longitudinibus AC & SM , ut area ASC μ ad triangulum ASCM , id est ut SN ad SM . Quare AC est ad longitudinem in tangente descriptam ut S μ ad SN . Cum autem velocitas Cometæ in altitudine SP sit ad velocitatem in altitudine S μ in dimidiata ratione SP ad S μ inversè, id est in ratione S μ ad SN , longitudo hac velocitate eodem tempore descripta, erit ad longitudinem in Tangente descriptam ut S μ ad SN . Igitur AC & longitudo hac nova velocitate descripta, cum sint ad longitudinem in Tangente descriptam in eadem ratione, æquantur inter se. Q. E. D.
Corol. Cometa igitur ea cum velocitate, quam habet in altitudine Sμ + ⅔Iμ, eodem tempore describeret chordam AC quamproximè.
Lemma XI.
*Si Cometa motu omni privatus de altitudine*SN*seu*Sμ + ⅓Iμ*demitteretur, ut caderet in Solem, & ea semper vi uniformiter continuata urgeretur in Solem qua urgetur sub initio; idem tempore in orbe suo describat arcum*AC*, descensu suo describeret spatium longitudini*Iμ*æquale.*
Nam Cometa quo tempore describat arcum Parabolicum AC, eodem tempore ea cum velocitate quam habet in altitudine SP (per Page 487 Lemma novissimum) describet chordam AC, adeoque eodem tempore in circulo cujus semidiameter esset SP revolvendo, describeret arcum cujus longitudo esset ad arcus Parabolici chordam AC in dimidiata ratione unius ad duo. Et propterea eo cum pondere quod habet in Solem in altitudine SP, cadendo de altitudine illa in Solem, describeret eodem tempore (per Scholium Prop. IV. Lib. I.) spatium æquale quadrato semissis chordæ illius applicato ad quadruplum altitudinis SP, id est spatium AIq. ÷ 4SP. Unde cum pondus Cometæ in Solem in altitudine SN sit ad ipsius pondus in Solem in altitudine SP, ut SP ad Sμ: Cometa pondere quod habet in altitudine SN eodem tempore, in Solem cadendo, describet spatium AIq. ÷ 4Sμ, id est spatium longitudini Iμ vel Mμ æquale. Q. E. D.
Prop. XLI. Prob. XX.
*Cometæ in Parabola moventis Trajectoriam ex datis tribus observationibus determinare.*
Problema hocce longe difficillimum multimodè aggressus, composui Problemata quædam in Libro primo quæ ad ejus solutionem spectant. Postea solutionem sequentem paulò simpliciorem excogitavi.
Seligantur tres observationes æqualibus temporum intervallis ab invicem quamproximè distantes. Sit autem temporis intervallum illud ubi Cometa tardius movetur paulo majus altero, ita videlicet ut temporum differentia sit ad summam temporum ut summa temporum ad dies plus minus sexcentos. Si tales observationes non præsto sint, inveniendus est novus Cometæ locus per Lemma sextum.