QT . Et Hyperbolæ latere recto principali (seu 2 BCq. ÷ AC ) dicto L , erit L × QR ad L × Pv ut QR ad Pv , id est, ut PE (seu AC ) ad PC ; Et L × Pv ad GvP ut L ad Gv ; & GvP ad Qvq. ut CPq. ad CDq. ; & (per Lem. VIII.) Qvq. ad Qxq. , punctis Q & P coeuntibus fit ratio æqualitatis; & Qxq. seu Qvq. est ad QTq. ut EPq. ad PFq. , id est ut CAq. ad PFq. , sive (per Lem. XII.) ut CDq. ad CBq. : & conjunctis his omnibus rationibus L × QR fit ad QTq. ut AC ad PC + L ad Gv + CPq. ad CDq. + CDq. ad CBq. : id est ut AC × L (seu 2 BCq. ) × PCq. ad PC × Gv × CB quad. sive ut 2 PC ad Gv , sed punctis Q & P coeuntibus æquantur 2 PC & Gv . Ergo & his proportionalia L × QR & QTq. æquantur. Ducantur hæc æqualia in SPq. ÷ QR & fiet L × SPq. æquale SPq. × QTq. ÷ QR . Ergo (per Corol. Theor. V.) vis centripeta reciproce est ut L × SPq. id est in ratione duplicata distantiæ SP . Q. E. I. Page 53
Eodem modo demonstratur quod corpus, hac vi centripeta in centrifugam versa, movebitur in Hyperbola conjugata.
Lemma XIII.
*Latus rectum Parabolæ ad verticem quemvis pertinens, est quadruplum distantiæ verticis illius ab umbilico figuræ.* Patet ex Conicis.
Lemma XIV.
*Perpendiculum quod ab umbilico Parabolæ ad tangentem ejus demittitur, medium est proportionale inter distantias umbilici a puncto contactus & a vertice principali figuræ.*
Sit enim APQ Parabola, S umbilicus ejus, A vertex principalis, P punctum contactus, PO ordinatim applicata ad diametrum principalem, PM tangens diametro principali occurrens in M, & SN linea perpendicularis ab umbilico in tangentem. Jungatur AN, & ob æquales MS & SP, MN & NP, MA & AO, parallelæ erunt rectæ AN & OP, & inde triangulum SAN rectangulum erit ad A & simile triangulis æqualibus SMN, SPN. Ergo PS est ad SN ut SN ad SA. Q. E. D.