La geodésica espiral, o más bien helicoidal, es particularmente común en las estructuras cilíndricas, y se muestra de forma hermosa, por ejemplo, en la bobina espiral que refuerza los tubos traqueales de un insecto, o en las llamadas «traqueidas» de un tallo leñoso. Un fenómeno similar {489} se observa con frecuencia en la rotura de un tubo de vidrio. Si aparece una grieta en un tubo delgado, como un tubo de ensayo, esta tiende a prolongarse en su propia dirección, y cuanto más perfectamente homogéneo e isotrópico sea el vidrio, más uniformemente tenderá la raja a seguir el curso recto en el que comenzó. Como resultado, a menudo se observa que la grieta en nuestro tubo de ensayo continúa hasta que el tubo se parte en una cinta espiral continua.
En un cono recto, la geodésica espiral se cierra en espiras cada vez más apretadas a medida que el diámetro del cono se estrecha; y una geodésica de este tipo, de gran belleza, se ejemplifica en la línea sutural de una concha espiral, como la Turritella, o en las estrías que corren paralelas a la sutura espiral. De manera similar, en una superficie elipsoidal, tenemos una geodésica espiral cuyas espiras se acercan más a medida que nos acercamos a los extremos del eje mayor de la elipse; en la escisión del tegumento de una espora de Equisetum, mediante la cual se forman los «eláteres» espirales de la espora, tenemos un caso de este tipo, aunque la espiral no está lo suficientemente prolongada como para mostrar todos sus rasgos en detalle.
Hemos visto en estos diversos casos que nuestra definición original de una geodésica requiere ser modificada; pues está sujeta únicamente a la condición de ser «la distancia más corta entre dos puntos de la superficie del sólido», y una de las condiciones restrictivas más comunes es que nuestra geodésica puede verse obligada a dar dos o muchas vueltas alrededor de la superficie en su trayecto. En resumen, debemos redefinir nuestra geodésica como una curva trazada sobre una superficie, tal que, si tomamos dos puntos adyacentes cualesquiera sobre la curva, esta proporcione la distancia más corta entre ellos. De nuevo, en los sistemas geodésicos que encontramos en la morfología, sucede a veces que tenemos dos sistemas opuestos de espirales geodésicas, separados y distintos el uno del otro, como en la Fig. 236, c; y también es común hallar que los dos sistemas interfieren mutuamente, formando una disposición entrecruzada o reticulada. Esta es una fuente muy común de patrones reticulados.
Entre los infusorios ciliados, tenemos en las líneas espirales a lo largo de las cuales se disponen sus cilios una gran variedad de hermosas curvas geodésicas; aunque es muy probable que en algunos casos complicados estas no sean geodésicas simples, sino proyecciones sobre la superficie del sólido de curvas distintas de una línea recta. {490}
Por último, un caso muy instructivo nos lo proporciona la disposición de las fibras musculares en la superficie de un órgano hueco, como el corazón o el estómago. Aquí podemos considerar el fenómeno desde el punto de vista de la eficiencia mecánica, así como desde el de la anatomía puramente descriptiva u objetiva. De hecho, tenemos el derecho a priori de esperar que las fibras musculares que cubren dichos órganos huecos o tubulares coincidan con líneas geodésicas, en el sentido en que estamos usando ahora el término. Pues si imaginamos una fibra contráctil, o banda elástica, fijada por sus dos extremos sobre una superficie curvada, es obvio que su primer esfuerzo de contracción tenderá a consumirse en acomodar la banda a la forma de la superficie, en «tensarla con fuerza» o, en otras palabras, en hacer que asuma una dirección que sea la línea más corta posible sobre la superficie entre los dos extremos: y solo entonces una mayor contracción tendrá el efecto de constreñir el tubo y ejercer así presión sobre su contenido. Así pues, las fibras musculares, a medida que serpentean sobre la superficie curvada de un órgano, se disponen automáticamente en curvas geodésicas: exactamente de la misma manera en que nosotros también construimos automáticamente sistemas complejos