A pesar de los hermosos desarrollos de la mecánica celeste a los que llegó Laplace a finales del siglo XVIII, el primer día del presente siglo se hizo un descubrimiento que planteaba un problema aparentemente más allá del poder de dicho análisis.

Nos referimos al descubrimiento de Ceres por Piazzi en Italia, el cual se conoció en Alemania justo después de que el filósofo Hegel hubiera publicado una tesis en la que demostraba a priori que tal descubrimiento no podía hacerse.

A partir de las posiciones del planeta observadas por Piazzi, su órbita no pudo calcularse de manera satisfactoria con los métodos antiguos, y quedó reservado al genio de Gauss concebir un método para calcular órbitas elípticas que estuviera libre de la suposición de una excentricidad e inclinación pequeñas. El método de Gauss se desarrolló aún más en su Theoria Motus.

El nuevo planeta fue redescubierto con la ayuda de los datos de Gauss por Olbers, un astrónomo que impulsó la ciencia no solo mediante sus propios estudios astronómicos, sino también al discernir y orientar hacia las actividades astronómicas el genio de Bessel.

Friedrich Wilhelm Bessel[]91 (1784–1846) era nativo de Minden, en Westfalia. Su predilección por las cifras y su aversión por la gramática latina lo llevaron a elegir una carrera mercantil. A los quince años se convirtió en dependiente en prácticas en Bremen, y durante casi siete años dedicó sus días a dominar los detalles de su negocio y parte de sus noches al estudio. Esperando convertirse algún día en sobrecargo en expediciones comerciales, comenzó a interesarse por las observaciones en el mar. Con un sextante construido por él y un reloj ordinario, determinó la latitud de Bremen. Su éxito en esto lo inspiró para el estudio astronómico. Una obra tras otra fue dominada por él, sin ayuda, durante las horas arrebatadas al sueño. A partir de antiguas observaciones, calculó la órbita del cometa Halley. Bessel se presentó ante Olbers y le entregó el cálculo, que Olbers envió inmediatamente para su publicación. Animado por Olbers, Bessel dio la espalda a la perspectiva de la opulencia, eligió la pobreza y las estrellas, y se convirtió en asistente en el observatorio de J. H. Schröter en

Lilienthal. Four years later he was chosen to superintend the construction of the new observatory at Königsberg.92 In the absence of an adequate mathematical teaching force, Bessel was obliged to lecture on mathematics to prepare students for astronomy. He was relieved of this work in 1825 by the arrival of Jacobi. We shall not recount the labours by which

Bessel se ganó el título de fundador de la astronomía práctica moderna y la geodesia. Como observador superó con creces a Gauss, pero como matemático se inclinó reverentemente ante el genio de su gran contemporáneo.

De los trabajos de Bessel, el de mayor interés matemático es un «Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen, welcher aus der Bewegung der Sonne ensteht» (1824), en el que introduce una clase de funciones trascendentes, $J_n(x)$, muy utilizadas en las matemáticas aplicadas y conocidas como «funciones de Bessel». Dio sus principales propiedades y construyó tablas para su evaluación.

Recientemente se ha observado que las funciones de Bessel aparecen mucho antes en la literatura matemática.98 Tales funciones de orden cero aparecen en artículos de Daniel Bernoulli (1732) y Euler sobre la vibración de cuerdas pesadas suspendidas por un extremo. Todas las funciones de Bessel de primera especie y de orden entero aparecen en un artículo de Euler (1764) sobre la vibración de una membrana elástica estirada.

En 1878, Lord Rayleigh demostró que las funciones de Bessel son meros casos particulares de las funciones de Laplace. J. W. L. Glaisher ilustra con las funciones de Bessel su afirmación de que las ramas matemáticas que surgen de investigaciones físicas por regla general «carecen de la fluidez o la homogeneidad de forma que es característica de una teoría matemática propiamente dicha». Estas funciones han sido estudiadas por C. Th. Anger de Danzig, O. Schlömilch de Dresde,

R. Lipschitz de Bonn (nacido en 1832), Carl Neumann de Leipzig (nacido en 1832), Eugen Lommel de Leipzig, I. Todhunter de St. John's

College, Cambridge.

Entre los sucesores de Laplace destacan los siguientes:

Siméon Denis Poisson (1781–1840), que escribió en 1808 una clásica Mémoire sur les inégalités séculaires des moyens mouvements des planètes. Giovanni Antonio Amadeo Plana (1781–1864)

de Turín, sobrino de Lagrange, que publicó en 1811 una Memoria sulla teoria dell' attrazione degli sferoidi ellitici, y contribuyó a la teoría de la luna. Peter Andreas Hansen

(1795–1874) de Gotha, en su día relojero en Tondern, luego ayudante de Schumacher en Altona y finalmente director del observatorio de Gotha, escribió sobre diversos temas astronómicos, pero principalmente sobre la teoría lunar, que elaboró en su obra Fundamenta nova investigationes orbitæ veræ quam Luna perlustrat (1838) y en investigaciones posteriores que abarcan extensas tablas lunares.

George Biddel Airy (1801–1892), astrónomo real en Greenwich, publicó en 1826 sus Mathematical Tracts on the Lunar and Planetary Theories. Estas investigaciones han sido ampliadas enormemente por él desde entonces.

August Ferdinand Möbius (1790–1868) de Leipzig escribió, en 1842,

Elemente der Mechanik des Himmels.

Urbain Jean Joseph Le Verrier (1811–1877), de París, escribió las Recherches Astronomiques, que constituyen en parte una nueva elaboración de la mecánica celeste, y es famoso por su descubrimiento teórico de Neptuno.

John Couch Adams (1819–1892), de Cambridge, compartió con Le Verrier el honor del descubrimiento matemático de Neptuno y señaló en 1853 que la explicación de Laplace sobre la aceleración secular del movimiento medio de la Luna solo daba cuenta de la mitad de la aceleración observada.

Charles Eugène Delaunay (nacido en 1816 y ahogado frente a Cherbourg en 1872), profesor de mecánica en la Sorbona de París, explicó la mayor parte de la aceleración restante de la luna, no explicada por la teoría de Laplace corregida por

Adams, rastreando el efecto de la fricción de las mareas, una teoría previamente sugerida de forma independiente por Kant, Robert Mayer y William Ferrel, de Kentucky. George Howard Darwin, de

Cambridge (nacido en 1845) realizó algunas investigaciones muy notables en 1879 sobre la fricción de las mareas, las cuales rastrean con gran certeza la historia de la luna desde su origen.

También ha estudiado desde entonces los efectos de la fricción de las mareas sobre otros cuerpos del sistema solar.

James Nolan, de Victoria, ha formulado críticas sobre algunas partes de sus investigaciones. Simon

Newcomb (nacido en 1835), superintendente del Almanaque Náutico en Washington y profesor de matemáticas en la Universidad Johns Hopkins, investigó los errores en las tablas de la luna de Hansen.

Durante los últimos doce años, el trabajo principal de la oficina del Almanaque Náutico de los EE. UU. ha sido recopilar y discutir datos para nuevas tablas de los planetas que suplantarán las tablas de Le Verrier.

G. W. Hill, de dicha oficina, ha contribuido con un elegante artículo sobre ciertas abreviaciones posibles en el cálculo del período largo del movimiento de la luna debido a la acción directa de los planetas, y ha realizado la determinación más elaborada emprendida hasta ahora de las desigualdades del movimiento de la luna debido a la forma de la tierra. También ha calculado ciertas desigualdades lunares debidas a la acción de Júpiter.

La discusión matemática sobre los anillos de Saturno fue emprendida primeramente por Laplace, quien demostró que un anillo sólido homogéneo no podía estar en equilibrio, y en 1851 por B. Peirce, quien probó su no solidez al mostrar que ni siquiera un anillo sólido irregular podía estar en equilibrio alrededor de Saturno. El mecanismo de estos anillos fue investigado por James Clerk Maxwell en un ensayo al cual se le concedió el premio Adams.

Llegó a la conclusión de que consistían en un agregado de partículas desconectadas.

El problema de los tres cuerpos ha sido tratado de diversas maneras desde los tiempos de Lagrange, pero no se ha logrado ningún avance decidido hacia una solución algebraica más completa, y el problema permanece esencialmente en el mismo estado en que él lo dejó.

Había realizado una reducción de las ecuaciones diferenciales al séptimo orden. Esto fue logrado elegantemente de otra manera por Jacobi en 1843. R. Radau (Comptes Rendus, LXVII.,

1868, p. 841) y Allégret (Journal de Mathématiques, 1875, p. 277) demostraron que la reducción puede efectuarse sobre las ecuaciones en su forma original.

Transformaciones notables y discusiones del problema han sido dadas por J. L. F. Bertrand, por Émile Bour (1831–1866) de la Escuela Politécnica de París, por Mathieu, Hesse, J. A. Serret.

H. Bruns, de Leipzig, ha demostrado que no cabe esperar ningún avance en el problema de los tres o de $n$ cuerpos mediante integrales algebraicas, y que debemos recurrir a la teoría moderna de funciones para una solución completa (Acta Math., XI., p. 43).93

Entre los valiosos manuales de astronomía matemática se encuentran las siguientes obras: Manual of Spherical and Practical Astronomy de Chauvenet (1863), Practical and Spherical Astronomy de Robert Main de Cambridge, Theoretical Astronomy de James C.

Watson de Ann Arbor (1868), Traité élémentaire de Mécanique

Céleste de H. Resal, de la Escuela Politécnica de París,

• Cours d'Astronomie de l'École Polytechnique de Faye,
• Traité de Mécanique Céleste de Tisserand,
• Lehrbuch der Bahnbestimmung de T. Oppolzer,
• Mathematische Theorien der Planetenbewegung de O. Dziobek, traducido al inglés por M. W.

Harrington y W. J. Hussey.

Durante el presente siglo hemos llegado a reconocer las ventajas que frecuentemente se derivan de un tratamiento geométrico de los problemas mecánicos. A Poinsot, Chasles y Möbius debemos los desarrollos más importantes realizados en la mecánica geométrica. Louis Poinsot (1777–1859), graduado de la

Politécnica de París, y durante muchos años miembro del consejo superior de instrucción pública, publicó en 1804 sus Éléments de Statique. Esta obra es notable no solo por ser la primera introducción a la mecánica sintética, sino también por contener por primera vez la idea de pares, la cual fue aplicada por Poinsot en una publicación de 1834 a la teoría de la rotación.

Una clara concepción de la naturaleza del movimiento de rotación fue transmitida por la elegante representación geométrica de Poinsot mediante un elipsoide que rueda sobre un determinado plano fijo. Esta construcción fue ampliada por Sylvester de modo que permitiera medir la velocidad de rotación del elipsoide sobre el plano.

Una clase particular de problemas dinámicos ha sido tratada recientemente de manera geométrica por Sir Robert Stawell Ball, antiguamente astrónomo real de Irlanda y ahora profesor Lowndean de Astronomía y Geometría en Cambridge. Su método se expone en una obra titulada Theory of Screws (Dublín, 1876) y en artículos posteriores. Aquí se recurre a la geometría moderna, como hizo también Clifford en el tema relacionado de los bicuaterniones.

Arthur Buchheim, de Mánchester (1859-1888), demostró que la Ausdehnungslehre de Grassmann proporciona todos los materiales necesarios para un cálculo simple de tornillos en el espacio elíptico.

Horace Lamb aplicó la teoría de los tornillos a la cuestión del movimiento estacionario de cualquier sólido en un fluido.

Los avances en la mecánica teórica, relacionados con la integración y la alteración en la forma de las ecuaciones dinámicas, fueron realizados desde Lagrange por Poisson, William Rowan Hamilton,

Jacobi, la señora Kowalevski y otros.

Lagrange había establecido la «forma lagrangiana» de las ecuaciones de movimiento. Había dado una teoría de la variación de las constantes arbitrarias que, sin embargo, resultó ser menos fructífera en resultados que una teoría propuesta por Poisson.99

La teoría de Poisson sobre la variación de las constantes arbitrarias y el método de integración que de ella se desprende marcaron el primer paso adelante desde Lagrange.

Luego vinieron las investigaciones de Sir William Rowan Hamilton.

Su descubrimiento de que la integración de las ecuaciones diferenciales dinámicas está conectada con la integración de cierta ecuación diferencial parcial de primer orden y segundo grado, surgió de un intento de deducir, mediante la teoría ondulatoria, resultados en óptica geométrica basados previamente en las concepciones de la teoría de la emisión.

Las Philosophical Transactions de 1833 y 1834 contienen los artículos de Hamilton, en los cuales aparecen las primeras aplicaciones a la mecánica del principio de acción variable y de la función característica, establecidas por él algunos años antes.

El objetivo que Hamilton se propuso está indicado por el título de su primer artículo, a saber, el descubrimiento de una función por medio de la cual todas las ecuaciones integrales pueden ser realmente representadas. La nueva forma obtenida por él para la ecuación del movimiento es un resultado de no menor importancia que aquel que era el objeto declarado de la memoria.

El método de integración de Hamilton fue liberado por Jacobi de una complicación innecesaria, y fue aplicado después por este a la determinación de una línea geodésica en el elipsoide general. Con ayuda de coordenadas elípticas

Jacobi integró la ecuación diferencial parcial y expresó la ecuación de la geodésica en forma de una relación entre dos integrales abelianas.

Jacobi aplicó a las ecuaciones diferenciales de la dinámica la teoría del multiplicador último. Las ecuaciones diferenciales de la dinámica son solo una de las clases de ecuaciones diferenciales consideradas por Jacobi.

Investigaciones dinámicas en la línea de Lagrange, Hamilton y Jacobi fueron realizadas por Liouville, A. Desboves,

• Serret,
• J. C. F. Sturm,
• Ostrogradsky,
• J. Bertrand,
• Donkin,

Brioschi, camino del desarrollo de la teoría de un sistema de integrales canónicas.

Una importante aportación a la teoría del movimiento de un cuerpo sólido alrededor de un punto fijo fue hecha por Madame Sophie de Kowalevski[]96 (1853–1891), quien descubrió un nuevo caso en el que las ecuaciones diferenciales del movimiento pueden integrarse. Mediante el uso de funciones theta de dos variables independientes, proporcionó un ejemplo notable de cómo la teoría moderna de las funciones puede resultar útil en problemas mecánicos. Era nativa de Moscú, estudió bajo la tutela de Weierstrass, obtuvo el grado de doctor en Gotinga y, desde 1884 hasta su muerte, fue profesora de matemáticas superiores en la Universidad de Estocolmo. La investigación antes mencionada recibió el premio Bordin de la Academia Francesa en 1888, el cual fue duplicado debido al mérito excepcional del artículo.

Existen en boga tres formas para la expresión de la energía cinética de un sistema dinámico:

• el lagrangiano,
• el hamiltoniano,
• y una forma modificada de las ecuaciones de Lagrange en la que se omiten ciertas velocidades.

La energía cinética se expresa en la primera forma como una función cuadrática homogénea de las velocidades, que son las variaciones temporales de las coordenadas del sistema; en la segunda, como una función cuadrática homogénea de los momentos del sistema; la tercera forma, elaborada recientemente por Edward John Routh, de Cambridge, en relación con su teoría de la «ignoración de coordenadas», y por A. B. Basset, es de importancia en problemas hidrodinámicos relativos al movimiento de sólidos perforados en un líquido, y en otras ramas de la física.

En los últimos tiempos se ha venido concediendo una gran importancia práctica al principio de similitud mecánica. Mediante él se puede determinar, a partir del rendimiento de un modelo, el funcionamiento de la máquina construida a mayor escala. El principio fue enunciado por primera vez por Newton (Principia, libro II, sec. VIII,

Prop. 32), y fue deducido por Bertrand a partir del principio de las velocidades virtuales. Un corolario del mismo, aplicado en la construcción naval, lleva el nombre de la ley de William Froude, pero también fue enunciado por Reech.

Los problemas actuales de la dinámica difieren sustancialmente de los del siglo pasado. La explicación de los movimientos orbitales y axiales de los cuerpos celestes mediante la ley de la gravitación universal fue el gran problema resuelto por Clairaut, Euler, D'Alembert, Lagrange y Laplace. No implicaba la consideración de resistencias por fricción.

En la actualidad, las ciencias físicas han recurrido a la ayuda de la dinámica. Los problemas que allí surgen suelen verse complicados por la presencia de fricción. A diferencia de los problemas astronómicos de hace un siglo, estos se refieren a fenómenos de materia y movimiento que por lo general están ocultos a la observación directa.

El gran pionero en tales problemas es Lord Kelvin. Aún siendo estudiante universitario en Cambridge, durante las vacaciones pasadas junto al mar, se adentró en investigaciones de este tipo al desarrollar la teoría de las peonzas, que antes solo había sido explicada parcialmente por Jellet en su Treatise on the Theory of Friction (1872) y por Archibald Smith.

Entre las obras estándar sobre mecánica se encuentran las Vorlesungen über Dynamik de Jacobi, editadas por Clebsch, 1866; las Vorlesungen über mathematische Physik de Kirchhoff, 1876; Benjamin Peirce's

Mecánica analítica, 1855; Somoff, Theoretische Mechanik,

1879; Tait y Steele, Dynamics of a Particle, 1856; Minchin

Tratado de Estática; Dinámica de un sistema de cuerpos rígidos de Routh

Cuerpos; Cours de Mécanique de l'École Polytechnique de Sturm.

Las ecuaciones que constituyen el fundamento de la teoría del movimiento de fluidos fueron establecidas por completo en la época de Lagrange, pero las soluciones efectivamente desarrolladas eran pocas y principalmente del tipo irrotacional.

Un método potente para abordar problemas en el movimiento de fluidos es el de las imágenes, introducido en 1843 por George Gabriel Stokes, del Pembroke College de Cambridge.

Recibió poca atención hasta el descubrimiento de las imágenes eléctricas por parte de Sir William Thomson, tras lo cual la teoría fue ampliada por Stokes, Hicks y Lewis.

En 1849, Thomson enunció el teorema de los valores máximo y mínimo propio de la hidrodinámica, que posteriormente se hizo extensivo a los problemas dinámicos en general.

Una nueva época en el progreso de la hidrodinámica fue creada, en 1856, por Helmholtz, quien desarrolló las notables propiedades del movimiento rotacional en un fluido homogéneo, incompresible y desprovisto de viscosidad.

Demostró que los filamentos de vórtice en tal medio pueden poseer cualquier número de nudos y torsiones, pero son infinitos o sus extremos se encuentran en la superficie libre del medio; son indivisibles.

Estos resultados sugirieron a Sir William Thomson la posibilidad de fundamentar en ellos una nueva forma de la teoría atómica, según la cual cada átomo es un anillo de vórtice en un éter sin fricción y, como tal, debe ser absolutamente permanente en sustancia y duración.

La teoría del átomo-vórtice es analizada por J. J. Thomson de Cambridge (nacido en 1856) en su clásico tratado sobre el Movimiento de los Anillos de Vórtice, al cual se le concedió el Premio Adams en 1882. También han sido publicados artículos sobre el movimiento de vórtices por Horace

Lamb, Thomas Craig, Henry A. Rowland y Charles Chree.

El tema de los chorros fue investigado por Helmholtz, Kirchhoff,

Plateau y Rayleigh; el movimiento de fluidos en un fluido por

Stokes, Sir W. Thomson, Köpcke, Greenhill y Lamb; la teoría de los fluidos viscosos por Navier, Poisson, Saint-Venant,

Stokes, O. E. Meyer, Stefano, Maxwell, Lipschitz, Craig,

Helmholtz y A. B. Basset.

Los fluidos viscosos presentan grandes dificultades, debido a que las ecuaciones de movimiento no tienen el mismo grado de certeza que en los fluidos perfectos, a causa de una teoría deficiente de la fricción y de la dificultad de conectar las presiones oblicuas en un área pequeña con los diferenciales de las velocidades.

Las olas en los líquidos han sido uno de los temas favoritos de los matemáticos ingleses. Las primeras investigaciones de Poisson y

Cauchy se dedicó a la investigación de las ondas producidas por causas perturbadoras que actúan arbitrariamente sobre una pequeña porción del fluido.

La velocidad de la onda larga fue dada aproximadamente por Lagrange en 1786 en el caso de un canal de sección transversal rectangular, por Green en 1839 para un canal de sección triangular y por P. Kelland para un canal de cualquier sección uniforme.

Sir George B. Airy, en su tratado sobre mareas y ondas (Tides and Waves), descartó las meras aproximaciones y dio la ecuación exacta de la que depende la teoría de la onda larga en un canal de sección rectangular uniforme. Pero no ofreció soluciones generales.

J. McCowan, del University College de Dundee, analiza este tema de manera más exhaustiva y llega a soluciones exactas y completas para ciertos casos.

La aplicación más importante de la teoría de la onda larga es la explicación de los fenómenos mareales en ríos y estuarios.

El tratamiento matemático de las ondas solitarias fue abordado por primera vez por S. Earnshaw en 1845, y después por Stokes; pero la primera teoría aproximada sólida fue dada por J. Boussinesq en 1871, quien obtuvo una ecuación para su forma y un valor para la velocidad concordante con el experimento. Otros métodos de aproximación fueron dados por Rayleigh y J. McCowan. En relación con las ondas en aguas profundas, Osborne Reynolds dio en

1877 la explicación dinámica del hecho de que un grupo de tales ondas avanza con solo la mitad de la rapidez de las ondas individuales.

La solución del problema del movimiento general de un elipsoide en un fluido se debe a los sucesivos trabajos de Green

(1833), Clebsch (1856) y Bjerknes (1873). El movimiento libre de un sólido en un líquido ha sido investigado por W. Thomson,

Kirchhoff y Horace Lamb. Gracias a estos trabajos, el movimiento de un solo sólido en un fluido ha llegado a comprenderse bastante bien, pero el caso de dos sólidos en un fluido no está tan desarrollado. El problema ha sido abordado por W. M. Hicks.

La determinación del período de oscilación de un esferoide líquido en rotación tiene importantes implicaciones para la cuestión del origen de la Luna.

Las investigaciones de G. H. Darwin al respecto, vistas a la luz de las de Riemann y Poincaré, parecen refutar la hipótesis de Laplace de que la Luna se separó de la Tierra en forma de anillo, debido a que la velocidad angular era demasiado grande para la estabilidad; Darwin no halla inestabilidad alguna.

La explicación de la vena contraída ha sido objeto de mucha controversia, pero se ha visto bajo una luz mucho mejor mediante la aplicación del principio de cantidad de movimiento, originado por Froude y Rayleigh.

Rayleigh consideró también la reflexión de ondas, no en la superficie de separación de dos medios uniformes, donde la transición es abrupta, sino en los confines de dos medios entre los cuales la transición es gradual.

El primer estudio serio sobre la circulación de los vientos en la superficie terrestre fue instituido a principios del segundo cuarto de este siglo por H. W. Dové, William C. Redfield y

James P. Espy, al que siguieron las investigaciones de W. Reid, Piddington y Elias Loomis. Pero la comprensión más profunda de las maravillosas correlaciones que existen entre los variados movimientos de la atmósfera fue obtenida por William Ferrel (1817–1891).

Nació en el condado de Fulton, Pensilvania, y se crió en una granja. A pesar de encontrarse en un entorno desfavorable, una ardiente sed de conocimiento impulsó al muchacho a dominar una disciplina tras otra. Asistió al Marshall College, en Pensilvania, y se graduó en 1844 en el Bethany College. Mientras enseñaba en la escuela, comenzó a interesarse por la meteorología y el tema de las mareas.

En 1856 escribió un artículo sobre "los vientos y las corrientes del océano".

Al año siguiente comenzó a estar vinculado al Almanaque Náutico.

En 1858 le siguió un artículo matemático sobre "el movimiento de fluidos y sólidos en relación con la superficie de la tierra". El tema se amplió posteriormente para abarcar la teoría matemática de los ciclones, tornados, trombas marinas, etc.

En 1885 apareció su obra Recent Advances in Meteorology.

En opinión de un destacado meteorólogo europeo (Julius Hann de Viena), Ferrel ha "contribuido al avance de la física de la atmósfera más que cualquier otro físico o meteorólogo vivo".

Ferrel enseña que el aire fluye en grandes espirales hacia los polos, tanto en los estratos superiores de la atmósfera como en la superficie terrestre más allá del grado 30 de latitud; mientras que la corriente de retorno sopla en ángulos casi rectos respecto a las espirales anteriores, tanto en los estratos medios como en la superficie terrestre, en una zona comprendida entre los paralelos $30°$ N y $30°$ S.

La idea de tres corrientes superpuestas soplando en espiral fue propuesta por primera vez por James Thomson, pero se publicó en un resumen muy escueto.

Las opiniones de Ferrel han dado un fuerte impulso a la investigación teórica en América, Austria y Alemania.

• Varias objeciones planteadas contra su argumento han sido abandonadas, o han sido respondidas por W. M. Davis, de Harvard.
• El análisis matemático de F. Waldo, de Washington, y de otros, ha confirmado aún más la precisión de la teoría.

El transporte del polvo de Krakatoa y las observaciones realizadas en las nubes apuntan hacia la existencia de una corriente oriental superior en el ecuador, y Pernter ha deducido matemáticamente de la teoría de Ferrel la existencia de dicha corriente.

Otra teoría de la circulación general de la atmósfera fue propuesto por Werner Siemens, de Berlín, en la cual se intenta aplicar la termodinámica a las corrientes aéreas.

Se han introducido recientemente nuevos e importantes puntos de vista por Helmholtz, quien concluye que cuando dos corrientes de aire soplan una sobre otra en diferentes direcciones, debe surgir un sistema de ondas de aire de la misma manera que se forman las olas en el mar.

Él y A. Oberbeck demostraron que cuando las olas en el mar alcanzan longitudes de entre $16$ y $33$ pies, las ondas de aire deben alcanzar longitudes de entre $10$ y $20$ millas, y profundidades proporcionales. Los estratos superpuestos se mezclarían así de manera más exhaustiva, y su energía se disiparía parcialmente.

A partir de las ecuaciones hidrodinámicas de rotación, Helmholtz estableció la razón por la cual la velocidad observada procedente de las regiones ecuatoriales es mucho menor en una latitud de, digamos, $20°$ o $30°$, de lo que sería si los movimientos no tuvieran obstáculos.

Hacia 1860 la acústica comenzó a estudiarse con renovado celo. La teoría matemática de los tubos y las cuerdas vibrantes había sido elaborada en el siglo XVIII por Daniel Bernoulli,

D'Alembert, Euler y Lagrange. En la primera parte del presente siglo Laplace corrigió la teoría de Newton sobre la velocidad del sonido en los gases, Poisson dio una discusión matemática de las vibraciones torsionales; Poisson, Sophie Germain y

Wheatstone estudió las figuras de Chladni; Thomas Young y los hermanos Weber desarrollaron la teoría ondulatoria del sonido. Sir J. F. W. Herschel escribió sobre la teoría matemática del sonido para la Encyclopædia Metropolitana, en 1845.

Epoch-making fueron las investigaciones experimentales y matemáticas de Helmholtz. En sus manos y en las de Rayleigh, las series de Fourier recibieron la atención debida. Helmholtz dio la teoría matemática de los batidos, los tonos diferenciales y los tonos de suma.

Lord Rayleigh (John William Strutt), de Cambridge (nacido en 1842), realizó amplias investigaciones matemáticas en acústica como parte de la teoría de la vibración en general. Cabe mencionar en particular su análisis de la perturbación producida por un obstáculo esférico en las ondas sonoras, y de fenómenos, tales como las llamas sensibles, relacionados con la inestabilidad de los chorros de fluido.

En 1877 y 1878 publicó en dos volúmenes un tratado sobre The Theory of Sound.

Otras investigaciones matemáticas sobre este tema han sido realizadas en Inglaterra por Donkin y Stokes.

La teoría de la elasticidad[]42 pertenece a este siglo. Antes

1800 no se había hecho ningún intento de formular ecuaciones generales para el movimiento o el equilibrio de un sólido elástico. Se habían resuelto problemas particulares mediante hipótesis especiales. Así, James Bernoulli consideró las láminas elásticas; Daniel Bernoulli y

Euler investigó las varillas vibrantes; Lagrange y Euler, el equilibrio de resortes y columnas.

Las primeras investigaciones de este siglo, realizadas por Thomas Young («módulo de elasticidad de Young») en Inglaterra, J. Binet en Francia y G. A. A. Plana en Italia, se ocuparon principalmente de ampliar y corregir los trabajos anteriores.

Entre 1830 y 1840 se estableció el esquema general de la teoría moderna de la elasticidad. Esto fue llevado a cabo casi exclusivamente por escritores franceses: Louis-Marie-Henri Navier (1785–1836), Poisson, Cauchy, Mademoiselle

Sophie Germain (1776–1831), Félix Savart (1791–1841).

Siméon Denis Poisson[]94 (1781–1840) nació en Pithiviers.

El muchacho fue confiado a una nodriza, y solía contar que, cuando su padre (un soldado raso) fue a verlo un día, la nodriza había salido y lo había dejado colgado de una cuerda fina a un clavo en la pared para protegerlo de perecer bajo los dientes de los animales carnívoros e impuros que merodeaban por el suelo.

Poisson solía añadir que sus esfuerzos gimnásticos cuando estaba así colgado hacían que se meciera de un lado a otro, adquiriendo de este modo una temprana familiaridad con el péndulo, cuyo estudio lo ocupó en gran medida en su edad madura.

Su padre lo destinó a la profesión médica, pero esto le resultaba tan repugnante que se le permitió ingresar en la Escuela Politécnica a la edad de diecisiete años.

Sus talentos despertaron el interés de Lagrange y Laplace.

A los dieciocho años escribió una memoria sobre diferencias finitas que fue impresa por recomendación de Legendre.

Pronto se convirtió en profesor de la escuela, y continuó a lo largo de su vida ocupando diversos puestos científicos y cátedras gubernamentales. Preparó unas 400 publicaciones, principalmente sobre matemáticas aplicadas. Su Traité de Mécanique, 2 vols., 1811 y 1833, fue durante mucho tiempo una obra de referencia. Escribió sobre la teoría matemática del calor, la acción capilar, la probabilidad de los juicios, la teoría matemática de la electricidad y el magnetismo, la astronomía física, la atracción de elipsoides, las integrales definidas, las series y la teoría de la elasticidad. Fue considerado uno de los principales analistas de su tiempo.

Su trabajo sobre la elasticidad apenas es superado por el de Cauchy, y es segundo únicamente tras el de Saint-Venant. Apenas hay un problema en la elasticidad al que no haya contribuido, mientras que muchas de sus investigaciones eran nuevas.

• El equilibrio y el movimiento de una placa circular fue tratado por primera vez con éxito por él.
• En lugar de las integrales definidas de escritores anteriores, utilizó preferentemente sumatorias finitas.

Las condiciones de contorno de Poisson para placas elásticas fueron objetadas por Gustav Kirchhoff de

Berlín, que estableció nuevas condiciones. Pero Thomson y

Tait en su Treatise on Natural Philosophy han explicado la discrepancia entre las condiciones de contorno de Poisson y las de Kirchhoff, y han establecido una reconciliación entre ellas.

Importantes contribuciones a la teoría de la elasticidad fueron hechas por Cauchy. A él le debemos el origen de la teoría del esfuerzo y la transición de la consideración de la fuerza sobre una molécula ejercida por sus vecinas a la consideración del esfuerzo sobre un pequeño plano en un punto.

Él se anticipó a Green y Stokes al dar las ecuaciones de la elasticidad isotrópica con dos constantes. La teoría de la elasticidad fue presentada por Gabrio Piola, de Italia, de acuerdo con los principios de la Mécanique Analytique de Lagrange, pero la superioridad de este método sobre el de Poisson y Cauchy está lejos de ser evidente.

La influencia de la temperatura en el esfuerzo fue investigada experimentalmente por primera vez por Wilhelm Weber, de Gotinga, y posteriormente de forma matemática por Duhamel, quien, suponiendo

La teoría de la elasticidad de Poisson examinó las alteraciones de forma que experimentan las fórmulas cuando se tienen en cuenta los cambios de temperatura. Weber fue también el primero en experimentar sobre la post-deformación elástica. Otros experimentos importantes fueron realizados por diferentes científicos, los cuales revelaron un abanico más amplio de fenómenos y exigieron una teoría más exhaustiva. El set fue investigado por Gerstner (1756–1832) y Eaton

Hodgkinson, mientras que este último físico en Inglaterra y Vicat

(1786–1861) en Francia experimentó exhaustivamente con la resistencia absoluta. Vicat atacó audazmente las teorías matemáticas de la flexión porque estas no consideraban el esfuerzo cortante ni el factor tiempo.

Como resultado, Saint-Venant propuso pronto una teoría de la flexión más veraz. Poncelet hizo avanzar las teorías de la resiliencia y la cohesión.

Gabriel Lamé[]94 (1795–1870) nació en Tours y se graduó en la Escuela Politécnica. Fue llamado a Rusia junto con Clapeyron y otros para supervisar la construcción de puentes y carreteras. A su regreso, en 1832, fue elegido profesor de física en la Escuela Politécnica. Posteriormente ocupó diversos puestos de ingeniería y cátedras en París. Como ingeniero participó activamente en la construcción de los primeros ferrocarriles en Francia. Lamé dedicó sus grandes dotes matemáticas principalmente a la física matemática. En cuatro obras: Leçons sur les fonctions inverses des transcendantes et les surfaces isothermes; Sur les coordonnées curvilignes et leurs diverses applications; Sur la théorie analytique de la chaleur; Sur la théorie mathématique de l'élasticité des corps solides (1852), y en varias memorias demuestra un gran talento analítico; pero cierta falta de sentido físico reduce a veces el valor de sus contribuciones a la elasticidad y a otros temas de la física. Al considerar la temperatura en el interior de un elipsoide bajo ciertas condiciones, empleó funciones análogas a las de Laplace, conocidas con el nombre de «funciones de Lamé».

Un problema de elasticidad que lleva el nombre de Lamé, a saber,

investigar las condiciones de equilibrio de una envoltura elástica esférica sujeta a una distribución dada de carga en las superficies esféricas limítrofes, y la determinación de los desplazamientos resultantes es el único problema sobre elasticidad completamente general del que puede decirse que está completamente resuelto. A él se le debe mucho mérito por su deducción y transformación de las ecuaciones elásticas generales, y por su aplicación de las mismas a la doble refracción. Él demostró que las membranas rectangulares y triangulares están relacionadas con cuestiones de la teoría de números. En el campo de la fotoelasticidad ingresaron Lamé, F. E. Neumann y Clerk Maxwell.

Stokes, Wertheim, R. Clausius, Jellett arrojaron nueva luz sobre el tema de la "rariconstancia" y la "multiconstancia", que durante mucho tiempo ha dividido a los elasticistas en dos facciones opuestas. La isotropía uniconstante de Navier y Poisson había sido cuestionada por Cauchy, y ahora era severamente criticada por Green y Stokes.

Barré de Saint-Venant (1797–1886), ingeniero de caminos y puentes (ingénieur des ponts et chaussées), hizo de la aplicación práctica de la teoría de la elasticidad la obra de su vida. Las críticas formuladas por ingenieros prácticos, como Vicat, contra los teóricos llevaron a Saint-Venant a situar la teoría en su verdadero lugar como guía para el hombre práctico. Se eliminaron numerosos errores cometidos por sus predecesores. Corrigió la teoría de la flexión mediante la consideración del deslizamiento, la teoría de las barras elásticas de doble curvatura mediante la introducción del tercer momento, y la teoría de la torsión mediante el descubrimiento de la distorsión de la sección originalmente plana. Sus resultados sobre la torsión abundan en hermosas ilustraciones gráficas. En el caso de una barra sobre cuyas superficies laterales no actúa ninguna fuerza, demostró que los problemas de flexión y torsión pueden resolverse si las fuerzas en los extremos se distribuyen sobre las superficies extremas según una ley definida. Clebsch, en su

Lehrbuch der Elasticität, 1862, showed that this problem is reversible to the case of side-forces without end-forces.

Clebsch[]68 extended the research to very thin rods and to very thin plates.

Saint-Venant considered problems arising in the scientific design of built-up artillery, and his solution of them differs considerably from Lamé's solution, which was popularised by Rankine, and much used by gun-designers.

In Saint-Venant's translation into French of Clebsch's Elasticität, he develops extensively a double-suffix notation for strain and stresses. Though often advantageous, this notation is cumbrous, and has not been generally adopted.

Karl Pearson, professor in University College, London, has recently examined mathematically the permissible limits of the application of the ordinary theory of flexure of a beam.

La teoría matemática de la elasticidad se encuentra todavía en un estado inestable. No solo los científicos siguen divididos en dos escuelas de «rari-constancia» y «multi-constancia», sino que existen diferencias de opinión sobre otras cuestiones vitales.

Entre los numerosos escritores modernos sobre elasticidad se pueden mencionar a Émile Mathieu (1835-1891), profesor en Besanzón, Maurice

• Levy de París,
• Charles Chree, superintendente del Observatorio de Kew,

A. B. Basset, Sir William Thomson (Lord Kelvin)

de Glasgow, J. Boussinesq de París, y otros. Sir William

Thomson aplicó las leyes de la elasticidad de los sólidos a la investigación de la elasticidad de la tierra, lo cual es un elemento importante en la teoría de las mareas oceánicas.

Si la tierra es un sólido, entonces su elasticidad coopera con la gravedad al oponerse a la deformación debida a la atracción del sol y de la luna.

• Laplace había demostrado cómo se comportaría la tierra si resistiera la deformación únicamente mediante la gravedad.
• Lamé había investigado cómo cambiaría una esfera sólida si solo entrara en juego su elasticidad.

Sir William Thomson combinó ambos resultados y los comparó con la deformación real. Thomson, y posteriormente G. H. Darwin, calcularon que la resistencia de la tierra a la deformación de las mareas es casi tan grande como si fuera de acero.

Esta conclusión ha sido confirmada recientemente por Simon Newcomb, a partir del estudio de los cambios periódicos observados en la latitud.

Para una tierra idealmente rígida el período sería de $360$ días, pero si fuera tan rígida como el acero, sería de $441$, siendo el período observado de $430$ días.

Entre los libros de texto sobre elasticidad pueden mencionarse las obras de Lamé, Clebsch, Winkler, Beer, Mathieu, W. J. Ibbetson y

F. Neumann, editado por O. E. Meyer.

La opinión de Riemann de que una ciencia de la física solo existe desde la invención de las ecuaciones diferenciales halla corroboración incluso en este breve y fragmentario esbozo del progreso de la física matemática. La teoría ondulatoria de la luz, propuesta por primera vez por Huygens, debe mucho al poder de las matemáticas:

mediante el análisis matemático, sus hipótesis fueron llevadas hasta sus últimas consecuencias. Thomas Young[]95 (1773–1829) fue el primero en explicar el principio de la interferencia, tanto de la luz como del sonido, y el primero en proponer la idea de las vibraciones transversales en las ondas luminosas. Las explicaciones de Young, al no ser verificadas por él mediante amplios cálculos numéricos, atrajeron poca atención, y no fue sino hasta que Augustin Fresnel (1788–1827) aplicó el análisis matemático en un grado mucho mayor de lo que lo había hecho Young, cuando la teoría ondulatoria comenzó a resultar convincente. Algunas de las hipótesis matemáticas de Fresnel no eran satisfactorias; de ahí que Laplace,

Poisson, y otros pertenecientes a la escuela estrictamente matemática, al principio desdeñaron considerar la teoría. Por su oposición, Fresnel fue incitado a un mayor esfuerzo. Arago fue el primer gran converso ganado por Fresnel. Cuando la polarización y la doble refracción fueron explicadas por Young y Fresnel, entonces Laplace fue finalmente ganado para la causa. Poisson dedujo de las fórmulas de Fresnel la conclusión aparentemente paradójica de que un pequeño disco circular, iluminado por un punto luminoso, debía proyectar una sombra con un punto brillante en el centro. Pero se halló que esto concordaba con los hechos. La teoría fue adoptada por otro gran matemático, Hamilton, quien a partir de sus fórmulas predijo la refracción cónica, verificada experimentalmente por Lloyd. Estas predicciones no demuestran, sin embargo, que las fórmulas de Fresnel sean correctas, pues estas profecías podrían haber sido hechas por otras formas de la teoría ondulatoria. La teoría se situó sobre una base dinámica más sólida gracias a los escritos de Cauchy, Biot, Green, C. Neumann, Kirchhoff, McCullagh,

Stokes, Saint-Venant, Sarrau, Lorenz y sir William Thomson.

En la teoría ondulatoria, tal como la enseñaban Green y otros, el éter luminífero era un sólido elástico incompresible, por la razón de que los fluidos no podían propagar vibraciones transversales.

Pero, según Green, un sólido elástico de ese tipo transmitiría una perturbación longitudinal con velocidad infinita.

Stokes observó, sin embargo, que el éter podía actuar como un fluido en el caso de perturbaciones finitas, y como un sólido elástico en el caso de las perturbaciones infinitesimales de la propagación de la luz.

Fresnel postuló que la densidad del éter era distinta en los diferentes medios, pero la elasticidad la misma, mientras que C. Neumann y McCullagh suponen que la densidad es uniforme y la elasticidad diferente en todas las sustancias. Con esta última hipótesis, la dirección de vibración se encuentra en el plano de polarización, y no perpendicular a él, como en la teoría de Fresnel.

Mientras que los autores citados se esforzaron por explicar todas las propiedades ópticas de un medio bajo la suposición de que surgen enteramente de la diferencia en la rigidez o densidad del éter en el medio, hay otra escuela que presenta teorías en las que la acción mutua entre las moléculas del cuerpo y el éter se considera la causa principal de la refracción y la dispersión.100 Los principales investigadores en este campo son J. Boussinesq,

W. Sellmeyer, Helmholtz, E. Lommel, E. Ketteler, W. Voigt y Sir William Thomson en sus conferencias pronunciadas en el

Johns Hopkins University in 1884. Neither this nor the first-named school succeeded in explaining all the phenomena. A third school was founded by Maxwell.

He proposed the electro-magnetic theory, which has received extensive development recently. It will be mentioned again later.

According to Maxwell's theory, the direction of vibration does not lie exclusively in the plane of polarisation, nor in a plane perpendicular to it, but something occurs in both planes–-a magnetic vibration in one, and an electric in the other.

Fitzgerald and

Trouton en Dublín confirmó esta conclusión de Maxwell mediante experimentos sobre ondas electromagnéticas.

De las recientes contribuciones matemáticas y experimentales a la óptica, hay que mencionar la teoría de las redes cóncavas de H. A. Rowland, y el trabajo de A. A. Michelson sobre la interferencia, así como su aplicación de los métodos de interferencia a las medidas astronómicas.

En electricidad, la teoría matemática y las mediciones de Henry Cavendish (1731-1810), y en el magnetismo las mediciones de Charles Augustin Coulomb (1736-1806), se convirtieron en los cimientos de un sistema de medición.

Para el electromagnetismo, lo mismo fue realizado por André Marie Ampère (1775-1836).

El primer método completo de medición fue el sistema de mediciones absolutas del magnetismo terrestre introducido por Gauss y Wilhelm Weber (1804-1891).

y que después fue extendido por Wilhelm Weber y F. Kohlrausch al electromagnetismo y a la electroestática.

En 1861, la Asociación Británica y la Real Sociedad nombraron una comisión especial con Sir William Thomson a la cabeza, para considerar la unidad de resistencia eléctrica. La comisión recomendó una unidad en principio similar a la de W. Weber, pero mayor que la de Weber por un factor de ${10}^7$.101

Las discusiones y los trabajos sobre este tema continuaron durante veinte años, hasta que en 1881 se alcanzó un acuerdo general en un congreso eléctrico en París.

Una función de fundamental importancia en las teorías matemáticas de la electricidad y el magnetismo es el «potencial».

Fue utilizado por primera vez por Lagrange en la determinación de las atracciones gravitacionales en 1773. Poco después, Laplace dio la célebre ecuación diferencial, $\frac{{\partial }^{2}V}{{\mathrm{\backslash partialx}}^2}+\frac{{\partial }^{2}V}{{\mathrm{\backslash partialy}}^2}+\frac{{\partial }^{2}V}{{\mathrm{\backslash partialz}}^2}=0,$ que fue extendida por Poisson al escribir $-4\pi k$ en lugar de cero en el miembro de la derecha de la ecuación, de modo que se aplica no solo a un punto externo a la masa atractiva, sino a cualquier punto en general.

El primero en aplicar la función potencial a problemas distintos de la gravitación fue George Green

(1793–1841). Él lo introdujo en la teoría matemática de la electricidad y el magnetismo. Green era un autodidacta que comenzó como panadero y a su muerte era miembro del Caius College de Cambridge.

En 1828 publicó por suscripción en Nottingham un artículo titulado Essay on the application of mathematical analysis to the theory of electricity and magnetism. Pasó desapercibido incluso para los matemáticos ingleses hasta 1846, cuando Sir William Thomson hizo que se reimprimiera en

Volúmenes xliv. y xlv. del Journal de Crelle. Contenía lo que hoy se conoce como el «teorema de Green» para el tratamiento del potencial. Mientras tanto, todos los teoremas generales de Green habían sido redescubiertos por sir William Thomson, Chasles, Sturm y Gauss. El término función potencial se debe a Green. Hamilton usó la palabra función de fuerza, mientras que Gauss, quien hacia 1840 logró la adopción general de la función, la llamó simplemente potencial.

Grandes contribuciones a la electricidad y el magnetismo han sido hechas por William Thomson.

Él nació en 1824 en Belfast, Irlanda, pero es de descendencia escocesa. Él y su hermano James estudiaron en Glasgow. Desde allí ingresó a Cambridge, y se graduó como Second Wrangler en 1845. William Thomson,

Sylvester, Maxwell, Clifford y J. J. Thomson forman un grupo de grandes hombres que fueron Second Wranglers en Cambridge.

A la edad de veintidós años, W. Thomson fue elegido profesor de filosofía natural en la Universidad de Glasgow, puesto que ha ocupado desde entonces. Por sus brillantes logros matemáticos y físicos fue nombrado caballero, y en 1892 se le otorgó el título de Lord Kelvin.

Sus investigaciones sobre la teoría del potencial son trascendentales. Lo que se denomina el «principio de Dirichlet»

fue descubierto por él en 1848, algo antes que por Dirichlet. Debemos a Sir William Thomson nuevos métodos sintéticos de gran elegancia, a saber, la teoría de las imágenes eléctricas y el método de inversión eléctrica fundado en ella. Mediante ellos determinó la distribución de electricidad en una cazuela, un problema considerado previamente insoluble. La distribución de electricidad estática en los conductores había sido estudiada antes de esto principalmente por Poisson y Plana. En 1845 F. E. Neumann de

Königsberg desarrolló a partir de las leyes experimentales de Lenz la teoría matemática de la inducción magnetoeléctrica.

En 1855 W. Thomson predijo mediante análisis matemático que la descarga de una botella de Leyden a través de un conductor lineal consistiría en ciertos casos en una serie de oscilaciones amortiguadas. Esto fue establecido por primera vez de forma experimental por Joseph Henry de

Washington.

William Thomson elaboró la inducción electrostática en los cables submarinos. El tema del efecto de blindaje contra la inducción, debido a capas de diferentes metales, fue desarrollado matemáticamente por Horace Lamb y también por

Charles Niven.

Las principales investigaciones de W. Weber versaron sobre la electrodinámica.

Helmholtz en 1851 dio la teoría matemática del curso de las corrientes inducidas en varios casos. Gustav Robert Kirchhoff[]97 (1824–1887) investigó la distribución de una corriente sobre un conductor plano, y también la intensidad de la corriente en cada rama de una red de conductores lineales.

Todo el tema del electromagnetismo fue revolucionado por James Clerk Maxwell (1831–1879). Nació cerca

Edimburgo, ingresó en la Universidad de Edimburgo y se convirtió en alumno de Kelland y Forbes. En 1850 fue a Trinity

College, Cambridge, y salió Second Wrangler, siendo E. Routh Senior Wrangler. Maxwell se convirtió después en profesor en Cambridge, en 1856 profesor en Aberdeen, y en 1860 profesor en el King's College de Londres.

En 1865 se retiró a la vida privada hasta 1871, cuando pasó a ser profesor de física en Cambridge.

Maxwell no sólo tradujo al lenguaje matemático los resultados experimentales de Faraday, sino que estableció la teoría electromagnética de la luz, verificada desde entonces experimentalmente por Hertz. Sus primeras investigaciones al respecto se publicaron en 1864.

En 1871 apareció su gran Treatise on Electricity and Magnetism. Construyó la teoría electromagnética a partir de ecuaciones generales, que están establecidas sobre principios puramente dinámicos, y que determinan el estado del campo eléctrico. Es una discusión matemática de las tensiones y deformaciones (stresses and strains) en un medio dieléctrico sometido a fuerzas electromagnéticas.

La teoría electromagnética ha recibido desarrollos por parte de Lord Rayleigh, J. J. Thomson, H. A. Rowland, R. T.

Glazebrook, H. Helmholtz, L. Boltzmann, O. Heaviside, J. H.

Poynting, y otros. Hermann von Helmholtz centró su atención en esta parte del tema en 1871.

• Nació en 1821 en Potsdam, estudió en la Universidad de Berlín y publicó en 1847 su opúsculo Ueber die Erhaltung der Kraft.
• Se convirtió en profesor de anatomía en la Academia de Arte de Berlín.
• Fue elegido profesor de fisiología en Königsberg en 1849, en Bonn en 1855, y en Heidelberg en 1858.

Fue en Heidelberg donde produjo su obra sobre Tonempfindung. En 1871 aceptó la cátedra de física en la Universidad de Berlín. A partir de este momento se ha dedicado principalmente a investigaciones sobre electricidad e hidrodinámica. Helmholtz se propuso determinar en qué dirección debían realizarse los experimentos para decidir entre las teorías de W. Weber, F. E. Neumann,

Riemann y Clausius, que habían intentado explicar los fenómenos electrodinámicos mediante la asunción de fuerzas que actúan a distancia entre dos porciones del fluido eléctrico hipotético —cuya intensidad depende no solo de la distancia, sino también de la velocidad y de la aceleración—, y la teoría de Faraday y Maxwell, que descartaba la acción a distancia y asumía tensiones y deformaciones en el dieléctrico.

Sus experimentos favorecieron la teoría británica. Escribió sobre la dispersión anómala y creó analogías entre la electrodinámica y la hidrodinámica.

Lord Rayleigh comparó los problemas electromagnéticos con sus análogos mecánicos, dio una teoría dinámica de la difracción y aplicó los coeficientes de Laplace a la teoría de la radiación.

Rowland realizó algunas enmiendas al artículo de Stokes sobre la difracción y consideró la propagación de una perturbación electromagnética arbitraria y ondas esféricas de luz.

La inducción electromagnética ha sido investigada matemáticamente por Oliver Heaviside, quien demostró que en un cable resulta ser un beneficio real. Heaviside y Poynting han alcanzado notables resultados matemáticos en su interpretación y desarrollo de la teoría de Maxwell. La mayoría de los artículos de Heaviside se han publicado desde 1882; cubren un amplio campo.

Una parte de la teoría de la atracción capilar, dejada incompleta por Laplace, a saber, la acción de un sólido sobre un líquido y la acción mutua entre dos líquidos, fue perfeccionada dinámicamente por Gauss.

Él formuló la regla para los ángulos de contacto entre líquidos y sólidos. Una regla similar para los líquidos fue establecida por Ernst Franz Neumann. Entre los investigadores recientes más destacados de la teoría matemática de la capilaridad se encuentra Lord

Rayleigh y E. Mathieu.

El gran principio de la conservación de la energía fue establecido por Robert Mayer (1814-1878), un médico en

Heilbronn, y de nuevo de forma independiente por Colding de Copenhague,

Joule y Helmholtz. James Prescott Joule (1818–1889)

determinó experimentalmente el equivalente mecánico del calor. Helmholtz en 1847 aplicó los conceptos de la transformación y conservación de la energía a las diversas ramas de la física y, con ello, vinculó muchos fenómenos bien conocidos. Estos trabajos condujeron al abandono de la teoría corpuscular del calor.

El tratamiento matemático de los problemas térmicos fue exigido por consideraciones prácticas. La termodinámica surgió del intento de determinar matemáticamente cuánto trabajo se puede obtener de una máquina de vapor.

Sadi-Carnot, partidario de la teoría corpuscular, dio el primer impulso a esto. El principio que lleva su nombre fue publicado en 1824.

Aunque la importancia de su obra fue enfatizada por B. P. E. Clapeyron, no obtuvo un reconocimiento general hasta que fue presentado por William Thomson. Este último señaló la necesidad de modificar el razonamiento de Carnot para ponerlo en acuerdo con la nueva teoría del calor.

William Thomson demostró en 1848 que el principio de Carnot conducía a la concepción de una escala absoluta de temperatura. En 1849 publicó «una exposición de la teoría de Carnot sobre la potencia motriz del calor, con resultados numéricos deducidos de los experimentos de Regnault».

En febrero de 1850, Rudolf Clausius (1822–1888), entonces en Zúrich (y más tarde profesor en Bonn), comunicó a la Academia de Berlín un artículo sobre el mismo tema que contiene el proteico segundo principio de la termodinámica.

En el mismo mes, William John M. Rankine (1820–1872), profesor de ingeniería y mecánica en Glasgow, leyó ante la Real Sociedad de Edimburgo un artículo en el que declara que la naturaleza del calor consiste en el movimiento rotacional de las moléculas, y llega a algunos de los resultados obtenidos previamente por Clausius.

No menciona el segundo principio de la termodinámica, pero en un artículo posterior declara que este podría deducirse de las ecuaciones contenidas en su primer artículo. Su demostración del segundo principio no está libre de objeciones.

En marzo de 1851 apareció un artículo de William Thomson que contenía una demostración perfectamente rigurosa del segundo principio. Lo obtuvo antes de haber visto las investigaciones de Clausius. El enunciado de este principio, tal como lo dio Clausius, ha sido muy criticado, en particular por Rankine, Theodor Wand, P. G.

Tait y Tolver Preston. Los reiterados esfuerzos por deducirla a partir de principios mecánicos generales han resultado infructuosos.

La ciencia de la termodinámica fue desarrollada con gran éxito por Thomson, Clausius y Rankine. Ya en 1852 Thomson descubrió la ley de la disipación de energía, deducida en un período posterior también por Clausius.

Este último denominó energía no transformable con el nombre de entropía, y afirmó luego que la entropía del universo tiende hacia un máximo. Para la entropía, Rankine empleó el término función termodinámica.

Las investigaciones termodinámicas han sido llevadas a cabo también por G. Ad. Hirn de Colmar y Helmholtz (sistemas monocíclicos y policíclicos).

Valiosos métodos gráficos para el estudio de las relaciones termodinámicas fueron ideados entre 1873 y 1878 por J. Willard Gibbs, del Yale College.

Gibbs first gives an account of the advantages of using various pairs of the five fundamental thermodynamic quantities for graphical representation, then discusses the entropy-temperature and entropy-volume diagrams, and the volume-energy-entropy surface (described in Maxwell's Theory of

Calor).

Gibbs formuló el criterio de energía-entropía del equilibrio y la estabilidad, y lo expresó en una forma aplicable a problemas complicados de disociación.

Se han preparado importantes obras sobre termodinámica por Clausius en 1875, por R. Rühlmann en 1875 y por Poincaré en 1892.

En el estudio de la ley de disipación de la energía y el principio de la misma acción, las matemáticas y la metafísica se encontraron en un terreno común.

La doctrina de la mínima acción fue propugnada por primera vez por Maupertius en 1744. Dos años después la proclamó como una ley universal de la naturaleza y la primera prueba científica de la existencia de Dios. Fue débilmente respaldada por él, violentamente atacada por König de Leipzig y fervientemente defendida por Euler.

La concepción del principio de la mínima acción de Lagrange se convirtió en la madre de la mecánica analítica, pero su formulación del mismo era inexacta, tal como ha señalado Josef Bertrand en la tercera edición de la Mécanique Analytique.

La forma del principio de la mínima acción, tal como existe hoy en día, fue dada por Hamilton, y fue extendida a la electrodinámica por F. E. Neumann, Clausius, Maxwell y Helmholtz.

Para subordinar el principio a todos los procesos reversibles, Helmholtz introdujo en él la concepción del «potencial cinético». En esta forma el principio tiene validez universal.

Una derivación de la teoría mecánica del calor es la moderna teoría cinética de los gases, desarrollada matemáticamente por Clausius,

Maxwell, Ludwig Boltzmann de Múnich y otros. Las primeras sugerencias de una teoría cinética de la materia se remontan a la época de los griegos.

El trabajo más temprano que debe mencionarse aquí es el de Daniel Bernoulli, de 1738. Él atribuyó a las moléculas de gas una gran velocidad, explicó la presión de un gas mediante el bombardeo molecular y dedujo la ley de Boyle como consecuencia de sus suposiciones.

Más de un siglo después, sus ideas fueron retomadas por Joule (en 1846), A. K. Krönig (en 1856) y Clausius (en 1857).

Joule abandonó sus especulaciones sobre este tema cuando comenzó su trabajo experimental sobre el calor. Krönig explicó mediante la teoría cinética el hecho determinado experimentalmente por Joule de que la energía interna de un gas no se altera por la expansión cuando no se realiza ningún trabajo externo.

Clausius dio un paso importante al suponer que las moléculas pueden tener movimiento de rotación, y que los átomos de una molécula pueden moverse unos respecto de otros.

Supuso que la fuerza que actúa entre las moléculas es función de sus distancias, que la temperatura depende únicamente de la energía cinética de los movimientos moleculares, y que el número de moléculas que en un momento dado están tan cerca unas de otras que se influyen perceptiblemente entre sí es comparativamente tan pequeño que puede despreciarse.

Calculó las velocidades promedio de las moléculas y explicó la evaporación.

Las objeciones a su teoría, planteadas por Buys-Ballot y por Jochmann, fueron respondidas satisfactoriamente por Clausius y Maxwell, excepto en un caso en el que tuvo que hacerse una hipótesis adicional.

Maxwell se propuso el problema de determinar el número medio de moléculas cuyas velocidades se encuentran entre unos límites dados.

Su expresión al respecto constituye la importante ley de distribución de velocidades que lleva su nombre.

Según esta ley, la distribución de las moléculas según sus velocidades viene determinada por la misma fórmula (dada en la teoría de la probabilidad) que la distribución de las observaciones empíricas según la magnitud de sus errores.

La velocidad molecular media deducida por Maxwell difiere de la de Clausius en un factor constante.

La primera deducción de Maxwell de este promedio a partir de su ley de distribución no fue rigurosa. O. E. Meyer dio una derivación sólida en 1866. Maxwell predijo que, siempre que

La ley de Boyle se cumple, y el coeficiente de viscosidad y el coeficiente de conductividad térmica siguen siendo independientes de la presión.

Su deducción de que el coeficiente de viscosidad debía ser proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura absoluta parecía estar en desacuerdo con los resultados obtenidos a partir de experimentos con péndulos. Esto le indujo a alterar los cimientos mismos de su teoría cinética de los gases al suponer entre las moléculas una fuerza de repulsión que varía inversamente a la quinta potencia de sus distancias.

Los fundadores de la teoría cinética habían supuesto que las moléculas de un gas eran esferas elásticas duras; pero Maxwell, en su segunda presentación de la teoría en 1866, partió de la suposición de que las moléculas se comportan como centros de fuerzas.

Demostró de nuevo la ley de distribución de velocidades; pero la demostración tenía un defecto de argumentación, señalado por Boltzmann y reconocido por Maxwell, quien adoptó una forma algo diferente de la función distributiva en un artículo de 1879, destinado a explicar matemáticamente los efectos observados en el radiómetro de Crookes.

Boltzmann dio una demostración general rigurosa de la ley de distribución de velocidades de Maxwell.

Ninguno de los supuestos fundamentales de la teoría cinética de los gases conduce, mediante las leyes de la probabilidad, a resultados en muy estrecha concordancia con la observación.

Boltzmann intentó establecer teorías cinéticas de los gases suponiendo que las fuerzas entre las moléculas actúan de acuerdo con leyes diferentes de las supuestas anteriormente.

Clausius, Maxwell y sus predecesores consideraron que la acción mutua de las moléculas en colisión era repulsiva, pero Boltzmann supuso que podían ser atractivas. Los experimentos de Joule y lord Kelvin parecen respaldar esta última suposición.

Entre las últimas investigaciones sobre la teoría cinética se encuentra la de Lord

La refutación de Kelvin de un teorema general de Maxwell y Boltzmann, que afirmaba que la energía cinética media de dos porciones dadas de un sistema debe estar en la proporción del número de grados de libertad de dichas porciones.

[-1]Materiales PosterioresMateriales Posteriores

[1]Apéndice

[addend:14]Page addend:14. El nuevo papiro de Akhmim, escrito en griego, es probablemente la copia de un papiro más antiguo, anterior a las obras de Herón, y es el texto escolar más antiguo que se conserva sobre aritmética práctica griega. Contiene, además de ejemplos aritméticos, una tabla para hallar "fracciones unitarias", idéntica en alcance a la de Ahmes y, al igual que la de Ahmes, sin ninguna pista sobre su método de construcción. Véase Biblioth. Math., 1893, p. 79–89. El papiro está editado por J. Baillet (Mémoires publiés par les membres de la mission archéologique française au Caire, T. IX., 1r fascicule, París, 1892, p. 1–88).

[addend:39]Page addend:39. La definición de un porisma de Chasles o de Simson es preferible a la de Proclo, dada en el texto. Véase Gow, p. 217–221.

[addend:114]Page addend:114. Nasir Eddin elaboró por primera vez la trigonometría de forma independiente de la astronomía y con tal grado de perfección que, de haberse conocido su obra, los europeos del siglo XV se habrían ahorrado muchos esfuerzos. Véase Biblioth. Math., 1893, p. 6.

[addend:116]Page addend:116. This law of sines was probably known before Gabir ben Aflah to Tabit ben Korra and others. See Biblioth. Math., 1893, p. 7.

[addend:125]Page addend:125. Athelard was probably not the first to translate Euclid's Elements from the Arabic. See M. Cantor's Vorlesungen, Vol. II., p. 91, 92.

[addend:240]Page addend:240. G. Eneström sostiene que Taylor y no Nicole es el verdadero inventor de las diferencias finitas. Véase Biblioth. Math., 1893, p. 91.

[addend:250]Página addend:250. Una publicación anterior en la que $3.14159\dots$ se designa por $\pi$, es la de W. Jones, Synopsis palmariorum matheseos, Londres, 1706, p. 243, 263 y siguientes. Véase Biblioth. Math., 1894, p. 106.

[addend:335]Page addend:335. Antes de Gauss, un teorema sobre la convergencia, atribuido habitualmente a Cauchy, fue dado por Maclaurin (Fluxions, § 350). Stirling dedujo también una regla de convergencia. Véase Bull. N. Y. Math. Soc., vol. III, p. 186.

[addend:358]Page addend:358. The surface of a solid with $p$ holes was considered before Clifford by Tonelli, and was probably used by Riemann himself. See Math. Annalen, Vol. 45, p. 142.

[addend:361]Page addend:361. Ya en 1835, Lobachevski mostró en una memoria la necesidad de distinguir entre continuidad y diferenciabilidad. Véase la trad. de G. B. Halsted del discurso de A. Vasiliev sobre Lobachevski, p. 23.

Recientes fallecimientos. Johann Rudolf Wolf, 6 de dic. de 1893; Heinrich Hertz, 1 de en. de 1894; Eugène Catalan, 14 de feb. de 1894; Hermann von Helmholtz, 8 de sept. de 1894; Arthur Cayley, 26 de en. de 1895.

[0]ÍndiceÍndice [C]ÍNDICE

ÁLGEBRA.

ALDIS: A Text-book of Algebra. By W. S. Aldis. 12mo. $1.90.

BALL (W. W. R.): Elementary Algebra. 16mo. $1.25.

CHRYSTAL: Algebra. An Elementary Text-book for the Higher Classes of Secondary Schools and Colleges. By G. Chrystal.

Part I. Nueva edición. 8vo. $3.75. Part II. 8vo. $4.00.

El juego. Dos volúmenes. $7.50.

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• Part I. Nueva edición. 18mo. 50 centavos.
• Part II. 18mo. 60 centavos.

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HALL y KNIGHT: Obras de H. S. Hall, M.A., y S. R. KNIGHT, B.A.

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Clave de la obra anterior. 12mo. $2.60.

para Principiantes. 16mo. 60 centavos.

HAYWARD: The Algebra of Co-Planar Vectors and Trigonometry. $2.00.

HEATH: Diaphantos of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra. By T. L. Heath, M.A., Fellow of Trinity College, Cambridge. 8vo. $2.25.

HENSLEY: The Scholar's Algebra. An Introductory Work on Algebra. By Lewis Hensley. 12mo. $1.10.

JONES y CHEYNE: Algebraical Exercises. Progressively arranged. By the Rev. C. A. Jones, M.A., and C. H. Cheyne, M.A., F.R.A.S. New Edition. 18mo. 60 cents.

Clave de los Ejercicios. Por W. Failes, M.A. 12mo. $1.90.

KLEIN: On Riemann's Theory of Algebraic Functions and their Integrals. A Supplement to the Usual Treatises by Felix Klein. Translated from the German with the author's permission, by Frances Hardcastle, Girton College, Cambridge. 8vo. $1.40.

MACMICHAEL y SMITH: Progressive Course of Examples in Algebra. Por el Rev. W. F. Macmichael y R. Prowde Smith, M.A. Con respuestas. $1.10.

SMITH.

Obras de Charles Smith, M.A., director del Sidney Sussex College, Cambridge.

Álgebra. 16mo. $1.10.

Edition of the Elementary Algebra. Revised by Prof. Irving Stringham, University of California. Nearly ready.

Soluciones a lo anterior. 12mo. $2.25.

Tratado de Álgebra. 12mo. $1.90.

Soluciones a lo anterior. 12mo. $2.60.

SMITH: Algebra Examples. By R. Prowde Smith. $1.10.

TODHUNTER.

Obras de I. Todhunter, M.A., F.R.S., D.Sc.

para principiantes. Con numerosos ejemplos. Nueva edición. 18mo. 75 centavos.

. Para uso de colegios y escuelas. Nueva edición. 12mo. $1.80.

ARITMÉTICA.

ALDIS: The Great Giant Arithmos. A Most Elementary Arithmetic for Children. By Mary Steadman Aldis. With Illustrations. 16mo. 75 cents.

EXÁMEN PRELIMINAR DEL EJÉRCITO (Modelos de exámenes propuestos en), 1882–89. Con respuestas a las preguntas de matemáticas. Materias: Aritmética, Álgebra, Euclides, Dibujo Geométrico, Geografía, Francés, Inglés, Dictado. 12mo. 90 centavos.

BRADSHAW: A Course of Easy, Arithmetical Examples for Beginners. By J. G. Bradshaw, B.A. 16mo. 60 cents.

BROOK-SMITH: Arithmetic in Theory and Practice. By J. Brook-Smith, M.A., LL.B. New Edition, Revised. 12mo. $1.25.

for Beginners. By J. and E. J. Brook-Smith. 12mo. 50 cents.

DALTON: Rules and Examples in Arithmetic. By the Rev. T. Dalton, M.A. New Edition. With Answers. 18mo. 60 cents.

GOYEN: Higher Arithmetic and Elementary Mensuration. By P. Goyen, Inspector of Schools, Dunedin, New Zealand. 12mo. $1.30.

HALL y KNIGHT: Arithmetical Exercises and Examination Papers.

Con un apéndice que contiene preguntas sobre logaritmos y medición. Por H. S. Hall, M.A., y S. R. Knight, B.A.

16mo. 60 centavos.

HENSLEY: Figures Made Easy. Por Lewis Hensley. Cubiertas rígidas. 12mo. 13 centavos.

• Answers to Examples. 12mo. 25 cents.

Scholar's Arithmetic. With Answers to the Examples. 12mo. $1.10.

JACKSON (S.): Commercial Arithmetic. Globe 8vo. $1.10.

LOCK. Obras del Rvdo. J. B. Lock, M.A., miembro principal, tutor adjunto y conferenciante en el Gonville and Caius College, Cambridge.

for Beginners. A School Class-book of Commercial Arithmetic. 16mo. 60 cents. Key. $2.25.

LOCK y SCOTT: Arithmetic for Schools. Adaptado para su uso en escuelas estadounidenses. Por el Rvdo. J. B. Lock y la profesora Charlotte A. Scott, Bryn Mawr College. 70 centavos.

PEDLEY: Exercises in Arithmetic for the Use of Schools. Containing more than 7000 Original Examples. By S. Pedley. 12mo. $1.25.

PENDLEBURY: Arithmetic. With 8000 Examples. By Charles Pendlebury, M.A., F.R.A.S. With Answers. $1.10.

SMITH: Arithmetic for Schools. By C. Smith, M.A. $1.00.

Edición Americana. (En preparación.)

SMITH. Obras de Barnard Smith, M.A.

para el Uso de Escuelas. Nueva Edición. $1.10.

Key. New Edition. $2.25.

Libro de Aritmética escolar. $1.00.

Libro de aritmética. Con respuestas. 18mo. 40 centavos.

Ejercicios de Aritmética.

• Con respuestas.
• 60 centavos.

Sistema Métrico de Aritmética. 18mo. Rústica. 8 centavos.

THOMAS: Enunciations in Arithmetic, Algebra, Euclid, and Trigonometry, with a Few Examples and Notes. By P. A. Thomas, B.A., Assistant Master in Sedbergh School. Globe 8vo. 60 cents.

ASTRONOMY.

AIRY: Obras de Sir G. B. Airy, K.C.B., antiguo Astrónomo Real.

Astronomía. Con ilustraciones. Nueva edición. 18mo. $1.10.

. An Elementary Explanation of the Principal Perturbations in the Solar System. New Edition. 12mo. $1.90.

CHAMBERS: A Handbook of Descriptive and Practical Astronomy. By George F. Chambers, F.R.A.S.

Vol. I. El Sol, los Planetas y los Cometas. 8vo. $5.25.

Vol. II. Instrumentos y Astronomía Práctica. 8vo. $5.25.

Vol. III. Los cielos estrellados. (Conclusión de la obra.) 8vo. $3.50.

Astronomía. Por G. F. Chambers. Con numerosas ilustraciones. $1.25.

CHEYNE: An Elementary Treatise on the Planetary Theory. By the late C. H. H. Cheyne, M.A. Third Edition. Edited by Rev. A. Freeman, M.A. 12mo. $1.75.

CLARK y SADLER: The Star Guide. Una lista de los objetos celestes más notables visibles con telescopios pequeños, con sus posiciones para cada décimo día del año y otra información astronómica. Por Latimer Clark, F.R.A.S., y Herbert Sadler, F.R.A.S. Royal 8vo. $2.50.

CLERKE: A Popular History of Astronomy during the Nineteenth century. By Agnes M. Clerke. Third Edition, Revised and Enlarged. 8vo. $4.00.

CROSSLEY, GLEDHILL y WILSON: A Handbook of Double Stars. For the Use of Amateurs. By Edward Crossley, Joseph Gledhill, and James M. Wilson, F.R.A.S. With Illustrations. 8vo. $6.00.

al Manual de Estrellas Dobles. 8vo. 30 centavos.

DURHAM: Astronomy–-Sun, Moon, Stars, etc. By William Durham, F.R.S.E. 12mo. 50 cents.

FORBES: The Transit of Venus. By George Forbes, B.A. With Illustrations. 12mo. $1.00.

GODFRAY: Works by Hugh Godfray, M.A.

Tratado elemental de la teoría lunar. Con un breve esbozo del problema hasta la época de Newton. Segunda edición, revisada. 12mo. $1.60.

Tratado de astronomía, para el uso de colegios y escuelas. 8vo. $3.25.

LOCKYER: Obras de J. Norman Lockyer, F.R.S., etc.

Química del Sol. Con ilustraciones. 8vo. $4.50.

a la Física Solar. Con Numerosas Ilustraciones. 8vo. $7.50.

Lecciones de astronomía. Con espectros del Sol, estrellas y nebulosas, y numerosas ilustraciones. Nueva edición, revisada por completo. 16mo. $1.25.

sobre las Elementary Lessons in Astronomy for Schools de Lockyer. Por J. Forbes-Robertson. 18mo. 40 centavos.

Hipótesis meteorítica. Una exposición de la investigación espectroscópica sobre el origen de los sistemas cósmicos. Con numerosas ilustraciones. 8vo. 5,25 dólares.

Evolución de los cielos y de la tierra. Con ilustraciones. (En prensa.)

Dawn of Astronomy. With Illustrations. 8vo. $5.00.

LOCKYER y SEABROKE: Star-gazing Past and Present. Por J. N. Lockyer y G. W. Seabroke. Con ilustraciones. 8vo. $6.00.

MAIN: An Introduction to Plane Astronomy. By P. T. Main, M.A. Sixth Edition, Revised. $1.00.

SMYTH: A Cycle of Celestial Objects. Observed, Reduced, and Discussed. By Admiral W. H. Smyth. Revised and Enlarged by G. F. Chambers, F.R.A.S. 8vo. $3.00.

TENADURÍA DE LIBROS.

FOSTER: Double Entry Elucidated. Por B. W. Foster. Decimocuarta edición. Fcap. 4to. 90 centavos.

HAMILTON y BALL: Book-keeping. Por R. G. C. Hamilton y J. Ball. 16mo. 50 centavos.

MEDHURST: Examination Papers on Book-keeping. Compiled and Arranged by J. T. Medhurst, A.K.C. Second Edition. 75 cents.

THORNTON: Obras de J. Thornton.

Lessons in Book-keeping. 8vo. 70 cents.

Llave.

4to oblongo.

de Teneduría de libros. 18mo. 35 centavos. Clave.

GEOMETRÍA.

ALDIS (W. S.): Solid Geometry. 12mo. $1.50.

BESANT (Dr. W. H.): Conic Sections treated Geometrically. 16mo. $1.10.

Soluciones a los Ejemplos. 16mo. $1.00.

COCKSHOTT y WALTERS: A Treatise on Geometrical Conics, in accordance with the Syllabus of the Association for the Improvement of Geometrical Teaching. By A. Cockshott and Rev. F. B. Walters, M.A. 12mo. $1.25.

CONSTABLE: Geometrical Exercises for Beginners. By Samuel Constable. 12mo. 90 cents.

CUTHBERTSON: Geometría euclidiana. Por Francis Cuthbertson, M.A. 16mo. $1.10.

CREMONA: Elements of Projective Geometry. By Luigi Cremona, LL.D. Translated by Charles Leudesdorf, M.A. 8vo. $3.25.

DAY: Properties of Conic Sections Proved Geometrically. Part I. The Ellipse. With Problems. By the Rev. H. G. Day, M.A. 12mo. 90 cents.

DEIGHTON: Euclid. The Elements. Books I.–IV. and part of Book XI. Newly translated from the Original Text, with numerous Riders and Chapters on Radical Axis, Poles and Polars, Centres of Similitude, Transversals, Harmonic Proportion, Plane Loci, etc. By Horace Deighton, M.A. Revised Edition, with symbols and abbreviations. $1.10.

DODGSON: Obras de Charles L. Dodgson, M.A.

. Libros I. y II. 12mo. 60 centavos.

and his Modern Rivals. Second Edition. 12mo. $1.60.

Mathematica. Parte I. Una nueva teoría de paralelas. 12mo. 75 centavos.

DREW: A Geometrical Treatise on Conic Sections. By W. H. Drew, M.A. Sixth Edition. 12mo. $1.25.

DUPUIS; Elementary Synthetic Geometry of the Point, Line, and Circle in the Plane. By N. F. Dupuis, M.A. 16mo. $1.10.

de Geometría Sólida Sintética. 12mo. $1.60.

DYER: Exercises in Analytical Geometry. By J. M. Dyer, M.A. With Illustrations. 12mo. $1.25.

EAGLES: Constructive Geometry of Plane Curves. With Examples. By T. H. Eagles, M.A. 12mo. $3.25.

EDGAR y PRITCHARD: Note-book on Practical Solid or Descriptive Geometry. Containing Problems with Help for Solution. By J. H. Edgar, M.A., and G. S. Pritchard. Fourth Edition, Enlarged. By Arthur G. Meeze. 16mo. $1.10.

FERRERS: A Treatise on Trilinear Co-ordinates, the Method of Reciprocal Polars, and the Theory of Projections. By the Rev. N. M. Ferrers. Fourth Edition. 12mo. $1.75.

FROST: Obras de Percival Frost, D.Sc., F.R.S.

Tratado elemental sobre el trazado de curvas. 8vo. $3.00.

Geometría. Una nueva edición, revisada y ampliada, del tratado de Frost y Wolstenholme. Tercera edición. 8vo. $6.00.

para la Solución de Problemas de la Tercera Edición de Geometría del Espacio. 8vo. $3.00.

GRAHAM: The Geometry of Position. By Robert H. Graham, C.E., author of "Graphic and Analytical Statics." Illustrated. 12mo. $1.75.

HALL y STEVENS: Tratado de los Elementos de Euclides.

Incluyendo demostraciones alternativas, junto con teoremas y ejercicios adicionales, clasificados y ordenados.

Por H. S. Hall, M.A., y F. H. Stevens, M.A.

Libros I.–VI. Globe 8vo. 1,10 dólares.

También se vende por separado:

l@3eml@

• Libro I. \quad30 centavos.
• Libros I. y II. \quad50 centavos.
• Libros I.–IV. \quad75 centavos.
• Libros III.–VI. \quad75 centavos.
• Libro XI. \quad30 centavos.
• Libros V.–VI.–XI. \quad70 centavos.

Clave de los Ejemplos de los Libros I.-IV., $1.75; Libros I.-VI. y XI., $2.25.

HAYWARD: The Elements of Solid Geometry. By R. Baldwin Hayward, M.A., F.R.S. 12mo. 75 cents.

HEATH (R. S.): Treatise on Geometrical Optics. 8vo. $3.50.

Tratado elemental de óptica geométrica. $1.25.

JOHNSTON (W. J.): An Elementary Treatise on Analytic Geometry. $2.60.

KITCHENER: Geometrical Note-book. Containing Easy Problems in Geometrical Drawing, preparatory to the Study of Geometry. By F. E. Kitchener, M.A. New Edition. 4to. 55 cents.

LACHLAN (R.): An Elementary Treatise on Modern Pure Geometry. 8vo. $2.25.

LOCK: Euclid for Beginners. Being an Introduction to the Existing Text-books. By the Rev. J. B. Lock, M.A. Senior Fellow, Assistant Tutor and Lecturer, Gonville and Caius College, Cambridge, 16mo. (En prensa.)

Libro de los Elementos de Euclides.

• 16mo.
• 60 centavos.

McCLELLAND: The Geometry of the Circle. By W. J. McClelland, M.A., Trinity College, Dublin; Head Master of Santry School. Crown 8vo. Illustrated. $2.60.

McDOWELL: Exercises on Euclid and in Modern Geometry, containing Applications of the Principles and Processes of Modern Pure Geometry. By J. McDowell, M.A., F.R.A.S. Third Edition, Revised. $1.50.

MILLAR: Elements of Descriptive Geometry. By J. B. Millar, B.E. 12mo. $1.50.

MILNE y DAVIS: Geometrical Conics. By J. J. Milne and R. F. Davis. Part I. The Parabola. 12mo. 60 cents.

MUKHOPADHAY: Geometrical Conic Sections. By Asutosh Mukhopadhay, M.A., Fellow of the University of Calcutta. Globe 8vo. $1.10.

NIXON: Euclid. Revised. Containing the Essentials of the Elements of Plane Geometry as given by Euclid. With Additional Propositions and Exercises. Edited by R. C. J. Nixon, M.A. $1.50.

• Libros I. al IV. 12mo. 75 centavos.
• Libros V. y VI. 12mo. 75 centavos.

en el Espacio. Contiene partes de los Libros Undécimo y Duodécimo de Euclides y algunas propiedades de poliedros y sólidos de revolución, con ejercicios. Editado por R. C. J. Nixon, M.A. 12mo. 90 centavos.

PLANT: Practical Plane Geometry. By E. C. Plant. (En prensa.)

PUCKLE: An Elementary Treatise on Conic Sections and Algebraic Geometry. With Examples and Hints for their Solution. By G. Hale Puckle, M.A. Fifth Edition, Revised and Enlarged. 12mo. $1.90.

RICHARDSON: The Progressive Euclid. Books. I.–II. With Notes, Exercises, and Deductions. By A. T. Richardson, M.A. 60 cents.

RICHARDSON y RAMSAY: Modern Plane Geometry. Por G. Richardson y A. S. Ramsay. $1.00.

RUSSELL (J. W.): An Elementary Treatise on Pure Geometry. With Numerous Examples. $2.60.

SMITH: Obras de Charles Smith, M.A., Fellow y Tutor de Sidney Sussex College, Cambridge.

Tratado elemental de secciones cónicas. Séptima edición. 12mo. $1.60.

a Secciones Cónicas. 12mo. $2.60.

Tratado elemental de geometría del espacio. 12mo. $2.50.

SMITH: Introductory Modern Geometry of the Point, Ray, and Circle. By William B. Smith, Ph.D., Professor of Mathematics in Missouri State University, Columbia, Mo. Part I., 75 cents. Complete Edition, $1.10.

PROGRAMA DE GEOMETRÍA PLANA: (Correspondiente a Euclides, Libros I.–IV.)

Revisado y puesto en correspondencia con el libro de texto preparado por la Asociación para la Mejora de la Enseñanza de la Geometría. Nueva edición. 16mo. 30 centavos.

SYLLABUS OF MODERN PLANE GEOMETRY: Paper. 12mo. 30 cents.

TAYLOR: Elements of Geometry. 18mo.

• Books I. and II., 50 cents.
• Books III. and IV., 50 cents.
• Books I. to IV., 90 cents.
• Books V. and VI., 40 cents.

Edited by H. M. Taylor, M.A.

a los Ejercicios de Euclides. Libros I.–IV. Por W. W. Taylor, M.A. $1.75.

TODHUNTER: The Elements of Euclid. By Isaac Todhunter, F.R.S. 18mo. 90 cents.

Geometría Coordinada, aplicada a la línea recta y a las secciones cónicas. 12mo. $1.80.

Key. By C. W. Bourne, M.A. 12mo. $2.60.

en Analytical Geometry of Three Dimensions. New Edition, Revised. 12mo. $1.00.

VYVYAN: Analytical Geometry for Schools. By T. G. Vyvyan. $1.10.

Geometría para principiantes. Parte I. 60 céntimos.

WEEKS: Exercises in Euclid. Graduated and Systematised. By William Weeks, Lecturer on Geometry, St. Luke's Training College, Exeter. 18mo. 60 cents.

WILLIS: An Elementary Treatise on Geometrical Conic Sections. By H. G. Willis, M.A. $1.25.

WILSON: Obras del Rvdo. J. M. Wilson, M.A. Exdirector del Clifton College.

Geometría.

Libros I–V. Contienen las materias de los primeros seis libros de Euclides. Siguiendo el programa de la Asociación Geométrica. Nueva edición. 16mo. $1.10.

Geometría y secciones cónicas. Con apéndices sobre transversales y división armónica. 16mo. 90 centavos.

MENSURACIÓN.

MOORE: An Elementary Treatise on Mensuration. By B. T. Moore, M.A. With Numerous Examples. 90 cents.

STEVENS: Elementary Mensuration. With Exercises on the Mensuration of Plane and Solid Figures. By F. H. Stevens, M.A. (En prensa.)

TODHUNTER: Mensuration for Beginners. By Isaac Todhunter, F.R.S. 18mo. 75 cents.

Key. Por el Rdo. P. L. McCarthy. 12mo. $1.90.

TRIGONOMETRÍA.

BEASLEY: An Elementary Treatise on Plane Trigonometry. With Examples. By R. D. Beasley, M.A. Ninth Edition, Revised and Enlarged. 12mo. 90 cents.

BOTTOMLEY: Four-Figure Mathematical Tables. Comprising Logarithmic and Trigonometrical Tables, and Tables of Squares, Square Roots, and Reciprocals. By J. T. Bottomley, M.A., F.R.G.S., F.C.S. 8vo. 70 cents.

DYER y WHITCOMBE: Trigonometry, The Elements of. Por J. M. Dyer, M.A., y el Rev. H. R. Whitcombe, M.A. $1.25.

HALL y KNIGHT: Elementary Trigonometry. By H. S. Hall, M.A., and S. R. Knight, B.A., M.B., Ch.B. 16mo. $1.10.

HAYWARD: The Algebra of Co-Planar Vectors and Trigonometry. By R. B. Hayward, M.A., F.R.S. $2.00.

HOBSON: Treatise on Plane Trigonometry. Por E. W. Hobson. 8vo. $3.00.

Elementary Treatise on Plane Trigonometry for the Use of Schools. Por E. W. Hobson, M.A., y C. M. Jessop, M.A. $1.25.

JONES: Logarithmic Tables. Royal 8vo. $1.00.

JOHNSON: Treatise on Trigonometry. By W. E. Johnson, M.A. Formerly Scholar of King's College, Cambridge. 12mo. $2.25.

LEVETT y DAVISON: The Elements of Trigonometry. Por Rawdon Levett y A. F. Davison, profesores de la Escuela King Edward, Birmingham. 8vo en cuarto. $1.60.

LOCK: Obras de J. B. Lock, M.A., tutor asistente y conferenciante en el Gonville and Caius College, Cambridge.

para Principiantes. En lo que respecta a la Resolución de Triángulos. 16mo. 75 centavos.

Trigonometry. Sixth Edition. (In this edition the chapter on Logarithms has been carefully revised.) 16mo. $1.10.

Trigonometry.

Fifth Edition. 16mo. $1.00.

Dos partes en un volumen. $1.90.

Trigonometry of One Angle. 12mo. Cloth, 65 cents.

Tratado de trigonometría elemental y superior. 16mo. $1.90.

LONEY: Plane Trigonometry.

By S. L. Loney, M.A.

• An Elementary Course, excluding the Use of Imaginary Quantities.
• Fcap. 8vo.

McCLELLAND y PRESTON: A Treatise on Spherical Trigonometry. With Applications to Spherical Geometry, and Numerous Examples. By William J. McClelland, M.A., and Thomas Preston, B.A. 12mo.

Parte I. $1.10. Parte II. $1.25. Ambas partes en un volumen, $2.25.

NIXON: Elementary Plane Trigonometry. By R. C. J. Nixon. $1.90.

PALMER: Logaritmos prácticos y trigonometría, libro de texto de. Por J. H. Palmer. 16mo. $1.10.

SNOWBALL: The Elements of Plane and Spherical Trigonometry. By J. C. Snowball, M.A. Fourteenth Edition. 12mo. $1.90.

TODHUNTER: Obras de Isaac Todhunter, F.R.S.

para Principiantes. Nueva Edición. 18mo. 60 centavos.

Trigonometry. 12mo. $1.30.

Tratado de trigonometría esférica. Para el uso de colegios y escuelas. 12mo. $1.10.

TODHUNTER y HOGG: Plane Trigonometry. Por Isaac Todhunter. Nueva edición. Revisada por R. W. Hogg, M.A., Fellow of St. John's College, Cambridge. 12mo. $1.10.

VYVYAN: Introduction to Plane Trigonometry. By the Rev. T. G. Vyvyan, M.A. Third Edition, Revised and Corrected. 90 cents.

WARD (G. H.): Trigonometry Examination Papers. 60 cents.

WOLSTENHOLME: Examples for Practice in the Use of Seven-Figure Logarithms. By Joseph Wolstenholme, D.Sc. 8vo. $1.25.

PROBLEMS AND QUESTIONS IN MATHEMATICS.

EXÁMEN PRELIMINAR DEL EJÉRCITO (Modelos de exámenes propuestos en), 1882–89. Con respuestas a las preguntas de matemáticas. Materias: Aritmética, Álgebra, Euclides, Dibujo Geométrico, Geografía, Francés, Inglés, Dictado. 12mo. 90 centavos.

BALL: Mathematical Recreations and Problems. By W. W. Rouse Ball. $2.25.

CAMBRIDGE Senate-House Problems and Riders, with Solutions.

\Subentry1875. Problems and Riders. Edited by A. G. Greenhill, M.A. 12mo. $2.25.

\Subentry1878. Solutions by the Mathematical Moderators and Examiners. Edited by J. W. L. Glaisher, M.A. 8vo. $3.00.

CHRISTIE: A Collection of Elementary Test-Questions in Pure and Mixed Mathematics. With Answers and Appendices on Synthetic Division, and on the Solution of Numerical Equations by Horner's Method. By James R. Christie, F.R.S. 12mo. $2.25.

DEAKIN: Rider Papers on Euclid. Books I. and II. Graduated and Arranged in Order of Difficulty, with an Introduction on Teaching Euclid. By Robert Deakin, M.A., Balliol College, Oxford, Head Master of King Edward's School, Stourbridge. 18mo. Cloth. 35 cents.

DYER: Mathematical Examples. A Collection of Examples in Arithmetic Pure and Mixed, Algebra, Trigonometry, Mensuration, Theory of Equations, Analytical Geometry, Statics and Dynamics. With Answers, etc. By J. M. Dyer, M.A., and R. Prowde Smith, M.A. $1.50.

FILIPOWSKI (H. E.): A Table of Anti-Logarithms. Natural Numbers answering to all Logarithms from $\mathrm{.00001}$ to $\mathrm{.99999}$, etc. Third Edition. $3.50.

LAMB: Hydrodynamics. A Treatise on the Mathematical Theory of Fluid Motion. By Horace Lamb, M.A. 8vo. $3.00.

MATTHEWS: Manual of Logarithms. By G. F. Matthews, M.A. 8vo. $1.60.

MEDHURST (J. T.): Examination Papers on Book-keeping. Compiled and Arranged by J. T. Medhurst, A.K.C. Second Edition. 75 cents.

MILNE: Obras del Rvdo. John T. Milne.

Problem Papers. With Notes intended for the Use of Students preparing for Mathematical Scholarships. 18mo. $1.00.

a los «Weekly Problem Papers». 12mo. $2.75.

Companion to the "Weekly Problem Papers." Intended for the Use of Students preparing for Mathematical Scholarships, and for the Junior Members of the University who are reading for Mathematical Honors. 12mo. $2.60.

RICHARDSON (A. T.): Progressive Mathematical Exercises for Home Work. En dos partes. Por A. T. Richardson, M.A., profesor titular de Matemáticas en el Isle of Wight College, anteriormente becario de Hertford College, Oxford. Concebido para su uso en los cursos inferiores de las escuelas junto con los libros de texto ordinarios, de modo que el progreso del alumno pueda comprobarse periódicamente. 60 centavos.

SANDHURST MATHEMATICAL PAPERS for Admission into the Royal Military College, for the Years 1881–1889. Edited by E. J. Brook-Smith, B.A., LL.M., St. John's College, Cambridge. 12mo. $1.00.

SMITH: Mathematical Examples. Por R. Prowde Smith. $1.50.

WARD: Trigonometry, Examination Papers in. By G. H. Ward, M.A. 60 cents.

Clave (solo para tutores). $1.25.

WRIGLEY: Collection of Examples and Problems in Arithmetic, Algebra, Geometry, Logarithms, Trigonometry, Conic Sections, Mechanics, etc., with Answers and Occasional Hints. By the Rev. A. Wrigley. Tenth Edition, Twentieth Thousand. 8vo. $2.00.

Una clave o guía para lo anterior. Segunda edición. $2,60.

WOLSTENHOLME: Works of Joseph Wolstenholme, D.Sc.

Problems on Subjects Included in the First and Second Division of the Schedule of Subjects for the Cambridge Mathematical Tripos Examination. New Edition, Enlarged. 8vo. $4.50.

-Logaritmos de siete cifras. Ejercicios prácticos para su uso. Para colegios y escuelas. 8vo. $1.25.

WOOLWICH MATHEMATICAL PAPERS for Admission into the Royal Military Academy, for the Years 1880–1888. Edited by E. J. Brook-Smith, B.A., LL.M., St. John's College, Cambridge; Instructor of Mathematics at Royal Military Academy, Woolwich. 12mo. $1.75.

MATEMÁTICAS PURAS SUPERIORES.

AIRY: Obras de Sir G. B. Airy, K.C.B., antiguo Astrónomo Real.

Tratado de ecuaciones diferenciales parciales. Con diagramas. Segunda edición. 12mo. $1.50.

the Algebraical and Numerical Theory of Errors of Observations and the Combination of Observations. Second Edition, Revised. 12mo. $1.75.

BESANT: Notes on Roulettes and Glissettes. By W. H. Besant, D.Sc., F.R.S. Second Edition, Enlarged. $1.25.

BOOLE: A Treatise on the Calculus of Finite Differences. By the late George Boole. Edited by J. F. Moulton. Third Edition. 12mo. $2.60.

CAYLEY: Elementary Treatise on Elliptic Functions. By Arthur Cayley, D.Sc., F.R.S. (New Edition preparing.)

EDWARDS: Differential Calculus. With Applications and Numerous Examples. An Elementary Treatise. By Joseph Edwards, M.A. 12mo. $2.75.

Calculus for Beginners.

16mo. $1.10.

FERRERS: An Elementary Treatise on Spherical Harmonics and Subjects Connected with Them. By Rev. N. M. Ferrers, D.D., F.R.S. 12mo. $1.90. (Agotado.)

Tratado de coordenadas trilineales. Nueva edición. $1.75.

FORSYTH: Obras de Andrew Russell Forsyth, M.A.

Tratado de ecuaciones diferenciales. 8vo. $3.75.

de Ecuaciones Diferenciales. Parte I. Ecuaciones Exactas y Problemas de Pfaff. 8vo. $3.75.

Tratado de la teoría de funciones de una variable compleja. 8.° mayor. $8.50.

FLEISCHER: A System of Volumetric Analysis. With Illustrations. $2.00.

FROST: An Elementary Treatise on Curve Tracing. By Percival Frost, M.A. 8vo. $3.00.

GREENHILL: Differential and Integral Calculus. With Applications. By Alfred George Greenhill, M.A. 12mo. $2.00.

de Funciones Elípticas. 8vo. $3.00.

HEMMING: An Elementary Treatise on the Differential and Integral Calculus. By G. W. Hemming, M.A. 8vo. $2.50.

HUNTER ( H. St. J.): Decimal Approximations. 18mo. 40 cents.

A Key to Dr. Todhunter's Differential Calculus. $2.60.

KELLAND y TAIT: Introduction to Quaternions. With Examples. By P. Kelland, M.A., and P. G. Tait, M.A. Second Edition. 12mo. $2.00.

KEMPE: How to Draw a Straight Line. A Lecture on Linkages. By A. B. Kempe, B.A. With Illustrations. 12mo. 50 cents.

KNOX: Differential Calculus for Beginners. With Examples. By Alexander Knox, B.A. 16mo. 90 cents.

LOVE: Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. 8vo. Vol. I. $3.00. Vol. II. $3.00.

MESSENGER OF MATHEMATICS: Edited by J. W. L. Glaisher. Published Monthly. 35 cents each number.

MORLEY y HARKNESS: The Theory of Functions. Por Frank Morley, M.A., profesor de Matemáticas, Haverford College, Pa., y James Harkness, M.A., profesor de Matemáticas, Bryn Mawr College, Pa. 8vo. $5.00.

MUIR: Obras de Thomas Muir, profesor de matemáticas en el instituto de Glasgow.

Tratado sobre la teoría de los determinantes. Con ejemplos. 12mo. Nueva edición. $2.25.

Theory of Determinants in the Historical Order of its Development. Part I. Determinants in General. Leibnitz (1693) to Cayley (1841). 8vo. $2.50.

PRICE: Treatise on Infinitesimal Calculus. By Bartholomew Price, M.A., F.R.S., Professor of Natural Philosophy, Oxford.

Vol. I. Cálculo diferencial. Segunda edición. 8vo. $3.75.

Vol. II. Cálculo integral, cálculo de variaciones y ecuaciones diferenciales. 8vo. (En reimpresión).

Vol. III. Estática, incluidas las Atracciones; Dinámica de una Partícula Material. 8vo. $4.00.

Vol. IV. Dinámica de sistemas materiales. Con un capítulo de Dinámica teórica, por W. F. Donkin, M.A. 8vo. $4.50.

SCOTT: A Treatise on the Theory of Determinants and their Applications in Analysis and Geometry. By Robert Scott, M.A. 8vo. $3.50.

SMALLEY: Facts and Formulæ in Pure Mathematics and Natural Philosophy. Containing Facts, Formulæ, Symbols, and Definitions. By the late G. R. Smalley, B.A., F.R.A.S. New Edition by J. M'Dowell, M.A., F.R.A.S. 16mo. 70 cents.

SMITH: Mathematical Papers of the late Rev. J. S. Smith, Savilian Professor of Geometry in the University of Oxford, With Portrait and Memoir. 2 vols. 4to. (En preparación.)

TAIT: An Elementary Treatise on Quaternions. By P. G. Tait, M.A., Professor of Natural Philosophy in the University of Edinburgh. Third Edition, Much Enlarged. 8vo. $5.50.

TODHUNTER: Obras de Isaac Todhunter, F.R.S.

Tratado elemental de la teoría de ecuaciones. 12mo. $1.80.

Tratado de cálculo diferencial. 12mo. $2.60. Clave. $2.60.

Tratado de cálculo integral y sus aplicaciones. 12mo. $2.60. Clave. $2.60.

Tratado elemental de las funciones de Laplace, de Lamé y de Bessel. 12mo. $2.60. (Agotado.)

WATSON y BURBURY: A Treatise on the Application of Generalized Co-ordinates to the Kinetics of a Material System. By H. W. Watson and S. H. Burbury. 8vo. $1.50.

WELD: A Short Course in the Theory of Determinants. By Laenas Gifford Weld, B.S., M.A. $1.90.

WHITWORTH: Trilinear Co-ordinates, and other methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions. An Elementary Treatise. By W. Allen Whitworth, M.A. 8vo. $4.00.

MECÁNICAS.

ALDIS: Rigid Dynamics, An Introductory Treatise on. By W. Steadman Aldis, M.A. $1.00.

ALEXANDER y THOMPSON: Elementary Applied Mechanics. Part II. Transverse Stress. $2.75.

BALL: Experimental Mechanics. A Course of Lectures delivered to the Royal College of Science for Ireland. By Sir R. S. Ball, LL.D., F.R.S. Second Edition. With Illustrations. 12mo. $1.50.

BASSET: A Treatise on Hydrodynamics. 2 vols. 8vo. $9.00.

Tratado elemental de hidrodinámica y sonido. 8vo. $3.00.

Tratado de óptica física. 8vo. $6.00.

BAYNES: Lessons on Thermodynamics. By R. E. Baynes, M.A. 12mo. $1.90.

BESANT: A Treatise on Hydromechanics. Fifth Edition, Revised. Part I. Hydrostatics. 12mo. $1.25.

Tratado de Dinámica. $1.75.

Hidrostática. 16mo. $1.00.

a los Ejemplos. (En prensa.)

CLIFFORD: Obras de W. Kingdon Clifford, F.R.S.

de Dinámica. Una introducción al estudio del movimiento y el reposo en los cuerpos sólidos y fluidos.

Parte I. Libros I.–III. 12mo. $1.90.

Parte II. Libro IV y Apéndice. 12mo. $1.75.

COTTERILL: Applied Mechanics. An Elementary General Introduction to the Theory of Structures and Machines. By James H. Cotterill, F.R.S. 8vo. $5.00.

COTTERILL and SLADE: Elementary Manual of Applied Mechanics. By Prof. J. H. Cotterill, F.R.S., and J. H. Slade. 12mo. $1.25.

CREMONA (Luigi): Graphical Statics. Two Treatises on the Graphical Calculus and Reciprocal Figures in Graphical Calculus. Authorized English Translation by T. Hudson Beare. 8vo. $2.25.

GARNETT: Elementary Dynamics, A Treatise on. For the Use of Colleges and Schools. By William Garnett, M.A., D.C.L. Fifth Edition, Revised. $1.50.

GOODWIN: Elementary Statics. By H. Goodwin, D.D., Bishop of Carlisle. Second Edition. 75 cents.

GREAVES. Obras de John Greaves, M.A.

Tratado de estática elemental. Segunda edición, revisada. 12mo. $1,90.

para principiantes. 16mo. 90 centavos.

sobre Hidrostática Elemental. 12mo. $1.10.

GREENHILL: Hydrostatics. By A. G. Greenhill. 12mo. $1.90.

GUILLEMIN (A.): The Applications of Physical Forces. Translated and Edited by J. Norman Lockyer, F.R.S. With Colored Plates and Illustrations. Royal 8vo. $6.50.

HICKS: Elementary Dynamics of Particles and Solids. By W. M. Hicks. 12mo. $1.60.

HOROBIN: Elementary Mechanics. Stage I. By J. C. Horobin, B.A. With Numerous Illustrations. 12mo. Cloth. 50 cents. Stages II. and III. (In Preparation.)

Mecánica. Sección I.

(En prensa.)

HOSKINS: The Elements of Graphic Statics. A Text-book for Students of Engineering. By L. M. Hoskins, C.E., M.S. 8vo. $2.25.

JELLETT: A Treatise on the Theory of Friction. By John H. Jellett, B.D., late Provost of Trinity College, Dublin. 8vo. $2.25.

JESSOP: The Elements of Applied Mathematics, including Kinetics, Statics, and Hydrostatics. By C. M. Jessop. $1.25.

KENNEDY: The Mechanics of Machinery. Por Alexander B. W. Kennedy, F.R.S. Con ilustraciones. 12mo. $3.50.

LAMB: Hydrodynamics. A Treatise on the Mathematical Theory of Fluid Motion. By H. Lamb. 8vo. $3.00.

LOCK: Obras del Rvdno. J. B. Lock, M.A.

para Principiantes. 16mo. $1.00.

para Principiantes. Parte I. 90 centavos.

Mecánica de los Sólidos.

Hidrostática. (En preparación.)

de Sólidos. 16mo. (En prensa.)

de Fluidos. 16mo. (En prensa.)

LONEY: A Treatise on Elementary Dynamics. New and Enlarged Edition. By S. L. Loney, M.A. 12mo. $1.90.

de los ejemplos contenidos en los anteriores. 12mo. $1.90.

Elementos de estática y dinámica.

Parte I. Elementos de Estática. $1.25.

Parte II. Elementos de Dinámica. $1.00.

Complete in one volume. 12mo. $1.90. Key. 12mo. $1.90.

and Hydrostatics for Beginners. 16mo. $1.25.

MACGREGOR: An Elementary Treatise on Kinematics and Dynamics. By James Gordon Macgregor, M.A., D.Sc., Munro Professor of Physics, Dalhousie College, Halifax. 12mo. $2.60.

MINCHIN: Obras de G. M. Minchin, M.A.

Tratado de Estática.

Tercera Edición, Corregida y Aumentada.

Vol. I. Equilibrio de fuerzas coplanares. 8vo. $2.25.

Vol. II. Estática. 8vo. $4.00.

Cinemática de sólidos y fluidos. 12mo. $1.90.

y Hidrocinética Elemental. $2.60.

PARKINSON (R. M.): Structural Mechanics. $1.10.

PARKINSON: A Treatise on Elementary Mechanics. For the use of the Junior Classes at the University and the Higher Classes in Schools. With a collection of Examples by S. Parkinson, F.R.S. Sixth Edition. 12mo. $2.25.

PIRIE: Lessons on Rigid Dynamics. By the Rev. G. Pirie, M.A. 12mo. $1.50.

RAWLINSON: Elementary Statics. By G. Rawlinson, M.A. Edited by E. Sturges. 8vo. $1.10.

ROUTH: Obras de E. J. Routh, LL.D., F.R.S.

Treatise on the Dynamics of a System of Rigid Bodies. With Examples. New Edition, Revised and Enlarged. 8vo. In Two Parts.

Parte I. Elemental. Quinta edición, revisada y ampliada. $3.75.

Parte II. Avanzado. $3.75.

de un Estado de Movimiento Determinado, Particularmente el Movimiento Estacionario. 8vo. $2.25.

Tratado de estática analítica. Con numerosos ejemplos. Vol. I. 8vo. $3.75.

SANDERSON: Hydrostatics for Beginners. By F. W. Sanderson, M.A. 16mo. $1.10.

SELBY: Elementary Mechanics of Solids and Fluids. $1.90.

PROGRAMA DE DINÁMICA ELEMENTAL.

Parte I. Dinámica lineal.

Con un apéndice sobre los significados de los símbolos en las ecuaciones físicas. Preparado por la Asociación para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Geometría. 4to. 30 centavos.

TAIT y STEELE: A Treatise on Dynamics of a Particle. By Professor Tait, M.A., and W. J. Steele. Sixth Edition, Revised. 12mo. $3.00.

TAYLOR: Resistance of Ships, and Screw Propulsion. By D. W. Taylor. $3.75.

TODHUNTER.

Obras de Isaac Todhunter, F.R.S.

para Principiantes. Con Numerosos Ejemplos. Nueva Edición. 18mo. $1.10. Clave. $1.75.

Tratado de Estática Analítica. Quinta Edición. Editado por el profesor J. D. Everett, F.R.S. 12mo. $2.60.

WALTON: Mechanics, A Collection of Problems in Elementary. By W. Walton, M.A. Second Edition. $1.50.

in Theoretical Mechanics. Third Edition, Revised. With the addition of many fresh Problems. By W. Walton, M.A. 8vo. $4.00.

WEISBACH y HERRMANN: The Mechanics of Hoisting Machinery, including Accumulators, Excavators, and Pile-Drivers. A Text-Book for Technical Schools, and a Guide for Practical Engineers. By Dr. Julius Weisbach and Professor Gustav Herrmann. Authorized Translation from the Second German Edition. By Karl P. Dahlstrom, M.E., Instructor of Mechanical Engineering in the Lehigh University. With 177 Illustrations. $3.75.

ZIWET: Tratado elemental de mecánica teórica. En tres partes: Cinemática, Estática y Dinámica. Por Alexander Ziwet, Universidad de Míchigan.

Part I. $2.25. Part II. $2.25. Part III. (En preparación.)

FÍSICA.

AIRY. Obras de Sir G. B. Airy, K.C.B., antiguo Astrónomo Real.

Sound and Atmospheric Vibrations. With the Mathematical Elements of Music. Designed for the Use of Students in the University. Second Edition, Revised and Enlarged. 12mo. $2.50.

. An Elementary Explanation of the Principal Perturbations in the Solar System. New Edition. 12mo. $1.90.

ALDIS: Geometrical Optics. An Elementary Treatise. By W. Steadman Aldis, M.A. Third Edition, Revised. 12mo. $1.00.

CLAUSIUS: Mechanical Theory of Heat. By R. Clausius. Translated by Walter R. Browne, M.A. 12mo. $2.60.

DANIELL: A Text-Book of the Principles of Physics. By Alfred Daniell, D.Sc. Illustrated. New Edition, Revised and Enlarged. 8vo. $3.50.

DAUBENY'S Introduction to the Atomic Theory. 16mo. $1.50.

DONKIN (W. F.): Acoustics. Second Edition. 12mo. $1.90.

EVERETT: Units and Physical Constants. By J. D. Everett, F.R.S., Professor of Natural Philosophy, Queen's College, Belfast. New Edition. 16mo. $1.25.

FERRERS: Spherical Harmonics and Subjects Connected with them. By Rev. N. M. Ferrers, D.D., F.R.S. 12mo. $1.90.

FISHER: Physics of the Earth's Crust. By Osmond Fisher. Second Edition, Enlarged. 8vo. $3.50.

FOURIER: The Analytical Theory of Heat. By Joseph Fourier. Translated with Notes, by A. Freeman, M.A. 8vo. $4.50.

GALLATLY: Física, Ejercicios elementales de. Que comprende Estática, Dinámica, Hidrostática, Calor, Luz, Química y Electricidad. Con exámenes de prueba. Por W. Gallatly, M.A. $1.00.

GARNETT: Heat, An Elementary Treatise on. By W. Garnett, M.A., D.C.L. Fifth Edition, Revised and Enlarged. $1.10.

GLAZEBROOK: Heat. By R. T. Glazebrook, M.A., F.R.S. $1.00.

. Cambridge Natural Science Manuals. $1.00.

HEATH: Treatise on Geometrical Optics. By R. S. Heath. 8vo. $3.50.

Tratado elemental de óptica geométrica. Por R. S. Heath. 12mo. $1.25.

HOGG'S (Jabez) Elements of Experimental and Natural Philosophy. With Index and upwards of 400 Woodcuts. $1.50.

IBBETSON: The Mathematical Theory of Perfectly Elastic Solids. With a Short Account of Viscous Fluids. By W. J. Ibbetson, late Senior Scholar of Clare College, Cambridge. 8vo. $5.00.

JELLETT (John H. B. D.): A Treatise on the Theory of Friction. 8vo. $2.25.

JONES: Examples in Physics. By D. E. Jones, B.Sc. 16mo. 90 cents.

, Light, and Heat. An Elementary Text-book. By D. E. Jones, B.Sc., author of "Examples in Physics," etc. With Illustrations. 16mo. 70 cents.

en Heat and Light. 16mo. $1,00.

LOEWY. Obras de B. Loewy, F.R.A.S.

Física. Questions and Examples in Physics, Sound, Light, Heat, Electricity, and Magnetism. 16mo. 50 cents.

Curso graduado de Ciencias Naturales, Experimentales y Teóricas, para Escuelas y Colegios.

• Parte I. Curso del primer año para escuelas elementales y las clases inferiores de las escuelas técnicas y colegios. 16mo. 60 centavos.
• Parte II. 60 centavos.

LOVE: Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. 8vo. Vol. I. $3.00. Vol. II. $3.00.

LUPTON: Numerical Tables and Constants in Elementary Science. By Sydney Lupton. 16mo. 70 cents.

MACFARLANE: Physical Arithmetic. By Alexander Macfarlane, Professor of Physics, University of Texas. 12mo. $1.90.

[nosp]MAXWELL: The Scientific Papers of James Clerk Maxwell, M.A., LL.D. B.Sc., etc., etc. Edited by W. D. Niven, M.A., F.R.S. With Steel Portraits and Page Plates. 2 vols. 4to. $25.00.

McAULAY (A.): Utility of Quaternions in Physics. 8vo. $1.60.

MOLLOY: Gleanings in Science. A Series of Popular Lectures on Scientific Subjects. By the Rev. Gerard Molloy, D.D., D.Sc. 8vo. $2.25.

NEWTON'S Principia. Edited by Professor Sir W. Thomson and Professor Blackburn. (Latin Text.) 4to. $12.00.

Este volumen no contiene una traducción al inglés.

First Book. Sections I., II., III. With Notes and Problems. By P. Frost, M.A. Third Edition. 8vo. $3.00.

First Three Sections of Newton's Principia, with an Appendix; and the Ninth and Eleventh Sections. By J. H. Evans, M.A. The Fifth Edition, edited by P. T. Main. $1.00.

PARKER: A Treatise on Thermodynamics. By T. Parker, M.A., Fellow of St. John's College, Cambridge. $2.25.

PARKINSON: A Treatise on Optics. By S. Parkinson, D.D., F.R.S. Fourth Edition, Revised and Enlarged. 12mo. $2.50.

PEARSON: A History of the Theory of Elasticity. By Isaac Todhunter. Edited by Professor Karl Pearson. Vol. I. Galilei to Saint-Venant, 1639–1850. 8vo. $6.00. Vol. II. Saint-Venant to Lord Kelvin (Sir William Thomson). In Two Parts. $7.50.

PERRY: An Elementary Treatise on Steam. By John Perry. With Woodcuts, Numerical Examples, and Exercises. 18mo. $1.10.

PRESTON: The Theory of Light. By Thomas Preston. With Illustrations. 8vo. $3.25.

Theory of Heat. Del mismo autor. 8vo. $5.50.

RAYLEIGH: The Theory of Sound. By Lord Rayleigh, M.A., F.R.S. 8vo. New edition in two volumes. (In the Press.)

Vol. I. $3.25. (Agotado.)

Vol. III. (En prensa.)

SAINT-VENANT ( Barri de): The Elastic Researches of. Edited for the Syndics of the Cambridge University Press by Karl Pearson, M.A. 8vo. $2.75.

SHANN: An Elementary Treatise on Heat in Relation to Steam and the Steam-Engine. By G. Shann, M.A. With Illustrations. 12mo. $1.10.

SHAW: Practical Work at the Cavendish Laboratory. Editado por W. N. Shaw.

. 8vo. 90 centavos.

SPOTTISWOODE: Polarization of Light. By W. Spottiswoode, LL.D. Illustrated. 12mo. $1.25.

STEWART.

Obras de Balfour Stewart, F.R.S.

en Física Elemental. Con ilustraciones y diagramas en color. 16mo. $1.10.

• on the Same for Schools. By T. H. Core. 40 cents.

Tratado sobre el calor. Con numerosas xilografías y diagramas. Cuarta edición. 16mo. $1.90.

STEWART y GEE: Lessons on Elementary Practical Physics. By Balfour Stewart, M.A., LL.D., F.R.S., and W. W. Haldane Gee.

Vol. I. Procesos físicos generales. 12mo. $1.50.

Vol. II. Electricidad y Magnetismo. $2.25.

Vol. III. Óptica, calor y sonido. (En prensa.)

Física para escuelas y estudiantes de los primeros años de colegios.

Vol. I. Electricidad y Magnetismo. 16mo. 60 centavos.

Vol. II. Óptica, calor y sonido. (En prensa.)

STOKES.

Works by George Gabriel Stokes, F.R.S.

Luz. Conferencias Burnett. Sobre la naturaleza de la luz. Sobre la luz como medio de investigación. Sobre los efectos benéficos de la luz. 12mo. $2.00.

y Documentos Físicos. 8vo.

Vol. I. $3.75. Vol. II. $3.75. Vol. III. (En prensa.)

• STONE: Elementary Lessons on Sound. By W. H. Stone, M.B. With Illustrations. 16mo. 90 cents.

TAIT.

Works by P. G. Tait, M.A., Sec. R.S.E.

on Some Recent Advances in Physical Science. With Illustrations. Third Edition, Revised and Enlarged, with the Lecture on Force Delivered before the British Association. 12mo. $2.50.

. Con numerosas ilustraciones. 12mo. $2.00.

. Un tratado elemental. Con ilustraciones. 12mo. $2.00.

de la Materia. Segunda Edición, Aumentada. 12mo. $2.25.

TAYLOR: Sound and Music. An Elementary Treatise on the Physical Constitution of Musical Sounds and Harmony. By Sedley Taylor, M.A. Illustrated. Second Edition. 12mo. $2.50.

THOMSON.

Works of J. J. Thomson, Professor of Experimental Physics in the University of Cambridge.

Tratado sobre el movimiento de los anillos de vórtice. Un ensayo. Con diagramas. 8vo. $1.75.

de la Dinámica a la Física y la Química. 12mo. $1.90.

THOMSON.

Obras de Sir W. Thomson, F.R.S., Profesor de Filosofía Natural en la Universidad de Glasgow.

y Documentos Físicos.

Conferencias y discursos sobre diversos temas de ciencia física.

Vol. I. Constitución de la Materia. 12mo. $2.00.

Vol. II. Geología y física general. 12mo. $2.00.

Vol. III. Asuntos de navegación. Con ilustraciones. 12mo. $2.00.

Elasticidad. 4to. $1.25.

TODHUNTER: A History of the Theory of Elasticity. Por Isaac Todhunter. Editado por el profesor Karl Pearson.

Vol. I. Galilei a Saint-Venant, 1639–1850. 8vo. $6.00.

Vol. II. Saint-Venant a Lord Kelvin (Sir William Thomson). En dos partes. $7.50.

TURNER: A Collection of Examples on Heat and Electricity. By H. H. Turner, B.A. 12mo. 75 cents.

WALKER: The Theory and Use of a Physical Balance. By James Walker, M.A. With Illustrations in Collotype and Photolithography. 8vo. 90 cents.

WATSON y BURBURY. Obras de H. W. Watson, D.Sc., y S. H. Burbury, M.A.

Tratado sobre la aplicación de las coordenadas generalizadas a la cinética de un sistema material. 8vo. $1.50.

WOOD: Light. By Sir H. Truman Wood. 16mo. 60 cents.

WOOLCOMBE: Practical Work in Heat. For Use in Schools and Colleges. By W. G. Woolcombe, M.A., B.Sc., Senior Science Master in King Edward's High School, Birmingham. Crown 8vo. pp. 61. $1.00.

WRIGHT: Light. A Course of Experimental Optics, Chiefly with the Lantern. By Lewis Wright. With nearly 200 Illustrations. 12mo. $2.50.

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO.

ALLSOP (F. C.): Practical Electric Light Fitting. 200 Illustrations. $1.50.

BENNETT: The Telephoning of Great Cities. Paper. 35 cents.

BLAKESLEY: Alternating Currents of Electricity. Third Edition, Enlarged. (In the Press.)

BONNEY (G. E.): Induction Coils. $1.00.

Experimentos. Un manual de entretenimiento instructivo. Con 144 ilustraciones. 12mo. 75 centavos.

• BOTTONE (S. R.): Electricity and Magnetism. With 103 Illustrations. 16mo. 90 cents.

to Manage the Dynamo. A Handbook for Ship Engineers, Electric Light Engineers, etc. 16mo. 60 cents.

Guía de alumbrado eléctrico. Por S. R. Bottone, autor de "Timbres eléctricos y todo lo relacionado con ellos", "Electromotores: cómo se hacen y cómo se usan", etc. Con numerosas ilustraciones. 75 centavos.

CAVENDISH: The Electrical Researches of the Honourable Henry Cavendish, F.R.S. Written between 1771 and 1781. Edited from the original manuscripts of the late J. Clerk Maxwell, F.R.S. 8vo. $5.00.

CUMMING: An Introduction to the Theory of Electricity. By Linnæus Cumming, M.A. With Illustrations. 12mo. $2.25.

DAY: Electric Light Arithmetic. By R. E. Day, M.A. 18mo. 40 cents.

EMTAGE: An Introduction to the Mathematical Theory of Electricity and Magnetism. By W. T. A. Emtage, M.A., of Pembroke College, Oxford. 12mo. $1.90.

GRAY: The Theory and Practice of Absolute Measurements in Electricity and Magnetism. By Andrew Gray, M.A., F.R.S.E. In two volumes. Vol. I., 12mo. $3.25. Vol. II. (in two parts). $6.25.

Measurements in Electricity and Magnetism for Beginners. By Andrew Gray, M.A., F.R.S.E. Students' Edition, Abridged from the larger work. 16mo. $1.25.

GUILLEMIN: Electricidad y Magnetismo. Tratado popular. Por Amédée Guillemin, autor de «Las fuerzas de la naturaleza», «Las aplicaciones de las fuerzas físicas», etc. Traducido y editado, con adiciones y notas, por el profesor Silvanus P. Thompson, autor de «Lecciones elementales de electricidad y magnetismo», etc. Con 600 ilustraciones. Super royal 8vo. $8.00.

HAWKINS y WALLIS: The Dynamo. Its Theory, Design, and Manufacture. Por C. C. Hawkins y F. Wallis. Con 190 ilustraciones. $3.00.

HEAVISIDE (Oliver): Electrical Papers. For Advanced Students in Electricity. 2 vols. 8vo. $10.00.

HERTZ (H.): Researches in the Propagation of Electrical Forces. Authorized Translation by D. E. Jones, B.Sc. Illustrated. 8vo. $3.00.

JACKSON (D. C.): A Text-Book on Electro-Magnetism and the Construction of Dynamos. By Dugald C. Jackson, B.S., C.E., Professor of Electrical Engineering, University of Wisconsin. 12mo. $2.25.

LODGE (Oliver J.): Modern Views of Electricity. By Oliver J. Lodge, LL.D., D.Sc., F.R.S. Illustrated. $2.00.

Conductors and Lightning Guards. With Numerous Illustrations. $4.00.

MAXWELL: An Elementary Treatise on Electricity. By James Clerk Maxwell, M.A. Edited by William Garnett, M.A. Second Edition. 8vo. $1.90.

Treatise on Electricity and Magnetism. By James Clerk Maxwell, M.A. 2 vols. 8vo. Second Edition. $8.00.

Volumen suplementario, por J. J. Thomson, M.A. $4.50.

MAYCOCK: A First Book of Electricity and Magnetism.

For the Use of Elementary Science and Art and Engineering Students and General Readers. By W. Perren Maycock, M.I.E.E. With 84 Illustrations. Crown 8vo. 60 cents.

Alumbrado y distribución de energía.

• Ilustrado.
• Completo en tres partes.
• 16mo.
• Rústica.
• 75 centavos cada uno.

MURDOCK: Notes on Electricity and Magnetism. Designed as a companion to Silvanus P. Thompson's "Elementary Lessons in Electricity and Magnetism." By J. B. Murdock, Lieut. U.S.N. 18mo. New Edition. 60 cents.

POOLE: The Practical Telephone Handbook. By Joseph Poole. With 227 Illustrations. Small crown 8vo. $1.00.

PREECE y STUBBS: A Manual of Telephony. By Wm. Henry Preece and Arthur J. Stubbs. $4.50.

RUSSELL: Electric Light Cables and the Distribution of Electricity. By Stuart A. Russell, A.M., I.C.E. With over 100 Illustrations. 12mo. $2.25.

STEWART y GEE: Practical Physics for Schools and Junior Students of Colleges. Por Balfour Stewart, M.A., LL.D., F.R.S., y W. W. Haldane Gee, B.Sc.

Vol. I. Electricidad y Magnetismo. 16mo. 60 centavos.

en Física Práctica Elemental. Por Balfour Stewart, M.A., LL.D., F.R.S., y W. W. Haldane Gee, B.Sc.

Vol. II. Electricidad y Magnetismo. 12mo. $2.25.

THOMSON: Notes on Recent Researches in Electricity and Magnetism. Intended as a Sequel to Professor Clerk Maxwell's "Treatise on Electricity and Magnetism." By J. J. Thomson. 8vo. $4.50.

THOMSON: Reprints of Papers on Electrostatics and Magnetism. By Sir William Thomson, D.C.L., LL.D., F.R.S., F.R.S.E. 8vo. $5.00.

THOMPSON: Elementary Lessons in Electricity and Magnetism. By Silvanus P. Thompson, D.Sc., B.A., F.R.A.S. New Edition. With Illustrations. 16mo. $1.25.

Notas a la misma, por J. B. Murdock. 60 centavos.

WALKER: How to Light a Colliery by Electricity. 4to. Limp. 75 cents.

Iluminación por electricidad. (En prensa.)

WATSON y BURBURY: The Mathematical Theory of Electricity and Magnetism. Por H. W. Watson, D.Sc., F.R.S., y S. H. Burbury, M.A.

Vol. I. Electrostática. 8vo. $2.75.

Vol. I. [][r] II. Magnetismo y Electrodinámica. 8vo. $2.60.

HISTÓRICO.

BALL: Obras de Walter W. Rouse Ball.

Breve historia de las matemáticas. 12mo. 2,60 dólares.

del Estudio de las Matemáticas en Cambridge. 12mo. $1.90.

BARROW: Mathematical Works. Edited by W. Whewell. $2.25.

CAYLEY (Arthur): The Collected Mathematical Papers of. To be completed in ten volumes. Vols. I.–VI. published. $5.50 each.

GOW: Una breve historia de las matemáticas griegas. Por J. Gow. 8vo. $3.00.

HEATH: Diophantos of Alexandria. A Study in the History of Greek Algebra. By T. L. Heath, B.A. 8vo. $2.25.

KLEIN: Lectures on Mathematics. The Evanston Colloquium. Reported by Alexander Ziwet. $1.50.

SMITH (Henry J. S.): Mathematical Papers. With Portrait and Memoir. 2 vols. (En prensa.)

WOOLWICH: Mathematical Papers. Edited by E. J. Brooksmith, B.A. $1.75.

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DE LA HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS. Por WALTER W. ROUSE BALL, miembro y tutor del Trinity College, Cambridge. Segunda edición, revisada. $3.25.

"Si bien lo suficientemente técnico y exacto como para ser de utilidad al especialista en matemáticas como un práctico libro de referencia, está escrito de forma tan clara y familiar que es la mejor obra sobre este tema para el lector general que conocemos. A partir de esta historia, o esbozo histórico, el lector inteligente puede obtener una visión muy completa del progreso de la ciencia matemática desde sus inicios hasta su diferenciación contemporánea en numerosas especialidades, cada una de ellas lo suficientemente importante y difícil como para retener durante toda una vida a una mente brillante, y todas las cuales son fructíferas en sus aplicaciones a las diversas fases de la ciencia moderna y de la industria moderna".–-Science.

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OF ForPrinting [c] THE STUDY OF MATHEMATICS AT CAMBRIDGE.

[c] EL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS EN CAMBRIDGE.

Por WALTER W. ROUSE BALL, 12mo. $1.90.

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DE LAS MATEMÁTICAS GRIEGAS. Por JAMES GOW, 8vo. $3.00.

«Evidently the production of a scholar, and the result of years of laborious research. Mr. Gow divides his history into three parts. The first treats of the decimal scale and Egyptian arithmetic; the second and third parts are concerned with Greek arithmetic and geometry. The largest part of Mr. Gow's history, and that which will probably be the most interesting to the general mathematical reader, is justly devoted to geometry; for it is in this department of mathematics that the acuteness of the Greek mind is most conspicuously seen, and that the continuity of mathematical discovery can be more fully traced. The interesting character of the notes is quite a feature of the book, which is in this respect distinguished from almost all histories of mathematics. It must be to all students of mathematics a most welcome and instructive volume.»–- J. S. Mackay, in The Academy.

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ESTUDIO SOBRE LA HISTORIA DEL ÁLGEBRA GRIEGA. Por T. S. HEATH, B.A., becario del Trinity College, Cambridge. 8vo. 2,00 dólares.

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66 FIFTH AVENUE, NUEVA YORK.