Corol. 3. Corpora duo quævis circum gravitatis centrum commune gyrantia, radiis & ad centrum illud & ad se mutuo ductis, describunt areas temporibus proportionales.
Prop. LIX. Theor. XXII.
*Corporum duorum*S*&*P*circa commune gravitatis centrum*C*revolventium tempus periodicum esse ad tempus periodicum corporis alterutrius*P*, circa alterum immotum*S*gyrantis & figuris quæ corpora circum se mutuo describunt figuram similem & æqualem describentis, in dimidiata ratione corporis alterius*S*, ad summam corporum*S*+*P*.*
Page 166
Namq; ex demonstratione superioris Propositionis, tempora quibus arcus quivis similes PQ & pq describuntur, sunt in dimidiata ratione distantiarum CP & SP vel sp, hoc est, in dimidiata ratione corporis S ad summam corporum S + P. Et componendo, summæ temporum quibus arcus omnes similes PQ & pq describuntur, hoc est tempora tota quibus figuræ totæ similes describuntur, sunt in eadem dimidiata ratione. Q. E. D.
Prop. LX. Theor. XXIII.
*Si corpora duo*S*&*P*, viribus quadrato distantiæ suæ reciproce proportionalibus se mutuo trahentia, revolvuntur circa gravitatis centrum commune: dico quod Ellipseos, quam corpus alterutrum*P*hoc motu circa alterum*S*describit, Axis transversus erit ad axem transversum Ellipseos, quam corpus idem*P*circa alterum quiescens*S*eodem tempore periodico describere posset, ut summa corporum duorum*S*+*P*ad primam duarum medie proportionalium inter hanc summam & corpus illud alterum*S*.*
Nam si descriptæ Ellipses essent sibi invicem æquales, tempora periodica, per Theorema superius, forent in dimidiata ratione corporis S ad summam corporum S + P. Minuatur in hac ratione tempus periodicum in Ellipsi posteriore, & tempora periodica evadent æqualia, Ellipseos autem axis transversus per Theorema VII. minuetur in ratione cujus hæc est sesquiplicata, id est in ratione, cujus ratio S ad S + P est triplicata; adeoq; ad axem transversum Ellipseos alterius, ut prima duarum medie proportionalium inter S + P & S ad S + P. Et inverse, axis transversus Ellipseos circa corpus mobile descriptæ erit ad axem transversum descriptæ circa immobile, ut S + P ad primam duarum medie proportionalium inter S + P & S. Q. E. D. Page 167
Prop. LXI. Theor. XXIV.
*Si corpora duo viribus quibusvis se mutuo trahentia, neq; alias agitata vel impedita, quomodocunq; moveantur; motus eorum perinde se habebunt ac si non traherent se mutuo, sed utrumq; a corpore tertio in communi gravitatis centro constituto viribus iisdem traheretur: Et Virium trahentium eadem erit Lex respectu distantiæ corporum a centro illo communi atq; respectu distantiæ totius inter corpora.*
Nam vires illæ, quibus corpora se mutuo trahunt, tendendo ad corpora, tendunt ad commune gravitatis centrum intermedium, adeoq; eædem sunt ac si a corpore intermedio manarent. Q. E. D.