director de las áreas mínimas. Es, en resumen, subordinada a —y abarca ciertos casos incluidos bajo— una regla mucho más importante y fundamental, debida no a Sachs sino a Errera; a saber, que (3) la pared divisoria incipiente de una célula en división tiende a ser tal que su área sea la menor posible mediante la cual pueda encerrarse el contenido espacial dado.
Volvamos al caso de nuestro cubo y supongamos que, en lugar de dividirlo por la mitad, deseamos separar solo una pequeña porción de su volumen. Se descubre, en el curso de los experimentos con películas de jabón, que si intentamos acercar una película divisoria demasiado a un lado de un espacio cúbico (o rectangular), esta se vuelve inestable y se desplaza fácilmente a una posición totalmente nueva, en la que constituye una pared cilíndrica curvada que corta una esquina del cubo. Se encuentra con los lados del cubo en ángulos rectos (por razones que ya hemos considerado); y, como podemos ver a partir de la simetría {349} del caso, constituye exactamente una cuarta parte de un cilindro. Nuestra partición transversal plana, dondequiera que estuviera colocada, tenía siempre la misma área, es decir, aÿ£¢2ã€₤; y es obvio que una pared cilíndrica, si corta una esquina pequeña, puede ser mucho menor que esta. Queremos, en consecuencia, determinar cuál es el volumen particular que podría separarse con igual economía de espacio de pared de una u otra manera, es decir, qué área de pared cilíndrica no sería ni mayor ni menor que el área aÿ£¢2ã€₤. El cálculo es muy fácil.
El área-superficial de un cilindro de longitud a es 2ü€rã€₤ôñã€₤a, y la de nuestro cuarto de cilindro es, por tanto, aã€₤ôñã€₤ü€rã€₤ã „ã€₤2; y siendo esto, por hipótesis, =ã€₤aÿ£¢2ã€₤, tenemos a =ã€₤ü€rã€₤ã „ã€₤2, o r =ã€₤2aã€₤ã „ã€₤ü€.
El volumen de un cilindro, de longitud a, es aü€rÿ£¢2ã€₤, y el de nuestro cuarto de cilindro es aã€₤ôñã€₤ü€rÿ£¢2ã€₤ã „ã€₤4, lo que (sustituyendo el valor de r) es igual a aÿ£¢3ã€₤ã „ã€₤ü€.
Now precisely this same volume is, obviously, shut off by a transverse partition of area aÿ£¢2ã€₤, if the third side of the rectangular space be equal to aã€₤ã „ã€₤ü€. And this fraction, if we take a =ã€₤1, is equal to 0ôñ318..., or rather less than one-third. And, as we have just seen, the radius, or side, of the corôÙreôÙsponôÙding quarter-cylinder will be twice that fraction, or equal to ôñ636 times the side of the cubical cell.