* There is much need of some good account, accessible to the ordinary English reader, of the nature and properties of the principal kinds of Mean. The common text-books of Algebra suggest that there are only three such, viz.[ TN: space] the arithmetical, the geometrical and the harmonical:—thus including two with which the statistician has little or nothing to do, and excluding two or more with which he should have a great deal to do. The best three references I can give the reader are the following. (1) The article Moyenne in the Dictionnaire des Sciences Médicales, by Dr Bertillon. This is written somewhat from the Quetelet point of view. (2) A paper by Fechner in the *Abhandlungen d. Math.[ TN: space] phys.[ TN: space] Classe d. Kön.[ TN: space] Sächs.[ TN: space] Gesellschaft d. Wiss.*[ TN: space] 1878; pp. 1–76. This contains a very interesting discussion, especially for the statistician, of a number of different kinds of mean. His account of the median is remarkably full and valuable. But little mathematical knowledge is demanded. (3) A paper by Mr F. Y. Edgeworth in the Camb.[ TN: space] Phil.[ TN: space] Trans.[ TN: space] for 1885, entitled Observations and Statistics. This demands some mathematical knowledge. Instead of dealing, as such investigations generally do, with only one Law of Error and with only one kind of mean, it covers a wide field of investigation.

§ 1. Hemos tenido ocasión tan frecuente de referirnos a los promedios, y al tipo de uniformidad que suelen mostrar en contraste con los objetos o acontecimientos individuales, que ahora resultará conveniente examinar con un poco más de detalle cuáles son los diferentes tipos de promedios disponibles y cuáles son exactamente las funciones que desempeñan.

La primera noción vaga de un promedio, tal como lo entendemos hoy, me parece que implica poco más que la de algo intermedio entre una serie de objetos.

Los objetos deben, por supuesto, asemejarse entre sí en ciertos aspectos, de otro modo no pensaríamos en clasificarlos juntos; y también deben diferir en ciertos aspectos, de otro modo no distinguiríamos entre ellos.

Lo que el promedio hace por nosotros, bajo esta forma primitiva, es permitirnos retener convenientemente al grupo en conjunto como un todo. Es decir, proporciona una suerte de valor representativo del aspecto cuantitativo de las cosas en cuestión, que servirá para ciertos propósitos para ocupar el lugar de cualquier miembro individual del grupo.

Parecería entonces que el primer destello de la noción que la ciencia reduce a precisión bajo la denominación de promedio o media, y que luego procede a subdividir en varias especies distintas de medias, se presenta cumpliendo algunas de las funciones de un nombre general. Pues, ¿cuál es el uso principal de un nombre general? Es reducir una pluralidad de objetos a la unidad; agrupar cierto número de cosas en virtud de algunas cualidades que poseen en común.

El nombre general ordinario se basa en una variedad considerable de atributos, en su mayoría de carácter cualitativo, mientras que el promedio, en la medida en que cumple un propósito similar, se basa más bien en un único atributo cuantitativo. Dirige la atención hacia un cierto tipo y grado de magnitud. Cuando el ganadero dice de sus ovejas que «unas por otras rondarán los 50 chelines», o el agricultor compra un lote de postes que «miden unos 10 pies», es verdad que no están usando estrictamente el equivalente ni de un nombre general ni de uno colectivo. Pero se acercan mucho a dicho uso al elegir una especie de tipo o espécimen de la magnitud a la que se debe dirigir la atención, y al clasificar a todo el grupo por su parecido con este tipo.

El ganadero está pensando en sus ovejas: no en un sentido meramente general, como ovejas, y por tanto bajo ese nombre o concepto, sino como ovejas de un cierto valor monetario aproximado. Algunas valdrán más, otras menos, pero todas están lo suficientemente cerca del valor asignado como para ser convenientemente clasificadas juntas como si lo fueran por un nombre. Muchas de nuestras denominaciones cuantitativas aproximadas parecen ser de este tipo, como cuando hablamos de «relojes de ocho días» o «hombres de doce piedras», etc.; a menos que, por supuesto, pretendamos (como a veces hacemos en estos casos) asignar un valor máximo o mínimo. Ciertamente, no es fácil ver de qué otro modo podríamos transmitir fácilmente una noción meramente general del aspecto cuantitativo de las cosas, excepto seleccionando un tipo como el indicado arriba, o asignando ciertos límites dentro de los cuales se supone que se encuentran las cosas.

§ 2. Hasta aquí no se ha introducido necesariamente ninguna idea de comparación —de comparación, es decir, de un grupo con otro— por medio de tal promedio. Tan pronto como empezamos a pensar en esto, tenemos que ser más precisos al decir qué queremos decir con un promedio. Podemos ver fácilmente que el número de clases posibles de promedio, en el sentido de valores intermedios, es muy grande; es, de hecho, indefinidamente grande. A partir de la concepción general de un valor intermedio, obtenido mediante algún tratamiento de las magnitudes originales, podemos extraer tantas subdivisiones como queramos, según diversos modos de tratamiento. Sin embargo, solo hay tres o cuatro que, para nuestros propósitos, deban ser tomadas en cuenta.

(1) En primer lugar, está el promedio aritmético o media. La regla para obtenerlo es muy sencilla: se suman todas las magnitudes y la suma se divide entre el número de ellas. Este es el único tipo de promedio con el que la mente no científica está plenamente familiarizada. Pero no debemos permitir que esta sencillez y familiaridad nos ofusquen hasta el punto de no ver que existen razones claras para el empleo de este promedio y que, por tanto, solo es apropiado en circunstancias concretas.

La razón por la cual este ofrece un valor intermedio seguro y preciso frente a los distintos valores reales divergentes, es que para muchos de los propósitos ordinarios de la vida, tales como la compra y la venta, llegamos exactamente al mismo resultado, ya sea que tomemos en cuenta dichas divergencias existentes o que supongamos que todos los objetos han sido igualados a su promedio.

Lo que hay que entender que quiere decir el ganadero, si desea ser preciso, al afirmar que el precio medio de sus ovejas es de 50 chelines, es que, en lo que respecta a ese rebaño (y en lo que respecta a él mismo), da exactamente lo mismo que cada una se venda a precios diferentes, o que todas se vendan al precio «promedio».

En consecuencia, cuando compara las ventas de un año con las de otro; cuando dice que el año pasado las ovejas promediaron 48 chelines frente a los 50 de este; el empleo de este valor representativo o promedio constituye una gran simplificación y es perfectamente exacto para el propósito en cuestión.

§ 3. (2) Consideremos ahora este caso. Se descubre que cierta población se ha duplicado en 100 años: ¿podemos hablar aquí de un aumento «medio» anual del 1 por ciento.[ TN: space] Las circunstancias no son exactamente las mismas que en el caso anterior, pero la analogía es lo suficientemente cercana para nuestros fines. La respuesta es, rotundamente, No. Si se venden 100 artículos de cualquier clase por 100 libras, decimos que el precio medio es de 1 libra. Con esto queremos decir que el importe total es el mismo tanto si se vende todo el lote por 100 libras como si dividimos el lote en unidades y vendemos cada una de ellas por 1 libra. El precio medio es aquí un sustituto ficticio conveniente, que puede aplicarse a cada individuo sin alterar el total global. Si, por lo tanto, la pregunta es: ¿Un supuesto aumento del 1 p. c.[ TN: space] en cada uno de los 100 años equivaldrá a un aumento total que duplique la cantidad original?[** TN: space] estamos planteando una cuestión estrechamente

análoga. Y la respuesta, como acabamos de señalar, debe ser negativa. Un aumento anual del 1 p. c.[ TN: space] continuado durante 100 años duplicará con creces el total; lo multiplicará por aproximadamente 2,7. El incremento anual real requerido viene dado por ¹⁰⁰√2; es decir, puede decirse que la población ha aumentado «por término medio» un 0,7 p. c.[ TN: space] anual.

Se nos remite así al segundo tipo de promedio tratado en los libros de texto ordinarios de álgebra, a saber:[** TN: space] el geométrico. Cuando solo intervienen dos cantidades, con un único valor intermedio entre ellas, la media geométrica que constituye este último se describe mejor como la media proporcional entre las dos primeras. Así, puesto que 3 : √15 :: √15 : 5, √15 es la media geométrica entre 3 y 5. Cuando se debe interponer un número de medias geométricas entre dos cantidades, estas han de elegirse de modo que cada término de toda la sucesión guarde la misma razón constante con su predecesor. Así, en el ejemplo del párrafo anterior, hubo de interponerse 99 pasos intermedios entre 1 y 2, con la condición de que las 100 razones así producidas fuesen todas iguales.

Parece ser, por lo tanto, que siempre que se trate de resultados cuantitativos precisos, la selección del tipo adecuado de promedio debe depender de la respuesta a la siguiente pregunta: ¿Qué valor intermedio en particular puede sustituirse de forma segura por la variedad real de valores, en lo que concierne al objetivo preciso que se persigue?

Este es un aspecto del tema que deberá considerarse con mayor detención en el capítulo siguiente. Pero puede establecerse con seguridad que, para fines de comparación general, cuando no se requieren relaciones numéricas precisas, casi cualquier tipo de valor intermedio servirá para nuestro propósito, siempre que nos mantengamos fieles al mismo de principio a fin.

Así, si queremos comparar la estatura de los habitantes de diferentes condados o distritos de Inglaterra, o la de los ingleses en general con la de los franceses, o averiguar si la estatura de alguna clase o distrito en particular está aumentando o disminuyendo, en realidad no parece importar qué clase de promedio seleccionemos, siempre y cuando, por supuesto, nos mantengamos fieles al mismo durante todas nuestras investigaciones.

Una gran parte del trabajo realizado mediante promedios es de esta índole meramente comparativa o no cuantitativa; o, en todo caso, no se requiere realmente nada más que esto. Siendo así, es natural que recurramos al promedio aritmético; en parte porque, al llevar mucho tiempo en uso, es universalmente entendido y tomado como referencia, y en parte porque resulta ser extraordinariamente sencillo y fácil de calcular.

§ 4. La media aritmética es, para la mayoría de los fines ordinarios, la más simple y la mejor. En efecto, cuando tratamos con un número pequeño de magnitudes seleccionadas de forma un tanto artificial, es la única media que a nadie se le ocurriría emplear. No aplicaríamos, por ejemplo, ningún otro método a los resultados de unas pocas docenas de mediciones de longitudes o estimaciones de precios.

Cuando, sin embargo, pasamos a considerar los resultados de un número muy grande de mediciones del tipo que puede agrupar en algún tipo de «curva de probabilidad», empezamos a descubrir que se nos presenta más de una alternativa. Comencemos por recurrir a la conocida curva representada en la p. 29; o, mucho mejor aún, a la forma inicial de la misma representada en el capítulo siguiente (p. 476). Vemos que hay tres maneras diferentes en que podemos describir el vértice de la curva. Podemos llamarlo la posición de la ordenada máxima; o la del centro de la curva; o (como se verá más adelante) el punto al que nos dirige el promedio aritmético de todos los diferentes valores de la magnitud variable. Estas tres son formas distintas de describir una posición;

pero cuando tratamos con una curva simétrica que se asemeja en algo a la forma binomial o exponencial, las tres coinciden en dar el mismo resultado: como obviamente lo hacen en el caso en cuestión.

Tan pronto, sin embargo, como pasamos a considerar el caso de las curvas asimétricas, o desequilibradas, las indicaciones proporcionadas por estos tres métodos serán por regla general bastante distintas; y, por consiguiente, los dos primeros merecen una breve mención por representar tipos de medias diferentes de la aritmética u ordinaria. Veremos que hay algo en cada uno de ellos que lo recomienda al sentido común por ser de algún modo natural y apropiado.

§ 5. (3) El primero de estos selecciona de entre las diversas magnitudes aquella en particular que se representa con mayor frecuencia. No ha adquirido ninguna designación técnica,[1] salvo en la medida en que se le denomina, por su representación gráfica, el método de la «ordenada máxima». Pero sospecho que recurrir a una media o norma semejante está lejos de ser infrecuente y que, si pudiéramos clarificar las concepciones latentes en los juicios de las personas comparativamente poco cultas, hallaríamos que existen varias clases de casos en los que esta media se empleaba de forma natural. Supongamos, por ejemplo, que hubiera una piscifactoría en la que los peces variaran muchísimo de tamaño pero en la que el tamaño más común estuviera cerca del mayor o del menor. Si los hombres tuvieran la costumbre de vender sus pescados por peso, es probable que al poco tiempo empezaran a adquirir cierta noción de lo que se entiende por media aritmética o promedio, y percibirían que esta era la prueba más apropiada. Pero si los peces se clasificaran por tamaños y se vendieran por unidades en cada uno de estos tamaños, sospecho que este recurso a una ordenada máxima empezaría a ocupar el lugar del otro. Es decir, la clase más numerosa llegaría a seleccionarse como una suerte de tipo con el que comparar la misma piscifactoría en distintos momentos, o bien una piscifactoría con otras. Hay también, como veremos en el siguiente capítulo, cierto fundamento científico para preferir este tipo de media en casos peculiares; a saber,[** TN: space] cuando las cantidades con las que tratamos son «errores» verdaderos en la estimación de alguna magnitud, y donde además importa mucho más acertar exactamente, o con mucha aproximación, que tener simplemente un promedio bajo de error.

§ 6. (4) La clase restante de media es la que ahora empieza a llamarse «mediana». Es un concepto con el que los escritos de Mr. Galton han contribuido enormemente a familiarizar a los estadísticos, y se describe mejor de la siguiente manera.

Imagínese que todos los objetos en cuestión están formados en orden de magnitud; o, lo que viene a ser lo mismo, imagínese que están clasificados en un cierto número de clases igualmente numerosas; entonces, el del medio de la hilera, o el del medio en la clase central, será la mediana. No creo que este tipo de media sea en absoluto reconocido de manera general en la actualidad, pero si el sistema de medición natural de Mr. Galton mediante lo que denomina «percentiles» llegara a adoptarse de forma general, dicha prueba se convertiría en un elemento importante.

Este tipo de media presenta algunas ventajas notables. Por un lado, en la mayoría de las investigaciones estadísticas, es la más sencilla de calcular; y, además, el proceso para determinarla sirve también para asignar otro elemento importante que se señalará a continuación, a saber,[** TN: space] el «error probable».

Por otra parte, como señala Fechner, mientras que en la media aritmética unos cuantos valores excepcionales y extremos causan a menudo perplejidad por su preponderancia comparativa, en el caso de la mediana (donde solo se toma en cuenta su número y no su magnitud extrema) se reduce la importancia de dicha perturbación.

§ 7. Una simple ilustración servirá para indicar cómo estas tres clases de media se funden en una sola cuando tratamos con Leyes de Error simétricas, pero se vuelven bien distintas tan pronto como pasamos a considerar aquellas que no lo son.

Supóngase que, al medir una magnitud a lo largo de OBDC, donde los límites extremos son OB y OC, la ley de error está representada por el triángulo BAC: la longitud OD será a la vez la media aritmética, la mediana y la longitud más frecuente, cuya frecuencia está representada por la ordenada máxima AD.

Pero supóngase ahora, por otra parte, que las longitudes extremas son OD y OC, y que el triángulo ADC representa la ley de error. La longitud más frecuente será la misma que antes, OD, marcada por la ordenada máxima AD. Pero el valor medio será ahora OX, donde DX = ¹/₃DC; y la mediana será OY, donde DY = (1 − ¹/_√2)DC.

Otro ejemplo, tomado de los fenómenos naturales, puede encontrarse en las alturas del barómetro tomadas a la misma hora en días sucesivos. En la medida en que 4857 de estas puedan considerarse como proveedoras de una base de experiencia suficientemente estable, ciertamente parece que la curva de frecuencia resultante es asimétrica. La altura media aquí encontrada fue de 29,98: la mediana fue 30,01: la altura más frecuente fue 30,05. La estrecha aproximación entre estas es una indicación de que la asimetría es leve.[2]

§ 8. Debe entenderse claramente que el promedio, de cualquier clase que sea, por el mero hecho de ser un único sustituto de una pluralidad real de valores observados, debe dejar escapar una cantidad considerable de información. De hecho, solo se introduce por economía. Puede no entrañar ninguna pérdida cuando se utiliza para algún fin determinado, como en nuestro ejemplo sobre las ovejas; pero para fines en general no puede reemplazar de ningún modo a la diversidad original, ofreciendo toda la información que esta contenía. Si todo esto ha de conservarse, debemos recurrir a algún otro método. En la práctica, por lo general hacemos una de estas dos cosas: o (1) ponemos todas las cifras en tablas estadísticas, o (2) recurrimos a un diagrama. Este último plan resulta conveniente cuando los datos son muy numerosos, o cuando deseamos mostrar o descubrir la naturaleza de la ley de probabilidad bajo la cual se distribuyen.

La mera asignación de un promedio deja caer casi todo esto, confinándose a la indicación de un valor intermedio. Da un «punto medio» de algún tipo, pero no dice absolutamente nada sobre cómo se agruparon las magnitudes originales en torno a este punto. Por ejemplo, ya sea que dos magnitudes hayan sido respectivamente 25 y 27, o 15 y 37, arrojarían el mismo promedio aritmético de 26.

§ 9. Interrumpir el proceso en esta fase equivaldría claramente a dejar el problema en un estado muy imperfecto. Buscamos por tanto, de manera natural, alguna prueba sencilla que indique cuán estrechamente se agruparon los distintos resultados en torno a su promedio, de modo que se recupere una parte de la información que se había dejado escapar.

Si alguien se acercara a este problema de manera totalmente nueva, —es decir, si no tuviera conocimiento de las exigencias matemáticas que acompañan a la teoría de los «Mínimos Cuadrados»,— supongo que no habría más que un modo de emprender la tarea. Diría: el promedio que ya hemos obtenido nos dio una indicación aproximada, al asignar un punto intermedio entre las magnitudes originales. Si queremos complementar esto con una indicación aproximada de cuán juntas se encuentran estas magnitudes, la mejor manera será tratar sus desviaciones respecto a la media (lo que técnicamente se denomina los «errores») de precisamente la misma manera, es decir,[ TN: space] asignando su promedio. Supongamos que hay 13 hombres cuyas estaturas varían en diferencias iguales desde 5 pies hasta 6 pies; diríamos que su estatura promedio era de 66 pulgadas, y su desviación promedio respecto a esta media era de 3³/₁₃ pulgadas.

Mirado desde este punto de vista, deberíamos proceder entonces a comprobar cómo respondería al propósito cada uno de los promedios mencionados anteriormente. Dos de ellos —a saber,[** TN: space] la media aritmética y la mediana— responderán a la perfección y, como veremos inmediatamente, se emplean con frecuencia para tal fin. Del mismo modo podríamos, si quisiéramos, emplear la media

geométrica, aunque tal empleo resultaría tedioso debido a la dificultad del cálculo. La «ordenada máxima» claramente no serviría, ya que por lo general (véase[** TN: space] el diagrama de la p. 443) nos remitiría de nuevo al promedio ya obtenido y, por consiguiente, no aportaría ninguna información.

El único punto aquí acerca del cual podría surgir alguna duda concierne a lo que en álgebra se denomina el signo de los errores.

Dos errores iguales y opuestos, sumados algebraicamente, se anularían mutuamente. Pero cuando, como aquí, consideramos los errores como cantidades sustantivas, que deben tenerse en cuenta por derecho propio, atendemos únicamente a su magnitud real, y entonces estos errores iguales y opuestos deben ser puestos exactamente en el mismo plano.

§ 10. De los diversos medios ya analizados, dos, como acaba de señalarse, son de uso común. Uno de ellos se conoce familiarmente, en los cálculos astronómicos y de otro tipo, como el «Error Medio», y es de un modo tan absoluto una aplicación del mismo principio de la media aritmética a los errores que ya se ha aplicado a las magnitudes originales, que no necesita mayor explicación. Así, en el ejemplo de la sección anterior, la media de las alturas era de 66 pulgadas, y la media de los errores era de 3³/₁₃ pulgadas.

El otro es la Mediana, aunque aquí se le conoce siempre con otro nombre, es decir, como el «Error Probable»;—un término técnico y sumamente engañoso. Se define brevemente como aquel error que es tan probable que excedamos como que no alcancemos: dicho de otro modo, si hubiéramos de ordenar todos los errores según su magnitud, se corresponde con aquel de entre ellos que simplemente biseca la hilera. Es por tanto el error «mediana»; o bien, si ordenamos todas las magnitudes en orden sucesivo, y las dividimos en cuatro clases igualmente numerosas ,—lo que el Sr. Galton llama «cuartiles»,—la primera y la tercera de las divisiones resultantes marcarán los límites del

«error probable» a cada lado, mientras que la del medio marcará la «mediana». Esta mediana, como se observó, coincide, en las curvas simétricas, con la media aritmética.

Lo mejor es atenerse a la nomenclatura aceptada, pero el lector debe comprender que tal error no es, en un sentido estricto, «probable». Es, en verdad, altamente improbable que en un caso particular nos topemos precisamente con este error: de hecho, si decidiéramos ser precisos y considerarlo como una magnitud exacta entre un número infinito, sería infinitamente improbable que diéramos con él.

Tampoco puede decirse que sea probable que estemos dentro de este límite de la verdad, pues, por definición, tenemos tantas probabilidades de excederlo como de quedarnos cortos.

Como ya se ha señalado (véase la nota de la pág. 441), la «ordenada máxima» tendría el mejor derecho a ser considerada como indicativa del valor verdaderamente más probable.

§ 11. (5) El error cuadrático medio.

Como se sugirió anteriormente, el plan que adoptaría naturalmente cualquiera que no tuviera relación con las matemáticas superiores del tema sería tomar el «error medio» con el propósito de la indicación prevista. Pero en la práctica se suele adoptar un tipo de promedio muy diferente para que sirva como prueba de la magnitud de la divergencia o dispersión.

Supongamos que tenemos las magnitudes x₁, x₂, … x_n; su promedio ordinario es ¹/_n(x₁ + x₂ + … + x_n), y sus «errores» son las diferencias entre este y x₁, x₂, … x_n. Llamemos a estos errores e₁, e₂, … e_n; entonces la media aritmética de estos errores (presindiendo del signo) es ¹/_n(e₁ + e₂ + … + e_n).

El error cuadrático medio,[3] por otra parte, es la raíz cuadrada de ¹/_n(e₁² + e₂² + … + e_n²).

Las razones para emplear este último tipo de promedio con preferencia a cualquier otro se indicarán en el capítulo siguiente. Por el momento nos ocupa únicamente la naturaleza lógica general de un promedio, y por tanto es suficiente señalar que cualquier valor intermedio de este tipo servirá al propósito de dar una indicación aproximada y resumida del grado de cercanía de aproximación que nuestras diversas medidas muestran entre sí y respecto a su promedio común.

Si hubiéramos de hablar respectivamente del «primer» y del «segundo promedio», podríamos decir que el primero de ellos asigna un sustituto único aproximado para la pluralidad de valores originales, mientras que el segundo ofrece una estimación aproximada similar del grado de su alejamiento respecto al primero.

§ 12. Hasta ahora solo hemos considerado la naturaleza general de un promedio y las principales clases de promedios empleados en la práctica. Debemos investigar ahora con mayor detalle cuáles son los propósitos principales para los que se emplean los promedios.

En este sentido, lo primero que tenemos que hacer es suscitar dudas en la mente del lector sobre un asunto respecto al cual quizá hasta ahora no haya sentido la más mínima duda. Todo el mundo está más o menos familiarizado con la práctica de recurrir a una media con el fin de garantizar la precisión.

Pero lo que empezamos haciendo en realidad es sacrificar la precisión; pues, en lugar de la pluralidad de resultados reales, obtenemos un único resultado que muy posiblemente no coincida con ninguno de ellos.

• Si encuentro que la temperatura en distintas partes de una habitación es diferente, pero digo que la temperatura media es de 61°, tal vez haya pocas zonas de la habitación en las que se dé exactamente esta temperatura.
• Y si digo que la estatura media de un cierto grupo pequeño de hombres es de 68 pulgadas, es probable que ninguno de ellos presente precisamente esta altura.

El modo principal en que la exactitud puede así garantizarse se da cuando lo que realmente perseguimos no son las magnitudes que tenemos ante nosotros, sino alguna otra cosa de la cual aquellas son un indicio.

Si ellas mismas son «inexactas» —veremos más adelante que esto requiere cierta explicación—, entonces el promedio único, que en sí mismo quizás no coincide con ninguna de ellas, puede aproximarse mucho más a aquello que en realidad necesitamos.

Nos resultará conveniente subdividir esta perspectiva del tema en dos partes: considerando primero aquellos casos en los que las consideraciones cuantitativas intervienen de manera muy ligera y en los que no se exige ninguna determinación de la Ley de Error particular implicada, y en segundo lugar aquellos en los que dicha determinación resulta inevitable. Estos últimos solo se mencionan de pasada aquí, ya que se reserva un capítulo separado para su estudio más detallado.

§ 13. El proceso, en cuanto práctico, es bastante familiar para casi cualquiera que tenga que trabajar con medidas de cualquier tipo. Supongamos, por ejemplo, que estoy midiendo un objeto cualquiera con una varilla de latón que, como sabemos, se dilata y se contrae según la temperatura. Los resultados variarán levemente, siendo a veces un poco mayores y a veces un poco menores. Todas estas variaciones son hechos físicos y, si lo que nos interesara fueran las propiedades del latón, serían el único hecho importante para nosotros. Pero cuando nos interesa la longitud del objeto medido, estos hechos se vuelven superfluos y engañosos. Lo que queremos hacer es escapar de su influencia, y esto podemos lograrlo tomando su promedio (aritmético), siempre y cuando sean tan a menudo por exceso como por defecto.[4]

Para este propósito, todo lo que se requiere es que los excesos y defectos iguales tengan la misma frecuencia. No es necesario conocer cuál es la ley de variación, ni siquiera estar seguro de que sea de un tipo particular. Siempre y cuando sea, en el lenguaje del diagrama de la p. 29, simétrica, el promedio aritmético de un número adecuado y adecuadamente variado de mediciones estará libre de esta fuente de perturbación. Y lo que es válido para esta causa de variación lo será para todas las demás que obedezcan a las mismas condiciones generales. De hecho, la frecuencia igual de errores iguales y opuestos parece ser la única y suficiente justificación del conocido procedimiento de tomar el promedio para garantizar la exactitud.

§ 14. Debemos hacer ahora la distinción a cuya atención con tanta frecuencia es necesario recurrir en estas materias entre los casos en los que respectivamente hay, y no hay, alguna magnitud objetiva a la que se apunta: una distinción que el uso común de la misma palabra «errores» es tan proclive a oscurecer. Cuando hablábamos, en el caso de la varilla de latón, de que los excesos y los defectos eran iguales, queríamos decir exactamente lo que dijimos, a saber,[ TN: space] que por cada caso en el que la longitud «verdadera» (es decir,[ TN: space] la determinada por el patrón autorizado) es excedida en una fracción dada de pulgada, habrá un caso correspondiente en el que se dé un defecto igual.

Por otra parte, cuando no existe tal norma de referencia objetiva y fija, parecería que todo lo que entendemos por excesos y defectos iguales es una simetría permanente de disposición. En el caso de la vara de medir pudimos

partir de algo que existía, por decirlo así, antes de sus variaciones; pero en muchos casos cualquier punto de partida que podamos encontrar está determinado únicamente por el promedio.

Supongamos, por ejemplo, que tomamos un gran número de observaciones de la altura del barómetro en un determinado lugar, en todo tiempo y estación y con cualquier clima, generalmente consideraríamos que el promedio de todas ellas muestra la altura «verdadera» para ese lugar. Lo que realmente queremos decir es que la altura en un momento dado está determinada en parte (y principalmente) por la altura de la columna de aire situada encima, pero en parte también por una serie de otros factores como la temperatura local, la humedad, el viento, etc. Estos son a veces más y a veces menos eficaces, pero como su rango es razonablemente constante, y su distribución a lo largo de este rango es razonablemente simétrica, el promedio de un gran lote de observaciones será casi exactamente el mismo que el de cualquier otro. Esta constancia del promedio es su verdad. Soy muy consciente de que nos resulta difícil no suponer que debe haber algo más que esta constancia, pero es probable que tendamos a dejarnos engañar por la analogía de la otra clase de casos, a saber, aquellos en los que realmente estamos apuntando a algún tipo de blanco.

§ 15. Por lo que se refiere a los métodos prácticos disponibles para determinar las diversas clases de promedios, hay muy poco que decir; puesto que las reglas aritméticas son sencillas y precisas, y no entrañan más que la inevitable pesadez inherente a trabajar con largas hileras de cifras. Quizá la aportación más importante a esta parte del tema sea la sugerencia del Sr. Galton de sustituir la media por la mediana, y obtener así el promedio con suficiente exactitud mediante el mero acto de agrupar un número de objetos. Así, ha ofrecido una ingeniosa sugerencia para obtener la altura media de un grupo de hombres sin la molestia y el riesgo de medirlos a todos. «A menudo se podría inducir a un jefe bárbaro a formar a sus hombres en el orden de sus estaturas, o en el de la estimación popular de su destreza en cualquier cometido; pero se requeriría cierto aparato y muchísimo tiempo para medir a cada hombre por separado, aun suponiendo que fuera posible vencer la por lo general fuerte repugnancia de los pueblos incivilizados hacia cualquier procedimiento de este tipo» (Phil.[ TN: space] Mag.[** TN: space] Jan. 1875). Es decir, sabiéndose por amplia experiencia que las estaturas de cualquier conjunto razonablemente homogéneo de hombres tienden a agruperse simétricamente (la condición para la coincidencia de las tres clases principales de media), el hombre central de una fila así dispuesta en orden representará al hombre medio o promedio, y a él podremos someterlo a medición. Además, dado que las estaturas intermedias están mucho más densamente representadas que las extremas, un error moderado en la selección del hombre central de una fila larga solo acarreará un error muy pequeño en la selección de la estatura correspondiente.

§ 16. Podemos ahora volver convenientemente sobre un tema que ya ha sido mencionado en un capítulo anterior, a saber,[** TN: espacio] el intento que a veces se hace de establecer una distinción entre un promedio y una media. Se ha propuesto limitar el primer término a los casos en los que tratamos con un resultado ficticio de nuestra propia construcción, es decir, con una mera deducción aritmética a partir de las magnitudes observadas, y aplicar el segundo a los casos en los que se supone que existe alguna magnitud objetiva singularmente representativa del promedio.

Recurrígase a las tres clases principales de cosas apropiadas para la Probabilidad, que fueron esbozadas en el cap. II.[ TN: space] § 4. La primera de estas comprendía los resultados de los juegos de azar. Tírese un dado diez veces: el número total de puntos en la cara superior puede variar desde diez hasta sesenta. Supóngase que sea treinta. Decimos entonces que el promedio de este lote de diez es tres. Tómese otro conjunto de diez tiradas, y podemos obtener otro promedio, digamos cuatro. Es evidente que no hay nada objetivo que corresponda de manera peculiar en modo alguno a estos promedios. Sin duda, si continuamos el tiempo suficiente, encontraremos que los promedios tienden a centrarse en torno a 3.5: llamamos entonces a esto el promedio, o el número «probable» de puntos; y este promedio último podría haber sido afirmado con bastante constancia de antemano a partir de nuestro conocimiento de la constitución de un dado. No tiene, sin embargo, ninguna otra verdad o realidad en torno a él de la naturaleza de un tipo: es simplemente el límite hacia el cual tienden los promedios.

La clase siguiente es la ocupada por los miembros de la mayoría de los grupos naturales de objetos, especialmente en lo que respecta a las características de las especies naturales. Aquí pueden repetirse observaciones algo similares. Con mucha frecuencia hay un «límite» hacia el cual los promedios de números crecientes de individuos tienden a acercarse; y ciertamente existe cierta tentación de considerar este límite como una especie de tipo al que todos habían tenido la intención de parecerse lo más posible.

Pero cuando mirábamos más de cerca, descubríamos que este punto de vista difícilmente podía justificarse; todo lo que se podía afirmar con seguridad era que este tipo representaba, por el momento, los especímenes más numerosos, o aquellos que bajo las condiciones existentes podían producirse con mayor facilidad.

La clase restante se basa en un fundamento algo diferente. Cuando hacemos una sucesión de intentos más o menos exitosos de cualquier tipo, obtenemos una serie correspondiente de desviaciones respecto al blanco que apuntábamos. Podemos tratar estas desviaciones aritméticamente y obtener sus promedios, al igual que en los casos anteriores. Estos promedios son ficciones, es decir, son deducciones artificiales nuestras que no necesitan necesariamente tener nada objetivo que les corresponda.

De hecho, si son promedios de unos pocos casos solamente, lo más probable es que no tengan nada que les corresponda de este modo. Cualquier cosa que responda a un tipo solo puede buscarse en el «límite» hacia el cual tienden en última instancia, pues este límite coincide con el punto fijo u objeto al que se apuntaba.

§ 17. Aun admitiendo el gran valor e interés del trabajo de Quetelet en esta dirección —fue sin duda el primero en llamar la atención del público sobre el hecho de que tantas clases de objetos naturales muestran la misma propiedad característica—, sin embargo, no parece conveniente intentar marcar dicha distinción mediante un uso especial de estos términos técnicos. Las objeciones son principalmente las dos siguientes.

En primer lugar, una sola antítesis, como esta entre un promedio y una media, parece sugerir un estado de cosas mucho más simple de lo que en realidad existe en la naturaleza. Una referencia a las tres clases de cosas recién mencionadas, y una consideración de la amplia gama y diversidad incluidas en cada una de ellas, nos servirán para recordar no solo el avance muy gradual e imperceptible desde lo que así se considera «ficticio» hasta lo que se reclama como «real»; sino también el hecho importante de que, mientras que el «tipo real» puede ser de un carácter fluctuante y evanescente, la «ficción» puede (como en los juegos de azar) parecer fija para siempre. Siempre que las condiciones de producción permanezcan estables, los promedios de grandes números siempre presentarán en la práctica características generales muy similares. La distinción mucho más importante se encuentra entre el promedio de unos pocos, con sus valores fluctuantes y su consecución muy imperfecta y ocasional de su objetivo final, y el promedio de muchos y su aproximación gradualmente cercana a su valor final: es decir [** TN: space] a su punto objetivo de mira, si es que llega a haber tal cosa.

Luego, a su vez, las consideraciones aducidas en este capítulo mostrarán que dentro del campo del promedio mismo hay mucha más variedad de la que Quetelet parece haber reconocido.

Ciertamente, él no ignoró del todo esta variedad, pero en la práctica se limitó casi por completo a aquellas disposiciones simétricas en las cuales tres de las medias principales se funden en una. Nos costaría trabajo llevar a cabo su distinción en casos menos simples. Por ejemplo, cuando hay cierto grado de asimetría, es la «ordenada máxima» la que tendría que considerarse como una «media» con exclusión de las demás; pues ningún recurso a un promedio aritmético nos guiaría hacia este punto, el cual, sin embargo, debe considerarse, si es que alguno puede serlo, como el que señala la posición del tipo definitivo.

§ 18. Hemos señalado varias veces que es una característica de las cosas de las que se ocupa la Probabilidad presentar, a la larga, una uniformidad que se intensifica continuamente. Y esto se ha descrito con frecuencia como lo que sucede «por término medio».

Ahora bien, es muy posible que se plantee una objeción en contra de considerar que una disposición de las cosas en virtud de la cual el orden surge así del desorden merece alguna atención especial, basándose en que, por la naturaleza de la media aritmética, no podría ser de otro modo. Se podría argumentar que el proceso mediante el cual se obtiene una media asegura esta tendencia a la igualación entre las magnitudes con las que trata.

Por ejemplo, supongamos que hay un grupo de diez hombres, de los cuales cuatro son altos y cuatro son bajos, y tomemos la media de cualquiera de cinco de ellos. Puesto que este número no puede estar compuesto únicamente por hombres altos, ni únicamente por hombres bajos, es lógico que las medias no puedan diferir tanto entre sí como lo hacen las medidas individuales.

¿No es entonces el proceso de igualación, cabría preguntar, que se observa al aumentar el rango de nuestras observaciones, uno del que se puede demostrar que se sigue de las leyes necesarias de la aritmética, y por tanto uno que podría afirmarse a priori?

Cualquier fuerza que pueda tener la objeción anterior proviene principalmente de las limitaciones del ejemplo seleccionado, en el que el número elegido representaba una proporción tan grande del total que excluía la más mínima posibilidad de que solo se contuvieran casos extremos en él.

Como a menudo se confunde aquí lo necesario con lo que es materia de experiencia, será conveniente examinar un ejemplo con algo más de detalle, a fin de determinar exactamente cuáles son las consecuencias verdaderamente necesarias del proceso de promedio.

§ 19. Supongamos entonces que tomamos diez dígitos al azar de una tabla (digamos) de logaritmos. A menos que se dé el caso altamente improbable de que hayamos dado diez veces seguidas con el mismo dígito, el promedio de los diez debe ser intermedio entre los extremos posibles. Toda concepción de un promedio de cualquier tipo no solo implica, sino que en realidad significa, tomar algo intermedio entre los extremos. Por lo tanto, el promedio de los diez debe hallarse más cerca de 4,5 (el promedio de los extremos) de lo que lo estaban algunos de los dígitos individuales.

Ahora supongamos que tomamos 1000 dígitos de estos en lugar de 10. No podemos decir nada más sobre el número mayor, con certeza demostrativa, de lo que podíamos decir antes sobre el menor. Si al principio fuesen desiguales (es decir, si no fuesen todos iguales), entonces el promedio debe ser intermedio, pero más que esto no puede probarse aritméticamente. En comparación con tales consideraciones puramente aritméticas, existe lo que puede llamarse un hecho físico que subyace a nuestra confianza en la creciente estabilidad del promedio del número mayor. Es que los elementos constitutivos de los que se deduce el promedio mostrarán por sí mismos una uniformidad creciente: que las proporciones en las que salen los diferentes dígitos se volverán más y más casi iguales a medida que tomemos mayores cantidades

de ellos. Si las proporciones en las que se distribuyeron los 1000 dígitos fueren las mismas que las de los 10, los promedios serían los mismos. Es obvio, por lo tanto, que el proceso aritmético de obtener un promedio contribuye muy poco a asegurar el sorprendente tipo de uniformidad que encontramos que se presenta en la realidad.

§ 20. Hay otra manera de expresar la misma cosa. A veces se dice que, cualquiera que haya sido la disposición de los elementos originales, el proceso de promediación continua producirá necesariamente la peculiar ley binomial o exponencial de disposición. Esta afirmación es perfectamente verdadera (con ciertas salvedades), pero no se opone en absoluto a lo que se ha dicho más arriba.

Tomemos en consideración el ejemplo al que nos referimos antes. La disposición de los dígitos individuales a la larga es la más simple posible. No estaría representada en un diagrama por una curva, sino por una línea recta finita, ya que cada dígito aparece casi con la misma frecuencia que cualquier otro, y esto agota toda la «disposición» que puede detectarse.

Ahora bien, cuando consideramos los resultados de tomar los promedios de diez de tales dígitos, vemos inmediatamente que hay cabida para una disposición más extensa. Los totales pueden oscilar desde 0 hasta 100, y por lo tanto el promedio tendrá 100 valores desde 0 hasta 9; y lo que encontramos es que la frecuencia de estos números está determinada según la ley binomial[5] o exponencial. El resultado más frecuente es la media verdadera, a saber, 4,5, y a partir de esta disminuyen en ambas direcciones hacia el 0 y el 10, los cuales ocurrirán cada uno solo una vez (en promedio) en 10¹⁰ ocasiones.

La explicación que aquí se ofrece es del mismo tipo que en el caso anterior. La disposición resultante, en lo que respecta a los promedios, solo es «necesaria» en el sentido de que es un resultado necesario de ciertas suposiciones o experiencias físicas. Si todos los dígitos tienden a ocurrir con igual frecuencia, y si son «independientes» (es decir,[ TN: space] si cada uno se asocia indiferentemente con cualquier otro), entonces constituye una consecuencia aritmética que los promedios, cuando se ordenan según su magnitud y frecuencia, mostrarán la Ley de Facilidad antes indicada. La experiencia, en la medida en que se puede apelar a ella, muestra que la verdadera aleatoriedad en la selección de los dígitos —es decir,[ TN: space] su recurrencia igualmente frecuente y la imparcialidad de su combinación— está bastante bien garantizada en la práctica. En consecuencia, la deducción teórica de que, cualquiera que haya sido la Ley de Facilidad original de los resultados individuales, siempre encontraremos que la conocida Ley Exponencial se impone como la ley de los promedios, está bastante justificada por la experiencia en tal caso.

La discusión posterior de ciertas correcciones y precisiones se reserva para el capítulo siguiente.

§ 21. Por lo que respecta a las tres clases de promedio empleadas para evaluar la magnitud de la dispersión —es decir[** TN: space], el error medio, el error probable y el error cuadrático medio—, deben tenerse en cuenta dos consideraciones importantes. Ambas reaparecerán para ser discutidas y justificadas con mayor detalle en el curso del próximo capítulo, cuando abordemos el Método de los Mínimos Cuadrados, pero su importancia para los fines lógicos es tan grande que no deben omitirse por completo en este momento.

(1) En primer lugar, pues, debe señalarse que, para conocer cuál es en cualquier caso el valor real de un error, deberíamos, en estricto rigor, conocer cuál es la posición del límite o promedio último, ya que la magnitud de un error se mide siempre teóricamente a partir de este punto. Pero esta es una información de la que no siempre disponemos.

Volviendo una vez más a las tres clases principales de acontecimientos que nos ocupan, podemos ver fácilmente que, en el caso de los juegos de azar, en su mayoría sí poseemos este conocimiento. En lugar de recurrir a la experiencia para determinar el límite, lo deducimos en la práctica mediante consideraciones mecánicas o aritméticas simples, y entonces el «error» en cualquier caso individual o grupo de casos se halla obviamente comparando los resultados así obtenidos con aquel que la teoría nos indica que se obtendría en última instancia a la larga.

En el caso de los esfuerzos deliberados hacia un blanco (la tercera clase), podemos conocer o no con precisión el valor o la posición de dicho blanco. En las observaciones astronómicas no lo conocemos, y el método de los mínimos cuadrados es un método para ayudarnos a determinarlo lo mejor posible; en resultados experimentales tales como disparar a una diana sí lo conocemos, y podemos así comprobar la naturaleza y la magnitud de nuestro fallo mediante la experiencia directa.

En el caso restante, a saber, el de lo que hemos denominado clases naturales o grupos de cosas, no solo no conocemos el límite último, sino que su existencia es siempre al menos dudosa y, en muchos casos, puede negarse con confianza. Cuando este existe, es decir, cuando el tipo parece permanentemente fijo para todos los fines prácticos, solo podemos determinarlo mediante un laborioso recurso a la estadística. Una vez hecho esto, podemos comprobar con ella los resultados de observaciones a pequeña escala. Por ejemplo, si encontramos que la proporción última de nacimientos masculinos frente a los femeninos es de aproximadamente 106 a 100, podemos entonces comparar las estadísticas de algún distrito o ciudad en particular y hablar del «error» consiguiente, es decir,[** TN: space] la desviación, en ese distrito particular y especial, respecto al promedio general.

Lo que por lo tanto tenemos que hacer en la gran mayoría de los casos prácticos es tomar el promedio de un número finito de mediciones u observaciones —de todas aquellas, de hecho, de las que disponemos— y tomar este como nuestro punto de partida para medir los errores.

Los errores de hecho no se conocen con certeza, sino que solo se calculan de manera probable. Sin embargo, esto no es tanto un defecto teórico como puede parecer a primera vista; pues dado que rara vez tenemos que emplear estos métodos —con fines de cálculo, es decir, a diferencia de la mera ilustración—, excepto con el propósito de descubrir cuál es el promedio final, sería una especie de petitio principii suponer que ya lo hemos asegurado.

Pero vale la pena considerar si es conveniente emplear un mismo término para los «errores» conocidos como tales, cuya magnitud se puede determinar con certeza, y para los «errores» que solo lo son probablemente y cuya magnitud solo se puede determinar de manera probable. De hecho, se ha propuesto[6] emplear los dos términos «error» y «residual» respectivamente para distinguir entre las magnitudes así determinadas, es decir, entre el error real (generalmente desconocido) y el error observado.

§ 22. (2) El otro punto concierne a la cuestión de hasta qué punto cualquiera de las dos primeras pruebas (págs. 446, 7) sobre la cercanía con que los diversos resultados se han agrupado en torno a su promedio es digna de confianza o completa.

La respuesta es que son necesariamente incompletas. Ninguna estimación o magnitud aislada puede ofrecernos jamás una descripción adecuada de una serie de magnitudes diversas.

El punto es muy importante y, a mi juicio, no se le presta la atención suficiente; la consecuencia de ello, como veremos más adelante, es que se asume con demasiada ligereza que un método que arroja el resultado con el menor «error cuadrático medio» ha de ser necesariamente el mejor resultado para todos los fines. No resulta en absoluto evidente, sin embargo, que una prueba que funciona mejor para un propósito deba hacerlo para todos.

Debe comprenderse claramente que cada una de estas pruebas es un «promedio», y que todo promedio rechaza necesariamente una masa de detalles variados al sustituirla por un único resultado.

Teníamos, digamos, una serie de estaturas: tantas de 60 pulgadas, tantas de 61, etcétera. Las reemplazamos por un «promedio» de 68, y con ello descartamos una gran cantidad de información. Una parte de esta la procuramos recuperar reconsiderando los «errores» o desviaciones de dichas estaturas respecto a su promedio.

Sin embargo, como antes, en vez de dar todos los detalles sustituimos el promedio de los errores. La única diferencia es que, en lugar de tomar el mismo tipo de promedio (es decir[** TN: space] el aritmético), a menudo preferimos adoptar el denominado «error cuadrático medio».

§ 23. Puede plantearse aquí una cuestión que tiene la suficiente importancia como para merecer una breve consideración. Cuando tenemos ante nosotros un conjunto de medidas, ¿por qué se considera generalmente suficiente asignar simplemente: (1) el valor medio; y (2) la desviación media respecto a dicha media? La respuesta viene dada, por supuesto, en parte por el hecho de que se supone que solo necesitamos una aproximación burda; pero hay más que decir al respecto. Una mayor justificación debe buscarse en el hecho de que asumimos que solo necesitamos contemplar la posibilidad de una única Ley de Errores, o en cualquier caso que las desviaciones respecto a la ley familiar no serán más que insignificantes. En otras palabras, si recurrimos a la figura de la p. 29, asumimos que solo hay dos cantidades desconocidas o constantes disponibles por asignar; a saber [** TN: space], primero, la posición del centro y, segundo, el grado de excentricidad, si se puede denominar así, de la curva. La determinación del valor medio asigna directa e inmediatamente lo primero, y la determinación del error medio (de cualquiera de las formas ya mencionadas) asigna indirectamente lo segundo al limitarnos a una sola de las curvas posibles indicadas en la figura.

A excepción de la suposición de una tal Ley de Errores, la determinación del error medio daría solo un ligero indicio del tipo de contorno de nuestra Curva de Facilidad.

Podríamos haber encontrado entonces conveniente adoptar algún plan de aproximación sucesiva, añadiendo un tercer o cuarto «medio». Así como asignamos el valor medio de la magnitud y su desviación media respecto a este valor medio, podríamos tomar este error medio (comoquiera que se determine) como un nuevo punto de partida y asignar la desviación media respecto a él.

Si el punto mereciera mayor discusión, podríamos ilustrar fácilmente por medio de un diagrama el tipo de aproximaciones sucesivas que tales indicaciones proporcionarían en cuanto a la forma última de la Curva de Facilidad o Ley de Errores.

Como este volumen está escrito principalmente para aquellos que se interesan en las cuestiones lógicas implicadas, más que como una introducción a los procesos reales de cálculo, se han evitado en lo posible los detalles matemáticos a lo largo de toda la obra. Por esta razón se han hecho comparativamente pocas referencias a la ecuación exponencial de la Ley de Errores, o a la «integral de probabilidad» correspondiente, cuyas tablas se dan en varios manuales sobre el tema. Hay dos puntos, sin embargo, en relación con estos temas particulares acerca de los cuales muchos estudiantes experimentan —o deberían experimentar— dificultades, de modo que aquí podemos ocuparnos de ellos.

(1) En cuanto a la expresión algebraica ordinaria para la ley de error, a saber,[ TN: space] y = ^h/_√π e^−h2x2, se habrá observado que siempre me he refererido a y como proporcional al número de errores de la magnitud particular x. Apenas sería correcto decir, en absoluto, que y representa ese número, porque, por supuesto, el número real de errores de cualquier magnitud precisa, cuando se asume la continuidad de la posibilidad, debe ser indefinidamente pequeño. Si por lo tanto queremos pasar de lo continuo a lo discreto, determinando el número real de errores entre dos divisiones consecutivas de nuestra escala, cuando, como es habitual en las mediciones, todos los que se encuentran dentro de ciertos límites se refieren a un punto preciso, debemos modificar nuestra fórmula. De acuerdo con la notación diferencial habitual, debemos decir que el número de errores que caen en una subdivisión (dx) de nuestra escala es dx ^h/_√π e^−h2x2, donde dx es una unidad de longitud (pequeña), en la cual deben medirse tanto h⁻¹ como x.

La dificultad que experimentan la mayoría de los estudiantes consiste en aplicar la fórmula a estadísticas reales, en otras palabras, en introducir las unidades correctas. Para tomar un ejemplo numérico real, supóngase que se ha medido a 1460 hombres en cuanto a su estatura «con una precisión de hasta la pulgada más cercana», y supóngase que se sabe que el módulo en este caso es de 3.6 pulgadas.

Entonces dx = 1 (pulgada); h⁻¹ = 3.6 pulgadas. Ahora bien

∑^h/_√πe^−h2x2 dx = 1;

es decir, la suma de todos los valores posibles consecutivos es igual a la unidad. Cuando, por lo tanto, queremos que la suma, como aquí, sea 1460, debemos expresar la fórmula de este modo;—

y = ¹⁴⁶⁰/_{√π × 3.6} e^−(x/_3.6)2, o y = 228e^−(x/_3.6)2.

Aquí x representa el número de pulgadas medido a partir de la altura central o media, e y representa el número de hombres referidos a dicha altura en nuestra tabla estadística. (Los valores de e^−t2 para valores sucesivos de t se dan en los manuales.)

A guisa de ejemplo presento los números calculados mediante esta fórmula para valores de x desde 0 hasta 8 pulgadas, junto con los números reales observados en las mediciones de Cambridge recientemente emprendidas por el Sr. Galton.

Aquí la altura media era de 69 pulgadas: dx, como se ha dicho, = 1 pulgada. Al decir «hagamos x = 0», queremos decir que calculemos el número de hombres a los que les corresponden 69 pulgadas; es decir[ TN: space], los que se sitúan entre 68,5 y 69,5. Al decir «hagamos x = 4», queremos decir que calculemos el número de los que corresponden a 65 o a 73; es decir[ TN: space], los que se encuentran entre 64,5 y 65,5, o entre 72,5 y 73,5. Los resultados observados, como se verá, se mantendrán bastante cerca de los calculados: en el caso de los primeros, se han tomado las medias de divergencias iguales y opuestas respecto a la media, ya que los resultados reales no son siempre los mismos en direcciones opuestas.

(2) El otro punto concierne a la interpretación de la conocida integral de probabilidad, ²/_√π ∫₀^te^−t2 dt. Todo aquel que haya calculado la probabilidad de un suceso con ayuda de las tablas de esta integral que aparecen en tantos manuales, sabe que si asignamos un valor numérico a t, el valor correspondiente de la expresión anterior asigna la probabilidad de que un error tomado al azar se encuentre dentro de ese mismo límite, a saber, t. Así, hagamos t = 1.5, y obtendremos el resultado de 0.96; es decir, solo el 4 por ciento[ TN: space] de los errores superará al «uno y medio». Pero cuando preguntamos: «uno y medio» *¿qué?[ TN: space]* la respuesta no siempre sería muy inmediata. Como de costumbre, la principal dificultad del principiante no es manipular las fórmulas, sino tener plena claridad sobre sus unidades.

Se verá enseguida que este caso difiere del precedente en que ahora no podemos elegir nuestra unidad a nuestro antojo. Cuando, como aquí, solo hay una variable (t), si se nos permitiera seleccionar nuestra propia unidad, ya sea la pulgada, el pie o cualquier otra, podríamos obtener resultados bastante diferentes.

En consecuencia, debe de haberse elegido para nosotros alguna unidad comparativamente natural en la que estamos obligados a contar, al igual que en la medida circular de un ángulo en contraposición a la medida por grados.

La respuesta es que la unidad aquí es el módulo, y que poner «t = 1.5» equivale a decir: «supóngase que el error es una vez y media mayor que el módulo»; siendo el módulo en sí mismo un error de cierta magnitud asignable que depende de la naturaleza de las mediciones u observaciones en cuestión. Veremos esto mejor si expresamos la integral en la forma ²/_√π ∫₀^hxe^−h2x2 d(hx); lo cual es exactamente equivalente, ya que el valor de una integral definida es independiente de la variable particular empleada. Aquí hx es lo mismo que x : ¹/_h; es decir,[ TN: space] es la razón entre x y ¹/_h, o x medido en función de ¹/_h. Pero ¹/_h es el módulo en la ecuación (y = ^h/_√πe^−h2x2) correspondiente a la ley de los errores. En otras palabras, el valor numérico de un error en esta fórmula es el número de veces, entero o fraccionario, que contiene al módulo.

1 This kind of mean is called by Fechner and others the “dichteste Werth.” The most appropriate appeal to it that I have seen is by Prof.[ TN: space] Lexis (Massenerscheinungen, p. 42) where he shows that it indicates clearly a sort of normal length of human life, of about 70 years; a result which is almost entirely masked when we appeal to the arithmetical average.

Este significado debería llamarse el valor «probable» (un nombre que, sin embargo, ya está ocupado por otro) con el argumento de que indica el punto de ocurrencia más probable; es decir, si comparamos todas las unidades de variación infinitamente pequeñas e iguales, la que corresponda a este tenderá a estar representada con más frecuencia.

2

En Nature (1 de septiembre de 1887) se publicó un diagrama ilustrativo de esta cantidad de resultados. Al calcular, como se ha indicado, las distintas medias, puedo señalar que los resultados originales se daban con tres decimales; sin embargo, al clasificarlos, solo se anotó uno. Es decir, 29,9 incluye todos los valores comprendidos entre 29,900 y 29,999. Por lo tanto, el valor que con más frecuencia apareció en mis tablas fue 30,0, pero según los principios habituales de interpolación este se calcula como 30,05.

3

Existe cierta ambigüedad en la fraseología que se emplea aquí. Así, Airy suele utilizar la expresión «Error cuadrático medio» (Error of Mean Square) para representar, como aquí, √ ^∑e2/_n. Galloway suele hablar de la «Media cuadrática de los errores» (Mean Square of the Errors) para representar ^∑e2/_n. Yo me adheriré al primer uso y lo representaré brevemente como E.C.M. Aún más desafortunado (según mi modo de ver) es el empleo, por parte del Sr. Merriman y otros, de la expresión «Error medio» (Mean Error, ampliamente en uso en su significado más natural), como equivalente de este E.C.M.

El término técnico «Fluctuación» es aplicado por el Sr. F. Y. Edgeworth a la expresión ^2∑e2/_n.

4

En la práctica, por supuesto, deberíamos tener en cuenta la expansión o la contracción. Pero a efectos de explicación lógica podemos tomar convenientemente esta variación como muestra de una de aquellas perturbaciones que pueden neutralizarse recurriendo a un promedio.

5

Más estrictamente multinomial: la frecuencia relativa de los diferentes números está indicada por los coeficientes de las potencias de x en el desarrollo de

6

Por el Sr. Merriman, en su obra sobre Mínimos Cuadrados.

# CAPÍTULO XIX.