fg , quarum FG producta secet pf , pg & TQ in c , e & R respectivè, & fg producta secet TQ in r : Quoniam vis 3 IT seu 3 PK in circulo est ad vim 3 IT seu 3 pK in Ellipsi, ut PK ad pK , seu AT ad aT ; erit spatium ML vi priore genitum, ad spatium ml vi posteriore genitum, ut PK ad pK , id est ob similes figuras PYKp & FYRc , ut FR ad cR . Est autem ML ad FG (ob similia triangula PLM , PGF ) ut PL ad PG , hoc est (ob parallelas Lk , PK , GR ) ut pl ad pe , id est (ob similia triangula plm , cpe ) ut lm ad ce ; & inversè ut LM est ad lm , seu FR ad cR , ita est FG ad ce . Et propterea si fg esset ad ce ut fY ad cY , id est ut fr ad cR , (hoc est ut fr ad FR & FR ad cR conjunctim, id est ut fT ad FT & FG ad ce conjunctim,) quoniam ratio FG ad ce utrinque ablata relinquit rationes fg ad FG & fT ad FT , foret fg ad FG ut fT ad FT ; propterea quod anguli, quos FG & fg subtenderent ad Terram T , æquarentur inter se. Sed anguli illi (per ea quæ in præcedente Propositione exposuimus) sunt motus Nodorum, quo tempore Luna in circulo arcum PM , in Ellipsi arcum pm percurrit: & propterea motus Nodorum in Circulo & Ellipsi æquarentur inter se. Hæc ita se haberent, si modo fg esset ad ce ut fY ad cY , Page 450 id est si fg æqualis esset ce × fY ÷ cY . Verum ob similia triangula fgp , cep , est fg ad ce ut fp ad cp ; ideoque fg æqualis est ce × fp ÷ cp , & propterea angulus, quem fg revera subtendit, est ad angulum priorem, quem FG subtendit, hoc est motus Nodorum in Ellipsi ad motum Nodorum in Circulo, ut hæc fg seu ce × fp ÷ cp ad priorem fg seu ce × fY ÷ cY , id est ut fp × cY ad cp × fY , seu fp ad fY & cY ad cp ; hoc est, si pb ipsi TN parallela occurrat FP in b , ut Fb ad FY & FY ad FP ; hoc est ut Fb ad FP seu Dp ad DP , adeoque ut area Dpmd ad aream DPMd . Et propterea, cum area posterior proportionalis sit motui Nodorum in Circulo, erit area prior proportionalis motui Nodorum in Ellipsi. Q. E. D.
Corol. Igitur cum, in data Nodorum positione, summa omnium arearum pDdm, quo tempore Luna pergit à Quadratura ad locum quemvis m, sit area mpQEd, quæ ad Ellipseos Tangentem QE terminatur; & summa omnium arearum illarum, in revolutione integra, sit area Ellipseos totius: motus mediocris Nodorum in Ellipsi erit ad motum mediocrem Nodorum in circulo, ut Ellipsis ad circulum, id est ut Ta ad TA, seu 6811/12 ad 6911/12. Et propterea, cum motus mediocris horarius Nodorum in circulo sit ad 16″. 35″′. 16iv. 36v. ut AZ qu. ad AT qu. si capiatur angulus 16″. 21″′. 2iv. 36v. ad angulum 16″. 35″′. 16iv. 36v. ut 6811/12 ad 6911/12, erit motus mediocris horarius Nodorum in Ellipsi ad 16″. 21″′. 2iv. 36v. ut AZq. ad ATq.; hoc est ut quadratum Sinus distantiæ Nodi à Sole ad quadratum Radii.
Cæterum Luna, radio ad Terram ducto, aream velocius describit in Syzygiis quàm in Quadraturis, & eo nomine tempus in Syzygiis contrahitur, in Quadraturis producitur; & una cum tempore motus Nodorum augetur ac diminuitur. Erat autem momentum areæ in Quadraturis Lunæ ad ejus momentum in Syzygiis ut 10973 ad 11073; & propterea momentum mediocre in Octantibus est ad excessum in Syzygiis, defectumque in Quadraturis, ut numerorum semisumma 11023 ad eorundem semidifferentiam 50. Page 451 Unde cum tempus Lunæ in singulis Orbis particulis æqualibus sit reciprocè ut ipsius velocitas, erit tempus mediocre in Octantibus ad excessum temporis in Quadrantibus, ac defectum in Syzygiis, ab hac causa oriundum, ut 11023 ad 50 quam proxime. Pergendo autem à Quadraturis ad Syzygias, invenio quod excessus momentorum areæ in locis singulis, supra momentum minimum in Quadraturis, sit ut quadratum Sinus distantiæ Lunæ à Quadrantibus quam proximè; & propterea differentia inter momentum in loco quocunque & momentum mediocre in Octantibus, est ut differentia inter quadratum Sinus distantiæ Lunæ à Quadraturis & quadratum Sinus graduum 45, seu semissem quadrati Radii; & incrementum temporis in locis singulis inter Octantes & Quadraturas, & decrementum ejus inter Octantes & Syzygias est in eadem ratione. Motus autem Nodorum, quo tempore Luna percurrit singulas Orbis particulas æquales, acceleratur vel retardatur in duplicata ratione temporis. Est enim motus iste, dum Luna percurrit PM , (cæteris paribus) ut ML , & ML est in duplicata ratione temporis. Quare motus Nodorum in Syzygiis, eo tempore confectus quo Luna datas Orbis particulas percurrit, diminuitur in duplicata ratione numeri 11073 ad numerum