diferencial, el tema fue casi enteramente olvidado hasta el presente siglo.
En la teoría de los números no se habían alcanzado nuevos resultados de valor científico durante más de 1000 años, abarcando desde los tiempos de Diofanto y los hindúes hasta principios del siglo XVII.
Pero el ilustre periodo que ahora estamos considerando produjo hombres que rescataron esta ciencia del reino del misticismo y la superstición, en el que había estado tanto tiempo encarcelada; las propiedades de los números comenzaron de nuevo a estudiarse científicamente.
Al no estar en posesión del análisis indeterminado hindú, muchos resultados hermosos de los brahmanes tuvieron que ser redescubiertos por los europeos.
Así, una solución en números enteros de ecuaciones indeterminadas lineales fue redescubierta por el francés Bachet de Méziriac (1581–1638), quien fue el primer diofantista europeo digno de mención.
En 1612 publicó Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres, y en 1621 una edición griega de Diofanto con notas.
El padre de la teoría moderna de números es Fermat. Era de un carácter tan reservado que, por lo general, ocultaba sus métodos y daba a conocer únicamente sus resultados. En algunos casos, los analistas posteriores se han visto en grandes apuros al intentar aportar las demostraciones.
Fermat poseía un ejemplar de la Aritmética de Diofanto, editada por Bachet, en el que anotó numerosos comentarios al margen. En 1670 estas notas fueron incorporadas a una nueva edición de Diofanto, publicada por su hijo. Otros teoremas sobre números, debidos a Fermat, aparecieron en sus Opera varia (editadas por su hijo) y en el Commercium epistolicum de Wallis de 1658.
De los siguientes teoremas, los primeros siete se encuentran en las notas marginales:—
(1) es imposible para valores enteros de , y , cuando .
Observación: "He descubierto para esto una demostración verdaderamente maravillosa, pero el margen es demasiado pequeño para contenerla".
Repetidamente este teorema fue convertido en la pregunta de concurso de sociedades doctas. Ha dado lugar a investigaciones de gran interés y dificultad por parte de Euler, Lagrange,
Dirichlet y Kummer.
(2) Un número primo de la forma es solo una vez la hipotenusa de un triángulo rectángulo; su cuadrado lo es dos veces; su cubo, tres veces, etc.
Ejemplo: * ; * ; * .
(3) Un número primo de la forma puede expresarse única y exclusivamente como la suma de dos cuadrados. Demostrado por Euler.
(4) Un número compuesto de dos cubos puede descomponerse en otros dos cubos de una multiplicidad infinita de maneras.