§ 1. En el punto al que ahora hemos llegado, se supone que estamos en posesión de series o grupos de cierto tipo, situados en la base, por decirlo así, y que forman el cimiento sobre el cual se ha de erigir la Ciencia de la Probabilidad. Hemos descrito con suficiente particularidad las características de tal serie y hemos indicado el proceso por el cual, por regla general, se produce en la naturaleza. Las siguientes indagaciones que deben realizarse sucesivamente son: cómo, en un caso particular, hemos de establecer su existencia y determinar su carácter especial y sus propiedades?[** TN: space] y en segundo lugar,[1] una vez que los hemos obtenido, ¿de qué modo deben emplearse con fines lógicos?
La respuesta a la primera cuestión no parece difícil.
La experiencia es nuestra única guía. Si queremos descubrir lo que es en realidad una serie de cosas, no una serie de nuestras propias concepciones, debemos recurrir a las cosas mismas para obtenerla, pues no podemos encontrar mucha ayuda en otra parte. No podemos saber cuántas personas nacerán o morirán en un año, ni cuántas casas se quemarán o barcos naufragarán, sin contarlos realmente. Cuando hablamos así de la «experiencia», pretendemos emplear el término en su acepción más amplia; nos referimos a la experiencia complementada por todas las ayudas que la lógica inductiva o deductiva pueda proporcionar.
Cuando, por ejemplo, hemos hallado la serie que comprende el número de personas de cualquier clase asignada que mueren en años sucesivos, no dudamos en extenderla un cierto trecho tanto hacia el futuro como hacia el pasado. La justificación de tal procedimiento debe buscarse en los cánones ordinarios de la inducción.
Dado que se dedicará un debate especial a la conexión entre la probabilidad y la inducción, no es necesario decir más sobre este tema aquí; pero no se encontrará allí nada que desmienta la afirmación recién hecha de que las series que empleamos se obtienen en última instancia únicamente mediante la experiencia.
§ 2. En muchos casos es indudablemente cierto que no recurrimos en absoluto a la experiencia directa.
Si quiero saber qué probabilidad tengo de tener diez triunfos en una partida de whist, no investigo con qué frecuencia ha ocurrido algo así antes. Si todos los habitantes del globo terráqueo se dividieran en grupos para jugar al whist, tendrían que seguir haciéndolo durante muchísimos años si quisieran resolver la cuestión de manera satisfactoria por ese método.
Lo que hacemos, por supuesto, es calcular algebraicamente la proporción de combinaciones posibles en las que pueden aparecer diez triunfos, y tomar esto como la respuesta a nuestro problema.
Asimismo, si quisiera saber la probabilidad de sacar un seis con un dado cuyas caras fuesen desiguales, cabría preguntarse si mi mejor opción no sería calcular geométricamente el ángulo sólido subtendido en el centro de la gravedad por la cara opuesta, y la razón de este respecto a toda la superficie de una esfera representaría con la aproximación suficiente la probabilidad requerida.
Es muy cierto que en ejemplos como el anterior, especialmente el primero, a nadie se le ocurriría jamás recurrir a las estadísticas. Este sería un procedimiento tedioso de adoptar cuando, como aquí, las condiciones mecánicas y de otro tipo de las que depende la producción de los acontecimientos son comparativamente pocas, determinadas y admiten una consideración aislada, mientras que el enorme número de combinaciones que pueden construirse a partir de ellas provoca una consiguiente y enorme multiplicidad de formas en que los acontecimientos pueden suceder posiblemente.
De ahí que, en la práctica, la determinación a priori sea a menudo fácil, mientras que el recurso a posteriori a la experiencia no solo resultaría tedioso, sino absolutamente impracticable. Esto, combinado con la frecuente simplicidad y el atractivo de tales ejemplos cuando se tratan deductivamente, los ha hecho muy populares y ha generado la impresión en muchos sectores de que son los ejemplos típicos adecuados para ilustrar la teoría de las probabilidades.
Mientras que, si la ciencia se hubiera ocupado únicamente de aquellos tipos de acontecimientos que en la práctica suelen ser objeto de seguro, probablemente nunca se habría adoptado otra visión que no fuera la de que se basa en el recurso directo a la experiencia.
§ 3. Sin embargo, si examinamos un poco más de cerca, descubrimos que no hay motivo para establecer una distinción tan tajante como la que Aparentemente se implica entre las dos clases de ejemplos que acabamos de señalar. Incluso en casos como los de los dados y las cartas, en los que parece que razonamos directamente a partir de las condiciones determinantes, o de la variedad posible de los acontecimientos, más que a partir de la observación real de su ocurrencia, descubriremos que este procedimiento solo es válido con la ayuda de una suposición tácita que jamás puede determinarse de otro modo que no sea mediante la experiencia directa.
Es, sin duda, una suposición sumamente natural y obvia, y una que continuamente adquiere nuevo peso a partir de la observación cotidiana, pero es una que no debería admitirse sin meditación. Dado que este es un asunto muy importante, no tanto en sí mismo como en relación con la luz que arroja sobre la teoría del tema, vamos a proceder a un examen un tanto detallado del mismo.
Tomemos un ejemplo muy sencillo, el de lanzar una moneda al aire. Supongamos que estoy contemplando una sucesión de dos tiradas; puedo ver que los únicos acontecimientos posibles son[2] CC, CX, XC, XX. Hasta ahí todo es seguro.
Además, estamos razonablemente convencidos por la experiencia de que estos acontecimientos ocurren, a la larga, con una frecuencia aproximadamente igual. Esto, por supuesto, es admitido por todos.
Pero, según la opinión comúnmente sostenida, se argumenta que podríamos haber conocido el hecho de antemano basándonos en razones aplicables a un número indefinido de otros casos más complejos. La forma en que esta opinión se expondría generalmente es que se nos permite afirmar de antemano que las cuatro tiradas mencionadas son igualmente probables.
Si a cambio preguntamos qué significa la expresión «igualmente probables», resulta que hay dos, y solo dos, formas posibles de responder. Una de ellas busca la explicación en el estado mental del observador, y la otra la busca en alguna característica de las cosas observadas.
(1) Podría, por ejemplo, afirmarse, por una parte, que lo que se quiere decir es que los cuatro eventos previstos son igualmente fáciles de imaginar, o, más exactamente, que nuestra expectativa o creencia en su ocurrencia es igual. Difícilmente podríamos conformarnos con esta respuesta, pues de inmediato se plantearía una nueva indagación: ¿Sobre qué base ha de creerse esto? ¿Cuáles son las características de los eventos respecto de los cuales nuestra expectativa es igual? Si accediéramos a dar una respuesta a esta nueva indagación, nos veríamos conducidos a la segunda forma de respuesta, que se examinará de inmediato; si no accediéramos, parecería que estaríamos admitiendo que la Probabilidad era tan solo una parte de la Psicología, circunscrita por lo tanto a considerar los estados mentales en sí mismos, antes que en su referencia a los hechos, esto es,[ TN: space] como verdaderos o falsos. Estaríamos, es decir, dejando de hacer de ella una ciencia de la inferencia acerca de las cosas. Este punto tendrá que abordarse con mayor profundidad en otro capítulo; pero es imposible señalar con demasiada insistencia el hecho de que la Lógica (y por tanto la Probabilidad como rama de la Lógica) no se ocupa de lo que los hombres sí creen, sino de lo que deberían creer, si han de creer correctamente.
(2) En la otra forma de respuesta, la explicación de la frase en cuestión se buscaría, no en un estado mental, sino en una cualidad de las cosas contempladas. Podríamos asignar el siguiente significado, a saber:[** TN: space] que los acontecimientos realmente ocurrirían con igual frecuencia a la larga. El fundamento de esta afirmación probablemente se hallaría en la experiencia pasada, y sin duda sería imposible formular la respuesta de tal modo que se excluya por completo la noción de nuestra creencia. Pero aun así existe una amplia distinción entre buscar una igualdad en el grado de nuestra creencia, como antes, y en la frecuencia de ocurrencia de los acontecimientos mismos, como aquí.
§ 4. Cuando hemos llegado hasta aquí, puede demostrarse fácilmente que no se puede evadir por mucho tiempo un recurso a la experiencia. Pues ¿puede hacerse con seguridad à priori la afirmación en cuestión (a saber[** TN: space], que las tiradas de la moneda saldrán con igual frecuencia)? Aquellos que consideran que así es apenas parecen haber afrontado plenamente las dificultades que les salen al paso. Pues cuando empezamos a indagar seriamente si la moneda hará realmente lo que se espera de ella, descubrimos que hay que introducir restricciones. En primer lugar, debe ser una moneda ideal, con sus caras iguales y justas. Esta restricción es perfectamente inteligible; el estudio de la geometría del sólido nos permite idealizar una moneda hasta convertirla en una lámina circular o cilíndrica. Pero esta condición
por sí sola no es suficiente, también se requieren otras. Se suponía que la moneda era lanzada al aire, como solemos decir, «al azar». ¿Qué se quiere decir con esto y cómo ha de idealizarse este proceso? Plantear esto no es introducir una sutileza vana; pues difícilmente se sostendría que caras y cruces tendrían sus oportunidades justas si, inmediatamente antes del lanzamiento, colocáramos la moneda en nuestras manos de tal modo que la iniciáramos siempre con la misma cara hacia arriba. La diferencia que resultaría como consecuencia, por leve que sea su causa, tendería con el tiempo a manifestarse en los resultados. O bien, si persistiéramos en empezar alternativamente con cada una de las dos caras hacia arriba, ¿tendrían las repeticiones más largas de la misma cara su justa oportunidad?
Tal vez se replique que, si no pensamos en absoluto acerca de estas cuestiones, todo marchará bien por su propio acuerdo.
Puede que así sea, y sin duda lo será, pero esto es recaer sobre la experiencia. Es aquí, pues, donde nos encontramos descansando sobre la suposición experimental antes mencionada, y que de hecho no puede evitarse.
Pues supóngase, por último, que las circunstancias de la naturaleza, o mi constitución corporal o mental, fueran tales que siempre sale hacia arriba el mismo lado, o de hecho que salen en cualquier orden arbitrario que nosotros mismos elijamos.
Bien, se responderá, entonces no sería una prueba justa. Si insistimos de este modo en buscar una respuesta a tales indagaciones, descubriremos que estas restricciones tácitas no son en realidad otra cosa que un modo de asegurar un resultado experimental. No son sino otra forma de decir: hágase una serie de acciones de tal manera que se asegure una secuencia de un tipo particular, a saber, del tipo descrito en los capítulos anteriores.
§ 5. A veces se encuentra una manera intermedia de eludir el recurso directo a la experiencia definiendo la probabilidad de un suceso como aquella que se mide por la razón que guarda el número de casos favorables al suceso con el número total de casos posibles.
Esto parece un modo de hablar algo impreciso y ambiguo. Es evidente que no basta con contar meramente el número de casos, sino que también deben ser valorados, ya que no es seguro que cada uno sea igualmente potente para producir el efecto. Esto, por supuesto, nunca se negaría, pero no parece concedérsele suficiente importancia al hecho de que en realidad no tenemos otra forma de valorarlos que estimando los efectos que efectivamente producen o producirían.
En lugar de apelar así a la proporción de casos favorables al suceso, es mucho mejor (al menos en lo que respecta a los fundamentos de la ciencia, pues en este momento no estamos discutiendo el método práctico para facilitar nuestros cálculos) apelar directamente a la proporción de casos en los que el suceso efectivamente ocurre.
§ 6. Las observaciones anteriores se aplicarán, por supuesto, a la mayoría de los demás ejemplos comunes de azar: el lanzamiento de dados, la extracción de cartas, de bolas de bolsas, etc. En este último caso, por ejemplo, uno se sentiría naturalmente inclinado a suponer que una bola que acaba de ser devuelta tendría por ello una mejor oportunidad de salir de nuevo la próxima vez, ya que estará más a mano para ese propósito. ¿Cómo se evita esto?
Si la empujamos intencionadamente hacia el medio o el fondo de las demás, podemos exagerar la precaución; y en cualquier caso estamos introduciendo el diseño humano, ese elemento tan esencialmente hostil a todo lo que entendemos por azar. Si confiáramos en que un buen meneo arregle las cosas, podemos ser fácilmente engañados; pues sacudir la bolsa difícilmente puede hacer más que disminuir la tendencia de aquellas bolas que ya estaban en el vecindario de las otras a permanecer allí. En la interacción consiguiente de cada una sobre todas, la disposición con la que parten no puede dejar de imprimir su huella hasta cierto punto en sus posiciones finales.
En todos estos casos, por lo tanto, si examinamos nuestro lenguaje, encontraremos que cualquier supuesto modo à priori de plantear un problema no es más que una forma abreviada de decir: tómense los medios para obtener un resultado dado. Puesto que es en este resultado donde descansan en última instancia nuestras inferencias, parece más simple y más filosófico apelar a él de inmediato como base de nuestra ciencia.
§ 7. Tomemos nuevamente el ejemplo del lanzamiento de una moneda y examinémoslo con un poco más de detalle, para ver qué se puede demostrar en realidad acerca de los resultados que obtendremos.
Estamos dispuestos a dar a las monedas un trato justo al asumir que son perfectas, es decir, que a la larga no muestran preferencia ni por la cara ni por la cruz; la pregunta entonces sigue siendo: ¿Obtendrán las repeticiones de una misma cara las proporciones que les corresponden según las interpretaciones habituales de la teoría?
Poniendo entonces, como antes, en aras de la brevedad, C para cara, y CC para dos caras seguidas, llegamos a esta cuestión: Dado que la probabilidad de C es 1/2, ¿se sigue necesariamente que la probabilidad de CC (con dos monedas) es 1/4?
Por no hablar de que «C diez veces» ocurra una vez cada 1024 veces (con diez monedas), ¿tiene que ocurrir acaso?
Los matemáticos, en su mayor parte, parecen pensar que esta conclusión se sigue necesariamente a partir de los primeros principios; a mí me parece que descansa sobre una evidencia que no es más cierta que una extensión razonable por inducción.
Tomando pues los posibles resultados que pueden obtenerse de un par de peniques, ¿qué encontramos? Cuatro resultados diferentes pueden seguirse, a saber, (1) CA, (2) CC, (3) AC, (4) AA. Si puede demostrarse que estos cuatro son igualmente probables, es decir, que ocurren con la misma frecuencia, se seguirán las conclusiones comúnmente aceptadas, pues un argumento exactamente similar se aplicaría a todos los números mayores.
§ 8. La prueba que se suele aducir hace uso de lo que se denomina el Principio de Razón Suficiente. Toma esta forma:—Aquí hay cuatro clases de tiradas que pueden suceder; una vez admitido que los elementos separados de estas, a saber, C y X, ocurren con igual frecuencia, de ello se seguirá que las combinaciones anteriores también ocurrirán con igual frecuencia, pues no se puede dar ninguna razón a favor de una de ellas que no sea igualmente válida para las demás.
Hasta cierto punto debemos admitir la validez del principio para tal fin. En el caso de los lanzamientos dados anteriormente, sería válido demostrar la frecuencia igual de (1) y (3) y también de (2) y (4); pues no existe diferencia alguna entre estos pares salvo la introducida por nuestra propia notación.[3]
TH es lo mismo que HT, excepto en el orden de aparición de los símbolos H y T, el cual no tenemos en cuenta. Pero cualquiera de los pares (1) y (3) es diferente de cualquiera de los pares (2) y (4). Transpóngase la notación, y aun así permanecería aquí una distinción que la mente puede reconocer. Una sucesión de la misma cosa dos veces seguidas se distingue de la conjunción de dos cosas diferentes mediante una distinción que no depende únicamente de nuestra notación arbitraria, y permanecería totalmente inalterada ante un cambio en dicha notación. El principio de Razón Suficiente, por lo tanto, de ser admitido, solo demostraría que los dobletes de los dos tipos, por ejemplo (2) y (4), ocurren con igual frecuencia, pero no demostraría que cada uno de ellos deba ocurrir una vez de cada cuatro. En verdad, no puede demostrarse de este modo que deban llegar a ocurrir siquiera una vez.
§ 9. La fórmula, por tanto, al no ser demostrable à priori (como podría haberse concluido), ¿puede obtenerse mediante la experiencia?
Hasta cierto punto puede ser así; la experiencia actual de la humanidad en peniques y dados parece mostrar que las sucesiones más cortas de tiradas ocurren realmente en aproximadamente las proporciones asignadas por la teoría. Pero cuán cerca están de hacerlo nadie puede decirlo, pues la cantidad de tiempo y esfuerzo que habría que invertir antes de poder sentir que hemos verificado el hecho, incluso para números pequeños, es muy grande, mientras que para números grandes sería sencillamente intolerable.
El experimento de tirar las veces suficientes para obtener «diez caras» ha sido llevado a cabo realmente por dos o tres personas, y los resultados son proporcionados por De Morgan y Jevons.[4]
Como esto, sin embargo, solo basta por término medio para dar «diez caras» en una sola ocasión, la evidencia es muy escasa; se necesitaría un número considerable de tales experimentos para zanjar la cuestión casi por completo.
Cualquier regla de este tipo, pues, como la que acabamos de discutir, que pretende describir lo que ocurrirá en una larga sucesión de tiradas, solo se demuestra de manera concluyente mediante la experiencia dentro de muy estrechos límites, es decir, para pequeñas repeticiones de la misma cara; dentro de límites menos estrechos, en verdad, nos sentimos seguros de que la regla no puede ser flagrantemente errónea, pues de otro modo la variación casi con certeza sería detectada.
A partir de esto nos sentimos fuertemente inclinados a inferir que la misma ley se mantendrá en todo momento. En otras palabras, estamos inclinados a extender la regla por Inducción y Analogía. Aun así, hay tantos casos en la naturaleza de leyes propuestas que se cumplen dentro de límites estrechos pero que se desvían flagrantemente cuando intentamos llevarlas a grandes extremos, que debemos otorgar a lo sumo un asentimiento condicionado a la verdad de la fórmula.
§ 10. El objeto del razonamiento anterior es simplemente mostrar que no podemos tener la certeza de que la regla sea verdadera. Pasemos ahora a considerar por un momento las causas por las que se produce la sucesión de caras y cruces, y tal vez veamos razones que nos hagan dudar aún más.
Ya se ha señalado que al calcular probabilidades à priori, como se suele llamar, solo somos capaces de hacerlo introduciendo restricciones y suposiciones que equivalen en realidad a dar por supuestos los resultados esperados.
Empleamos palabras que, en rigor, significan: hágase un proceso dado; pero un análisis de nuestro lenguaje y un examen de varias suposiciones tácitas que se hacen notar en cuanto no se cumplen, pronto demuestran que nuestro verdadero significado es: obténgase una serie de un tipo dado; es únicamente a esta serie, y no a las condiciones de su producción, a lo que se aplican propiamente todos nuestros cálculos posteriores.
Una vez realizado el proceso físico, queremos saber si realmente se obtendrá algo parecido a la serie contemplada.
Ahora bien, si la moneda se colocara invariablemente con la misma cara hacia arriba, y se lanzara con la misma velocidad de rotación y a la misma altura, etc.—en una palabra, sometida a las mismas condiciones—, caería siempre con la misma cara hacia arriba.
En la práctica, sabemos que no ocurre nada de esto, pues las variaciones individuales en los resultados de los lanzamientos son infinitas.
Aun así, habrá un promedio de estas condiciones, en torno al cual se descubrirá que los lanzamientos se agrupan, por decirlo así, mucho más densamente que en cualquier otra parte.
Nos inclinaríamos, por tanto, a deducir que si la misma cara estuviera siempre hacia arriba, habría realmente una desviación respecto al tipo de serie que esperamos ordinariamente.
En un número muy grande
número de tiradas probablemente empezaríamos a descubrir, en tales circunstancias, que se estaba mostrando una preferencia por la cara o por la cruz. Si fuera así, ¿no cabría esperar que se encontraran efectos similares relacionados con la forma en que iniciábamos cada par sucesivo de tiradas?
Según decidiéramos adquirir la costumbre de poner CC o XX boca arriba, ¿no podría haber una alteración en la proporción de sucesiones de dos caras o dos cruces?
Siguiendo este hilo de razonamiento, parecería apuntar con cierta probabilidad a la conclusión de que, para obtener una serie del tipo que esperamos, tendríamos que disponer los antecedentes en una serie similar al principio.
Los cambios y azares producidos por el acto de lanzar podrían introducir infinitas variaciones individuales y, sin embargo, a muy largo plazo, podría encontrarse una gran similitud entre estas dos series.
§ 11. Esto es, hasta cierto punto, no hacer más que trasladar la dificultad, lo reconozco; pues la pretensión formulada anteriormente sobre la posibilidad de demostrar las proporciones de los lanzamientos en la primera serie, probablemente se repetirá ahora en favor de los de la segunda. Aun así, la cuestión queda muy acotada, pues la hemos reducido a una serie de actos voluntarios.
Un hombre puede poner la cara que le plazca hacia arriba. Puede actuar conscientemente, como he dicho, o puede no pensar en absoluto en el asunto, es decir, lanzar al azar; si es así, muchos afirmarán probablemente que producirá involuntariamente una serie del tipo en cuestión. Puede ser así o puede que no; no parece que haya datos fácilmente accesibles con los que decidirlo. Todo lo que me concierne aquí es mostrar la probabilidad de que el resultado comúnmente aceptado dependa en realidad del cumplimiento de cierta condición en el inicio, condición que sin duda cualquiera es libre de cumplir o no según le plazca. Las sucesiones breves sin duda se cuidarán por sí mismas, debido a las infinitas complicaciones producidas por las variaciones casuales en el lanzamiento; pero las largas pueden resentirse, a menos que su interés sea tenido en cuenta consciente o inconscientemente al principio.
§ 12. El consejo «Tan solo inténtalo el tiempo suficiente, y tarde o temprano obtendrás cualquier resultado que sea posible» es plausible, pero descansa únicamente en la inducción y la analogía; las matemáticas no lo demuestran. Como se ha afirmado repetidamente, existen dos puntos de vista distintos sobre el tema.
O bien podemos, por un lado, tomar una serie de símbolos, llamémoslos caras y cruces; C, X, etc.; y hacer el supuesto de que cada uno de ellos, y cada par de ellos, y así sucesivamente, ocurrirán a la larga con un grado regulado de frecuencia. Podemos entonces calcular sus diversas combinaciones y las consecuencias que pueden extraerse de los datos asumidos.
Este es un proceso puramente algebraico; es infalible; y no hay límite alguno en cuanto a la extensión hasta la que puede llevarse. Esta forma de ver el asunto puede ser, y sin duda debería ser, nada más que la contrapartida de lo que he llamado la serie sustituida o idealizada que generalmente tiene que introducirse como la base de nuestro cálculo.
El peligro contra el cual hay que precaverse es el de considerarlo demasiado puramente como una concepción algebraica y, a partir de ahí, caer en los errores muy naturales tanto de deducirlo demasiado fácilmente de nuestra propia conciencia como de llevarlo demasiado alegremente a extremos injustificados.
O por otra parte, podemos considerar que estamos tratando con el comportamiento de las cosas —bolas, dados, nacimientos, muertes, etc.— y extrayendo inferencias acerca de ellas. Pero entonces, lo que en el primer caso eran suposiciones admisibles, se convierten aquí en proposiciones que deben ser probadas por la experiencia. Ahora bien, toda la teoría de la probabilidad como ciencia práctica, de hecho como algo más que una verdad algebraica, depende por supuesto de que exista una estrecha correspondencia entre estos dos puntos de vista del asunto, en otras palabras, de que nuestra serie sustituida se mantenga de acuerdo con la serie real.
La experiencia prueba abundantemente que, entre límites considerables, en el ejemplo en cuestión, sí existe tal correspondencia. Pero que nadie intente forzar nuestro asentimiento a cada deducción remota que los matemáticos puedan extraer de sus fórmulas. Cuando esto se intenta, la distinción recién trazada se vuelve prominente e importante, y tenemos que elegir nuestro bando.
O bien nos pasamos a las matemáticas, y perdemos así todo derecho a debatir sobre las cosas; o bien tomamos partido por las cosas, y desafiamos así a las matemáticas. No cuestionamos la exactitud formal de estas últimas dentro de su propia esfera, pero o bien las descartamos por considerarlas algo irrelevantes, por aplicarse a datos cuya corrección no podemos asegurar, o nos tomamos la libertad de remodelarlas para ponerlas de acuerdo con los hechos.
§ 13. Apenas puede considerarse que un crítico de cualquier doctrina ha cumplido más de la mitad de su deber cuando ha explicado y justificado sus motivos para oponerse a ella. Todavía le queda por indicar, aunque sea en pocas palabras, cuáles considera que son sus funciones y su posición legítimas, ya que rara vez ocurre que la considere absolutamente inútil o carente de sentido. Diría, pues, que cuando la Probabilidad se divorcia así de la referencia directa a los objetos —como de hecho lo hace al no fundarse en la experiencia—, simplemente se reduce a la común doctrina algebráica o aritmética de las Permutaciones y Combinaciones.[5]
Las consideraciones de las que estas dependen son puramente formales y necesarias, y pueden razonarse plenamente sin recurrir en absoluto a la experiencia. Partimos ahí de consideraciones puras de número o magnitud, y terminamos con ellas, teniendo tan solo cálculos aritméticos para conectarlas entre sí.
Deseo, por ejemplo, hallar la probabilidad de sacar cara tres veces seguidas con una moneda. Todo lo que tengo que hacer es determinar primero el número posible de tiradas. Las permutaciones me dicen que con dos cosas así en cuestión (a saber:[** TN: space] cara y cruz) y tres veces para realizar el proceso, hay ocho formas posibles del resultado. De estas ocho, siendo una sola favorable, se declara que la probabilidad en cuestión es de un octavo.
Ahora bien, aunque es muy cierto que el cálculo real de todo problema de probabilidad debe ser del carácter anterior, es decir,[ TN: space] un proceso algebraico o aritmético, existe, según me parece, una amplia e importante distinción entre una ciencia material que emplea las matemáticas y una formal que no consiste en nada más que en matemáticas. Cuando nos cortamos de la necesidad de cualquier apelación a la experiencia, retenemos únicamente la parte intermedia o de cálculo de la investigación; podemos hablar de dados, peniques o cartas, pero estos son realmente solo nombres que elegimos dar a nuestros símbolos. Las H y las T con las que tratamos no tienen relación con sucesos objetivos, sino que son exactamente iguales a las x y las y con las que trata el resto del álgebra. La probabilidad, de hecho, cuando se trata así, parece ser absolutamente nada más que un sistema de Permutaciones y Combinaciones aplicadas.
Ahora se verá claramente cuán estrecho es el conjunto de casos a los que puede aplicarse cualquier método de tratamiento puramente deductivo. Está casi enteramente limitado a ocupaciones como los juegos de azar y, como ya se ha señalado, solo puede considerarse realmente fiable incluso allí mediante la ayuda de varias restricciones tácitas.
Tan solo esto sería concluyente en contra de la teoría de que el tema repose sobre semejante base.
El método experimental, por otra parte, es, en el mismo sentido teórico, de aplicación universal. Abarcaría los problemas ordinarios que presentan los juegos de azar, así como aquellos en los que los dados están cargados y las monedas no son perfectas, y también las aplicaciones indefinidamente numerosas de la estadística a los diversos tipos de fenómenos sociales.
§ 14. La particular perspectiva sobre el carácter deductivo de la Probabilidad analizada anteriormente difícilmente podría haberse introducido en otros ejemplos que no fuesen los de la naturaleza de los juegos de azar, en los cuales las condiciones de ocurrencia son comparativamente pocas y simples, y se prestan a una determinación numérica exacta. Pero una doctrina, que en realidad no es más que la misma teoría bajo una forma ligeramente disfrazada, es muy predominante y se ha aplicado a verdades de carácter puramente empírico. Esta doctrina se introducirá mejor mediante una cita de Laplace. Después de hablar de la irregularidad y la incertidumbre de la naturaleza tal como se presentan a primera vista, continúa señalando que, cuando observamos más de cerca, empezamos a detectar «una regularidad llamativa que parece sugerir un diseño, y que algunos han considerado una prueba de la Providencia. Pero, al reflexionar, pronto se percibe que esta regularidad no es otra cosa que el desarrollo de las probabilidades respectivas de los acontecimientos simples, los cuales deben ocurrir con mayor frecuencia cuanto más probables son».[6]
Si este comentario se hubiera hecho acerca de la sucesión de caras y cruces en el lanzamiento de una moneda, habría sido inteligible. Significaría simplemente esto: que la constitución del cuerpo era tal que podíamos anticipar con cierta confianza cuál sería el resultado cuando fuera tratado de una determinada manera, y que la experiencia justificaría nuestra anticipación a la larga.
Pero aplicado como está, de una forma más general, a los hechos de la naturaleza, parece en verdad tener muy poco sentido. Pongámoslo a prueba con un ejemplo. En medio de la irregularidad de los nacimientos individuales, encontramos que los niños varones guardan con las niñas, a la larga, una proporción de aproximadamente 106 a 100.
Ahora bien, si se nos dijera que no hay nada en esto sino «el desarrollo de sus respectivas probabilidades», ¿habría en tal afirmación algo más que una reformulación un tanto pretenciosa del hecho ya afirmado? La probabilidad no es otra cosa que dicha proporción, y en este caso se deriva indudablemente de ninguna otra fuente que de las estadísticas mismas; en el comentario anterior parece intentarse invertir este proceso, y derivar la secuencia de los acontecimientos a partir de la mera expresión numérica de las proporciones en que ocurren.
§ 15. Muy probablemente se responderá que por la probabilidad antes mencionada no se entiende la mera proporción numérica entre los nacimientos, sino algún hecho de nuestra constitución del que depende dicha proporción; que al igual que existía una relación de igualdad entre las dos caras de la moneda, que producía la igualdad final en el número de caras y cruces, puede haber algo en nuestra constitución o circunstancias en la proporción de 106 a 100 que produzca el resultado estadístico observado. Cuando este algo, sea lo que fuere, fuera descubierto, se podría suponer que los números observados eran capaces de determinarse de antemano. Incluso si este fuera el caso, sin embargo, no debe olvidarse que difícilmente dejaría de haber, en combinación con tales causas, otras condiciones concurrentes para producir el resultado final; al igual que, además de la forma de la moneda, también tuvimos que tener en cuenta la naturaleza de la «aleatoriedad» con la que fue lanzada. Cualesquiera que puedan ser estas, nadie por el momento puede atreverse a decirlo, pues los mejores fisiólogos parecen no estar dispuestos a arriesgar ni siquiera una conjetura sobre el asunto.[7]
Pero sin entrar en detalles, puede afirmarse con cierta seguridad que estas condiciones difícilmente pueden ser del todo independientes de la salud, las circunstancias, los modales y las costumbres, etc.[** TN: space] (para expresarse de la manera más vaga) de los padres; y una vez que se introducen estos elementos influyentes, aunque sea como factores muy diminutos, los resultados dejan de depender únicamente de condiciones fijas y permanentes.
Estamos dando entrada de inmediato a otras condiciones que, si también poseen las características que distinguen a la Probabilidad (un supuesto sumamente cuestionable), deben tener ese hecho probado de manera especial en relación con ellas.
Que este sea el caso, en efecto, parece no solo cuestionable, sino casi con certeza imposible; pues estas condiciones, al participar de la naturaleza de lo que denominamos en general Progreso y Civilización, no cabe esperar que muestren ninguna disposición permanente a rondar en torno a un promedio.
§ 16. El lector familiarizado con la Probabilidad conoce por supuesto el célebre teorema de Jacobo Bernoulli. Este teorema, del cual los ejemplos que acaban de aducirse son meros casos particulares, suele expresarse más o menos de la siguiente manera: a la larga, todos los eventos tienden a ocurrir con una frecuencia relativa proporcional a sus probabilidades objetivas. No necesitamos molestarnos con la demostración matemática de este teorema, ya que queda fuera del ámbito de esta obra; pero en verdad, si hay algún valor en la crítica precedente, la base sobre la cual descansan las matemáticas es defectuosa, debido a que en realidad no hay nada a lo que podamos llamar con propiedad una probabilidad objetiva.
Si hemos de juzgar por la interpretación y los usos a los que este teorema se ve expuesto a veces, deberíamos considerarlo como uno de los últimos vestigios del realismo que, tras haber sido desterrado de otras partes, aún logra perdurar en la remota provincia de la probabilidad.
Sería un ejemplo de la tendencia inveterada a objetivar nuestras concepciones, incluso en aquellos casos en los que dichas concepciones no tienen derecho alguno a existir. Se observa una uniformidad; a veces, como en los juegos de azar, se descubre que está tan vinculada a la constitución física de los cuerpos empleados que puede deducirse de antemano; aunque incluso aquí la conexión no es ni mucho menos tan necesaria como se suele suponer, debido al hecho de que, además de estos cuerpos mismos, también hemos de tener en cuenta su relación con las agencias que los influyen.
Esta constitución se convierte entonces en una «probabilidad objetiva», supuestamente capaz de desarrollarse en la secuencia que muestra la uniformidad. Finalmente, se asume que esta más que dudosa probabilidad objetiva existe, con la misma facultad de desarrollo, en todos los casos en los que se observa uniformidad, por poca semejanza que haya entre estos y los juegos de azar.
§ 17. Cuán totalmente inapropiada es una concepción de este tipo en la mayoría de los casos en los que hallamos uniformidad estadística resultará obvio con un momento de reflexión.
Los fenómenos observados son generalmente el producto, en estos casos, de antecedentes muy numerosos y complicados. El número de delitos, por ejemplo, cometidos anualmente en cualquier sociedad, es función, entre otras cosas, de la severidad de la ley, de la moralidad del pueblo, de su condición social y de la vigilancia de la policía, siendo cada uno de estos elementos casi infinitamente complejo en sí mismo.
Ahora bien, como resultado de todas estas agencias, se da cierto grado de uniformidad; pero lo que más arriba se ha denominado el cambio de tipo, que tarde o temprano tiende a mostrar, es inconfundible.
Los números medios anuales no muestran una aproximación constante y gradual hacia lo que podría considerarse en cierto sentido un valor límite, sino que, por el contrario, fluctúan de una manera que, por mucho que dependa de causas, no muestra ninguna de las uniformidades permanentes que caracterizan a los juegos de azar.
Este hecho, combinado con la evidente arbitrariedad de seleccionar, de entre los muchos y diversos antecedentes que produjeron la regularidad observada, unos pocos únicamente, que debían constituir la probabilidad objetiva (si los tomáramos todos, estando los acontecimientos absolutamente determinados, no habría ocasión de recurrir a la probabilidad en el caso), habría sido suficiente para impedir que nadie supusiera la existencia de tal cosa, a menos que la analogía errónea de otros casos le hubiera predispuesto a buscarla.
Hay una forma práctica y familiar del mismo error, cuya tendencia no es improbable que derive de una fuente teórica similar. Es la de continuar acumulando nuestros datos estadísticos en una medida excesiva.
Si el tipo fuera absolutamente fijo, no podríamos tener jamás demasiadas estadísticas; cuanto más tiempo decidiéramos tomarnos la molestia de recopilarlas, más precisos serían nuestros resultados.
Pero si el tipo está cambiando, en otras palabras, si algunas de las causas principales que contribuyen a su producción tienen, en lo que respecta a su grado actual de intensidad, estrictos límites de tiempo o de espacio, haremos más daño que bien si rebasamos dichos límites. El peligro de detenernos demasiado pronto se ve fácilmente, pero al evitarlo no debemos caer en el error opuesto de continuar durante demasiado tiempo, quedando así, ya sea de forma gradual o repentina, bajo la influencia de un conjunto modificado de circunstancias.
§ 18. Este capítulo iba a estar dedicado a considerar, no los procesos mediante los cuales la naturaleza produce las series de las que nos ocupamos, sino la base teórica de los métodos con los que podemos determinar la existencia de dichas series.
Pero no es posible mantener separadas las dos investigaciones, pues aquí, al menos, prevalece la vieja máxima de que para conocer una cosa debemos conocer sus causas. Volvamos por un minuto a las consideraciones del capítulo último. Vimos allí que había una gran clase de acontecimientos cuyas condiciones de producción se podía decir que consistían en (1) un número comparativamente pequeño de elementos casi inmutables, y (2) un número vasto de elementos independientes y muy cambiantes. Al menos, si había algún otro elemento además de estos, se supone que debemos hacer un cálculo especial para ellos, o bien omitirlos de nuestra investigación.
Ahora bien, en ciertos casos, como en los juegos de azar, los elementos inmutables pueden considerarse sin error práctico como verdaderamente inmutables a lo largo de cualquier intervalo de tiempo y espacio.
De ahí que, como resultado, el método deductivo de tratamiento se convierta en su caso, de inmediato, en el más sencillo, natural y concluyente; pero, como consecuencia ulterior, las estadísticas de los acontecimientos, si decidimos recurrir a ellas, pueden recopilarse ad libitum con una aproximación cada vez mejor a la verdad.
Por otro lado, en todas las aplicaciones sociales de la Probabilidad, las causas inmutables solo pueden considerarse verdaderamente inmutables bajo muchas reservas.
Sabemos poco o nada de ellas directamente; a menudo son, en realidad, numerosas, indeterminadas y fluctuantes; y solo bajo la garantía de estrictas restricciones de tiempo y lugar podemos atribuirles, con cierta seguridad, la fijeza suficiente para justificar nuestra teoría.
De ahí que, como resultado, el método deductivo, cualquiera que sea el nombre con el que se le designe, resulte totalmente inaplicable tanto en la teoría como en la práctica; y, como consecuencia ulterior, el recurso a la estadística debe hacerse teniendo presente la precaución de que haremos más daño que bien si seguimos recopilando demasiadas.
§ 19. Los resultados de los dos últimos capítulos pueden resumirse del siguiente modo:—Hemos ampliado la concepción de una serie obtenida en el primer capítulo; pues hemos descubierto que estas series se nos presentan por lo estas veces en grupos. Estos grupos, al ser examinados, resultan estar formados aproximadamente según el mismo tipo a lo largo de una gama de experiencias muy amplia y variada; las causas de esta concordancia fueron analizadas y explicadas por nosotros con cierto detalle.
Cuando, sin embargo, extendemos nuestro examen suponiendo que la serie se alarga muchísimo, descubrimos que puede dividirse en dos clases separadas por importantes distinciones.
En una de estas clases (la que contiene los resultados de los juegos de azar) las condiciones de producción, y por consiguiente las leyes de la aparición estadística, pueden considerarse prácticamente como absolutamente fijas, y la magnitud de las divergencias respecto a la media parece no conocer un límite finito.
En la otra clase, por el contrario (que contiene la mayor parte de las investigaciones estadísticas ordinarias), las condiciones de producción varían con mayor o menor rapidez, y en consecuencia también lo hacen los resultados. Además, a menudo es imposible que las variaciones respecto a la media superen una cantidad determinada.
La primera la podemos calificar de serie ideal. Es esta la única que muestra las características requeridas con una aproximación cercana a la exactitud, y para hacer sostenible la teoría del asunto, debemos en realidad sustituir una de esta clase por una de las menos perfectas de la otra, cuando estas últimas están bajo estudio. Sin embargo, los escritores sobre la materia han considerado la primera clase de forma demasiado exclusiva, y se han importado a la segunda clase concepciones apropiadas únicamente para la primera, y ni siquiera siempre para ella. De este modo se ha fomentado una tendencia general hacia un tratamiento excesivamente deductivo o à priori de la ciencia.
1
Esta última investigación pertenece a lo que puede denominarse la parte más puramente lógica de este volumen, y se aborda en el transcurso del Capítulo VI.
2
Para uso de aquellos que no estén familiarizados con la notación común empleada en este tema, puede señalarse que CC es simplemente una forma abreviada de decir que dos tiradas sucesivas de la moneda dan cara; CX que la primera de ellas da cara y la segunda cruz; y así sucesivamente con los símbolos restantes.
3
Me esfuerzo por tratar esta regla de la Razón Suficiente de un modo que sea legítimo a juicio de quienes la aceptan, pero parece haber dudas muy grandes de que no se incurra en una contradicción cuando intentamos extraer resultados de ella.
Si los lados son absolutamente iguales, ¿cómo puede haber alguna diferencia entre los términos de la serie?
La sucesión parece reducirse entonces a una uniformidad apagada, una mera iteración de la misma cosa muchas veces; la serie que contemplábamos ha desaparecido.
Si los lados no son absolutamente iguales, ¿qué es de la aplicabilidad de la regla?
4
- Formal Logic, p. 185.
- Principles of Science, p. 208.
5
La estrecha conexión entre estos temas queda bien indicada en el título del tratado del Sr. Whitworth, Choice and Chance.
6
Essai Philosophique. Ed. 1825, p. 74.
7 An opinion prevailed rather at one time (quoted and supported by Quetelet amongst others) that the relative ages of the parents had something to do with the sex of the offspring. If this were so, it would quite bear out the above remarks. As a matter of fact, it should be observed, that the proportion of 106 to 100 does not seem by any means universal in all countries or at all times. For various statistical tables on the subject see Quetelet, Physique Sociale, Vol. I.[** TN: space] 166, 173, 238.