progredientis ipso motus initio æquantur, adeoq; & ipsis proportionales hf ÷ fg & HF ÷ FG æquantur; & propterea ob æquales fg & FG , æquantur etiam hf & HF , suntq; adeo CF , CH (vel Ch ) & Cf in progressione Arithmetica, & inde HF semidifferentia est ipsarum Cf & CF ; & resistentia quæ supra fuit ut HF ÷ FG , est ut { Cf - CF } ÷ FG .
Est autem resistentia ut Medii densitas & quadratum velocitatis. Velocitas autem ut descripta longitudo CF directe & tempus √FG inverse, hoc est ut CF ÷ √FG, adeoq; quadratum velocitatis ut CFq. ÷ FG. Quare resistentia, ipsiq; proportionalis {Cf - CF} ÷ FG est ut Medii densitas & ut CFq. ÷ FG conjunctim; & inde Medii densitas ut {Cf - CF} ÷ FG directe & CFq. ÷ FG inverse, id est ut {Cf - CF} ÷ CFq. Q. E. I.
Corol. 1. Et hinc colligitur, quod si in Cf capiatur Ck æqualis CF, & ad planum horizontale AK demittatur perpendiculum ki, secans curvam ACK in l; fiet Medii densitas ut {FG - kl} ÷ {CF × FG + kl}. Erit enim fC ad kC ut √fg seu √FG ad √kl, & divisim fk ad kC, id est Cf - CF ad CF ut √FG - √kl ad √kl; hoc est (si ducatur terminus uterq; in √FG + √kl) ut FG - kl ad kl + √FG × kl, sive ad FG + kl. Nam ratio prima nascentium kl + √FG × kl & FG + kl est æqualitatis. Scribatur itaq; {FK - Kl} ÷ {FK + Kl} pro {Cf - CF} ÷ CF; & Medii densitas, quæ fuit ut {Cf - CF} ÷ CF quad. evadet ut {FG - kl} ÷ {CF × FG + kl}.
Page 263
Corol. 2. Unde cum 2HF & Cf - CF æquentur, & FG & kl (ob rationem æqualitatis) componant 2FG; erit 2HF ad CF ut FG - kl ad 2FG; et inde HF ad FG, hoc est resistentia ad gravitatem, ut rectangulum CF in FG - kl ad 4FG quad.
Corol. 3. Et hinc si curva linea definiatur per relationem inter basem seu abscissam AB & ordinatim applicatam BC; (ut moris est) & valor ordinatim applicatæ resolvatur in seriem convergentem: Problema per primos seriei terminos expedite solvetur: ut in Exemplis sequentibus.
Exempl. 1. Sit Linea ACK semicirculus super diametro AK descriptus, & requiratur Medii densitas quæ faciat ut Projectile in hac linea moveatur.
Bisecetur semicirculi diameter AK in O; & dic OK n, OB a, BC e, & BD vel Bi o: & erit DGq. seu OGq. - ODq. æquale nn - aa - 2ao - oo seu ee - 2ao - oo; & radice per methodum nostram extracta, fiet DG = e - ao ÷ e - oo ÷ 2e - aaoo ÷ 2e3 - ao3 ÷ 2e3 - a3o3 ÷ 2e5 &c. Hic scribatur nn pro ee + aa & evadet DG = e - ao ÷ e - nnoo ÷ 2e3 - anno3 ÷ 2e5 &c.
Hujusmodi Series distinguo in terminos successivos in hunc modum. Terminum primum appello in quo quantitas infinite parva o non extat; secundum in quo quantitas illa extat unius dimensionis; tertium in quo extat duarum, quartum in quo trium est, & sic in infinitum. Et primus terminus, qui hic est e , denotabit semper longitudinem ordinatæ BC insistentis ad indefinitæ quantitatis initium B ; secundus Page 264 terminus qui hic est ao ÷ e , denotabit differentiam inter BC & DF , id est lineolam IF , quæ abscinditur complendo parallelogrammum BC - ID , atq; adeo positionem Tangentis CF semper determinat: ut in hoc casu capiendo IF ad IC ut est ao ÷ e ad o seu a ad e . Terminus tertius, qui hic est nnoo ÷ 2 e 3 designabit lineolam FG , quæ jacet inter Tangentem & Curvam, adeoq; determinat angulum contactus FCG , seu curvaturam quam curva linea habet in C . Si lineola illa FG finitæ est magnitudinis, designabitur per terminum tertium una cum subsequentibus in infinitum. At si lineola illa minuatur in infinitum, termini subsequentes evadent infinite minores tertio, ideoq; negligi possunt. Terminus quartus, qui hic est anno 3 ÷ 2 e