CAPÍTULO III

# Las geometrías no euclidianas

Toda conclusión supone premisas; estas premisas o bien son evidentes por sí mismas y no necesitan demostración, o solo pueden establecerse apoyándose en otras proposiciones, y dado que no podemos remontarnos así hasta el infinito, toda ciencia deductiva, y en particular la geometría, debe descansar en cierto número de axiomas indemostrables.

Todos los tratados de geometría comienzan, por tanto, con la enunciación de estos axiomas. Pero entre ellos hay que hacer una distinción: algunos, por ejemplo, «Cosas que son iguales a una misma cosa son iguales entre sí», no son proposiciones de geometría, sino proposiciones de análisis. Los considero juicios analíticos a priori, y no me ocuparé de ellos.

Pero debo insistir en otros axiomas que son peculiares de la geometría. La mayoría de los tratados enuncian tres de estos explícitamente:

1º Por dos puntos solo puede pasar una línea recta;

2º La línea recta es el camino más corto de un punto a otro;

3º Por un punto dado no se puede trazar más de una paralela a una recta dada.

Aunque por lo general se omite la demostración del segundo de estos axiomas, sería posible deducirlo de los otros dos y de aquellos, mucho más numerosos, que se admiten implícitamente sin enunciarlos, como explicaré más adelante.

Se buscó en vano durante mucho tiempo demostrar asimismo el tercer axioma, conocido como el postulado de Euclides. Qué inmenso esfuerzo se ha malgastado en esta esperanza quimérica es algo verdaderamente inimaginable. Por fin, en el primer cuarto del siglo XIX, y casi al mismo tiempo, un húngaro y un ruso, Bolyai y Lobachevski, establecieron irrefutablemente que dicha demostración es imposible; casi nos han librado de los inventores de geometrías «sans postulatum»; desde entonces, la Academia de Ciencias solo recibe alrededor de una o dos nuevas demostraciones al año.

La cuestión no estaba agotada; pronto dio un gran paso con la publicación de la célebre memoria de Riemann titulada: Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen. Este trabajo ha inspirado la mayoría de los recientes estudios de los que hablaré más adelante, y entre los cuales conviene citть los de Beltrami y Helmholtz.

La geometría de Bolyai-Lobachevski.—Si fuera posible deducir el postulado de Euclides de los demás axiomas, es evidente que, al negar el postulado y admitir los demás axiomas, nos veríamos conducidos a consecuencias contradictorias; sería por lo tanto imposible basar sobre tales premisas una geometría coherente.

Pues esto es precisamente lo que hizo Lobachevski.

Él asume al principio que:

Por un punto dado se pueden trazar dos paralelas a una recta dada.

Y además conserva todos los demás axiomas de Euclides. A partir de estas hipótesis deduce una serie de teoremas entre los cuales es imposible hallar contradicción alguna, y construye una geometría cuya lógica impecable en nada desmerece a la de la geometría euclidiana.

Los teoremas son, por supuesto, muy diferentes de aquellos a los que estamos acostumbrados, y no pueden dejar de resultar al principio un poco desconcertantes.

Así pues, la suma de los ángulos de un triángulo es siempre menor que dos ángulos rectos, y la diferencia entre esta suma y dos ángulos rectos es proporcional a la superficie del triángulo.

Es imposible construir una figura semejante a una dada pero de dimensiones diferentes.

Si dividimos una circunferencia en n partes iguales, y trazamos tangentes en los puntos de división, estas n tangentes formarán un polígono si el radio del círculo es suficientemente pequeño; pero si este radio es suficientemente grande, no se encontrarán.

Es inútil multiplicar estos ejemplos; las proposiciones de Lobachevski no tienen relación con las de Euclides, pero no están menos lógicamente ligadas unas a otras.

La geometría de Riemann.—Imaginemos un mundo habitado únicamente por seres sin espesor (altura); y supongamos que estos animales «infinitely planos» están todos en el mismo plano y no pueden salir de él. Admitamos además que este mundo está suficientemente lejos de los demás como para verse libre de su influencia. Ya que hacemos hipótesis, no nos cuesta nada dotar a estos seres de razón y creerlos capaces de crear una geometría. En tal caso, ciertamente atribuirán al espacio solo dos dimensiones.

Pero supongamos ahora que estos animales imaginarios, aun careciendo de espesor, tienen la forma de una figura esférica, y no plana, y se encuentran todos en la misma esfera sin poder salir de ella. ¿Qué geometría construirán?

En primer lugar, es evidente que solo atribuirán al espacio dos dimensiones; lo que desempeñará para ellos el papel de la línea recta será el camino más corto de un punto a otro en la esfera, es decir, un arco de círculo máximo; en una palabra, su geometría será la geometría esférica.

Lo que llamarán espacio será esta esfera en la que deben permanecer, y en la que ocurren todos los fenómenos que pueden conocer. Su espacio será por tanto ilimitado ya que en una esfera uno siempre puede avanzar sin ser detenido jamás, y sin embargo será finito; nunca se le puede encontrar el fin, pero se puede dar una vuelta a su alrededor.

Pues bien, la geometría de Riemann es la geometría esférica extendida a tres dimensiones. Para construirla, el matemático alemán tuvo que echar por la borda, no solo el postulado de Euclides, sino también el primer axiograma: Por dos puntos solo puede pasar una línea recta.

En una esfera, por dos puntos dados podemos trazar en general un solo círculo máximo (el cual, como acabamos de ver, jugaría el papel de la línea recta para nuestros seres imaginarios); pero hay una excepción: si los dos puntos dados son diametralmente opuestos, se puede trazar una infinidad de círculos máximos a través de ellos.

Del mismo modo, en la geometría de Riemann (al menos en una de sus formas), por dos puntos pasará en general una sola recta; pero hay casos excepcionales en los que por dos puntos puede pasar una infinidad de rectas.

Existe una especie de oposición entre la geometría de Riemann y la de Lobachevski.

Por lo tanto, la suma de los ángulos de un triángulo es:

Igual a dos ángulos rectos en la geometría de Euclides;

Menos de dos rectos en el de Lobachevski;

Mayor de dos ángulos rectos en el de Riemann.

El número de líneas rectas que pasan por un punto dado que se pueden trazar en el mismo plano que una recta dada, pero que no se encuentran con ella en ningún punto, es igual:

A uno en la geometría de Euclides;

Para precisar el de Riemann;

Al infinito en el de Lobachevski.

Añádase que el espacio de Riemann es finito, aunque ilimitado, en el sentido dado más arriba a estas dos palabras.

Las superficies de curvatura constante.—Todavía cabía una objeción. Los teoremas de Lobachevski y de Riemann no presentan ninguna contradicción; pero por numerosos que sean las consecuencias que estos dos geómetras han deducido de sus hipótesis, han tenido que detenerse antes de agotarlas, ya que su número sería infinito; ¿quién puede decir entonces que si hubiesen llevado sus deducciones más lejos no habrían acabado por llegar a alguna contradicción?

Esta dificultad no existe para la geometría de Riemann, siempre que se limite a dos dimensiones; de hecho, como hemos visto, la geometría riemanniana bidimensional no difiere de la geometría esférica, que es solo una rama de la geometría ordinaria y, por consiguiente, está fuera de toda discusión.

Beltrami, al correlacionar asimismo la geometría bidimensional de Lobachevski con una rama de la geometría ordinaria, ha refutado igualmente la objeción en lo que a ella concierne.

He aquí cómo lo logró.

Consideremos una figura cualquiera sobre una superficie. Imaginemos esta figura trazada sobre un lienzo flexible e inextensible aplicado sobre dicha superficie de tal manera que, cuando el lienzo se desplaza y deforma, las diversas líneas de esta figura pueden cambiar de forma sin cambiar su longitud.

En general, esta figura flexible e inextensible no puede desplazarse sin abandonar la superficie; pero hay ciertas superficies particulares para las cuales tal movimiento sería posible: estas son las superficies de curvatura constante.

Si reanudamos la comparación hecha más arriba e imaginamos seres sin espesor que viven en una de estas superficies, considerarán posible el movimiento de una figura cuyas líneas conserven todas su longitud constante. Por el contrario, tal movimiento parecería absurdo a animales sin espesor que vivieran en una superficie de curvatura variable.

Estas superficies de curvatura constante son de dos clases:

Algunas son de curvatura positiva y pueden deformarse de modo que se apliquen sobre una esfera.

La geometría de estas superficies se reduce, por tanto, a la geometría esférica, que es la de Riemann.

Los demás son de curvatura negativa. Beltrami ha demostrado que la geometría de estas superficies no es otra que la de Lobachevski. Las geometrías bidimensionales de Riemann y Lobachevski están así correlacionadas con la geometría euclidiana.

Interpretación de las geometrías no euclidianas.—Así desaparece la objeción en lo que concierne a las geometrías bidimensionales.

Sería fácil extender el razonamiento de Beltrami a geometrías tridimensionales. Las mentes a las que el espacio de cuatro dimensiones no repugna no verán en ello ninguna dificultad, pero son pocas.

Prefiero, por tanto, proceder de otro modo.

Consideremos un determinado plano, que llamaré plano fundamental, y construyamos una especie de diccionario haciendo corresponder entre sí una doble serie de términos escritos en dos columnas, tal como se corresponden en los diccionarios ordinarios las palabras de dos lenguas cuya significación es la misma:

Espacio: Porción de espacio situada por encima del plano fundamental.

Plano: Esfera que corta el plano fundamental ortogonalmente.

Recta: Círculo que corta el plano fundamental ortogonalmente.

Sphere: Esfera.

Círculo: Círculo.

Angle: Angle.

Distancia entre dos puntos: Logaritmo de la razón anarmónica de estos dos puntos y las intersecciones del plano fundamental con un círculo que pasa por estos dos puntos y lo corta ortogonalmente. Etc., Etc.

Ahora tomemos los teoremas de Lobachevski y traduzcámoslos con la ayuda de este diccionario como traducimos un texto alemán con la ayuda de un diccionario alemán-inglés.

Obtendremos así teoremas de la geometría ordinaria.

Por ejemplo, aquel teorema de Lobachevski: «la suma de los ángulos de un triángulo es menor que dos rectos» se traduce así: «Si un triángulo curvilíneo tiene por lados arcos de círculo que prolongados cortarían ortogonalmente al plano fundamental, la suma de los ángulos de este triángulo curvilíneo será menor que dos rectos».

Así pues, por muy lejos que se lleven las consecuencias de las hipótesis de Lobachevski, nunca conducirán a una contradicción. De hecho, si dos teoremas de Lobachevski fuesen contradictorios, lo mismo ocurriría con las traducciones de estos dos teoremas, hechas con la ayuda de nuestro diccionario; pero estas traducciones son teoremas de la geometría ordinaria y nadie duda de que la geometría ordinaria está libre de contradicción.

¿De dónde proviene esta certeza y está justificada? Esa es una cuestión que no puedo tratar aquí porque requeriría ser desarrollada, pero que es muy interesante y, a mi juicio, no insoluble.

Nada queda, pues, de la objeción antes formulada.

Esto no es todo. La geometría de Lobachevski, susceptible de una interpretación concreta, deja de ser un vano ejercicio lógico y es susceptible de aplicaciones; no tengo tiempo de hablar aquí de estas aplicaciones, ni de la ayuda que Klein y yo hemos obtenido de ellas para la integración de las ecuaciones diferenciales lineales.

Esta interpretación, por lo demás, no es única, y se podrían construir varios diccionarios análogos al precedente que nos permitirían, mediante una simple «traducción», transformar los teoremas de Lobachevski en teoremas de la geometría ordinaria.

Los axiomas implícitos.—¿Son los axiomas enunciados explícitamente en nuestros tratados los únicos fundamentos de la geometría? Podemos estar seguros de lo contrario si observamos que, tras ser abandonados sucesivamente, aún quedan algunas proposiciones comunes a las teorías de Euclides, Lobachevski y Rieman. Estas proposiciones deben descansar en premisas que los geómetras admiten sin enunciar. Es interesante intentar desenmarañarlas a partir de las demostraciones clásicas.

Stuart Mill ha afirmado que toda definición contiene un axioma, porque al definir se afirma implícitamente la existencia del objeto definido. Esto es ir demasiado lejos; es raro que en matemáticas se dé una definición sin que vaya seguida de la demostración de la existencia del objeto definido, y cuando se prescinde de esto, generalmente es porque el lector puede suministrarla fácilmente.

No debe olvidarse que la palabra existencia no tiene el mismo sentido cuando se refiere a una entidad matemática que cuando se trata de un objeto material. Una entidad matemática existe siempre que su definición no implique ninguna contradicción, ni en sí misma, ni con las proposiciones ya admitidas.

Pero si la observación de Stuart Mill no puede aplicarse a todas las definiciones, no es menos justa para algunas de ellas. El plano se define a veces del siguiente modo:

El plano es una superficie tal que la recta que une dos cualesquiera de sus puntos está totalmente en esta superficie.

Esta definición oculta manifiestamente un nuevo axioma; es verdad que podríamos cambiarlo, y eso sería preferible, pero entonces tendríamos que enunciar el axioma explícitamente.

Otras definiciones sugerirían reflexiones no menos importantes.

Tal es, por ejemplo, el de la igualdad de dos figuras; dos figuras son iguales cuando se pueden superponer; para superponerlas hay que desplazar una hasta que coincida con la otra; pero ¿cómo se la desplazará? Si preguntáramos esto, sin duda se nos diría que debe hacerse sin alterar la forma y como un sólido rígido. El círculo vicioso sería entonces evidente.

En realidad esta definición no define nada; carecería de sentido para un ser que viviera en un mundo donde solo hubiera fluidos.

Si nos parece clara, es porque estamos acostumbrados a las propiedades de los sólidos naturales, que no difieren mucho de las de los sólidos ideales, cuyas dimensiones son todas invariables.

Sin embargo, por imperfecta que sea, esta definición implica un axioma.

La posibilidad del movimiento de una figura rígida no es una verdad evidente por sí misma, o al menos lo es tan solo a la manera del postulado de Euclides y no como lo sería un juicio analítico a priori.

Además, al estudiar las definiciones y las demostraciones de la geometría, vemos que uno se ve obligado a admitir sin demostración no solo la posibilidad de este movimiento, sino también algunas de sus propiedades.

Esto se ve de inmediato por la definición de la línea recta.

Se han dado muchas definiciones defectuosas, pero la verdadera es la que está implícita en todas las demostraciones en las que interviene la línea recta:

"Puede suceder que el movimiento de una figura rígida sea tal que todos los puntos de una línea perteneciente a esta figura permanezcan inmóviles mientras todos los puntos situados fuera de esta línea se mueven. Dicha línea se denominará línea recta".

Hemos separado deliberadamente, en este enunciado, la definición del axioma que implica.

Muchas demostraciones, tales como las de los casos de la igualdad de triángulos, de la posibilidad de trazar una perpendicular desde un punto a una recta, presuponen proposiciones que no están enunciadas, pues exigen admitir que es posible transportar una figura de cierta manera en el espacio.

La cuarta geometría.—Entre estos axiomas implícitos hay uno que me parece digno de cierta atención, porque al abandonarlo se puede construir una cuarta geometría tan coherente como las de Euclides, Lobachievski y Riemann.

Para probar que siempre se puede levantar una perpendicular en un punto A a una recta AB, consideramos una recta AC móvil alrededor del punto A e inicialmente coincidente con la recta fija AB; y la hacemos girar alrededor del punto A hasta que llega a la prolongación de AB.

Por tanto, se presuponen dos proposiciones:

Primero, que tal rotación es posible,
y a continuación que puede continuarse hasta que las dos líneas rectas queden en la prolongación la una de la otra.

Si se admite el primer punto y se rechaza el segundo, nos vemos conducidos a una serie de teoremas aún más extraños que los de Lobachevski y Riemann, pero igualmente exentos de contradicción.

Citaré solo uno de estos teoremas, y no el más singular: Una recta real puede ser perpendicular a sí misma.

Teorema de Lie.—El número de axiomas introducidos implícitamente en las demostraciones clásicas es mayor de lo necesario, y sería interesante reducirlo a un mínimo. Puede preguntarse primero si esta reducción es posible, si el número de axiomas necesarios y el de geometrías imaginables no son infinitos.

Un teorema de Sophus Lie domina toda esta discusión. Puede enunciarse así:

Supóngase que se admiten las siguientes premisas:

1º El espacio tiene n dimensiones;

2º El movimiento de una figura rígida es posible;

3º Requiere p condiciones para determinar la posición de esta figura en el espacio.

El número de geometrías compatibles con estas premisas será limitado.

Incluso puedo añadir que, si se da n, se le puede asignar un límite superior a p.

Si, por consiguiente, se admite la posibilidad del movimiento, solo se puede inventar un número finito (e incluso bastante pequeño) de geometrías tridimensionales.

Geometrías de Riemann.—Sin embargo, este resultado parece contradecido por Riemann, pues este sabio construye una infinidad de geometrías diferentes, y aquella a la que se da ordinariamente su nombre no es más que un caso particular.

Todo depende, dice, de cómo se define la longitud de una curva.

Ahora bien, hay una infinidad de maneras de definir esta longitud, y cada una de ellas puede ser el punto de partida de una nueva geometría.

Eso es perfectamente verdad, pero la mayor parte de estas definiciones son incompatibles con el movimiento de una figura rígida, que en el teorema de Lie se supone posible. Estas geometrías de Riemann, tan interesantes en muchos aspectos, no podrían ser, por tanto, más que puramente analíticas y no se prestarían a demostraciones análogas a las de Euclides.

Sobre la naturaleza de los axiomas.—La mayoría de los matemáticos considera la geometría de Lobachevski tan solo como una mera curiosidad lógica; algunos de ellos, sin embargo, han ido más lejos. Puesto que son posibles varias geometrías, ¿es seguro que la nuestra es la verdadera? La experiencia nos enseña sin duda que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos rectos; pero esto se debe a que los triángulos de los que nos ocupamos son demasiado pequeños; la diferencia, según Lobachevski, es proporcional a la superficie del triángulo; ¿acaso no llegará a ser perceptible cuando operemos con triángulos más grandes o cuando nuestras mediciones sean más precisas? La geometría euclidiana sería así únicamente una geometría provisional.

Para discutir esta opinión, debemos preguntarnos primero cuál es la naturaleza de los axiomas geométricos.

¿Son juicios sintéticos a priori, como decía Kant?

Se nos impondrían entonces con tanta fuerza que no podríamos concebir la proposición contraria, ni construir sobre ella un edificio teórico. No habría geometría no euclidiana.

Para convencerse de ello, tómese un juicio sintético a priori verdadero, como el siguiente, cuyo papel preponderante hemos visto en el primer capítulo:

Si un teorema es verdadero para el número 1, y si se ha demostrado que es verdadero para n + 1 siempre que lo sea para n, será verdadero para todos los números enteros positivos.

Luego tratad de escapar de eso y, negando esta proposición, tratad de fundar una falsa aritmética análoga a la geometría no euclidiana; no se puede hacer; uno se sentiría incluso tentado a primera vista de considerar estos juicios como analíticos.

Además, retomando nuestra ficción de animales sin espesor, apenas podemos admitir que estos seres, si sus mentes son como la nuestra, adoptarían la geometría euclidiana que estaría en contradicción con toda su experiencia.

¿Debemos concluir, por tanto, que los axiomas de la geometría son verdades experimentales?

Pero no experimentamos con rectas o círculos ideales; solo se puede hacer con objetos materiales. ¿Sobre qué podrían basarse entonces los experimentos que habrían de servir de cimiento a la geometría?

La respuesta es fácil.

Hemos visto más arriba que razonamos constantemente como si las figuras geométricas se comportaran como sólidos. Lo que la geometría tomaría prestado de la experiencia serían, por tanto, las propiedades de estos cuerpos. Las propiedades de la luz y su propagación rectilínea también han dado lugar a algunas de las proposiciones de la geometría, y en particular a las de la geometría proyectiva, de modo que desde este punto de vista se estaría tentado de decir que la geometría métrica es el estudio de los sólidos, y la proyectiva, el de la luz.

Pero queda una dificultad, y es insuperable. Si la geometría fuera una ciencia experimental, no sería una ciencia exacta, estaría sujeta a una revisión continua. Es más, desde este mismo día sería declarada culpable de error, puesto que sabemos que no existe ningún sólido rigurosamente rígido.

Los axiomas de la geometría no son, por tanto, juicios sintéticos a priori ni hechos experimentales.

Son convenciones; nuestra elección entre todas las posibles convenciones está guiada por los hechos experimentales; pero permanece libre y solo está limitada por la necesidad de evitar toda contradicción.

Así es como los postulados pueden permanecer rigurosamente verdaderos aun cuando las leyes experimentales que han determinado su adopción sean solo aproximadas.

En otras palabras, los axiomas de la geometría (no hablo de los de la aritmética) son meras definiciones disimuladas.

Entonces, ¿qué hemos de pensar de aquella pregunta: Es verdadera la geometría euclidiana?

No tiene sentido.

Tan bien se puede preguntar si el sistema métrico es verdadero y las antiguas medidas falsas; si las coordenadas cartesianas son verdaderas y las coordenadas polares falsas. Una geometría no puede ser más verdadera que otra; solo puede ser más conveniente.

Ahora bien, la geometría euclidiana es, y seguirá siendo, la más conveniente:

1º Porque es el más simple; y lo es no solo como consecuencia de nuestros hábitos mentales, o de no sé qué intuición directa que podamos tener del espacio euclidiano; es el más simple en sí mismo, del mismo modo que un polinomio de primer grado es más simple que uno de segundo; las fórmulas de la trigonometría esférica son más complicadas que las de la trigonometría plana, y seguirían pareciéndolo a un analista ignorante de su significación geométrica.

2º Porque concuerda suficientemente bien con las propiedades de los sólidos naturales, aquellos cuerpos que nuestras manos y nuestros ojos comparan y con los cuales hacemos nuestros instrumentos de medida.

# CAPÍTULO IV

# Espacio y Geometría

Comencemos con una pequeña paradoja.

Seres con mentes como la nuestra, y que poseyeran los mismos sentidos que nosotros, pero sin educación previa, recibirían de un mundo exterior convenientemente elegido impresiones tales que se verían conducidos a construir una geometría distinta a la de Euclides y a localizar los fenómenos de ese mundo exterior en un espacio no euclidiano, o incluso en un espacio de cuatro dimensiones.

En cuanto a nosotros, cuya educación ha sido llevada a cabo por nuestro mundo actual, si fuéramos transportados repentinamente a este nuevo mundo, no tendríamos ninguna dificultad en referir sus fenómenos a nuestro espacio euclidiano. Recíprocamente, si estos seres fuesen transportados a nuestro entorno, se verían conducidos a relacionar nuestros fenómenos con un espacio no euclidiano.

Aún más; con un poco de esfuerzo nosotros también podríamos hacerlo.

Una persona que dedicara su existencia a ello podría quizás alcanzar la realización de la cuarta dimensión.

Espacio geométrico y espacio perceptual.—Se dice a menudo que las imágenes de los objetos exteriores están localizadas en el espacio, e incluso que no pueden formarse sino bajo esta condición. Se dice también que este espacio, que sirve así de marco ya preparado para nuestras sensaciones y nuestras representaciones, es idéntico al de los geómetras, del cual posee todas las propiedades.

A todas las buenas mentes que piensan así, la declaración precedente les habrá parecido bastante extraordinaria. Pero veamos si no están sujetas a una ilusión que un análisis más profundo disiparía.

¿Cuáles son, ante todo, las propiedades del espacio propiamente dicho? Me refiero a ese espacio que es objeto de la geometría y que llamaré espacio geométrico.

Los siguientes son algunos de los más esenciales:

1º Es continua;

2º Es infinito;

3º Tiene tres dimensiones;

4º Es homogéneo, es decir, todos sus puntos son idénticos los unos a los otros;

5º Es isotrópico, es decir, todas las rectas que pasan por un mismo punto son idénticas las unas con las otras.

Compárese ahora con el marco de nuestras representaciones y de nuestras sensaciones, que puedo llamar espacio perceptivo.

Espacio visual.—Considérese primero una impresión puramente visual, debida a una imagen formada en el fondo de la retina.

Un análisis superficial nos muestra esta imagen como continua, pero poseedora de solo dos dimensiones; esto ya distingue del espacio geométrico lo que podemos llamar espacio visual puro.

Además, esta imagen está encerrada en un marco limitado.

Finalmente, hay otra diferencia no menos importante: este espacio visual puro no es homogéneo. Todos los puntos de la retina, al margen de las imágenes que en ella puedan formarse, no desempeñan el mismo papel. La mancha amarilla no puede considerarse de ningún modo idéntica a un punto en el borde de la retina. De hecho, no solo el mismo objeto produce allí impresiones mucho más vívidas, sino que en cualquier marco limitado el punto que ocupa el centro del marco nunca parecerá equivalente a un punto cercano a uno de los bordes.

Sin duda, un análisis más profundo nos demostraría que esta continuidad del espacio visual y sus dos dimensiones son solo una ilusión; lo separaría, por tanto, todavía más del espacio geométrico, pero no nos detendremos en esta observación.

La vista, sin embargo, nos permite juzgar las distancias y, por consiguiente, percibir una tercera dimensión. Pero todo el mundo sabe que esta percepción de la tercera dimensión se reduce a la sensación del esfuerzo de acomodación que es necesario realizar, y a la de la convergencia que debe imprimirse a los dos ojos para percibir un objeto con nitidez.

Estas son sensaciones musculares completamente diferentes de las sensaciones visuales que nos han proporcionado la noción de las dos primeras dimensiones. La tercera dimensión, por tanto, no se nos aparecerá desempeñando el mismo papel que las otras dos. Lo que puede llamarse espacio visual completo no es, por consiguiente, un espacio isotrópico.

Tiene, es verdad, exactamente tres dimensiones, lo que significa que los elementos de nuestras sensaciones visuales (al menos aquellos que se combinan para formar la noción de extensión) quedarán completamente definidos cuando se conozcan tres de ellos; para emplear el lenguaje de las matemáticas, serán funciones de tres variables independientes.

Pero examinemos la cuestión un poco más de cerca. La tercera dimensión se nos revela de dos maneras diferentes: por el esfuerzo de acomodación y por la convergencia de los ojos.

Sin duda estas dos indicaciones son siempre concordantes, hay una relación constante entre ellas, o, en términos matemáticos, las dos variables que miden estas dos sensaciones musculares no se nos aparecen como independientes; o bien, para evitar recurrir a nociones matemáticas ya bastante refinadas, podemos volver al lenguaje del capítulo precedente y enunciar el mismo hecho de la siguiente manera:

Si dos sensaciones de convergencia, A y B, son indistinguibles, las dos sensaciones de acomodación, A´ y B´, que las acompañan respectivamente, serán igualmente indistinguibles.

Pero aquí tenemos, por decirlo así, un hecho experimental; a priori nada nos impide suponer lo contrario, y si lo contrario ocurre, si estas dos sensaciones musculares varían independientemente una de otra, tendremos que dar cuenta de una variable independiente más, y el «espacio visual completo» se nos aparecerá como un continuo físico de cuatro dimensiones.

Tenemos aquí incluso, añadiré, un hecho de experiencia externa.

Nada nos impide suponer que un ser dotado de una mente como la nuestra, provisto de los mismos órganos sensoriales que nosotros, pueda ser colocado en un mundo donde la luz solo le llegara después de haber atravesado medios reflectantes de forma complicada. Las dos indicaciones que nos sirven para juzgar las distancias dejarían de estar conectadas por una relación constante. Un ser que lograra en semejante mundo la educación de sus sentidos atribuiría sin duda cuatro dimensiones al espacio visual completo.

Espacio táctil y espacio motor.—El «espacio táctil» es todavía más complicado que el espacio visual y se halla más alejado del espacio geométrico. Es superfluo repetir para el tacto la discusión que he dado para la vista.

Pero aparte de los datos de la vista y el tacto, existen otras sensaciones que contribuyen tanto o más que ellos a la génesis de la noción de espacio. Estas son conocidas por todos; acompañan a todos nuestros movimientos y se suelen denominar sensaciones musculares.

El fotograma correspondiente constituye lo que puede llamarse espacio motor.

Cada músculo da origen a una sensación especial capaz de aumentar o de disminuir, de modo que la totalidad de nuestras sensaciones musculares dependerá de tantas variables como músculos tenemos. Desde este punto de vista, el espacio motor tendría tantas dimensiones como músculos tenemos.

Sé que se dirá que si las sensaciones musculares contribuyen a formar la noción de espacio, es porque tenemos el sentido de la dirección de cada movimiento y porque este constituye una parte integrante de la sensación.

Si esto fuera así, si una sensación muscular no pudiera surgir más que acompañada por este sentido geométrico de la dirección, el espacio geométrico sería, en efecto, una forma impuesta a nuestra sensibilidad.

Pero no percibo nada de todo esto cuando analizo mis sensaciones.

Lo que sí veo es que las sensaciones que corresponden a movimientos en la misma dirección están conectadas en mi mente por una mera asociación de ideas. A esta asociación es a la que puede reducirse lo que llamamos «el sentido de la orientación». Por consiguiente, este sentimiento no puede encontrarse en una sola sensación.

Esta asociación es extremadamente compleja, pues la contracción del mismo músculo puede corresponder, según la posición de las extremidades, a movimientos de dirección muy diferente.

Además, es evidentemente adquirido; es, como todas las asociaciones de ideas, el resultado de un hábito; este hábito mismo resulta de experiencias muy numerosas; sin ninguna duda, si la educación de nuestros sentidos se hubiera realizado en un entorno diferente, donde hubiéramos estado sometidos a impresiones distintas, se habrían originado hábitos contrarios y nuestras sensaciones musculares se habrían asociado según otras leyes.

Características del espacio perceptual.—Así, el espacio perceptual, bajo su triple forma, visual, táctil y motora, es esencialmente diferente del espacio geométrico.

No es homogéneo ni isotrópico; ni siquiera puede decirse que tiene tres dimensiones.

A menudo se dice que «proyectamos» en el espacio geométrico los objetos de nuestra percepción externa; que los «localizamos».

¿Tiene esto un significado, y en caso afirmativo, cuál?

¿Significa esto que nos representamos a nosotros mismos los objetos externos en el espacio geométrico?

Nuestras representaciones son solo la reproducción de nuestras sensaciones; por lo tanto, solo pueden ordenarse en el mismo marco que estas, es decir, en el espacio perceptual.

Es tan imposible para nosotros representarnos a nosotros mismos los cuerpos externos en el espacio geométrico, como para un pintor pintar sobre un lienzo plano objetos con sus tres dimensiones.

El espacio perceptual es solo una imagen del espacio geométrico, una imagen alterada en su forma por una especie de perspectiva, y solo podemos representarnos los objetos sometiéndolos a las leyes de esta perspectiva.

Por lo tanto, no representamos ante nosotros los cuerpos externos en el espacio geométrico, sino que razonamos sobre estos cuerpos como si estuvieran situados en el espacio geométrico.

Cuando se dice entonces que «localizamos» tal o cual objeto en tal o cual punto del espacio, ¿qué significa?

Significa simplemente que nos representamos los movimientos que sería necesario hacer para alcanzar ese objeto; y no se puede decir que para representarse a sí mismo estos movimientos sea necesario proyectar los movimientos mismos en el espacio y que la noción de espacio deba, por consiguiente, preexistir.

Cuando digo que nos representamos estos movimientos, solo quiero decir que nos representamos las sensaciones musculares que los acompañan y que no tienen ningún carácter geométrico, que por consiguiente no implican en absoluto la preexistencia de la noción de espacio.

Cambio de Estado y Cambio de Posición.—Pero, se dirá, si la idea del espacio geométrico no se impone a nuestra mente y si, por otra parte, ninguna de nuestras sensaciones puede proporcionarla, ¿cómo ha podido llegar a existir?

Esto es lo que tenemos ahora para examinar, y tomará algún tiempo, pero puedo resumir en pocas palabras el intento de explicación que estoy a punto de desarrollar.

Ninguna de nuestras sensaciones, aislada, habría podido conducirnos a la idea del espacio; solo somos conducidos a ella al estudiar las leyes según las cuales estas sensaciones se suceden unas a otras.

Vemos primero que nuestras impresiones están sujetas a cambios; pero entre los cambios que comprobamos pronto nos vemos llevados a hacer una distinción.

Unas veces decimos que los objetos que causan estas impresiones han cambiado de estado, otras veces que han cambiado de posición, que solo han sido desplazados.

Ya sea que un objeto cambie su estado o meramente su posición, esto se traduce siempre para nosotros de la misma manera: por una modificación en un conjunto de impresiones.

¿Cómo pudimos entonces ser conducidos a distinguir entre las dos? Es fácil de explicar. Si solo ha habido un cambio de posición, podemos restaurar el agregado primitivo de impresiones realizando movimientos que nos coloquen de nuevo frente al objeto móvil en la misma situación relativa. Corregimos así la modificación ocurrida y restablecemos el estado inicial mediante una modificación inversa.

Si se trata de la vista, por ejemplo, y si un objeto cambia de lugar ante nuestro ojo, podemos «seguirlo con el ojo» y mantener su imagen en el mismo punto de la retina mediante los movimientos apropiados del globo ocular.

Estos movimientos los percibimos porque son voluntarios y porque están acompañados de sensaciones musculares, pero eso no significa que nos los representemos a nosotros mismos en el espacio geométrico.

Así pues, lo que caracteriza al cambio de posición, lo que lo distingue del cambio de estado, es que siempre puede corregirse de este modo.

Puede ocurrir, por lo tanto, que pasemos de la totalidad de impresiones A a la totalidad B de dos maneras diferentes:

1º Involuntariamente y sin experimentar sensaciones musculares;
esto ocurre cuando es el objeto el que cambia de lugar;

2º Voluntariamente y con sensaciones musculares; esto ocurre cuando el objeto está inmóvil, pero nos movemos de modo que el objeto tenga movimiento relativo con respecto a nosotros.

Si esto es así, el paso de la totalidad A a la totalidad B es tan solo un cambio de posición.

De esto se deduce que la vista y el tacto no habrían podido darnos la noción del espacio sin la ayuda del «sentido muscular».

No solo esta noción no podía derivarse de una sola sensación o incluso de una serie de sensaciones, sino que, además, un ser inmóvil nunca habría podido adquirirla, ya que, al no poder corregir mediante sus movimientos los efectos de los cambios de posición de los objetos exteriores, no habría tenido motivo alguno para distinguirlos de los cambios de estado. Tan poco habría podido adquirirla si sus movimientos no hubiesen sido voluntarios o no hubiesen estado acompañados de ninguna sensación.

Condiciones de compensación.—¿Cómo es posible una compensación semejante, de tal naturaleza que dos cambios, por lo demás independientes el uno del otro, se corrijan recíprocamente?

Una mente ya familiarizada con la geometría razonaría de la siguiente manera:

Evidentemente, si ha de haber compensación, las distintas partes del objeto externo, por un lado, y los diversos órganos de los sentidos, por el otro, deben encontrarse en la misma posición relativa después del doble cambio. Y para que sea así, las distintas partes del objeto externo deben haber conservado asimismo, con referencia unas a otras, la misma posición relativa, y lo mismo debe ocurrir con las distintas partes de nuestro cuerpo unas respecto de otras.

En otras palabras, el objeto exterior, en el primer cambio, debe ser desplazado como lo es un sólido rígido, y otro tanto debe ocurrir con la totalidad de nuestro cuerpo en el segundo cambio que corrige al primero.

Bajo estas condiciones, puede producirse una compensación.

Pero nosotros, que aún no sabemos nada de geometría, dado que para nosotros la noción de espacio no está formada todavía, no podemos razonar así, no podemos prever a priori si la compensación es posible. Pero la experiencia nos enseña que a veces sucede, y es a partir de este hecho experimental que comenzamos a distinguir los cambios de estado de los cambios de posición.

Cuerpos sólidos y geometría.—Entre los objetos circundantes hay algunos que sufren frecuentemente desplazamientos susceptibles de ser así corregidos por un movimiento correlativo de nuestro propio cuerpo; estos son los cuerpos sólidos.

Los otros objetos, cuya forma es variable, sólo excepcionalmente experimentan semejantes desplazamientos (cambio de posición sin cambio de forma).

Cuando un cuerpo cambia de lugar y de forma, ya no podemos, mediante movimientos apropiados, devolver a nuestros órganos sensoriales la misma situación relativa respecto a este cuerpo; por consiguiente, ya no podemos restablecer la totalidad primitiva de las impresiones.

Solo más tarde, y como consecuencia de nuevas experiencias, aprendemos a descomponer los cuerpos de forma variable en elementos más pequeños, de modo que cada uno se desplaza casi de acuerdo con las mismas leyes que los cuerpos sólidos. Así distinguimos las «deformaciones» de otros cambios de estado; en estas deformaciones, cada elemento experimenta un mero cambio de posición, que puede corregirse, pero la modificación sufrida por el agregado es más profunda y ya no es susceptible de corrección mediante un movimiento correlativo.

Semejante noción es ya muy compleja y debió de aparecer de manera relativamente tardía; además, no habría podido surgir si la observación de los cuerpos sólidos no nos hubiera enseñado ya a distinguir los cambios de posición.

Por tanto, si no hubiera cuerpos sólidos en la naturaleza, no habría geometría.

Otra observación merece también un momento de atención. Supongamos que un cuerpo sólido ocupa sucesivamente las posiciones α y β; en su primera posición, producirá en nosotros la totalidad de las impresiones A, y en su segunda posición la totalidad de las impresiones B.

Haya ahora un segundo cuerpo sólido, con cualidades completamente diferentes de las del primero, por ejemplo, un color diferente. Supongamos que pasa de la posición α, donde nos da la totalidad de las impresiones A´, a la posición β, donde nos da la totalidad de las impresiones B´.

En general, la totalidad A no tendrá nada en común con la totalidad A´, ni la totalidad B con la totalidad B´. El paso de la totalidad A a la totalidad B y el de la totalidad A´ a la totalidad B´ son, por tanto, dos cambios que en sí mismos no tienen en general nada en común.

Y, sin embargo, consideramos estos dos cambios tanto como desplazamientos y, además, los consideramos como el mismo desplazamiento.

¿Cómo puede ser eso?

Se debe simplemente a que ambos pueden corregirse mediante el mismo movimiento correlativo de nuestro cuerpo.

El «movimiento correlativo» constituye por tanto la única conexión entre dos fenómenos que, de otro modo, jamás habríamos soñado con equiparar.

Por otra parte, nuestro cuerpo, gracias al número de sus articulaciones y músculos, puede realizar una multitud de movimientos diferentes; pero no todos son capaces de «corregir» una modificación de los objetos exteriores; solo lo serán aquellos en los que nuestro cuerpo entero, o al menos todos nuestros órganos de los sentidos que entran en juego, se desplazan en bloque, es decir, sin que varíen sus posiciones relativas, o a la manera de un cuerpo sólido.

Para resumir:

1º Se nos lleva en primer lugar a distinguir dos categorías de fenómenos:

Algunas, involuntarias, desprovistas de sensaciones musculares, son atribuidas por nosotros a objetos externos; estos son cambios externos;

Otros, de carácter opuesto y atribuidos por nosotros a los movimientos de nuestro propio cuerpo, son cambios internos;

2º Observamos que ciertos cambios de cada una de estas categorías pueden corregirse mediante un cambio correlativo de la otra categoría;

3º Distinguimos entre los cambios externos aquellos que tienen así un correlativo en la otra categoría; a estos los llamamos desplazamientos; y de igual modo, entre los cambios internos, distinguimos aquellos que tienen un correlativo en la primera categoría.

Así quedan definidos, gracias a esta reciprocidad, una clase particular de fenómenos que llamamos desplazamientos.

Las leyes de estos fenómenos constituyen el objeto de la geometría.

Ley de Homogeneidad.—La primera de estas leyes es la ley de homogeneidad.

Supongamos que, mediante un cambio externo $α$ , pasamos de la totalidad de impresiones A a la totalidad B, y que luego este cambio $α$ es corregido por un movimiento voluntario correlativo $β$ , de modo que somos devueltos a la totalidad A.

Supongamos ahora que otro cambio externo $α ´$ nos hace pasar de nuevo de la totalidad A a la totalidad B.

La experiencia nos enseña que este cambio α´ es, al igual que α, susceptible de ser corregido por un movimiento voluntario correlativo β´ y que este movimiento β´ corresponde a las mismas sensaciones musculares que el movimiento β que corrigió a α.

Este hecho suele enunciarse diciendo que el espacio es homogéneo e isótropo.

También puede decirse que un movimiento que se ha producido una vez puede repetirse por segunda y tercera vez, y así sucesivamente, sin que varíen sus propiedades.

En el primer capítulo, donde discutimos la naturaleza del razonamiento matemático, vimos la importancia que debe atribuirse a la posibilidad de repetir indefinidamente la misma operación.

De esta repetición es de donde el razonamiento matemático extrae su poder; es, por tanto, gracias a la ley de la homogeneidad, como tiene dominio sobre los hechos geométricos.

Para mayor exhaustividad, a la ley de la homogeneidad debería añadirse una multitud de otras leyes análogas, en cuyos detalles no deseo entrar, pero que los matemáticos resumen en una sola palabra al decir que los desplazamientos forman «un grupo».

El mundo no euclidiano.—Si el espacio geométrico fuera un armazón impuesto a cada una de nuestras representaciones, consideradas individualmente, sería imposible representarnos una imagen despojada de este armazón, y no podríamos cambiar nada de nuestra geometría.

Pero esto no es así; la geometría es solo el resumen de las leyes según las cuales estas imágenes se suceden unas a otras. Nada nos impide entonces imaginar una serie de representaciones, idénticas en todos los puntos a nuestras representaciones ordinarias, pero que se suceden según leyes diferentes de aquellas a las que estamos acostumbrados.

Podemos concebir entonces que unos seres que hubieran recibido su educación en un ambiente donde estas leyes estuvieran así alteradas pudieran tener una geometría muy diferente a la nuestra.

Supongamos, por ejemplo, un mundo encerrado en una gran esfera y sujeto a las siguientes leyes:

La temperatura no es uniforme; es máxima en el centro y disminuye en proporción a la distancia desde el centro, hasta descender al cero absoluto cuando se alcanza la esfera en la que este mundo está encerrado.

Para precisar aún más la ley de acuerdo con la cual varía esta temperatura:

Sea R el radio de la esfera límite;
sea r la distancia del punto considerado al centro de esta esfera.

La temperatura absoluta será proporcional a R² − r².

Supondré además que, en este mundo, todos los cuerpos tienen el mismo coeficiente de dilatación, de modo que la longitud de cualquier regla es proporcional a su temperatura absoluta.

Finalmente, supondré que un cuerpo transportado de un punto a otro de diferente temperatura se pone inmediatamente en equilibrio térmico con su nuevo entorno.

Nada en estas hipótesis es contradictorio ni inimaginable.

Un objeto móvil se volverá entonces cada vez más pequeño en proporción a medida que se acerque a la esfera límite.

Note primero que, aunque este mundo es limitado desde el punto de vista de nuestra geometría ordinaria, parecerá infinito a sus habitantes.

De hecho, cuando estos intentan acercarse a la esfera límite, se enfrían y se vuelven cada vez más pequeños. Por lo tanto, los pasos que dan son también cada vez más pequeños, de modo que nunca pueden alcanzar la esfera límite.

Si, para nosotros, la geometría es solo el estudio de las leyes según las cuales se mueven los sólidos rígidos, para estos seres imaginarios será el estudio de las leyes de movimiento de los sólidos deformados por las diferencias de temperatura de las que se acaba de hablar.

Sin duda, en nuestro mundo, los sólidos naturales también experimentan variaciones de forma y volumen debido al calentamiento o al enfriamiento. Pero descuidamos estas variaciones al sentar los fundamentos de la geometría porque, además de ser muy leves, son irregulares y, por consiguiente, nos parecen accidentales.

En nuestro mundo hipotético, esto ya no sería así, y estas variaciones seguirían leyes regulares y muy sencillas.

Además, las diversas piezas sólidas de las que se compondrían los cuerpos de sus habitantes sufrirían las mismas variaciones de forma y volumen.

Haré aún otra hipótesis; supondré que la luz atraviesa medios diversamente refractivos y tales que el índice de refracción es inversamente proporcional a R² − r². Es fácil ver que, bajo estas condiciones, los rayos de luz no serían rectilíneos, sino circulares.

Para justificar lo que antecede, me falta demostrar que ciertos cambios en la posición de los objetos externos pueden ser corregidos por movimientos correlativos de los seres sintientes que habitan este mundo imaginario, y de tal modo que se restablezca el agregado primitivo de impresiones experimentado por estos seres sintientes.

Supongamos de hecho que un objeto se desplaza, sufriendo deformación, no como un sólido rígido, sino como un sólido sometido a dilataciones desiguales en exacta conformidad con la ley de temperatura antedicha. Permítaseme, por brevedad, llamar a tal movimiento un desplazamiento no euclidiano.

Si un ser consciente se encuentra por casualidad en las inmediaciones, sus impresiones se verán modificadas por el desplazamiento del objeto, pero podrá restablecerlas desplazándose de manera adecuada. Basta con que finalmente el conjunto del objeto y el ser consciente, considerados como formando un solo cuerpo, haya experimentado uno de esos desplazamientos particulares que acabo de llamar no euclidianos.

Esto es posible si se supone que los miembros de estos seres se dilatan según la misma ley que los demás cuerpos del mundo que habitan.

Aunque desde el punto de vista de nuestra geometría ordinaria hay una deformación de los cuerpos en este desplazamiento y sus diversas partes ya no están en la misma posición relativa, sin embargo, veremos que las impresiones del ser sintiente han vuelto a ser las mismas.

De hecho, aunque las distancias mutuas de las diversas partes hayan variado, las partes que originalmente estaban en contacto vuelven a estarlo. Por tanto, las impresiones táctiles no han cambiado.

Por otra parte, teniendo en cuenta la hipótesis hecha anteriormente con respecto a la refracción y la curvatura de los rayos de luz, las impresiones visuales también habrán permanecido iguales.

Estos seres imaginarios se verán por tanto llevados, como nosotros mismos, a clasificar los fenómenos de que son testigos y a distinguir entre ellos los «cambios de posición» susceptibles de ser corregidos por un movimiento voluntario correlativo.

Si construyen una geometría, no será, como la nuestra, el estudio de los movimientos de nuestros sólidos rígidos; será el estudio de los cambios de posición que así habrán distinguido y que no son otros que los «desplazamientos no euclidianos»; será la geometría no euclidiana.

Así, seres como nosotros, educados en un mundo así, no tendrían la misma geometría que la nuestra.

El mundo de cuatro dimensiones.—Podemos representarnos un mundo tetradimensional exactamente igual que uno no euclidiano.

El sentido de la vista, aun con un solo ojo, junto con las sensaciones musculares relativas a los movimientos del globo ocular, bastaría para enseñarnos el espacio de tres dimensiones.

Las imágenes de los objetos externos se pintan en la retina, que es un lienzo bidimensional; son perspectivas.

Pero, como el ojo y los objetos son móviles, vemos sucesivamente diversas perspectivas del mismo cuerpo, tomadas desde diferentes puntos de vista.

Al mismo tiempo, observamos que la transición de una perspectiva a otra suele ir acompañada de sensaciones musculares.

Si la transición de la perspectiva A a la perspectiva B, y la de la perspectiva A´ a la perspectiva B´ van acompañadas de las mismas sensaciones musculares, las assimilamos la una a la otra como operaciones de la misma naturaleza.

Estudiando entonces las leyes según las cuales se combinan estas operaciones, reconocemos que forman un grupo, el cual tiene la misma estructura que el de los movimientos de los sólidos rígidos.

Ahora bien, hemos visto que es de las propiedades de este grupo de donde hemos derivado la noción de espacio geométrico y la de tres dimensiones.

Comprendemos así cómo la idea de un espacio de tres dimensiones pudo nacer del desfile de estas perspectivas, aunque cada una de ellas sea de solo dos dimensiones, ya que se suceden unas a otras según ciertas leyes.

Bueno, del mismo modo que puede hacerse la perspectiva de una figura tridimensional sobre un plano, podemos hacer la de una figura tetradimensional sobre una imagen de tres (o de dos) dimensiones. Para un geómetra esto no es más que un juego de niños.

Incluso podemos tomar de la misma figura varias perspectivas desde varios puntos de vista diferentes.

Podemos representarnos fácilmente estas perspectivas, ya que son de solo tres dimensiones.

Imagina que las diversas perspectivas de un mismo objeto se suceden unas a otras, y que la transición de una a otra va acompañada de sensaciones musculares.

Consideraremos por supuesto dos de estas transiciones como dos operaciones de la misma naturaleza cuando estén asociadas con las mismas sensaciones musculares.

Nada nos impide entonces imaginar que estas operaciones se combinan de acuerdo con cualquier ley que elijamos, por ejemplo, de modo que formen un grupo con la misma estructura que el de los movimientos de un sólido rígido de cuatro dimensiones.

Aquí no hay nada que no se pueda representar visualmente, y sin embargo estas sensaciones son precisamente las que experimentaría un ser dotado de una retina bidimensional que pudiera moverse en un espacio de cuatro dimensiones.

En este sentido podemos decir que la cuarta dimensión es imaginable.

Conclusiones.—Vemos que la experiencia desempeña un papel indispensable en la génesis de la geometría; pero sería un error concluir de ello que la geometría es, ni siquiera en parte, una ciencia experimental.

Si fuera experimental, solo sería aproximativa y provisional. ¡Y qué burda aproximación!

La geometría no sería más que el estudio de los movimientos de los sólidos; pero en realidad no se ocupa de los sólidos naturales, tiene por objeto ciertos sólidos ideales, absolutamente rígidos, que son solo una imagen simplificada y muy lejana de los sólidos naturales.

La noción de estos sólidos ideales se extrae de todas las partes de nuestra mente, y la experiencia es solo una ocasión que nos induce a sacarlos de ella.

El objeto de la geometría es el estudio de un «grupo» particular; pero el concepto general de grupo preexiste, al menos en potencia, en nuestras mentes. Se nos impone, no como forma de nuestra sensibilidad, sino como forma de nuestro entendimiento.

Solo, de entre todos los grupos posibles, debe elegirse aquel que sea, por decirlo así, el modelo al que habremos de referir los fenómenos naturales.

La experiencia nos guía en esta elección sin imponérnosla; no nos dice cuál es la geometría más verdadera, sino cuál es la más conveniente.

Observe que he sido capaz de describir los mundos fantásticos anteriores imaginados sin dejar de emplear el lenguaje de la geometría ordinaria.

Y, de hecho, no deberíamos tener que cambiarlo si somos transportados allí.

Los seres educados allí sin duda encontrarían más conveniente crear una geometría diferente a la nuestra, y mejor adaptada a sus impresiones. En cuanto a nosotros, ante las mismas impresiones, es seguro que nos parecería más conveniente no cambiar nuestros hábitos.

CAPÍTULO V

# Experiencia y Geometría

Ya en las páginas precedentes he intentado demostrar varias veces que los principios de la geometría no son hechos experimentales y que, en particular, el postulado de Euclides no puede ser demostrado experimentalmente.

Por muy decisivas que me parezcan las razones ya dadas, creo que debo enfatizar este punto porque aquí una falsa idea está profundamente arraigada en muchas mentes.

Si construimos un círculo material, medimos su radio y su circunferencia, y vemos si la razón de estas dos longitudes es igual a $π$ , ¿qué habremos hecho? Habremos hecho un experimento sobre las propiedades de la materia con la que construimos esta cosa redonda, y de aquella de la que estaba hecha la medida utilizada.

Geometría y Astronomía.—La cuestión también se ha planteado de otro modo. Si la geometría de Lobachevski es verdadera, el paralaje de una estrella muy lejana será finito; si la de Riemann es verdadera, será negativo. Estos son resultados que parecen al alcance del experimento, y ha habido esperanzas de que las observaciones astronómicas nos permitan decidir entre las tres geometrías.

Pero en astronomía «línea recta» significa simplemente «trayectoria de un rayo de luz».

Si por consiguiente se encontraran paralajes negativas, o si se demostrara que todas las paralajes son superiores a un cierto límite, se nos abrirían dos caminos; podríamos renunciar a la geometría euclidiana, o bien modificar las leyes de la óptica y suponer que la luz no se propaga rigurosamente en línea recta.

Huelga añadir que todo el mundo consideraría esta última solución como la más ventajosa.

La geometría euclidiana no tiene, por lo tanto, nada que temer de nuevos experimentos.

¿Es sostenible la posición de que ciertos fenómenos, posibles en el espacio euclidiano, serían imposibles en el espacio no euclidiano, de modo que la experiencia, al constatar estos fenómenos, contradiría directamente la hipótesis no euclidiana?

Por mi parte, creo que no se puede plantear tal cuestión. A mi juicio, es exactamente equivalente a la siguiente, cuya absurdidad es patente a los ojos de todos: ¿hay longitudes expresibles en metros y centímetros, pero que no pueden medirse en brazas, pies y pulgadas, de modo que la experiencia, al cerciorarse de la existencia de estas longitudes, contradiría directamente la hipótesis de que hay brazas divididas en seis pies?

Examine the question more closely. I suppose that the straight line possesses in Euclidean space any two properties which I shall call A and B; that in non-Euclidean space it still possesses the property A, but no longer has the property B; finally I suppose that in both Euclidean and non-Euclidean space the straight line is the only line having the property A.

Si esto fuera así, la experiencia sería capaz de decidir entre la hipótesis de Euclides y la de Lobachevski. Se comprobaría que un objeto concreto determinado, accesible a la experiencia, por ejemplo, un haz de rayos de luz, posee la propiedad A; concluiríamos que es rectilíneo, y luego investigaríamos si tiene o no la propiedad B.

Pero esto no es así; no existe ninguna propiedad que, como esta propiedad A, pueda ser un criterio absoluto que nos permita reconocer la línea recta y distinguirla de cualquier otra línea.

¿Diremos, por ejemplo: «la siguiente es una propiedad tal: la línea recta es una línea tal que una figura de la cual esta línea forma parte puede ser movida sin que varíen las distancias mutuas de sus puntos y de modo que todos los puntos de esta línea permanezcan fijos»?

Esta, en efecto, es una propiedad que, en el espacio euclidiano o no euclidiano, pertenece a la línea recta y solo a ella. Pero ¿cómo determinaremos experimentalmente si pertenece a este o aquel objeto concreto? Será necesario medir distancias, y ¿cómo sabrá uno que una magnitud concreta que he medido con mi instrumento material representa realmente la distancia abstracta?

Solo hemos aplazado la dificultad.

En realidad, la propiedad que acaba de enunciarse no es una propiedad de la línea recta sola; es una propiedad de la línea recta y de la distancia. Para que sirva como criterio absoluto, tendríamos que ser capaces de establecer no solo que no pertenece también a una línea distinta de la recta y a la distancia, sino además que no pertenece a una línea distinta de la recta y a una magnitud distinta de la distancia. Ahora bien, esto no es cierto.

Por consiguiente, es imposible imaginar un experimento concreto que pueda interpretarse en el sistema euclidiano y no en el sistema lobachevskiano, de modo que puedo concluir:

Ninguna experiencia estará jamás en contradicción con el postulado de Euclides; ni, por otra parte, ninguna experiencia contradecirá jamás el postulado de Lobachevski.

Pero no basta con que la geometría euclidiana (o no euclidiana) jamás pueda ser contradicha directamente por la experiencia. ¿No podría suceder que solo concuerde con la experiencia violando el principio de razón suficiente o el de la relatividad del espacio?

Me explicaré: consideremos cualquier sistema material; tendremos que tener en cuenta, por un lado, «el estado» de los diversos cuerpos de este sistema (por ejemplo, su temperatura, su potencial eléctrico, etc.) y, por otro lado, su posición en el espacio; y entre los datos que nos permiten definir esta posición distinguiremos, además, las distancias mutuas entre estos cuerpos, que definen sus posiciones relativas, de las condiciones que definen la posición absoluta del sistema y su orientación absoluta en el espacio.

Las leyes de los fenómenos que ocurrirán en este sistema dependerán del estado de estos cuerpos y de sus distancias mutuas; pero, debido a la relatividad y pasividad del espacio, no dependerán de la posición absoluta y la orientación del sistema.

En otras palabras, el estado de los cuerpos y sus distancias mutuas en cualquier instante dependerán únicamente del estado de estos mismos cuerpos y de sus distancias mutuas en el instante inicial, pero no dependerán en absoluto de la posición inicial absoluta del sistema ni de su orientación inicial absoluta. A esto es a lo que, por brevedad, llamaré ley de la relatividad.

Hasta ahora he hablado como un geómetra euclidiano. Como he dicho, una experiencia, sea cual sea, admite una interpretación según la hipótesis euclidiana; pero la admite igualmente según la hipótesis no euclidiana. Pues bien, hemos realizado una serie de experimentos; los hemos interpretado según la hipótesis euclidiana, y hemos reconocido que estos experimentos así interpretados no violan esta «ley de relatividad».

Ahora los interpretamos según la hipótesis no euclidiana: esto siempre es posible; solo que las distancias no euclidianas de nuestros diferentes cuerpos en esta nueva interpretación no serán generalmente las mismas que las distancias euclidianas en la interpretación primitiva.

¿Estarán nuestros experimentos, interpretados de este nuevo modo, todavía de acuerdo con nuestra «ley de relatividad»? ¿Y si no hubiera tal acuerdo, no tendríamos también derecho a decir que la experiencia había probado la falsedad de la geometría no euclidiana?

Es fácil ver que este temor es infundado; de hecho, para aplicar la ley de la relatividad con todo rigor, debe aplicarse al universo entero.

Pues si solo se considerara una parte de este universo, y si la posición absoluta de esta parte variase por casualidad, las distancias a los demás cuerpos del universo variarían asimismo, su influencia sobre la parte del universo considerada aumentaría o disminuiría en consecuencia, lo cual podría modificar las leyes de los fenómenos que allí ocurren.

Pero si nuestro sistema es todo el universo, la experiencia es impotente para dar información sobre su posición absoluta y su orientación en el espacio. Todo lo que nuestros instrumentos, por muy perfeccionados que estén, pueden decirnos será el estado de las diversas partes del universo y sus distancias mutuas.

Así pues, nuestra ley de relatividad puede enunciarse de este modo:

Las lecturas que podamos hacer en nuestros instrumentos en cualquier instante dependerán únicamente de las lecturas que podríamos haber hecho en esos mismos instrumentos en el instante inicial.

Ahora bien, semejante enunciación es independiente de toda interpretación de los hechos experimentales. Si la ley es verdadera en la interpretación euclidiana, también lo será en la interpretación no euclidiana.

Permíteme aquí una breve digresión. He hablado más arriba de los datos que definen la posición de los diversos cuerpos del sistema; debí haber hablado asimismo de aquellos que definen sus velocidades; entonces habría tenido que distinguir las velocidades con las que varían las distancias mutuas de los diferentes cuerpos; y, por otra parte, las velocidades de traslación y rotación del sistema, es decir, las velocidades con las que varían su posición absoluta y su orientación.

Para satisfacer plenamente a la mente, la ley de la relatividad debería poder expresarse así:

El estado de los cuerpos y sus distancias mutuas en cualquier instante, así como las velocidades con las que estas distancias varían en este mismo instante, dependerán únicamente del estado de dichos cuerpos y de sus distancias mutuas en el instante inicial, y de las velocidades con las que estas distancias varían en este instante inicial, pero no dependerán ni de la posición inicial absoluta del sistema, ni de su orientación absoluta, ni de las velocidades con las que esta posición y orientación absolutas variaban en el instante inicial.

Lamentablemente, la ley así enunciada no concuerda con los experimentos, al menos tal como se interpretan ordinariamente.

Supongamos que un hombre fuera transportado a un planeta cuyos cielos estuvieran siempre cubiertos por un denso velo de nubes, de modo que nunca pudiera ver las demás estrellas; en ese planeta viviría como si estuviera aislado en el espacio.

Sin embargo, este hombre podría percatarse de que gira, ya sea midiendo su achatamiento (lo que se hace ordinariamente con la ayuda de observaciones astronómicas, pero que puede hacerse por medios puramente geodésicos), o repitiendo el experimento del péndulo de Foucault.

La rotación absoluta de este planeta podría, por tanto, hacerse evidente.

Este es un hecho que escandaliza al filósofo, pero que el físico se ve obligado a aceptar.

Sabemos que a partir de este hecho Newton infirió la existencia del espacio absoluto; yo mismo soy totalmente incapaz de adoptar este punto de vista.

Explicaré por qué en la Parte III. Por el momento no es mi intención entrar en esta dificultad.

Por lo tanto, debo resignarme, al enunciar la ley de la relatividad, a incluir velocidades de todo tipo entre los datos que definen el estado de los cuerpos.

Sea como fuere, esta dificultad es la misma para la geometría de Euclides que para la de Lobachevski; por lo tanto, no necesito preocuparme por ella y solo la he mencionado de pasada.

Lo importante es la conclusión: el experimento no puede decidir entre Euclides y Lobachevski.

En resumen, se mire como se mire, es imposible descubrir en el empirismo geométrico un sentido racional.

Los experimentos solo nos enseñan las relaciones de los cuerpos entre sí; ninguno de ellos trata ni puede tratar sobre las relaciones de los cuerpos con el espacio, ni sobre las relaciones mutuas de las diferentes partes del espacio.

—Sí —respondes—, un solo experimento es insuficiente, porque me da una sola ecuación con varias incógnitas; pero cuando haya hecho suficientes experimentos, tendré ecuaciones suficientes para calcular todas mis incógnitas.

Para saber la altura del palo mayor no basta para calcular la edad del capitán. Cuando hayáis medido cada trozo de madera del barco tendréis muchas ecuaciones, pero no por ello sabréis mejor su edad.

Todas vuestras mediciones referidas únicamente a vuestros trozos de madera no os podrán revelar nada, excepto en lo que concierne a dichos trozos de madera. Del mismo modo, vuestros experimentos, por numerosos que sean, referidos únicamente a las relaciones de los cuerpos entre sí, no nos revelarán nada sobre las relaciones mutuas de las diversas partes del espacio.

¿Diréis que si los experimentos se refieren a los cuerpos, se refieren al menos a las propiedades geométricas de los cuerpos?

Pero, antes que nada, ¿qué entendéis por propiedades geométricas de los cuerpos? Supongo que se trata de las relaciones de los cuerpos con el espacio; estas propiedades son, por tanto, inaccesibles a los experimentos que solo se refieren a las relaciones de los cuerpos entre sí. Esto por sí solo bastaría para demostrar que no puede tratarse de estas propiedades.

Aún comencemos por ponernos de acuerdo sobre el sentido de la frase: propiedades geométricas de los cuerpos. Cuando digo que un cuerpo está compuesto por varias partes, supongo que no enuncio en ello una propiedad geométrica, y esto seguiría siendo cierto incluso si aceptara dar el nombre impropio de puntos a las partes más pequeñas que considero.

Cuando digo que tal parte de tal cuerpo está en contacto con tal parte de otro cuerpo semejante, enuncio una proposición que concierne a las relaciones mutuas de estos dos cuerpos y no a sus relaciones con el espacio.

Supongo que me concederá que estas no son propiedades geométricas; al menos estoy seguro de que me concederá que estas propiedades son independientes de todo conocimiento de geometría métrica.

Esto supuesto, imagino que tenemos un cuerpo sólido formado por ocho varillas delgadas de hierro, OA, OB, OC, OD, OE, OF, OG, OH, unidas en uno de sus extremos O. Tengamos además un segundo cuerpo sólido, por ejemplo un trozo de madera, marcado con tres pequeñas manchas de tinta que llamaré α, β, γ. Supongo además constatado que αβγ puede ponerse en contacto con AGO (quiero decir α con A, y al mismo tiempo β con G y γ con O), luego que podemos poner sucesivamente en contacto αβγ con BGO, CGO, DGO, EGO, FGO, luego con AHO, BHO, CHO, DHO, EHO, FHO, luego αγ sucesivamente con AB, BC, CD, DE, EF, FA.

Estas son determinaciones que podemos hacer sin tener de antemano ninguna noción sobre la forma o sobre las propiedades métricas del espacio. De ningún modo se refieren a las «propiedades geométricas de los cuerpos». Y estas determinaciones no serían posibles si los cuerpos sobre los que se experimenta se movieran de acuerdo con un grupo que tenga la misma estructura que el grupo lobachoviano (me refiero a las mismas leyes que los cuerpos sólidos en la geometría de Lobachovski).

Bastan, por tanto, para demostrar que estos cuerpos se mueven de acuerdo con el grupo euclidiano, o al menos que no se mueven de acuerdo con el grupo lobachoviano.

Que son compatibles con el grupo euclidiano es fácil de ver. Pues podrían construirse si el cuerpo $α β γ$ fuera un sólido rígido de nuestra geometría ordinaria con la forma de un triángulo rectángulo, y si los puntos ABCDEFGH fuesen las cúspides de un poliedro formado por dos pirámides hexagonales regulares de nuestra geometría ordinaria, que tienen por base común ABCDEF y por vértices la una G y la otra H.

Supóngase ahora que en lugar de la determinación precedente se observa que, tal como arriba, $α β γ$ puede aplicarse sucesivamente a AGO, BGO, CGO, DGO, EGO, AHO, BHO, CHO, DHO, EHO, FHO, y luego que $α β$ (y ya no $γ$ ) puede aplicarse sucesivamente a AB, BC, CD, DE, EF y FA.

Estas son determinaciones que podrían hacerse si la geometría no euclidiana fuese verdadera, si los cuerpos αβγ y OABCDEFGH fuesen sólidos rígidos, y si el primero fuese un triángulo rectángulo y el segundo una pirámide hexagonal regular doble de dimensiones adecuadas.

Por consiguiente, estas nuevas determinaciones no son posibles si los cuerpos se mueven según el grupo euclidiano; pero lo llegan a ser si se supone que los cuerpos se mueven según el grupo lobachevskiano. Bastarían, por tanto (si se realizaran), para demostrar que los cuerpos en cuestión no se mueven según el grupo euclidiano.

Así, sin hacer ninguna hipótesis sobre la forma, sobre la naturaleza del espacio, sobre las relaciones de los cuerpos con el espacio, y sin atribuir a los cuerpos ninguna propiedad geométrica, he realizado observaciones que me han permitido mostrar en un caso que los cuerpos experimentados se mueven según un grupo cuya estructura es euclidiana, y en el otro caso que se mueven según un grupo cuya estructura es lobacherskiana.

Y no se puede decir que el primer agregado de determinaciones constituiría un experimento que prueba que el espacio es euclidiano, y el segundo, un experimento que prueba que el espacio no es euclidiano.

De hecho, se podría imaginar (digo imaginar) cuerpos que se movieran de tal modo que hicieran posible la segunda serie de determinaciones. Y la prueba es que el primer mecánico que uno se encontrara podría construir tales cuerpos si se tomara la molestia y hiciera el gasto. No concluiréis de ello, sin embargo, que el espacio no es euclidiano.

Pues bien, dado que los cuerpos sólidos ordinarios seguirían existiendo cuando el mecánico hubiera construido los extraños cuerpos de los que acabo de hablar, sería necesario concluir que el espacio es al mismo tiempo euclidiano y no euclidiano.

Supongamos, por ejemplo, que tenemos una gran esfera de radio R y que la temperatura disminuye desde el centro hasta la superficie de esta esfera según la ley de la que he hablado al describir el mundo no euclidiano.

Podríamos tener cuerpos cuya expansión fuera despreciable y que se comportaran como sólidos rígidos ordinarios; y, por otra parte, cuerpos muy dilatables que se comportaran como sólidos no euclidianos. Podríamos tener dos pirámides dobles OABCDEFGH y O´A´B´C´D´E´F´G´H´ y dos triángulos αβγ y α´β´γ´. La primera pirámide doble podría ser rectilínea y la segunda curvilínea; el triángulo αβγ podría estar hecho de materia inexpansible y el otro de una materia muy dilatable.

Sería entonces posible hacer las primeras observaciones con la doble pirámide OAH y el triángulo αβγ, y las segundas con la doble pirámide O´A´H´ y el triángulo α´β´γ´. Y entonces la experiencia parecería demostrar primero que la geometría euclidiana es verdadera y después que es falsa.

Los experimentos, por tanto, no se refieren al espacio, sino a los cuerpos.

Suplemento

Para completar el asunto, debo hablar de una cuestión muy delicada, que requeriría un largo desarrollo; me limitaré a resumir aquí lo que he expuesto en la Revue de Métaphysique et de Morale y en The Monist. Cuando decimos que el espacio tiene tres dimensiones, ¿qué queremos decir?

Hemos visto la importancia de esos «cambios internos» que nos revelan nuestras sensaciones musculares. Pueden servir para caracterizar las diversas actitudes de nuestro cuerpo.

Tomemos arbitrariamente como origen una de estas actitudes A. Cuando pasamos de esta actitud inicial a cualquier otra actitud B, sentimos una serie de sensaciones musculares, y esta serie S definirá B. Observémoslo, sin embargo, que a menudo consideraremos dos series S y S' como definidoras de la misma actitud B (puesto que, al permanecer iguales las actitudes inicial y final A y B, las actitudes intermedias y las sensaciones correspondientes pueden diferir).

¿Cómo reconoceremos entonces la equivalencia de estas dos series? Porque pueden servir para compensar el mismo cambio externo, o más generalmente porque, cuando se trata de compensar un cambio externo, una de las series puede ser reemplazada por la otra.

Entre estas series, hemos distinguido aquellas que por sí solas pueden compensar un cambio externo, y que hemos llamado «desplazamientos». Como no podemos discriminar entre dos desplazamientos demasiado próximos, la totalidad de estos desplazamientos presenta las características de un continuo físico; la experiencia nos enseña que son las de un continuo físico de seis dimensiones; pero aún no sabemos cuántas dimensiones tiene el espacio mismo, primero debemos resolver otra cuestión.

¿Qué es un punto del espacio? Todo el mundo cree saberlo, pero eso es una ilusión. Lo que vemos cuando tratamos de representarnos un punto del espacio es una mota negra sobre papel blanco, una mota de tiza en una pizarra, siempre un objeto. La pregunta debe entenderse, por tanto, del siguiente modo:

¿Qué quiero decir cuando digo que el objeto B está en el mismo punto que el objeto A ocupaba hace un momento? O aún más, ¿qué criterio me permitirá comprender esto?

Quiero decir que, aunque no me he movido (lo que me dice mi sentido muscular), mi dedo índice que hace un momento tocaba el objeto A toca en el presente el objeto B. Podría haber utilizado otros criterios; por ejemplo, otro dedo o el sentido de la vista. Pero el primer criterio es suficiente; sé que si este responde que sí, todos los demás criterios darán la misma respuesta. Lo sé por experiencia, no puedo saberlo a priori. Por la misma razón digo que el tacto no puede ejercerse a distancia; esta es otra manera de enunciar el mismo hecho experimental. Y si, por el contrario, digo que la vista actúa a distancia, significa que el criterio proporcionado por la vista puede responder que sí mientras los demás responden que no.

Y de hecho, el objeto, aunque alejado, puede formar su imagen en el mismo punto de la retina. La vista responde sí, el objeto ha permanecido en el mismo punto y el tacto responde no, porque mi dedo que hace un momento tocaba el objeto, en el presente ya no lo toca. Si la experiencia nos hubiera demostrado que un dedo puede responder no cuando el otro dice sí, diríamos asimismo que el tacto actúa a distancia.

En resumen, para cada actitud de mi cuerpo, mi dedo índice determina un punto, y es este, y solo este, el que define un punto del espacio.

A cada actitud corresponde así un punto; pero a menudo sucede que el mismo punto corresponde a varias actitudes diferentes (en este caso decimos que nuestro dedo no se ha movido, pero que el resto del cuerpo se ha movido). Distinguimos, por lo tanto, entre los cambios de actitud aquellos en los que el dedo no se mueve.

¿Cómo somos conducidos a ello? Es porque a menudo notamos que en estos cambios el objeto que está en contacto con el dedo permanece en contacto con él.

Clasifíquese, por lo tanto, en una misma clase todas las actitudes obtenibles unas de otras mediante uno de los cambios que así hemos distinguido.

A todas las actitudes de la clase les corresponderá el mismo punto del espacio. Por lo tanto, a cada clase le corresponderá un punto y a cada punto una clase. Pero se podrá decir que a lo que llega la experiencia no es al punto, sino a esta clase de cambios o, mejor, a la clase correspondiente de sensaciones musculares.

Y cuando decimos que el espacio tiene tres dimensiones, simplemente queremos decir que la totalidad de estas clases se nos presenta con las características de un continuo físico de tres dimensiones.

Uno podría verse tentado a concluir que es la experiencia la que nos ha enseñado cuántas dimensiones tiene el espacio. Pero en realidad aquí también nuestras experiencias se refieren, no al espacio, sino a nuestro cuerpo y a sus relaciones con los objetos vecinos. Además, son excesivamente rudimentarias.

En nuestra mente preexistía la idea latente de un cierto número de grupos: aquellos cuya teoría ha desarrollado Lie. ¿Qué grupo elegiremos para hacer de él una especie de patrón con el cual comparar los fenómenos naturales? Y, una vez elegido este grupo, ¿cuál de sus subgrupos tomaremos para caracterizar un punto del espacio? La experiencia nos ha guiado mostrándonos qué elección se adapta mejor a las propiedades de nuestro cuerpo. Pero su papel se limita a eso.

# Experiencia ancestral

Se ha dicho a menudo que si la experiencia individual no pudo crear la geometría, lo mismo no ocurre con la experiencia ancestral.

Pero ¿qué significa eso? ¿Se quiere decir que nosotros no podríamos demostrar experimentalmente el postulado de Euclides, pero que nuestros antepasados han podido hacerlo? Ni mucho menos. Se quiere decir que por selección natural nuestra mente se ha adaptado a las condiciones del mundo exterior, que ha adoptado la geometría más ventajosa para la especie: o en otras palabras, la más conveniente.

Esto está enteramente de acuerdo con nuestras conclusiones; la geometría no es verdadera, es ventajosa.