*Si in figura quavis* AacE *rectis* Aa *,* AE *, &* *curva* acE *comprehensa, inscribantur parallelogramma quotcunq;* Ab *,* Bc *,* Cd *, &c. sub basibus* AB *,* BC *,* CD *, &c. æqualibus, & lateribus* Bb *,* Cc *,* Dd *, &c. figuræ lateri* Aa *parallelis* *contenta; & compleantur parallelogramma* aKbl *,* bLcm *,* cMdn *, &c. Dein horum parallelogrammorum latitudo minuatur,* *& numerus augeatur in infinitum: dico quod ultimæ rationes, quas* *habent ad se invicem figura inscripta* AKbLcMdD *, circumscripta* AalbmcndoE *, & curvilinea* AabcdE *, sunt rationes* *æqualitatis.*
Nam figuræ inscriptæ & circumscriptæ differentia est summa parallelogrammorum Kl + Lm + Mn + Do, hoc est (ob æquales omnium bases) rectangulum sub unius basi Kb & altitudinum summa Aa, id est rectangulum ABla.
Sed hoc rectangulum, eo quod latitudo ejus AB in infinitum minuitur, sit minus quovis dato. Ergo, per Lemma I, figura inscripta & circumscripta & multo magis figura curvilinea intermedia fiunt ultimo æquales.
Q. E. D.
### Lema III.
*Eædem rationes ultimæ sunt etiam æqualitatis, ubi parallelogrammorum latitudines*AB*,*BC*,*CD*,*&c.*sunt inæquales, & omnes minuuntur in infinitum.*
Sea AF igual a la latitud máxima y complétese el paralelogramo FAaf. Este será mayor que la diferencia entre la figura inscrita y la figura circunscrita, pero con su latitud AF Page 28 en infinito disminuida, se hará menor que cualquier rectángulo dado.
Corol. 1. Hinc summa ultima parallelogrammorum evanescentium coincidit omni ex parte cum figura curvilinea.
Corol. 2. Et multo magis figura rectilinea, quæ chordis evanescentium arcuum ab, bc, cd, &c. comprehenditur, coincidit ultimo cum figura curvilinea.
Corol. 3. Ut & figura rectilinea quæ tangentibus eorundem arcuum circumscribitur.
Corol. 4. Et propterea hæ figuræ ultimæ (quoad perimetros acE,) non sunt rectilineæ, sed rectilinearum limites curvilinei.
# Lema IV.
*Si in duabus figuris*AacE*,*PprT*, inscribantur (ut supra) duæ parallelogrammorum series, sitq; idem amborum numerus, & ubi latitudines in infinitum diminuitur, rationes ultimæ parallelogrammorum in una figura ad parallelogramma in altera, singulorum ad singula, sint eædem; dico quod figuræ duæ*AacE*,*PprT*, sunt ad invicem in eadem illa ratione.*