§ 1. En los tratados de Lógica se suele dedicar un capítulo al examen de las falacias, es decir, a la descripción y clasificación de las diversas maneras en que se pueden infringir las reglas de la Lógica.
La analogía entre la Probabilidad y la Lógica es lo bastante estrecha como para hacer conveniente la adopción del mismo plan aquí. Al exponer sus propias opiniones, un autor se ve, por supuesto, perpetuamente obligado a describir y criticar las de otros que considera erróneas. Pero algunos de los errores más generalizados no encuentran defensores dignos de mención y solo existen en vagas malinterpretaciones populares.
Por consiguiente, se considerará que la mejor disposición, a riesgo de incurrir en alguna repetición ocasional, es reunir unos cuantos de los errores que ocurren con mayor frecuencia y, en la medida de lo posible, rastrear sus orígenes; mas apenas merecerá la pena intentar un sistema regular de ordenación y clasificación.
Nos limitaremos principalmente, de acuerdo con la esfera especial de esta obra, a problemas que entrañan cuestiones de interés lógico, o a aquellos que se refieren a la aplicación de la Probabilidad a la ciencia moral y social. Evitaremos la discusión de problemas aislados sobre juegos de azar y destreza, salvo cuando en ellos parezca estar implicado algún error de principio.
§ 2. (I.) Una de las fuentes más fecundas de error y confusión sobre el tema ya ha sido mencionada varias veces, y en parte analizada en un capítulo anterior.
Esta consiste en elegir la clase a la cual referir un acontecimiento —y juzgar por tanto la rareza del acontecimiento y la improbabilidad consiguiente de predecirlo— después de que ha sucedido, para luego trasladar las impresiones que experimentamos a una supuesta contemplación del acontecimiento de antemano.
El proceso en sí es perfectamente legítimo (por innecesario que sea), ya que el tiempo en rigor no interviene en absoluto en las cuestiones de Probabilidad. No tiene por qué surgir, por tanto, ningún error de este modo, si fuéramos cuidadosos con respecto a la clase que así seleccionamos; pero semejante cuidado a menudo se descuida.
Una ilustración puede ser de ayuda aquí. Un hombre señaló una vez un pequeño blanco dibujado con tiza en una puerta, el cual tenía un agujero de bala en el centro, y sorprendió a algunos espectadores al declarar que había disparado ese tiro con una vieja escopeta de caza a una distancia de cien yardas. Su afirmación era bastante verdadera, pero omitía un hecho bastante importante. El tiro había sido dirigido en realidad de manera general hacia la puerta del granero, y le había dado; el blanco se dibujó después con tiza alrededor del lugar donde impactó la bala.
Una superchería análoga a esta se practica a menudo, creo yo, de forma inconsciente en otros asuntos. Juzgamos los acontecimientos según un principio similar, sintiendo y expresando sorpresa de una manera igualmente irracional, y decidiendo sobre su ocurrencia basándonos en motivos que son en realidad meramente un añadido posterior propio. Las observaciones de Butler sobre «la historia de César», analizadas ya en el duodécimo capítulo, son de este carácter. Selecciona una serie de acontecimientos de la historia y luego imagina a alguien adivinándolos correctamente sin tener la historia ante sí en ese momento.
Como ya he señalado, una cosa es que sea poco probable adivinar un acontecimiento correctamente sin pruebas específicas, y otra muy distinta apreciar la verdad de un relato que se fundamenta parcial o totalmente en pruebas. Pero es un gran error trasladar a una de estas formas de ver el asunto las impresiones mentales que corresponden propiamente a la otra. Es como dibujar el blanco después y luego sorprenderse al descubrir que el disparo se encuentra en el centro de este.
§ 3. Un aspecto de esta falacia ya ha sido discutido, pero servirá para aclarar las dificultades que a menudo se experimentan sobre el tema si reexaminamos la cuestión bajo una forma algo más general.
En la clase de ejemplos bajo discusión se nos presenta generalmente un individuo al que de hecho no se le asigna definitivamente una clase, pero respecto del cual no tenemos gran dificultad para elegir la clase apropiada.
Ahora supongamos que estuviéramos contemplando un evento tal como sacar seises con un par de dados cuatro veces seguidas. Tal tirada sería calificada como un evento muy improbable, ya que las probabilidades en contra de que suceda serían de a , o de a .
El significado de estas expresiones, como se ha señalado abundantemente, es simplemente que el evento en cuestión ocurre muy raras veces; que, expresado con precisión numérica, ocurre una vez cada veces.
§ 4. Pero hagamos ahora la suposición de que el lanzamiento ha tenido lugar efectivamente; pongámonos en la situación de contemplar cuatro seises seguidos cuando se sabe o se informa que este lanzamiento ha sucedido. La misma frase, a saber, que el acontecimiento es muy poco probable, se utilizará a menudo en relación con él, pero hallaremos que esta frase puede emplearse para indicar, en una u otra ocasión, significados extremadamente diferentes.
(1) Hay, en primer lugar, el sentido más correcto. El acontecimiento, es verdad, ha sucedido, y sabemos qué es, y por lo tanto, no tenemos en realidad ninguna necesidad de recurrir a las reglas de la Probabilidad; pero podemos, sin embargo, concebirnos como si estuviéramos en la posición de una persona que no lo sabe, y que solo tiene la Probabilidad a la cual apelar.
Al llamar a las probabilidades de 1 679 615 contra 1 en contra del lanzamiento, queremos dar a entender con ello el hecho de que, puesto que tal lanzamiento ocurre solo una vez en 1 679 616 veces, nuestra suposición, si hubiéramos de adivinar, sería correcta solo una vez en el mismo número de veces; siempre y cuando, es decir, que sea una suposición justa, basada simplemente en estos fundamentos estadísticos.
§ 5. (2) Pero hay una segunda y muy diferente concepción que a veces se introduce, especialmente cuando se supone que el suceso en cuestión se conoce, no como antes por la evidencia de nuestra experiencia, sino por el testimonio de un testigo. Podemos entonces entender por las «probabilidades en contra del suceso» (como se señaló en el capítulo XII)[** TN: space] no el número proporcional de veces que acertaríamos al adivinar el suceso, sino el número proporcional de veces que el testigo acertará al informarnos sobre él. Las bases de nuestra inferencia se trasladan aquí a un terreno nuevo. En el primer caso, las estadísticas eran las tiradas y su frecuencia respectiva; ahora son las declaraciones de los testigos y su veracidad respectiva.
§ 6.
(3) Pero hay todavía otro significado que a veces se pretende transmitir cuando se habla de las probabilidades en contra de un suceso como la tirada en cuestión. Pueden querer decir —no: He aquí un suceso, ¿cuántas veces lo habría adivinado?— ni: He aquí un informe, ¿cuántas veces será correcto?—, sino algo diferente de ambas cosas, a saber: He aquí un suceso, ¿cuántas veces se descubrirá que ha sido producido por cierto tipo particular de causa?
Cuando, por ejemplo, un hombre oye que los dados dan la misma tirada varias veces seguidas y habla de esto como algo muy extraordinario, a menudo veremos que no está pensando meramente en la improbabilidad de que su conjetura sea acertada, o de que el informe sea verídico, sino que, junto con esto, está introduciendo la cuestión de que la tirada haya sido producida por dados honrados.
No hay, por supuesto, razón alguna por la cual una cuestión como esta no deba ser remetida también a la Probabilidad, siempre y cuando podamos encontrar las estadísticas apropiadas mediante las cuales juzgar. Estas estadísticas no estarían compuestas por tiradas de los dados en cuestión, ni por informes del testigo particular, sino por las ocasiones en las que una tirada como la de que se trata había sido, o no había sido, producida honradamente, respectivamente.
La objeción a adentrarse en esta perspectiva de la cuestión sería que no se pueden obtener tales estadísticas y que, si se pudieran, preferiríamos formarnos nuestra opinión (según los principios que se describirán en el capítulo XVI)[** TN: space] a partir de las circunstancias especiales del caso antes que recurrir al promedio.
§ 7. El lector podrá proporcionar fácilmente ejemplos en ilustración de las distinciones que acaban de darse; examinaremos brevemente uno solo. Escondo un billete de banco en un cierto libro de una gran biblioteca y salgo de la habitación. Una persona me dice que, después de que me fui, entró un extraño, se dirigió directamente a ese libro en particular y se lo llevó. Mucha gente al oír este relato respondería: ¡Qué cosa más sumamente improbable! Al analizar la frase, creo que encontraremos que ciertamente dos, y posiblemente los tres, de los significados anteriores podrían estar implicados en esta exclamación. (1) Lo que puede querer decirse es esto: suponiendo que el informe sea verdadero y que el extraño sea inocente, ha ocurrido un acontecimiento raro. Muchos libros podrían haber sido tomados de ese modo sin que se hubiera seleccionado ese en particular. Por tanto, no habría esperado el suceso, y cuando ha ocurrido me sorprende. Ahora bien, un hombre tiene perfecto derecho a estar sorprendido, pero no tiene ningún derecho lógico (en tanto nos limitemos a
este punto de vista) para hacer de su sorpresa un motivo para dejar de creer en el suceso. Hacer esto es caer en la falacia descrita al comienzo de este capítulo. El hecho de que no fuera probable que yo hubiera adivinado una cosa de antemano no es razón en sí mismo para dudar de ella cuando se me informa de la misma. (2) O puedo quedarme antes de llegar a los hechos relatados y aplicar las reglas de la probabilidad al informe en sí. Si es así, lo que quiero decir es que un cuento como este que tengo ahora ante mí es de una clase muy generalmente falsa, y que por tanto no puedo concederle mucho crédito ahora. (3) O puedo aceptar la verdad del informe, pero dudar del hecho de que el extraño se haya llevado el libro al azar. Si es así, lo que quiero decir es que, de los hombres que se llevan libros de la manera descrita, solo se encontrará que una pequeña proporción los ha tomado realmente al azar; la mayoría lo hará porque por algún medio se habían enterado, o habían llegado a sospechar, de lo que había dentro del libro.
Cada uno de los tres significados anteriores es un significado posible y legítimo. El único requisito es que procuremos averiguar cuál de ellos está presente en la mente, a fin de seleccionar las estadísticas apropiadas. El primero hace en sí mismo el uso más legítimo de la Probabilidad; el inconveniente radica en que, en el momento en cuestión, las funciones de la Probabilidad quedan desplazadas por el hecho de conocerse de otro modo.
El segundo o el tercero son, por tanto, los significados más probables que pueden estar presentes en la mente, pues en estos casos la Probabilidad, si pudiera utilizarse en la práctica, sería, en el momento en cuestión, un medio para extraer inferencias realmente importantes. Los inconvenientes son la dificultad de hallar tales estadísticas y la extrema influencia perturbadora de las circunstancias del caso especial sobre dichas estadísticas.
§ 8. (II.) Estrechamente relacionada con la tendencia que acabamos de mencionar está la que nos impulsa a confundir una verdadera selección por azar con otra más o menos escogida.
Cuando tratamos con objetos familiares de manera concreta, especialmente cuando la mayor rareza corresponde a la superioridad de calidad, casi todo el mundo ha aprendido a reconocer la distinción. Nadie, por ejemplo, al observar un excelente cuerpo de tropas en una ciudad extranjera, dejaría de sentirse impulsado a preguntar si procedían de un regimiento corriente o de uno seleccionado.
Sin embargo, cuando la distinción se refiere a objetos desconocidos, y en especial cuando parece estar implicada únicamente una rareza comparativa, la falacia puede adoptar una forma bastante sutil y engañosa, y parece merecer una atención especial mediante la consideración de algunos ejemplos.
Sometimes the result is not so much an actual fallacy as a slight misreckoning of the order of probability of the event under consideration. For instance, in the Pyramid question, we saw that it made some difference whether we considered that π alone was to be taken into account or whether we put this constant into a class with a small number of other similar ones. In deciding, however, whether or not there is anything remarkable in the actual falling short of the representation of the number 7 in the evaluation of π [ TN: The original reads p. 248] (v.[ TN: space] p. 247) the whole question turns upon considerations of this kind. The only enquiry raised is whether there is anything remarkable in this departure from the mean, and the answer depends upon whether we suppose that we are referring to a predetermined digit, or to whatever digit of the ten happens to be most above or below the average. Or, take the case raised by Cournot (Exposition de la Théorie des Chances, §§ 102, 114), that a certain deviation from the mean in the case of Departmental returns of the proportion between male and female births is significant and indicative of a difference in kind, provided that we select at random a single French Department; but that the same deviation may
be accidental if it is the maximum of the respective returns for several Departments.[1] The answer may be given one way or the other according as we bear this consideration in mind.
§ 9. Somos singularmente propensos a ser engañados de este modo cuando nos esforzamos por determinar la causa de algún fenómeno mediante meras estadísticas, en completa ignorancia respecto a la dirección en la cual debe buscarse dicha causa. En tales casos, una persona ingeniosa que decida indagar en un amplio campo nunca dejará de dar con una explicación que sea plausible en el sentido de que encaja con los hechos observados hasta el momento.
Con una décima parte del esfuerzo que el Sr. Piazzi Smyth dedicó a la medición de la gran pirámide, creo que me comprometería a hallar indicios plausibles de varias de las constantes y patrones importantes que él descubrió allí, en las dimensiones del escritorio en el que estoy escribiendo. El ejemplo más extravagante de este tipo de conclusión se encuentra quizás en las investigaciones de un escritor que ha descubierto[2] que existe una conexión de tipo llamativo entre los respectivos éxitos de los botes de Oxford y Cambridge en la regata anual, y la mayor o menor frecuencia de las manchas solares.
Por supuesto, nuestro recurso práctico habitual en tales casos es apelar a nuestro conocimiento previo del tema en cuestión, lo que nos permite rechazar como absurdos un gran número de hipótesis que, sin embargo, pueden presentar un aspecto respetable cuando se les permite apoyarse en un número limitado de casos hábilmente seleccionados.
Pero debe recordarse que si cualquier teoría decide apelar a la estadística, a la estadística debe permitírsele ir para su juicio. Incluso la teoría de la regata podría establecerse (si fuera sólida) sobre esta sola base.
Es decir, si realmente pudiera demostrarse que la experiencia a la larga confirma el predominio de los éxitos en un lado o en el otro según la frecuencia relativa de las manchas solares, tendríamos que aceptar el hecho de que las dos clases de acontecimientos no eran realmente independientes. De las dos, cualquiera que sea, debe sospecharse que causa o influye en la otra; o ambas deben ser causadas o influenciadas por alguna circunstancia común.
§ 10. (III.) La falacia descrita al comienzo de este capítulo surgió al decidir juzgar un acontecimiento observado o reportado mediante las reglas de la Probabilidad, pero empleando un conjunto incorrecto de estadísticas en el proceso de juicio. Otra falacia, estrechamente relacionada con esta, surge de la práctica de tomar solo algunas de las características de tal acontecimiento y confinar arbitrariamente a estas el recurso a la Probabilidad.
Supongamos que lanzo al aire doce monedas de un penique y descubro que once de ellas muestran caras. Muchas personas, al presenciar tal suceso, experimentarían un sentimiento que expresarían con el comentario: ¡Qué cerca estuvo de salir todo caras! Y si algo muy importante estuviera en juego en el lanzamiento, se mostrarían muy emocionadas ante el suceso. Pero ¿en qué sentido estuvimos cerca del doce? Hay un error no poco común, según entiendo, que consiste en considerar inconscientemente las once caras como algo que ya de algún modo está asegurado, de modo que uno podría, por decirlo así, conservarlas y jugarse entonces la suerte para conseguir la restante. Las once se apartan mentalmente, se consideran seguras (pues ya han sucedido), y entonces introducimos la noción de azar meramente para la duodécima. Pero esta duodécima, al haber sucedido también, no tiene mejor derecho a tal distinción que cualquiera de las otras. Si vamos a introducir la noción de azar en el caso de la que dio cruz, debemos hacer lo mismo en el caso de todas las demás también.
En otras palabras, si quien lanza no está satisfecho con la aparición de la única cruz, y desea anularla y probar suerte de nuevo, debe lanzar todo el conjunto de monedas de nuevo juntas y de manera justa. En este caso, por supuesto, lejos de tener una mejor perspectiva para el siguiente lanzamiento, puede considerarse muy afortunado si vuelve a hacer un lanzamiento tan bueno como el que rechazó. Lo que está haciendo es confundir este caso con aquel en el que los lanzamientos son realmente sucesivos. Si se han lanzado once caras consecutivamente, estamos por supuesto a un paso de probabilidad equitativa de obtener una duodécima; pero las circunstancias son muy distintas en el ejemplo propuesto.
§ 11. En el ejemplo anterior el error es transparente.
Pero al emitir un juicio sobre asuntos de mayor complejidad que los dados y las monedas, especialmente en el caso de los llamados «peligros evitados por poco», un error de índole análoga es, según me temo, poco común.
Una persona, por ejemplo, que acaba de experimentar un peligro evitado por poco a menudo se verá invadida por la sorpresa y la ansiedad, llegando casi al terror. Habiendo pasado el suceso, estos sentimientos son, en rigor, inapropiados en ese momento.
- Si, como es muy posible, son meramente instintivos o resultado de la asociación, no entran en el ámbito de ninguna clase de Lógica.
- Si, sin embargo, como parece más probable, surgen parcialmente de una supuesta transferencia de nosotros mismos a aquel punto del tiempo pasado en el que el evento estaba a punto de suceder, y de la producción por la imaginación de los sentimientos que entonces esperaríamos experimentar, este proceso participa de la naturaleza de una inferencia, y puede ser correcto o incorrecto.
En otras palabras, la alarma puede ser proporcionada o desproporcionada respecto a la magnitud del peligro que cabría haber estimado razonablemente en dicha anticipación hipotética. Si la supuesta transferencia se llevara a cabo por completo, no habría falacia; pero a menudo se realiza de manera muy incompleta, ya que se supone que algunos de los componentes del suceso están determinados o «preparados» (por usar una expresión deportiva) de la forma en que ahora sabemos que han ocurrido en realidad, y solo los restantes se consideran imparcialmente como probabilidades futuras.
Un hombre, por ejemplo, sale con un amigo, al que se le dispara el rifle por accidente, y la bala atraviesa su sombrero. Tiembla de ansiedad al pensar en lo que podría haber sucedido, y tal vez comenta: «¡Qué cerca estuve de que me mataran!».
Ahora bien, podemos suponer con seguridad que quiere decir algo más que el hecho de que un disparo pasó muy cerca de él. Tiene alguna idea vaga de que, como probablemente diría, «su probabilidad de ser asesinado entonces era muy grande».
Su sorpresa y terror pueden ser en gran parte físicos e instintivos, derivados simplemente de la conciencia de que el disparo había pasado muy cerca de él. Pero su estado mental puede ser analizado, y entonces lo más probable es que encontremos, en el fondo, una falacia del tipo descrito anteriormente.
Hablar o pensar en el azar en relación con el incidente es remitir el incidente particular a una clase de incidentes de carácter similar, y luego considerar la frecuencia comparativa con la que se produce el resultado contemplado.
Ahora bien, la serie que podemos suponer que se selecciona más naturalmente en este caso es una compuesta por excursiones de caza con su amigo; hasta este punto se supone que los procedimientos son premeditados, y solo más allá, en el evento subsiguiente, hubo accidente.
- Una vez de cada mil tal vez en tales ocasiones el arma se disparará accidentalmente;
- uno de cada mil solamente de esos disparos se dirigirá cerca de la cabeza de su amigo.
Si queremos hacer del accidente una cuestión de Probabilidad, por derecho deberíamos de este modo (para adoptar el lenguaje del primer ejemplo), «volver a echarlo a suertes» de manera justa.
Pero no hacemos esto; parecemos dar por sentado que el disparo pasa a una pulgada de nuestras cabezas, separamos eso por completo de la noción de azar, y luego comenzamos a introducir esta noción de nuevo para las posibles desviaciones de esa pulgada salvadora.
§ 12. (IV.) Ahora nos ocuparemos de una falacia relacionada con los temas de las apuestas y el juego. Muchos o la mayoría de los equívocos populares sobre este asunto denotan una ignorancia y una confusión tales acerca de los fundamentos de la ciencia que sería innecesario discutirlos aquí. El siguiente, sin embargo, es de un tipo mucho más plausible y ha sido fuente de perplejidad para personas de considerable agudeza.
El caso, expresado de la forma más sencilla, es el siguiente.[3]
Supongamos que una persona A juega contra B, siendo B otro individuo o un grupo de individuos, digamos una banca de juego. Comienzan jugándose un chelín a cara o cruz, y A sostiene que está en posesión de un procedimiento que le asegurará la victoria. Si gana en la primera ocasión, es evidente que por el momento ha logrado su objetivo. Si pierde, en la siguiente jugada apuesta dos chelines en lugar de uno. El resultado, por supuesto, es que si gana en la segunda ocasión recupera su pérdida anterior y le queda además un chelín de beneficio. Y así continúa, doblando su apuesta tras cada pérdida, con el resultado obvio de que, en la primera ocasión en que tenga éxito, compensa todas sus pérdidas anteriores y le sobra un chelín.
Pero tal ocasión debe llegar tarde o temprano, según las hipótesis de azar en las cuales se funda el juego. De ello se deduce que puede asegurarse, tarde o temprano, terminar siendo el ganador final. Además, puede ganar por cualquier cantidad; en primer lugar, debido a la obvia consideración de que podría hacer que su apuesta inicial fuera tan grande como quisiera, cien libras, por ejemplo, en lugar de un chelín; y en segundo lugar, porque lo que ha hecho una vez puede volver a hacerlo. Puede guardar su chelín y tener una segunda sesión de juego, larga o corta según se dé el caso, con el mismo final. En consecuencia, por mera persistencia puede acumular cualquier suma de dinero que le plazca, en aparente desafío a todo lo que significa la suerte.
§ 13. He clasificado esta opinión entre las falacias, ya que el presente es la ocasión más oportuna para discutirla, aunque en rigor debiera calificarse más bien de paradoja, puesto que la conclusión es perfectamente sólida. La única falacia consiste en considerar que tal forma de obtener el resultado es misteriosa. Por el contrario, no hay nada más fácil que asegurar el éxito final bajo las condiciones dadas. La cuestión merece ser investigada por los principios que implica y porque las respuestas que se dan comúnmente no responden del todo a la dificultad. A veces se arguye, por ejemplo, que ningún banco permitiría ni permite al especulador elegir a su voluntad la cuantía de su apuesta, sino que pone un límite a la cantidad por la que consentirá jugar. Esto es muy cierto, pero por supuesto no es ninguna respuesta a la investigación hipotética que tenemos entre manos, la cual presupone que tal estado de cosas sí está permitido. Asimismo, se ha argüido que la posibilidad en cuestión depende enteramente del hecho de que debe suponerse que se concede crédito, pues de lo contrario la fortuna del jugador puede no durar hasta que llegue su racha de buena suerte; a saber, que tarde o temprano, si continúa el tiempo suficiente, su fortuna no durará lo suficiente y todas sus ganancias se esfumarán. Es muy cierto que el crédito es una condición del éxito, pero no es en ningún sentido la causa. Podemos suponer que ambas partes acuerdan al principio que no habrá pagos hasta que termine el juego, teniendo A el derecho de decidir cuándo debe considerarse terminado. Sigue siendo cierto que, mientras que en el juego ordinario, es decir, con apuestas fijas o fortuitas, A
no podría asegurar una victoria eventual en ninguna medida, puede hacerlo si adopta un plan como el en cuestión. Y este es el estado de cosas que parece requerir una explicación.
§ 14. Lo que causa perplejidad aquí es el supuesto hecho de que, de algún modo misterioso, se ha evocado la certeza a partir de la incertidumbre; que en un juego donde los acontecimientos detallados son totalmente inescrutables, y donde el promedio, por suposición, no muestra preferencia por ninguno de los bandos, una de las partes logra no obstante, de algún modo, atraer constantemente la suerte hacia su terreno. Parece tratarse de un caso paralelo al de un hombre que lograra mediante algún artificio asegurar permanentemente más de la mitad de los lanzamientos con una moneda que, sin embargo, debiera considerarse perfectamente honrada.
Esto es un grave error. El hecho real es que A no expone sus ganancias al azar en absoluto; lo único que expone de ese modo es el número de veces que tiene que esperar hasta ganar.
Plantéese un caso como este. Me ofrezco a darle a un hombre la cantidad de dinero que elija mencionar, con la condición de que me la devuelva inmediatamente con una libra más. No hace falta mucha agudeza para ver que me da exactamente igual que elija mencionar una libra, diez o cien.
Supongamos ahora que, en lugar de dejar a su elección cuál de estas sumas se seleccionará cada vez, las dos partes acuerdan dejarlo al azar. Digamos, por ejemplo, que extraen un número de una bolsa cada vez, y que esa sea la suma que A le da a B bajo las condiciones prescritas.
El caso no cambia. A sigue ganando su libra cada vez, ya que la introducción del elemento de azar no ha afectado en absoluto a esto. Todo lo que hace es convertir esta libra en el resultado de una resta incierta, a veces 10 menos 9, a veces 50 menos 49, y así sucesivamente. Son solo estos números, no su diferencia, los que somete a la suerte, y esto no tiene la menor importancia.
Sugerir a cualquier individuo o empresa que deba consentir en seguir jugando en tales condiciones sería una propuesta demasiado descarada. Y, sin embargo, el caso en cuestión es idéntico en principio, y casi idéntico en forma, a este.
Ofrecer a un hombre cualquier suma que le apetezca nombrar a condición de que él te devuelva esa misma suma más uno, y ofrecerle cualquier número de términos que le plazcan de la serie 1, 2, 4, 8, 16, etc., a condición de que tú tengas el siguiente término del conjunto, son equivalentes. La única diferencia es que en este último caso el resultado se alcanza con algo más de ostentación aritmética.
Igualmente equivalentes son los procesos en caso de que prefiramos dejar al azar, en lugar de a la elección, la decisión de qué suma o qué número de términos se fijarán. Esto último es lo que realmente se hace en el caso en cuestión. Un hombre que consiente en seguir doblando su apuesta cada vez que gana, no está dejando otra cosa al azar que la determinación del número concreto de términos de dicha serie geométrica que se permitirá que transcurran antes de que se detenga.
§ 15. Puede añadirse que no hay ninguna virtud especial en la serie en cuestión, a saber:[ TN: space] aquella de acuerdo con la cual la apuesta se duplica cada vez. Todo lo que se necesita es que el último término de la serie supere con creces a todos los precedentes. Cualquier otra serie que aumentara más rápido que esta geométrica serviría para el propósito igual o mejor. Tampoco es necesario, una vez más, que el juego sea equitativo o «justo». El azar, conviene recordarlo, no afecta aquí a otra cosa que al número de términos que alcanza la serie en cada ocasión, ya que su resultado final está siempre fijado aritméticamente. Cuando se lanza una moneda al aire, solo en una de cada dos ocasiones la serie se alarga a más de dos términos, de modo que sus ganancias fijas llegan con bastante regularidad. Pero a menos que estuviera jugando por un tiempo limitado, no le afectaría que la serie se alargara a doscientos términos; simplemente le tomaría algo más de tiempo ganar sus apuestas. Un hombre podría, por ejemplo, seguir haciendo sin riesgo una apuesta igualada a que obtendría el único premio en una lotería de mil boletos, siempre y se le diera crédito ilimitado y duplicara, o más que duplicara, su apuesta cada vez.
§ 16. Así considerado, el problema es bastante sencillo, pero hay en él dos puntos a los que conviene dirigir la atención.
En primer lugar, sirve de manera muy directa para recordarnos la distinción entre una serie de acontecimientos (en este caso, los lanzamientos de la moneda) que son realmente sujetos del azar, y nuestra conducta fundamentada en dichos acontecimientos, la cual puede estar o no tan sujeta a este.[4]
Es muy posible que esta última esté ideada de tal modo que resulte en muchos aspectos una cuestión de absoluta certeza; una consideración que, supongo, le resulta bastante familiar a los apostadores profesionales. ¿Por qué la forma habitual de apostar en los lanzamientos de una moneda es justa para ambas partes? Porque una serie «justa» es tratada de «forma justa». Las caras y las cruces ocurren al azar, pero en promedio con la misma frecuencia, y las apuestas son fijas o también se disponen al azar. Si un hombre apuesta a cara todas las veces por la misma cantidad, a la larga, por supuesto, ni ganará ni perderá. Tampoco lo hará si varía la apuesta cada vez, siempre que no la varíe de tal manera que su importe dependa de si ganó o perdió la vez anterior.
Pero puede, si le place y la otra parte consiente, disponer sus apuestas (como en el caso en cuestión) de modo que el Azar, por decirlo de algún modo, no tenga una oportunidad justa. Aquí los elementos humanos de elección y diseño han influido de tal manera en una serie de acontecimientos que, considerados por sí mismos, no muestran más que las características físicas del azar, que estos últimos elementos desaparecen y obtenemos un resultado aritméticamente cierto.
Podrían sugerirse otros ejemplos análogos, pero el que tenemos ante nosotros tiene el mérito de disfrazar con gran ingenio el proceso real.
§ 17. El significado de la observación que acaba de hacerse se verá mejor mediante una comparación con el siguiente caso. Se ha [** TN: Prevost cambió a Prévost] intentado[5] explicar la preponderancia de los nacimientos masculinos sobre los femeninos suponiendo que las probabilidades de ambos son iguales, pero que el deseo general de tener un heredero varón tiende a inducir a muchas uniones a persistir hasta que se produce este acontecimiento, y no más. Se supone que de este modo habría una ligera preponderancia de familias compuestas por un solo hijo, o por dos hijos y una hija, y así sucesivamente.
Esto es bastante falaz (como ya lo había notado Laplace en su Essai); y no podría elegirse un ejemplo mejor que este para mostrar exactamente lo que podemos y lo que no podemos hacer en cuanto a alterar la suerte en una sucesión real de eventos fortuitos.
Suponer que el número de nacimientos reales podría influenciarse de la manera en cuestión es exactamente lo mismo que suponer que varios jugadores podrían aumentar la proporción de caras a cruces a algo más de un medio, pasándose cada uno la moneda al vecino tan pronto como hubiera obtenido una cara: que solo tienen que retirarse tan pronto como aparezca la cara; un absurdo que no necesitamos detenernos a explicar en esta etapa.
El punto esencial de la «Martingala» es que, si bien la ocurrencia de los eventos sobre los cuales se hacen las apuestas no se ve afectada, las apuestas mismas pueden ajustarse de tal manera que la suerte incline la balanza hacia un lado.
§ 18. En segundo lugar, este ejemplo nos pone ante lo que ya se ha tenido que mencionar tantas veces, a saber, que las series de probabilidad se suponen en rigor interminables. Si por lo tanto permitimos que cualquiera de las partes nos exhorte a detenernos, especialmente en un punto que le conviene precisamente en ese momento, podemos obtener resultados decididamente opuestos a la integridad de la teoría. En el caso que nos ocupa, es una estipulación necesaria para A que se le permita retirarse cuando lo desee, es decir, en uno de los puntos en los que la tirada le es favorable. Sin esta estipulación, puede quedar como perdedor por cualquier cantidad.
Introduúzcase el supuesto de que una de las partes pueda exigir arbitrariamente una interrupción cuando le convenga y negarse a permitirla antes, y casi cualquier sistema de lo que por lo demás sería juego limpio puede convertirse en un acuerdo muy parcial.
En efecto, en el caso en cuestión, A no necesita adoptar este ardid de duplicar las apuestas cada vez que pierde. Puede jugar con una apuesta fija y, sin embargo, garantizar que una de las partes ganará una suma determinada, suponiendo que el juego sea equitativo y que se le permita jugar a crédito.
§ 19. (V.) Un error común es suponer que una cosa muy improbable no sucederá en absoluto. Es un error que, cuando se enuncia así con palabras, resulta demasiado evidente como para cometerlo, pues el significado de algo improbable es que sucede a raros intervalos; si no se supusiera que el evento sucederá a veces, no se le llamaría improbable, sino imposible.
Este es un error que difícilmente podría ocurrir salvo en la vaga incomprensión popular, y está tan abundantemente refutado en los trabajos sobre Probabilidad que aquí solo es necesario mencionarlo brevemente. Se sigue, por supuesto, de nuestra definición de Probabilidad, que hablar de una combinación de eventos muy rara como una que «seguro que nunca sucederá», es usar el lenguaje incorrectamente. Dicha frase puede circular como una exageración popular imprecisa, pero en rigor implica una contradicción. La verdad acerca de tales eventos raros no puede describirse mejor que en la siguiente cita de De Morgan:[6]—
“Se dice que ninguna persona llega jamás a encontrarse con casos tan sumamente improbables como el que acaba de citarse [extraer cinco veces seguidas la misma bola de una bolsa que contiene veinte bolas].
Que un individuo dado jamás saque un as doce veces seguidas con un solo dado es, con mucho, lo más probable; de hecho, tan remotas son las probabilidades de que se dé tal suceso en doce tiradas cualesquiera (más de 2.000.000.000 a 1 en contra) que es improbable que la experiencia de un país cualquiera, en un siglo cualquiera, nos lo proporcione.
Pero detengámonos un momento y preguntémonos a qué se aplica este argumento.
Una persona que rara vez toca los dados difícilmente creerá que los dobles ocurran a veces tres veces seguidas; quien los manipula con frecuencia sabe que tal cosa sucede a veces. Todo usuario muy experimentado de esos artefactos ha presenciado secuencias aún más raras.
Ahora bien, supongamos que una sociedad de personas hubiera tirado los dados tantas veces como para asegurar una racha de seis ases observada y registrada, el argumento anterior se seguiría usando en contra de doce. Y si otra sociedad hubiera practicado lo suficiente como para ver doce ases consecutivos, aún podría emplear el mismo método de duda respecto a una racha de veinticuatro; y así sucesivamente, ad infinitum.
El poder de imaginar casos que contienen largas combinaciones supera de tal modo al de exhibirlas y organizarlas, que resulta fácil idear un telégrafo que emitiera una señal independiente por cada grano de arena en un globo tan grande como el universo visible, bajo la hipótesis del astrónomo de mayor alcance espacial.
La falacia de la objeción anterior radica en suponer que los acontecimientos en número superior a nuestra experiencia se componen enteramente de secuencias tales como las que entran dentro de nuestra experiencia. Hace que el pasado contenga necesariamente el todo, en cuanto a la cualidad de sus componentes; y juzga por muestras.
Ahora bien, el comprador de grano menos prudente exige examinar un puñado antes de juzgar un celemín, y un celemín antes de juzgar un cargamento. Pero en relación con números tan enormes de combinaciones como los que se proponen con frecuencia, nuestra experiencia no merece el título de un puñado en comparación con un celemín, ni siquiera de un solo grano.”
§ 20. El origen de este arraigado error no es difícil de explicar. Surge, sin duda, de las exigencias de nuestra vida práctica. Nadie puede tener presente toda contingencia a la que pueda estar expuesto. Si, por lo tanto, hemos de hacer algo alguna vez en el mundo, un gran número de las contingencias más raras deben dejarse enteramente de lado. Y la necesidad de este olvido se ve reforzada por la brevedad de nuestra vida.
Matemáticamente hablando, se diría que es seguro que cualquiera que viva lo suficiente será mordido por un perro rabioso, pues el acontecimiento no es imposible, sino tan solo improbable, y por lo tanto ha de suceder con el tiempo. Pero este y un número indefinido de otras contingencias desagradables deben ser totalmente ignorados en la práctica en la mayoría de las ocasiones, y de ahí que casi necesariamente terminen por desaparecer asimismo de nuestro pensamiento y expectativa. Y cuando el acontecimiento es en sí mismo de poca importancia, como una tirada rara de dados, puede requerirse un gran esfuerzo de imaginación, por parte de personas no acostumbradas al cálculo matemático abstracto, para permitirles concebir dicha tirada como algo siquiera posible.
A veces se ha intentado calcular qué grado extremo de improbabilidad debe considerarse equivalente a este punto cero práctico de la creencia. En la medida en que tales intentos sean llevados a cabo por lógicos, o por aquellos que no estén dispuestos a recurrir a la valoración matemática de las probabilidades, deben considerarse meramente como una forma especial de las dificultades modales tratadas en el último capítulo, y por lo tanto no necesitan ser reconsiderados aquí; pero se puede añadir una palabra o dos acerca de las opiniones de algunos que han examinado el asunto desde el punto de vista del matemático.
El principal de ellos es quizás Buffon. Ha llegado a la estimación (Arithmétique Morale § VIII.)[** TN: space] de que este cero práctico equivale a una probabilidad de 1/10.000. Los fundamentos para seleccionar esta fracción se encuentran en el hecho de que, según las tablas de mortalidad a su alcance, representa la probabilidad de que un hombre de 56 años muera en el transcurso del día siguiente. Pero como ningún hombre en circunstancias comunes toma esta probabilidad en la más mínima consideración, se sigue que se estima prácticamente como carente de valor.
Es evidente que este resultado es casi enteramente arbitrario y que, de hecho, sus razones no pueden considerarse más que como una débil justificación basada en la experiencia para adoptar una fracción convenientemente simple; una justificación que, sin embargo, Aparentemente habría sido igualmente válida en el caso de cualquier otra fracción situada dentro de amplios límites respecto a la seleccionada.[7]
§ 21. Hay una forma particular de este error que, por la importancia que a veces se le concede, merece tal vez un examen más detenido. Como se ha dicho antes, no cabe duda de que, por muy improbable que sea un acontecimiento, si (hablando en un sentido laxo) variamos las circunstancias lo suficiente, o si, en otras palabras, seguimos intentándolo durante el tiempo necesario, acabaremos por presenciar dicho acontecimiento.
Si tiramos un par de dados unas cuantas veces, obtendremos dobles; si seguimos intentándolo durante más tiempo con tres, obtendremos tríos, y así sucesivamente. Por inusual que sea el acontecimiento, incluso si fuesen seises mil veces seguidas, ocurrirá tarde o temprano con tal de que tengamos suficiente paciencia y vitalidad.
Apliquemos ahora este resultado a las letras del alfabeto. Supongamos que se extrae una letra cada vez de una bolsa que las contiene todas, y que luego se vuelve a introducir. Si las letras se escribieran una tras otra a medida que fuesen saliendo, por lo general se esperaría que resultaran ser un completo sinsentido y que nunca se dispusieran formando las palabras de ningún idioma conocido por los hombres.
Tampoco lo harían en general, pero es un resultado aceptado comúnmente de la teoría, y que podemos dar por sentado que el lector está dispuesto a admitir sin más discusión, que, si el proceso se continuara el tiempo suficiente, aparecerían palabras con sentido; es más, que cualquier libro que decidiéramos mencionar —el Paraíso perdido de Milton o las obras de Shakespeare, por ejemplo— acabaría produciéndose de este modo. Harían falta más días de los que tenemos espacio en este volumen para representar en cifras con el fin de tener una certeza razonable de obtener la primera de estas obras extrayendo así letras de una bolsa, pero el resultado deseado se acabaría obteniendo al fin.[8]
Ahora bien, a mucha gente le ha parecido, con toda naturalidad, desmerecedor del genio sugerir que sus producciones también podrían haberse obtenido por casualidad, mientras que otros han pasado a argumentar: si este es el caso, ¿no podría haberse producido el mundo mismo de esta manera por casualidad?
§ 22. Comenzaremos con el problema, comparativamente simple, determinado e inteligible, de la posible producción de las obras de un gran genio humano por azar. En lo que respecta a esta posibilidad, puede ser un consuelo para algunas mentes tímidas recordarles que el poder de producir las obras de un Shakespeare, en el tiempo, no se limita al genio consumado y al mero azar. Hay una tercera alternativa, a saber[** TN: space], la de un procedimiento puramente mecánico. Cualquiera, casi hasta llegar a un idiota, podría hacerlo, si se tomara el tiempo suficiente para la tarea. Pues supóngase que el número requerido de letras fuera obtenido y dispuesto, no por azar, sino intencionadamente, y de acuerdo con reglas sugeridas por la teoría de las permutaciones: siendo finitas las letras del alfabeto y el número de ellas que ha de emplearse, cada orden en el que pudieran aparecer llegaría a su debido turno y, por lo tanto, todo lo que puede expresarse en el lenguaje se alcanzaría tarde o temprano.
En realidad, no hay nada que deba escandalizar a nadie en semejante resultado. Su posibilidad surge de la siguiente causa.
El número de letras, y por consiguiente de palabras, de que disponemos es limitado; por lo tanto, cualquier cosa que deseemos expresar mediante el lenguaje queda necesariamente sujeta a una limitación correspondiente. Las variaciones posibles del pensamiento son literalmente infinitas, al igual que las del lenguaje hablado (mediante la entonación de la voz, etc.); pero cuando llegamos a las palabras hay una limitación, cuya naturaleza es concebible con claridad por la mente, aunque la restricción sea una que en la práctica nunca llegue a ser apreciable, debido al hecho de que el número de combinaciones que pueden producirse es tan enorme que supera toda capacidad de la imaginación para concebirlo.[9]
La respuesta, por tanto, es clara, y es una que se aplicará también a muchos otros casos: imponer un límite finito al número de maneras en que se puede hacer algo es determinar que cualquiera que sea capaz y esté dispuesto a intentarlo durante el tiempo suficiente logrará hacerlo. Si un gran genio se digna a realizarlo bajo estas circunstancias, debe someterse a la posibilidad de que sus méritos sean emulados o disputados por el hombre del montón y el idiota. Si Shakespeare estuviera limitado al uso de ocho o nueve palabras asignadas, el tiempo dentro del cual estos últimos agentes podrían pretender la igualdad con él no sería muy grande. Tal como están las cosas, habiendo tenido a su disposición todo el repertorio del idioma inglés, su reputación no corre el peligro de ser atacada por ninguno de tales métodos.
§ 23. El caso de la posible producción del mundo por azar nos introduce en un ámbito de discusión completamente diferente. No estamos tratando aquí con cifras cuya naturaleza y uso estén al alcance de las facultades del entendimiento, por más que la imaginación fracase al intentar concebir la más pequeña fracción de su significado pleno.
El entendimiento mismo vaga fuera de su propia incumbencia, ya que no se pueden asignar las condiciones del problema. Cuando sacamos letras de una bolsa sabemos muy bien lo que estamos haciendo; pero ¿qué significa en realidad producir un mundo por azar? Por analogía con el caso anterior, podemos suponer que se presupone algún tipo de agente;—tal vez, por tanto, la siguiente suposición sea menos absurda que cualquier otra. Imaginemos a un ser, no un Creador sino una especie de Demiurgo, a quien se le ha entregado una cantidad de materiales y asigna sus disposiciones y sus leyes de acción de manera ciega y al azar: ¿cuáles son las probabilidades de que un mundo como el que realmente experimentamos haya surgido de este modo?
Si valiera la pena ponerse seriamente a responder a semejante pregunta, y si alguien nos proporcionara el número de las letras de tal alfabeto y la longitud de la obra que ha de escribirse con ellas, podríamos proceder a indicar el resultado.
Pero al menos esto puede afirmarse con seguridad al respecto: que, lejos de ser simplemente insuficiente la extensión de este pequeño volumen para contener las cifras con las que se darían las probabilidades en contra, todo el papel que el mundo ha producido hasta ahora se agotaría antes de que hubiéramos avanzado mucho en nuestro camino al anotarlas.
§ 24. La forma más seductora en la que suele presentarse la dificultad acerca de la ocurrencia de acontecimientos muy raros es probablemente esta: «Usted admite (algunas personas estarán dispuestas a decir) que tal acontecimiento puede suceder a veces; es más, que a veces sucede en el curso infinito del tiempo. ¿Cómo he de saber entonces que esta ocasión no es una de estas ocurrencias posibles?».
A esto solo se puede dar una respuesta —la misma que siempre debe darse cuando las estadísticas y la probabilidad están en juego—: «El presente puede ser tal ocasión, pero es inconcebiblemente improbable que lo sea. Entre billones de innumerables ocasiones en las que usted, y otros como usted, plantean esto, una sola persona estará justificada; y no es probable que sea usted esa persona, ni que esta sea esa ocasión».
§ 25. Hay otra forma de esta incapacidad práctica para distinguir entre un número elevado y otro en el cálculo de probabilidades, que merece una mención de pasada debido a su importancia en los debates sobre la herencia.
A menudo la gente objeta la doctrina de que las cualidades, tanto mentales como corporales, se transmiten de los padres a la descendencia, basándose en que hay una multitud de casos en contra, de hecho, una gran mayoría de tales casos. Plantear esta objeción implica una total falta de apreciación de las probabilidades muy grandes que posiblemente puedan existir, y que el argumento en favor de la herencia implica que existen, en contra de que una persona determinada destaque por su eminencia intelectual o de otro tipo.
Esto es sin duda en parte una cuestión de definición, que depende del grado de rareza que consideremos implícito en la noción de eminencia; pero si adoptamos cualquier sentido razonable del término, veremos fácilmente que una proporción muy grande de fracasos aún puede dejar un abrumador predominio de pruebas a favor de la doctrina de la herencia.
Tomemos, por ejemplo, el grado de eminencia que implica figurar entre uno de cada cuatro mil. Se trata de una distinción considerable, aunque, dado que hay unas dos mil personas así entre el total de la población masculina adulta de Gran Bretaña, dista mucho de implicar un genio conspicuo. Supongamos ahora que, al examinar los casos de un gran número de hijos de tales personas, hubiéramos descubierto que 199 de cada 200 no alcanzaban la misma distinción. Muchas personas concluirían que esto constituye una prueba bastante concluyente en contra de cualquier transmisión hereditaria. Ser capaces de aducir un solo caso favorable frente a 199 desfavorables representaría para ellas el colapso total de semejante teoría.
El error, por supuesto, es bastante evidente, y uno que, con las cifras así expuestas, casi nadie dejaría de evitar. Pero si uno puede juzgar a partir de la conversación común y de otras fuentes similares de información, en la práctica resulta sumamente difícil conservar adecuadamente la convicción de que, aun cuando solo uno de cada 200 casos fuera favorable, esto representaría unas probabilidades de aproximadamente 20 a 1 a favor de la teoría.
Si la transmisión hereditaria no prevaleciera, solo uno de cada 4000 hijos rivalizaría así con sus padres; pero descubrimos en realidad, supongamos (por supuesto, aquí estamos tomando proporciones imaginarias), que lo hace uno de cada 200. Por consiguiente, si las estadísticas son lo suficientemente amplias como para resultar satisfactorias, ha operado alguna influencia que ha mejorado las probabilidades de la mera coincidencia en una proporción de 20 a 1.
De hecho, somos tan poco capaces de aquilatar el significado de los números muy grandes —es decir, de retener las proporciones en la mente cuando intervienen números grandes— que, a menos que nos corrijamos repetidamente mediante consideraciones aritméticas, somos muy propensos a tratar y estimar todo lo que supera ciertos límites como igualmente inmenso y vago.
§ 26. (VI.) Al examinar la naturaleza de la conexión entre la probabilidad y la inducción, analizamos las pretensiones de una regla comúnmente dada para inferir la probabilidad de que un evento que se había observado repetidamente volviera a ocurrir. Procuré demostrar que todos los intentos de obtener y probar tal regla eran necesariamente fútiles; si estas razones fueran concluyentes, el empleo de dicha regla debe considerarse por supuesto como falaz. Unos cuantos ejemplos pueden añadirse aquí convenientemente, los cuales tienden a mostrar cómo, en lugar de haber meramente una única regla de sucesión, haríamos mejor en dividir las formas posibles en tres clases.
(1) En algunos casos, cuando se ha observado que algo sucede varias veces, se vuelve en consecuencia más probable que vuelva a suceder. Esto concuerda con la forma ordinaria de la regla y es probablemente el caso de ocurrencia más frecuente.
La vaguedad necesaria de expresión cuando hablamos de «que suceda algo» hace que sea bastante imposible tolerar la regla en esta forma general, pero si la especializamos un poco, veremos que adopta una figura más familiar.
Si, por ejemplo, hemos observado que dos o más propiedades se asocian con frecuencia en una sucesión de individuos, concluiremos con cierta fuerza que se encontrará que están así conectadas en el futuro. La fuerza de nuestra convicción, sin embargo, no dependerá meramente del número de coincidencias observadas, sino de consideraciones mucho más complicadas, para cuya discusión debe remitirse al lector a los tratados regulares sobre la evidencia inductiva.
O bien, si hemos observado que uno de dos eventos sucede al otro varias veces, la ocurrencia del primero suscitará en la mayoría de los casos algún grado de expectativa del segundo. Como antes, sin embargo, el grado de nuestra expectativa no ha de determinarse mediante ninguna fórmula simple; dependerá en parte de la supuesta intimidad con la que estén conectados los eventos.
Intentar establecer reglas definidas sobre el tema conduciría a una discusión sobre las leyes de causalidad y las circunstancias bajo las cuales se puede inferir su existencia, por lo que cualquier consideración adicional del asunto debe abandonarse aquí.
§ 27. (2) O, en segundo lugar, la recurrencia pasada puede por sí misma no ofrecer bases válidas para hacer inferencias sobre el futuro; este es el caso que pertenece más propiamente a la Probabilidad.[10]
Que pertenece a ella se verá fácilmente si tenemos presente la concepción fundamental de la ciencia. Se nos presenta allí una serie —a los efectos de la inferencia, una serie indefinidamente extendida— de términos sobre cuyos detalles no se nos da información, excepto en ciertos puntos; nuestro conocimiento se limita al hecho estadístico de que, digamos, uno de cada diez posee cierto atributo al que llamaremos X. Supongamos ahora que cinco de estos términos de manera sucesiva han sido X, ¿qué indicio proporciona esto de que el sexto sea también un X? Claramente ninguno en absoluto; este hecho pasado no nos dice nada; la fórmula para nuestra inferencia sigue siendo exactamente la que era antes: dado que uno de cada diez es X, la probabilidad es de uno contra nueve de que el siguiente término sea X. Y por muchos términos que se hubieran sucedido de un mismo tipo, se obtendría exactamente la misma fórmula.
§ 28. La manera en que los acontecimientos justificarán la respuesta dada por esta fórmula suele malinterpretarse. Para beneficio, por tanto, de aquellos que no están familiarizados con algunos de los conceptos habituales entre los matemáticos, puede añadirse una breve explicación. Supongamos entonces que hemos obtenido X doce veces sucesivas. Este es claramente un estado de cosas anómalo. Suponer que algo así siga ocurriendo iría obviamente en contra de las estadísticas, las cuales afirman que, a la larga, solo uno de cada diez es X.
Pero ¿cómo se supera esta anomalía? En otras palabras, ¿cómo evitamos la conclusión de que las X deben ocurrir con una frecuencia mayor a una de cada diez veces, tras una sucesión tan larga de ellas como la que acabamos de tener? Mucha gente parece creer que debe haber una disminución de las X en lo sucesivo para contrarrestar su predominio pasado. Sin embargo, esto sería un completo error; la proporción en la que ocurren en el futuro debe seguir siendo la misma en todo momento; no puede alterarse si hemos de ceñirnos a nuestra fórmula estadística.
El hecho es que la rectificación de la perturbación excepcional en la proporción se logrará simplemente mediante la afluencia continua de nuevos términos en la serie. Estos neutralizarán la perturbación a la larga, no mediante ninguna adaptación especial, por decirlo así, con ese fin, sino por el mero peso de su abrumadora cantidad. En cada etapa de la sucesión, por tanto, cualquiera que haya sido el número y la naturaleza de los términos precedentes, seguirá siendo verdad afirmar que uno de cada diez términos será una X.
Si solo tuviéramos que habérnoslas con un número finito de términos, por grande que ese número pudiera ser, una perturbación como la de la que hemos hablado requeriría, es verdad, una alteración especial en las proporciones subsiguientes para neutralizar sus efectos.
Pero cuando tenemos que habérnoslas con un número infinito de términos, este no es el caso; el «límite» de la serie, que es aquello de lo que entonces hemos de ocuparnos, no se ve afectado por estas perturbaciones temporales. En el curso continuado de la serie encontraremos, como cuestión de hecho, cada vez más perturbaciones de este tipo, y estas de un carácter cada vez más excepcional.
Pero cualquiera que sea el punto que ocupemos en un momento dado, si miramos hacia adelante o hacia atrás en la extensión indefinida de la serie, seguiremos viendo que el límite último de la proporción en la que están dispuestos sus términos sigue siendo el mismo; y es con este límite, como se mencionó anteriormente, con el que nos concierne tratar en las estrictas reglas de la Probabilidad.
El ejemplo más familiar, tal vez, de este tipo sea el de lanzar una moneda al aire. Supongamos que hemos obtenido cuatro caras consecutivas; la gente[11] ya se ha dado cuenta más o menos de que «cara la quinta vez» sigue siendo una probabilidad de cincuenta por cincuenta, como lo fue «cara» cada vez antes, y lo será siempre después.
El párrafo precedente explica cómo es que estas perturbaciones ocasionales en el promedio se neutralizan a la larga.
§ 29. (3) Hay otros casos que, aunque raros, no son en absoluto desconocidos, en los cuales una inferencia como la obtenida a partir de la Regla de Sucesión sería exactamente lo contrario de la verdad. Cuanto más a menudo sucede algo, puede ocurrir que más improbable sea que vuelva a suceder. Este es el caso siempre que extraemos cosas de una fuente limitada (como bolas de una bolsa sin reemplazarlas), o siempre que el acto de repetición en sí mismo tiende a impedir la sucesión (como al dar falsas alarmas).
Estoy muy dispuesto a admitir que creemos en los resultados descritos en las dos últimas clases en virtud de alguna regla o, más bien, principio inductivo general de la clase del involucrado en la primera. Pero sería un gran error confundir esto con una admisión de la validez de la regla en cada caso especial. Estamos hablando de la aplicación de la regla a casos individuales, o clases de casos; esto es algo muy distinto, como se señaló en un capítulo anterior, de ofrecer los fundamentos en los que apoyamos la regla misma. Si un hombre estableciera como regla universal que debe creerse el testimonio de todas las personas, y adujéramos el ejemplo de un hombre que ha mentido, no se consideraría que salva su regla al demostrar que creímos que era una mentira por la palabra de otras personas. Pero es perfectamente coherente dar como regla meramente general, mas no universal, que el testimonio de los hombres es creíble; luego segregar una segunda clase de hombres en cuya palabra no se debe confiar, y finalmente, si alguien quiere saber nuestro fundamento para la segunda regla, apoyarla en la primera. Si estuviéramos hablando de leyes necesarias, un conflicto como este sería tan desesperado como el viejo enigma «cretense» en la lógica; pero en los casos de extensión inductiva y analógica es perfectamente inofensivo.
§ 30. Un ejemplo familiar servirá para poner de manifiesto las tres conclusiones posibles diferentes mencionadas anteriormente. Hemos observado que llueve durante diez días consecutivos. A y B concluyen respectivamente a favor y en contra de que llueva el undécimo día; C sostiene que la lluvia pasada no aporta dato alguno para formarse una opinión. ¿Quién tiene razón? En verdad no podemos determinarlo à priori. Es necesario apelar a la observación directa, o bien encontrar los medios para decidir sobre bases independientes a qué clase debemos adscribir el caso.
Si, por ejemplo, se supiera que cada país produce su propia lluvia, elegiríamos la tercera regla, pues se trataría de un caso de extracción de una provisión limitada. Si, de nuevo, tuviéramos razones para creer que la lluvia de nuestro país puede producirse en cualquier parte del globo, probablemente concluiríamos que las precipitaciones pasadas no arrojan luz alguna sobre la perspectiva de la continuidad del tiempo húmedo, y adoptaríamos por tanto la segunda.
O si, finalmente, supiéramos que la lluvia se presenta en largos periodos o estaciones, como en los trópicos, entonces la ocurrencia de diez días húmedos sucesivos nos haría creer que hemos entrado en una de esas estaciones y que, por consiguiente, el día siguiente se parecería probablemente a los diez anteriores.
Puesto que desde entonces todas estas formas de una regla tan inductiva son posibles, y a menudo no tenemos fundamentos à priori para preferir una a otra, parecería absurdo intentar establecer cualquier fórmula universal de anticipación. Todo lo que podemos hacer es averiguar cuáles son las circunstancias bajo las cuales una u otra de estas reglas resulta ser aplicable, de hecho, y hacer uso de ella bajo tales circunstancias.
§ 31. (VII.) En los casos analizados en (V.)[** TN: space] las probabilidades casi infinitamente pequeñas de las que nos ocupábamos se
descartaron con razón de toda consideración práctica, por muy oportuno que fuera, por motivos especulativos, mantener nuestra mente abierta a su existencia real. Pero a menudo se me ha ocurrido que existe un error común al omitir tenerlas en cuenta cuando pueden, aunque individualmente pequeñas, compensar su insignificancia con su número. Como lo expresaría el matemático, pueden ser capaces ocasionalmente de integrarse hasta alcanzar una magnitud finita o incluso considerable.
Por ejemplo, podemos enfrentarnos a una dificultad de la cual parece haber solo un modo de escape apreciablemente posible. Se intenta forzarnos a aceptar esto, por grandes que sean aparentemente las probabilidades en su contra, bajo el argumento de que, por improbable que parezca, es en todo caso enormemente más probable que cualquiera de los demás.
Puedo admitir perfectamente que, por motivos prácticos, a menudo podamos encontrar razonable adoptar este curso; pues solo podemos actuar sobre un supuesto, y elegimos natural y correctamente, de entre una multitud de improbabilidades, la menos improbable.
Pero cuando no se nos obliga a actuar, no se nos exige tal preferencia decisiva. Es entonces perfectamente razonable rechazar el asentimiento a la explicación propuesta; incluso decir claramente que no la creemos y, al mismo tiempo, rehusar por el momento aceptar cualquier otra explicación. Permanecemos, de hecho, en un estado de suspensión del juicio, un estado perfectamente correcto y razonable siempre que no se nos imponga ninguna acción que exija una elección específica.
Una alternativa puede ser decididamente probable en comparación con cualquier otra individualmente, pero decididamente improbable en comparación con todas las demás colectivamente. Esto en sí mismo es bastante comprensible; lo que la gente a menudo no logra ver es que no existe contradicción necesaria entre decir y sentir esto, y aun así estar preparado para actuar enérgicamente, cuando la acción se nos impone, como si esta alternativa fuera realmente la verdadera.
§ 32. Para tomar un caso específico, esta manera de ver el asunto se me ha presentado a menudo en disputas sobre manifestaciones «espiritistas». Se nos insta a dar nuestro asentimiento porque, según se dice, no se puede sugerir ninguna otra solución posible. Puede ser muy cierto que existan dificultades Aparentemente abrumadoras en contra de cada solución alternativa por separado; pero ¿se comprende siempre lo suficiente cuán numerosas pueden ser tales soluciones?
No importa que cada una individualmente sea casi increíble: deben ser agruparon todas juntas y puestas en la balanza frente a la solución propuesta, cuando la única pregunta que se hace es: ¿Hemos de aceptar esta solución? No hay injusticia alguna en tal proceder. Estamos perfectamente dispuestos a adoptar el mismo plan en contra de cualquier otra alternativa individual, siempre que alguien pretenda reclamar esta como la solución de la dificultad.
Estamos considerando el asunto desde un punto de vista puramente lógico, y estamos muy dispuestos, hasta ahí, a poner todas las soluciones, espiritualistas o de otro tipo, en el mismo plano. Los partidarios de cada alternativa se encuentran en una posición más o menos similar a la de los miembros de una asamblea deliberativa, en la que nadie apoya la moción de ningún otro miembro. Todos pueden contribuir eficazmente a rechazar cualquier otra moción, pero ninguno logra aprobar la suya. La presión de una necesidad urgente puede posiblemente forzarlos a salir de este estado de inacción práctica, por decirlo así, rompiendo la oposición en algún punto de menor resistencia; pero, a menos que cuenten con la ayuda de dicha presión, quedan sumidos en un estado de punto muerto desesperado.
§ 33. Suponiendo que la solución espiritualista admite un tratamiento científico, y ha de recibirlo, esta es, según me parece, la conclusión a la que uno podría verse conducido a veces ante las pruebas ofrecidas. Podríamos tener que decir a cada explicación individual: Es increíble, no puedo aceptarla; y a menos que las circunstancias nos obliguen (lo cual es casi imposible que hagan) a una decisión apresurada —una decisión, recuérdese, que no necesita indicar ninguna preferencia del juicio más allá de lo justo para inclinar la balanza a su favor frente a cualquier otra alternativa única—, dejamos así la cuestión en suspenso.
Es muy probable que se alegue que una de las explicaciones (asumiendo que se hayan incluido todas las posibles) debe de ser verdadera; esto lo admitimos sin reparos. Es probable también que se alegue que (según el principio tantas veces citado de Butler) debemos aceptar de inmediato la que, en comparación con las demás, sea la más plausible, sea cual fuere su valor absoluto. Esto parece claramente un error. Decir que tal o cual explicación es la que debemos aceptar, si las circunstancias nos obligaran a anticipar nuestra decisión, es perfectamente compatible con su rechazo actual. La única postura racional es seguramente la de admitir que la verdad se halla en alguna parte entre las diversas alternativas, pero confesando claramente que no tenemos tal preferencia por una sobre otra como para permitirnos decir otra cosa que no sea que no creemos en ninguna de ellas.
§ 34. (VIII.) El muy común sofisma de «juzgar por los acontecimientos», como suele denominarse, merece aquí una breve mención, ya que pertenece claramente a la Probabilidad más que a la Lógica; aunque su naturaleza es tan obvia para quienes han comprendido los principios generales de nuestra ciencia, que bastarán unas pocas palabras de observación.
En cierto sentido, toda proposición debe consentir en ser juzgada por el acontecimiento, puesto que esto no es más que, en otras palabras, someterla a la prueba de la experiencia. Pero existe la mayor diferencia entre la prueba apropiada para una proposición universal y la apropiada para una meramente proporcional o estadística. La primera queda refutada por una sola excepción; la segunda no solo admite excepciones, sino que las implícita.
Sin embargo, nada es más común que censurar un consejo (en los demás) porque ha resultado desafortunado por azar, o atribuirse el mérito de este (en uno mismo) porque ha tenido éxito por azar. Por supuesto, si la conclusión era declaradamente de índole probable, debemos estar preparados para aceptar con complacencia un acontecimiento adverso, o incluso una sucesión de ellos; no es sino hasta que la sucesión muestra una disposición a prolongarse demasiado cuando deben surgir la sospecha y la duda, y solo entonces mediante una comparación entre el grado de la probabilidad asignada y la magnitud de la desviación respecto a esta que manifiesta la experiencia.
Ante cualquier fracaso aislado, la respuesta debe ser: «el consejo era sensato» (suponiendo, claro está, que debiera justificarse a la larga), «y volveré a ofrecerlo bajo las mismas circunstancias».
§ 35. La distinción establecida en el caso anterior merece una cuidadosa consideración; pues debido a la gran diferencia entre el tipo de proposiciones de las que trata la Probabilidad y la Lógica ordinaria, y a la consiguiente diferencia en la naturaleza de la prueba ofrecida, es perfectamente posible que argumentos de la misma apariencia general sean válidos en la primera y falaces en la segunda, y viceversa.
Por ejemplo, tómese la conocida falacia que consiste simplemente en convertir una afirmativa universal, es decir,[ TN: space] en pasar de Todo A es B a Todo B es A. Cuando, como en la Lógica común, la conclusión ha de ser tan cierta como la premisa, no hay nada que alegar a favor de semejante paso. Pero si miramos el proceso con el ojo más indulgente de la Inducción o la Probabilidad, vemos que a veces se puede presentar un argumento bastante razonable a su favor. El mero hecho de que «Algún B es A» suscita una cierta presunción de que cualquier B particular tomado al azar será un A. Hay alguna razón, en cualquier caso, para la creencia, aunque a falta de estadísticas sobre la frecuencia relativa de A y B no podamos asignarle un valor a esta creencia. Sospecho que puede haber muchos casos en los que un hombre ha inferido que algún B particular es un A basándose en que Todo A es B, y que podría alegar con justicia en su defensa que nunca pretendió que fuera una inferencia necesaria, sino meramente probable. Las mismas observaciones se aplican por supuesto también a la falacia lógica del Término Medio No Distribuido.
Ahora pasemos a un caso del género opuesto, es decir[ TN: space] uno en el que la Probabilidad nos falla, mientras que las circunstancias parecen muy análogas a aquellas en las que la inferencia ordinaria sería capaz de sostenerse. Supongamos que sé que se pierde una carta de entre un millón cuando está a cargo de correos. Le escribo a un amigo y no obtengo respuesta. ¿Tengo alguna razón para suponer que la culpa es suya? He aquí un acontecimiento (a saber,[ TN: space] la pérdida de la carta) que ciertamente ha ocurrido; y suponemos que, de las únicas dos causas a las que puede atribuirse, el «valor», es decir[** TN: space] la frecuencia estadística, de una de ellas está asignado con precisión, ¿no parece natural suponer que se puede deducir algo sobre la probabilidad de que la otra causa haya estado actuando? Decir que no se puede saber nada acerca de su suficiencia en estas circunstancias parece a primera vista como afirmar que una ecuación en la que solo hay un término desconocido es teóricamente insoluble.
Como ejemplos de esta clase han sido ampliamente discutidos en el capítulo sobre las reglas inversas de la probabilidad, aquí no necesito hacer más que recordarle al lector que no se puede extraer conclusión alguna en cuanto a la probabilidad de que la culpa fuera de mi amigo más bien que de Correos. A menos que sepamos, o hagamos alguna suposición acerca de, la frecuencia con la que él olvida contestar las cartas que recibe, el problema sigue siendo insoluble.
La razón por la cual la analogía aparente, indicada más arriba, con una ecuación con una sola cantidad incógnita, no llega a cumplirse, es que para los fines de la Probabilidad hay en realidad dos cantidades incógnitas. Con lo que tratamos es con proposiciones proporcionales o estadísticas. Ahora bien, solo se nos dice que
en el caso en cuestión la carta se perdió, no que se descubriera que se perdían en tal o cual proporción de casos.
Si se nos hubiera proporcionado esta última información, en realidad solo habríamos tenido una cantidad incógnita que determinar, a saber,[** TN: space] la frecuencia relativa con la que mi corresponsal se descuida de responder a sus cartas, y entonces habríamos podido determinarla con la mayor facilidad.
1 Discutido por el Sr. F. Y. Edgeworth, en el Phil.[ TN: space] Mag.[** TN: space] de abril de 1887.
2 Journal of the Statistical Soc.[ TN: space] (Vol. XLII.[ TN: space] p. 328) ¿Se atreve uno a sospechar una broma?
3 Parece ser que los jugadores la conocen desde hace tiempo con el nombre de Martingala. Hay un documento de Babbage (Trans.[ TN: space] of Royal Soc.[ TN: space] of Edinburgh, de 1823) que analiza ciertos puntos relacionados con ella, pero apenas aborda el tema de las secciones siguientes.
4
Se prestará mayor atención a esta distinción en el capítulo sobre Seguros y apuestas.
5 Como por Prévost en la Bibliothèque Universelle de Genève, oct.[ TN: espacio] de 1829. La explicación es consignada, y aparentemente aceptada, por Quetelet (Physique Sociale, I. 171).
6
Essay on Probabilities, p. 126.
7
Este descuido teórico o absoluto de lo que es muy raro no debe confundirse con el descuido práctico recomendado a veces por los observadores astronómicos y de otra índole. Un criterio, conocido como el de Chauvenet, para indicar los límites de tal rechazo se encontrará descrito en la obra Least Squares del Sr. Merriman (p. 166).
Pero esto se basa en el entendimiento de que, a la larga, resultaría así un menor balance de error. El evento muy raro es rechazado deliberadamente, no pasado por alto.
8
El proceso de cálculo puede indicarse fácilmente. Hay, digamos, unas 350.000 letras en la obra en cuestión. Puesto que cualquiera de las 26 letras del alfabeto puede extraerse cada vez, el número posible de combinaciones sería 26350.000; un número que, como puede inferirse fácilmente de una tabla de logaritmos, exigiría para su expresión casi 500.000 cifras. Solo una de estas combinaciones es favorable, si descartamos las variantes ortográficas. Por consiguiente, la unidad dividida por este número representaría la probabilidad de obtener el resultado deseado mediante la selección aleatoria sucesiva del número requerido de 350.000 letras.
Si se considera que esta probabilidad es demasiado pequeña, y alguien pregunta cuántas veces debe repetirse la selección aleatoria anterior para ofrecerle una probabilidad de 2 contra 1 a favor del éxito, esto también puede demostrarse fácilmente.
Si la probabilidad de un acontecimiento en cada ocasión es de 1/n, la probabilidad de obtenerlo al menos una vez en n intentos es de 1 − (n − 1/n)n; pues lo conseguiremos a menos que fallemos n veces seguidas.
Cuando (como en el caso en cuestión) n es muy grande, puede demostrarse algebraicamente que esto equivale a unas probabilidades de aproximadamente 2 contra 1. Es decir, cuando hayamos extraído la cantidad requerida de letras un número de veces igual al número inconcebiblemente grande representado más arriba, la probabilidad sigue siendo de tan solo 2 contra 1 de que hayamos conseguido lo que queremos, y entonces habremos de reconocerlo.
9
La vida más larga que razonablemente pudiera atribuirse a cualquier lengua se reduciría por supuesto a la más absoluta insignificancia ante períodos de tiempo como los que aquí se contemplan aritméticamente.
10 We are here assuming of course that the ultimate limit to which our average tends is known, either from knowledge of the causes or from previous extensive experience. We are assuming that e.g.[** TN: space] the die is known to be a fair one; if this is not known but a possible bias has to be inferred from its observed performances, the case falls under the former head.
11
Excepto en verdad los jugadores. Según un conocido jugador al que Houdin, el prestidigitador, describe haber conocido en Spa, «cuanto más a menudo ha ocurrido una determinada combinación, más seguro es que no se repetirá en el próximo coup: este es el fundamento de todas las teorías de probabilidades y se denomina la madurez de las suertes» (Card-sharping exposed, p. 85).