*Si in figura quavis*AacE*rectis*Aa*,*AE*, & curva*acE*comprehensa, inscribantur parallelogramma quotcunq;*Ab*,*Bc*,*Cd*, &c. sub basibus*AB*,*BC*,*CD*, &c. æqualibus, & lateribus*Bb*,*Cc*,*Dd*, &c. figuræ lateri*Aa*parallelis contenta; & compleantur parallelogramma*aKbl*,*bLcm*,*cMdn*, &c. Dein horum parallelogrammorum latitudo minuatur, & numerus augeatur in infinitum: dico quod ultimæ rationes, quas habent ad se invicem figura inscripta*AKbLcMdD*, circumscripta*AalbmcndoE*, & curvilinea*AabcdE*, sunt rationes æqualitatis.*
Nam figuræ inscriptæ & circumscriptæ differentia est summa parallelogrammorum Kl + Lm + Mn + Do, hoc est (ob æquales omnium bases) rectangulum sub unius basi Kb & altitudinum summa Aa, id est rectangulum ABla. Sed hoc rectangulum, eo quod latitudo ejus AB in infinitum minuitur, sit minus quovis dato. Ergo, per Lemma I, figura inscripta & circumscripta & multo magis figura curvilinea intermedia fiunt ultimo æquales. Q. E. D.
Lemma III.
*Eædem rationes ultimæ sunt etiam æqualitatis, ubi parallelogrammorum latitudines*AB*,*BC*,*CD*,*&c.*sunt inæquales, & omnes minuuntur in infinitum.*
Sit enim AF æqualis latitudini maximæ & compleatur parallelogrammum FAaf. Hoc erit majus quam differentia figuræ inscriptæ & figuræ circumscripta, at latitudine sua AF Page 28 in infinitum diminuta, minus fiet quam datum quodvis rectangulum.
Corol. 1. Hinc summa ultima parallelogrammorum evanescentium coincidit omni ex parte cum figura curvilinea.
Corol. 2. Et multo magis figura rectilinea, quæ chordis evanescentium arcuum ab, bc, cd, &c. comprehenditur, coincidit ultimo cum figura curvilinea.
Corol. 3. Ut & figura rectilinea quæ tangentibus eorundem arcuum circumscribitur.
Corol. 4. Et propterea hæ figuræ ultimæ (quoad perimetros acE,) non sunt rectilineæ, sed rectilinearum limites curvilinei.
Lemma IV.
*Si in duabus figuris*AacE*,*PprT*, inscribantur (ut supra) duæ parallelogrammorum series, sitq; idem amborum numerus, & ubi latitudines in infinitum diminuitur, rationes ultimæ parallelogrammorum in una figura ad parallelogramma in altera, singulorum ad singula, sint eædem; dico quod figuræ duæ*AacE*,*PprT*, sunt ad invicem in eadem illa ratione.*