dividetur in totidem æquales annulos, quorum vires erunt ut summa omnium PD × Dd , hoc est, cum lineolæ omnes Dd sibi invicem æquentur, adeoq; pro datis haberi possint, ut summa omnium PD ducta in Dd , id est, ut ½ PFq. - ½ PDq. sive ½ PEq. - ½ PDq. vel ½ DEq. ductum in Dd ; hoc est, si negligatur data ½ Dd , ut DE quad. Ducatur jam superficies FE in altitudinem Ff ; & fiet solidi EFfe vis exercita in corpusculum P ut DEq. × Ff : puta si detur vis quam particula aliqua data Ff in distantia PF exercet in corpusculum P . At si vis illa non detur, fiet vis solidi EFfe ut solidum DEq. × Ff & vis illa non data conjunctim. Q. E. D.
Prop. LXXX. Theor. XL.
*Si ad Sphæræ alicujus*AEB*, centro*S*descriptæ, particulas singulas æquales tendant æquales vires centripetæ, & ad Sphæræ axem*AB*, in quo corpusculum aliquod*P*locatur, erigantur de punctis singulis*D*perpendicula*DE*, Sphæræ occurrentia in*E*, & in ipsis capiantur longitudines*DN*, quæ sint ut quantitas*DEq. × PS ÷ PE*& vis quam Sphæræ particula sita in axe ad distantiam*PE*exercet in corpusculum*P*conjunctim: dico quod vis tota, qua corpusculum*P*trahitur versus Sphæram, est ut area comprehensa sub axe Sphæræ*AB*& linea curva*ANB*, quam punctum*N*perpetuo tangit.*
Etenim stantibus quæ in Lemmate & Theoremate novissimo constructa sunt, concipe axem Sphæræ AB dividi in particulas innumeras æquales Dd, & Sphæram totam dividi in totidem laminas Sphæricas concavo-convexas EFfe; & erigatur perpendiculum dn. Per Theorema superius, vis qua lamina EFfe trahit corpusculum P est ut DEq. × Ff & vis particulæ unius ad distantiam PE vel PF exercita conjunctim. Est autem per Page 206 Lemma novissimum, Dd ad Ff ut PE ad PS, & inde Ff æqualis PS × Dd ÷ PE; & DEq. × Ff æquale Dd in DEq. × PS ÷ PE, & propterea vis laminæ EFfe est ut Dd in DEq. × PS ÷ PE & vis particulæ ad distantiam PF exercita conjunctim, hoc est (ex Hypothesi) ut DN × Dd, seu area evanescens DNnd. Sunt igitur laminarum omnium vires in corpus P exercitæ, ut areæ omnes DNnd, hoc est Sphæræ vis tota ut area tota ABNA. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si vis centripeta, ad particulas singulas tendens, eadem semper maneat in omnibus distantiis, & fiat DN ut DEq. × PS ÷ PE: erit vis tota qua corpusculum a Sphæra attrahitur, ut area ABNA.
Corol. 2. Si particularum vis centripeta sit reciproce ut distantia corpusculi a se attracti, & fiat DN ut DEq. × PS ÷ PEq.: erit vis qua corpusculum P a Sphæra tota attrahitur ut area ABNA.
Corol. 3. Si particularum vis centripeta sit reciproce ut cubus distantiæ corpusculi a se attracti, & fiat DN ut DEq. × PS ÷ PEqq.: erit vis qua corpusculum a tota Sphæra attrahitur ut area ABNA.
Corol. 4. Et universaliter si vis centripeta ad singulas Sphæræ particulas tendens ponatur esse reciproce ut quantitas V, fiat autem DN ut {DEq. × PS} ÷ {PE × V}; erit vis qua corpusculum a Sphæra tota attrahitur ut area ABNA.