Dadme un punto de apoyo y moveré la tierra

CAPÍTULO I.

ARQUÍMEDES.

Si a la persona común se le pidiera que dijera de memoria lo que sabe de Arquímedes, probablemente, a lo sumo, sería capaz de citar una u otra de las conocidas historias sobre él:

• cómo, tras descubrir la solución de cierto problema en la bañera, se alegró tanto que corrió desnudo hacia su casa, gritando εὕρηκα, εὕρηκα (o, como podríamos decir, «lo tengo, lo tengo»);
• o cómo dijo «Dadme un punto de apoyo y moveré la tierra»;
• o bien cómo fue asesinado, durante la toma de Siracusa en la Segunda Guerra Punicar, por un soldado romano que se enfadó porque le dijeron que se apartara de un diagrama trazado en el suelo que estaba estudiando.

Y es de temer que pocos que no sean expertos en la historia de la matemática tengan alguna familiaridad con los detalles de los descubrimientos originales en matemáticas del mayor matemático de la antigüedad, tal vez el mayor genio matemático que el mundo haya visto jamás.

La historia y la tradición conocen a Arquímedes casi exclusivamente como el inventor de una serie de ingeniosos ingenios mecánicos, cosas que naturalmente atraen más a la imaginación popular que las sutilezas de las matemáticas puras.

Casi todo lo que se cuenta de Arquímedes nos llega a través de los relatos de Polibio y Plutarco sobre el asedio de Siracusa por Marcelo. Pereció en el saqueo de dicha ciudad en el 212 a. C., y, como entonces era un anciano (tal vez de 75 años), debió de haber nacido hacia el 287 a. C.

Era hijo de Fidias, un astrónomo, y fue amigo y pariente del rey Hierón de Siracusa y de su hijo Gelón. Pasó algún tiempo en Alejandría estudiando con los sucesores de Euclides (Euclides, que floreció hacia el 300 a. C., ya no vivía entonces).

Fue sin duda en Alejandría donde entabló conocimiento con Conón de Samos, a quien admiraba como matemático y estimaba como amigo, así como con Eratóstenes; al primero, y al segundo durante su primera época, solía comunicar sus descubrimientos antes de su publicación. Fue también probablemente en Egipto donde inventó el tornillo hidráulico que lleva su nombre, cuyo propósito inmediato era la extracción de agua para el riego de los campos.

Tras su regreso a Siracusa llevó una vida enteramente dedicada a la investigación matemática. Casualmente se hizo famoso gracias a sus ingeniosos inventos mecánicos.

Estas cosas eran, sin embargo, en su caso las «diversiones de la geometría en el juego», y no les concedía ninguna importancia. En palabras de Plutarco, «poseía un espíritu tan elevado, un alma tan profunda y tal riqueza de conocimientos científicos que, aunque estas invenciones le habían ganado la fama de una sagacidad más que humana, no quiso sin embargo dejar tras de sí ninguna obra escrita sobre tales asuntos, sino que, considerando innoble y sórdida la tarea de la mecánica y toda clase de arte que se dirige a la utilidad práctica, cifró toda su ambición en aquellas especulaciones en cuya belleza y sutilidad no hay mezcla de las necesidades comunes de la vida».

Durante el sitio de Siracusa, Arquímedes ideó toda clase de ingenios contra los sitiadores romanos. Había catapultas tan ingeniosamente construidas que servían igualmente para larga o corta distancia, y máquinas para disparar lluvias de proyectiles a través de agujeros abiertos en las murallas. Otras máquinas consistían en largas pértigas móviles que sobresalían de las murallas; algunas de estas dejaban caer pesados pesos sobre los barcos del enemigo y sobre las construcciones que llamaban sambuca, debido a su parecido con un instrumento musical de ese nombre, y que consistían en una escalera protegida con un extremo apoyado sobre dos quinquirremes amarrados lado a lado como base, y capaces de ser izados mediante un cabrestante; otras estaban provistas de una mano de hierro o un pico semejante al de una grúa, que atrapaba las proas de los barcos, para luego levantarlos en el aire y volver a dejarlos caer.

Se dice que Marcelo se burló de sus propios ingenieros y artífices con estas palabras: «¿No acabaremos de luchar contra este Briareo geométrico que usa nuestros barcos como tazas para sacar agua del mar, ahuyenta ignominiosamente nuestra sambuca a palos y, por la multitud de proyectiles que nos arroja de una vez, supera a los gigantes de cien manos de la mitología?».

Pero la exhortación no surtió efecto, ya que los romanos se encontraba en un terror tan abyecto que,

«si tan solo veían un trozo de cuerda o de madera sobresaliendo por encima del muro, gritaban "ahí está", declarando que Arquímedes estaba poniendo en marcha alguna máquina contra ellos, y volvían la espalda y huían, a tal punto que Marcelo desistió de todo combate y asalto, poniendo toda su esperanza en un largo sitio».

Arquímedes murió, como había vivido, absorto en la contemplación matemática. Los relatos sobre las circunstancias de su muerte difieren en algunos detalles. Plutarco ofrece más de una versión en el siguiente pasaje:

“Marcelo se sintió profundamente afligido por la muerte de Arquímedes, pues, quiso la suerte que estuviera concentrado en resolver un problema mediante un diagrama y, con la mente y los ojos fijos por igual en su investigación, jamás advirtió la incursión de los romanos ni la toma de la ciudad. Y cuando un soldado se le acercó de repente y le ordenó que fuera a ver a Marcelo, se negó a hacerlo hasta haber llevado su problema hasta la demostración; ante lo cual el soldado se enfureció tanto que desenvainó su espada y lo mató. Otros dicen que el romano corrió hacia él con la espada desenvainada, amenazando con matarlo; y que, cuando Arquímedes lo vio, le rogó encarecidamente que esperara un poco para no dejar su problema incompleto e insuelto, pero el otro no hizo caso y lo mató. Además, existe un tercera versión según la cual, mientras llevaba a Marcelo algunos de sus instrumentos matemáticos, relojes de sol, esferas y ángulos adaptados al tamaño aparente del sol a la vista, unos soldados le salieron al encuentro y, bajo la impresión de que llevaba oro en el recipiente, lo mataron”.

La versión más pintoresca de la historia es aquella que lo presenta diciendo a un soldado romano que se acercó demasiado: «Apártate, muchacho, de mi diagrama», ante lo cual el hombre se enfureció tanto que lo mató.

Se dice que Arquímedes pidió a sus amigos y parientes que colocaran sobre su tumba la representación de un cilindro que circunscribía una esfera en su interior, junto con una inscripción que indicaba la razón (3/2) que el cilindro guarda con la esfera; de lo cual podemos inferir que él mismo consideraba el descubrimiento de esta razón como su mayor logro.

Cicerón, cuando era cuestor en Sicilia, encontró la tumba en estado de abandono y la restauró. En los tiempos modernos no se ha encontrado ni el más mínimo rastro de ella.

Más allá de los pormenores anteriores de la vida de Arquímedes, no nos queda más que una serie de anécdotas que, aunque tal vez no sean literalmente exactas, contribuyen sin embargo a formarnos una idea de la personalidad del personaje que no estaríamos dispuestos a cambiar.

Así, como ilustración de su total absorción en sus estudios abstractos, se nos dice que se olvidaba por completo de la comida y de otras necesidades semejantes de la vida, y se dedicaba a dibujar figuras geométricas en las cenizas del hogar o, al ungirse, en el aceite de su propio cuerpo.

De la misma índole es la historia mencionada arriba de que, habiendo descubierto mientras se bañaba la solución al problema que le había planteado Hierón sobre si cierta corona que se suponía hecha de oro no contendría en realidad una cierta proporción de plata, corrió desnudo por la calle hacia su casa gritando εὕρηκα, εὕρηκα.

Fue en relación con su descubrimiento de la solución al problema Mover un peso dado mediante una fuerza dada que Arquímedes pronunció la famosa frase: «Dadme un punto de apoyo y moveré la tierra» (δός μοι ποῦ στῶ καὶ κινῶ τὴν γᾶν, o en su amplio dorio, según cuenta una versión, πᾶ βῶ καὶ κινῶ τὰν γᾶν).

Plutarco lo presenta declarando a Hierón que cualquier peso dado podía ser movido por una fuerza dada, y jactándose, confiado en la fuerza de su demostración, de que, si le hubieran dado otra tierra, habría cruzado a ella y movido esta.

“Y cuando Hierón se quedó atónito y le pidió que redujera el problema a la práctica y le mostrara un gran peso movido por una pequeña fuerza, [Arquímedes] eligió una nave de carga de tres mástiles del arsenal del rey que solo había sido sacada a flote mediante el gran esfuerzo de muchos hombres; y cargándola con muchos pasajeros y una carga completa, sentándose él mismo a lo lejos, sin gran esfuerzo sino poniendo en movimiento silenciosamente con su mano un sistema de poleas compuestas, arrastró la nave hacia sí con suavidad y seguridad como si se estuviera desplazando por el mar”.

Se nos dice en otra parte que Hierón quedó tan asombrado que declaró que, desde aquel día en adelante, ¡la palabra de Arquímedes debía ser aceptada en cualquier asunto!

Otra versión de la historia describe la máquina utilizada como una hélice; este término debe suponerse referirse a un tornillo en forma de hélice cilíndrica girado por una manivela y que actúa sobre una rueda dentada con dientes oblicuos que encajan en el tornillo.

Otra invención fue la de una esfera construida de modo que imitaba los movimientos del sol, la luna y los cinco planetas en los cielos. Cicerón vio en realidad este artefacto, y da una descripción de él, afirmando que representaba los períodos de la luna y el movimiento aparente del sol con tanta precisión que incluso mostraría (durante un corto período) los eclipses de sol y de luna.

Puede haber sido movido por el agua, pues Papo habla en un lugar de «aquellos que entienden la fabricación de esferas y producen un modelo de los cielos mediante el movimiento circular regular del agua». En cualquier caso, es seguro que Arquímedes estuvo muy ocupado con la astronomía. Livio lo llama «unicus spectator caeli siderumque».

Hiparco dice: «A partir de estas observaciones resulta evidente que las diferencias en los años son del todo pequeñas; mas, en cuanto a los solsticios, casi creo que tanto yo como Arquímedes hemos errado en una cuarta parte de un día, tanto en la observación como en la deducción a partir de ella».

Parece, por lo tanto, que Arquímedes había considerado la cuestión de la duración del año. Macrobio dice que descubrió las distancias de los planetas. El propio Arquímedes describe en el Contador de arena el aparato con el que midió el diámetro aparente del sol, es decir, el ángulo que este subtiende ante el ojo.

La historia de que prendió fuego a los barcos romanos mediante una disposición de lentes ustorias o espejos cóncavos no se encuentra en ninguna fuente anterior a Luciano (siglo II d. C.); pero la idea de que descubriera alguna forma de espejo ustorio —por ejemplo, un paraboloide de revolución, que reflejaría hacia un solo punto todos los rayos que incidieran en su superficie cóncava en dirección paralela a su eje— no tiene nada de improbable.

CAPÍTULO II.

DE LA GEOMETRÍA GRIEGA A ARQUÍMEDES.

Para que el lector pueda formarse una comprensión correcta del lugar que ocupa Arquímedes y de la importancia de su obra, es necesario pasar revista al curso del desarrollo de la geometría griega desde sus primeros comienzos hasta la época de Euclides y Arquímedes.

Los autores griegos, desde Heródoto en adelante, coinciden en afirmar que la geometría fue inventada por los egipcios y que llegó a Grecia procedente de Egipto. Un relato dice:—

Se dice que la geometría fue inventada por muchos entre los egipcios, debiéndose su origen a la medida de parcelas de tierra. Esto era necesario allí debido a la crecida del Nilo, que borraba los linderos pertenecientes a los distintos propietarios.

Tampoco es de extrañar que el descubrimiento de esta y de las demás ciencias haya surgido de semejante ocasión, puesto que todo lo que se mueve en el sentido del desarrollo avanzará de lo imperfecto a lo perfecto.

De la percepción sensorial al razonamiento, y del razonamiento al entendimiento, hay una transición natural. Del mismo modo que entre los fenicios, a través del comercio y el intercambio, se originó un conocimiento preciso de los números, también entre los egipcios se inventó la geometría por la razón antes mencionada.

“Tales fue primero a Egipto y de allí introdujo este estudio en Grecia.”

Pero es evidente que la geometría de los egipcios era casi enteramente práctica y no iba más allá de las necesidades del agrimensor, el agricultor o el comerciante.

Ya sabían, remontándose hasta el año 2000 a. C., que en un triángulo cuyos lados son proporcionales a 3, 4, 5, el ángulo comprendido entre los dos lados más pequeños es un ángulo recto, y utilizaban un triángulo así como un medio práctico para trazar ángulos rectos.

Tenían fórmulas, más o menos inexactas, para ciertas medidas, por ejemplo, para las áreas de ciertos triángulos, trapecios paralelos y círculos.

Tenían, además, en su construcción de pirámides, que usar la noción de triángulos rectángulos semejantes; incluso tenían un nombre, se-qet, para la razón entre la mitad del lado de la base y la altura, es decir, para lo que nosotros llamaríamos la cotangente del ángulo de inclinación.

Pero no se puede atribuir a los egipcios ni un solo teorema general de la geometría. Su conocimiento de que el triángulo (3, 4, 5) es rectángulo está lejos de implicar conocimiento alguno de la proposición general (Eucl. I., 47) conocida con el nombre de Pitágoras.

En realidad, aún faltaba por descubrir la ciencia de la geometría; y esto requería el genio para la especulación pura que los griegos poseían en mayor medida que ninguna otra nación del mundo.

Tales, que había viajado a Egipto y aprendido allí lo que los sacerdotes podían enseñarle sobre el tema, introdujo la geometría en Grecia. Casi toda la ciencia y la filosofía griegas comienzan con Tales. Su época fue hacia el 624-547 a. C. Primero de los filósofos jonios, y declarado uno de los Siete Sabios en el 582-581, brilló en todos los campos, como astrónomo, matemático, ingeniero, estadista y hombre de negocios.

En astronomía predijo el eclipse solar del 28 de mayo de 585, descubrió la desigualdad de las cuatro estaciones astronómicas y aconsejó el uso de la Osa Menor en lugar de la Osa Mayor como medio para encontrar el polo.

En geometría se le atribuyen los siguientes teoremas —y su carácter muestra cómo los griegos tuvieron que empezar desde el principio absoluto de la teoría—: (1) que un círculo es bisecado por cualquier diámetro (Eucl. I, Def. 17), (2) que los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales (Eucl. I, 5), (3) que, si dos líneas rectas se cortan mutuamente, los ángulos opuestos por el vértice son iguales (Eucl. I, 15), (4) que, si dos triángulos tienen dos ángulos y un lado respectivamente iguales, los triángulos son iguales en todos los aspectos (Eucl. I, 26). Se dice que (5) fue el primero en inscribir un triángulo rectángulo en un círculo, lo que debe significar que fue el primero en descubrir que el ángulo en un semicírculo es un ángulo recto.

También resolvió dos problemas de geometría práctica:

• (1) demostró cómo medir la distancia desde tierra de un barco en el mar (para esto se dice que utilizó la proposición número (4) anterior), y
• (2) midió las alturas de las pirámides mediante la sombra proyectada en el suelo (esto implica el uso de triángulos semejantes de la manera en que los egipcios los habían usado en la construcción de pirámides).

Después de Tales vienen los pitagóricos. Se nos dice que los pitagóricos fueron los primeros en utilizar el término μαθήματα (literalmente «materias de instrucción») en el sentido especializado de «matemáticas»; fueron también los primeros en promover las matemáticas como un estudio cultivado por sí mismo y en hacer de ellas una parte de la educación liberal.

Pitágoras, hijo de Mnesarco, nació en Samos hacia el 572 a. C., y murió a una edad avanzada (75 u 80 años) en Metaponto. Sus intereses eran tan variados como los de Tales; sus viajes, emprendidos todos en busca de conocimiento, fueron probablemente aún más extensos. Como Tales, y tal vez por sugerencia suya, visitó Egipto y estudió allí durante un largo período (22 años, según algunos).

Es difícil separar del conjunto de las doctrinas pitagóricas aquellas partes que se deben al propio Pitágoras, debido a la costumbre que tenían los miembros de la escuela de atribuir todo al Maestro (αὐτὸς ἔφα, ipse dixit).

En astronomía se le pueden atribuir con seguridad al menos dos cosas: sostuvo que la tierra tiene forma esférica y reconoció que el sol, la luna y los planetas tienen un movimiento independiente propio en dirección contraria a la de la rotación diaria; parece, sin embargo, haberse adherido a la visión geocéntrica del universo, y fueron sus sucesores quienes desarrollaron la teoría de que la tierra no permanece en el centro, sino que gira, al igual que los demás planetas y el sol y la luna, en torno al «fuego central».

Tal vez su descubrimiento más notable fue la dependencia de los intervalos musicales respecto a las longitudes de las cuerdas vibrantes, siendo la proporción para la octava 2 : 1, para la quinta 3 : 2 y para la cuarta 4 : 3.

En aritmética fue el primero en exponer la teoría de las medias y de la proporción aplicada a las cantidades conmensurables. Sentó las bases de la teoría de los números al considerar las propiedades de los números en cuanto tales, a saber, los números primos, los números pares e impares, etc.

Por medio de números figurados, cuadrados, oblongos, triangulares, etc. (representados por puntos dispuestos en forma de las diversas figuras), mostró la conexión entre los números y la geometría.

En vista de todas estas propiedades de los números, podemos comprender fácilmente cómo los pitagóricos llegaron a «asimilar todas las cosas a los números» y a encontrar en los principios de los números los principios de todas las cosas («todas las cosas son números»).

Llegamos ahora a los logros de Pitágoras en geometría. Cuenta una historia que, al volver de Egipto e intentar fundar una escuela en Samos, encontró a los samios indiferentes, de modo que tuvo que tomar medidas especiales para asegurar que su geometría no pereciera con él.

Al ir al gimnasio, buscó a un joven apuesto que parecía adecuado para su propósito y que además era pobre, y lo sobornó para que aprendiera geometría prometiéndole seis peniques por cada proposición que dominara. Muy pronto, el joven quedó fascinado por la materia en sí misma, y Pitágoras juzgó acertadamente que continuaría con gusto sin los seis peniques.

Dio a entender, por tanto, que él mismo era pobre y tenía que intentar ganarse la vida en lugar de hacer matemáticas; ante lo cual el joven, antes de renunciar al estudio, se ofreció voluntariamente a pagarle a Pitágoras seis peniques por cada proposición.

En geometría, Pitágoras se propuso sentar las bases de la disciplina, empezando por ciertas definiciones importantes e investigando los principios fundamentales.

De las proposiciones que se le atribuyen, la más famosa es, por supuesto, el teorema de que en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (Eucl. I., 47); y, dado que la tradición griega le atribuye universalmente la demostración de este teorema, preferimos creer que la tradición está en lo cierto.

Esto se ve confirmado hasta cierto punto por otra tradición según la cual Pitágoras descubrió una fórmula general para hallar dos números tales que la suma de sus cuadrados sea un número cuadrado. Esto depende de la teoría del gnomon, que al principio tenía una significación aritmética correspondiente a su uso geométrico en el libro II de Euclides. Una figura con forma de gnomon colocada alrededor de dos lados de un cuadrado lo convierte en un cuadrado mayor.

Ahora consideremos el número 1 representado por un punto. Alrededor de este lugar colocamos otros tres puntos de modo que los cuatro puntos formen un cuadrado (1 + 3 = 2²). Alrededor de los cuatro puntos (en dos lados adyacentes del cuadrado) colocamos cinco puntos a distancias regulares e iguales, y tenemos otro cuadrado (1 + 3 + 5 = 3²); y así sucesivamente. Los números impares sucesivos 1, 3, 5... fueron llamados gnomones, y la fórmula general es

1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n².

Sumemos el siguiente número impar, es decir, 2n + 1, y tenemos n² + (2n + 1) = (n + 1)². Para obtener, pues, dos números cuadrados cuya suma sea un cuadrado, solo tenemos que ver que 2n + 1 sea un cuadrado.

Supongamos que 2n + 1 = m²; entonces n = ½(m² − 1), y tenemos {½ (m² − 1) }² + m² = {½ (m² + 1) }², donde m es cualquier número impar; y esta es la fórmula general atribuida a Pitágoras.

Proclo también atribuye a Pitágoras la teoría de las proporciones y la construcción de las cinco «figuras cósmicas», los cinco sólidos regulares.

Uno de dichos sólidos, el dodecaedro, tiene doce caras pentagonales, y la construcción de un pentágono regular implica el corte de una línea recta «en razón extrema y media» (Eucl. II, 11, y VI, 30), que es un caso particular del método conocido como la aplicación de áreas.

No sabemos cuánto de esto se debió al propio Pitágoras; pero, en cualquier caso, todo el método fue desarrollado plenamente por los pitagóricos y demostró ser uno de los métodos geométricos más potentes.

El caso más elemental aparece en Euclides, I., 44, 45, donde se muestra cómo aplicar a una línea recta dada como base un paralelogramo que tenga un ángulo dado (digamos un rectángulo) y sea igual en área a cualquier figura rectilínea; esta construcción es el equivalente geométrico de la división aritmética.

El caso general es aquel en el que el paralelogramo, aun estando aplicado a la línea recta, se pasa de ella o se queda corto de tal modo que la parte del paralelogramo que sobresale, o falta, respecto del paralelogramo del mismo ángulo y anchura sobre la propia línea recta dada como base es semejante a otro paralelogramo dado (Eucl. VI., 28, 29).

Este es el equivalente geométrico de la forma más general de la ecuación cuadrática ax ± mx² = C, en la medida en que tiene raíces reales; mientras que la condición para que las raíces sean reales también fue deducida (= Eucl. VI., 27).

Es importante señalar que este método de aplicación de áreas fue utilizado directamente por Apolonio de Pérgamo al formular las propiedades fundamentales de las tres secciones cónicas, propiedades que corresponden a las ecuaciones de las cónicas en coordenadas cartesianas; y los nombres dados por Apolonio (por primera vez) a las cónicas respectivas están tomados de la teoría, significando parábola (παραβολή) «aplicación» (es decir, en este caso el paralelogramo se aplica exactamente sobre la línea recta), hipérbola (ὑπερβολή), «exceso» (es decir, en este caso el paralelogramo excede o se superpone a la línea recta), elipse (ἔλλειψις), «defecto» (es decir, el paralelogramo no alcanza la línea recta).

Otro problema resuelto por los pitagóricos es el de construir una figura rectilínea de área igual a una figura rectilínea dada y semejante a otra. Plutarco menciona una duda sobre si fue este problema o la proposición 47 del libro I de Euclides en virtud de la cual se decía que Pitágoras había sacrificado un buey.

Las principales aplicaciones particulares del teorema del cuadrado sobre la hipotenusa (por ejemplo, las del Libro II de Euclides) también fueron pitagóricas; la construcción de un cuadrado igual a un rectángulo dado (Eucl. II., 14) es una de ellas y corresponde a la solución de la ecuación cuadrática pura x² = ab.

Los pitagóricos demostraron el teorema de que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a dos ángulos rectos (Eucl. I., 32).

Hablando en términos generales, podemos decir que la geometría pitagórica abarcaba la mayor parte de los temas de los Libros I, II, IV y VI de Euclides (con la salvedad, en lo que respecta al Libro VI, de que la teoría pitagórica de la proporción se aplicaba únicamente a las magnitudes mensurables).

Nuestra información sobre el origen de las proposiciones del Libro III de Euclides no es tan completa; pero es seguro que las más importantes de ellas eran bien conocidas por Hipócrates de Quíos (quien floreció en la segunda mitad del siglo V, y vivió tal vez desde alrededor del 470 hasta el 400 a. C.), de lo cual deducimos que las principales proposiciones del Libro III también se incluyeron en la geometría pitagórica.

Por último, los pitagóricos descubrieron la existencia de líneas incomensurables, o de irracionales. Esto se descubrió, sin duda, por primera vez con respecto a la diagonal de un cuadrado, que es incomensurable con el lado, al guardar con él una razón de √2 a 1. La demostración pitagórica de este caso particular sobrevive en Aristóteles y en una proposición interpolada en el Libro X de Euclides; se trata de una reductio ad absurdum que demuestra que, si la diagonal fuera comensurable con el lado, un mismo número tendría que ser par e impar al mismo tiempo.

Este descubrimiento de lo inconmensurable debía causar una gran conmoción a los geómetras, porque demostraba que la teoría de la proporción inventada por Pitágoras no era de aplicación universal y que, por tanto, las proposiciones demostradas mediante ella no estaban realmente establecidas. De ahí las historias de que el descubrimiento de lo irracional se mantuvo en secreto durante un tiempo y de que la primera persona que lo divulgó pereció en un naufragio.

El defecto fatal así revelado en el cuerpo de la geometría no fue subsanado hasta que Eudoxo (408-355 a. C.) descubrió la gran teoría de la proporción (expuesta en el Libro V de Euclides), la cual es aplicable tanto a magnitudes inconmensurables como conmensurables.

En la época de Hipócrates de Quíos, el alcance de la geometría griega ya ni siquiera se limitaba a los Elementos; también se abordaron ciertos problemas especiales que rebasaban las capacidades de la geometría de la línea recta y el círculo, y que estaban destinados a desempeñar un papel fundamental en la determinación del rumbo que tomaría la geometría griega en sus cotas más altas. Los principales problemas en cuestión eran tres: (1) la duplicación del cubo, (2) la trisección de un ángulo cualquiera, (3) la cuadratura del círculo; y desde la época de Hipócrates en adelante, la investigación de estos problemas prosiguió pari passu con la culminación del conjunto de los Elementos.

El propio Hipócrates es un ejemplo del estudio simultáneo de ambos departamentos. Por un lado, fue el primero de los griegos de quien se sabe que compiló un libro de Elementos. Este libro, podemos estar seguros, contenía en particular las proposiciones más importantes sobre el círculo incluidas en el libro III de Euclides.

Pero a Hipócrates se le atribuye una proposición mucho más importante; se dice que fue el primero en demostrar que los círculos están entre sí como los cuadrados de sus diámetros (= Eucl. XII., 2), con la deducción de que los segmentos semejantes de círculos están entre sí como los cuadrados de sus bases. Estas proposiciones fueron utilizadas por él en su tratado sobre la cuadratura de las lúnulas, que pretendía servir de antesala para la cuadratura del círculo.

Este último problema es uno que debió de ocupar a los geómetras prácticos desde tiempos inmemoriales. De Anaxágoras, por ejemplo (hacia el 500-428 a. C.), se dice que trabajó en el problema mientras estaba en prisión.

Las partes esenciales del tratado de Hipócrates se conservan en un pasaje de Simplicio (sobre la Física de Aristóteles), que contiene fragmentos sustanciales de la Historia de la geometría de Eudemo. Hipócrates demostró cómo cuadrar tres lúnulas particulares de distintas formas y, por último, cuadró la suma de cierto círculo y cierta lúnula. Por desgracia, sin embargo, la lúnula mencionada en último lugar no era una de aquellas que se pueden cuadrar, por lo que el intento de cuadrar el círculo de este modo fracasó al fin.

Hipócrates también abordó el problema de duplicar el cubo. Existen dos versiones sobre el origen de este famoso problema.

Según uno de ellos, un viejo poeta trágico representaba a Minos insatisfecho con el tamaño de la tumba erigida para su hijo Glauco, y diciéndole al arquitecto que la hiciera del doble de tamaño, conservando, sin embargo, la forma cúbica. Según el otro, a los de Delos, que sufrían una peste, el oráculo les dijo que duplicaran cierto altar cúbico como medio para detener la plaga.

Hipócrates no resolvió, en verdad, el problema, pero logró reducirlo a otro, a saber, el problema de hallar dos proporcionales medias en proporción continua entre dos líneas rectas dadas, es decir, hallar x, y tales que a : x = x : y = y : b, donde a, b son las dos líneas rectas dadas.

Es fácil ver que, si a : x = x : y = y : b, entonces b/a = (x/a)³, y, como caso particular, si b = 2a, x³ = 2a³, de modo que se halla el lado del cubo que es el doble del cubo de lado a.

El problema de la duplicación del cubo se intentó en adelante exclusivamente bajo la forma del problema de los dos medios proporcionales. Se registran dos soluciones tempranas significativas.

(1) Arquitas de Tarento (que floreció en la primera mitad del siglo IV a. C.) halló las dos medias proporcionales mediante una construcción tridimensional muy llamativa, lo cual demuestra que la geometría del espacio, al menos en manos de Arquitas, estaba ya muy avanzada. La construcción solía calificarse de mecánica, lo que sin duda era en su forma, aunque en realidad resultaba altamente teórica. Consistía en determinar un punto en el espacio como la intersección de tres superficies:

• (a) un cilindro,
• (b) un cono,
• (c) un «anillo de anclaje» con radio interno = 0.

(2) Menecmo, discípulo de Eudoxo y contemporáneo de Platón, halló las dos medias proporcionales por medio de secciones cónicas, de dos maneras,

• (α) por la intersección de dos parábolas, cuyas ecuaciones en coordenadas cartesianas serían x² = ay, y² = bx, y
• (β) por la intersección de una parábola y una hipérbola equilátera, siendo las ecuaciones correspondientes x² = ay y xy = ab respectivamente.

Parece ser que fue en el esfuerzo por resolver este problema como Menecmo descubrió las secciones cónicas, que son llamadas, en un epigrama de Eratóstenes, «las tríadas de Menecmo».

La trisección de un ángulo se efectúa por medio de una curva descubierta por Hipias de Elis, el sofista, contemporáneo de Hipócrates así como de Demócrito y Sócrates (470-399 a. C.). La curva fue llamada cuadratriz porque también servía (en manos, según se nos dice, de Dinóstrato, hermano de Menecmo, y de Nicomedes) para la cuadratura del círculo. Fue teóricamente construida como el lugar geométrico del punto de intersección de dos líneas rectas que se mueven a velocidades uniformes y en el mismo tiempo, siendo un movimiento angular y el otro rectilíneo.

Supóngase que OA, OB son dos radios de un círculo en ángulo recto entre sí. Las tangentes al círculo en A y B, que se encuentran en C, forman con los dos radios el cuadrado OACB. El radio OA se hace mover uniformemente alrededor de O, el centro, de modo que describe el ángulo AOB en un tiempo determinado. Simultáneamente, AC se mueve paralelamente a sí misma a velocidad uniforme de tal manera que A justamente describe la línea AO en el mismo intervalo de tiempo. La intersección del radio móvil y AC en sus diversas posiciones traza la cuadratriz.

El resto de la geometría que nos concierne fue principalmente obra de unos pocos hombres, Demócrito de Abdera, Teodoro de Cirene (el maestro de matemáticas de Platón), Teeteto, Eudoxo y Euclides. Los escritores reales de Elementos de los que tenemos noticia fueron los siguientes.

• Leon, un poco más joven que Eudoxo (408-355 a. C.), fue el autor de una colección de proposiciones más numerosa y más útil que las reunidas por Hipócrates.
• Teudio de Magnesia, contemporáneo de Menecmo y Dinostrato, «compuso los elementos de manera admirable, haciendo más generales muchas proposiciones parciales o limitadas».

El libro de Teudio era sin duda el manual de geometría de la Academia y el utilizado por Aristóteles.

Teodoro de Cirene y Teeteto generalizaron la teoría de los inescrutables, y podemos concluir con seguridad que una gran parte del contenido del Libro X de Euclides (sobre los inescrutables) se debió a Teeteto.

Teeteto también escribió sobre los cinco sólidos regulares (el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro), y por lo tanto Euclides debió de estar igualmente en deuda con Teeteto en lo que respecta al contenido de su Libro XIII. En cuanto al Libro XII, Eudoxo fue el pionero.

Estos hechos se ven confirmados por la observación de Proclo de que Euclides, al compilar sus Elementos, reunió muchos de los teoremas de Eudoxo, perfeccionó muchos otros de Teeteto y llevó a una demostración irrefutable las proposiciones que sus predecesores solo habían demostrado de manera un tanto laxa.

Eudoxo (hacia 408-355 a. C.) fue tal vez el mayor de todos los antecesores de Arquímedes, y son sus logros, especialmente el descubrimiento del método de exhausción, los que nos interesan en relación con Arquímedes.

En astronomía, Eudoxo es famoso por la hermosa teoría de las esferas concéntricas que inventó para explicar los movimientos aparentes de los planetas y, en particular, sus aparentes puntos estacionarios y retrogradaciones.

La teoría se aplicaba también al sol y a la luna, para los cuales Eudoxo requirió solo tres esferas en cada caso. Representó el movimiento de cada planeta como compuesto por las rotaciones de cuatro esferas interconectadas alrededor de diámetros, todos los cuales pasan por el centro de la tierra.

• La esfera más exterior representa la rotación diaria, la segunda un movimiento a lo largo del círculo zodiacal o eclíptica;
• los polos de la tercera esfera, alrededor de los cuales gira dicha esfera, están fijos en dos puntos opuestos del círculo zodiacal, y son arrastrados en el movimiento de la segunda esfera;
• y sobre la superficie de la tercera esfera están fijos los polos de la cuarta esfera;
• la cuarta esfera, que gira alrededor del diámetro que une sus dos polos, transporta al planeta que está fijo en un punto de su ecuador.

Los polos y las velocidades y direcciones de rotación están elegidos de tal manera que el planeta describe en realidad un hipopedo, o traba de caballo, como se le llamaba (es decir, una figura de ocho), la cual se extiende a lo largo del círculo zodiacal, es bisecada longitudinalmente por este y es arrastrada alrededor de dicho círculo.

Como tour de force de la imaginación geométrica, sería difícil encontrarle paralelo a esta hipótesis.

En geometría, Eudoxo descubrió la gran teoría de la proporción, aplicable tanto a magnitudes inconmensurables como conmensurables, la cual se expone en el Libro V de Euclides, y que sigue manteniéndose vigente y lo hará por siempre.

También resolvió el problema de las dos medias proporcionales mediante ciertas curvas, cuya naturaleza, a falta de cualquier descripción de ellas en nuestras fuentes, solo puede conjeturarse.

Por último, y lo más importante para nuestro propósito, es su uso del famoso método de exheción para la medición de las áreas de curvas y los volúmenes de sólidos.

El ejemplo de este método que le resultará más familiar al lector es la demostración del libro XII, 2, de Euclides, del teorema de que las áreas de los círculos guardan entre sí la misma proporción que los cuadrados de sus diámetros. La demostración en este y en todos los casos depende de un lema que constituye la prop. 1 del libro X de Euclides, según el cual, si se tienen dos magnitudes desiguales de la misma especie y a la mayor se le resta no menos de su mitad, y luego al resto no menos de su mitad, y así continuamente, se llegará por fin a que quede una magnitud menor que la menor de las dos magnitudes dadas, por pequeña que sea.

Arquímedes dice que el teorema XII.2 de Euclides fue demostrado por medio de cierto lema según el cual, si tenemos dos magnitudes desiguales (es decir, líneas, superficies o sólidos respectivamente), la mayor excede a la menor en una magnitud tal que es capaz, si se añade continuamente a sí misma, de exceder cualquier magnitud del mismo tipo que las magnitudes originales.

Esta suposición se conoce como el Axioma o Postulado de Arquímedes, aunque, como él mismo afirma, fue asumida antes de su época por quienes utilizaron el método de exhaustión. En realidad, se utiliza en el lema de Euclides (Eucl. X., 1), del cual depende Euclides XII., 2, y solo difiere en su enunciado de la Definición 4 del Libro V de Euclides, que sin duda se debe a Eudoxo.

El método de exhausción no se descubrió de golpe; hallamos indicios de tanteos en pos de tal método antes de que fuera realmente concebido. Fue quizás Antifonte, el sofista, de Atenas, contemporáneo de Sócrates (470-399 a. C.), quien dio el primer paso. Inscribió un cuadrado (o, según otra versión, un triángulo equilátero) en un círculo, luego bisecó los arcos subtendidos por los lados y así inscribió un polígono con el doble de número de lados; después repitió el proceso y sostuvo que,

al continuarla, llegaríamos por fin a un polígono con lados tan pequeños que harían que el polígono coincidiera con el círculo.

Aunque esto era formalmente incorrecto, contenía sin embargo el germen del método de exhausción.

Hipócrates, como hemos visto, supuestamente demostró el teorema de que los círculos guardan entre sí la misma proporción que los cuadrados de sus diámetros, y es difícil ver cómo pudo haber hecho esto excepto mediante alguna forma, o anticipación, del método.

No hay, sin embargo, duda alguna sobre la parte que tomó Eudoxo; no solo basó el método en una demostración rigurosa por medio del lema o lemas antes dichos, sino que en realidad aplicó el método para hallar los volúmenes (1) de cualquier pirámide, (2) del cono, probando (1) que cualquier pirámide es la tercera parte del prisma que tiene la misma base e igual altura, y (2) que cualquier cono es la tercera parte del cilindro que tiene la misma base e igual altura.

Arquímedes, sin embargo, nos transmite el notable hecho de que estos dos teoremas fueron descubiertos por primera vez por Demócrito (quien floreció hacia finales del siglo V a. C.), aunque no pudo demostrarlos (lo que sin duda significa, no que no diera ningún tipo de prueba, sino que no fue capaz de establecer las proposiciones mediante el riguroso método de Eudoxo).

Arquímedes añade que no debemos conceder un pequeño mérito de estos teoremas a Demócrito; y este es otro testimonio de los maravillosos poderes, tanto en las matemáticas como en otros temas, del gran hombre que, en palabras de Aristóteles, «parece haber pensado en todo».

Sabemos por otras fuentes que Demócrito escribió sobre los irracionales; también se dice que discutió la cuestión de dos secciones paralelas de un cono (las cuales evidentemente se suponía que estaban infinitamente cerca la una de la otra), preguntando si debíamos considerarlas desiguales o iguales:

“pues si son desiguales harán que el cono sea irregular por tener muchas hendiduras, a modo de escalones, e irregularidades, mas, si son iguales, el cono parecerá tener la propiedad del cilindro y estar compuesto de círculos iguales, no desiguales, lo cual es muy absurdo”.

Esta explicación muestra que Demócrito ya iba tras la pista de los infinitesimales.

Arquímedes dice además que el teorema de que las esferas están en la razón triplicada de sus diámetros fue demostrado por medio del mismo lema. Las demostraciones de las proposiciones sobre los volúmenes de pirámides, conos y esferas están, por supuesto, contenidas en el Libro XII de Euclides (Proposiciones 3-7 Cor., 10, 16-18 respectivamente).

Sin duda es conveniente ilustrar el método de Eudoxo con un ejemplo. Tomaremos uno de los más simples, la proposición (Eucl. XII, 10) sobre el cono.

Dada ABCD, la base circular del cilindro que tiene la misma base que el cono y igual altura, inscribimos el cuadrado ABCD; luego bisecamos los arcos subtendidos por los lados, y trazamos el polígono regular inscrito de ocho lados, y de manera similar trazamos el polígono regular inscrito de dieciséis lados, y así sucesivamente.

Construimos sobre cada polígono regular el prisma que tiene por base dicho polígono, obteniendo así prismas sucesivos inscritos en el cilindro, y de la misma altura que este.

Cada vez que duplicamos el número de lados en la base del prisma, eliminamos más de la mitad del volumen en el que el cilindro excede al prisma (puesto que eliminamos más de la mitad del exceso del área de la base circular sobre la del polígono inscrito, como en el libro XII de Euclides, 2). Supongamos ahora que V es el volumen del cono, y C el del cilindro. Tenemos que demostrar que C = 3V. Si C no es igual a 3V, es mayor o menor que 3V.

Supongamos (1) que C > 3V, y que C = 3V + E.

Continúe la construcción de prismas inscritos en el cilindro hasta que las partes del cilindro que queden fuera del prisma final (de volumen P) sumen en total menos de E.

Pero en proposiciones anteriores se ha demostrado que $P$ es igual a tres veces la pirámide con la misma base que el prisma y de igual altura.

Por tanto, esa pirámide es mayor que V, el volumen del cono: lo cual es imposible, puesto que el cono encierra a la pirámide.

Por lo tanto, C no es mayor que 3V.

A continuación (2) supóngase que C < 3V, de modo que, inversamente,

V > 1⁄3 C.

Esta vez inscribimos sucesivas pirámides en el cono hasta que llegamos a una pirámide tal que las porciones del cono que quedan fuera de ella suman juntas menos que el exceso de V sobre 1⁄3 C. De ello se deduce que la pirámide es mayor que 1⁄3 C. Por tanto, el prisma sobre la misma base que la pirámide e inscrito en el cilindro (el cual prisma es tres veces la pirámide) es mayor que C: lo cual es imposible, ya que el prisma está encerrado por el cilindro y, por consiguiente, es menor que él.

Por lo tanto, V no es mayor que 1⁄3 C, o C no es menor que 3V.

Por consiguiente, C, no siendo ni mayor ni menor que 3V, debe ser igual a ella; es decir, V = 1⁄3 C.

Sólo queda añadir que Arquímedes conoce a fondo las principales propiedades de las secciones cónicas. Éstas ya habían sido demostradas en tratados anteriores, a los que Arquímedes se refiere como los «Elementos de Cónicas». Conocemos dos tratados de este tipo: (1) los cuatro libros de Euclides sobre Cónicas, (2) una obra de un tal Aristeo llamada «Lugares Sólidos», probablemente un tratado sobre las cónicas consideradas como lugares. Ambos tratados se han perdido; el primero fue, por supuesto, desplazado por la gran obra de Apolonio sobre las Cónicas en ocho libros.

CAPÍTULO III.

LAS OBRAS DE ARQUÍMEDES.

La variedad de los escritos de Arquímedes se desprende de la lista de sus diversos tratados. Una proporción extraordinariamente grande de su contenido representa descubrimientos enteramente nuevos suyos.

No era un compilador ni un escritor de manuales, y en este aspecto se diferencia de Euclides y Apolonio, cuyo trabajo consistió en gran medida en sistematizar y generalizar los métodos utilizados y los resultados obtenidos por geómetras anteriores.

No hay en Arquímedes una mera elaboración de material existente; su objetivo es siempre algo nuevo, alguna aportación definitiva a la suma del conocimiento.

La confirmación de esto se encuentra en las cartas de presentación que preceden a la mayoría de sus tratados. En ellas vemos la franqueza, la sencillez y la humanidad del hombre.

Hay un pleno y generoso reconocimiento de la obra de predecesores y contemporáneos; su valoración de la relación entre sus propios descubrimientos y los de ellos es manifiestamente justa y está libre de cualquier matiz de egoísmo.

Su método consiste en exponer qué descubrimientos particulares hechos por sus predecesores le habían sugerido la posibilidad de extenderlos en nuevas direcciones; así, dice que, en relación con los esfuerzos de los geómetras anteriores por cuadrar el círculo, se le ocurrió que nadie había intentado cuadrar un segmento parabólico; en consecuencia, abordó el problema y finalmente lo resolvió.

Del mismo modo, describe sus descubrimientos sobre los volúmenes y las superficies de esferas y cilindros como complementarios de los teoremas de Eudoxo sobre la pirámide, el cono y el cilindro.

No duda en afirmar que ciertos problemas lo desconcertaron durante mucho tiempo; en un pasaje insiste rotundamente, con el propósito de señalar una moraleja, en especificar dos proposiciones que había enunciado pero que, tras una investigación más profunda, resultaron ser erróneas.

Los manuscritos ordinarios del texto griego de Arquímedes presentan sus obras en el siguiente orden:—

1. Sobre la esfera y el cilindro (dos libros). 2. Medida del círculo. 3. Sobre conoides y esferoides. 4. Sobre las espirales. 5. Sobre el equilibrio de los planos (dos libros). 6. El contador de arena. 7. Cuadratura de la parábola.

Una incorporación muy importante a esta lista se ha realizado en los últimos años gracias a un golpe de fortuna extraordinario. En 1906, J. L. Heiberg, el editor más reciente del texto de Arquímedes, descubrió un palimpsesto de contenido matemático en la «Biblioteca de Jerusalén» de cierto Papadopoulos Kerameus en Constantinopla. Este documento demostró contener escritos de Arquímedes copiados con una buena caligrafía del siglo X. Se había intentado (afortunadamente con un éxito parcial) borrar la escritura antigua, y luego el pergamino se utilizó de nuevo para escribir en él un eucologio. Sin embargo, en la mayoría de las hojas la escritura anterior sigue siendo más o menos legible. El hecho importante acerca del manuscrito es que contiene, además de porciones sustanciales de los tratados conocidos anteriormente, (1) una porción considerable de la obra, en dos libros, Sobre los cuerpos flotantes, que antaño se suponía perdida en griego y que solo había sobrevivido en la traducción de Guillermo de Moerbeke, y (2) lo más preciado de todo, la mayor parte del libro llamado El método, que trata sobre los problemas mecánicos y está dirigido a Eratóstenes. El importante tratado así felizmente recuperado se incluye ahora en la nueva (segunda) edición de Heiberg del texto griego de Arquímedes (Teubner, 1910-15), y se ofrecerá una descripción del mismo en el capítulo siguiente.

El orden en que los tratados aparecen en los MSS. no fue el orden de composición; pero a partir de los diversos prefijos y de la evidencia interna en general, podemos establecer la siguiente como la secuencia cronológica aproximada:—

1. Sobre el equilibrio de los planos, I. 2. La cuadratura de la parábola. 3. Sobre el equilibrio de los planos, II. 4. El método. 5. Sobre la esfera y el cilindro, I, II. 6. Sobre las espirales. 7. Sobre los conoides y esferoides. 8. Sobre los cuerpos flotantes, I, II. 9. Medida del círculo. 10. El arenario.

Además de lo anterior, tenemos una colección de proposiciones geométricas que nos ha llegado a través del árabe con el título «Liber assumptorum Archimedis». No fueron escritas por Arquímedes en su forma actual, sino que probablemente fueron recopiladas por algún escritor griego posterior con el fin de ilustrar alguna obra antigua. Sin embargo, es muy probable que algunas de las proposiciones, que son notablemente elegantes, fueran de origen arquimediano, en especial aquellas sobre las figuras geométricas formadas por tres y cuatro semicircunferencias respectivamente y llamadas (por su forma) (1) el cuchillo del zapatero y (2) el Salinon o salero, y otro teorema que trata sobre la trisección de un ángulo.

Un hecho interesante que ahora conocemos por fuentes árabes es que la fórmula para el área de cualquier triángulo en función de sus lados, que escribimos en la forma

Δ = √{s (s − a) (s − b) (s − c) }, y que se suponía que era de Herón porque Herón da la demostración geométrica de la misma, se debió en realidad a Arquímedes.

A Arquímedes se le atribuye además la autoría del famoso Problema del ganado enunciado en un epigrama griego editado por Lessing en 1773. Según su encabezado, el problema fue comunicado por Arquímedes a los matemáticos de Alejandría en una carta a Eratóstenes; y un escolio al Cármides de Platón habla del problema «llamado por Arquímedes el Problema del ganado».

Es un problema extraordinariamente difícil de análisis indeterminado, cuya solución involucra cifras enormes.

De las obras perdidas de Arquímedes se pueden identificar las siguientes:—

1. Investigations relating to polyhedra are referred to by Pappus, who, after speaking of the five regular solids, gives a description of thirteen other polyhedra discovered by Archimedes which are semi-regular, being contained by polygons equilateral and equiangular but not similar. One at least of these semi-regular solids was, however, already known to Plato.

2. Un libro de contenido aritmético titulado Principios trataba, como sabemos por el propio Arquímedes, sobre la denominación de los números, y exponía un sistema para expresar números grandes que no podían escribirse con la notación griega ordinaria. Al exponer el mismo sistema en el Contador de arena (véase el capítulo V más adelante), Arquímedes explica que lo hace en beneficio de aquellos que no habían visto la obra anterior.

3. Sobre las balanzas (o quizás palancas). Pappus dice que en esta obra Arquímedes demostró que «los círculos mayores dominan a los círculos menores cuando giran alrededor del mismo centro».

4. Simplicio alude a un libro Sobre los centros de gravedad. No es seguro, sin embargo, que este y la última obra mencionada fueran tratados separados; es posible que el Libro I de Sobre el equilibrio de los planos fuera parte de una obra mayor (llamada quizás Elementos de mecánica), y que Sobre las balanzas haya sido un título alternativo. El título Sobre los centros de gravedad puede ser una manera imprecisa de referirse al mismo tratado.

5. Catoptrica, una obra de óptica de la que Teón de Alejandría cita un comentario sobre la refracción.

6. Sobre la fabricación de esferas, una obra mecánica sobre la construcción de una esfera para representar los movimientos de los cuerpos celestes (véanse las págs. 5-6 arriba).

Los escritores árabes atribuyen aún más obras a Arquímedes: (1) Sobre el círculo, (2) Sobre un heptágono en un círculo, (3) Sobre círculos que se tocan entre sí, (4) Sobre líneas paralelas, (5) Sobre triángulos, (6) Sobre las propiedades de los triángulos rectángulos, (7) un libro de Datos; pero no tenemos confirmación de estas afirmaciones.

CAPÍTULO IV.

GEOMETRÍA EN ARQUÍMEDES.

El célebre geómetra francés, Chasles, estableció una distinción instructiva entre los rasgos predominantes de la geometría de los dos grandes sucesores de Euclides, a saber, Arquímedes y Apolonio de Perga (el «gran geómetra» y autor del clásico tratado sobre las Cónicas).

Las obras de estos dos hombres pueden, dice Chasles, considerarse como el origen y la base de dos grandes indagaciones que parecen repartirse el dominio de la geometría. Apolonio se ocupa de la Geometría de las Formas y las Situaciones, mientras que en Arquímedes hallamos la Geometría de las Medidas, que trata de la cuadratura de las figuras planas curvilíneas y de la cuadratura y cubatura de las superficies curvas, investigaciones que dieron nacimiento al cálculo de lo infinito concebido y llevado a la perfección por Kepler, Cavalieri, Fermat, Leibniz y Newton.

En geometría, Arquímedes se apoya, por decirlo así, en los hombros de Eudoxo, en la medida en que aplicó el método de exhausción a casos nuevos y más difíciles de cuadratura y cubatura. Además, en su uso del método introdujo una variante interesante del procedimiento tal como lo conocemos a través de Euclides. Euclides (y presumiblemente también Eudoxo) solo utilizaba figuras inscritas, «exhaustando» la figura que se iba a medir, y tenía que invertir la segunda mitad de la reductio ad absurdum para permitir que la aproximación desde abajo (por decirlo de algún modo) se aplicara también en ese caso.

Arquímedes, por otra parte, aproxima tanto por exceso como por defecto; se acerca al área o volumen que debe medirse tomando figuras circunscritas cada vez más estrechas, así como inscritas, y comprimiendo de este modo, por decirlo así, la figura inscrita y la circunscrita en una sola, de modo que finalmente coinciden entre sí y con la figura que debe medirse. Pero sigue el método prudente al que los griegos siempre se adhirieron; nunca dice que una curva o superficie dada sea la forma límite de la figura inscrita o circunscrita; todo lo que afirma es que podemos acercarnos a la curva o superficie tanto como queramos.

La forma deductiva de la demostración por el método de exhausción es apta para oscurecer no solo el modo en que se llegó a los resultados, sino también el carácter real del procedimiento seguido.

Lo que Arquímedes hace realmente en ciertos casos es llevar a cabo lo que se ve, cuando se establecen los equivalentes analíticos, que son integraciones reales; esta observación se aplica a su investigación de las áreas de un segmento parabólico y de una espiral respectivamente, la superficie y el volumen respectivamente de una esfera y de un segmento de esfera, y el volumen de cualquier segmento de los sólidos de revolución de segundo grado.

El resultado se obtiene, por lo general, únicamente tras una larga serie de proposiciones preliminares, todas las cuales son eslabones de una cadena de argumentos cuidadosamente forjada con ese único propósito.

El método sugiere las tácticas de algún maestro de la estrategia que lo prevé todo, elimina todo lo que no conduce inmediatamente a la ejecución de su plan, domina cada posición en su orden y luego, de repente (cuando la propia elaboración del plan casi ha oscurecido, en la mente del espectador, su objetivo último), asesta el golpe definitivo.

Así leemos en Arquímedes proposición tras proposición cuyo alcance no es inmediatamente obvio, pero que más tarde encontramos utilizadas de manera infalible; y somos guiados a través de etapas tan sencillas que la dificultad del problema original, tal como se presenta al principio, apenas se aprecia.

Como dice Plutarco,

“No es posible encontrar en la geometría cuestiones más difíciles y laboriosas, ni explicaciones más sencillas y claras”.

Pero se trata decididamente de una exageración retórica cuando Plutarco continúa diciendo que la facilidad de los pasos sucesivos nos engaña haciéndonos creer que cualquiera podría haberlos descubierto por sí mismo.

Por el contrario, la simplicidad estudiada y el acabado perfecto de los tratados entrañan al mismo tiempo un elemento de misterio. Aunque cada paso depende de los anteriores, nos quedamos a oscuras en cuanto a cómo se le sugirieron a Arquímedes.

De hecho, hay mucha verdad en un comentario de Wallis en el sentido de que él parece «por decirlo así, con alevosía haber borrado las pistas de su investigación, como si hubiera escatimado a la posteridad el secreto de su método de indagación a la vez que deseaba extorsionarles el asentimiento a sus resultados».

Una excepción parcial nos la proporciona ahora el Método; pues aquí tenemos (por decirlo así) un levantamiento del velo y un vistazo al interior del taller de Arquímedes. Él nos cuenta cómo descubrió ciertos teoremas de cuadratura y cubatura, y al mismo tiempo tiene el cuidado de insistir en la diferencia entre (1) los medios que pueden servir para sugerir la verdad de los teoremas, aunque no proporcionan pruebas científicas de ellos, y (2) las demostraciones rigurosas de los mismos mediante métodos geométricos aprobados que deben seguir antes de que puedan ser finalmente aceptados como establecidos.

Escribiéndole a Eratosthenes dice:

«Viendo en ti, como digo, a un estudiante entusiasta, a un hombre de considerable eminencia en la filosofía y a un admirador de la investigación matemática cuando se cruza en tu camino, he tenido a bien escribirte y explicarte en detalle en este mismo libro la peculiaridad de cierto método que, cuando lo veas, te pondrá en posesión de un medio con el cual puedes investigar algunos de los problemas de las matemáticas mediante la mecánica. Este procedimiento es, estoy convencido, no menos útil también para las demostraciones de los teoremas mismos. Pues ciertas cosas que primero se me hicieron claras por un método mecánico tuvieron que ser demostradas después por la geometría, porque su investigación mediante dicho método no proporcionaba una demostración real. Pero, por supuesto, es más fácil, cuando hemos adquirido previamente por el método cierto conocimiento de las cuestiones, aportar la prueba que encontrar la prueba sin ningún conocimiento previo».

Esta es una razón por la cual, en el caso de los teoremas cuyas demostraciones descubrió Eudoxo por primera vez —a saber, que el cono es la tercera parte del cilindro, y la pirámide la tercera parte del prisma, teniendo la misma base y igual altura—, no debemos conceder un pequeño mérito a Demócrito, quien fue el primero en afirmar esta verdad respecto a dichas figuras, aunque no la demostró.

Me encuentro a mí mismo en la posición de haber hecho el descubrimiento del teorema que ahora ha de ser publicado del mismo modo en que hice mis descubrimientos anteriores; y creí conveniente escribir y publicar ahora el método, en parte porque ya he hablado de él y no quiero que se piense que he pronunciado vanas palabras, pero en parte también porque estoy persuadido de que será de no pequeña utilidad para las matemáticas; pues anticipo que algunos, ya sea de mis contemporáneos o de mis sucesores, serán capaces, por medio del método una vez establecido, de descubrir además otros teoremas que no se me han ocurrido a mí.

“Primeramente, pues, expondré el primer teorema que llegó a serme conocido por medio de la mecánica, a saber, que cualquier segmento de una sección de un cono rectángulo [es decir, una parábola] es cuatro tercios del triángulo que tiene la misma base e igual altura; y después de esto daré cada uno de los otros teoremas investigados por el mismo método.

Then, at the end of the book, I will give the geometrical proofs of the propositions.”

La siguiente descripción dará, espero, una idea de los rasgos generales del método mecánico empleado por Arquímedes. Supongamos que X es la figura plana o sólida cuya área o contenido ha de hallarse. El método en el caso más simple consiste en pesar elementos infinitesimales de X frente a los elementos correspondientes de otra figura, digamos B, siendo esta una figura tal que su área o contenido y la posición de su centro de gravedad ya son conocidos. Trazado el diámetro o eje de la figura X, los elementos infinitesimales tomados son secciones paralelas de X, por lo general, aunque no siempre, en ángulo recto con respecto al eje o diámetro, de modo que los centros de gravedad de todas las secciones yacen en uno u otro punto del eje o diámetro y, por tanto, sus pesos pueden considerarse como actuando en los diversos puntos del diámetro o eje. En el caso de una figura plana, las secciones infinitesimales se denominan líneas rectas paralelas y, en el caso de una figura sólida, planos paralelos, y se dice que el agregado de un número infinito de secciones compone la figura X entera. (Aunque a las secciones se las denomine de ese modo líneas rectas o planos, en realidad son bandas planas indefinidamente estrechas o láminas indefinidamente delgadas, respectivamente).

El diámetro o eje se prolonga en dirección opuesta a la figura que ha de medirse, y el diámetro o eje así prolongado se imagina como la barra o palanca de una balanza.

El objeto ahora es aplicar todos los elementos separados de X en un solo punto de la palanca, mientras que los elementos correspondientes de la figura conocida B operan en diferentes puntos, a saber, donde realmente están en primera instancia.

Arquímedes se ingenia, por lo tanto, para alejar los elementos de X de su posición original y concentrarlos en un punto de la palanca, de tal manera que cada uno de los elementos equilibre, respecto al punto de suspensión de la palanca, al elemento correspondiente de B actuando en su centro de gravedad.

Los elementos de X y B respectivamente se equilibran con respecto al punto de suspensión de acuerdo con la propiedad de la palanca de que los pesos son inversamente proporcionales a las distancias desde el fulcro o punto de suspensión.

Ahora se conoce el centro de gravedad de B en su totalidad, y puede suponerse entonces que actúa como una sola masa en su centro de gravedad. (Arquímedes da por conocido que la suma de los «momentos», como los llamamos, de todos los elementos de la figura B, actuando separadamente en los puntos en los que realmente se encuentran, es igual al momento de toda la figura aplicada como una sola masa en un punto, su centro de gravedad). Además, todos los elementos de X están concentrados en el único punto fijo de la barra o palanca. Si este punto fijo es H, y G es el centro de gravedad de la figura B, mientras que C es el punto de suspensión,

X : B = CG : CH.

Así se halla el área o contenido de X.

Por otro lado, el método puede utilizarse para hallar el centro de gravedad de X cuando se conocen de antemano su área o su volumen.

En este caso los elementos de X, y la propia X, tienen que aplicarse donde están, y los elementos de la figura o figuras conocidas tienen que aplicarse en el único punto fijo H al otro lado de C, y puesto que X, B y CH son conocidos, la proporción

B : X = CG : CH determina CG, siendo G el centro de gravedad de X.

El método mecánico se emplea para hallar (1) el área de cualquier segmento parabólico, (2) el volumen de una esfera y de un esferoide, (3) el volumen de un segmento de esfera y el volumen de un segmento recto de cada uno de los tres conicoides de revolución, (4) el centro de gravedad (a) de un hemisferio, (b) de cualquier segmento de esfera, (c) de cualquier segmento recto de un esferoide y un paraboloide de revolución, y (d) de un semicilindro, o, en otras palabras, de un semicírculo.

Arquímedes procede entonces a hallar los volúmenes de dos cuerpos sólidos, que son el tema especial del tratado. Los sólidos se originan de la siguiente manera:—

(1) Dada un cilindro inscrito en un paralelepípedo rectángulo de base cuadrada de tal manera que las dos bases del cilindro son círculos inscritos en las caras cuadradas opuestas, supóngase un plano trazado a través de un lado del cuadrado que contiene una base del cilindro y a través del diámetro paralelo de la base opuesta del cilindro. El plano corta un sólido con una superficie que se asemeja a la de una pezuña de caballo. Arquímedes demuestra que el volumen del sólido así cortado es la sexta parte del volumen del paralelepípedo.

(2) Un cilindro está inscrito en un cubo de tal manera que las bases del cilindro son círculos inscritos en dos caras cuadradas opuestas. Otro cilindro está inscrito de manera similar con respecto a otro par de caras opuestas. Los dos cilindros encierran entre ellos un sólido con todos sus ángulos redondeados; y Arquímedes demuestra que el volumen de este sólido es dos tercios del del cubo.

Habiendo demostrado estos hechos por el método mecánico, Arquímedes concluyó el tratado con una rigurosa demostración geométrica de ambas proposiciones mediante el método de exhausción. Desgraciadamente, el manuscrito está algo mutilado al final, por lo que se requiere cierta labor de restauración.

Intentaré ahora dar una breve explicación de los otros tratados de Arquímedes en el orden en que aparecen en las ediciones. El primero es—

Sobre la esfera y el cilindro.

El Libro I comienza con un prefacio dirigido a Dositeo (discípulo de Conon), en el que le recuerda que en una ocasión anterior le había comunicado el tratado que demuestra que cualquier segmento de una «sección de un cono rectángulo» (es decir, una parábola) es cuatro tercios del triángulo con la misma base y altura, y añade que ahora le envía las demostraciones de ciertos teoremas que ha descubierto desde entonces, y que le parecen dignos de ser comparados con las proposiciones de Eudoxo sobre los volúmenes de una pirámide y un cono. Los teoremas son: (1) que la superficie de una esfera es igual a cuatro veces su círculo máximo (es decir, lo que llamamos un «círculo máximo» de la esfera); (2) que la superficie de cualquier segmento de una esfera es igual a un círculo con un radio igual a la línea recta trazada desde el vértice del segmento hasta un punto del círculo que es la base del segmento; (3) que, si tenemos un cilindro circunscrito a una esfera y con una altura igual al diámetro, entonces (a) el volumen del cilindro es 1½ veces el de la esfera y (b) la superficie del cilindro, incluidas sus bases, es 1½ veces la superficie de la esfera.

A continuación se presentan unas cuantas definiciones, seguidas de ciertos Supuestos, de los cuales dos son bien conocidos, a saber:—

1. De todas las líneas que tienen los mismos extremos, la recta es la menor (esto se ha tomado como base para una definición alternativa de línea recta).

2. De las líneas desiguales, las superficies desiguales y los sólidos desiguales, el mayor excede al menor en una magnitud tal que, al ser añadida (continuamente) a sí misma, puede hacerse que exceda a cualquier magnitud dada entre aquellas que son comparables [con ella y] entre sí (es decir, que son de la misma especie).

Este es el Postulado de Arquímedes.

También presupone que, de los pares de líneas (incluidas las líneas quebradas) y de los pares de superficies, cóncavas en la misma dirección y limitadas por las mismas extremidades, la exterior es mayor que la interior. Estas suposiciones son fundamentales para su investigación, que avanza en todo momento mediante figuras inscritas y circunscritas a las líneas curvas o superficies que deben medirse.

Tras algunas proposiciones preliminares, Arquímedes halla (Props. 13, 14) el área de las superficies (1) de un cilindro recto, (2) de un cono recto. Luego, tras citar ciertas proposiciones de Euclides sobre conos y cilindros, pasa al asunto principal del libro, la medición del volumen y la superficie de una esfera y un segmento esférico.

Circunscribiendo e inscribiendo a un círculo máximo un polígono regular de un número par de lados y haciéndolo girar alrededor de un diámetro que une dos vértices opuestos, obtiene sólidos de revolución mayores y menores, respectivamente, que la esfera. En una serie de proposiciones halla expresiones para (a) las superficies, (b) los volúmenes, de las figuras así inscritas y circunscritas a la esfera.

A continuación demuestra (Prop. 32) que, si los polígonos inscrito y circunscrito que, por su revolución, generan las figuras son semejantes, las superficies de las figuras están en la razón duplicada, y sus volúmenes en la razón triplicada, de sus lados.

Luego demuestra que las superficies y los volúmenes de las figuras inscritas y circunscritas son, respectivamente, menores y mayores que la superficie y el volumen, respectivamente, a los que las proposiciones principales declaran que son iguales la superficie y el volumen de la esfera (Propos. 25, 27, 30, 31 Cor.).

Posee ahora todo el material para aplicar el método de exhausción y demuestra así las principales proposiciones sobre la superficie y el volumen de la esfera.

El resto del libro aplica el mismo procedimiento a un segmento de la esfera.

Las superficies de revolución están inscritas y circunscritas en un segmento menor que un hemisferio, y el teorema sobre la superficie del segmento queda finalmente demostrado en la Prop. 42.

La Prop. 43 deduce la superficie de un segmento mayor que un hemisferio.

La Prop. 44 da el volumen del sector de la esfera que incluye cualquier segmento.

El Libro II comienza con el problema de hallar una esfera igual en volumen a un cono o cilindro dado; esto requiere la solución del problema de las dos medias proporcionales, la cual se da por supuesta. La prop. 2 deduce, por medio de I, 44, una expresión para el volumen de un segmento de esfera, y las props. 3 y 4 resuelven los importantes problemas de cortar una esfera dada mediante un plano de modo que (a) las superficies, (b) los volúmenes, de los segmentos guarden entre sí una razón dada. La solución del segundo problema (prop. 4) es difícil. Arquímedes lo reduce al problema de dividir una línea recta AB en dos partes en un punto M tal que

MB : (una longitud dada) = (un área dada) : AM².

La solución de este problema con una determinación de los límites de posibilidad viene dada en un fragmento de Arquímedes, descubierto y conservado para nosotros por Eutocio en su comentario sobre el libro; se efectúan mediante los puntos de intersección de dos cónicas, una parábola y una hipérbola equilátera.

Siguen tres problemas de construcción, los dos primeros de los cuales consisten en construir un segmento de esfera semejante a un segmento dado, y que tenga (a) su volumen, (b) su superficie, iguales a los de otro segmento dado de una esfera.

Las últimas dos proposiciones son interesantes. La Prop. 8 demuestra que, si V, V′ son los volúmenes, y S, S′ las superficies, de dos segmentos en los que una esfera es dividida por un plano, perteneciendo V y S al segmento mayor, entonces

S² : S′ ² > V : V′ > S3/2 : S′ 3/2.

La prop. 9 prueba que, de todos los segmentos de esfera que tienen superficies iguales, el hemisferio es el mayor en volumen.

La medida de un círculo.

Este tratado, en la forma en que nos ha llegado, contiene únicamente tres proposiciones; la segunda, al ser una deducción sencilla de las Props. 1 y 3, está fuera de lugar en la medida en que utiliza el resultado de la Prop. 3.

En la Prop. 1, Arquímedes inscrita y circunscribe a un círculo una serie de polígonos regulares sucesivos, comenzando por un cuadrado, y doblando continuamente el número de lados; a continuación, demuestra de la manera ortodoxa mediante el método de exhausción que el área del círculo es igual a la de un triángulo rectángulo en el que la perpendicular es igual al radio, y la base igual a la circunferencia del círculo.

La Prop. 3 es la famosa proposición en la que Arquímedes halla mediante un puro cálculo los límites aritméticos superior e inferior de la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, o lo que llamamos $\pi$; el resultado obtenido es $31\frac{1}{7}>\pi >3\frac{10}{71}$.

Arquímedes inscritas y circunscribe polígonos regulares sucesivos, comenzando con hexágonos, y duplicando el número de lados continuamente, hasta que llega a polígonos regulares inscritos y circunscritos de 96 lados; viendo entonces que la longitud de la circunferencia del círculo es intermedia entre los perímetros de los dos polígonos, calcula los dos perímetros en función del diámetro del círculo.

Su cálculo se basa en dos aproximaciones cercanas (una superior y otra inferior) al valor de √3, siendo esta la cotangente del ángulo de 30°, a partir de la cual comienza a trabajar. Asume como conocido que 265/153 < √3 < 1351/780. En el texto, tal como lo tenemos, solo se dan los resultados de los pasos del cálculo, pero estos implican el hallazgo de aproximaciones a las raíces cuadradas de varios números grandes: así, se da 11721⁄8 como el valor aproximado de √(137394333⁄64), 3013¾ como el de √(9082321) y 18389⁄11 como el de √(3380929).

De este modo, Arquímedes llega a 14688 / 4673½ como la razón entre el perímetro del polígono circunscrito de 96 lados y el diámetro del círculo; esta es la cifra que redondea a 31⁄7.

La figura correspondiente para el polígono inscrito es 6336 / 2017¼, que, según dice, es > 310⁄71.

Este ejemplo muestra cuán poco se veían obstaculizados los griegos en sus cálculos aritméticos por su sistema alfabético de numeración.

Sobre los conoides y escoides.

El prefacio dirigido a Dositeo muestra, como también podemos deducir de pruebas internas, que la totalidad de este libro también era original. Arquímedes explica primero qué son sus conoides y esferoides, y luego, tras cada descripción, enuncia los principales resultados que es el objetivo del tratado demostrar. Los conoides son dos. El primero es el conoide rectángulo, un nombre adaptado del antiguo nombre («sección de un cono rectángulo») para una parábola; este conoide es, por tanto, un paraboloide de revolución. El segundo es el conoide obtusángulo, que es un hiperboloide de revolución descrito por la revolución de una hipérbola (una «sección de un cono obtusángulo») alrededor de su eje transversal. Los esferoides son dos, siendo los sólidos de revolución descritos por la revolución de una elipse (una «sección de un cono acutángulo») alrededor de (1) su eje mayor y (2) su eje menor; el primero se denomina esferoide «oblongo» (u oblato), y el segundo, esferoide «achatado» (o prolado). Como los volúmenes de los segmentos oblicuos de conoides y esferoides se hallan posteriormente en función del volumen de la figura cónica que tiene como base la base del segmento y como vértice el vértice del segmento, y dado que dicha base es así una sección elíptica de un cono circular oblicuo, Arquímedes llama a la figura cónica con base elíptica «segmento de un cono», a diferencia de un «cono».

Como de costumbre, se requiere una serie de proposiciones preliminares.

Arquímedes suma primero, en forma geométrica, ciertas series, incluida la progresión aritmética, a, 2a, 3a, ... na, y la serie formada por los cuadrados de estos términos (en otras palabras, la serie 1², 2², 3², ... n²); estas sumas son necesarias para la adición final de un número indefinido de elementos de cada figura, lo que equivale a una integración.

A continuación siguen dos propiedades de las cónicas (Prop. 3), y luego la determinación por el método de exhausción del área de una elipse (Prop. 4).

Siguen tres proposiciones, las dos primeras de las cuales (props. 7 y 8) muestran que la figura cónica antes mencionada es en realidad un segmento de un cono circular oblicuo; esto se logra hallando efectivamente las secciones circulares. La prop. 9 ofrece una demostración similar de que cada sección elíptica de un conoide o esferoide es una sección de un cierto cilindro circular oblicuo (con un eje paralelo al eje del segmento del conoide o esferoide cortado por dicha sección elíptica).

Las proposiciones 11 a 18 muestran la naturaleza de las diversas secciones que cortan segmentos de cada conoide y esferoide, y que son círculos o elipses según que la sección sea perpendicular o esté inclinada oblicuamente respecto al eje del sólido; incluyen también ciertas propiedades de los planos tangentes, etc.

El verdadero asunto del tratado comienza con las Proposiciones 19 y 20; aquí se muestra cómo, trazando muchas secciones planas equidistantes entre sí y todas paralelas a la base del segmento del sólido, y describiendo cilindros (por lo general oblicuos) a través de cada sección plana con generatrices paralelas al eje del segmento y limitados por las secciones contiguas a ambos lados, podemos hacer figuras circunscritas e inscritas al segmento, compuestas por segmentos de cilindros con caras paralelas y que presentan el aspecto de los peldaños de una escalera.

Añadiendo respectivamente los elementos de las figuras inscritas y circunscritas y empleando el método de exhausción, Arquímedes halla los volúmenes de los respectivos segmentos de los sólidos de la manera aprobada (Props. 21, 22 para el paraboloide, Props. 25, 26 para el hiperboloide, y Props. 27-30 para los esferoides).

Los resultados se enuncian de esta forma:

• (1) Cualquier segmento de un paraboloide de revolución es una vez y media mayor que el cono o segmento de cono que tiene la misma base y el mismo eje;
• (2) Cualquier segmento de un hiperboloide de revolución o de un esferoide guarda con el cono o segmento de cono de igual base y eje la razón de AD + 3CA a AD + 2CA en el caso del hiperboloide, y de 3CA − AD a 2CA − AD en el caso del esferoide, siendo C el centro, A el vértice del segmento, y AD el eje del segmento (suponiendo, en el caso del esferoide, que no es mayor que la mitad del esferoide).

Sobre las espirales.

El prefacio dirigido a Dositeo es de cierta extensión y contiene, primero, un tributo a la memoria de Conón y, a continuación, un resumen de los teoremas sobre la esfera, los conoides y los esferoides incluidos en los dos tratados anteriores. Arquímedes pasa entonces a la espiral la cual, según dice, presenta otra clase de problema, que no tiene nada en común con los anteriores. Tras una definición de la espiral, enuncia las principales proposiciones acerca de ella que han de demostrarse en el tratado.

La espiral (conocida hoy como la Espiral de Arquímedes) se define como el lugar geométrico de un punto que parte de un punto dado (llamado «origen») sobre una línea recta dada y se mueve a lo largo de dicha línea recta a velocidad uniforme, mientras que la recta misma gira a velocidad uniforme alrededor del origen como un punto fijo.

Las prop. 1 a 11 son preliminares, equivaliendo las dos últimas a la sumatoria de ciertas series requeridas para la adición final de un número indefinido de áreas elementales, lo que a su vez equivale a la integración, con el fin de hallar el área de la figura delimitada entre cualquier porción de la curva y los dos radios vectores trazados a sus extremos.

Las proposiciones 13-20 son proposiciones interesantes y difíciles que establecen las propiedades de las tangentes a la espiral.

Las prop. 21-23 muestran cómo inscribir y circunscribir a cualquier porción de las figuras espirales que constan de una multitud de elementos que son sectores circulares estrechos con el origen como centro; el área de la espiral es intermedia entre las áreas de las figuras inscrita y circunscrita, y mediante el método habitual de exhausción Arquímedes halla las áreas requeridas.

Prop. 24 da el área de la primera vuelta completa de la espiral (= 1⁄3π (2πa)², donde la espiral es r = aθ), y de cualquier porción de ella hasta OP, donde P es cualquier punto de la primera vuelta.

Las prop. 25 y 26 tratan de manera similar sobre la segunda vuelta de la espiral y sobre el área subtendida por cualquier arco (que no sea mayor que una vuelta completa) en cualquier vuelta.

La prop. 27 demuestra la interesante propiedad de que, si R1 es el área de la primera vuelta de la espiral delimitada por la línea inicial, R2 el área de la corona añadida por la segunda vuelta completa, R3 el área de la corona añadida por la tercera vuelta, y así sucesivamente, entonces R3 = 2R2, R4 = 3R2, R5 = 4R2, y así sucesivamente hasta Rn = (n − 1) R2, mientras que R2 = 6R1.

Cuadratura de la parábola.

El título de esta obra parece haber sido originalmente Sobre la sección de un cono rectángulo y haber cambiado después de la época de Apolonio, quien fue el primero en llamar parábola a dicho nombre. El prefacio dirigido a Dositeo fue evidentemente la primera comunicación de Arquímedes con él tras la muerte de Conon. Comienza con una alusión sentida a su amigo perdido, a quien el tratado iba a ser enviado originalmente.

Es en este prefacio donde Arquímedes alude al lema utilizado por geómetras anteriores como base del método de exheción (el Postulado de Arquímedes, o el teorema de Euclides X, 1). Menciona como demostrado por medio de él (1) los teoremas de que las áreas de los círculos están entre sí en la razón duplicada de sus diámetros, y de que los volúmenes de las esferas están en la razón triplicada de sus diámetros, y (2) las proposiciones probadas por Eudoxo sobre los volúmenes de un cono y una pirámide.

Nadie, dice, que él sepa, ha intentado todavía cuadrar el segmento limitado por una línea recta y una sección de un cono rectángulo (una parábola); pero él ha logrado demostrar, por medio del mismo lema, que el segmento parabólico es igual a cuatro tercios del triángulo sobre la misma base y de igual altura, y envía las demostraciones, primero «investigadas» por medio de la mecánica y en segundo lugar «demostradas» por la geometría.

La fraseología muestra que aquí, al igual que en el Método, Arquímedes consideraba que la investigación mecánica proporcionaba indicios más que una demostración de la verdad de la proposición, siendo únicamente la geometría pura la que aportaba la demostración absoluta requerida.

La demostración mecánica, con las proposiciones preliminares necesarias sobre la parábola (algunas de las cuales son meramente citadas, mientras que dos, evidentemente originales, son demostradas, Props. 4, 5), se extiende hasta la Prop. 17; la demostración geométrica, con otras proposiciones auxiliares, completa el libro (Props. 18-24).

La prueba mecánica recuerda a la del Método en algunos aspectos, pero es más elaborada en cuanto que los elementos del área de la parábola que deben medirse no son líneas rectas sino franjas estrechas.

Las figuras inscritas y circunscritas al segmento están compuestas por tiras tan estrechas y tienen un borde en forma de sierra; todos los elementos son trapecios, excepto dos, que son triángulos, uno en cada figura. Cada trapecio (o triángulo) es pesado, tal como está, contra otra área suspendida en un punto fijo de una palanca supuesta; así, el conjunto de las figuras inscritas y circunscritas se pesa, respectivamente, contra la suma de un número indefinido de áreas suspendidas todas de un punto de la palanca.

El resultado se obtiene mediante una integración real, confirmada como de costumbre por una demostración por el método de exhaución.

La demostración geométrica procede de la siguiente manera. Trazando en el segmento el triángulo inscrito con la misma base y altura que el segmento, Arquímedes inscribe a continuación triángulos exactamente de la misma manera en cada uno de los segmentos sobrantes, y demuestra que la suma de los dos nuevos triángulos es ¼ del triángulo inscrito original.

Nuevamente, dibujando triángulos inscritos de la misma manera en los cuatro segmentos sobrantes, demuestra que su suma es ¼ de la suma del par de triángulos precedente y, por tanto, (¼)² del triángulo inscrito original.

Procediendo así, tenemos una serie de áreas que agotan el segmento parabólico. Su suma, si denotamos el primer triángulo inscrito por $\Delta$, es

Δ {1 + ¼ + (¼)² + (¼)³ + . . . .}

Arquímedes demuestra geométricamente en la Prop. 23 que la suma de esta serie infinita es 4⁄3Δ, y luego confirma por reductio ad absurdum la igualdad del área del segmento parabólico con esta área.

CAPÍTULO V.

EL CALCULADOR DE ARENA.

El Arenario merece un lugar propio. No es muy importante desde el punto de vista matemático; pero es una curiosidad aritmética que ilustra la versatilidad y el genio de Arquímedes, y contiene algunos detalles preciosos de la historia de la astronomía griega que, al proceder de semejante fuente y de primera mano, poseen una autoridad única. Comenzaremos con los datos astronómicos. Estos se encuentran en el prefacio dirigido al rey Gelón de Siracusa, que comienza de la siguiente manera:—

“Hay algunos, rey Gelón, que piensan que el número de la arena es infinito en multitud; y entiendo por arena no solo la que existe en torno a Siracusa y el resto de Sicilia, sino también la que se halla en todas las regiones, ya estén habitadas o deshabitadas.

Nuevamente, hay algunos que, sin considerarla infinita, piensan sin embargo que no se ha nombrado número alguno que sea lo suficientemente grande como para superar su multitud. Y es evidente que quienes sostienen este punto de vista, si imaginaran una masa de arena que en los demás aspectos fuera tan grande como la masa de la tierra, incluyendo en ella todos los mares y las hondonadas de la tierra llenas hasta una altura igual a la de las más altas montañas, estarían todavía mucho más lejos de reconocer que se puede expresar número alguno que supere a la multitud de la arena así considerada.

Pero trataré de mostraros, por medio de demostraciones geométricas que podréis seguir, que, de los números nombrados por mí y dados en la obra que envié a Zeuxipo, algunos exceden no solo al número de la masa de arena de igual tamaño que la tierra colmada de la manera descrita, sino también al de una masa de igual tamaño que el universo.

“Ahora eres consciente de que ‘universo’ es el nombre dado por la mayoría de los astrónomos a la esfera cuyo centro es el centro de la tierra, mientras que el radio es igual a la línea recta entre el centro del sol y el centro de la tierra. Esta es la versión común, como has oído de los astrónomos. Pero Aristarco de Samos sacó a luz un libro que consta de ciertas hipótesis, en el cual las premisas conducen a la conclusión de que el universo es muchas veces mayor que el así llamado ahora. Sus hipótesis son que las estrellas fijas y el sol permanecen inmóviles, que la tierra gira alrededor del sol en la circunferencia de un círculo, estando el sol en el centro de la órbita, y que la esfera de las estrellas fijas, situada alrededor del mismo centro que el sol, es tan grande que el círculo en el que supone que gira la tierra guarda con la distancia de las estrellas fijas la misma proporción que el centro de la esfera guarda con su superficie.”

He aquí, pues, una prueba absoluta y prácticamente contemporánea de que los griegos, en la persona de Aristarco de Samos (hacia el 310-230 a. C.), se habían adelantado a Copérnico.

Con las últimas palabras citadas, Aristarco solo quería decir que el tamaño de la tierra es insignificante en comparación con la inmensidad del universo. Esto, sin embargo, no se adapta al propósito de Arquímedes, porque tiene que asumir un tamaño definido, por grande que sea, para el universo. En consecuencia, se toma una licencia con respecto a Aristarco. Dice que el centro (un punto matemático) no puede tener proporción alguna con la superficie de la esfera, y que debemos, por tanto, entender que Aristarco quiso decir que el tamaño de la tierra es al del llamado «universo» como el tamaño del llamado «universo» es al del universo real en el nuevo sentido.

A continuación, tiene que asumir ciertas dimensiones para la tierra, la luna y el sol, y estimar el ángulo subtendido en el centro de la tierra por el diámetro del sol; y en cada caso tiene que exagerar las cifras probables para curarse en salud. Así pues, aunque (dice) algunos han intentado demostrar que el perímetro de la tierra es de 300.000 estadios (Eratóstenes, su contemporáneo, lo calculó en 252.000 estadios, es decir, unas 24.662 millas, lo que da un diámetro de unas 7.850 millas), él asumirá que es diez veces mayor, es decir, 3.000.000 de estadios. El diámetro de la tierra, continúa, es mayor que el de la luna y el del sol es mayor que el de la tierra.

Del diámetro del sol observa que Eudoxo había declarado que era nueve veces el de la luna, y su propio padre, Fidias, lo había hecho doce veces, mientras que Aristarco había intentado demostrar que el diámetro del sol es mayor que dieciocho veces pero menor que veinte veces el diámetro de la luna (esto estaba en el tratado de Aristarco Sobre los tamaños y distancias del sol y de la luna, que aún se conserva, y es una admirable pieza de geometría que demuestra rigurosamente, sobre la base de ciertas suposiciones, el resultado afirmado).

Arquímedes vuelve a querer curarse en salud, por lo que toma el diámetro del sol como treinta veces el de la luna y no mayor.

Por último, dice que Aristarco descubrió que el diámetro del sol parecía ser aproximadamente la 1/720ª parte del círculo del zodíaco, es decir, que subtiende un ángulo de alrededor de medio grado; y describe un instrumento sencillo con el que él mismo halló que el ángulo subtendido por el diámetro del sol en el momento en que acababa de salir era menor que la 1/164ª parte y mayor que la 1/200ª parte de un ángulo recto.

Tomando esto como el tamaño del ángulo subtendido en el ojo del observador en la superficie de la tierra, calcula, mediante una interesante proposición geométrica, el tamaño del ángulo subtendido en el centro de la tierra, el cual halla que es > la 1⁄203ª parte de un ángulo recto.

Por consiguiente, el diámetro del sol es mayor que el lado de un polígono regular de 812 lados inscrito en un círculo máximo del llamado «universo», y a fortiori mayor que el lado de un quiliágono regular (polígono de 1000 lados) inscrito en dicho círculo.

Sobre estas premisas, y viendo que el perímetro de un quiliágono regular (al igual que el de cualquier otro polígono regular de más de seis lados) inscrito en un círculo es mayor que 3 veces la longitud del diámetro del círculo, se sigue fácilmente que, si bien el diámetro de la tierra es inferior a 1.000.000 de estadios, el diámetro del llamado «universo» es inferior a 10.000 veces el diámetro de la tierra y, por tanto, inferior a 10.000.000.000 de estadios.

Por último, Arquímedes asume que una cantidad de arena no mayor que un grano de amapola contiene no más de 10 000 granos, y que el diámetro de un grano de amapola no es menor que 1/40 parte de un dactylus (mientras que un estadio es menor que 10 000 dactyli).

Arquímedes ya está listo para realizar su cálculo, de no ser por la insuficiencia del sistema alfabético de numeración para expresar números tan grandes como los necesarios.

Desarrolla, por lo tanto, su notable terminología para expresar números grandes.

El griego tiene nombres para todos los números hasta un miríada (10 000); por lo tanto, no había dificultad en expresar con los numerales ordinarios todos los números hasta un miríada de miríadas (100 000 000).

Llamemos, dice Arquímedes, a todos estos números números del primer orden.

Que el segundo orden de números empiece con 100.000.000 y termine con 100.000.000².

Sea 100.000.000² el primer número del tercer orden, y que esto se extienda hasta 100.000.000³; y así sucesivamente, hasta el orden miriada-miriada¹, comenzando con 100.000.000⁹⁹,⁹⁹⁹,⁹⁹⁹ y terminando con 100.000.000¹⁰⁰,⁰⁰⁰,⁰⁰⁰, al que por brevedad llamaremos P.

Formen todos los números de todos los órdenes hasta P el primer período, y empiece el primer orden del segundo período con P y termine con 100.000.000 P; empiece el segundo orden con este, el tercer orden con 100.000.000² P, y así sucesivamente hasta el 100.000.000.º orden del segundo período, terminando con 1.000.000.000100.000.000 P o P². El primer orden del tercer período empieza con P², y los órdenes continúan como antes.

Continuando con la serie de períodos y órdenes de cada período, llegamos finalmente al 100.000.000.° período que termina con el P100.000.000.

La prodigiosa magnitud de este sistema se aprecia si se considera que el último número del primer período estaría representado ahora por un 1 seguido de 800.000.000 de ceros, mientras que el último número del centésimo millónésimo período requeriría 100.000.000 de veces más ceros, es decir, 80.000 billones de ceros.

De hecho, Arquímedes no necesita, para expresar el «número de la arena», ir más allá del octavo orden del primer periodo. Los órdenes del primer periodo comienzan respectivamente con 1, 108, 1016, 1024, ... (108)99.999.999; y podemos expresar todos los números requeridos en potencias de 10.

Dado que el diámetro de una semilla de amapola no es menor que 1⁄40 de un dactylus, y las esferas guardan entre sí una proporción triplicada respecto a sus diámetros, una esfera de 1 dactylus de diámetro no es mayor que 64.000 semillas de amapola y, por lo tanto, no contiene más de 64.000 × 10.000 granos de arena y, a fortiori, no más de 1.000.000.000, o bien ${10}^9$ granos de arena. Arquímedes multiplica el diámetro de la esfera continuamente por 100, y enuncia el correspondiente número de granos de arena. Una esfera de 10.000 dactyli de diámetro y, a fortiori, de un estadio, contiene menos de ${10}^{21}$ granos; y avanzando de este modo hacia esferas de 100 estadios, 10.000 estadios de diámetro y así sucesivamente, llega al número de granos de arena en una esfera de 10.000.000.000 estadios de diámetro, que es el tamaño del llamado universo; el correspondiente número de granos de arena es ${10}^{51}$. Siendo el diámetro del universo real 10.000 veces el del llamado universo, el número final de granos de arena en el universo real resulta ser ${10}^{63}$, lo cual, en la terminología de Arquímedes, es una miríada de miríadas de unidades del octavo orden de números.

CAPÍTULO VI.

MECÁNICAS.

Se dice que Arquitas fue el primero en tratar la mecánica de manera sistemática con la ayuda de principios matemáticos; pero no sobrevive ningún rastro de una obra semejante suya.

En la mecánica práctica se dice que construyó una paloma mecánica que volaba, y también un sonajero para divertir a los niños y «evitar que rompan cosas por la casa» (así lo afirma Aristóteles, y añade que «es imposible que los niños estén quietos»).

En la Mecánica aristotélica encontramos una observación sobre el prodigio de que un gran peso sea movido por una pequeña fuerza, y los problemas que se discuten introducen la palanca en diversas formas como un medio para lograrlo.

Se nos dice también que prácticamente todos los movimientos de la mecánica se reducen a la palanca y al principio de la palanca (que el peso y la fuerza están en proporción inversa a las distancias desde el punto de suspensión o fulcro hasta los puntos en los que actúan, suponiendo que actúan en direcciones perpendiculares a la palanca).

Pero la palanca está meramente «referida al círculo»; se dice que la fuerza que actúa a mayor distancia del fulcro mueve un peso con mayor facilidad porque describe un círculo mayor.

No hay, por tanto, prueba aquí. Estaba reservado a Arquímedes demostrar la propiedad de la palanca o de la balanza matemáticamente, sobre la base de ciertos postulados formulados con precisión y que no exigen gran fe por parte del estudiante. El tratado Sobre el equilibrio de los planos en dos libros es, como el título indica, una obra únicamente de estática; y, una vez establecido el principio de la palanca o de la balanza en las Proposiciones 6 y 7 del Libro I, el resto del tratado se dedica a hallar el centro de gravedad de ciertas figuras. No hay dinámica en la obra y, por consiguiente, no hay lugar para el paralelogramo de velocidades, que se expone con una demostración bastante adecuada en la Mechanica aristotélica.

Los postulados de Arquímedes incluyen suposiciones con el siguiente sentido:

• (1) Pesos iguales a distancias iguales están en equilibrio, y pesos iguales a distancias desiguales no están en equilibrio, sino que el sistema en tal caso «se inclina hacia el peso que está a mayor distancia», en otras palabras, la acción del peso que está a mayor distancia produce movimiento en la dirección en la que actúa;
• (2) y (3) Si cuando los pesos están en equilibrio se añade algo a uno de los pesos o se le resta, el sistema se «inclinará» hacia el peso que se ha añadido o hacia el peso del cual no se ha quitado nada, respectivamente;
• (4) y (5) Si figuras iguales y semejantes se aplican una a otra de manera que coincidan en su totalidad, sus centros de gravedad también coinciden; si las figuras son desiguales pero semejantes, sus centros de gravedad están situados de manera semejante con respecto a las figuras.

La proposición principal, según la cual dos magnitudes se equilibran a distancias inversamente proporcionales a las magnitudes, se demuestra primero para magnitudes commensurables y luego para incommensurables. Las proposiciones preliminares han tratado sobre magnitudes iguales dispuestas a distancias iguales en una línea recta y en número par o impar, y han demostrado dónde se encuentra el centro de gravedad de todo el sistema.

Tómese primero el caso de las magnitudes mensurables.

Si A, B son los pesos que actúan en E, D sobre la línea recta ED respectivamente, y ED se divide en C de modo que A : B = DC : CE, Arquímedes tiene que demostrar que el sistema está en equilibrio respecto a C. Prolonga ED hasta K, de modo que DK = EC, y DE hasta L de modo que EL = CD;

LK es entonces una línea recta bisecada en C. Sea H tomado de nuevo sobre LK de manera que LH = 2LE o 2CD, y se sigue que el resto HK = 2DK o 2EC.

Puesto que A, B son conmensurables, también lo son EC, CD. Sea x una medida común de EC, CD. tómese un peso w tal que w sea la misma parte de A que x es de LH. De ello se sigue que w es la misma parte de B que x es de HK.

Arquímedes divide ahora LH, HK en partes iguales a x, y A B en partes iguales a w, y coloca las w en los puntos medios de las x respectivamente. Todas las w están entonces en equilibrio respecto a C. Pero todas las w actuando en los diversos puntos a lo largo de LH equivalen a A actuando en su conjunto en el punto E. De manera similar, las w actuando en los diversos puntos de HK equivalen a B actuando en D. Por lo tanto, A, B colocadas en E, D respectivamente se equilibran respecto a C.

La prop. 7 deduce por reducción al absurdo el mismo resultado en el caso de que A, B sean inconmensurables.

La Prop. 8 muestra cómo hallar el centro de gravedad de la parte restante de una magnitud cuando se conocen los centros de gravedad del todo y de una parte, respectivamente.

Propositions 9-15 find the centres of gravity of a parallelogram, a triangle and a parallel-trapezium respectively.

El Libro II, en diez proposiciones, se dedica por entero a hallar el centro de gravedad de un segmento parabólico, una pieza de trabajo geométrico elegante pero difícil que, como de costumbre, se confirma mediante el método de exhausción.

CAPÍTULO VII.

HIDROSTÁTICA.

La ciencia de la hidrostática es, aún más que la de la estática, la creación original de Arquímedes. En hidrostática parece no haber tenido predecesores. Solo uno de los hechos probados en su obra Sobre los cuerpos flotantes, en dos libros, se da con una especie de prueba en Aristóteles.

Esta es la proposición de que la superficie de un fluido en reposo es la de una esfera con su centro en el centro de la tierra.

Arquímedes funda toda su teoría en dos postulados, uno de los cuales figura al principio y el otro después de la Prop. 7 del Libro I. El postulado 1 es el siguiente:—

«Supongamos que un fluido tiene la propiedad de que, si sus partes se hallan dispuestas uniformemente y son continuas, la parte que está menos comprimida es expelida por la que lo está más, y cada una de sus partes es comprimida por el fluido situado encima de ella de manera perpendicular, a menos que el fluido esté encerrado en algún recipiente y comprimido por algún otro agente».

El postulado 2 es: «Supongamos que cualquier cuerpo que asciende en el agua es llevado a lo largo de la perpendicular [a la superficie] que pasa por el centro de gravedad del cuerpo».

En la Prop. 2, Arquímedes demuestra que la superficie de cualquier fluido en reposo es la superficie de una esfera cuyo centro es el centro de la tierra. Las Props. 3-7 tratan sobre el comportamiento, al ser colocados en fluidos, de sólidos (1) tan pesados como el fluido, (2) más ligeros que el fluido, (3) más pesados que el fluido. Se demuestra (Props. 5, 6) que, si el sólido es más ligero que el fluido, no se sumergirá por completo, sino solo hasta el punto en que el peso del sólido sea igual al del fluido desplazado, y que, si es sumergido a la fuerza, el sólido será empujado hacia arriba por una fuerza igual a la diferencia entre el peso del sólido y el del fluido desplazado. Si el sólido es más pesado que el fluido, al ser colocado en el fluido, descenderá hasta el fondo y, si se pesa en el fluido, el sólido será más ligero que su peso real en una cantidad igual al peso del fluido desplazado (Prop. 7).

El último teorema mencionado se relaciona naturalmente con la historia de la corona mandada hacer por Hierón. Se sospechaba que esta no era totalmente de oro, sino que contenía una mezcla de plata, y Hierón le planteó a Arquímedes el problema de determinar las proporciones en que los metales estaban mezclados. Fue el descubrimiento de la solución de este problema estando en el baño lo que hizo que Arquímedes corriera a casa desnudo, gritando εὕρηκα, εὕρηκα. Un relato de la solución hace que Arquímedes utilice la proposición citada en último lugar; pero, en general, parece más probable que el descubrimiento real se realizara mediante un método más elemental descrito por Vitruvio. Al observar, según se cuenta, que, si entraba en la baño cuando este estaba lleno, se derramaba un volumen de agua igual al volumen de su cuerpo, pensó en aplicar la misma idea al caso de la corona y medir los volúmenes de agua desplazados respectivamente por (1) la corona misma, (2) el mismo peso de oro puro y (3) el mismo peso de plata pura. Esto proporciona un medio sencillo de solución. Supóngase que el peso de la corona es W, y que contiene los pesos w1 y w2 de oro y plata, respectivamente. Ahora bien, el experimento muestra (1) que la corona misma desplaza un cierto volumen de agua, digamos V, (2) que un peso W de oro desplaza otro volumen determinado de agua, digamos V1, y (3) que un peso W de plata desplaza un volumen V2.

De (2) se sigue, por proporción, que un peso w1 de oro desplazará w1/W · V1 del fluido, y de (3) se sigue que un peso w2 de plata desplaza w2/W · V2 del fluido.

Por consiguiente

V = w1/W · V1 + w2/W · V2;

por lo tanto

• WV = w1V1 + w2V2, es decir,

(w1 + w2) V = w1V1 + w2V2, de modo que

• w1/w2 = (V2 − V) / (V − V1), lo que da la relación requerida de los pesos del oro y la plata contenidos en la corona.

Las últimas dos proposiciones del Libro I investigan el caso de un segmento de esfera que flota en un fluido cuando la base del segmento está (1) enteramente por encima y (2) enteramente por debajo de la superficie del fluido; y se demuestra que el segmento estará en ambos casos en equilibrio en la posición en la que el eje es vertical, siendo el equilibrio en el primer caso estable.

El Libro II es un tour de force geométrico. Aquí, mediante los métodos de la geometría pura, Arquímedes investiga las posiciones de reposo y estabilidad de un segmento recto de un paraboloide de revolución que flota con su base hacia arriba o hacia abajo (pero completamente por encima o completamente por debajo de la superficie) para una serie de casos que difieren (1) según la relación entre la longitud del eje del paraboloide y el parámetro principal de la parábola generatriz, y (2) según la gravedad específica del sólido en relación con el fluido; donde la posición de reposo y estabilidad es tal que el eje del sólido no es vertical, el ángulo con el que se inclina respecto a la vertical queda plenamente determinado.

La idea de la gravedad específica aparece por todas partes, aunque no se utilice este término exacto. Arquímedes habla de que el sólido es más ligero o más pesado que el fluido, o igualmente pesado que este, o cuando hay que expresar una proporción, habla de un sólido cuyo peso (para un volumen igual) tiene una cierta proporción respecto al del fluido.

BIBLIOGRAFÍA.

La editio princeps de las obras de Arquímedes con los comentarios de Eutocio fue publicada por Hervagius (Herwagen) en Basilea en 1544. D. Rivault (París, 1615) ofreció los enunciados en griego y las demostraciones en latín algo retocadas.

El Arenario (El contador de arena) y la Medidas del círculo con el comentario de Eutocio fueron editados con traducción al latina y notas por Wallis en 1678 (Oxford). La monumental edición de Torelli (Oxford, 1792) del texto griego de las obras completas y de los comentarios de Eutocio, con una nueva traducción al latín, siguió siendo el texto de referencia hasta hace unos años; ahora ha sido desplazada por el texto definitivo con traducción al latín de las obras completas, los comentarios de escolios, etc., editado por Heiberg en tres volúmenes (Teubner, Leipzig, primera edición, 1880-1; segunda edición, que incluye el recién descubierto Método, etc., 1910-15).

Entre las traducciones se pueden mencionar las siguientes. La edición aldina de 1558, en cuarto, contiene la traducción al latín de Commandinus de la Medición del círculo, Sobre las espirales, Cuadratura de la parábola, Sobre los conoides y esferoides, El contador de arena.

La versión de Isaac Barrow estaba contenida en Opera Archimedis, Apollonii Pergœi conicorum libri, Theodosii Sphœrica, methodo novo illustrata et demonstrata (Londres, 1675).

La primera versión francesa de las obras fue la de Peyrard en dos volúmenes (segunda edición, 1808).

Una valiosa traducción al alemán, con notas, de E. Nizze, se publicó en Stralsund en 1824.

Existe una edición completa en notación moderna a cargo de T. L. Heath (The Works of Archimedes, Cambridge, 1897, complementada por The Method of Archimedes, Cambridge, 1912).

CRONOLOGÍA.