(per Lemma XVII.) rectangulum DE × DF ad rectangulum DG × DH in ratione data. Sed est PQ ad DE seu IQ , ut PB ad HB , adeoq; ut PT ad DH ; & vicissim PQ ad PT ut DE ad DH . Est & PR ad DF ut RC ad DC , adeoq; ut IG vel PS ad DG , & vicissim PR ad PS ut DF ad DG ; & conjunctis rationibus fit rectangulum PQ × PR ad rectangulum PS × PT ut rectangulum DE × DF ad rectangulum DG × DH , atq; adeo in data ratione. Sed dantur PQ & PS & propterea ratio PR ad PT datur. Q. E. D.
Cas. 2. Quod si PR & PT ponantur in data ratione ad invicem, tunc simili ratiocinio regrediendo, sequetur esse rectangulum DE × DF ad rectangulum DG × DH in ratione data, adeoq; punctum D (per Lemma XVIII.) contingere Conicam sectionem transeuntem per puncta A, B, P, C. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si agatur BC secans PQ in r, & in PT capiatur Pt in ratione ad Pr quam habet PT ad PR, erit Bt Tangens Page 77 Conicæ sectionis ad punctum B. Nam concipe punctum D coire cum puncto B ita ut, chorda BD evanescente, BT Tangens evadet; & CD ac BT coincident cum CB & Bt.
Corol. 2. Et vice versa si Bt sit Tangens, & ad quodvis Conicæ sectionis punctum D conveniant BD, CD erit PR ad PT ut Pr ad Pt. Et contra, si sit PR ad PT ut Pr ad Pt, convenient BD, CD ad Conicæ sectionis punctum aliquod D.
Corol. 3. Conica sectio non secat Conicam sectionem in punctis pluribus quam quatuor. Nam, si fieri potest, transeant duæ Conicæ sectiones per quinq; puncta A, B, C, D, P, easq; secet recta BD in punctis D, d, & ipsam PQ secet recta Cd in r. Ergo PR est ad PT ut Pr ad PT, hoc est, PR & Pr sibi invicem æquantur, contra Hypothesin.