XIII

角 $AO{P}^{\prime }$ は弧 $AB{P}^{\prime }$ を $r$ で割ったものであり、その正弦は ${\displaystyle \frac{y}{r}}$、余弦は ${\displaystyle \frac{x^{\prime }}{r}}$ である。正の角 $AO{P}^{″}$ は弧 $AB{A}^{\prime }{P}^{″}$ を $r$ で割ったものであり、その正弦は ${\displaystyle \frac{y^{\prime }}{r}}$、その余弦は ${\displaystyle \frac{x^{\prime }}{r}}$ である。正の角 $AO{P}^{‴}$ は弧 $AB{A}^{\prime }{B}^{\prime }{P}^{‴}$ を $r$ で割ったものであり、その正弦は ${\displaystyle \frac{y^{\prime }}{r}}$、その余弦は ${\displaystyle \frac{x}{r}}$ である。

しかし、まだ十分とは言えない。というのも、もし我々が、$u$という数を円の全周と半径の比よりも大きい数として選んだとしよう。すべての円は相似であるため、この比はすべての円において同一である。数学ではこれは常に$2\pi$という記号で表される。ここで$\pi$はギリシャ文字のpの形をしたもので、ギリシャ語のアルファベットでは「パイ」と読む。$\pi$は無理数であり、したがってその値はいかなる分数でも、また有限小数や循環小数でも表すことができないことが証明されている。小数点以下数桁までの値は$3.14159$であり、多くの目的において十分な精度を持つ近似値は${\displaystyle \frac{22}{7}}$である。数学者は、$\sqrt{2}$がそう計算できるのと同様に、$\pi$を必要とされるいかなる精度まででも容易に計算することができる。その値は、実際に$707$桁まで求められている。

小数。そのような計算の精緻化は単なる好奇心に過ぎず、実用的あるいは理論的な興味を引くものではない。$\pi$ の正確な決定は、有名な円積問題の二つの構成要素のうちの一つである。

問題のもう一つの側面は、純粋幾何学の理論的方法によって、円周と等しい長さの直線を描くことである。この問題のどちらの側面も、現在では不可能であることが証明されている。そして、この解くことのできない問題は、より広範な概念へと吸収されたことで、現在では特別な実用的あるいは理論的な関心をすべて失っている。

$\pi$の値に関するこの脱線を経て、我々は今、任意の数値 $u$ に対応する角を作り出せるよう、角の大きさの一般的な定義という問題に立ち返る。動点 $Q$ が $OX$ 上の $A$ から出発し（[図]27参照）、円周に沿って正の方向（図では反時計回り）に任意の回数だけ回転し、最終的に $P$ や $P^{\prime }$ や $P^{″}$ や $P^{‴}$ といった任意の点に留まると仮定する。このとき、移動した曲線状の円弧の全長を円の半径 $r$ で割ったものが、任意の大きさの正の角の一般化された定義となる。動点 $Q$ が留まる点の座標を $x$、$y$ とする。すなわち、[図]27に示された4つの代替位置のいずれかにおける座標とする。ここで用いられる $x$ と $y$ は、$x$ と $y$、あるいは $x^{\prime }$ と $y$、あるいは $x^{\prime }$ と $y^{\prime }$、あるいは $x$ と $y^{\prime }$ のいずれかとなる。