Scholium.
Cæterum ob difficultatem describendi hanc curvam præstat constructiones vero proximas in praxi Mechanica adhibere. Ellipseos cujusvis APB sit AB axis major, O centrum, S umbilicus, OD semiaxis minor, & AK dimidium lateris recti. Secetur AS in G, ut sit AG ad AS ut BO ad BS; & quæratur longitudo L, quæ sit ad ½GK ut est AO quad. ad rectangulum AS × OD. Bisecetur OG in C, centroq; C & intervallo CG describatur semicirculus GFO. Deniq; capiatur angulus GCF in ea ratione ad angulos quatuor rectos, quam habet tempus datum, quo corpus descripsit arcum quæsitum AP, ad tempus periodicum seu revolutionis unius in Ellipsi: Ad AO demittatur normalis FE, & producatur eadem versus F ad usq; N, ut sit EN ad longitudinem L, ut anguli illius sinus EF ad radium CF; centroq; N & intervallo AN descriptus circulus secabit Ellipsin in corporis loco quæsito P quam proxime.
Nam completo dimidio temporis periodici, corpus P semper reperietur in Apside summa B , & completo altero temporis dimidio, redibit ad Apsidem imam, ut oportet. Ubi vero proxime abest ab Apsidibus, ratio prima nascentium sectorum ASP , GCF , & ratio ultima evanescentium BSP & OCF , eadem est rationi Ellipseos totius ad circulum totum. Nam punctis Page 110 P , F & N incidentibus in loca p , f & n axi AB quam proximis; ob æquales An , pn , recta nq , quæ ad arcum Ap perpendicularis est, adeoq; concurrit cum axe in puncto K , bisecat arcum Ap . Proinde est ½ Ap ad Gn ut AK ad GK , & Ap ad Gn ut 2 AK ad GK . Est & Gn ad Gf ut EN ad EF , seu L ad CF , id est, ut { GK × AOq. } ÷ {2 AS × OD } ad CF , seu GK × AOq. ad 2 AS × OD × CF , & ex æquo Ap ad Gf ut 2 AK ad GK + GK × AOq. ad 2 AS × OD × CF , id est, ut AK × AOq. ad AS × OD × CF , hoc est, ob æqualia AK × AO × ODq. ut AO × OD ad AS × CF . Proinde Ap × ½ AS est ad Gf × ½ GC ut AO × OD × AS ad AS × CF × GC , seu AO × OD ad CGq. id est, sector nascens ASp ad sectorem nascentem GCf ut AO × OD ad CGq. & propterea ut area Ellipseos totius ad aream circuli totius. Q. E. D.