             "Light come, light go."
                    _________

                1.  Propositions.

            "Some new Cakes are nice."
            "No new Cakes are nice."
            "All new cakes are nice."

Hay tres «PROPOSICIONES» para usted —las únicas tres clases que vamos a usar en este Juego— y lo primero que hay que hacer es aprender a expresarlas en el Tablero.

Comencemos con

"Algunos pasteles nuevos son ricos."

Pero antes de hacerlo, hay que hacer una observación —bastante importante, y que no es nada fácil de entender de buenas a primeras: así que por favor lea esto con MUCHO cuidado.

El mundo contiene muchas COSAS (tales como "Bollos", "Bebés", "Escarabajos", "Palas de pin pon", etc.); y estas Cosas poseen muchos ATRIBUTOS (tales como "horneados", "hermosos", "negros", "rotos", etc.: de hecho, todo lo que se le pueda "atribuir a", es decir, que se "diga que pertenece a" cualquier Cosa, es un Atributo). Siempre que deseamos mencionar una Cosa, utilizamos un SUSTANTIVO; cuando deseamos mencionar un Atributo, utilizamos un ADJETIVO. La gente se ha hecho la pregunta: "¿Puede existir una Cosa sin ningún Atributo que le pertenezca?". Es una pregunta muy desconcertante, y no voy a intentar responderla: arruguemos la nariz y tratémosla con un silencio despectivo, como si realmente no valiera la pena prestarle atención. Pero, si la plantean al revés y preguntan: "¿Puede existir un Atributo sin ninguna Cosa a la que pertenecer?", podemos responder de inmediato: "¡No: ni más ni menos que un Bebé podría hacer un viaje en tren sin nadie que lo cuide!". Nunca has visto la "hermosura" flotando por el aire, ni tirada por el suelo, sin ninguna Cosa que SEA hermosa, ¿verdad?

Y ahora, ¿a qué quiero parar con toda esta larga monserga? A lo siguiente.

Puedes poner «es» o «son» entre los nombres de dos COSAS (por ejemplo, «algunos Cerdos son Animales gordos»), o entre los nombres de dos ATRIBUTOS (por ejemplo, «el rosa es rojo claro»), y en cada caso tendrá perfecto sentido.

Pero, si pones «es» o «son» entre el nombre de una COSA y el nombre de un ATRIBUTO (por ejemplo, «algunos Cerdos son rosa»), NO tiene perfecto sentido (pues, ¿cómo puede una Cosa SER un Atributo?) a menos que hayas llegado a un acuerdo con la persona con la que estás hablando.

Y el acuerdo más sencillo sería, creo yo, este: que se suponga que el Sustantivo se repite al final de la oración, de modo que la oración, si se escribiera por completo, sería «algunos Cerdos son rosa (Cerdos)». Y ahora la palabra «son» cobra mucho sentido.

Así, para comprender bien la proposición «algunos pasteles nuevos son agradables», debemos suponer que está escrita por completo, en la forma «algunos pasteles nuevos son agradables (pasteles)». Ahora bien, esto contiene dos «TÉRMINOS», siendo «pasteles nuevos» uno de ellos, y «agradables (pasteles)» el otro. «Pasteles nuevos», por ser de lo que estamos hablando, se llama el «SUJETO» de la proposición, y «agradables (pasteles)», el «PREDICADO». Asimismo, se dice que esta proposición es «PARTICULAR», ya que no habla de la TOTALIDAD de su Sujeto, sino solo de una PARTE de este. Se dice que los otros dos tipos son «UNIVERSALES», porque hablan de la TOTALIDAD de sus Sujetos —el uno negando la cualidad de agradables, y el otro afirmándola, de toda la clase de «pasteles nuevos». Por último, si desea tener una definición de la palabra «PROPOSICIÓN» misma, puede tomar esta: «una oración que afirma que algunas, ninguna o todas las Cosas pertenecientes a cierta clase, llamada su “Sujeto”, son también Cosas pertenecientes a otra clase determinada, llamada su “Predicado”».

Encontrará estas siete palabras —PROPOSICIÓN, ATRIBUTO, TÉRMINO, SUJETO, PREDICADO, PARTICULAR, UNIVERSAL— sumamente útiles, si por casualidad algún amigo le pregunta si alguna vez ha estudiado Lógica.

Cuídese de incluir las siete palabras en su respuesta, y su amigo se marchará profundamente impresionado: «más triste y más sabio».

Ahora observad el Diagrama más pequeño de la Pizarra, y supongamos que es una alacena, destinada a todos los Pasteles del mundo (tendría que ser una bastante grande, por supuesto). Y supongamos que todos los nuevos se colocan en la mitad superior (marcada con una 'x'), y todos los demás (es decir, los NO-nuevos) en la mitad inferior (marcada con una 'x'').

Así, la mitad inferior contendría Pasteles ANCIANOS, Pasteles AÑEJOS, Pasteles ANTEDILUVIANOS —si es que los hay: yo no he visto muchos, la verdad— y así sucesivamente.

Supongamos también que todos los Pasteles agradables se colocan en la mitad izquierda (marcada con una 'y'), y todos los demás (es decir, los no-agradables) en la mitad derecha (marcada con una 'y'').

Por lo tanto, en este momento debemos entender que x significa "nuevo", x' "no-nuevo", y "agradable", e y' "no-agradable".

Y ahora, ¿qué clase de pasteles esperaría encontrar en el compartimento

núm. 5?

Forma parte de la mitad superior, ¿ve usted?; de modo que, si hay Pasteles en él, tienen que ser NUEVOS: y forma parte de la mitad izquierda; de modo que tienen que ser AGRADABLES. Por consiguiente, si hay algún Pastel en este compartimento, ha de tener el ATRIBUTO doble "nuevo y agradable": o, si empleamos letras, han de ser "x y".

Observe que las letras x, y están escritas en dos de los bordes de este compartimento. Esta le parecerá una regla muy conveniente para saber qué Atributos pertenecen a las Cosas en cualquier compartimento.

Tomemos el núm. 7, por ejemplo. Si hay algún Pastel allí, debe ser "x' y", es decir, debe ser "no nuevo y agradable".

Ahora hagamos otro acuerdo: que una ficha roja en un compartimento significará que está «OCUPADO», es decir, que hay ALGUNOS Pasteles en él. (La palabra «algunos», en Lógica, significa «uno o más», de modo que un solo Pastel en un compartimento sería razón más que suficiente para decir «hay ALGUNOS Pasteles aquí»). Acordemos también que una ficha gris en un compartimento significará que está «VACÍO», es decir, que NO hay Pasteles en él. En los siguientes Diagramas, pondré «1» (que significa «uno o más») donde debas poner una ficha ROJA, y «0» (que significa «ninguno») donde debas poner una GRIS.

Como el Sujeto de nuestra Proposición ha de ser "pasteles nuevos", solo nos ocupamos, por el momento, de la mitad SUPERIOR del armario, donde todos los pasteles tienen el atributo $x$ , es decir, "nuevos".

Ahora, fijando nuestra atención en esta mitad superior, supongamos que la encontráramos marcada así,

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|  1  |     |
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es decir, con una ficha roja en el n.º 5. ¿Qué nos diría esto con respecto a la clase de los «nuevos Pasteles»?

¿No nos indicaría que hay ALGUNOS de ellos en el compartimento x y?

Es decir, que algunos de ellos (además de tener el Atributo x, que pertenece a ambos compartimentos) tienen el Atributo y (es decir, «agradables»).

Esto podríamos expresarlo diciendo «algunos pasteles-x son (pasteles)-y», o bien, sustituyendo las letras por palabras,

"Some new Cakes are nice (Cakes)", or, in a shorter form,

"Some new Cakes are nice".

Por fin hemos descubierto cómo representar la primera Proposición de esta Sección. Si no has comprendido CLARAMENTE todo lo que he dicho, nosigas adelante, sino lee una y otra vez hasta que SÍ lo entiendas. Una vez dominado esto, te resultará todo lo demás bastante fácil.

Nos ahorrará un poco de problemas, al hacer las otras Proposiciones, si acordamos omitir la palabra «Pasteles» por completo. Encuentro conveniente llamar al grupo entero de Cosas, para el cual está destinado el armario, el «UNIVERSO».

Así podríamos haber empezado este asunto diciendo «Tomemos un Universo de Pasteles». (Suena bien, ¿verdad?)

Por supuesto, cualquier otra cosa habría servido igual que los Pasteles.

Podríamos hacer propuestas sobre «un Universo de Lagartos», o incluso «un Universo de Avispones». (¿A que NO sería un universo encantador para vivir en él?).

Hasta ahora, pues, hemos aprendido que

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|  1  |     |
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significa "algunos x e y", es decir, "algunos nuevos son simpáticos".

Creo que sin más explicaciones verá que

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|     |  1  |
|     |     |
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```

significa "algunos x son y", es decir, "algunos nuevos no son agradables".

Ahora pongamos una ficha GRIS en la casilla núm. 5 y preguntémonos el significado de

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|  0  |     |
|     |     |
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```

Esto nos dice que el compartimento $x y$ está VACÍO, lo cual podemos expresar mediante «ningún $x$ es $y$ », o bien, «ningún pastel nuevo es bueno». Esta es la segunda de las tres proposiciones que encabezan esta sección.

Del mismo modo,

```
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|     |  0  |
|     |     |
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```

significaría "ningún x es y", o, "ningún pastel nuevo es no-delicioso."

¿Qué harías con esto, me pregunto?

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Espero que no tengas mucha dificultad en comprender que esto representa una Proposición DOBLE: a saber, "algunos x son y, Y algunos son y'", es decir, "algunos nuevos son agradables, y algunos no son agradables".

Lo siguiente es un poco más difícil, tal vez:

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```

Esto significa «ningún x es y, Y ninguno es y'», es decir, «ningún new es nice, Y ninguno es not-nice»: lo cual conduce al resultado bastante curioso de que «ningún new existe», es decir, «ningún Cake es new». Esto se debe a que «nice» y «not-nice» hacen lo que llamamos una división «EXHAUSTIVA» de la clase «new Cakes»: es decir, entre ambos EXHAUSTAN toda la clase, de modo que todos los new Cakes que existen deben encontrarse en uno u otro de ellos.

Y ahora supongamos que tuviera que representar, con fichas, la contradictoria de «ningún pastel es nuevo», que sería «algunos pasteles son nuevos», o, poniendo letras en lugar de palabras, «algunos pasteles son $x$ », ¿cómo lo haría?

Esto te desconcertará un poco, supongo. Evidentemente, debes poner una ficha roja EN ALGÚN LUGAR de la mitad $x$ del armario, puesto que sabes que hay ALGUNOS pasteles nuevos. Pero no debes ponerla en el compartimento IZQUIERDO, puesto que no sabes que sean BUENOS; ni tampoco puedes ponerla en el DERECHO, puesto que no sabes que NO SEAN BUENOS.

¿Qué debéis hacer, entonces? Creo que la mejor salida a la dificultad es colocar la ficha roja SOBRE LA LÍNEA DIVISORIA entre el compartimento $x y$ y el compartimento $x y^{'}$ . Esto lo representaré (como siempre pongo un «1» donde debéis colocar una ficha roja) mediante el diagrama

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|    -1-    |
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Nuestros ingeniosos primos americanos han inventado una frase para expresar la situación de un hombre que quiere unirse a uno u otro de dos partidos —como sus dos partidos, «demócratas» y «republicanos»—, pero no logra decidirse por CUÁL. Se dice que tal hombre está «sentado en la valla».

Pues esa es exactamente la posición del peón rojo que acaban de colocar sobre la línea de división. Le gusta el aspecto del número 5, y le gusta el aspecto del número 6, y no sabe a CUÁL saltar. ¡Así que ahí se queda a horcajadas, el tontorrón, balanceando las piernas, una a cada lado de la valla!

Ahora voy a darte uno mucho más difícil de descifrar. ¿Qué significa esto?

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Esto es claramente una Proposición DOBLE. Nos dice no solo que "algunos x son y", sino también que "ningún x NO es y". De ahí que el resultado sea "TODOS los x son y", es decir, "todos los pasteles nuevos son agradables", que es la última de las tres Proposiciones al principio de esta Sección.

Vemos, pues, que la Proposición Universal

"All new Cakes are nice"

consta de DOS Proposiciones tomadas juntamente, a saber,

"Some new Cakes are nice," and "No new Cakes are not-nice."

De la misma manera

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significaría "todos los x son y'", es decir,

"Todos los pasteles nuevos no son ricos."

Ahora bien, ¿qué opinaría de una proposición como «El pastel que me has dado es rico»? ¿Es Particular o Universal?

—Particular, desde luego —respondes sin vacilar—. Un solo Pastel apenas merece llamarse «unos», incluso.

No, mi querido y rápido lector, es «Universal». ¡Recuerda que, pocos como son (y te admito que difícilmente podrían ser menos), son (o más bien «es») TODO lo que me has dado!

Así, si (dejando el «rojo» fuera de cuestión) divido mi Universo de Pasteles en dos clases: los pasteles que me has dado (a los que asigno la mitad superior de la alacena), y los que NO me has dado (que van abajo), encuentro la mitad inferior bastante llena, y la superior tan vacía como es posible.

Y entonces, cuando se me dice que ponga una división vertical en cada mitad, guardando los pasteles BUENOS a la izquierda, y los NO BUENOS a la derecha, empiezo por recoger cuidadosamente TODOS los pasteles que me has dado (diciéndome a mí mismo de vez en cuando: «¡Alma generosa! ¿Cómo podré pagar semejante bondad?»), y amontonándolos en el compartimento de la izquierda.

¡Y NO SE TARDARÁ MUCHO EN HACERLO!

Aquí tienes otra Proposición Universal para ti.

"Barzillai Beckalegg es un hombre honrado."

Eso significa "TODOS los Barzillai Beckaleggs, que ahora estoy considerando, son hombres honrados".

(Crees que inventé ese nombre, ¿verdad? Pero no fue así. Está en el carro de un transportista, en algún lugar de Cornualles.)

Este tipo de Proposición Universal (en la que el Sujeto es una sola Cosa) se llama Proposición «INDIVIDUAL».

Ahora tomemos «Pasteles LINDOS» como el Sujeto de la Proposición: es decir, fijemos nuestros pensamientos en la mitad IZQUIERDA del armario, donde todos los Pasteles tienen el atributo $y$ , es decir, «lindo».

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  Suppose we find it marked like this:--   |     |
                                           |  1  |
  What would that tell us?                 |     |
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                                           |     |
                                           |     |
                                           |     |
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Espero que no sea necesario, tras explicar tan detalladamente el oblongo HORIZONTAL, dedicar mucho tiempo al VERTICAL. Confío en que usted mismo verá que esto significa "algunos y son x", es decir,

"Algunos pasteles ricos son nuevos."

"Pero", diréis, "ya hemos tenido este caso antes. Pusiste una ficha roja en el núm. 5, y nos dijiste que significaba 'algunos pasteles nuevos son buenos'; ¡y AHORA nos dices que significa 'algunos pasteles BUENOS son NUEVOS'! ¿Puede significar AMBOS?"

¡La pregunta es muy meditada y te honra MUCHO, querido Lector! ¡SIGNIFICA ambas cosas!

Si decides tomar $x$ (es decir, «pasteles nuevos») como tu Sujeto, y considerar el núm. 5 como parte de un rectángulo HORIZONTAL, puedes leerlo como «algunos $x$ son $y$ », es decir, «algunos pasteles nuevos son agradables»; pero, si decides tomar $y$ (es decir, «pastel agradable») como tu Sujeto, y considerar el núm. 5 como parte de un rectángulo VERTICAL, ENTONCES puedes leerlo como «algunos $y$ son $x$ », es decir, «algunos pasteles agradables son nuevos».

Son simplemente dos formas diferentes de expresar exactamente la misma verdad.

Sin más palabras, me limitaré a exponer las otras formas en que este rectángulo vertical puede señalarse, añadiendo su significado en cada caso. Comparándolas con los distintos casos del rectángulo horizontal, espero que podáis comprenderlos con claridad.

Le parecerá una buena idea examinarse en esta tabla, cubriendo primero una columna y luego la otra, y «saltando de un lado a otro», como dicen los niños.

También harás bien en redactar para ti otras dos tablas: una para la mitad INFERIOR del armario, y la otra para su mitad DERECHA.

Y ahora creo que hemos dicho todo lo que necesitamos decir sobre el Diagrama más pequeño, y podemos pasar al más grande.

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                 |
    Symbols.     |          Meanings.
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     |     |     |
     |     |     |  Some y are x';
     |     |     |     i.e. Some nice are not-new.
      -----      |
     |     |     |
     |  1  |     |
     |     |     |
      -----      |
                 |
      -----      |
     |     |     |  No y are x;
     |  0  |     |      i.e. No nice are new.
     |     |     |
      -----      |  [Observe that this is merely another way of
     |     |     |      expressing "No new are nice."]
     |     |     |
     |     |     |
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                 |
      -----      |
     |     |     |
     |     |     |  No y are x';
     |     |     |      i.e. No nice are not-new.
      -----      |
     |     |     |
     |  0  |     |
     |     |     |
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                 |
      -----      |
     |     |     |
     |  1  |     |  Some y are x, and some are x';
     |     |     |     i.e. Some nice are new, and some are
      -----      |            not-new.
     |     |     |
     |  1  |     |
     |     |     |
      -----      |
                 |
      -----      |
     |     |     |
     |  0  |     |  No y are x, and none are x'; i.e. No y
     |     |     |       exist;
      -----      |     i.e. No Cakes are nice.
     |     |     |
     |  0  |     |
     |     |     |
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     |  1  |     |  All y are x;
     |     |     |       i.e. All nice are new.
      -----      |
     |     |     |
     |  0  |     |
     |     |     |
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      -----      |
     |     |     |
     |  0  |     |  All y are x';
     |     |     |       i.e. All nice are not-new.
      -----      |
     |     |     |
     |  1  |     |
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Esto puede considerarse como un armario dividido del mismo modo que el anterior, pero TAMBIÉN dividido en dos porciones, para el Atributo $m$ . Asignemos a $m$ el significado de «saludable»; y supongamos que todos los pasteles SALUDABLES se colocan DENTRO del cuadrado central, y todos los NO SALUDABLES FUERA de él, es decir, en uno u otro de los cuatro compartimentos EXTERIORES de extraña forma.

Vemos que, así como, en el Diagrama más pequeño, los Pasteles en cada compartimento tenían DOS Atributos, también aquí los Pasteles en cada compartimento tienen TRES Atributos; y, así como las letras que representaban los DOS Atributos estaban escritas en los BORDES del compartimento, también aquí están escritas en las ESQUINAS. (Nótese que se supone que $m^{'}$ debe estar escrita en cada una de las cuatro esquinas exteriores).

De modo que podemos saber en un instante, con solo mirar un compartimento, qué tres Atributos pertenecen a las Cosas que hay en él.

Por ejemplo, tómese el N.º 12. Aquí encontramos $x$ , $y^{'}$ , $m$ en las esquinas: así que sabemos que los Pasteles que hay en él, si es que hay alguno, tienen el triple Atributo « $x y^{'} m$ », es decir, «nuevos, desagradables y saludables».
De nuevo, tómese el N.º 16. Aquí encontramos, en las esquinas, $x^{'}$ , $y^{'}$ , $m^{'}$ : así que los Pasteles que hay en él son «no nuevos, desagradables y no saludables». (¡Pasteles notablemente poco tentadores!)

Tardaría muchísimo en repasar todas las Proposiciones, que contienen $x$ e $y$ , $x$ e $m$ , e $y$ e $m$ , que pueden representarse en este diagrama (¡hay noventa y seis en total, así que estoy seguro de que me disculparán!) y debo contentarme con hacer dos o tres, a modo de ejemplo. Harán bien en resolver muchos más por su cuenta.

Tomando la mitad superior por sí sola, de modo que nuestro Sujeto sea "nuevos Pasteles", ¿cómo hemos de representar "ningún nuevo Pastel es sano"?

Esto es, escribiendo letras en lugar de palabras, «ninguna x es m». Ahora bien, esto nos indica que ninguno de los Pasteles, pertenecientes a la mitad superior del armario, se encuentra DENTRO del Cuadrado central: es decir, los dos compartimentos, el n.º 11 y el n.º 12, están VACÍOS. Y esto, por supuesto, se representa mediante

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```

Y ahora, ¿cómo vamos a representar la proposición contradictoria «ALGUNX x son m»? Esta es una dificultad que ya he considerado. Creo que la mejor manera es colocar una ficha roja SOBRE LA LÍNEA DIVISORIA entre el n.º 11 y el n.º 12, y entender que esto significa que UNO de los dos compartimentos está "ocupado", pero que por el momento no sabemos CUÁL.

Esto lo representaré así:--

```
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|    _____|_____    |
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|   |    -1-    |   |
|   |     |     |   |
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```

Ahora expresemos "todos los $x$ son $m$ ".

Esto consta, como sabemos, de DOS Proposiciones,

"Some x are m,"
and "No x are m'."

Expresemos primero la parte negativa. Esto nos dice que ninguno de los Pasteles, pertenecientes a la mitad superior del armario, se encuentra FUERA del Cuadrado central: es decir, los dos compartimentos, núm. 9 y núm. 10, están VACÍOS. Esto, por supuesto, se representa mediante

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Pero aún nos falta representar «Algunos $x$ son $m$ ». Esto nos indica que hay ALGUNOS pasteles en el óvalo compuesto por el n.º 11 y el n.º 12; por lo tanto, colocamos nuestra ficha roja, como en el ejemplo anterior, sobre la línea divisoria entre el n.º 11 y el n.º 12, y el resultado es

```
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```

Ahora probemos una o dos interpretaciones.

¿Qué debemos pensar de esto, con respecto a x e y?

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Esto nos dice, respecto al cuadro $x y^{'}$ , que está totalmente «vacío», puesto que AMBOS compartimentos están marcados así. Respecto al cuadro $x y$ , nos dice que está «ocupado». Es verdad que solo ES UNO de sus compartimentos el que está marcado de ese modo; pero eso es más que suficiente, ya esté el otro «ocupado» o «vacío», para determinar el hecho de que HAY ALGO en el cuadro.

Si, pues, trasladamos nuestras marcas al Diagrama más pequeño, de modo de librarnos de las $m$ -subdivisiones, tenemos derecho a marcarlo

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lo que significa, ya sabes, "todos los x son y".

El resultado habría sido exactamente el mismo, si el óngulo dado hubiera sido marcado así:--

```
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|    _____|_____    |
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|   |     |  0  |   |
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```

Una vez más: ¿cómo debemos interpretar esto, con respecto a x e y?

                   -------------------
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                   -------------------

Esto nos dice, en cuanto al Cuadrado- $x y$ , que UNO de sus compartimentos está «vacío». Pero esta información es bastante inútil, ya que no hay ninguna marca en el OTRO compartimento. Si el otro compartimento estuviera también «vacío», el Cuadrado estaría «vacío»: y, si estuviera «ocupado», el Cuadrado estaría «ocupado». Así que, como no sabemos cuál es el caso, no podemos decir nada sobre ESTE Cuadrado.

El otro Cuadrado, el Cuadrado $x y^{'}$ , sabemos (como en el ejemplo anterior) que está «ocupado».

Si, por tanto, trasladamos nuestras marcas al Diagrama más pequeño, obtenemos meramente esto:--

```
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|     |     |
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```

lo que significa, ya sabes, "algunos x son y".

These principles may be applied to all the other
oblongs.  For instance, to represent
"all y' are m'" we should mark the     -------
RIGHT-HAND UPRIGHT OBLONG (the one    |       |
that has the attribute y') thus:--    |---    |
                                      | 0 |   |
                                      |---|-1-|
                                      | 0 |   |
                                      |---    |
                                      |       |
                                       -------

y, si se nos dijera que interpretáramos la mitad inferior del armario, marcada de la siguiente manera, con respecto a x e y,

                   -------------------
                  |   |     |     |   |
                  |   |     |  0  |   |
                  |   |     |     |   |
                  |    -----|-----    |
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deberíamos trasladarlo al Diagrama más pequeño de este modo,

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y léase «todo x' es y».

Es necesario hacer dos observaciones más sobre las Proposiciones.

Una es que, en toda Proposición que comience por «algún» o «todo», se afirma la EXISTENCIA REAL del «Sujeto». Si, por ejemplo, digo «todos los avaros son egoístas», quiero decir que los avaros EXISTEN REALMENTE.

Si deseara evitar hacer esta aseveración, y limitarme a enunciar la LEY de que la avaricia implica necesariamente egoísmo, diría «ningún avaro es no egoístas» ¹, lo cual no afirma que exista ningún avaro en absoluto, sino meramente que, si alguno EXISTIERA, SERÍA egoístas.

Nota del traductor: Se mantiene el plural exacto del original en inglés («unselfish») para preservar la estructura lógica y gramatical del texto analizado. ↩

La otra es que, cuando una Proposición empieza por «algunos» o «ninguno», y contiene más de dos Atributos, estos Atributos pueden reordenarse, y trasladarse de un Término al otro, «ad libitum».

Por ejemplo, «algunos abc son def» puede reordenarse como «algunos bf son acde», siendo cada una equivalente a «algunas Cosas son abcdef».

Asimismo, «Ningún hombre viejo y sabio es un jugador temerario e imprudente» puede reordenarse como «Ningún jugador viejo y temerario es sabio e imprudente», siendo cada una equivalente a «Ningún hombre es un jugador temerario, imprudente, viejo y sabio».

Silogismos

Ahora supongamos que dividimos nuestro Universo de Cosas de tres maneras, con respecto a tres Atributos diferentes. De estos tres Atributos, podemos formar tres parejas diferentes (por ejemplo, si fueran a, b, c, podríamos formar las tres parejas ab, ac, bc).

Supongamos también que se nos dan dos Proposiciones, que contienen dos de estas tres parejas, y que a partir de ellas podemos demostrar una tercera Proposición que contiene la tercera pareja. (Por ejemplo, si dividimos nuestro Universo para m, x e y; y si se nos dan las dos Proposiciones: «ningún m es x'» y «todos los m' son y», que contienen las dos parejas mx y my, podría ser posible demostrar a partir de ellas una tercera Proposición, que contenga a x e y).

En tal caso llamamos a las Proposiciones dadas «LAS PREMISAS», a la tercera «LA CONCLUSIÓN» y al conjunto entero «UN SILOGISMO».

Evidentemente, UNO de los Atributos debe aparecer en ambas Premisas; o bien uno debe aparecer en UNA Premisa, y su CONTRADICTORIO en la otra.

En el primer caso (cuando, por ejemplo, las premisas son «algunos m son x» y «ningún m es y») el término que aparece dos veces se llama «EL TÉRMINO MEDIO», porque sirve como una especie de vínculo entre los otros dos términos.

En el segundo caso (cuando, por ejemplo, las Premisas son "ningún m es x'" y "todos los m' son y") los dos Términos, que contienen estos Atributos contradictorios, pueden llamarse 'LOS TÉRMINOS MEDIOS'.

Así, en el primer caso, la clase de las «cosas-m» es el Término Medio; y, en el segundo caso, las dos clases de las «cosas-m» y las «cosas-m'» son los Términos Medios.

El Atributo, que aparece en el Término o Términos Medios, desaparece en la Conclusión, y se dice que es "eliminado", lo que literalmente significa "echado a la calle".

Ahora tratemos de sacar una Conclusión de las dos Premisas—

          "Some new Cakes are unwholesome;
           No nice Cakes are unwholesome."

Para poder expresarlos mediante contadores, necesitamos dividir los Pasteles de TRES maneras diferentes, con respecto a la frescura, a la exquisitez y a la salubridad. Para esto debemos usar el Diagrama más grande, haciendo que x signifique "fresco", y "exquisito" y m "saludable". (Se supone que todo lo que está DENTRO del Cuadrado central tiene el atributo m, y todo lo que está FUERA de él, el atributo m', es decir, "no-m").

Más te vale adoptar la regla de hacer que m signifique el Atributo que aparece en el Término o Términos MEDIOS. (He elegido m como símbolo porque «medio» empieza por «m».)

Ahora bien, al representar las dos Premisas, prefiero empezar por la NEGATIVA (la que empieza por «no»), porque las fichas GRISES siempre se pueden colocar con CERTEZA, y ayudarán así a fijar la posición de las fichas rojas, cuya ubicación a veces resulta un tanto dudosa sobre dónde serán mejor recibidas.

Expresemos el «no hay pasteles agradables que no sean saludables (Pasteles)», es decir, «ningún y-pastel es m’-(pastel)». Esto nos indica que ninguno de los pasteles pertenecientes a la mitad y del armario está en sus compartimentos m’ (es decir, los que están fuera del Cuadrado central). Por lo tanto, los dos compartimentos, el n.º 9 y el n.º 15, están «VACÍOS»; y debemos colocar una ficha gris en CADA uno de ellos, de este modo:--

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Tenemos ahora que expresar la otra Premisa, a saber, "algunos pasteles nuevos son (pasteles) insanos", es decir, "algunos $x$ -pasteles son $m^{'}$ -(pasteles)". Esto nos indica que algunos de los pasteles en la mitad- $x$ del armario están en sus compartimentos- $m^{'}$ . Por tanto, UNO de los dos compartimentos, el n.º 9 y el n.º 10, está "ocupado": y, como no se nos dice EN CUÁL de estos dos compartimentos debemos colocar la ficha roja, la regla habitual sería colocarla sobre la línea divisoria entre ellos: pero, en este caso, la otra Premisa ha resuelto el asunto por nosotros al declarar que el n.º 9 está VACÍO. Por tanto, la ficha roja no tiene alternativa y DEBE ir al n.º 10, de este modo:--

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Y ahora, ¿qué fichas nos permitirá colocar esta información en el Diagrama MÁS PEQUEÑO, para obtener alguna Proposición que involucre solo a $x$ y $y$ , omitiendo a $m$ ? Tomemos sus cuatro compartimentos, uno por uno.

Primero, el núm. 5. Todo lo que sabemos sobre ESTE es que su porción EXTERIOR está vacía: pero no sabemos nada sobre su porción interior. Así pues, el Cuadrado PUEDE estar vacío, o PUEDE tener algo dentro. ¿Quién puede decirlo? Por lo tanto, no nos atrevemos a colocar NINGUNA ficha en este Cuadrado.

En segundo lugar, ¿qué pasa con el núm. 6? Aquí estamos un poco mejor. Sabemos que hay ALGO en él, puesto que hay una ficha roja en su parte exterior. Es cierto que no sabemos si su parte interior está vacía u ocupada: pero ¿qué importa ESO? Un solo Pastel, en una esquina del Cuadrado, es excusa más que suficiente para decir «ESTE CUADRADO ESTÁ OCUPADO», y para marcarlo con una ficha roja.

En cuanto al núm. 7, nos encontramos en la misma situación que con el núm. 5: lo hallamos EN PARTE «vacío», pero no sabemos si la otra parte está vacía u ocupada; de modo que no nos atrevemos a marcar este Cuadrado.

Y en cuanto al número 8, simplemente no tenemos información en absoluto.

El resultado es

Nuestra «Conclusión», por lo tanto, debe extraerse de la información, bastante exigua, de que hay una ficha roja en la casilla $x y^{'}$ .

De ahí que nuestra conclusión sea «algunos $x$ son $y^{'}$ », es decir, «algunos Pasteles nuevos son no-apetitosos (Pasteles)»; o, si prefiere tomar $y^{'}$ como Sujeto, «algunos Pasteles no-apetitosos son nuevos (Pasteles)»; pero la otra opción parece más pulcra.

Escribiremos ahora el Silogismo completo, poniendo el símbolo &thereicke;[*] para "por lo tanto", y omitiendo "Pasteles", en aras de la brevedad, al final de cada Proposición.

[*][NOTA de Brett: El uso de «&there4» es una selección bastante arbitraria. No hay ninguna fuente disponible de forma general que reproduzca correctamente el símbolo de «por lo tanto» (tres puntos en formación triangular). Sin embargo, esto sí se puede hacer en HTML, por lo que, si este documento se lee en un navegador, el símbolo se reconocerá adecuadamente. Esta es una excusa de pobre.]

          "Some new Cakes are unwholesome;
           No nice Cakes are unwholesome
           &there4 Some new Cakes are not-nice."

Y ahora has elaborado, con éxito, tu primer «SILOGISMO».

¡Permíteme felicitarte y expresar la esperanza de que no sea sino el principio de una larga y gloriosa serie de victorias similares!

Resolveremos un Silogismo más —bastante más difícil que el anterior— y entonces, creo, se te podrá dejar con seguridad para que juegues al Juego tú solo, o (mejor) con cualquier amigo que puedas encontrar, que sea capaz y esté dispuesto a tomar parte en la diversión.

Veamos qué podemos sacar en claro de las dos Premisas...

              "All Dragons are uncanny;
               All Scotchmen are canny."

Recuerden que no garantizo que las Premisas sean HECHOS. En primer lugar, ni siquiera he visto nunca un Dragón; y, en segundo lugar, para nosotros, como LÓGICOS, no tiene la más mínima importancia que nuestras Premisas sean verdaderas o falsas: todo lo que TENEMOS que hacer es determinar si CONDUCEN LÓGICO-MENTE A LA CONCLUSIÓN, de modo que, si ELLAS fueran verdaderas, AQUÉLLA también lo sería.

Verás, tenemos que prescindir de los «Pasteles» ahora, o nuestra alacena no nos servirá de nada. Debemos tomar, como nuestro «Universo», alguna clase de cosas que incluya a los dragones y a los escocesess: ¿diremos «Animales»? Y, como «prudente» es evidentemente el Atributo perteneciente a los «Términos Medios», dejaremos que $m$ represente a «prudente», $x$ a los «dragones», y $y$ a los «escoceses». De modo que nuestras dos Premisas son, en su totalidad,

   "All Dragon-Animals are uncanny (Animals);
   All Scotchman-Animals are canny (Animals)."

Y estas pueden expresarse, usando letras para las palabras, de este modo:--

                "All x are m';
                 All y are m."

La primera Premisa consta, como ya sabéis, de dos partes:--

"Some x are m'," and "No x are m."

Y el segundo también consta de dos partes:--

"Some y are m,"
and "No y are m'."

Comencemos por las partes negativas.

Tenemos, pues, que señalar, en el Diagrama más grande, primero, «ninguna x es m», y en segundo lugar, «ninguna y es m'». Creo que verán, sin más explicación, que los dos resultados, por separado, son

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y que estos dos, al combinarse, nos dan

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Tenemos ahora que señalar las dos porciones positivas,

"some x are m'"

"some y are m".

Los únicos dos compartimentos disponibles para las Cosas que son $x m^{'}$ , son

El n.º 9 y el n.º 10.

De estos, el n.º 9 ya está marcado como «vacío»; así que nuestra ficha roja debe ir en el n.º 10.

Del mismo modo, las únicas dos disponibles para ym son la núm. 11 y la núm. 13.

De estas, la núm. 11 ya está marcada como «vacía»; así que nuestra ficha roja DEBE ir en la núm. 13.

El resultado final es

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Y ahora, ¿cuánta de esta información puede transferirse de manera útil al Diagrama más pequeño?

Tomemos sus cuatro compartimentos, uno por uno.

¿Y en cuanto al núm. 5? Esto, como vemos, está totalmente «vacío». (Así pues, márquelo con una ficha gris).

¿En cuanto al núm. 6? Este, como vemos, está «ocupado». (Así que márcalo con una ficha roja).

¿En cuanto al núm. 7? Idem, ídem.

¿En cuanto al núm. 8? Ninguna información.

El Diagrama más pequeño está ahora bastante generosamente marcado:--

¿Y qué Conclusión podemos extraer de esto? Bien, es imposible condensar una información tan abundante en UNA Sola Proposición: esta vez tendremos que contentarnos con DOS.

Primero, tomando a x como sujeto, obtenemos «todo x es y'», es decir,

"Todos los dragones son no escoceses":

en segundo lugar, tomando $y$ como Sujeto, obtenemos "todo $y$ es $x^{'}$ ", es decir,

"Todos los escoceses son no-dragones".

Escribamos ahora, todos juntos, nuestras dos Premisas y nuestro par de Conclusiones.

        "All Dragons are uncanny;
         All Scotchmen are canny.
         &there4  All Dragons are not-Scotchmen;
                  All Scotchmen are not-Dragons."

Permítase señalar, para terminar, que tal vez se encuentre usted con tratados de lógica en los que no se parte del supuesto de que Exista cosa alguna en absoluto, sino que por «algunos x son y» se entiende que «los atributos x e y son COMPATIBLES, de modo que una cosa puede poseer ambos a la vez», y por «ningún x es y», que «los atributos x e y son INCOMPATIBLES, de modo que nada puede poseer ambos a la vez».

En tales tratados, las Proposiciones tienen significados muy diferentes a los que tienen en nuestro «Juego de Lógica», y será conveniente entender exactamente cuál es la diferencia.

Primer tomemos «algunos x son y». Aquí NOSOTROS entendemos que «son» significa «son, como un HECHO real» —lo cual por supuesto implica que algunas cosas-x EXISTEN. Pero ELLOS (los autores de estos otros tratados) solo entienden que «son» significa «PUEDEN ser», lo cual no implica en absoluto que alguno EXISTA. Así que ellos quieren decir MENOS de lo que nosotros decimos: nuestro significado incluye el de ellos (pues por supuesto «algunos x SON y» incluye «algunos x PUEDEN SER y»), pero el de ellos NO incluye el nuestro. Por ejemplo, «algunos hipopótamos galeses son pesados» sería VERDADERO, según estos escritores (dado que los Atributos «galeses» y «pesados» son totalmente COMPATIBLES en un hipopótamo), pero sería FALSO en nuestro Juego (dado que no hay hipopótamos galeses que SEAN pesados).

En segundo lugar, tómese «ningún x es y». Aquí NOSOTROS solo entendemos que «es» significa «es, como un HECHO real», lo cual no implica en absoluto que ningún x PUEDA ser y. Pero ELLOS entienden que la Proposición significa, no solo que ninguno ES y, sino que ninguno PUEDE SER POSIBLEMENTE y. Así que ellos quieren decir más que nosotros: su significado incluye el nuestro (porque, por supuesto, «ningún x PUEDE ser y» incluye «ningún x ES y»), pero el nuestro NO incluye el de ellos.

Por ejemplo, «ningún Policía mide ocho pies de altura» sería VERDADERO en nuestro Juego (ya que, como hecho real, nunca se encuentran ejemplares tan espléndidos), pero sería FALSO, según estos autores (puesto que los Atributos «pertenecer a la Fuerza Policial» y «ocho pies de altura» son perfectamente COMPATIBLES: no hay nada que IMPIDA a un Policía crecer hasta esa estatura, si se le frota lo suficiente con el Aceite Macassar de Rowland —del cual se dice que hace que el CABELLO crezca, cuando se frota en el cabello, y por lo tanto, por supuesto, hará que un POLICÍA crezca, cuando se frota en un Policía—).

En tercer lugar, tómese «todo x es y», que consta de las dos Proposiciones parciales «algunos x son y» y «ningún x es y'». Aquí, por supuesto, los tratados significan MENOS de lo que nosotros en la PRIMERA parte, y más de lo que nosotros en la SEGUNDA. Pero las dos operaciones no se compensan entre sí —del mismo modo que uno no puede consolar a hombre alguno, por haberle derribado una de sus chimeneas, regalándole un peldaño adicional—.

Si os encontráis con Silogismos de este tipo, podréis resolverlos con bastante facilidad mediante el sistema que os he dado: solo tenéis que hacer que «son» signifique «son CAPACES de ser», y todo irá sobre ruedas. Pues «algunos x son y» se convertirá en «algunos x son capaces de ser y», es decir, «los Atributos x, y son COMPATIBLES». Y «ningún x es y» se convertirá en «ningún x es capaz de ser y», es decir, «los Atributos x, y son INCOMPATIBLES». Y, por supuesto, «todos los x son y» se convertirá en «algunos x son capaces de ser y, y ninguno es capaz de ser y'», es decir, «los Atributos x, y son COMPATIBLES, y los Atributos x, y' son INCOMPATIBLES». Al usar los Diagramas para este sistema, debéis entender que una ficha roja significa «puede POSIBLEMENTE haber algo en este compartimento», y una gris significa «no puede POSIBLEMENTE haber nada en este compartimento».

Falacias.

¿Y así que crees, eh, que la utilidad principal de la Lógica, en la vida real, es deducir Conclusiones a partir de Premisas viables, y convencerte de que las Conclusiones deducidas por otras personas son correctas?

¡Ojalá fuera así! ¡La sociedad sería mucho menos propensa al pánico y a otros delirios, y la vida POLÍTICA, especialmente, sería algo totalmente diferente, si tan solo la mayoría de los argumentos que se esparcen a los cuatro vientos por el mundo fueran correctos!

Pero me temo que ocurre todo lo contrario. Por CADA par de Premisas viables (me refiero a un par que conduzca a una Conclusión lógica) con el que te tropieces al leer tu periódico o revista, probablemente encontrarás CINCO que no conducen a ninguna Conclusión en absoluto; e incluso cuando las Premisas SÍ son viables, por CADA caso en el que el escritor extrae una Conclusión correcta, probablemente haya DIEZ en los que extrae una incorrecta.

En el primer caso, puede decirse "las PREMISAS son falaces"; en el segundo, "la CONCLUSIÓN es falaz".

El uso principal que encontrarás en la destreza lógica que este juego pueda enseñarte estará en detectar «FALACIAS» de estas dos clases.

La primera clase de Falacia —«Premisas falaces»— la descubrirán cuando, tras marcar las marcas en el Diagrama más grande, intenten transferirlas al más pequeño. Tomarán sus cuatro compartimentos, uno a uno, y preguntarán para cada uno a su vez: «¿Qué marca puedo poner AQUÍ?»; y en CADA uno la respuesta será «¡Sin información!», lo que muestra que no hay NINGUNA CONCLUSIÓN EN ABSOLUTO. Por ejemplo,

          "All soldiers are brave;
           Some Englishmen are brave.
            &there4 Some Englishmen are soldiers."

se parece muchísimo A un silogismo, y podría engañar fácilmente a un lógico menos experimentado. ¡Pero a TI no te va a atrapar un truco así! Te limitarías a exponer las Premisas, y luego dirías con total calma: "¡Premisas FALACES!". No te dignarías a preguntar qué CONCLUSIÓN pretendía sacar el escritor, sabiendo que, SEA CUAL SEA, ¡TIENE que ser errónea. Estarías tan a salvo como aquella sabia madre que dijo: "María, sube al cuarto de los niños y mira lo que está haciendo el nene, ¡Y DÍLE QUE NO LO HAGA!".

El otro tipo de Falacia —la "Conclusión Falaz"— no la detectarás hasta que hayas marcado AMBOS Diagramas, hayas leído la Conclusión correcta y la hayas comparado con la Conclusión que el autor ha extraído.

Pero cuidado, no debes decir «Conclusión FALAZ» simplemente porque no sea IDÉNTICA a la correcta: puede ser una PARTE de la Conclusión correcta y, por lo tanto, ser perfectamente correcta, HASTA DONDE LLEGA. En este caso, te limitarías a señalar, con una sonrisa compasiva: «¡Conclusión DEFECTUOSA!». Supongamos, por ejemplo, que te encuentras con este Silogismo:--

           "All unselfish people are generous;
            No misers are generous.
                 &there4 No misers are unselfish."

cuyas premisas podrían expresarse así en letras:--

               "All x' are m;
                No y are m."

Aquí la Conclusión correcta sería "Todo x' es y'" (es decir, "Todas las personas desinteresadas no son avaras"), mientras que la Conclusión, extraída por el escritor, es "Ningún y es x'" (que es lo mismo que "Ningún x' es y," y por lo tanto es PARTE de "Todo x' es y'.").

Aquí simplemente dirías "¡Conclusión DEFECTUOSA!".

Lo mismo ocurriría si estuvieras en una confitería y entrara un niño pequeño, pusiera dos peniques sobre el mostrador y se marchara triunfante con un solo panecillo de un penique. Sacudirías la cabeza con tristeza y comentarías: "¡Conclusión defectuosa! ¡Pobre chiquillo!".

Y tal vez le preguntarías a la joven detrás del mostrador si te dejaría comer A TI el panecillo que el niño había pagado y dejado olvidado: y tal vez ELLA te respondería: "¡No me da la gana!".

Pero si, en el ejemplo anterior, el escritor hubiera extraído la Conclusión «Todos los avaros son egoístas» (es decir, «Todos los $y$ son $x$ »), esto habría ido MÁS ALLÁ de sus legítimos derechos (puesto que afirmaría la EXISTENCIA de $y$ , la cual no está contenida en las Premisas), y usted diría con toda razón: «¡Conclusión falaz!».

Ahora bien, cuando leáis otros tratados de Lógica, os encontraréis con varias clases de (las llamadas) «Falacias» que no son en absoluto SIEMPRE tales. Por ejemplo, si le presentarais a uno de estos lógicos el par de premisas

          "No honest men cheat;
           No dishonest men are trustworthy."

y si le preguntaras qué conclusión se sigue, probablemente diría:

"¡Ninguna en absoluto! ¡Tus premisas atentan contra DOS reglas distintas y son tan falaces como es posible!"

Luego, supongamos que tuvieras la osadía de decir "La conclusión es 'Ningún hombre que hace trampas es digno de confianza'", me temo que tu amigo lógico se apartaría apresuradamente —tal vez enojado, tal vez solo despectivo—: en cualquier caso, el resultado sería desagradable.

¡TE ACONSEJO QUE NO INTENTES EL EXPERIMENTO!

"Pero ¿a qué se debe esto?", dirán ustedes. "¿Quieren decirnos que todos estos lógicos están equivocados?"

¡Ni mucho menos, querido lector! Desde SU punto de vista, tienen toda la razón. Pero no incluyen en su sistema nada parecido a TODAS las formas posibles de silogismos.

Tienen una especie de temor nervioso a los Atributos que comienzan por una partícula negativa. Por ejemplo, proposiciones tales como "Todo no-x es y", "Ningún x es no-y", están completamente fuera de su sistema. Y así, habiendo (por puro nerviosismo) excluido una gran cantidad de formas muy útiles, han establecido reglas que, aunque son del todo aplicables a las pocas formas que admiten, no sirven para nada cuando se consideran todas las formas posibles.

¡No nos peleemos con ellos, estimado Lector! Hay suficiente espacio en el mundo para ambos. Tomemos tranquilamente nuestro sistema más amplio; y, si ellos deciden cerrar los ojos ante todas estas útiles formas y decir: «¡Esto no son Silogismos en absoluto!», ¡bien podemos hacernos a un lado y dejar que se precipiten hacia su Destino!

No hay casi nada tuyo sobre lo cual sea tan peligroso precipitarse como sobre tu Destino. Puedes precipitarte sobre tus patateras o tus fresales sin hacerte demasiado daño; incluso puedes precipitarte sobre tu balcón (a menos que sea una casa nueva, construida por contrata y sin arquitecto supervisor) y sobrevivir a la temeraria empresa; pero una vez que te precipites sobre tu DESTINO... bueno, ¡tendrás que Apechugar con las consecuencias!