SECT. XII.

SL × ASq.	-	ASq.	-	ALB × ASq.
PS × LD	2 PS	2 PS × LDq.

id est (ob continue proportionales PS, AS, SI) ut

LSI	- ½ SI -	ALB × SI	.
LD	2 LDq.

Si ducantur hujus partes Page 209 tres in longitudinem AB, prima LSI ÷ LD generabit aream Hyperbolicam; secunda ½SI aream ½AB × SI; tertia ALB × SI ÷ 2LDq. aream

ALB × SI	-	ALB × SI	,
2 LA	2 LB

id est ½AB × SI. De prima subducatur summa secundæ ac tertiæ, & manebit area quæsita ABNA. Unde talis emergit Problematis constructio. Ad puncta L, A, S, B erige perpendicula Ll, Aa, Ss, Bb, quorum Ss ipsi SI æquetur, perq; punctum s Asymptotis Ll, LB describatur Hyperbola asb occurrens perpendiculis Aa, Bb in a & b; & rectangulum 2ASI subductum de area Hyperbolica AasbB relinquet aream quæsitam ABNA.

Exempl. 3. Si Vis centripeta, ad singulas Sphæræ particulas tendens, decrescit in quadruplicata ratione distantiæ a particulis, scribe PE⁴ ÷ 2AS³ pro V, dein √2PS × LD pro PE, & fiet DN ut

SL × SI 3 / 2	-	SI 3 / 2	-	ALB × SI 3 / 2	.
√2 × LD 3 / 2	2√2 × LD 1 / 2	2√2 × LD 5 / 2

Cujus tres partes ductæ in longitudinem AB, producunt Areas totidem, viz.

√2 × SL × SI 3 / 2	-	√2 × SL × SI 3 / 2	,	LB 1 / 2 × SI 3 / 2 - LA 1 / 2 - SI 3 / 2	&	ALB × SI 3 / 2	-	ALB × SI 3 / 2	.
LA 1 / 2	LB 1 / 2	√2	3√2 × LA 3 / 2	3√2 × LB 3 / 2

Et hæ post debitam reductionem, subductis posterioribus de priori, evadunt 8SI cub. ÷ 3LI. Igitur vis tota, qua corpusculum P in Sphæræ centrum trahitur, est ut SI cub. ÷ PI, id est reciproce ut PS cub. × PI. Q. E. I. Page 210

Eadem Methodo determinari potest attractio corpusculi siti intra Sphæram, sed expeditius per Theorema sequens.

Prop. LXXXII. Theor. XLI.

*In Sphæra centro*S*intervallo*SA*descripta, si capiantur*SI*,*SA*,*SP*continue proportionales: dico quod corpusculi intra Sphæram in loco quovis*I*attractio est ad attractionem ipsius extra Sphæram in loco*P*, in ratione composita ex dimidiata ratione distantiarum a centro*IS*,*PS*& dimidiata ratione virium centripetarum, in locis illis*P*&*I*, ad centrum tendentium.*

222