Cas. 1. Agatur enim Dvq abscindens Sectoris ADt & trianguli ADp momenta, seu particulas quam minimas simul descriptas tDv & pDq. Cum particulæ illæ, ob angulum communem D, sunt in duplicata ratione laterum, erit particula tDv ut qDp ÷ pD quad. Sed pD quad. est AD quad. + Ap quad. id est AD quad. + Ak × AD seu AD × Ck; & qDp est ½AD × pq. Ergo Sectoris particula vDt est ut pq ÷ Ck, id est, per Corol. 5, Prop. VIII. ut particula temporis. Et componendo fit summa particularum omnium tDv in Sectore ADt, ut summa particularum temporis singulis velocitatis decrescentis Ap particulis amissis pq Page 258 respondentium, usq; dum velocitas illa in nihilum diminuta evanuerit; hoc est, Sector totus ADt est ut ascensus totius futuri tempus. Q. E. D.
Cas. 2. Agatur DQV abscindens tum Sectoris DAV , tum trianguli DAQ particulas quam minimas TDV & PDQ ; & erunt hæ particulæ ad invicem ut DTq. ad DPq. id est (si TX & AP parallelæ sint) ut DXq. ad DAq. vel TXq. ad APq. & divisim ut DXq. - TXq. ad ADq. - APq. Sed ex natura Hyperbolæ DXq. - TXq. est ADq. , & per Hypothesin APq. est AD × AK . Ergo particulæ sunt ad invicem ut ADq. ad ADq. - AD × AK ; id est ut AD ad AD - AK seu AC ad CK : ideoq; Sectoris particula TDV est PDQ × AC ÷ CK , atq; adeo ob datas AC & AD , ut PQ ÷ CK ; & propterea per Corol. 5. Prop. Page 259 VIII. Lib. II. ut particula temporis incremento