Nunca con más celo ni mayor éxito se han cultivado las matemáticas que en este siglo.

Tampoco el progreso, como en épocas anteriores, se ha limitado a uno o dos países. Mientras que los franceses y los suizos, que durante la época precedente sostuvieron en solitario la antorcha del progreso, han seguido desarrollando las matemáticas con gran éxito, desde otros países ejércitos enteros de entusiastas investigadores se han incorporado a la primera línea. Alemania despertó de su letargo presentando a Gauss, Jacobi, Dirichlet y a una multitud de hombres más recientes;

Gran Bretaña produjo a sus De Morgan, Boole, Hamilton, además de campeones que aún viven; Rusia entró en la arena con su Lobatchewsky; Noruega con Abel; Italia con

Cremona;
Hungría con sus dos Bolyai;
los Estados Unidos con Benjamin Peirce.

La productividad de los escritores modernos ha sido enorme. «Es difícil —dice el profesor Cayley—[]56 dar una idea de la vasta extensión de la matemática moderna. Esta palabra "extensión" no es la correcta: me refiero a una extensión atestada de hermosos detalles; no a una extensión de mera uniformidad como una llanura sin objeto, sino a una extensión de hermoso país visto al principio a la distancia, pero que tolera ser recorrido y estudiado en cada detalle de ladera y valle, arroyo, roca, bosque y flor». Es grato para el matemático pensar que en su ciencia, como en ninguna otra, los logros de cada época siguen siendo posesiones para siempre; los nuevos descubrimientos rara vez refutan los dogmas más antiguos; rara vez se pierde o se desperdicia algo.

Si se pregunta en qué radica la utilidad de algunas extensiones modernas de las matemáticas, debe reconocerse que por el momento es difícil ver cómo llegarán a ser aplicables a cuestiones de la vida común o de la ciencia física.

Pero nuestra incapacidad para hacer esto no debe esgrimirse como un argumento en contra de la prosecución de tales estudios.

En primer lugar, no sabemos ni el día ni la hora en que estos desarrollos abstractos encontrarán aplicación en las artes mecánicas, en la ciencia física o en otras ramas de las matemáticas.

Por ejemplo, todo el tema de la estática gráfica, tan útil para el ingeniero práctico, se hizo descansar sobre la obra de von Staudt

Geometrie der Lage; el "principio de acción variable" de Hamilton

tiene su utilidad en la astronomía; las cantidades complejas, las integrales generales y los teoremas generales de integración ofrecen ventajas en el estudio de la electricidad y el magnetismo.

«La utilidad de tales investigaciones —dice Spottiswoode,[]57— jamás puede descartarse, ni siquiera imaginarse de antemano. ¿Quién, por ejemplo, habría supuesto que el cálculo de formas o la teoría de sustituciones arrojarían tanta luz sobre las ecuaciones ordinarias; o que las funciones abelianas y las trascendentes hiperelípticas nos dirían algo acerca de las propiedades de las curvas;

o que el cálculo de operaciones nos hubiera ayudado en algo a determinar la figura de la tierra?»

Una segunda razón a favor del estudio de las matemáticas avanzadas, aun cuando no haya promesa de aplicación práctica, es esta: que las matemáticas, al igual que la poesía y la música, merecen ser cultivadas por sí mismas.

La gran característica de las matemáticas modernas es su tendencia generalizadora. Hoy en día se le da poca importancia a los teoremas aislados, "salvo en la medida en que ofrecen indicios de una nueva e insospechada esfera de pensamiento, como meteoritos desgajados de algún orbe especulativo planetario por descubrir".

En las matemáticas, como en todas las ciencias verdaderas, ningún tema se considera en sí mismo de forma aislada, sino siempre en relación con otras cosas, o como una derivación de ellas.

El desarrollo de la noción de continuidad desempeña un papel principal en la investigación moderna.

En geometría, el principio de continuidad, la idea de correspondencia y la teoría de proyección constituyen las nociones modernas fundamentales. La continuidad se impone de la manera más sorprendente en relación con los puntos circulares en el infinito de un plano.
En álgebra, la idea moderna se expresa en la teoría de las transformaciones lineales y los invariantes, y en el reconocimiento del valor de la homogeneidad y la simetría.