Sit HIKL superficies illa Sphærica, & P corpusculum intus constitutum. Per P agantur ad hanc superficiem lineæ duæ HK, IL, arcus quam minimos HI, KL intercipientes; & ob triangula HPI, LPK (per Corol. 3. Lem. VII.) similia, arcus illi erunt distantiis HP, LP proportionales, & superficiei Sphæricæ particulæ quævis, ad HI & KL rectis per punctum P transeuntibus undiq; terminatæ, erunt in duplicata illa ratione. Ergo vires Page 193 harum particularum in corpus P exercitæ sunt inter se aquales. Sunt enim ut particulæ directe & quadrata distantiarum inverse. Et hæ duæ rationes componunt rationem æqualitatis. Attractiones igitur in contrarias partes æqualiter factæ se mutuo destruunt. Et simili argumento attractiones omnes per totam Sphæricam superficiem a contrariis attractionibus destruuntur. Proinde corpus P nullam in partem his attractionibus impellitur. Q. E. D.
Prop. LXXI. Theor. XXXI.
*Iisdem positis, dico quod corpusculum extra Sphæricam superficiem constitutum attrahitur ad centrum Sphæræ, vi reciproce proportionali quadrato distantiæ suæ ab eodem centro.*
Sint AHKB , ahkb æquales duæ superficies Sphæricæ, centris S , s , diametris AB , ab descriptæ, & P , p corpuscula sita extrinsecus in diametris illis productis. Agantur a corpusculis lineæ PHK , PIL , phk , pil , auferentes a circulis maximis AHB , ahb , æquales arcus quam minimos HK , hk & HL , hl : Et ad eas demittantur perpendicula SD , sd ; SE , se ; IR , ir ; quorum Page 194 SD , sd secent PL , pl in F & f . Demittantur etiam ad diametros perpendicula IQ , iq ; & ob æquales DS & ds , ES & es , & angulos evanescentes DPE & dpe , lineæ PE , PF & pe , pf & lineolæ DF , df pro æqualibus habeantur: quippe quarum ratio ultima, angulis illis DPE , dpe simul evanescentibus, est æqualitatis. His itaq; constitutis, erit PI ad PF ut RI ad DF , & pf ad pi ut DF vel df ad ri ; & ex æquo PI × pf ad PF × pi ut RI ad ri , hoc est (per Corol. 3. Lem. VII.) ut arcus IH ad arcum ih . Rursus PI ad PS ut IQ ad SE , & ps ad pi ut SE vel se ad iq ; & ex æquo PI × ps ad PS × pi ut IQ ad iq . Et conjunctis rationibus PI quad. × pf × ps ad pi quad. × PF × PS , ut IH × IQ ad ih × iq ; hoc est, ut superficies circularis, quam arcus IH convolutione semicirculi AKB circa diametrum AB describet, ad superficiem circularem, quam arcus ih convolutione semicirculi akb circa diametrum ab describet. Et vires, quibus hæ superficies secundum lineas ad se tendentes attrahunt corpuscula P & p , sunt (per Hypothesin) ut ipsæ superficies applicatæ ad quadrata distantiarum suarum a corporibus, hoc est, ut pf × ps ad PF × PS . Suntq; hæ vires ad ipsarum partes obliquas quæ (facta per Legum Corol. 2 resolutione virium) secundum lineas PS , ps ad centra tendunt, ut PI ad PQ , & pi ad pq ; id est (ob similia triangula PIQ & PSF , piq & psf ) ut PS ad PF & ps ad pf . Unde ex æquo fit attractio corpusculi hujus P versus S ad attractionem corpusculi p versus s , ut PF × pf × ps ÷ PS ad Page 195 pf × PF × PS ÷ ps , hoc es ut ps quad. ad PS quad. Et simili