170. Cuando se mencionan dos números en un problema, por lo general es necesario, de una manera u otra, comparar ambos; es decir, considerando los dos en conjunto, establecer entre ellos alguna conexión que pueda ser útil en operaciones futuras. El primer método que surge, y el más sencillo, es observar cuál es el mayor y en cuánto se diferencia del otro.

La conexión así establecida entre dos números puede cumplirse también respecto a otros dos números; por ejemplo, 8 difiere de 19 en 11, y 100 difiere de 111 en el mismo número. Desde este punto de vista, el 8 se halla respecto al 19 en la misma situación en que el 100 se halla respecto al 111, difiriendo el primero de ambos pares en el mismo grado respecto al segundo. Los cuatro números así señalados, a saber:

8, 19, 100, 111, se dice que están en proporción¹ aritmética.

Cuando cuatro números se disponen de este modo, el primero y el último se denominan extremos, y el segundo y el tercero, medios.

Es evidente que 111 + 8 = 100 + 19, es decir, la suma de los extremos es igual a la suma de los medios. Y esto no es accidental, derivado de los números particulares que hemos tomado, sino que debe cumplirse en toda proporción aritmética; pues en 111 + 8, según (35), cualquier disminución de 111 no afectará a la suma, siempre que se dé un aumento correspondiente a 8; y, según la definición que acabamos de dar, un medio es tanto menor que 111 como el otro es mayor que 8.

171. Se dice que un conjunto o serie de números está en proporción aritmética continua, o en progresión aritmética, cuando la diferencia entre cada dos términos sucesivos de la serie es la misma. Este es el caso en la siguiente serie:

La diferencia entre dos términos sucesivos se llama diferencia común. En las tres series que acabamos de dar, las diferencias comunes son 1, 3 y ½.

172. Si se toma un cierto número de términos de cualquier progresión aritmética, la suma del primer y el último término es la misma que la de cualquier otros dos términos, siempre que uno esté tan distante del principio de la progresión como el otro del final. Por ejemplo, sean 7 términos y que sean a b c d e f g.

Luego, puesto que, por la naturaleza de la serie, b está tan por encima de a como f está por debajo de g (170), a + g = b + f. Asimismo, puesto que c está tan por encima de b como e está por debajo de f (170), b + f = c + e. Pero a + g = b + f; por lo tanto, a + g = c + e, y así sucesivamente.

Nuevamente, dos veces el término medio, o el término igualmente distante del principio y del fin (el cual solo existe cuando el número de términos es impar), es igual a la suma del primero y del último término; pues como c está tan por debajo de d como e está por encima de este, tenemos c + e = d + d = 2d. Pero c + e = a + g; por tanto, a + g = 2d.

Esto dará una regla breve para hallar la suma de cualquier número de términos de una progresión aritmética.

Sean 7, a saber, los que acaban de darse. Puesto que a + g, b + f y c + e son iguales, su suma es tres veces (a + g), lo cual con d, el término medio, o la mitad de a + g, es tres veces y media (a + g), o la suma del primero y del último términos multiplicada por (3½), o ⁷/₂, o la mitad del número de términos.

Si hubiera habido un número par de términos, por ejemplo, seis, a saber, a, b, c, d, e y f, sabemos ahora que a + f, b + e y c + d son iguales, de donde la suma es tres veces (a + f), o la suma del primero y el último términos multiplicada por la mitad del número de términos, como antes.

La regla, por lo tanto, es: Para sumar cualquier número de términos de una progresión aritmética, multiplíquese la suma del primer y el último término por la mitad del número de términos.

Por ejemplo, ¿cuántos suman 99 términos de la serie 1, 2, 3, etc.? El término 99.º es 99, y la suma es

La suma de 50 términos de la serie

o 17 × 25, o 425.

173. Dado el primer término, así como la diferencia común y el número de términos, el último término se puede encontrar sumando al primer término la diferencia común multiplicada por uno menos el número de términos.

Pues es evidente que el segundo término difiere del primero en la diferencia común; el tercer término, en el doble; el cuarto término, en el triple de la diferencia común; y así sucesivamente. O bien, el paso del primero al término n-ésimo se realiza mediante n-1 pasos, en cada uno de los cuales se suma la diferencia común.

EJERCICIOS.

174. Conociendo la suma, el número de términos y el primer término, podemos hallar a partir de ahí la diferencia común. Supongamos, por ejemplo, que el primer término de una serie es uno, el número de términos 100, y la suma 10.000. Puesto que 10.000 se obtuvo multiplicando la suma del primer y el último término por ¹⁰⁰/₂, si dividimos por esto, recuperaremos la suma del primer y el último término. Ahora bien, ¹⁰,⁰⁰⁰/₁ dividido por ¹⁰⁰/₂ es (122) 200, y siendo el primer término 1, el último término es 199. Tenemos entonces que pasar de 1 a 199, o a través de 198, en 99 pasos iguales. Cada paso es, por lo tanto, ¹⁹⁸/⁹⁹, o 2, que es la diferencia común; o la serie es 1, 3, 5, etc., hasta 199.

175. Volvemos ahora a (170), en el que comparamos dos números entre sí por su diferencia. Este, sin embargo, no es el método de comparación que empleamos en la vida ordinaria, como lo demostrará cualquier ejemplo cotidiano simple. Por ejemplo, decimos de A, que tiene 10 mil libras, que es mucho más rico que B, que solo tiene 3 mil; pero no decimos que C, que tiene 107 mil libras, sea mucho más rico que D, que tiene 100 mil, aunque la diferencia de fortuna sea la misma en ambos casos, es decir, 7 mil libras. Al comparar números tomamos en consideración no solo las diferencias, sino los números mismos. Así, si B y D recibieran ambos 7 mil libras, B recibiría 233 libras y un tercio por cada 100 libras que tenía antes, mientras que D por cada 100 libras recibiría solo 7 libras.

Y aunque, desde la perspectiva adoptada en (170), el 3 está tan cerca del 10 como el 100 del 107, sin embargo, bajo la luz en que ahora los consideramos, el 3 no está tan cerca del 10 como el 100 del 107, pues el 3 difiere del 10 en más del doble de sí mismo, mientras que el 100 no difiere del 107 en tanto como la quinta parte de sí mismo. Esto se expresa en lenguaje matemático diciendo que la razón o proporción de 10 a 3 es mayor que la razón o proporción de 107 a 100. Pasamos a definir estos términos con mayor precisión.

176. Cuando en lo sucesivo de esta sección empleemos el término parte de un número o fracción, entenderemos uno de los diversos conjuntos de partes iguales en que puede dividirse, ya sea la mitad, el tercio, el cuarto, etc.; el término múltiplo ya ha sido explicado (102).

Por el término parte múltiple de un número entendemos la abreviatura de las palabras múltiplo de una parte. Así, 1, 2, 3, 4 y 6 son partes de 12; ½ es también una parte de 12, ya que está contenido en él 24 veces; 12, 24, 36, etc., son múltiplos de 12; y 8, 9, ⁵/₂, etc., son partes múltiples de 12, por ser múltiplos de algunas de sus partes.

Y cuando se habla de partes múltiples en general, se supone que las partes mismas están incluidas, bajo el mismo principio de que el 12 se cuenta entre los múltiplos de 12, siendo el multiplicador 1. Los múltiplos mismos también se incluyen en este término; pues 24 son también 48 mitades, y por lo tanto se encuentra entre las partes múltiples de 12. Cada parte es también, de varias maneras, una parte múltiple; pues un cuarto son dos octavos, y tres doceavos, etc.

177. Todo número o fracción es una parte múltiple de cualquier otro número o fracción. Si, por ejemplo, preguntamos qué parte es 12 de 7, vemos que, al dividir 7 en 7 partes, y repetir una de estas partes 12 veces, obtenemos 12; o, al dividir 7 en 14 partes, cada una de las cuales es un medio, y repetir una de estas partes 24 veces, obtenemos 24 mitades, o 12. De ahí que 12 sea ¹²/₇, o ²⁴/₁₄, o ³⁶/₂₁ de 7; y así sucesivamente. En general, cuando a y b son dos números enteros, a/b expresa la parte múltiple que a es de b, y b/a la que b es de a.

Supongamos, además, que se requiere determinar qué parte múltiple es (2⅐) de (3⅕), o de ¹⁵/₇ de ¹⁶/₅. Estas fracciones, reducidas a un denominador común, son ⁷⁵/₃₅ y ¹¹²/₃₅, de las cuales la segunda, dividida en 112 partes, da ¹/₃₅, el cual, repetido 75 veces, da ⁷⁵/₃₅, la primera. De esto se deduce que la parte múltiple que la primera es de la segunda es ⁷⁵/₁₁₂, lo cual, al obtenerse mediante la regla dada en (121), muestra que a/b, o a dividido por b, según la noción de división allí dada, expresa en todos los casos la parte múltiple que a es de b.

178. Cuando el primero de cuatro números es la misma parte alícuota o múltiple del segundo que el tercero lo es del cuarto, se dice que los cuatro son geométricamente² proporcionales, o simplemente proporcionales. Esta es una palabra de uso común; y queda por demostrar que nuestra definición matemática de la misma, recién dada, es, de hecho, la noción común que se le atribuye. Por ejemplo, supóngase que se copia un cuadro a una escala menor, de modo que una línea de dos pulgadas de largo en el original está representada por una línea de una pulgada y media en la copia; decimos que la copia no es correcta a menos que todas las partes del original se reduzcan en la misma proporción, a saber, la de 2 a (1½). Dado que, al dividir dos pulgadas en 4 partes y tomar 3 de ellas, obtenemos (1½), lo mismo debe hacerse con todas las líneas del original, es decir, la longitud de cualquier línea en la copia debe ser tres partes de cuatro de su longitud en el original. Asimismo, estando el interés al 5 por ciento, es decir, dándose £5 por el uso de £100, se daría una proporción similar de cualquier otra suma; el interés de £70, por ejemplo, sería exactamente una parte de £70 tal como £5 lo es de £100.

Puesto que, por tanto, la parte que a es de b se expresa mediante la fracción a/b, o cualquier otra fracción que le sea equivalente, y la que c es de d mediante c/d, se deduce que, cuando a, b, c y d son proporcionales, a/b = c/d.

Esta ecuación será el fundamento de todo nuestro razonamiento sobre cantidades proporcionales; y al considerar las proporcionales, es necesario observar no solo las cantidades mismas, sino también el orden en que se suceden.

Así, siendo a, b, c y d proporcionales, es decir, siendo a la misma parte alícuota o múltiple de b que c es de d, no se sigue que a, d, b y c sean proporcionales, es decir, que a sea la misma parte alícuota o múltiple de d que b es de c.

Es evidente que a es mayor que, igual a, o menor que b, según que c sea mayor que, igual a, o menor que d.

179. Cuatro números, a, b, c y d, al ser proporcionales en el orden en que están escritos, a y d se llaman los extremos, y b y c los medios, de la proporción. Por conveniencia, llamaremos a los dos extremos, o a los dos medios, términos semejantes, y a un extremo y un medio, términos no semejantes. Así, a y d son semejantes, al igual que b y c; mientras que a y b, a y c, d y b, d y c, no son semejantes.

Es costumbre expresar la proporción colocando puntos entre los números, de este modo:

a : b ∷ c : d

180. Las cantidades iguales seguirán siendo iguales cuando hayan sido aumentadas, disminuidas, multiplicadas o divididas por cantidades iguales.

Esto equivale a decir que si

• a = b y p = q,
• a + p = b + q,
• a - p = b - q,
• ap = bq,
• a b
• y — = —.
• p q

También es evidente que a + p-p, a -p + p, ap/p y a/p × p son todos iguales a a.

181. El producto de los extremos es igual al producto de los medios.

Sean a/b = c/d, y multiplíquense estos números iguales por el producto bd. Entonces,

Por tanto, 6, 8, 21 y 28 son proporcionales, ya que

y parece que 6 × 28 = 8 × 21, dado que ambos productos son 168.

182. Si el producto de dos números es igual al producto de otros dos, estos números son proporcionales en cualquier orden que sea, con tal de que los números de un mismo producto estén colocados de modo que sean términos semejantes; esto es, si ab = pq, tenemos las proporciones siguientes:—

• a : p ∷ q : b
• a : q ∷ p : b
• b : p ∷ q : a
• b : q ∷ p : a
• p : a ∷ b : q
• p : b ∷ a : q
• q : a ∷ b : p
• q : b ∷ a : p

Para probar cualquiera de estas, divida tanto ab como pq por el producto de su segundo y cuarto términos; por ejemplo, para mostrar la verdad de a: q ∷ p: b, divida tanto ab como pq por bq. Entonces,

El alumno no debe dejar de demostrar cada uno de los ocho casos, y de verificarlos mediante algunos ejemplos sencillos, tales como 1 × 6 = 2 × 3, lo que da 1: 2 ∷ 3: 6, 3: 1 ∷ 6: 2, etc.

183. Por tanto, si cuatro números son proporcionales, también lo son en cualquier otro orden, siempre que sea tal que los términos semejantes sigan siendo semejantes. Pues puesto que, cuando

se sigue (181) que ad = bc; todas las proporciones que se siguen de ad = bc, según el artículo anterior, se siguen también de

184. De (114) se deduce que

Por tanto, siendo a, b, c y d proporcionales, podemos obtener otras proporciones, así:

Es decir, la suma del primero y el segundo es al segundo como la suma del tercero y el cuarto es al cuarto.

Por brevedad, no expresaremos con palabras ninguna otra de estas proporciones, ya que el alumno suplirá fácilmente lo que falte.

Retomando la proporción a: b ∷ c: d

es decir, b-a: b ∷ d-c: d

o, a-b: b ∷ c-d: d,

dividiendo el primero por el segundo tenemos

o a + b : a - b ∷ c + d : c - d y también a + b : b - a ∷ c + d : d - c,

185. Muchas otras proporciones podrían obtenerse de la misma manera. Sin embargo, nos contentaremos con escribir algunas que pueden obtenerse combinando los artículos precedentes.

En estas y en todas las demás debe observarse que, cuando aparecen expresiones como a - b y c - d, se supone que a es mayor que b, y c mayor que d.

186. Si cuatro números son proporcionales, y cualesquiera dos términos disímiles se multiplican ambos, o se dividen ambos por la misma cantidad, los resultados son proporcionales. Así, si a: b ∷ c: d, y m y n son dos números cualesquiera, tenemos también lo siguiente:

y varios otros. Para demostrar cualquiera de ellos, recuérdese que no se necesita nada más para hacer que cuatro números sean proporcionales, excepto que el producto de los extremos sea igual al de los medios. Tomemos el tercero de los recién dados; el producto de sus extremos es

mientras que el de los medios es

Pero puesto que a : b ∷ c : d, por (181) ad = bc,

187. Si los términos de una proporción se multiplican por los términos de una segunda, los productos son proporcionales; es decir, si a: b ∷ c: d, y p: q ∷ r: s, se deduce que ap: bq ∷ cr: ds. Pues, puesto que ad = bc, y ps = qr, por (180) adps = bcqr, o ap × ds = bq × cr, de donde (182) ap: bq ∷ cr: ds.

188. Si cuatro números son proporcionales, cualesquiera potencias semejantes de estos números también son proporcionales; es decir, si

Porque, si escribimos la proporción dos veces, así,

189. Se dice que una expresión es homogénea respecto a dos o más letras cualesquiera, por ejemplo, a, b y c, cuando cada uno de sus términos contiene el mismo número de letras, contando únicamente a, b y c. Así, maab + nabc + rccc es homogénea respecto a a, b y c; y de tercer grado, puesto que en cada término hay ya sea a, b y c, o una de estas repetida sola, o con otra, de modo que hagan tres en total. Así, 8aaabc, 12abccc, maaaaa, naabbc son todas homogéneas y de quinto grado respecto a a, b y c solamente; y cualquier expresión formada sumando o restando estas entre sí será homogénea y de quinto grado. A su vez, ma + mnb es homogénea respecto a a y b, y de primer grado; pero no es homogénea respecto a m y n, aunque sí lo es respecto a a y n. Una vez sentado esto, pasamos a un teorema,³ que contendrá todos los resultados de (184), (185) y (188).

190. Si cuatro números cualesquiera son proporcionales, y si de los dos primeros, a y b, se forman dos expresiones homogéneas cualesquiera del mismo grado; y si de los dos últimos se forman otras dos expresiones, de la misma manera exacta, los cuatro resultados serán proporcionales. Por ejemplo, si a: b ∷ c: d, y si se eligen 2aaa + 3aab y bbb + abb, las cuales son ambas homogéneas con respecto a a y b, y ambas del tercer grado; y si se forman las expresiones correspondientes 2ccc + 3ccd y ddd + cdd, las cuales se hacen a partir de c y d exactamente de la misma manera que las dos primeras a partir de a y b, entonces se cumplirá que

2aaa + 3aab : bbb + abb ∷ 2ccc + 3ccd : ddd + cdd

Pero puesto que a dividido por b da x, x multiplicado por b dará a, o a = bx. Por una razón similar, c = dx.

Póngase bx y dx en lugar de a y c en las cuatro expresiones recién dadas, recordándose que cuando las cantidades se multiplican entre sí, el resultado es el mismo sea cual sea el orden en que se hagan las multiplicaciones; que, por ejemplo, bxbxbx es lo mismo que bbbxxx.

Por lo tanto, 2aaa + 3aab = 2bxbxbx + 3bxbxb

= 2bbbxxx + 3bbbxx which is bbb multiplied by 2xxx + 3xx or bbb (2xxx + 3xx)⁴

Del mismo modo, 2ccc + 3ccd = ddd (2xxx + 3xx)

También, bbb + abb = bbb + bxbb

= bbb multiplicado por 1 + x o bbb(1 + x)

De manera similar, ddd + cdd = ddd (1 + x)

Now, bbb : bbb ∷ ddd : ddd

De donde (186), bbb(2xxx + 3xx): bbb(1 + x) ∷ ddd(2xxx + 3xx): ddd(1 + x), lo cual, cuando en lugar de estas expresiones se sustituyen sus iguales recién halladas, se convierte en 2aaa + 3aab: bbb + abb ∷ 2ccc + 3ccd: ddd + cdd.

El mismo razonamiento puede aplicarse a cualquier otro caso, y el alumno podrá demostrar de este modo los siguientes teoremas:

Si a : b ∷ c : d

2a + 3b : b ∷ 2c + 3d : d

aa + bb : aa - bb ∷ cc + dd : cc - dd

mab : 2aa + bb ∷ mcd : 2cc + dd

191. Si los dos medios de una proporción son iguales, es decir, si a

     b ∷ b: c, se dice que los tres números, a, b y c, están en proporción continua, o en progresión geométrica. Los mismos términos se aplican a una serie de números en la que cualesquiera tres que se sucedan están en proporción continua, tales como

Los cuales están en proporción continua, puesto que

192. Sean a, b, c, d, e en proporción continua; tenemos entonces

Cada término se forma a partir del precedente, multiplicándolo por el mismo número. Así,

b = ar c = br = arr d = cr = arrr y así sucesivamente; de donde resulta la serie

porque, siendo b ar, bb es arar o aarr. De nuevo,

es decir, el primero guarda con el término n-ésimo desde el primero la misma proporción que la potencia n-ésima del primero con la potencia n-ésima del segundo.

193. Puede encontrarse una regla breve para sumar cualquier número de términos de una proporción continua. Supóngase primero que se requiere sumar los términos 1, r, rr, etc., donde r es mayor que la unidad. Es evidente que no alteramos ninguna expresión al sumar o restar cualquier número, siempre y cuando después restemos o sumemos el mismo. Por ejemplo, p = p - q + q - r + r - s + s

Tomemos cuatro términos de la serie, 1, r, rr, etc. o,

1 + r + rr + rrr

Es evidente que rrrr - 1 = rrrr - rrr + rrr - rr + rr - r + r - 1

Now (54), rr-r = r(r-1), rrr -rr = rr(r-1), rrrr-rrr = rrr(r-1), and the above equation becomes rrrr -1 = rrr(r-1) + rr (r-1) + r (r-1) + r-1; which is (54) rrr + rr + r + 1 taken r-1 times. Hence, rrrr-1 divided by r-1 will give 1 + r + rr + rrr, the sum of the terms required. In this way may be proved the following series of equations:

Si r es menor que la unidad, para hallar 1 + r + rr + rrr, obsérvese que

1 - rrrr = 1 - r + r - rr + rr - rrr + rrr - rrrr

= 1 - r + r(1 - r) + rr(1 - r) + rrr(1 - r);

de donde, por un razonamiento similar, 1 + r + rr + rrr se halla dividiendo 1-rrrr por 1-r; y se pueden hallar ecuaciones similares a estas que acaban de darse, que son,

La regla es: Para hallar la suma de n términos de la serie, 1 + r + rr + &c., divídase la diferencia entre 1 y el (n + 1)ᵗʰ término por la diferencia entre 1 y r.

194. Esto puede aplicarse para hallar la suma de cualquier número de términos de una proporción continua. Sean a, b, c, etc. los términos de los cuales se requiere sumar cuatro, es decir, hallar a + b + c + d, o (192) a + ar + arr + arrr, o (54) a(1 + r + rr + rrr), lo cual (193) es

según que r sea mayor o menor que la unidad.

La primera fracción es

Del mismo modo, el segundo es

La regla, por lo tanto, es: Para sumar n términos de una proporción continua, divídase la diferencia entre el (n + 1)-ésimo y el primer término por la diferencia entre la unidad y la medida común. Por ejemplo, se requiere la suma de 10 términos de la serie 1 + 3 + 9 + 27 + etc. El undécimo término es 59049, y ⁽⁵⁹⁰⁴⁹ ⁻ ¹⁾/₍₃₋₁₎ es 29524. Nuevamente, la suma de 18 términos de la serie 2 + 1 + ½ + ¼ + etc. cuyo decimosenovo término es ¹/₁₃₁₀₇₂, es

EJEMPLOS.

195. Las potencias de un número o fracción mayor que la unidad aumentan; pues, como 2½ es mayor que 1, 2½ × 2½ es 2½ tomado más de una vez, es decir, es mayor que 2½, y así sucesivamente. Este aumento continúa sin límite; es decir, no hay cantidad tan grande que alguna potencia de 2½ no la supere. Para demostrar esto, obsérvese que cada potencia de 2½ se forma multiplicando la potencia anterior por 2½, o por 1 + 1½, es decir, sumando a la potencia anterior esa misma potencia y su mitad. Por lo tanto, se sumará más a la 10.ª potencia para formar la 11.ª que lo que se sumó a la 9.ª potencia para formar la 10.ª. Pero es evidente que si una cantidad dada, por pequeña que sea, se suma continuamente a 2½, el resultado llegará con el tiempo a exceder cualquier otra cantidad que también haya sido dada, por grande que sea; con mucha más razón lo hará si la cantidad sumada a 2½ aumenta en cada paso, lo cual ocurre cuando se forman las potencias sucesivas de 2½. Es evidente también que las potencias de 1 nunca aumentan, siendo siempre 1; así, 1 × 1 = 1, etc.

Asimismo, si a es mayor que m veces b, el cuadrado de a es mayor que mm veces el cuadrado de b. Así, si a = 2b + c, donde a es mayor que 2b, el cuadrado de a, o aa, que es (68) 4bb + 4bc + cc es mayor que 4bb, y así sucesivamente.

196. Las potencias de una fracción menor que la unidad disminuyen continuamente; así, el cuadrado de ⅖, o ⅖ × ⅖, es menor que ⅖, siendo solo dos quintas partes de esta.

Esta disminución continúa sin límite; es decir, no hay cantidad tan pequeña que alguna potencia de ⅖ no sea menor. Pues si

y así sucesivamente. Puesto que x es mayor que 1 (195), se puede hallar alguna potencia de x que sea mayor que una cantidad dada. Llámese a esto m; entonces 1/m es la potencia correspondiente de ⅖; y una fracción cuyo denominador puede hacerse tan grande como queramos, puede a su vez hacerse tan pequeña como queramos (112).

197. Tenemos, pues, en la serie

1  r  rr  rrr  rrrr  &c.

I. Una serie de términos crecientes, si r es mayor que 1. II. De términos que tienen el mismo valor, si r es igual a 1. III. Una serie de términos decrecientes, si r es menor que 1.

En los primeros dos casos, la suma

1 + r + rr + rrr + &c.

puede evidentemente hacerse tan grande como queramos, aumentando suficientemente el número de términos. Pero en el tercero esto puede ser o no ser el caso; pues aunque se añade algo en cada paso, sin embargo, como ese aumento disminuye en cada paso, no podemos afirmar con certeza que podamos, mediante cualquier número de tales aumentos, hacer que el resultado sea tan grande como queramos. Para mostrar lo contrario en un ejemplo sencillo, consideremos la serie,

1 + ½ + ¼ + ⅛ + ¹/₁₆ + &c.

Llévese esta serie hasta el punto que se quiera, siempre será necesario añadir el último término para llegar a sumar 2. Así,

(1 + ½ + ¼) + ¼ = 1 + ½ + ½ = 1 + 1 = 2

(1 + ½ + ¼ + ⅛) + ⅛ = 2.

(1 + ½ + ¼ + ⅛ + ¹/₁₆) + ¹/₁₆ = 2, &c.

Pero en la serie, cada término es solo la mitad del precedente; por consiguiente, ningún número de términos, por grande que sea, puede hacerse tan grande como 2 añadiendo uno más. La suma, por tanto, de 1, ½, ¼, ⅛, etc., se aproxima continuamente a 2, disminuyendo su distancia a 2 en cada paso, pero sin llegar a alcanzarlo. De ahí que 2 se llame el límite de 1 + ½ + ¼ + etc.

No debemos concluir, por lo tanto, que toda serie de términos decrecientes tiene un límite. Lo contrario puede demostrarse en la serie muy simple de 1 + ½ + ⅓ + ¼ + etc., que puede escribirse así:

1 + ½ + (⅓ + ¼) + (⅕ + ... hasta ⅛) + (⅑ + ... hasta ¹/₁₆)

• (¹/₁₇ + ... hasta ¹/₃₂) + &c.

Hemos dividido así todas las series, excepto los dos primeros términos, en lotes, cada uno de los cuales contiene la mitad de términos que unidades hay en el denominador de su último término. Así, el cuarto lote contiene 16 o ³²/₂2 términos. Puede demostrarse que cada uno de estos lotes es mayor que ½. Tomemos el tercer lote, por ejemplo, que consta de ⅑, ¹/₁₀, ¹/₁₁, ¹/₁₂, ¹/₁₃, ¹/₁₄, ¹/₁₅ y ¹/₁₆. Todos ellos, excepto ¹/₁₆, que es el último, son mayores que ¹/₁₆; en consecuencia, al sustituir cada uno de ellos por ¹/₁₆, el valor del lote entero se reduciría; y como entonces pasaría a ser ⁸/₁₆, o ½, el lote en sí es mayor que ½. Ahora bien, si a 1 + ½ se le suma continuamente ½, el resultado terminará por superar cualquier número dado. Con más razón ocurrirá esto si, en lugar de ½, se suman uno tras otro los distintos lotes escritos anteriormente. Pero de este modo se compone la serie 1 + ½ + ⅓, etc., lo cual demuestra lo que se afirmó, a saber, que esta serie no tiene límite.

198. La serie 1 + r + rr + rrr + &c. siempre tiene un límite cuando r es menor que 1. Para demostrar esto, sea a el término que sigue a aquel en el que nos detenemos, de donde (194) la suma es

Los términos decrecen sin límite (196), de donde podemos tomar un término tan distante del principio que a, y por consiguiente

será tan pequeño como queramos. Pero es evidente que en este caso

aunque siempre menos de

puede acercarse tanto a

como nos plazca; esto es, la serie 1 + r + rr + etc. se aproxima continuamente al límite

Por tanto, 1 + ½ + ¼ + ⅛ + &c., donde r = ½, se aproxima continuamente a

como se demostró en el último artículo.

EJERCICIOS.

199. Cuando la fracción a/b no es igual a c/d, sino mayor, se dice que a tiene con b una razón mayor que la que c tiene con d; y cuando a/b es menor que c/d, se dice que a tiene con b una razón menor que la que c tiene con d. Proponemos las siguientes preguntas como ejercicios, ya que se desprenden de manera muy sencilla de esta definición.

I. Si a es mayor que b, y c menor o igual que d, a tendrá una razón mayor respecto a b que la que c tiene respecto a d.

II. Si a es menor que b, y c mayor o igual que d, la razón de a a b es menor que la de c a d.

III. Si a es a b como c es a d, y si a tiene una razón mayor a b que la que c tiene a x, d es menor que x; y si a tiene una razón menor a b que la de c a x, d es mayor que x.

IV. a has to b a greater ratio than ax to bx + y, and a less ratio than ax to bx- y.

200. Si a tiene a b una razón mayor que la que c tiene a d, a + c tiene a b + d una razón menor que la que a tiene a b, pero una razón mayor que la que c tiene a d; o, en otras palabras, si a/b es la mayor de las dos fracciones a/b y c/d,

será mayor que c/d, pero menor que a/b. Para demostrar esto, obsérvese que (mx + ny)/(m + n) debe estar comprendido entre x e y, si x e y son desiguales: pues si x es el menor de ambos, es ciertamente mayor que

o que x; y si y es el mayor de los dos, es ciertamente menor que

o que y. Por lo tanto, se encuentra entre x e y.

Ahora sea a/b igual a x, y sea c/d igual a y:

entonces a = bx, c = dy. Ahora

es algo entre x e y, como se acaba de demostrar; por tanto

es algo entre a/b y c/d. De nuevo, puesto que a/b y c/d son respectivamente iguales a ap/bp y cq/dq, y dado que, como acaba de demostrarse,

se encuentra entre los dos últimos, también se encuentra entre los dos primeros; esto es, si p y q son cualesquiera números o fracciones,

se encuentra entre a/b y c/d.

201. Por el artículo anterior podemos formarnos a menudo una idea del valor de una expresión demasiado complicada para ser calculada fácilmente. Así,

esto es, entre 1/x y 1/by. Y se ha demostrado que (a + b)/2 se encuentra entre a y b, considerándose el denominador como 1 + 1.

202. También puede demostrarse que una fracción como

siempre yace entre

es decir, es menor que el mayor de ellos y mayor que el menor. Ordénense estas fracciones según su magnitud; es decir, sea a/p mayor que b/q, b/q mayor que c/r, y c/r mayor que d/s. Entonces, según (200)

de lo cual la proposición es evidente.

203. Es habitual denotar «a es mayor que b» mediante a > b y «a es menor que b» mediante a < b; la abertura de la V se orienta hacia la cantidad mayor.

Se recomienda al alumno familiarizarse con estos signos.