SECT. II.

bb a 4
bb
a 4
bb √ { 1 - mm - 2 mbb + b 4 } a 3 nn naa a 4
bb		√		{	1 -	mm	-	2 mbb	+	b 4	}
a 3	nn	naa	a 4

seu

1
√ { aa + mm aa - 2 mbb + b 4 } nn n aa
	√		{	aa	+	mm	aa -	2 mbb	+	b 4	}
nn	n	aa

est, si in VZ sumatur VY æqualis VG, ut 1 ÷ XY. Namq; aa & {mm ÷ nn}aa - 2mbb ÷ n + b⁴ ÷ aa sunt ipsarum XZ & ZY quadrata. Resistentia autem invenitur in ratione ad Gravitatem quam habet XY ad YG, & velocitas ea est quacum corpus in Parabola pergeret verticem G diametrum DG & latus rectum YX quad. ÷ VG habente. Ponatur itaq; quod Medii densitates in locis singulis G sint reciproce ut distantiæ XY, quodq; resistentia in loco aliquo G sit ad gravitatem ut XY ad YG; & corpus de loco A justa cum velocitate emissum describet Hyperbolam illam AGK. Q. E. I.

Exempl. 4. Ponatur indefinite, quod linea AGK Hyperbola sit, centro X Asymptotis MX, NX, ea lege descripta, ut constructo rectangulo XZDN cujus latus ZD secet Hyperbolam in G & Asymptoton ejus in V, fuerit VG reciproce ut ipsius ZX vel DN dignitas aliqua NDⁿ, cujus index est numerus n: & quæratur Medii densitas, qua Projectile progrediatur in hac curva.

Pro DN, BD, NX scribantur A, O, C respective, sitq; VZ ad ZX vel DN ut d ad e, & VG æqualis bb ÷ DNⁿ, & erit DN æqualis A - O, VG = bb ÷ {A - O}ⁿ, VZ = d ÷ e in A - O, & GD seu NX - VZ - VG æqualis C - {d ÷ e}A + {d ÷ e}O - bb ÷ {A - O}ⁿ. Resolvatur terminus ille bb ÷ {A - O}ⁿ in seriam infinitam

bb	+	nbbO	+	nn + n	bbO 2 +	n 3 + 3 nn + 2 n	bbO 3 &c.
A n	A n +1	2 A n +2	6 A n +3

ac fiet GD æqualis

Page 269

C -	d	A -	bb	+	d	O -	nbb	O -	nn + n	bbO 2 -	n 3 + 3 nn + 2 n	bbO 3	&c.
e	A n	e	A n +1	2 A n +2	6 A n +3

Hujus seriei terminus secundus {d ÷ e}O - {nbb ÷ Aⁿ⁺¹}O usurpandus est pro Qo, tertius {{nn + n} ÷ 2Aⁿ⁺²}bbO² pro Ro², quartus {{n³ + 3nn + 2n} ÷ 6Aⁿ⁺³}bbO³ pro So³. Et inde Medii densitas S ÷ {R × √1 + QQ}, in loco quovis G, fit

275