractum ascendet ad distantiam majorem & sic Orbis Excentricitas adhuc magis augebitur. Igitur si ratio incrementi & decrementi vis centripetæ singulis revolutionibus augeatur, augebitur semper Excentricitas; & e contra, diminuetur eadem si ratio illa decrescat. Jam vero in Systemate corporum S , P , Q , ubi Apsides orbis PAB sunt in quadraturis, ratio illa incrementi ac decrementi minima est, & maxima fit ubi Apsides sunt in Syzygiis. Si Apsides constituantur in quadraturis ratio prope Apsides minor est, & prope Syzygias major quam duplicata distantiarum, & ex ratione illa majori oritur Augis motus velocissimus, uti jam dictum est. At si consideretur ratio incrementi vel decrementi totius in progressu inter Apsides, hæc minor est quam duplicata distantiarum. Vis in Apside ima est ad vim in Apside summa in minore quam duplicata ratione distantiæ Apsidis summæ ab umbilico Ellipseos ad distantiam Apsidis imæ ab eodem umbilico: & e contra, ubi Apsides constituuntur in Syzygiis, vis in Apside ima est ad vim in Apside summa in majore quam duplicata ratione distantiarum. Nam vires LM in Quadraturis additæ viribus corporis S componunt vires in ratione minore, & vires KL in Syzygiis subductæ viribus corporis S relinquunt vires in ratione majore. Est igitur ratio decrementi & incrementi totius in transitu inter Apsides, minima in quadraturis, maxima in Syzygiis: & propterea in transitu Apsidum a quadraturis ad Syzygias perpetuo augetur, augetq; Excentricitatem Ellipseos; inq; transitu a Syzygiis ad quadraturas perpetuo diminuitur, & Excentricitatem diminuit.

*Corol. 10.* Ut rationem ineamus errorum in latitudinem, fingamus planum Orbis *QES* immobile manere; & ex errorum exposita causa manifestum est, quod ex viribus *NM*, *ML*, quæ sunt Page 181 causa illa tota, vis *ML* agendo semper secundum planum Orbis *PAB*, nunquam perturbat motus in latitudinem, quodq; vis *NM* ubi Nodi sunt in Syzygiis, agendo etiam secundum idem Orbis planum, non perturbat hos motus; ubi vero sunt in Quadraturis eos maxime perturbat, corpusq; *P* de plano Orbis sui perpetuo trahendo, minuit inclinationem plani in transitu corporis a quadraturis ad Syzygias, augetq; vicissim eandem in transitu a Syzygiis ad quadraturas. Unde fit ut corpore in Syzygiis existente inclinatio evadat omnium minima, redeatq; ad priorem magnitudinem circiter, ubi corpus ad Nodum proximum accedit. At si Nodi constituantur in Octantibus post quadraturas, id est inter *C* & *A*, *D* & *B*, intelligetur ex modo expositis quod, in transitu corporis *P* a Nodo alterutro ad gradum inde nonagesimum, inclinatio plani perpetuo minuitur; deinde in transitu per proximos 45 gradus, usq; ad quadraturam proximam, inclinatio augetur, & postea denuo in transitu per alios 45 gradus, usq; ad nodum proximum, diminuitur. Magis itaq; diminuitur inclinatio quam augetur, & propterea minor est semper in nodo subsequente quam in præcedente. Et simili ratiocinio inclinatio magis augetur quam diminuitur, ubi nodi sunt in Octantibus alteris inter *A* & *D*, *B* & *C*. Inclinatio igitur ubi Nodi sunt in Syzygiis est omnium maxima. In transitu eorum a Syzygiis ad quadraturas, in singulis corporis ad Nodos appulsibus, diminuitur, fitq; omnium minima ubi nodi sunt in quadraturis & corpus in Syzygiis: dein crescit iisdem gradibus quibus antea decreverat, Nodisq; ad Syzygias proximas appulsis ad magnitudinem primam revertitur.

Corol. 11. Quoniam corpus P ubi nodi sunt in quadraturis perpetuo trahitur de plano Orbis sui, idq; in partem versus Q , in transitu suo a nodo C per Conjunctionem A ad nodum D ; & in contrariam partem in transitu a nodo D per Oppositionem B ad nodum C ; manifestum est quod in motu suo a nodo C , corpus perpetuo recedit ab Orbis sui plano primo CD , usq; dum perventum est ad nodum proximum; adeoq; in hoc nodo, longissime distans a plano illo primo CD , transit per planum Orbis QES , Page 182 non in plani illius Nodo altero D , sed in puncto quod inde vergit ad partes corporis Q , quodq; proinde novus est Nodi locus in anteriora vergens. Et simili argumento pergent Nodi recedere in transitu Corporis de hoc nodo in nodum proximum. Nodi igitur in quadraturis constituti perpetuo recedunt, in Syzygiis (ubi motus in latitudinem nil perturbatur) quiescunt; in locis intermediis conditionis utriusq; participes recedunt tardius, adeoq; semper vel retrogradi vel stationarii singulis revolutionibus feruntur in antecedentia.

*Corol. 12.* Omnes illi in his Corollariis descripti errores sunt paulo majores in conjunctione Corporum *P*, *Q* quam in eorum Oppositione, idq; ob majores vires generantes *NM* & *ML*.

*Corol. 13.* Cumq; rationes horum Corollariorum non pendeant a magnitudine corporis *Q*, obtinent præcedentia omnia, ubi corporis *Q* tanta statuitur magnitudo ut circa ipsum revolvatur corporum duorum *S* & *P* Systema. Et ex aucto corpore *Q*, auctaq; adeo ipsius vi centripeta, a qua errores corporis *P* oriuntur, evadent errores illi omnes (paribus distantiis) majores in hoc casu quam in altero, ubi corpus *Q* circum Systema corporum *P* & *S* revolvitur.