CAPÍTULO XXII. INDUCCIÓN CUANTITATIVA.

Aún no hemos considerado formalmente ningún proceso de razonamiento que tenga por objeto descubrir leyes de la naturaleza expresadas en ecuaciones cuantitativas. Hemos estado investigando los modos mediante los cuales un fenómeno puede ser medido y, si es un fenómeno compuesto, puede ser resuelto, con la ayuda de varias mediciones, en sus partes componentes. También hemos considerado las precauciones que deben tomarse en la realización de observaciones y experimentos para saber qué fenómenos medimos realmente, pero debemos recordar que ningún número de hechos y observaciones puede por sí mismo constituir ciencia. Los hechos numéricos, al igual que otros hechos, son tan solo la materia prima del conocimiento, sobre la cual nuestras facultades de razonamiento deben ejercerse para extraer los principios de la naturaleza. Es solo mediante un proceso inverso de razonamiento como podemos descubrir las leyes matemáticas a las que se ajustan las cantidades variables. Mediante experimentos bien conducidos obtenemos una serie de valores de una variable, y una serie correspondiente de valores de una variante, y ahora queremos saber qué función matemática es la variante con respecto a la variable. En el progreso habitual de una ciencia habrá que responder a tres preguntas con respecto a todo fenómeno cuantitativo importante:‍—

(1) ¿Existe alguna relación constante entre una variable y una variante?

(2) ¿Cuál es la fórmula empírica que expresa esta relación?

(3) ¿Cuál es la fórmula racional que expresa la ley de naturaleza involucrada?

# Conexión probable de cantidades variadas.

Encontramos afirmado por Mill,‍¹ que «Cualquier fenómeno que varíe de cualquier manera siempre que otro fenómeno varíe de algún modo particular, es causa o efecto de ese fenómeno, o está conectado con él mediante algún hecho de causación».

Esta afirmación puede considerarse verdadera cuando se interpreta con la debida cautela; pero de otro modo podría conducirnos al error. No hay absolutamente nada en la naturaleza de las cosas que impida la existencia de dos variaciones que aparentemente sigan la misma ley y, sin embargo, no tengan conexión alguna entre sí.

Una estrella binaria podría estar atravesando una revolución que, hasta donde alcanzamos a saber, fuera de igual período que la de otra estrella binaria y, según la regla anterior, el movimiento de la una sería la causa del movimiento de la otra, lo cual no sería realmente el caso.

Podríamos concebir que dos relojes astronómicos fueran fabricados de forma tan casi perfecta que, durante varios años, no pudiera detectarse diferencia alguna, y podríamos entonces inferir que el movimiento de un reloj era causa o efecto del movimiento del otro.

Este asunto requiere una distinción cuidadosa. Debemos tener presente que las cantidades continuas de espacio, tiempo, fuerza, etc., que medimos, se componen de un número infinito de unidades infinitesimales. Podemos encontrarnos entonces con dos fenómenos variables que siguen leyes tan sumamente parecidas que en ninguna parte de las variaciones abiertas a nuestra observación se puede descubrir discrepancia alguna.

Concedo que, si pudiera demostrarse que dos relojes han marchado con exactamente la misma hora durante cualquier intervalo finito, la probabilidad de que existiera una conexión entre sus movimientos se volvería infinitamente alta. Pero nunca podemos probar de manera absoluta la existencia de tales coincidencias.

Admitamos que podamos observar una diferencia de una décima de segundo en su hora; aun así, es posible que hayan sido regulados de forma independiente para marchar de acuerdo dentro de un margen menor que esa cantidad de tiempo. En resumen, se requeriría o bien un tiempo de observación infinitamente largo, o bien unas facultades de medición de discrepancias infinitamente agudas, para decidir de manera categórica si dos relojes estaban o no relacionados entre sí.

Una pregunta similar se plantea en realidad en el caso del movimiento de la luna. No tenemos constancia de que ninguna otra porción de la luna haya sido visible para los hombres aparte de la que ahora vemos.

Este hecho demuestra suficientemente que dentro del período histórico la rotación de la luna sobre su propio eje ha coincidido con sus revoluciones alrededor de la tierra. ¿Prueba esta coincidencia que existe una relación de causa y efecto?

La respuesta debe ser negativa, porque podría haber habido una discrepancia tan ligera entre los movimientos que aún no ha habido tiempo para producir ningún efecto apreciable. Puede haber, sin embargo, una alta probabilidad de conexión.

Toda la cuestión de la relación entre cantidades se reduce así a un problema de probabilidad. Cuando solo podemos medir rudamente un resultado cuantitativo, apenas podemos concederle importancia a ninguna correspondencia.

Debido a que el brillo de dos estrellas parece variar de la misma manera, no existe una probabilidad considerable de que guarden relación entre sí. Si pudiera demostrarse que sus períodos de variación eran los mismos hasta cantidades infinitamente pequeñas, sería seguro, es decir, infinitamente probable, que estuvieran conectadas, por improbable que esto pudiera ser por otros motivos.

El modo general de estimar tales probabilidades es idéntico al aplicado a otros problemas inductivos. Que dos períodos de variación cualesquiera lleguen a ser absolutamente iguales por mera casualidad es infinitamente improbable; por tanto, si en el caso de la luna u otros cuerpos en movimiento, pudiéramos demostrar una coincidencia absoluta, tendríamos la certeza de una conexión.‍²

Con mediciones aproximadas, que son las únicas a nuestro alcance, debemos aspirar, a lo sumo, a una certeza aproximada.

Los principios de inferencia y probabilidad, según los cuales tratamos las causas y los efectos que varían en cantidad, son exactamente los mismos que aquellos por los cuales tratamos los experimentos simples.

La cantidad continua, sin embargo, nos ofrece una esfera de observación infinitamente más extensa, porque a cada cantidad diferente de causa, por pequeña que sea la diferencia, debe seguirle una cantidad diferente de efecto.

Si podemos medir la temperatura hasta la centésima parte de un grado centígrado, entonces entre 0° y 100° tenemos 10 000 ensayos posibles. Si la precisión de nuestras mediciones aumenta, de modo que pueda apreciarse la milésima parte de un grado, nuestros ensayos podrán multiplicarse por diez. La probabilidad de conexión será proporcional a la exactitud de nuestras mediciones.

Cuando podemos variar la cantidad de una causa a voluntad, es fácil descubrir si un determinado efecto se debe o no a dicha causa. Podemos entonces realizar tantos cambios irregulares como queramos, y es bastante increíble que el supuesto efecto experimente por casualidad exactamente la serie correspondiente de cambios a menos que sea por dependencia.

Si tenemos una campana que suena in vacuo, el sonido aumenta a medida que dejamos entrar el aire, y disminuye de nuevo a medida que extraemos el aire. Las llamas cantantes de Tyndall obedecían evidentemente a las directrices de su propia voz; y Faraday, al descubrir la relación entre el magnetismo y la luz, descubrió que, al establecer, interrumpir o invertir la corriente del electroimán, tenía un control absoluto sobre un rayo de luz, lo que demostraba más allá de toda duda razonable la dependencia entre causa y efecto. En tales casos es la coincidencia perfecta en tiempo entre el cambio en el efecto y el en la causa lo que plantea una gran improbabilidad de coincidencia fortuita.

Es por un simple caso de variación que inferimos la existencia de una conexión material entre dos cuerpos que se mueven con exactamente igual velocidad, como la máquina de una locomotora y el tren que la sigue.

Se requirieron minuciosas observaciones antes de que los astrónomos pudieran convencerse por completo de que las llamas rojas de hidrógeno vistas durante los eclipses solares pertenecían al sol, y no a la atmósfera de la luna como supuso Flamsteed.

Ya en 1706, Stannyan advirtió una franja rojo sangre en un eclipse que presenció en Berna, y afirmó que pertenecía al sol; pero su opinión no quedó definitivamente establecida hasta que las fotografías del eclipse de 1860, tomadas por el Sr. De la Rue, demostraron que el cuerpo oscuro de la luna cubría gradualmente las prominencias rojas por un lado y descubría las del otro; en suma, que estas prominencias se movían exactamente como se movía el sol, y no como lo hacía la luna.

Aun cuando no dispongamos de medios para medir con exactitud las cantidades variables, todavía podemos estar convencidos de su conexión si una de ellas varía siempre de manera perceptible al mismo tiempo que la otra.

La fatiga aumenta con el esfuerzo; el hambre con la abstinencia de alimentos; el deseo y el grado de utilidad disminuyen con la cantidad de mercancía consumida.

Sabemos que el poder calorífico del sol depende de su altura en el cielo; que la temperatura del aire desciende al ascender una montaña; que la corteza terrestre resulta ser perceptiblemente más cálida a medida que cavamos minas en ella; inferimos la dirección de la que proviene un sonido a partir del cambio en su intensidad al acercarnos o alejarnos.

La facilidad con la que podemos observar una y otra vez el aumento o la disminución de una cantidad junto con otra muestra suficientemente la conexión, aunque seamos incapaces de asignar cualquier ley precisa de relación. La probabilidad en tales casos depende de la frecuente coincidencia en el tiempo.

# Leyes matemáticas empíricas.

Es importante adquirir una clara comprensión del papel que desempeñan en la investigación científica las fórmulas y leyes empíricas.

Si tenemos una tabla que contiene ciertos valores de una variable y los valores correspondientes de la variante, existen procesos matemáticos mediante los cuales podemos descubrir infaliblemente una fórmula matemática que produzca números en concordancia más o menos exacta con la tabla.

Por lo general, podemos suponer que las cantidades se ajustarán aproximadamente a una ley de la forma en la que x es la variable e y la variante. Podemos entonces seleccionar de la tabla tres valores de y, y los valores correspondientes de x; al insertarlos en la ecuación, obtenemos tres ecuaciones mediante cuya solución obtenemos los valores de A, B y C.

Por regla general, se observará que la fórmula así obtenida produce los demás números de la tabla con un grado considerable de aproximación.

En muchos casos, incluso la segunda potencia de la variable será innecesaria; Regnault descubrió que los resultados de su minuciosa investigación sobre el calor latente del vapor a diferentes presiones se representaban con suficiente precisión mediante la fórmula empírica en la que $\lambda$ es el calor total del vapor, y t la temperatura.‍³

En otros casos puede ser necesario incluir la tercera potencia de la variable. Así, los físicos suponen que la ley de la dilatación de los líquidos tiene la forma y calculan a partir de los resultados de la observación los valores de las tres constantes a, b, c, que suelen ser cantidades pequeñas que no exceden la centésima parte de una unidad, pero que requieren ser determinadas con gran precisión.‍⁴

Teóricamente hablando, este proceso de representación empírica podría aplicarse con cualquier grado de precisión; podríamos incluir potencias aún mayores en la fórmula y, con el trabajo suficiente, obtener los valores de las constantes utilizando un número igual de resultados experimentales. El método de los mínimos cuadrados también puede emplearse para obtener los valores más probables de las constantes.

De manera similar, todas las variaciones periódicas pueden representarse con cualquier grado de precisión requerido mediante fórmulas que involucren los senos y cosenos de ángulos y sus múltiplos.

La forma de cualquier onda mareal u otra puede expresarse así, tal como lo ha explicado Sir G. B. Airy.‍⁵

Casi todos los fenómenos registrados por los meteorólogos tienen un carácter periódico y, cuando se liberan de causas perturbadoras, pueden plasmarse en fórmulas empíricas. Bessel ha dado una regla mediante la cual, a partir de cualquier serie regular de observaciones y basándonos en el principio del método de los mínimos cuadrados, podemos calcular con una cantidad moderada de trabajo una fórmula que exprese la variación de la cantidad observada de la manera más probable.

En meteorología, tres o cuatro términos suelen ser suficientes para representar cualquier fenómeno periódico, pero el cálculo podría llevarse a cualquier grado superior de precisión. Como los detalles del proceso han sido descritos por Herschel en su tratado de Meteorología,‍⁶ no necesito explayarme más en ellos.

El lector podría verse tentado a pensar que en estos procesos de cálculo poseemos un método infalible para descubrir leyes inductivas, y que mis afirmaciones anteriores (cap. VII.) sobre el carácter puramente tentativo e inverso del proceso inductivo quedan refutadas.

Si existiera realmente algún método general para inferir leyes a partir de los hechos, ello anularía mi afirmación, pero debe observarse cuidadosamente que estas fórmulas empíricas no coinciden con las leyes naturales. Son solo aproximaciones a los resultados de las leyes naturales basadas en los principios generales de aproximación.

Ya se ha señalado que, por muy complicada que sea la naturaleza de una curva, podemos examinar una porción tan pequeña de ella, o podemos examinarla con medios de medición tan rudimentarios, que su divergencia respecto a una curva elíptica no será aparente. Como una aproximación aún más rudimentaria, un trozo de línea recta siempre servirá a nuestro propósito; pero si necesitamos mayor precisión, una curva de tercer o cuarto grado será casi con certeza suficiente.

Ahora bien, las fórmulas empíricas representan en realidad estas curvas aproximadas, pero no nos ofrecen información alguna sobre la naturaleza precisa de la curva misma a la que nos estamos aproximando. No averiguamos qué función es la variante de la variable, sino que obtenemos otra función que, dentro de los límites de la observación, arroja valores muy similares.

# Descubrimiento de Fórmulas Racionales.

Pasemos ahora a considerar los modos en que, a partir de resultados numéricos, podemos establecer la relación real entre la cantidad de la causa y la del efecto.

Lo que buscamos es una fórmula o función racional, que muestre la razón o la naturaleza exacta y el origen de la ley en cuestión.

No hay palabra más frecuentemente utilizada por los matemáticos que la palabra función, y sin embargo es difícil definir su significado con perfecta precisión.

Originalmente significaba cumplimiento o ejecución, siendo equivalente al griego λειτουργία o τέλεσμα. Los matemáticos la usaron al principio para significar cualquier potencia de una cantidad, pero después la generalizaron de modo que incluyera «cualquier cantidad formada de cualquier manera posible a partir de otra cantidad».‍⁷

Cualquier cantidad, por tanto, que dependa de otra cantidad y varíe con ella puede llamarse función de esta, y cualquiera de ambas puede considerarse función de la otra.

Dadas las cantidades, queremos la función de la cual son los valores. La simple inspección de los números no puede, por regla general, revelar la función. En un capítulo anterior (p. 124) presenté al lector ciertos números, y le pedí que señalara la ley a la que obedecen, y la misma pregunta habrá de plantearse en cada caso de inducción cuantitativa. Hay quizá tres métodos, más o menos distintos, mediante los cuales podemos esperar obtener una respuesta:

(1) Mediante un ensayo puramente fortuito.

(2) Observando el carácter general de la variación de las cantidades, y probando preferentemente con funciones que den una forma similar de variación.

(3) Deducing from previous knowledge the form of the function which is most likely to suit.

Teniendo resultados numéricos, siempre estamos en libertad de inventar cualquier tipo de fórmula matemática que nos guste y probar después si, mediante la selección adecuada de valores para las cantidades constantes desconocidas, podemos lograr que arroje los resultados requeridos.

Si alguna vez damos con una fórmula que lo haga, con un grado razonable de aproximación, existe una presunción a favor de que sea la función verdadera, aunque no haya certeza alguna en el asunto.

De este modo descubrí una ley matemática sencilla que concordaba estrechamente con los resultados de mis experimentos sobre el esfuerzo muscular. Esta ley fue demostrada más tarde por el profesor Haughton como la ley racional verdadera según su teoría de la acción muscular.‍⁸

Pero la posibilidad de tener éxito de esta manera es pequeña.

El número de funciones posibles es infinito, e incluso el número de funciones comparativamente simples es tan grande que la probabilidad de dar con la correcta por mera casualidad es muy escasa. Aun cuando obtenemos la ley, es mediante un proceso deductivo, no por demostrar que los números dan la ley, sino que la ley da los números.

De un segundo modo podemos, mediante la observación de los números, formarnos una idea general del tipo de ley a la que probablemente obedezcan, y podemos recibir mucha ayuda en este proceso si los representamos en forma de curva. De este modo podemos averiguar con cierta probabilidad si es probable que la curva vuelva a cerrarse sobre sí misma, o si tiene ramas infinitas; si tales ramas son asintóticas, es decir, si se aproximan infinitamente a líneas rectas; si es de carácter logarítmico o trigonométrico.

Esto, en verdad, sólo podemos hacerlo si recordamos los resultados de investigaciones anteriores. El proceso sigue siendo inversamente deductivo, y consiste en observar qué leyes dan lugar a curvas particulares, para luego inferir inversamente que tales curvas pertenecen a tales leyes.

Si de esta manera podemos descubrir la clase de funciones a la que pertenece la ley requerida, nuestras posibilidades de éxito aumentan considerablemente, porque nuestros ensayos al azar se reducen ahora a un ámbito más estrecho. Pero, a menos que tengamos casi toda la curva ante nosotros, la identificación de su carácter debe ser un asunto de gran incertidumbre; y si, como en la mayoría de las investigaciones físicas, disponemos de un mero fragmento de la curva, la ayuda proporcionada sería totalmente ilusoria.

Las curvas de casi cualquier carácter pueden hacerse aproximarse entre sí en una extensión limitada, de modo que sólo mediante una especie de adivinación damos con la función real, a menos que poseamos un conocimiento teórico del tipo de función aplicable al caso.

Una vez que hemos obtenido lo que creemos que es la forma correcta de la función, el resto del trabajo es una mera computación matemática que debe realizarse de manera infalible según reglas fijas,‍⁹ que incluyen las empleadas en la determinación de fórmulas empíricas (p. 487).

La función implicará dos, tres o más constantes desconocidas, cuyos valores necesitamos determinar mediante nuestros resultados experimentales. Seleccionando algunos de nuestros resultados muy separados y casi equidistantes, formamos mediante ellos tantas ecuaciones como cantidades constantes deban determinarse.

La solución de estas ecuaciones nos dará entonces las constantes requeridas y, teniendo ya la función real, podemos comprobar si arroja con suficiente precisión el resto de nuestros resultados experimentales.

Si no es así, debemos realizar una nueva selección de resultados para obtener un nuevo conjunto de ecuaciones y, de este modo, obtener un nuevo conjunto de valores para las constantes, o bien debemos reconocer que la forma de nuestra función ha sido mal elegida.

Si resulta que la forma de la función ha sido determinada correctamente, podemos considerar que las constantes son solo aproximadamente precisas y podemos proceder mediante el Método de los Mínimos Cuadrados (p. 393) para determinar los valores más probables dados por el conjunto de los resultados experimentales.

En la mayoría de los casos nos veremos obligados a recurrir al tercer modo, es decir, a la anticipación de la forma de la ley que cabe esperar sobre la base del conocimiento previo. La teoría y el razonamiento analógico deben ser nuestros guías.

La naturaleza general del fenómeno indicará a menudo el tipo de ley que ha de buscarse.

• Si una forma de energía o un tipo de sustancia se está convirtiendo en otra, podemos esperar la ley de proporción directa y simple.
• En una clase bien diferenciada de casos, el efecto ya producido influye en la magnitud del efecto consiguiente, como por ejemplo en el enfriamiento de un cuerpo caliente, en el que la ley adoptará una forma exponencial.
• Cuando la dirección de una fuerza influye en su acción, intervienen las funciones trigonométricas.
• Cualquier influencia que se propague libremente a través del espacio tridimensional estará sujeta a la ley del inverso del cuadrado de la distancia.

A partir de tales consideraciones podemos llegar a veces, por vía deductiva y analógica, a la naturaleza general de la ley matemática requerida.

# El método gráfico.

En el esfuerzo por descubrir la ley matemática a la que obedecen los resultados experimentales, a menudo es conveniente recurrir a la ayuda de las representaciones espaciales.

Toda ecuación que involucre dos cantidades variables corresponde a algún tipo de curva plana, y toda curva plana puede representarse simbólicamente en una ecuación que contenga dos cantidades incógnitas.

Ahora bien, en una investigación experimental obtenida a partir de una serie de valores de la variante correspondientes a un número igual de valores de la variable, todos los números se ven afectados por un error mayor o menor, y los valores de la variable se dispondrán a menudo de manera irregular. Incluso si los números fueran absolutamente correctos y estuvieran dispuestos a intervalos regulares, no existe, como hemos visto, ningún modo directo de descubrir la ley; pero la dificultad del descubrimiento se ve muy incrementada por la incertidumbre y la irregularidad de los resultados.

Bajo tales circunstancias, el mejor modo de proceder es preparar un papel dividido en espacios rectangulares iguales, siendo un tamaño conveniente para los espacios de una décima de pulgada cuadrada. Marcándose los valores de la variable en la línea horizontal más baja, se señala un punto para cada valor correspondiente de la variante perpendicularmente por encima del de la variable, y a una altura tal que corresponda al valor de la variante.

La escala exacta del dibujo no es de gran importancia, pero puede requerir ajustes según las circunstancias, y a menudo deben atribuirse valores diferentes a las divisiones verticales y horizontales, de modo que las variaciones sean conspicuas pero no excesivas.

Si se traza una línea curva a través de todos los puntos o extremos de las ordenadas, probablemente mostrará inflexiones irregulares, debido a los errores que afectan a los números. Pero, cuando los resultados son numerosos, se hace evidente qué resultados son más divergentes que otros, y guiados por un llamado sentido de continuidad, es posible trazar una línea entre los puntos que se aproximará a la verdadera ley con mayor fidelidad que los puntos mismos.

La figura adjunta se explica por sí sola.

Perkins empleó este método gráfico con gran esmero para exponer los resultados de sus experimentos sobre la compresión del agua.‍¹⁰ Los resultados numéricos se marcaron sobre una hoja de papel cuadriculada con gran exactitud a intervalos de una décima de pulgada, y las marcas originales se dejaron para que el lector pudiera juzgar la exactitud de la curva trazada, o elegir otra por sí mismo.

Regnault llevó el método a la perfección al trazar los puntos con una máquina divisora de tornillo;‍¹¹ y luego formó una tabla de resultados dibujando una curva continua y midiendo su altura para valores equidistantes de la variable.

No solo una curva trazada de este modo nos permite inferir resultados numéricos más libres de errores accidentales que cualquiera de los números obtenidos directamente de la experimentación, sino que la forma de la curva indica a veces la clase de funciones a la que pertenecen nuestros resultados.

Hojas de papel grabadas preparadas para el trazo de curvas pueden obtenerse del Sr. Stanford en Charing Cross, de los Sres. W. y A. K. Johnston, de Londres y Edimburgo, de Waterlow and Sons, de Letts and Co., y probablemente de otros editores.

Cuando no requerimos gran exactitud, el papel rayado por el rayador mecánico común en cuadrados iguales de aproximadamente un quinto o un sexto de pulgada cuadrada servirá bastante bien. Me he encontrado con libretas de notas de ingenieros y agrimensores rayadas con cuadrados de un doceavo de pulgada.

Cuando hay que trazar varias curvas, he descubierto que lo mejor es rayar una buena hoja de papel de dibujo con líneas cuidadosamente ajustadas a las distancias más convenientes, y luego puntear los puntos de la curva a través de ella sobre otra hoja fijada debajo. De este modo obtenemos una curva exacta sobre una hoja en blanco y solo necesitamos introducir las líneas divisorias necesarias para la comprensión de la curva.

En algunos casos nuestros resultados numéricos corresponderán, no a la altura de ordenadas individuales, sino al área de la curva entre dos ordenadas, o a la altura media de ordenadas entre ciertos límites.

Si medimos, por ejemplo, las cantidades de calor absorbidas por el agua cuando su temperatura se eleva de 0° a 5°, de 5° a 10°, y así sucesivamente, estas cantidades estarán representadas en realidad por áreas de la curva que denota el calor específico del agua; y dado que el calor específico varía de forma continua entre cada dos puntos de temperatura, no obtendremos la curva correcta simplemente situando las cantidades de calor a las temperaturas medias, es decir, 2 1/2° y 7 1/2°, y así sucesivamente.

Lord Rayleigh ha demostrado que si hemos trazado una curva incorrecta de este tipo, podemos corregirla con poco esfuerzo mediante un sencillo proceso geométrico, y obtener con una aproximación cercana las ordenadas verdaderas en lugar de aquellas que denotan áreas.‍¹²

# Interpolación y Extrapolación.

Cuando por medio de experimentos hemos obtenido dos o más resultados numéricos, y nos esforzamos, sin más experimentos, en calcular resultados intermedios, se dice que interpolamos. Si deseamos asignar mediante razonamiento resultados que se encuentran más allá de los límites del experimento, podemos decir, empleando una expresión de sir George Airy, que extrapolamos.

Estas dos operaciones son idénticas en principio, pero difieren en su aplicabilidad práctica. Es una cuestión de gran importancia científica comprender con precisión hasta qué punto podemos practicar la interpolación o la extrapolación, y sobre qué bases procedemos.

En primer lugar, si la interpolación ha de ser algo más que empírica, debemos poseer no solo los resultados experimentales, sino las leyes a las que obedecen; de hecho, debemos recorrer el proceso completo de la investigación científica.

Habiendo descubierto las leyes de la naturaleza aplicables al caso, y tras haberlas verificado al demostrar que concuerdan con los experimentos en cuestión, nos hallamos entonces en condiciones de anticipar los resultados de experimentos similares.

Nuestro conocimiento, incluso ahora, no es certero, porque no podemos probar por completo la verdad de ninguna ley asumida, y nos resulta imposible agotar todas las circunstancias que puedan afectar al resultado.

En el mejor de los casos, por tanto, nuestras interpolaciones participarán de la falta de certeza y precisión inherente a todo nuestro conocimiento de la naturaleza. Aun así, al disponer de las leyes supuestas, nuestros resultados serán tan seguros y precisos como cualquiera a los que podamos aspirar.

Pero un procedimiento tan completo es más de lo que comúnmente entendemos por interpolación, la cual suele denotar algún método para estimar de manera meramente aproximada los resultados que cabría haber esperado al margen de una investigación teórica.

Considerada bajo esta luz, la interpolación es en realidad un problema indeterminado. A partir de los valores dados de una función es imposible determinar dicha función; pues podemos inventar un número infinito de funciones que arrojen esos valores si no estamos restringidos por condición alguna, al igual que por una serie dada de puntos podemos trazar un número infinito de curvas, si se nos permite desviarnos entre los puntos o más allá de ellos en curvas y cúspides según nos parezca conveniente.‍¹³

En la interpolación debemos, de hecho, guiarnos más o menos por consideraciones à priori; debemos saber, por ejemplo, si cabe esperar o no fluctuaciones periódicas. Suponiendo que el fenómeno no sea periódico, procedemos a asumir que la función puede expresarse en una serie limitada de las potencias de la variable. El número de potencias que pueden incluirse depende del número de resultados experimentales disponibles, y debe ser al menos uno menor que este número. Mediante procesos de cálculo, a los que ya se ha aludido en la sección sobre fórmulas empíricas, calculamos entonces los coeficientes de las potencias y obtenemos una fórmula empírica que arrojará los resultados intermedios requeridos.

En realidad, pues, volvemos a los métodos tratados bajo el encabezado de aproximación y fórmulas empíricas; y la interpolación, tal como se entiende comúnmente, consiste en asumir que una curva de carácter simple ha de pasar por ciertos puntos determinados. Si tenemos, por ejemplo, dos resultados experimentales, y solo dos, asumimos que la curva es una línea recta; pues las parábolas que pueden hacerse pasar por dos puntos son infinitamente variadas en magnitud y del todo indeterminadas. Una sola línea recta puede pasar por dos puntos, y tendrá una ecuación de la forma y = mx + n, cuyas cantidades constantes pueden determinarse a partir de dos resultados.

Así, si los dos valores para x, 7 y 11, dan los valores para y, 35 y 53, la solución de dos ecuaciones da y = 4·5 × x + 3·5 como ecuación, y para cualquier otro valor de x, por ejemplo 10, obtenemos un valor de y, es decir, 48·5. Cuando tomamos un valor medio de x, a saber, 9, este proceso produce un resultado medio simple, a saber, 44. Dado que se presentan tres resultados experimentales, asumimos que estos caen sobre una porción de parábola y el cálculo algebraico da la posición de cualquier punto intermedio sobre la parábola. Acerca del proceso de interpolación tal como se practica en la ciencia de la meteorología, el lector encontrará algunas directrices en la edición francesa de la Meteorología de Kaëmtz.‍¹⁴

Cuando tenemos, ya sea por experimento directo o por el uso de una curva, una serie de valores de la variante para valores equidistantes de la variable, resulta instructivo tomar las diferencias entre cada valor de la variante y el siguiente, y luego las diferencias entre esas diferencias, y así sucesivamente.

Si alguna serie de diferencias se aproxima mucho a cero, es indicio de que los números pueden representarse correctamente mediante una fórmula empírica finita; si las diferencias de orden n son cero, entonces la fórmula contendrá únicamente las primeras n - 1 potencias de la variable.

En efecto, a veces podemos obtener mediante el cálculo de diferencias una fórmula empírica correcta; pues si p es el primer término de la serie de valores, y Δp, Δ²p, Δ³p, es el primer número en cada columna de diferencias, entonces el término m-ésimo de la serie de valores será

Una fórmula muy equivalente, pero más practicable, para la interpolación por diferencias, ideada por Lagrange, se encontrará en la obra Elements of Natural Philosophy de Thomson y Tait, p. 115.

Si ninguna columna de diferencias muestra tendencia alguna a anularse en todo su recorrido, es indicio de que la ley es de un carácter más complicado, por ejemplo, exponencial, por lo que requiere un tratamiento diferente.

El Dr. J. Hopkinson ha sugerido un método de interpolación aritmética,‍¹⁵ destinado a evitar gran parte de lo arbitrario del método gráfico. Su procedimiento arrojará los mismos resultados en todas las manos.

En la medida en que podamos inferir los resultados susceptibles de obtenerse mediante variaciones que sobrepasen los límites de la experimentación, debemos proceder basándonos en los mismos principios.

Si es posible, debemos descubrir las leyes exactas en acción y, entonces, confiar en ellas como guía cuando carezcamos de experiencia. De lo contrario, una fórmula empírica del mismo carácter que las empleadas en la interpolación será nuestro único recurso.

Pero extender nuestra inferencia mucho más allá de los límites de la experiencia es sumamente inseguro. Nuestro conocimiento es, en el mejor de los casos, meramente aproximado y no toma en cuenta las pequeñas tendencias.

Ahora bien, por lo general ocurre que las tendencias que son pequeñas dentro de nuestros límites de observación se vuelven perceptibles o grandes bajo circunstancias extremas. Cuando la variable de nuestra fórmula empírica es pequeña, estamos justificados en pasar por alto las potencias superiores y tomar solo dos o tres potencias inferiores. Pero a medida que la variable aumenta, las potencias superiores ganan importancia y, con el tiempo, aportan la parte principal del valor de la función.

Esto no es una mera deducción teórica. A excepción de unas pocas leyes fundamentales de la naturaleza, como la ley de la gravedad, la de la conservación de la energía, etc., apenas existe ley natural en la que podamos confiar en circunstancias muy distintas de aquellas con las que estamos familiarizados en la práctica.

A partir de la dilatación o contracción, fusión o vaporización de las sustancias por acción del calor en la superficie de la tierra, podemos hacernos una idea muy imperfecta de lo que ocurriría cerca del centro de la tierra, donde la presión supera casi infinitamente cualquier cosa posible en nuestros experimentos.

La física de la tierra nos ofrece una idea débil, y probablemente engañosa, de un cuerpo como el sol, en el que una temperatura inimaginablemente alta se combina con una presión inimaginablemente alta. Si en las regiones del espacio existen nebulosas formadas por vapores incandescentes y no oxidados de metales y otros elementos, quizás tan calientes que la composición química queda fuera de toda posibilidad, apenas somos capaces de tratarlas como objeto de deducción científica.

De ahí surge la gran importancia de los experimentos en los que investigamos las propiedades de las sustancias bajo circunstancias extremas de frío o calor, densidad o escasez, intensa excitación eléctrica, etc. Esta inseguridad al ampliar nuestras deducciones proviene del carácter aproximado de nuestras mediciones.

Si tuviéramos el poder de apreciar cantidades infinitamente pequeñas, descubriríamos, mediante el principio de continuidad, algún rastro de cada cambio que una sustancia pudiera experimentar en circunstancias inalcanzables. Al observar, por ejemplo, la tensión del vapor de agua entre 0° y 100° C., deberíamos teóricamente ser capaces deducir su tensión a cualquier otra temperatura; pero esto es prácticamente imposible porque no podemos determinar con exactitud la ley entre dichas temperaturas.

Podrían citarse muchos ejemplos para demostrar que las leyes que parecen representar correctamente los resultados de los experimentos dentro de ciertos límites fracasan por completo más allá de dichos límites.

Los experimentos de Roscoe y Dittmar sobre la absorción de gases en el agua‍¹⁶ ofrecen ilustraciones interesantes, especialmente en el caso del ácido clorhídrico, cuya cantidad disuelta en agua bajo diferentes presiones sigue muy de cerca una ley lineal de variación, de la cual, sin embargo, se aparta ampliamente a bajas presiones.‍¹⁷

Herschel, habiendo deducido a partir de las observaciones de la estrella doble γ Virginis una órbita elíptica para el movimiento de un componente alrededor del centro de gravedad de ambos, descubrió que durante un tiempo el movimiento de la estrella coincidía muy bien con dicha órbita. Sin embargo, la divergencia comenzó a manifestarse y con el tiempo llegó a ser tan grande que, en última instancia, tuvo que adoptarse una órbita completamente nueva, con más del doble de las dimensiones de la antigua.‍¹⁸

# Ilustraciones de leyes cuantitativas empíricas.

Aunque nuestro objetivo en la investigación cuantitativa es descubrir las fórmulas exactas o racionales que expresen las leyes aplicables al objeto de estudio, es instructivo observar en cuántas ramas importantes de la ciencia no se han detectado todavía leyes precisas. La tensión del vapor acuoso a diferentes temperaturas ha sido determinada por una sucesión de experimentadores eminentes —Dalton, Kaëmtz, Dulong, Arago, Magnus y Regnault— y, por este último, las mediciones se llevaron a cabo con un cuidado extraordinario. Aun así, no se ha establecido ninguna ley general indiscutible. Se han propuesto varias funciones para expresar la fuerza elástica del vapor en función de la temperatura. La primera forma es la de Young, a saber: F = (a + b t)^m, en la cual a, b y m son cantidades desconocidas que deben determinarse mediante la observación. Roche propuso, por motivos teóricos, una fórmula complicada de carácter exponencial, y una tercera forma de función es la de Biot,‍¹⁹ de la siguiente manera: log F = a + bα^t + cβ^t. Menciono estas fórmulas porque ilustran bien los débiles poderes de la investigación empírica. Ninguna de las fórmulas puede hacerse coincidir estrechamente con los resultados experimentales, y las dos últimas formas coinciden casi igualmente bien. Hay muy pocas probabilidades de que se haya alcanzado la verdadera ley, y es poco probable que se descubra excepto por deducción a partir de la teoría mecánica.

Mucha ingeniosa labor se ha empleado en el descubrimiento de alguna ley general de la refracción atmosférica.

Tycho Brahe y Kepler comenzaron la investigación: Cassini formó por primera vez una tabla de refracciones, calculada sobre bases teóricas; Newton emprendió algunas profundas investigaciones sobre el tema; Brooke Taylor, Bouguer, Simpson, Bradley, Mayer y Kramp abordaron sucesivamente la cuestión, que es de la más alta importancia práctica en lo que respecta a la corrección de las observaciones astronómicas.

Laplace trabajó luego en el tema sin agotarlo, y Brinkley e Ivory también lo han tratado. La verdadera ley aún no ha sido descubierta.

Un problema estrechamente relacionado, el relativo a la relación entre la presión y la elevación en los diferentes estratos de la atmósfera, ha recibido la atención de una larga sucesión de físicos y fue investigado muy cuidadosamente por Laplace. Sin embargo, no se ha detectado ninguna ley invariable y general.

Lo mismo puede decirse en cuanto a la ley de la mortalidad humana; abundantes estadísticas sobre este tema están disponibles, y muchas hipótesis más o menos satisfactorias se han propuesto en cuanto a la forma de la curva de mortalidad, pero parece ser imposible descubrir más que una ley aproximada.

Se podrá tal vez argüir que en tales materias no cabe esperar ninguna ley única e invariable.

• La atmósfera puede dividirse en varios estratos variables que, mediante sus cambios inconexos, frustran los cálculos exactos de los astrónomos.
• La vida humana puede estar sujeta a diferentes edades a una sucesión de diversas influencias incapaces de reducirse a una sola ley.

Los resultados observados pueden ser de hecho agregados de un número inmenso de resultados separados, cada uno regido por sus propias leyes independientes, de modo que las materias pueden resultar complicadas más allá de la posibilidad de una resolución completa por métodos empíricos.

Esto es ciertamente cierto en cuanto a las funciones matemáticas que tarde o temprano habrán de introducirse en la ciencia de la economía política.

# Variación Proporcional Simple.

Cuando tratamos por primera vez con resultados numéricos en cualquier tipo novedoso de investigación, nuestra impresión será probablemente que una cantidad varía en proporción simple respecto a otra, de modo que obedece a la ley y = mx + n. Debemos aprender a distinguir cuidadosamente entre los casos en los que esta proporcionalidad es real y aquellos en los que solo lo es en apariencia.

Al considerar los principios de aproximación, descubrimos que una pequeña porción de cualquier curva parecerá ser una línea recta. Cuando nuestros modos de medición son comparativamente rudos, debemos esperar ser incapaces de detectar la curvatura.

Kepler hizo intentos meritorios para descubrir la ley de refracción, y se aproximó a ella cuando observó que los ángulos de incidencia y de refracción, si son pequeños, guardan una razón constante entre sí. Los ángulos, cuando son pequeños, son casi como sus senos, de modo que llegó a un resultado aproximado de la verdadera ley.

Cardano asumió, probablemente como una mera suposición, que la fuerza requerida para sostener un cuerpo en un plano inclinado era simplemente proporcional al ángulo de elevación del plano. Este es aproximadamente el caso cuando el ángulo es pequeño, pero en realidad la ley es mucho más complicada, ya que la potencia requerida es proporcional al seno del ángulo.

Los primeros fabricantes de termómetros no sabían si la expansión del mercurio era proporcional o no al calor comunicado a este, y es solo en el presente siglo cuando hemos aprendido que no es así. Ahora sabemos que incluso los gases obedecen la ley de expansión uniforme por el calor únicamente de manera aproximada.

Hasta que se demuestre lo contrario, haríamos bien en considerar toda ley de proporción simple como verdadera solo de forma provisional.

Sin embargo, muchas leyes importantes de la naturaleza tienen la forma de proporciones simples. Dondequiera que una causa actúe con independencia de sus efectos anteriores, podemos esperar esta relación.

• Una fuerza aceleradora actúa por igual sobre un cuerpo en movimiento y sobre uno inmóvil.
• De ahí que la velocidad producida esté en proporción simple con la fuerza y con la duración de su acción uniforme.
• Como los cuerpos gravitatorios nunca interfieren con la gravedad de los demás, esta fuerza está en proporción directa y simple con la masa de cada uno de los cuerpos atrayentes, estando medida la masa por la inercia, o siendo proporcional a ella.

Del mismo modo, en todos los casos de «acción directa y sin impedimentos», como ha señalado Herschel,‍²⁰ podemos esperar que se manifieste una proporción simple. En tales casos, la ecuación que expresa la relación puede tener la forma simple y = mx.

Una relación similar se cumple cuando hay conversión de una sustancia o forma de energía en otra. La cantidad de un compuesto es igual a la cantidad de los elementos que se combinan. El calor producido por la fricción es exactamente proporcional a la energía mecánica absorbida.

Faraday demostró experimentalmente que «el poder químico de la corriente eléctrica está en proporción directa con la cantidad de electricidad que pasa». Cuando se produce una corriente eléctrica, la cantidad de energía eléctrica es simplemente proporcional al peso del metal disuelto. Si la electricidad se convierte en calor, existe de nuevo una simple proporción.

Dondequiera que, de hecho, una cosa no sea más que otra cosa con un nuevo aspecto, podemos esperar encontrar la ley de la proporción simple. Pero solo en los casos más elementalísimos se cumplirá esta relación simple. Las condiciones simples no producen, en términos generales, resultados simples. Los planetas se mueven en círculos aproximados alrededor del sol, pero los movimientos aparentes, tal como se ven desde la tierra, son muy variados. Todos esos movimientos, a su vez, se resumen en la ley de la gravedad, de no gran complejidad; sin embargo, los hombres nunca han sido, ni serán nunca, capaces de agotar las complicaciones de acción y reacción derivadas de esa ley, ni siquiera entre un pequeño número de planetas.

Debemos estar en guardia contra la tendencia a asumir que la conexión de causa y efecto es de proporción directa. Bacon nos recuerda a la mujer de la fábula de Esopo, que esperaba que su gallina, con una doble ración de cebada, pusiera dos huevos al día en vez de uno, mientras que engordó y dejó de poner huevos por completo. Es una máxima sabia que a menudo la mitad es mejor que el todo.