centros de gravedad también coinciden; si las figuras son desiguales pero semejantes, sus centros de gravedad están situados de manera semejante con respecto
La proposición principal, según la cual dos magnitudes se equilibran a distancias inversamente proporcionales a las magnitudes, se demuestra primero para magnitudes commensurables y luego para incommensurables. Las proposiciones preliminares han tratado sobre magnitudes iguales dispuestas a distancias iguales en una línea recta y en número par o impar, y han demostrado dónde se encuentra el centro de gravedad de todo el sistema.
Tómese primero el caso de las magnitudes mensurables.
Si A, B son los pesos que actúan en E, D sobre la línea recta ED respectivamente, y ED se divide en C de modo que A : B = DC : CE, Arquímedes tiene que demostrar que el sistema está en equilibrio respecto a C. Prolonga ED hasta K, de modo que DK = EC, y DE hasta L de modo que EL = CD;
LK es entonces una línea recta bisecada en C. Sea H tomado de nuevo sobre LK de manera que LH = 2LE o 2CD, y se sigue que el resto HK = 2DK o 2EC.
Puesto que A, B son conmensurables, también lo son EC, CD. Sea x una medida común de EC, CD. tómese un peso w tal que w sea la misma parte de A que x es de LH. De ello se sigue que w es la misma parte de B que x es de HK.
Arquímedes divide ahora LH, HK en partes iguales a x, y A B en partes iguales a w, y coloca las w en los puntos medios de las x respectivamente. Todas las w están entonces en equilibrio respecto a C. Pero todas las w actuando en los diversos puntos a lo largo de LH equivalen a A actuando en su conjunto en el punto E. De manera similar, las w actuando en los diversos puntos