una peste, el oráculo les dijo que duplicaran cierto altar cúbico como medio para detener la
Hipócrates no resolvió, en verdad, el problema, pero logró reducirlo a otro, a saber, el problema de hallar dos proporcionales medias en proporción continua entre dos líneas rectas dadas, es decir, hallar x, y tales que a : x = x : y = y : b, donde a, b son las dos líneas rectas dadas.
Es fácil ver que, si a : x = x : y = y : b, entonces b/a = (x/a)³, y, como caso particular, si b = 2a, x³ = 2a³, de modo que se halla el lado del cubo que es el doble del cubo de lado a.
El problema de la duplicación del cubo se intentó en adelante exclusivamente bajo la forma del problema de los dos medios proporcionales. Se registran dos soluciones tempranas significativas.
(1) Arquitas de Tarento (que floreció en la primera mitad del siglo IV a. C.) halló las dos medias proporcionales mediante una construcción tridimensional muy llamativa, lo cual demuestra que la geometría del espacio, al menos en manos de Arquitas, estaba ya muy avanzada. La construcción solía calificarse de mecánica, lo que sin duda era en su forma, aunque en realidad resultaba altamente teórica. Consistía en determinar un punto en el espacio como la intersección de tres superficies:
- (a) un cilindro,
- (b) un cono,
- (c) un «anillo de anclaje» con radio interno = 0.
(2) Menecmo, discípulo de Eudoxo y contemporáneo de Platón, halló las dos medias proporcionales por medio de secciones cónicas, de dos maneras,
- (α) por la intersección de dos parábolas, cuyas ecuaciones en coordenadas cartesianas serían x² = ay, y² = bx, y * (β) por