47. He dicho que todas las cuestiones de la aritmética no exigen más que la suma y la resta. No quiero decir con esto que no deba emplearse nunca ninguna regla fuera de las dadas en la sección anterior, sino que todas las demás reglas solo muestran caminos más cortos para hallar lo que podría hallarse, si quisiéramos, mediante los métodos allí deducidos. Incluso las dos últimas reglas en sí mismas no son sino maneras breves y convenientes de hacer lo que puede hacerse con un número de guijarros o fichas.

48. Quiero saber la suma de cinco diecisieteavos, o planteo la siguiente pregunta: Hay cinco montones de guijarros, y diecisiete guijarros en cada montón; ¿cuántos hay en total?

Escribe cinco diecisietes en una columna y haz la suma, lo que da 85. En este caso, 85 se llama el producto de 5 y 17, y el proceso de hallar el producto se llama multiplicación, que no es más que la suma de una serie de cantidades iguales. Aquí, 17 se llama el multiplicando, y 5 se llama el multiplicador.

• 17
• 17
• 17
• 17
• 17
• 85

49. Si jamás se propusiera ninguna pregunta más difícil que esta, no habría motivo para un método más breve que el aquí seguido. Pero si hubiera 1367 montones de guijarros, y 429 en cada montón, el número total sería entonces 1367 veces 429, o 429 multiplicado por 1367. Tendría que escribir 429 1367 veces, y luego hacer una suma de una longitud enorme. Para evitar esto, es necesaria una regla más breve, que paso a explicar ahora.

50. El estudiante debe familiarizarse primero con los productos de todos los números hasta el 10 por 10 mediante la siguiente tabla,¹ que debe aprenderse de memoria.

Si de esta tabla deseáis saber cuánto es 7 veces 6, buscad en la primera columna vertical de la izquierda cualquiera de ellos; el 6, por ejemplo. Avanzad hacia la derecha hasta llegar a la columna marcada con un 7 en la parte superior. Allí encontraréis el 42, que es el producto de 6 y 7.

51. Podéis hallar, de este modo, ya sea 6 veces 7, o 7 veces 6, y para ambos encontráis 42. Es decir, seis veces siete es el mismo número que siete veces seis.

Esto puede demostrarse del siguiente modo: Colocad siete fichas en una línea, y repetid esa línea en total seis veces. El número de fichas en el conjunto es 6 veces 7, o seis veces siete, si cuento las filas de arriba hacia abajo; pero si cuento las filas que están una al lado de la otra, encuentro siete de ellas, y seis en cada fila, cuyo número total es 7 veces 6, o siete veces seis. Y el número total es 42, de cualquier manera que cuente. El mismo método puede aplicarse a cualesquiera otros dos números. Si se emplearan los signos de (23), se diría que 7 × 6 = 6 × 7.

52. Para tomar cualquier cantidad un número de veces, bastará con tomar cada una de sus partes el mismo número de veces. Así, un saco de maíz se multiplicará por cincuenta si cada fanega que contiene se reemplaza por 50 fanegas. Un país se duplicará duplicando cada acre de tierra, o cada condado, que contenga. Por simple que esto pueda parecer, es necesario enunciarlo, porque es uno de los principios de los que depende la regla de la multiplicación.

53. Para multiplicar por cualquier número, usted puede multiplicar por separado por cualesquiera partes en que decida dividir ese número, y sumar los resultados. Por ejemplo, 4 y 2 suman 6. Para multiplicar 7 por 6, primero multiplique 7 por 4, y luego por 2, y sume los productos. Esto dará 42, que es el producto de 7 y 6. Asimismo, dado que 57 se compone de 32 y 25, 57 veces 50 se compone de 32 veces 50 y 25 veces 50, y así sucesivamente. Si se usaran los signos, estos se escribirían de este modo:

7 × 6 = 7 × 4 + 7 × 2.

50 × 57 = 50 × 32 + 50 × 25.

54. Los principios de los dos artículos anteriores pueden expresarse así: Si a se compone de las partes x, y y z, ma se compone de mx, my y mz; o, si a = x + y + z.

ma = mx + my + mz, o bien, m(x + y + z) = mx + my + mz.

Un resultado similar puede obtenerse si a, en vez de estar compuesta por x, y y z, se forma mediante adiciones y sustracciones combinadas, tales como x + y-z, x- y + z, x-y-z, etc. Para tomar el primero como ejemplo:

Sea a = x + y - z, entonces ma = mx + my - mz.

Porque, si a hubiese sido x + y, ma habría sido mx + my. Pero como a es menor que x + y en z, se ha tomado de más z cada vez que se ha tomado x + y;—es decir, se ha tomado mz de más; por consiguiente, ma no es mx + my, sino mx + my-mz. Un razonamiento semejante puede aplicarse a otros casos, y pueden obtenerse los siguientes resultados:

m(a + b + c - d) = ma + mb + mc - md.

55. Hay otra forma en que dos números pueden multiplicarse entre sí. Como 8 es 4 veces 2, 7 veces 8 puede hacerse multiplicando 7 y 4, y luego multiplicando ese producto por 2. Para demostrar esto, coloca 7 fichas en una línea, y repite esa línea en total 8 veces, como en las figuras I y II.

El número de fichas en total es 8 veces 7, o 56. Pero (como en la fig. I) encerrad cada cuatro filas en figuras rectangulares, tales como a y b. El número en cada rectángulo es 4 veces 7, o 28, y hay dos de esos rectángulos; de modo que en el total el número de fichas es dos veces 28, o 28 × 2, o 7 primero multiplicado por 4, y ese producto multiplicado por 2.

En la figura II se muestra que 7 multiplicado por 8 es también 7 primero multiplicado por 2, y ese producto multiplicado por 4. El mismo método puede aplicarse a otros números. Así, dado que 80 es 8 veces 10, 256 veces 80 es 256 multiplicado por 8, y ese producto multiplicado por 10. Si empleamos los signos, las afirmaciones anteriores se realizan de este modo:

7 × 8 = 7 × 4 × 2 = 7 × 2 × 4.

256 × 80 = 256 × 8 × 10 = 256 × 10 × 8.

EJERCICIOS.

Muéstrese que 2 × 3 × 4 × 5 = 2 × 4 × 3 × 5 = 5 × 4 × 2 × 3, &c.

Demuestra que 18 × 100 = 18 × 57 + 18 × 43.

56. Los artículos (51) y (55) pueden expresarse de la siguiente manera, donde por ab entendemos a tomado b veces; por abc, a tomado b veces, y el resultado tomado c veces.

ab = ba.

abc = acb = bca = bac, &c.

abc = a × (bc) = b × (ca) = c × (ab).

Si dijéramos que los mismos resultados se producen multiplicando por b, c y d, uno tras otro, y por el producto bcd de una sola vez, escribimos lo siguiente:

a × b × c × d = a × bcd.

El caso es que, si se van a multiplicar varios números entre sí, el producto de dos o más cualesquiera puede formarse y sustituirse en lugar de esos dos o más; así, el producto abcdef puede formarse multiplicando

57. Para multiplicar por 10, añádase un cero a la derecha del multiplicando. Así, 10 veces 2356 son 23560. Para demostrar esto, escríbase 2356 por extenso, lo cual es

• 2 millares,
• 3 centenas,
• 5 decenas,
• y 6 unidades.

Toma cada una de estas partes diez veces, lo cual, según (52), es lo mismo que multiplicar el número entero por 10, y entonces se convertirá en

2 decenas de millar. 3 decenas de cientos. 5 decenas de decenas, y 6 decenas, que es

20 millares. 3 miles. 5 cien y 6 decenas.

Esto debe escribirse 23560, porque 6 no ha de ser 6 unidades, sino 6 decenas. Por lo tanto 2356 × 10 = 23560.

Del mismo modo puede demostrarse que para multiplicar por 100 hay que añadir dos ceros a la derecha; para multiplicar por 1000 hay que añadir tres ceros, y así sucesivamente. La regla se comprenderá mejor con la siguiente tabla:

58. Ahora muestro cómo multiplicar por uno de los números 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9. No incluyo el 1, porque multiplicar por 1, o tomar el número una vez, es lo que se entiende por simplemente escribir el número. Quiero multiplicar 1368 por 8. Escribe el primer número en su totalidad, que es

1 millar, 3 centenas, 6 decenas y 8 unidades.

Para multiplicar esto por 8, multiplica cada una de estas partes por 8 (50) y (52), lo que dará

8 millares, 24 centenas, 48 decenas y 64 unidades.

Suma estos valores, lo que da 10944 como producto de 1368 y 8, o 1368 × 8 = 10944.

Al resolver algunos ejemplos de esta manera, verás la siguiente regla.

59. I. Multiplíquese la primera cifra del multiplicando por el multiplicador, escríbase la cifra de las unidades y resérvense las decenas.

II. Haz lo mismo con la segunda cifra del multiplicando, y suma al producto el número de decenas de la anterior; escribe la cifra de las unidades de este resultado y reserva las decenas.

III. Procedan de este modo hasta llegar a la última cifra, y luego escriban el número entero obtenido de esa cifra.

IV. Si hay un cero en el multiplicando, trátalo como si fuera un número, observando que 0 × 1 = 0, 0 × 2 = 0, etc.

60. De manera similar, un número puede multiplicarse por una cifra acompañada de ceros, como, por ejemplo, 8000. Pues 8000 es 8 × 1000, y por lo tanto (55) primero debes multiplicar por 8 y luego por 1000, cuya última operación (57) se realiza colocando 3 ceros a la derecha. De ahí que la regla en este caso sea: multiplicar por el número simple y colocar el número de ceros que lo acompañan a la derecha del producto.

EJEMPLO.

61. EJERCICIOS.

¿Cuánto es 1007360 × 7?

Respuesta, 7051520.

123456789 × 9 + 10 y 123 × 9 + 4?—R. 1111111111 y 1111.

¿Cuánto es 136 × 3 + 129 × 4 + 147 × 8 + 27 × 3000?—R. 83100.

Un ejército está compuesto por 33 regimientos de infantería, cada uno con 800 hombres; 14 de caballería, cada uno con 600 hombres; y 2 de artillería, cada uno con 300 hombres. El enemigo tiene 6 regimientos más de infantería, cada uno con 100 hombres más; 3 regimientos más de caballería, cada uno con 100 hombres menos; y 4 cuerpos de artillería de la misma magnitud que los del primero: dos regimientos de caballería y uno de infantería se desiertan del primero al segundo. ¿Cuántos hombres tiene el segundo ejército más que el primero?—Respuesta, 13400.

62. Supóngase que se requiere multiplicar 23707 por
63. Puesto que 4567 se compone de 4000, 500, 60 y 7, según (53) debemos multiplicar 23707 por cada uno de estos y sumar los productos.

¿Cuál es el producto requerido?

Servirá igual si, en vez de escribir los ceros al final de cada línea, mantenemos las demás cifras en sus lugares sin ellos. Si quitamos los ceros, la segunda línea está un lugar a la izquierda de la primera, la tercera un lugar a la izquierda de la segunda, y así sucesivamente.

Escriba el multiplicador y el multiplicando sobre estas líneas, y el proceso quedará así:

• 23707
• 4567
• 165949
• 142242
• 118535
• 94828
• 108269869

63. Hay un caso más que observar; esto es, cuando hay un cero en el medio del multiplicador. El siguiente ejemplo mostrará que en este caso no se necesita nada más que mantener la primera cifra de cada línea en la columna debajo de la cifra del multiplicador de la cual proviene esa línea. Supóngase que se requiere multiplicar 365 por 101001. El multiplicador se compone de 100000, 1000 y 1. Proceda como antes, y

y todo el proceso con los cifrados eliminados es:

• 365
• 101001
• 365
• 365
• 365
• 36865365

64. La siguiente es la regla en todos los casos:

I. Coloque el multiplicador debajo del multiplicand, de modo que las unidades de uno queden debajo de las del otro.

II. Multiplíquese todo el multiplicando por cada cifra del multiplicador (59), y colóquese la unidad de cada línea en la columna situada bajo la cifra del multiplicador de la cual proviene.

III. Sume las líneas obtenidas en II, columna por columna.

65. Cuando el multiplicador o el multiplicando, o ambos, tienen ceros a la derecha, multiplíquense ambos sin los ceros y luego agréguense a la derecha del producto todos los ceros que estén a la derecha tanto del multiplicador como del multiplicando. Por ejemplo, ¿cuánto es 3200 × 3000? Primero, 3200 es 32 × 100, o cien veces mayor que 32. Nuevamente, 32 × 13000 es 32 × 13, con tres ceros añadidos, es decir, 416, con tres ceros añadidos, o 416000. Pero el producto requerido debe ser 100 veces mayor que este, o debe tener dos ceros añadidos. Por lo tanto, es 41600000, teniendo tantos ceros como los que hay en el multiplicador y en el multiplicando juntos.

66. Cuando un número se multiplica por sí mismo un número cualquiera de veces, el resultado se llama potencia de ese número. Así:

La segunda y la tercera potencias suelen llamarse cuadrado y cubo, que son nombres incorrectos, derivados de ciertas conexiones de la segunda y la tercera potencia con el cuadrado y el cubo en la geometría. Como ejercicios de multiplicación, deben hallarse las siguientes potencias.

67. Se requiere multiplicar a + b por c + d, es decir, tomar a + b tantas veces como unidades hay en c + d. Según (53), a + b debe tomarse c veces, y d veces, o el producto requerido es (a + b)c + (a + b)d. Pero según (52), (a + b)c es ac + bc, y (a + b)d es ad + bd; de donde el producto requerido es ac + bc + ad + bd; o, (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd.

Por razonamiento similar (a - b)(c + d) es (a - b)c + (a - b)d; o,

(a - b)(c + d) = ac - bc + ad - bd.

Para multiplicar a-b por c-d, primero tómese a-b c veces, lo que da ac-bc. Esto no es correcto; pues al tomarlo c veces en lugar de c-d veces, lo hemos tomado d veces de más; o hemos hecho un resultado que es (a-b)d demasiado grande. El resultado real es por lo tanto ac-bc-(a -b)d. Pero (a-b)d es ad- bd, y por lo tanto (a - b)(c - d) = ac - bc - ad - bd

= ac - bc - ad + bd  (41)

De estos tres ejemplos puede deducirse la regla siguiente para la multiplicación de cantidades algebraicas: Multiplicase cada término del multiplicando por cada término del multiplicador; cuando los dos términos tienen ambos + o ambos - delante de ellos, póngase + delante de su producto; cuando uno tiene + y el otro -, póngase - delante de su producto. Al usar los primeros términos, que no tienen signo, aplíquese la regla como si tuvieran el signo +.

68. Por ejemplo, (a + b)(a + b) da aa + ab + ab + bb. Pero ab + ab es 2ab; de ahí que el cuadrado de a + b sea aa + 2ab + bb. De nuevo, (a- b)(a-b) da aa-ab-ab + bb. Pero dos sustracciones de ab equivalen a restar 2ab; de ahí que el cuadrado de a- b sea aa-2ab + bb. De nuevo, (a + b)(a-b) da aa + ab-ab -bb. Pero la suma y la resta de ab no producen ningún cambio; de ahí que el producto de a + b y a- b sea aa-bb.

Nuevamente, el cuadrado de a + b + c + d o (a + b + c + d)(a + b + c + d) resultará ser aa + 2ab + 2ac + 2ad + bb + 2bc + 2bd + cc + 2cd + dd; o la regla para elevar al cuadrado dicha cantidad es: Eleve al cuadrado el primer término, y multiplique todos los que vienen después por el doble de ese término; haga lo mismo con el segundo, y así sucesivamente hasta el final.

# SECCIÓN IV. DIVISIÓN.

69. Supongamos que pregunto si 156 puede dividirse en varias partes, cada una de las cuales es 13, o cuántos treces contiene 156; planteo una pregunta cuya solución se llama DIVISIÓN. En este caso, 156 se llama dividendo, 13 divisor, y el número de partes requerido es el cociente; y cuando hallo el cociente, se dice que divido 156 entre 13.

70. The simplest method of doing this is to subtract 13 from 156, and then to subtract 13 from the remainder, and so on; or, in common language, to tell off 156 by thirteens. A similar process has already occurred in the exercises on subtraction, Art. (46). Do this, and mark one for every subtraction that is made, to remind you that each subtraction takes 13 once from 156, which operations will stand as follows:

• 156
• 13 1
• ———
• 143
• 13 1
• ———
• 130
• 13 1
• ———
• 117
• 13 1
• ———
• 104
• 13 1
• ———
• 91
• 13 1
• ———
• 78
• 13 1
• ———
• 65
• 13 1
• ———
• 52
• 13 1
• ———
• 39
• 13 1
• ———
• 26
• 13 1
• ———
• 13
• 13 1
• ———
• 0

Comience restando 13 de 156, lo que deja 143. Reste 13 de 143, lo que deja 130; y así sucesivamente. Al final solo queda 13, de lo cual, cuando se resta 13, no queda nada.

Al contar el número de veces que ha restado 13, descubre que este número es 12; o 156 contiene doce veces el 13, o contiene al 13 doce veces.

Este método es el más sencillo posible, y podría hacerse con piedrecitas. De estas primero contarías 156. Luego tomarías 13 del montón y las pondrías en un montón aparte; después tomarías otras 13 del montón y las colocarías en otro montón aparte; y así sucesivamente hasta que no quedara ninguna. Entonces contarías el número de montones, que verías que son 12.

71. La división es lo opuesto a la multiplicación. En la multiplicación tienes varios montones, con el mismo número de guijarros en cada uno, y quieres saber cuántos guijarros hay en total. En la división sabes cuántos hay en total y cuántos debe haber en cada montón, y quieres saber cuántos montones hay.

72. En el último ejemplo se tomó un número que contiene un número exacto de trece. Pero esto no ocurre con todos los números. Tomemos, por ejemplo, el 159. Sigamos el proceso de (70), y se verá que después de haber restado el 13 doce veces, queda 3, del cual ya no se puede restar el 13. Podemos decir entonces que 159 contiene doce veces trece y 3 sobras; o que 159, al ser dividido por 13, da un cociente 12 y un resto 3. Si empleamos signos,

159 = 13 × 12 + 3.

EJERCICIOS.

73. Si a contiene a b q veces con un resto r, a debe ser mayor que bq por r; es decir, a = bq + r.

Si no hay residuo, a = bq.

Aquí a es el dividendo, b el divisor, q el cociente y r el residuo. Para expresar que a contiene a b q veces, escribimos a/b = q, o a : b = q, lo cual en los libros antiguos se encuentra a menudo escrito de este modo:

a ÷ b = q.

74. Si divido 156 en varias partes, y encuentro cuántas veces está contenido el 13 en cada una de ellas, es evidente que el 156 contiene al 13 tantas veces como todas sus partes juntas. Por ejemplo, el 156 se compone de 91, 39 y 26. De estas

por lo tanto $91+39+26$ contiene a $13$ $7+3+2$ veces, o $12$ veces.

Nuevamente, el 156 se compone de 100, 50 y 6.

Por tanto, 100 + 50 + 6 contiene 13, 7 + 3 + 0 veces y sobran 9 + 11 + 6; o bien, 156 contiene 13, 10 veces y sobran 26. Pero 26 son en sí mismos 2 treceavos; por tanto, 156 contiene 10 treceavos y 2 treceavos, o 12 treceavos.

75. El resultado del último artículo se expresa diciendo que, si a = b + c + d, entonces

76. En el primer ejemplo no resté 13 más de una vez a la vez, para que el método fuera lo más sencillo posible. Pero si sé cuánto es dos veces 13, 3 veces 13, etc., puedo restar tantos trece al mismo tiempo como quiera, si tengo cuidado de señalar en cada paso cuántos resto. Por ejemplo, resta 13 diez veces de una vez a 156, es decir, resta 130, y después resta 13 dos veces, o resta 26, y el procedimiento es el siguiente:

• 156
• 130 10 veces 13.
• 26
• 26, 2 por 13.
• 0

Por lo tanto, 156 contiene a 13 10 + 2 veces, es decir, 12 veces.

Nuevamente, para dividir 3096 entre 18.

• 3096
• 1800 100 veces 18.
• 1296
• 900 por 50 por 18.
• 396
• 360
• 36
• 36
• 0

Por lo tanto, 3096 contiene 18 100 + 50 + 20 + 2, o 172 veces.

77. Ahora comprenderá las siguientes oraciones y podrá hacer afirmaciones similares con otros números.

450 es 75 × 6; contiene por lo tanto cualquier número, como el 5, 6 veces más a menudo de lo que lo contiene el 75.

78. Los artículos anteriores contienen los principios de la división. La cuestión ahora es aplicarlos de la manera más breve y conveniente.

Supóngase que se requiere dividir 4068 entre 18, o hallar 4068/18 (23).

Si dividimos 4068 en cualquier cantidad de partes, podemos, mediante el procedimiento seguido en (74), averiguar cuántas veces está contenido el 18 en cada una de estas partes, y a partir de ahí cuántas veces está contenido en el total.

Ahora bien, ¿qué separación de 4068 en partes será la más conveniente?

Obsérvese que 4, la primera cifra de 4068, no contiene al 18; pero que 40, la primera y la segunda cifras juntas, contiene al 18 más de dos veces, pero menos de tres.²

Pero 4068 (20) se compone de 40 centenas y 68; de las cuales, 40 centenas (77) contienen al 18 más de 200 veces, y menos de 300 veces.

Por lo tanto, 4068 también contiene al 18 más de 200 veces, ya que debe contener al 18 tantas veces más como lo hace 4000. También contiene al 18 menos de 300 veces, porque 300 veces 18 es 5400, un número mayor que 4068.

Réstese el 18 200 veces de 4068; es decir, réstense 3600, y queda 468. Por lo tanto, 4068 contiene al 18 200 veces, y tantas veces más como 468 contiene al 18.

Resta, pues, averiguar cuántas veces contiene el 468 al 18. Proceded exactamente igual que antes.

Observad que el 46 contiene al 18 más de dos veces y menos de 3; por tanto, el 460 lo contiene más de 20 y menos de 30 veces (77); como también lo hace el 468. Restad 18 veinte veces de 468, es decir, restad 360; el resto es 108. Por consiguiente, el 468 contiene al 18 20 veces, y tantas más como lo contiene el 108.

Ahora bien, se halla que el 108 contiene al 18 exactamente 6 veces; por tanto, el 468 lo contiene 20 + 6 veces, y el 4068 lo contiene 200 + 20 + 6 veces, o 226 veces.

Si anotamos el proceso que se ha seguido, sin ninguna explicación, colocando el divisor, el dividendo y el cociente en una línea separados por paréntesis, quedará como en el ejemplo (A).

Sea necesario dividir 36326599 por 1342 (B).

Como en el ejemplo anterior, 36326599 se separa en 36320000 y 6599; las primeras cuatro cifras 3632 se separan del resto, porque se necesitan cuatro cifras desde la izquierda del dividendo para formar un número que sea mayor que el divisor. De nuevo, se halla que 36320000 contiene 1342 más de 20000, y menos de 30000 veces; y 1342 × 20000 se resta del dividendo, tras lo cual el residuo es 9486599. La misma operación se repite una y otra vez, y se halla que el resultado es que hay un cociente de 20000 + 7000 + 60 + 9, o 27069, y un residuo de 1.

Antes de proceder, debes repetir ahora el artículo anterior extensamente en la solución de las siguientes preguntas. ¿Cuáles son

cuyos cocientes son 3147, 583, 203; y los residuos 1445, 65483, 7762.

79. En los ejemplos del último artículo, obsérvese, 1.º, que es inútil escribir las cifras que están a la derecha de cada sustraendo, siempre que sin ellas se mantenga cada una de las demás cifras en su lugar propio; 2.º, que es inútil poner las cifras de la derecha del dividendo mientras caigan sobre ceros, porque no empiezan a tener ninguna participación en la formación del cociente hasta que, al continuar el proceso, dejan de tener ceros debajo; 3.º, que el cociente no es más que un número escrito de forma desarrollada, en lugar de la manera habitual. Por ejemplo, el primer cociente es 200 + 20 + 6, o 226; el segundo es 20000 + 7000 + 60 + 9, o 27069. Táchese, por tanto, todos los ceros y los números que quedan encima de ellos, excepto los de la primera línea, y póngase el cociente en una sola línea; y los dos ejemplos del último artículo quedarán así:

80. De aquí se deduce la regla siguiente:

I. Escribe el divisor y el dividendo en una sola línea, y coloca paréntesis a cada lado del dividendo.

II. Tómese del lado izquierdo del dividendo el menor número de cifras que forme un número mayor que el divisor; averigüese cuántas veces está contenido el divisor en este, y escríbase este número como la primera cifra del cociente.

III. Multiplíquese el divisor por la última cifra mencionada, y restése el producto del número que se había separado a la izquierda del dividendo.

IV. A la derecha del resto, colóquese la cifra del dividendo que sigue inmediatamente a las ya separadas en el II.: si el resto así aumentado fuese mayor que el divisor, búsquese cuántas veces está contenido el divisor en él; póngase este número a la derecha de la primera cifra del cociente, y repítase el proceso; si no lo fuese, a la derecha colóquese la siguiente cifra del dividendo, y la siguiente, y así sucesivamente hasta que sea mayor; pero acuérdese de poner un cero en el cociente por cada cifra del dividendo que se vea obligado a tomar, excepto la primera.

V. Procedan de este modo hasta agotar todas las cifras del dividendo.

Al juzgar con qué frecuencia un número grande está contenido en otro, se puede hacer una primera y aproximada estimación tachando el mismo número de cifras de ambos y usando los resultados en lugar de los números mismos.

• Así, 4.732 está contenido en 14.379 aproximadamente el mismo número de veces que 4 está contenido en 14, o sea, unas 3 veces.
• La razón es que, estando 4 contenido en 14 tantas veces como 4.000 lo está en 14.000, y difiriendo estos últimos de los números propuestos únicamente en denominaciones menores, es decir, centenas, etc., podemos esperar que no haya mucha diferencia entre el número de veces que 14.000 contiene a 4.000 y el que 14.379 contiene a 4.732; y por lo general así sucede.
• Pero si la segunda cifra del divisor es 5, o mayor que 5, será más exacto aumentar la primera cifra del divisor en 1 antes de probar el método que se acaba de explicar.

Nada excepto la práctica puede dar soltura en este tipo de conjeturas.

81. Este proceso puede hacerse más simple cuando el divisor no es mayor que 12, si se tiene suficiente conocimiento de la tabla de multiplicar (50). Por ejemplo, quiero dividir 132976 entre 4. En toda su extensión, el proceso queda así:

• 4)132976 (33244
• 12
• 12
• 12
• 9
• 8
• 17
• 16
• 16
• 16
• 0

Pero usted recordará, sin necesidad de escribirlo, que el 13 contiene al 4 tres veces con un resto de 1; este 1 lo colocará delante del 2, la siguiente cifra del dividendo, y usted sabe que el 12 contiene al 4 exactamente 3 veces, y así sucesivamente. Será más conveniente escribir el cociente de este modo:

• 4)132976
• ———
• 33244

Mientras tratamos esta parte del tema, podemos mencionar que la forma más corta de multiplicar por 5 es añadir un cero y dividir por 2, lo cual equivale a tomar la mitad de 10 veces, o de 5 veces.

Para dividir por 5, multiplíquese por 2 y táchese la última cifra, lo que deja el cociente; la mitad de la última cifra es el resto.

Para multiplicar por 25, añádanse dos ceros y divídase por 4.

Para dividir por 25, multiplíquese por 4 y táchense las últimas dos cifras, lo que deja el cociente; la cuarta parte de las últimas dos cifras, tomadas como un solo número, es el resto.

Para multiplicar un número por 9, añádase un cero y réstese el número, lo cual equivale a tomar el número diez veces y luego restarlo una vez.

Para multiplicar por 99, añádanse dos ceros y réstese el número, etc.

Para que un número sea divisible por 2 sin resto, su cifra de las unidades debe ser un número par.³

Para que sea divisible por 4, sus dos últimas cifras deben ser divisibles por 4. Tomemos el ejemplo 1236: este se compone de 12 centenas y 36, cuya primera parte, al ser de centenas, es divisible por 4 y da 12 veinticincos; depende entonces de 36, las dos últimas cifras, que 1236 sea divisible por 4 o no.

Un número es divisible por 8 si las tres últimas cifras son divisibles por 8; pues cada dígito, excepto los tres últimos, es un número de miles, y 1000 es divisible por 8; por lo tanto, que el total sea divisible por 8 o no depende de las tres últimas cifras: así, 127946 no es divisible por 8, ya que 946 no lo es.

Un número es divisible por 3 o 9 únicamente cuando la suma de sus dígitos es divisible por 3 o 9. Tomemos por ejemplo el 1234; este es

Ahora bien, 9, 99, 999, etc., son todos obviamente divisibles por 9 y por 3, y lo mismo ocurrirá con cualquier número formado por la repetición de todos o cualquiera de ellos un número cualquiera de veces. Por lo tanto, de 1 + 2 + 3 + 4, o la suma de los dígitos, depende que 1234 sea divisible por 9 o por 3, o no.

De lo anterior deducimos que un número es divisible por 6 cuando es par y cuando la suma de sus dígitos es divisible por 3.

Por último, un número es divisible por 5 únicamente cuando la última cifra es 0 o 5.

82. Cuando el divisor es la unidad seguida de ceros, la regla se vuelve extremadamente simple, como verán por los siguientes ejemplos:

• 100) 33429 (334
• 300
• 342
• 300
• 429
• 400
• 29

Esta es, pues, la regla: Sepárense tantas cifras de la parte derecha del dividendo como ceros haya. Estas cifras serán el residuo, y el resto del dividendo será el cociente.

• 10) 2717316
• 271731 y rem. 6.

O podemos probar estos resultados así: según (20), 2717316 es 271731 decenas y 6; de los cuales el primero contiene al 10 271731 veces, y el segundo ninguna; el cociente es, por tanto, 271731, y el resto 6 (72).

De nuevo (20), 33429 es 334 centenas y 29; de los cuales el primero contiene al 100 334 veces, y el segundo ninguna; el cociente es, por tanto, 334, y el resto 29.

83. Los ejemplos siguientes mostrarán cómo se puede abreviar la regla cuando hay ceros en el divisor. Con cada ejemplo se coloca otro que contiene el mismo proceso, habiendo eliminado todas las cifras innecesarias; y de la comparación de ambos se deduce la regla que se halla al final de este artículo.

La regla, pues, es la siguiente: Tache tantas cifras⁴ de la derecha del dividendo como ceros haya a la derecha del divisor. Tache todos los ceros del divisor y divida de la manera habitual; pero al final del proceso coloque a la derecha del resto todas aquellas cifras que fueron tachadas del dividendo.

84. EJERCICIOS.

Demuestra que

¿Cuál es el número más cercano a 1376429 que puede dividirse por 36300 sin dejar resto?—Respuesta, 1379400.

Si 36 bueyes pueden comer 216 acres de hierba en un año, y si una oveja come la mitad que un buey, ¿cuánto tardarán 49 bueyes y 136 ovejas juntos en comer 17550 acres?—Respuesta, 25 años.

85. Tomemos dos números cualesquiera, de los cuales uno divide al otro sin dejar resto; por ejemplo, 32 y 4. Multipliquemos ambos números por cualquier otro número; por ejemplo, 6. Los productos serán 192 y 24. Ahora bien, 192 contiene a 24 exactamente las mismas veces que 32 contiene a 4. Supongamos 6 cestas, cada una de las cuales contiene 32 guijarros, cuyo número total será 192. Saquemos 4 de una cesta, una vez tras otra, hasta que esa cesta esté vacía. Es evidente que si, en vez de sacar 4 de esa cesta, saco 4 de cada una, las 6 en conjunto se vaciarán al mismo tiempo: es decir, 6 veces 32 contiene a 6 veces 4 exactamente las mismas veces que 32 contiene a 4. El mismo razonamiento se aplica a otros números y, por lo tanto, no alteramos el cociente si multiplicamos el dividendo y el divisor por el mismo número.

86. De nuevo, supóngase que se ha de dividir 200 entre 50. Divídase tanto el dividendo como el divisor por el mismo número; por ejemplo, 5. Entonces, 200 es 5 veces 40, y 50 es 5 veces 10. Pero según el (85), 40 dividido entre 10 da el mismo cociente que 5 veces 40 dividido entre 5 veces 10, y por lo tanto el cociente de dos números no se altera al dividir tanto el dividendo como el divisor por el mismo número.

87. A partir de (55), si un número es multiplicado sucesivamente por otros dos, queda multiplicado por el producto de ambos. Así, 27, primero multiplicado por 5, y el producto multiplicado por 3, es lo mismo que 27 multiplicado por 5 por 3, es decir, 15.

Asimismo, si un número es dividido por cualquier número, y el cociente es dividido por otro, equivale a que el primer número hubiese sido dividido por el producto de los otros dos. Por ejemplo, divídase 60 entre 4, lo que da 15, y el cociente entre 3, lo que da 5. Es evidente que, si cada uno de los cuatro quince avos de los que se compone 60 se divide en tres partes iguales, hay doce partes iguales en total; o bien, una división entre 4, y luego entre 3, equivale a una división entre 4 × 3, o 12.

88. Las siguientes reglas se comprenderán mejor exponiéndolas mediante un ejemplo. Si 32 se multiplica por 24 y se divide por 6, el resultado es el mismo que si 32 se hubiera multiplicado por el cociente de 24 dividido por 6, es decir, por 4; pues siendo la sexta parte de 24 igual a 4, la sexta parte de cualquier número tomado 24 veces es ese mismo número tomado 4 veces; o bien, multiplicar por 24 y dividir por 6 equivale a multiplicar por 4.

89. Además, si se multiplica 48 por 4, y ese producto se divide entre 24, es lo mismo que si se dividiera 48 de una vez por el cociente de 24 dividido entre 4, es decir, por 6. Porque cada unidad que se repite 6 veces en 48 se repite 4 veces más frecuentemente, o 24 veces, en 4 veces 48; o el cociente de 48 y 6 es el mismo que el cociente de 48 × 4 y 6 × 4.

90. Los resultados de los últimos cinco artículos pueden expresarse algebraicamente así:

Si n divide a a y b sin dejar resto,

Debe recordarse, sin embargo, que estos solo han sido probados en el caso en que todas las divisiones son exactas.

91. Cuando un número divide a otro sin dejar residuo, o está contenido en él un número exacto de veces, se dice que es una medida de ese número, o que lo mide. Así, el 4 es una medida de 136, o mide el 136; pero no mide el 137. La razón para usar la palabra medida es la siguiente: Supóngase que se tiene una vara de 4 pies de longitud, sin ninguna marca en ella, con la cual se quiere medir alguna longitud; por ejemplo, la longitud de una calle. Si esa calle resulta tener 136 pies de longitud, usted podrá medirla con la vara, porque, dado que 136 contiene al 4 34 veces, encontrará que la calle tiene exactamente 34 veces la longitud de la vara. Pero si la calle resulta tener 137 pies de largo, no podrá medirla con la vara; pues cuando haya medido 34 veces la vara, encontrará un residuo cuya longitud no podrá determinar sin una medida más corta. De ahí que se diga que el 4 mide el 136, pero que no mide el 137. Una medida, por tanto, es un divisor que no deja residuo.

92. When one number is a measure of two others, it is called a common measure of the two. Thus, 15 is a common measure of 180 and 75. Two numbers may have several common measures. For example, 360 and 168 have the common measures 2, 3, 4, 6, 24, and several others.

Now, this question maybe asked: Of all the common measures of 360 and 168, which is the greatest? The answer to this question is derived from a rule of arithmetic, called the rule for finding the greatest common measure, which we proceed to consider.

93. Si una cantidad mide a otras dos, mide su suma y su diferencia. Así, el 7 mide al 21 y al 56. Por tanto, mide al 56 + 21 y al 56-21, es decir, al 77 y al 35. Esto no es sino otra manera de expresar lo que se dijo en (74).

94. Si un número mide a un segundo, mide a todo número que el segundo mida. Así, el 5 mide al 15, y el 15 mide al 30, 45, 60, 75, etc.; todos los cuales números son medidos por el 5. Es evidente que si

y así sucesivamente.

95. Todo número que mide tanto al dividendo como al divisor mide también al residuo. Para demostrar esto, dividamos 360 entre 112. El cociente es 3, y el residuo 24, es decir (72) 360 es tres veces 112 y 24, o 360 = 112 × 3 + 24. De esto se deduce que 24 es la diferencia entre 360 y 3 veces 112, o 24 = 360 - 112 × 3. Tómese cualquier número que mida tanto a 360 como a 112; por ejemplo, 4. Entonces

• 4 compases 360,
• 4 measures 112, and therefore (94) measures 112 × 3,
• o 112 + 112 + 112.

Por tanto (93) mide $360-112\times 3$, que es el resto 24.

El mismo razonamiento puede aplicarse a todas las demás medidas de 360 y 112; y el resultado es que toda cantidad que mide tanto al dividendo como al divisor también mide al resto. De ahí que toda medida común de un dividendo y un divisor sea también una medida común del divisor y del resto.

96. Todo divisor común del divisor y del resto es también un divisor común del dividendo y del divisor. Tomemos el mismo ejemplo, y recordemos que 360 = 112 × 3 + 24. Tomemos cualquier divisor común del resto 24 y del divisor 112; por ejemplo, 8. Entonces

• 8 compases 24;
• y 8 compases 112, y por lo tanto (94) compases 112 × 3.

Por lo tanto (93) 8 mide 112 × 3 + 24, o mide el dividendo 360.

Luego, toda medida común del resto y del divisor es también una medida común del divisor y del dividendo, o bien no existe ninguna medida común del resto y del divisor que no sea también una medida común del divisor y del dividendo.

97. I. En (95) queda demostrado que el resto y el divisor tienen todas las medidas comunes que se encuentran en el dividendo y el divisor.

II. Se demuestra en (96) que no tienen otros.

De ello se sigue, por tanto, que la mayor de las medidas comunes de los dos primeros es la mayor de las de los dos segundos, lo que muestra cómo encontrar la mayor medida común de cualesquiera dos números,⁵ de la manera siguiente:

98. Tomémos el ejemplo precedente, y supóngase que se requiere hallar el m. c. d. de 360 y 112, y obsérvese que

Ahora bien, puesto que el 8 divide al 16 sin dejar resto, y puesto que también se divide a sí mismo sin resto, el 8 es el m. c. d. de 8 y 16, porque es imposible dividir el 8 por cualquier número mayor que 8; de modo que, aun si el 16 tuviera una medida mayor que 8, no podría ser común al 16 y al 8.

El proceso llevado a cabo puede escribirse de cualquiera de las siguientes maneras:

• 112) 360 (3
• 336
• 24) 112 (4
• 96
• 16) 24 (1
• 16
• 8) 16 (2
• 16
• 0

La regla para hallar la mayor medida común de dos números es,

I. Divide el mayor de los dos por el menor.

II. Hágase del resto un divisor, y del divisor un dividendo, y hállese otro resto.

III. Proceda de este modo hasta que no quede resto, y el último divisor sea el máximo común divisor buscado.

99. Quizás preguntes cómo ha de mostrar la regla cuándo los dos números no tienen medida común. El hecho es que, hablando estrictamente, no existen tales números, porque todos los números son medidos por 1; es decir, contienen un número exacto de unidades y, por lo tanto, el 1 es una medida común de cada par de números. Si no tienen otra medida común, el último divisor será 1, como en el siguiente ejemplo, donde se halla el mayor común divisor de 87 y 25.

• 25) 87 (3
• 75
• 12) 25 (2
• 24
• 1) 12 (12
• 12
• 0

EJERCICIOS.

• ¿Cuánto es 36 × 36 + 2 × 36 × 72 + 72 × 72
• y 36 × 36 × 36 + 72 × 72 × 72;

¿y cuál es su mayor medida común?—Respuesta, 11664.

100. Si dos números son divisibles por un tercero, y si los cocientes son a su vez divisibles por un cuarto, ese tercero no es el máximo común divisor.

Por ejemplo, 360 y 504 son ambos divisibles por 4. Los cocientes son 90 y 126. Ahora bien, 90 y 126 son ambos divisibles por 9, cuyos cocientes de división son 10 y 14. Según (87), dividir un número por 4, y luego dividir el cociente por 9, es lo mismo que dividir el número mismo por 4 × 9, o por 36. Entonces, dado que 36 es una medida común de 360 y 504, y es mayor que 4, 4 no es el máximo común divisor.

Nuevamente, dado que 10 y 14 son ambos divisibles por 2, 36 no es el máximo común divisor. De ello se sigue que, cuando dos números se dividen por su máximo común divisor, los cocientes no tienen ninguna medida común excepto 1 (99). De otro modo, el número que se llamó máximo común divisor en la última oración no lo es en realidad.

101. Para hallar la mayor medida común de tres números, hállese la m. c. m. del primero y del segundo, y de esta y el tercero. Pues como todos los divisores comunes del primero y del segundo están contenidos en su m. c. m., y ningún otro, todo lo que es común al primero, al segundo y al tercero, lo es también al tercero y a la m. c. m. del primero y del segundo, y ningún otro. De igual manera, para hallar la m. c. m. de cuatro números, hállese la m. c. m. del primero, del segundo y del tercero, y de esta y el cuarto.

102. Cuando un primer número contiene a un segundo, o es divisible por él sin residuo, el primero se llama múltiplo del segundo. Las palabras múltiplo y medida están así conectadas: Puesto que 4 es

una medida de 24, 24 es un múltiplo de 4. El número 96 es un múltiplo de 8, 12, 24, 48 y varios otros. Por lo tanto, se le llama un múltiplo común de 8, 12, 24, 48, etc. El producto de dos números cualesquiera es evidentemente un múltiplo común de ambos. Así, 36 × 8, o 288, es un múltiplo común de 36 y 8. Pero hay múltiplos comunes de 36 y 8 menores que 288; y debido a que es conveniente, cuando se requiere un múltiplo común de dos cantidades, usar el menor de ellos, ahora muestro cómo hallar el mínimo común múltiplo de dos números.

103. Tomemos, por ejemplo, el 36 y el 8. Halla su máximo común divisor, que es 4, y observa que el 36 es 9 × 4, y el 8 es 2 × 4. Los cocientes de 36 y 8, al dividirlos por su máximo común divisor, son por lo tanto 9 y 2. Multiplica estos cocientes entre sí, y multiplica el producto por el máximo común divisor, 4, lo que da 9 × 2 × 4, o
104. Este es un múltiplo de 8, o de 4 × 2 según (55); y también de 36 o de 4 × 9. Es también el mínimo común múltiplo; pero esto no se te puede demostrar, porque la demostración no se puede comprender del todo sin más práctica en el uso de letras para representar números. Pero puedes convencerte de que es el menor en este caso, y de que el mismo procedimiento dará el mínimo común múltiplo en cualquier otro caso que elijas. Ni siquiera es necesario que sepas que es el menor. Siempre que se deba usar un múltiplo común, cualquiera servirá tan bien como el menor. Es solo para evitar números grandes que se prefiere el menor a cualquier otro.

Cuando el máximo común divisor es 1, el mínimo común múltiplo de los dos números es su producto.

La regla entonces es: Para hallar el mínimo común múltiplo de dos números, hállese su máximo común divisor, y multiplíquese uno de los números por el cociente que da el otro al ser dividido por el máximo común divisor. Para hallar el mínimo común múltiplo de tres números, hállese el mínimo común múltiplo de los dos primeros, y hállese el mínimo común múltiplo de dicho múltiplo y el tercero, y así sucesivamente.

EJERCICIOS.

Un modo conveniente de hallar el mínimo común múltiplo de varios números es el siguiente, cuando las medidas comunes son fácilmente visibles:

• Elija una cantidad de medidas comunes de dos o más, que no tengan entre sí ningún divisor mayor que la unidad.
• Escríbalas como divisores y divida cada número que sea divisible por uno o más de ellos.
• Baixe los cocientes y también los números que no sean divisibles por ninguno de ellos.
• Repita el proceso con los resultados, y así sucesivamente hasta que los números bajados no tengan entre dos de ellos ninguna medida común excepto la unidad.

Luego, para el mínimo común múltiplo, multiplique todos los divisores por todos los números bajados en último lugar. Por ejemplo, supóngase que se requiere hallar el mínimo común múltiplo de todos los números del 11 al 21.

Ya no quedan divisores comunes en la fila, y el mínimo común múltiplo requerido es el producto de 2, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 4, 17, 3 y 19; es decir, 232792560.