PRINCIPIOS DE ARITMÉTICA.

# SECCIÓN I. NUMERACIÓN.

1. Imagínese una multitud de objetos de la misma especie reunidos; por ejemplo, una compañía de jinetes. Una de las primeras cosas que debe llamar la atención de un espectador, aunque no esté acostumbrado a contar, es que a cada hombre le corresponde un caballo. Ahora bien, aunque los hombres y los caballos son cosas totalmente distintas, sin embargo, puesto que hay uno de la primera especie por cada uno de la segunda, un hombre por cada caballo, se formará una nueva noción en la mente del observador, que expresamos con palabras diciendo que hay el mismo número de hombres que de caballos. Un salvaje que no tuviera otra manera de contar podría recordar este número tomando una guijarro por cada hombre. De un método tan rudimentario como este ha surgido nuestro sistema de cálculo, mediante los pasos que se señalan en los artículos siguientes. Supóngase que hay dos compañías de jinetes, y que una persona desea saber en cuál de ellas hay mayor número, y también poder recordar cuántos hay en cada una.

2. Supongamos que, mientras pasa la primera compañía, deja caer una guijarro en una cesta por cada hombre que ve. No hay más conexión entre las guijarros y los jinetes que esta: que por cada jinete hay un guijarro; es decir, en el lenguaje común, el número de guijarros y el de jinetes es el mismo. Supongamos que, mientras pasa la segunda compañía, deja caer un guijarro por cada hombre en una segunda cesta: tendrá entonces dos cestas de guijarros, con las cuales podrá transmitir a cualquier otra persona una noción de cuántos jinetes había en cada compañía.

Cuando desee saber cuál compañía era la mayor, o contenía más jinetes, sacará un guijarro de cada cesta y los pondrá a un lado. Seguirá haciendo esto tantas veces como pueda, es decir, hasta que una de las cestas quede vacía. Entonces, si encuentra también la otra cesta vacía, dirá que ambas compañías contenían el mismo número de jinetes; si la segunda cesta aún contiene algunos guijarros, podrá saber por ellos cuántos había en la segunda más que en la primera.

3. De este modo, un salvaje podía llevar la cuenta de cualquier cantidad que le interesara. Así podía registrar a sus hijos, su ganado, o el número de veranos e inviernos que había visto, por medio de guijarros o de cualquier otro objeto pequeño que se pudiera conseguir en gran cantidad. Algo de este tipo es la práctica de las naciones salvajes hoy en día, y en algunos lugares ha perdurado incluso después de la invención de mejores métodos de recuento.

En Roma, en la época de la república, el pretor, uno de los magistrados, solía ir cada año con gran pompa y clavar un clavo en la puerta del templo de Júpiter; una forma de recordar el número de años que la ciudad llevaba fundada, la cual probablemente surgió antes de la introducción de la escritura.

4. Con el tiempo, se darían nombres a aquellas colecciones de guijarros que se encuentran con mayor frecuencia. Pero mientras solo se necesitaran números pequeños, la manera más conveniente de contarlos habría sido por medio de los dedos. Cualquier persona podría hacer con sus dos manos los pequeños cálculos que fueran necesarios para sus propósitos, y nombraría todas las diferentes colecciones de los dedos. Obtendría así en su propio idioma palabras correspondientes a uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve y diez. A medida que sus necesidades aumentaran, le resultaría necesario dar nombres a números más grandes;

pero aquí se vería detenido por la inmensa cantidad de palabras que tendría que poseer para expresar todos los números de los que se vería obligado a hacer uso. Debería entonces, tras dar un nombre independiente a unos cuantos de los primeros números, ingeniárselas para expresar todos los demás números por medio de esos nombres.

5. Ahora muestro cómo se ha hecho esto en nuestra propia lengua. Los nombres ingleses de los números se han formado a partir del sajón; y en la tabla siguiente cada número después del diez está escrito en una columna, mientras que otra muestra su conexión con aquellos que le han precedido.

6. Las palabras, escritas en el lenguaje ordinario, pronto resultarían demasiado largas para la continua repetición que tiene lugar en el cálculo. Se sustituirían entonces las palabras por signos breves; pero sería imposible tener un signo distinto para cada número: de modo que, una vez elegidos unos pocos signos, convendría inventar los demás para el resto a partir de los ya creados. Los signos que utilizamos son los siguientes:

Ahora paso a explicar la manera en que estos signos están hechos para representar otros números.

7. Supóngase que un hombre levanta primero un dedo, luego dos, y así sucesivamente, hasta haber levantado todos los dedos, y supóngase que varios hombres hacen lo mismo. Es evidente que de este modo podemos distinguir un número de otro, haciendo que dos grupos diferentes de personas levanten cada uno un cierto número de dedos, y que podemos hacer esto de muchas maneras diferentes. Por ejemplo, el número quince podría indicarse ya sea mediante quince hombres que levanten cada uno un dedo, o mediante cuatro hombres que levanten cada uno dos dedos y un quinto que levante siete, y así sucesivamente. La cuestión es: de todos estos artificios para expresar el número, ¿cuál es el más conveniente? En la elección que se hace con este propósito consiste lo que se denomina el método de numeración.

8. He empleado la explicación anterior porque es muy probable que nuestro sistema de numeración, y casi todos los demás que se usan en el mundo, provengan de la práctica de contar con los dedos, que los niños suelen seguir cuando empiezan a contar por primera vez. El método que he descrito es el más rudimentario posible; pero, mediante una pequeña modificación, se puede formar un sistema que nos permita expresar números enormes con gran facilidad.

9. Supongamos que vas a contar un número grande, por ejemplo, a medir cierta cantidad de yardas de tela. Supongamos que enfrente de ti se coloca un hombre que te observa fijamente y levanta un dedo por cada yarda que te ve medir.

Cuando se hayan medido diez yardas, él habrá levantado diez dedos y no podrá seguir contando a menos que empiece de nuevo, levantando un dedo en la undécima yarda, dos en la duodécima, y así sucesivamente. Pero para saber cuántas se han contado, debes saber no solo cuántos dedos levanta, sino también cuántas veces ha vuelto a empezar.

Puedes tener esto presente colocando a otro hombre a la derecha del primero, el cual dirige su mirada hacia su compañero y levanta un dedo en el momento en que lo percibe listo para empezar de nuevo, es decir, tan pronto como se hayan medido diez yardas. Cada dedo del primer hombre representa solo una yarda, pero cada dedo del segundo representa tantos como todos los dedos del primero juntos, es decir, diez.

De esta manera se puede contar hasta cien, porque el primero puede ahora contar sus diez dedos una vez por cada dedo del segundo hombre, es decir, diez veces en total, y diez veces diez es cien (5).¹

Colóquese ahora un tercer hombre a la derecha del segundo, el cual levantará un dedo siempre que perciba que el segundo está dispuesto a comenzar de nuevo. Un dedo del tercer hombre vale tanto como los diez dedos del segundo, es decir, cuenta cien. De este modo podemos proceder hasta que el tercero tenga todos sus dedos extendidos, lo cual significará que se han contado mil o diez cientos (5). Un cuarto hombre nos permitiría contar hasta diez mil, un quinto hasta cien mil, un sexto hasta un millón, y así sucesivamente.

10. Cada nueva persona se colocaba hacia tu izquierda en la fila enfrente de ti. Traza ahora columnas como en la página siguiente, y a la derecha de todas ellas coloca en palabras el número que deseas representar; en

la primera columna de la derecha, coloca el número de dedos que el primer hombre estará levantando cuando esa cantidad de yardas haya sido medida. En la siguiente columna, coloca los dedos que el segundo hombre estará levantando entonces; y así sucesivamente.

11. En I se expresa el número cincuenta y siete. Esto significa (5) cinco decenas y siete. Por lo tanto, el primero ha contado todos sus dedos cinco veces, y ha contado siete dedos más. Esto se muestra mediante cinco dedos levantados del segundo hombre y siete del primero.

En II se representa el número ciento cuatro. Este número es (5) diez decenas y cuatro. La segunda persona acaba, por tanto, de contar todos sus dedos una vez, lo cual se indica mediante la tercera persona que levanta un dedo; pero aún no ha vuelto a empezar, porque no levanta un dedo hasta que el primero ha contado diez, de los cuales solo cuatro están completos.

Cuando se han contado todos los diez últimos mencionados, levanta entonces un dedo, y estando el primero preparado para empezar de nuevo, no tiene los dedos extendidos, y el número obtenido es once decenas, o diez decenas y una decena, o ciento diez. Este es el caso en III. Ahora no encontrará ninguna dificultad con los demás números de la tabla.

12. En todos estos números, una cifra de la primera columna representa únicamente tantos yardas como los escritos debajo de esa cifra en (6). Una cifra de la segunda columna no representa tantas yardas, sino tantas decenas de yardas; una cifra de la tercera columna representa tantas centenas de yardas; en la cuarta columna, tantos millares de yardas; y así sucesivamente:

es decir, si suponemos que una cifra se desplaza de cualquier columna a la situada inmediatamente a su izquierda, pasa a representar diez veces más yardas que antes. Recuerda esto, y podrás dejar de trazar las líneas entre las columnas, porque cada cifra se conocerá suficientemente bien por el lugar en el que se encuentra; es decir, por el número de cifras que aparecen a su derecha.

13. Es importante recordar que esta manera de escribir los números, que se ha vuelto tan familiar que parece el método natural, no es más natural que cualquier otro.

Por ejemplo, podríamos acordar designar una decena mediante la cifra uno con un acento, así: 1′; veinte o dos decenas mediante 2′; y así sucesivamente: una centena o diez decenas mediante 1″; dos centenas mediante 2″; un millar mediante 1‴; y así sucesivamente: poniendo cifras romanas para los acentos cuando sean demasiados para escribirlos con comodidad.

El cuarto número de la tabla se escribiría entonces 2‴ 3′ 4′ 8, lo cual también podría expresarse mediante 8 4′ 3″ 2‴, 4′ 8 3″ 2‴; o el orden de las cifras podría cambiarse de cualquier manera, porque su significado depende de los acentos que se les añaden, y no del lugar en el que se encuentran.

Por lo tanto, un cero nunca sería necesario; pues 104 se distinguiría de 14 escribiendo para el primero 1″ 4, y para el segundo 1′ 4. El método común se prefiere, no porque sea más exacto que este, sino porque es más simple.

14. La distinción entre nuestro método de numeración y el de los antiguos estriba en que el valor de cada cifra depende en parte del lugar que ocupa. Así, en el 44444 cada cuatro representa cuatro unidades de algo; pero en la primera columna de la derecha significa únicamente cuatro de las piedrecillas que se cuentan; en la segunda, significa cuatro grupos de diez piedrecillas cada uno; en la tercera, cuatro de cien cada uno; y así sucesivamente.

15. Las cosas medidas en (11) eran yardas de tela. En este caso, una yarda de tela se llama la unidad. Se dice que la primera cifra de la derecha está en el lugar de las unidades, porque solo representa tantas unidades como hay en el número escrito debajo de ella en (6). Se dice que la segunda cifra está en el lugar de las decenas, porque representa un número de decenas de unidades. La tercera, cuarta y quinta cifras están en los lugares de las centenas, los millares (o miles) y las decenas de millar, por una razón similar.

16. Si la cantidad medida hubiese sido acres de tierra, un acre de tierra se habría llamado la unidad, pues la unidad es una de las cosas que se miden. Las cantidades son de dos clases: aquellas que contienen un número exacto de unidades, como 47 yardas, y las que no, como 47 yardas y media. De estas, por ahora, solo consideramos las primeras.

17. En la mayor parte de la aritmética, todas las cantidades deben tener la misma unidad. No se puede decir que 2 yardas y 3 pies hacen 5 yardas o 5 pies, porque 2 y 3 hacen 5; sin embargo, sí se puede decir que 2 yardas y 3 yardas hacen 5 yardas, y que 2 pies y 3 pies hacen 5 pies. Sería absurdo intentar medir una cantidad de cierto tipo con una unidad que sea una cantidad de otro tipo; por ejemplo, intentar decir cuántas yardas hay en un galón, o cuántos bushels de maíz hay en un barril de vino.

18. Todas las cosas que son verdaderas para ciertos números de una unidad lo son para esos mismos números de cualquier otra unidad. Así, 15 guijarros y 7 guijarros forman juntos 22 guijarros; 15 acres y 7 acres forman juntos 22 acres, y así sucesivamente. A partir de esto llegamos a decir que 15 y 7 hacen 22, lo que significa que 15 cosas de la misma clase, y 7 más de la misma clase que las primeras, forman juntas 22 de esa clase, ya sea que la clase mencionada sean guijarros, jinetes, acres de tierra o cualquier otra. Para estas no hace falta sino decir, de una vez por todas, que 15 y 7 hacen 22. Por lo tanto, en lo sucesivo, sobre esta parte del tema dejaré de hablar de unidades particulares, tales como guijarros o acres, y hablaré únicamente de números.

Un número, considerado sin la intención de aludir a cosas particulares, se denomina número abstracto: y entonces significa meramente repeticiones de una unidad, o el número de veces que una unidad se repite.

19. Ahora repetiré las principales cosas que se han mencionado en este capítulo.

I. Se emplean diez signos, uno para representar la nada, los demás para los primeros nueve números. Son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. El primero de ellos se llama cifra.

II. Los números más altos no tienen signos propios, sino que se significan colocando los signos ya mencionados al lado unos de otros, y acordando que la primera cifra de la mano derecha conservará el valor que tiene cuando está sola; que la segunda de la mano derecha significará diez veces más de lo que significa cuando está sola; que la tercera cifra significará cien veces más de lo que significa cuando está sola; la cuarta, mil veces más; y así sucesivamente.

III. Se dice que la cifra de la derecha está en el lugar de las unidades, la siguiente en el lugar de las decenas, la tercera en el lugar de las centenas, y así sucesivamente.

IV. When a number is itself an exact number of tens, hundreds, or thousands, &c., as many ciphers must be placed on the right of it as will bring the number into the place which is intended for it. The following are examples:

Cincuenta, o cinco decenas, 50: setecientos, 700.

Quinientos veintiocho mil, 528000.

Si no fuera por las cifras, estos números se confunden con el 5, el 7 y el 528.

V. Un cero en medio de un número se vuelve necesario cuando falta cualquiera de las denominaciones, unidades, decenas, etc.

Así, veinte mil seis es 20006, doscientos seis es 206.

Se podrían colocar ceros al principio de un número, pero no tendrían ningún significado. Así, 026 es lo mismo que 26, ya que el cero simplemente muestra que no hay centenas, lo cual es evidente a partir del propio número.

20. Si sacamos de un número, como 16785, cualesquiera de esas cifras que van juntas, como 67, y preguntamos, ¿qué significa este sesenta y siete?, ¿de qué es sesenta y siete?, la respuesta es: sesenta y siete de las mismas colecciones que el 7 cuando estaba en el número; es decir, 67 centenas. Porque el 6 son 6 millares, o 6 decenas de millar, u ochenta centenas [N. del T.: error en el original en inglés]; lo cual, con el 7, o 7 centenas, son 67 centenas; de manera similar, el 678 son 678 decenas. Este número puede entonces expresarse ya sea como

• 1 decena de millar 6 millares 7 centenas 8 decenas y 5;
• o 16 millares, 78 decenas y 5; o 1 decena de millar, 678 decenas y 5;
• o 167 centenas, 8 decenas y 5; o 1678 decenas y 5, y así sucesivamente.

21. EJERCICIOS.

I. Escribid los signos de: cuatro cientos setenta y seis; dos mil noventa y siete; sesenta y cuatro mil tres cientos cincuenta; dos millones setecientos cuatro; quinientos setenta y ocho millones de millones.

II. Escribe en toda su extensión 53, 1805, 1830, 66707, 180917324, 66713721, 90976390, 25000000.

III. ¿Qué alteración se produce en un número compuesto enteramente por nueves,

como el 99999, al sumarle uno?

IV. Demostrarse que un número que tiene cinco cifras debe ser mayor que uno que tiene cuatro, aunque el primero no tenga más que cifras pequeñas, y el segundo no tenga más que grandes. Por ejemplo, que 10111 es mayor que 9879.

22. Ahora ves que la comodidad de nuestro método de numeración surge de que unos pocos signos sencillos cambian de valor al cambiar de columna en la que se colocan. La misma ventaja surge de contar de un modo similar todos los artículos que se usan en la vida cotidiana.

Por ejemplo, contamos el dinero dividiéndolo en libras, chelines y peniques, de los cuales un chelín son 12 peniques, y una libra 20 chelines, o 240 peniques. Escribimos una cantidad de libras, chelines y peniques en tres columnas, colocando por lo general puntos entre las columnas. Así, 263 peniques no se escribirían como 263, sino como £1. 1. 11, donde £ muestra que el 1 de la primera columna es una libra.

He aquí un sistema de numeración en el que un número en la segunda columna de la derecha significa 12 veces más que el mismo número en la primera; y uno en la tercera columna es veinte veces mayor que el mismo en la segunda, o 240 veces mayor que el mismo en la primera. En cada una de las tablas de medidas con las que te encuentres en adelante, verás un sistema de numeración distinto, pero los métodos de cálculo para todas serán los mismos.

23. In order to make the language of arithmetic shorter, some other signs are used. They are as follow:

I. 15 + 38 significa que hay que sumar 38 a 15, y es lo mismo que 53. Esta es la suma de 15 y 38, y se lee quince más treinta y ocho (más es la palabra latina para más).

II. 64-12 significa que a 64 hay que quitarle 12, y es lo mismo que 52. Esta es la diferencia entre 64 y 12, y se lee sesenta y cuatro menos doce (menos es la palabra latina para menos).

III. 9 × 8 significa que el 8 debe tomarse 9 veces, y es lo mismo que 72. Este es el producto de 9 y 8, y se lee nueve por ocho.

IV. 108/6 significa que 108 ha de dividirse por 6, o que debes averiguar cuántos seises hay en 108; y es lo mismo que 18. Este es el cociente de 108 y 6; y se lee ciento ocho entre seis.

V. Cuando dos números, o colecciones de números, con los signos anteriores, son iguales, se pone el signo = entre ellos. Así, que 7 y 5 hacen 12, se escribe de este modo, 7 + 5 = 12. Esto se llama una ecuación, y se lee, siete más cinco es igual a doce. Es evidente que podemos construir tantas ecuaciones como queramos. Así:

y así sucesivamente.

24. Con frecuencia resulta necesario hablar de algo que no es verdadero para un solo número, sino para todos los números. Por ejemplo, tómense el 10 y el 7; su suma² es 17, su diferencia es 3. Si esta suma y esta diferencia se suman, obtenemos 20, que es el doble del mayor de los dos números elegidos primero. Si de 17 restamos 3, obtenemos 14, que es el doble del menor de los dos números. Se encontrará que lo mismo se cumple para cualesquiera dos números, lo cual da esta proposición general: si la suma y la diferencia de dos números se suman, el resultado es el doble del mayor de los dos; si la diferencia se resta de la suma, el resultado es el doble del menor de los dos. Si, entonces, tomamos cualesquiera números, y los llamamos el primer número y el segundo número, y dejamos que el primer número sea el mayor; tenemos

(1.º n.º + 2.º n.º) + (1.º n.º - 2.º n.º) = el doble del 1.º n.º

(1.º n.º + 2.º n.º) - (1.º n.º - 2.º n.º) = el doble del 2.º n.º

Los corchetes encierran aquí las operaciones que deben realizarse primero, antes de emplear los signos que unen dichos corchetes. Así, 8-(2 + 1) × (1 + 1) significa que 2 + 1 debe tomarse 1 + 1 veces, y el producto debe restarse de 8. Del mismo modo, cualquier resultado obtenido a partir de dos o más números, que sea verdadero cualesquiera que sean los números elegidos, puede representarse utilizando primero 1.er núm., 2.º núm., etc., para sustituirlos, y mediante los signos de (23).

Pero esto puede abreviarse mucho; pues como 1.er núm., 2.º núm., etc., pueden significar cualquier número, las letras a y b pueden usarse en lugar de estas palabras; y debe recordarse ahora que a y b representan dos números, con la única condición de que a sea mayor que b. Representemos el doble de a como 2a, y el doble de b como 2b. Las ecuaciones se convierten entonces en (a + b) + (a - b) = 2a y (a + b) - (a - b) = 2b.

Esto puede explicarse aún más, de la siguiente manera:

25. Supóngase una serie de paquetes sellados, marcados con las letras a, b, c, d, etc., en el exterior, cada uno de los cuales contiene un número distinto pero desconocido de fichas. Mientras no sepamos cuántas contiene cada uno, podemos hacer que la letra correspondiente a cada paquete represente su número, de modo que podamos hablar del número a, en lugar del número que hay en el paquete marcado con la letra a. Y del hecho de que no conozcamos los números no se sigue que no sepamos absolutamente nada acerca de ellos; pues existen ciertas conexiones comunes a todos los números, a las que llamamos propiedades generales de los números.

Por ejemplo, tómese cualquier número, multiplíquese por sí mismo y restírese uno del resultado; y réstese luego uno del número en cuestión. Lo primero contendrá siempre a lo segundo exactamente tantas veces como el número original aumentado en uno. Tomemos el número 6; este multiplicado por sí mismo es 36, que disminuido en uno es 35; por otra parte, 6 disminuido en 1 es 5; y 35 contiene al 5, 7 veces, es decir, 6 + 1 veces. Se verá que esto se cumple para cualquier número y, una vez demostrado, podrá afirmarse que es válido para el número contenido en el paquete marcado con a, o para el número a. Si representamos a multiplicado por sí mismo como aa,³ tenemos, según (23)

26. Cuando, por lo tanto, deseamos hablar de un número sin especificar uno en particular, empleamos una letra para representarlo. Así: Supongamos que queremos razonar sobre lo que se seguirá de dividir un número en tres partes, sin considerar cuál sea el número, ni cuáles sean las partes en las que se divide. Sea a el número, y b, c y d las partes en las que se divide. Entonces, según nuestra suposición, a = b + c + d.

Sobre esto podemos razonar, y producir resultados que no pertenecen a ningún número en particular, sino que son verdaderos para todos. Así, si se quita una parte del número, las otras dos permanecerán, o a - b = c + d.

Si cada parte se duplica, el número total se duplicará, o

2a = 2b + 2c + 2d.

Si disminuimos una de las partes, como d, en un número x, disminuimos el número entero exactamente en la misma cantidad, o a - x = b + c + (d - x).

27. EJERCICIOS.

¿Cuánto es a + 2b - c, donde a = 12, b = 18, c = 7?—Respuesta, 41.

donde a = 6 y b = 2?—Rspta. 8.

¿Cuál es la diferencia entre (a + b)(c + d) y a + bc + d, para los siguientes valores de a, b, c y d?