Hay un método útil para encontrar fracciones que sean casi iguales a una dada, y con el cual la computadora debe estar familiarizada.
Proceda como en la regla para encontrar el máximo común divisor del numerador y del denominador, y ponga todos los cocientes en una línea. Luego escriba,
| 1 | 2.ª Cita. | |
|---|---|---|
| 1.ª cit. | 1.ª Cit. × 2.ª Cit. + 1 |
Luego tómese el tercer cociente, multiplíquense por él el numerador y el denominador del segundo, y súmense a los productos el numerador y el denominador precedentes. Formése una tercera fracción con los resultados para numerador y denominador.
Luego tómese el cuarto cociente, y procédase con la tercera y segunda fracciones de la misma manera; y así sucesivamente hasta que se agoten los cocientes.
Por ejemplo, sea la fracción ⁹¹³¹/₁₃₁₂₈.
- 9131)13128(1, 2
- 1137 3997(3, 1
- 551 586(1, 15
- 201 35(1, 2
- 26 9(1, 8
- 8 1
Este es el proceso para hallar la máxima medida común de 9131 y 13128 en su forma más compacta, y los cocientes y fracciones son:
| 1 | 2 | 3 | 1 | 1 | 15 | 1 | 2 | 1 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 7 | 9 | 16 | 249 | 265 | 779 | 1044 | 9131 |
| 1 | 3 | 10 | 13 | 23 | 358 | 381 | 1120 | 1501 | 13128 |
Se verá que tenemos así un conjunto de fracciones que termina con la fracción original misma, y que está formado por la regla anterior, de la siguiente manera:
| 1.ª fracción = | 1 | = | 1 | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1.ª cit. | 1 | |||||
| 2ª Fracción = | 2.ª Cita. | = | 2 | |||
| 1.ª Cit. × 2.ª Cit. + 1 | 3 | |||||
| 3.ª Fracción = | 2.° Núm. × 3.° Coc. + 1.er Núm. | = | 2 × 3 + 1 | = | 7 | |
| 2do Denʳ. × 3er Quot. + 1er Denʳ. | 3 × 3 + 1 | 10 | ||||
| 4.ª Fracción = | 3.er Númʳ. × 4.º Cociente + 2.º Númʳ. | = | 7 × 1 + 2 | = | 9 | ; |
| 3.er Den.ʳ × 4.º Coc. + 2.º Den.ʳ | 10 × 1 + 3 | 13 |
y así sucesivamente. Pero hemos hecho algo más que simplemente ascender de nuevo a la fracción original por medio de los cocientes. El conjunto de fracciones, ¹/₁, ²/₃, ⁷/₁₀, ⁹/₁₃, etc., se van aproximando continuamente en valor a la fracción original; la primera es demasiado grande, la segunda demasiado pequeña, la tercera demasiado grande, y así alternativamente, pero cada una de ellas está más cerca de la dada que cualquiera de las anteriores. Así, ¹/₁ es demasiado grande, y ²/₃ es demasiado pequeña; pero ²/₃ no es tan pequeña como ¹/₁ es grande. Y de nuevo, ⁷/₁₀, aunque demasiado grande, no es tan grande como ²/₃ es pequeña.
Además, la diferencia entre cualquiera de las fracciones y la fracción original nunca es mayor que una fracción que tenga la unidad por numerador y el producto del denominador por el denominador siguiente por denominador.
Así, ¹/₁ no yerra en tanto como ¹/₃, ni ²/₃ en tanto como ¹/₃₀, ni ⁷/₁₀ en tanto como ¹/₁₃₀, ni ⁹/₁₃ en tanto como ¹/₂₉₉, &c.
Por último, ninguna fracción con un numerador y un denominador menores puede aproximarse tanto a la fracción dada como cualquiera de las fracciones de la lista. Así, ninguna fracción con un numerador menor que 249 y un denominador menor que 358 puede aproximarse tanto a
| 9131 | como | 249 | . |
|---|---|---|---|
| 13128 | 358 |
El lector puede tomar cualquier ejemplo por sí mismo, y la prueba de la precisión del procedimiento es el retorno final a la fracción con la que se comenzó. Otra prueba es la siguiente: el numerador de la diferencia de dos fracciones aproximadas consecutivas debe ser la unidad. Así, en nuestro ejemplo, tenemos ¹⁶/₂₃ y ²⁴⁹/₃₅₈, las cuales, con un denominador común, 23 × 358, tienen a 5728 y 5727 como numeradores.
Como otro ejemplo, examinemos esta cuestión: La duración del año es de 365,24224 días, lo que en la vida ordinaria se denomina 365¼ días. Tomemos la fracción ²⁴²²⁴/₁₀₀₀₀₀ y procedamos según la regla.
- 24224)100000(4, 7, 1, 4, 9, 2
- 2496 3104
- 64 608
- 0 32
| 1 | 7 | 8 | 39 | 359 | 757 |
|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 29 | 33 | 161 | 1482 | 3125 |
y ⁷⁵⁷/₃١٢٥ es ·24224 en su forma más simple. De ahí que parezca que el exceso del año sobre los 365 días asciende a aproximadamente 1 día en 4 años, lo cual no falla por tanto como 1 día en 1١٦ años; más exactamente, a 7 días en 29 años, lo cual no falla por tanto como 1 día en 95٧ años; más exactamente aún, a 8 días en 33 años, lo cual no falla por tanto como 1 día en 5٣١٣ años; y así sucesivamente.
Este método puede aplicarse para hallar fracciones casi iguales a las raíces cuadradas de números enteros, de la siguiente manera:
- √43 = 6 + ...
| 6 | 1 5 4 5 5 4 5 1 6 6 | 1 5 4, &c. |
|---|---|---|
| 1 | 7 6 3 9 2 9 3 6 7 1 | 7 6 3, &c. |
| 6 | 1 1 3 1 5 1 3 1 1 1 2 | 1 1 3, &c. |
Apunta el número cuya raíz cuadrada se busca, digamos 43. Esta raíz cuadrada es 6 y una fracción. Apunta el número entero 6 en la primera y tercera fila, y 1 en la segunda fila siempre. Forma las filas sucesivas a partir de la anterior de la siguiente manera:
| Una hilera que es | La siguiente fila tiene b′ , a′ , c′ , formados en este orden, por lo tanto, |
|---|---|
| a | a′ = exceso de b′c′ , ya formado, sobre a . |
| b | b′ = cociente de 43 - a ² dividido por b . |
| c | c′ = entero en el cociente de 6 + a dividido por b′ . |
| Así se forma la segunda fila a partir de la primera, del siguiente modo: | |
| 6 | 1 = exceso de 7 × 1 (ambos recién hallados) sobre 6. |
| 1 | 7 = 43 - 6 × 6 entre 1. |
| 6 | 1 = entero de 6 + 6 dividido por 7 (recién encontrado). |
| La tercera fila se forma a partir de la segunda, de este modo: | |
| 1 | 5 = exceso de 1 × 6 sobre 1. |
| 7 | 6 = 43 - 1 × 1 dividido por 7. |
| 1 | 1 = entero de 6 + 1 dividido por 6; |
y así sucesivamente. Con el tiempo, la segunda columna, 1, 7, 1, vuelve a aparecer, tras lo cual las distintas columnas se repiten en el mismo orden. Como proceso final, tómese el conjunto de la línea inferior (excluyendo el primero, 6), a saber, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 3, etc., y utilícese según la regla dada al principio de este artículo, de la siguiente manera:
| 1 | 1 | 3 | 1 | 5 | 1 | 3 | 1 | 1, | &c. |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 4 | 5 | 29 | 34 | 131 | 165 | 296 | |
| 1 | 2 | 7 | 9 | 52 | 61 | 235 | 296 | 531 |
Por tanto, 6¹⁶⁵/₂₉₆ se acerca mucho a la raíz cuadrada de 43, sin errar por tanto como
| 1 | . |
|---|---|
| 296 × 531 |
Si lo intentamos, hallaremos que (⁶¹⁶⁵/₂₉₆) es ¹⁹⁴¹/₂₉₆, cuyo cuadrado es ³⁷⁶⁷⁴⁸¹/₈₇₆₁₆, o 43⁷/₈₇₆₁₆.
Esta regla es de utilidad cuando se requiere usar frecuentemente una raíz cuadrada y, por lo tanto, es conveniente averiguar si existe alguna aproximación sencilla mediante una fracción común. Por ejemplo, a menudo se usa .
| √2 | = 1 + ... |
|---|---|
| 1 | 1 1 |
| 1 | 1 1 |
| 1 | 2 2 2 2 2 2 |
| 1 | 2 | 5 | 12 | 29 | 70 | &c. |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 5 | 12 | 29 | 70 | 169 |
Aquí parece que
| 1 | 29 | no se equivoca al | 1 | ; |
|---|---|---|---|---|
| 70 | 70 × 169 |
| por consiguiente, | 99 | o | 100 - 1 | es, |
|---|---|---|---|---|
| 70 | 70 |
considerando la facilidad de la operación, una aproximación razonable.
De hecho, ⁹⁹/₇₀ es 1·4142857 ... siendo la verdad 1·4142135 ...
El siguiente es un ejemplo adicional:
| √ | 19 | = 4 + ... |
|---|---|---|
| 4 | 2 3 3 2 4 4 2 | |
| 1 | 3 5 2 5 3 1 3 | |
| 4 | 2 1 3 1 2 8 2 1 3 1 2, &c. |
| 1 | 1 | 4 | 5 | 14 | , &c. |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | 11 | 14 | 39 |