Teoría de funciones

Comenzamos nuestro esbozo del vasto progreso en la teoría de funciones considerando la clase especial llamada funciones elípticas.

Estos fueron desarrollados con riqueza por Abel y Jacobi.

Niels Henrick Abel (1802–1829) nació en Findoë, Noruega, y se preparó para la universidad en la escuela catedralicia de Christiania.

No mostró interés por las matemáticas hasta 1818, cuando B. Holmboe se convirtió en profesor allí y despertó el interés de Abel al asignar problemas originales a la clase. Al igual que Jacobi y muchos otros jóvenes que se convertieron en matemáticos eminentes, Abel encontró el primer ejercicio de su talento en el intento de resolver por álgebra la ecuación general de quinto grado.

En 1821 ingresó en la Universidad de Christiania. Estudió detenidamente las obras de Euler, Lagrange y Legendre. La idea de la inversión de las funciones elípticas se remonta a esta época.

Su extraordinario éxito en el estudio de las matemáticas llevó al gobierno a ofrecerle una beca para que pudiera continuar sus estudios en Alemania y Francia. Tras salir de Noruega en 1825, Abel visitó al astrónomo Schumacher en Hamburgo y pasó seis meses en Berlín, donde entabló una estrecha amistad con August Leopold Crelle (1780–1855) y conoció a Steiner.

Animado por

Abel y Steiner, Crelle comenzó su revista en 1826. Abel comenzó a preparar parte de su trabajo para la imprenta. Su demostración de la imposibilidad de resolver la ecuación general de quinto grado por radicales —impresa por primera vez en 1824 en una forma muy concisa y difícil de comprender— fue elaborada con mayor detalle y publicada en el primer volumen.

También abordó el tema de las series infinitas (en particular, el teorema del binomio, del cual dio en el Journal de Crelle una investigación general rigurosa), el estudio de las funciones y el cálculo integral. Las oscuridades que encontraba por todas partes debido a los métodos imprecisos de análisis predominantes, se esforzó por aclararlas.

Durante poco tiempo dejó Berlín para ir a Freiberg, donde tenía menos interrupciones para trabajar, y fue allí donde realizó investigaciones sobre funciones hiperelípticas y abelianas. En julio de 1826, Abel partió de Alemania rumbo a París ¡sin haber conocido a Gauss! Abel le había enviado a Gauss su demostración de

1824 sobre la imposibilidad de resolver las ecuaciones de quinto grado, a lo cual Gauss nunca prestó atención. Este desaire, y una altivez de espíritu que él asociaba con Gauss, impidieron que el genial Abel fuera a Gotinga. Un sentimiento similar albergó más tarde contra Cauchy. Abel permaneció diez meses en París. Allí conoció a Dirichlet,

Legendre, Cauchy y otros; pero fue poco apreciado. Ya había publicado varias memorias importantes en el Journal de Crelle, pero por los franceses este nuevo periódico apenas era conocido aún, y Abel era demasiado modesto para hablar de su propio trabajo.

Dificultades pecuniarias lo indujeron a regresar a casa tras una segunda breve estancia en Berlín. En Christiania dio clases particulares durante algún tiempo y ejerció como docente. Crelle consiguió por fin un nombramiento para él en

Berlín; pero la noticia no llegó a Noruega hasta después de la muerte de Abel en Froland.82

Casi al mismo tiempo que Abel, Jacobi publicó artículos sobre las funciones elípticas. El tema favorito de Legendre, durante tanto tiempo olvidado, iba por fin a verse enriquecido con algunos descubrimientos extraordinarios.

La ventaja que se derivaba de invertir la integral elíptica de primera especie y tratarla como una función de su amplitud (llamada ahora función elíptica) fue reconocida por Abel y, pocos meses después, también por Jacobi.

Una segunda idea fructuosa, a la que ambos llegaron también de forma independiente, es la introducción de cantidades imaginarias que condujeron a la observación de que las nuevas funciones simulaban a la vez las funciones trigonométricas y las exponenciales. Pues se demostró que, mientras que las funciones trigonométricas tenían solo un período real, y las exponenciales solo uno imaginario, las funciones elípticas poseían ambos tipos de períodos.

Estos dos descubrimientos fueron los cimientos sobre los cuales Abel y Jacobi, cada uno a su manera, erigieron nuevas y bellas estructuras. Abel desarrolló las curiosas expresiones que representan las funciones elípticas mediante series infinitas o cocientes de productos infinitos.

Grandes como fueron los logros de Abel en funciones elípticas, estos se vieron eclipsados por sus investigaciones sobre las que ahora se llaman funciones abelianas.

El teorema de Abel sobre estas funciones fue expuesto por él en varias formas, siendo la más general la que se encuentra en su Mémoire sur une propriété générale d'une classe très-étendue de fonctions transcendentes (1826).

La historia de esta memoria es interesante. Pocos meses después de su llegada a París, Abel la presentó a la Academia Francesa. Cauchy y Legendre fueron designados para examinarla; pero no dijeron nada al respecto hasta después de la muerte de Abel.

En una breve exposición de los descubrimientos en cuestión, publicada por Abel en el Crelle's Journal, en 1829, se hace referencia a dicha memoria. Esto llevó a Jacobi a preguntarle a Legendre qué había sido de ella. Legendre afirma que el manuscrito estaba tan mal escrito que resultaba ilegible, y que se le pidió a Abel que entregara una copia mejor, lo cual omitió hacer.

La memoria permaneció en manos de Cauchy. No fue publicada hasta 1841. Por un singular contratiempo, el manuscrito se perdió antes de que se leyeran las pruebas de imprenta.

En su forma, el contenido de la memoria pertenece al cálculo integral.

Las integrales abelianas dependen de una función irracional $y$ que está conectada con $x$ mediante una ecuación algebraica $F(x,y)=0$.

El teorema de Abel afirma que una suma de tales integrales puede expresarse mediante un número definido $p$ de integrales similares, donde $p$ depende meramente de las propiedades de la ecuación $F(x,y)=0$. Más tarde se demostró que $p$ es el género (deficiencia) de la curva $F(x,y)=0$.

Los teoremas de adición de las integrales elípticas son deducibles del teorema de Abel. Las integrales hiperelípticas introducidas por Abel, y demostradas por él como poseedoras de periodicidad múltiple, son casos especiales de integrales abelianas siempre que $p=\text{o}>3$. La reducción de las integrales abelianas a elípticas ha sido estudiada principalmente por Jacobi, Hermite,

Königsberger, Brioschi, Goursat, E. Picard y O. Bolza, de la Universidad de Chicago.

Se han publicado dos ediciones de las obras de Abel: la primera por Holmboe en 1839, y la segunda por Sylow y Lie en

El teorema de Abel fue calificado por Jacobi como el mayor descubrimiento de nuestro siglo en el cálculo integral. El anciano

Legendre, que admiraba profundamente el genio de Abel, lo llamó «monumentum aere perennius». Durante los pocos años de trabajo concedidos al joven noruego, penetró en nuevos campos de investigación, cuyo desarrollo ha tenido ocupados a los matemáticos durante más de medio siglo.

Algunos de los descubrimientos de Abel y Jacobi fueron anticipados por Gauss. En las Disquisitiones Arithmeticæ observó que los principios que empleó en la división del círculo eran aplicables a muchas otras funciones, además de las circulares, y en particular a las trascendentes dependientes de la integral ${\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}}$.

A partir de esto, Jacobi[]83 concluyó que Gauss había considerado treinta años antes la naturaleza y las propiedades de las funciones elípticas y había descubierto su doble periodicidad. Los artículos en las obras completas de Gauss confirman esta conclusión.

Carl Gustav Jacob Jacobi[]84 (1804–1851) nació de padres judíos en Potsdam. Como muchos otros matemáticos, se inició en las matemáticas leyendo a Euler. En la Universidad de Berlín, donde cursó sus estudios matemáticos con independencia de las clases magistrales, se doctoró en 1825.

Tras dar clases en Berlín durante dos años, fue elegido profesor extraordinario en Königsberg, y dos años más tarde profesor ordinario en la misma institución. Tras la publicación de sus Fundamenta Nova, pasó algún tiempo viajando; conoció a Gauss en Gotinga y a Legendre, Fourier,

Poisson, en París. En 1842, él y su colega Bessel asistieron a las reuniones de la Asociación Británica, donde conocieron a matemáticos ingleses.

Sus primeras investigaciones trataron sobre la aproximación de Gauss al valor de las integrales definidas, las ecuaciones diferenciales parciales, los coeficientes de Legendre y los residuos cúbicos.

Leyó los Ejercicios de Legendre, que versan sobre las integrales elípticas. Cuando devolvió el libro a la biblioteca, estaba deprimido y comentó que los libros importantes solían despertarle nuevas ideas, pero que esta vez no se le había ocurrido ni un solo pensamiento original.

Aunque lento al principio, sus ideas fluyeron después con mucha más riqueza. Muchos de sus descubrimientos sobre las funciones elípticas fueron hechos de manera independiente por Abel.

Jacobi comunicó sus primeras investigaciones al Journal de Crelle. En 1829, a la edad de veinticinco años, publicó sus Fundamenta Nova Theoriæ Functionum Ellipticarum, que contienen de forma condensada los principales resultados sobre las funciones elípticas. Esta obra le aseguró inmediatamente una amplia reputación.

Luego realizó un estudio más profundo de las funciones theta y dio conferencias a sus alumnos sobre una nueva teoría de las funciones elípticas basada en las funciones theta. Desarrolló una teoría de la transformación que lo condujo a multitud de fórmulas que contienen $q$, una función trascendental del módulo, definida por la ecuación $q=e^{-\pi k^{\prime }/k}$.

También fue conducido por ella a considerar las dos nuevas funciones $H$ y $\Theta$, que tomadas cada una por separado con dos argumentos diferentes son las cuatro funciones theta (simples) designadas por ${\Theta }_1$, ${\Theta }_2$, ${\Theta }_3$, ${\Theta }_4$.56

En una breve pero muy importante memoria de 1832, muestra que para la integral hiperelíptica de cualquier clase, las funciones directas a las que hace referencia el teorema de Abel no son funciones de una sola variable, como las elípticas $\mathrm{\backslash sn}$, $\mathrm{\backslash cn}$, $\mathrm{\backslash dn}$, sino funciones de $p$ variables.56

Así, en el caso $p=2$, que Jacobi considera especialmente, se demuestra que el teorema de Abel hace referencia a dos funciones $\lambda (u,v)$, ${\lambda }_1(u,v)$, cada una de dos variables, y proporciona en efecto un teorema de adición para la expresión de las funciones $\lambda (u+u^{\prime },v+v^{\prime })$, ${\lambda }_1(u+u^{\prime },v+v^{\prime })$ algebraicamente en términos de las funciones $\lambda (u,v)$, ${\lambda }_1(u,v)$, $\lambda (u^{\prime },v^{\prime })$, ${\lambda }_1(u^{\prime },v^{\prime })$.

Mediante las memorias de Abel y Jacobi puede considerarse establecida la noción de la función abeliana de $p$ variables y dado el teorema de adición para estas funciones. Estudios recientes sobre las funciones abelianas han sido realizados por Weierstrass,

E. Picard, Madame Kowalevski y Poincaré.

El trabajo de Jacobi sobre ecuaciones diferenciales, determinantes, dinámica y la teoría de números se menciona en otra parte.

En 1842, Jacobi visitó Italia durante unos meses para recuperar su salud. Por entonces, el gobierno prusiano le concedió una pensión y se mudó a Berlín, donde transcurrieron los últimos años de su vida.

Las investigaciones sobre funciones mencionadas hasta ahora han sido ampliamente extendidas. En 1858 Charles Hermite, de París (nacido en 1822), introdujo en lugar de la variable $q$ de Jacobi una nueva variable $\omega$

conectada con ella por la ecuación $q=e^{i\pi \omega }$, de modo que $\omega =i{k}^{\prime }/k$, y fue conducido a considerar las funciones $\varphi (\omega )$, $\psi (\omega )$, $\chi (\omega )$.56 Henry Smith consideró una función theta con el argumento igual a cero, como una función de $\omega$. A esta la llamó función omega, mientras que las tres funciones $\varphi (\omega )$, $\psi (\omega )$, $\chi (\omega )$ son sus funciones modulares. Investigaciones sobre las funciones theta con respecto a argumentos reales e imaginarios han sido realizadas por Meissel, de Kiel,

J. Thomae de Jena, Alfred Enneper de Gotinga (1830–1885).

En 1854, H. Schröter, de Breslau (1829-1892), dio una fórmula general para el producto de dos funciones theta. Estas funciones también han sido estudiadas por Cauchy, Königsberger de

Heidelberg (nacido en 1837), F. S. Richelot de Königsberg (1808–1875),

Johann Georg Rosenhain de Königsberg (1816–1887),

L. Schläfli de Berna (nacido en 1818).85

El método de Legendre para reducir una diferencial elíptica a su forma normal ha suscitado numerosas investigaciones, siendo las más importantes las de Richelot y las de Weierstrass de

Berlín.

Las transformaciones algebraicas de las funciones elípticas implican una relación entre el módulo antiguo y el nuevo que Jacobi expresó mediante una ecuación diferencial de tercer orden, y también mediante una ecuación algebraica, llamada por él «ecuación modular». La noción de las ecuaciones modulares le era familiar a

Abel, pero el desarrollo de este tema recayó en investigadores posteriores. Estas ecuaciones han adquirido importancia en la teoría de las ecuaciones algebraicas, y han sido estudiadas por Sohnke, E. Mathieu, L. Königsberger, E. Betti de Pisa (fallecido

1892), C. Hermite de París, Joubert de Angers, Francesco

Brioschi de Milán, Schläfli, H. Schröter, M. Gudermann de

Cleve, Gützlaff.

Felix Klein, de Gotinga, ha realizado un estudio exhaustivo de las funciones modulares, ocupándose de un tipo de operaciones situadas entre los dos tipos extremos, conocidas como la teoría de sustituciones y la teoría de invariantes y covariantes. La teoría de Klein ha sido presentada en forma de libro por su alumno, Robert Fricke. Los rasgos más audaces de la misma se publicaron por primera vez en su

Icosaeder, 1884. Sus investigaciones abarcan la teoría de las funciones modulares como una clase específica de funciones elípticas, la formulación de un problema más general basado en la doctrina de los grupos de operaciones, y el desarrollo posterior del tema en conexión con una clase de superficies de Riemann.

Las funciones elípticas fueron expresadas por Abel como cocientes de productos doblemente infinitos. Sin embargo, no investigó rigurosamente la convergencia de dichos productos.

En 1845, Cayley estudió estos productos y desarrolló para ellos una teoría completa, basada en parte en la interpretación geométrica, que estableció como la base de toda la teoría de las funciones elípticas.

Eisenstein analizó mediante métodos puramente analíticos el producto doblemente infinito general y llegó a resultados cuya forma ha sido simplificada enormemente por la teoría de los factores primarios, debida a Weierstrass.

Una cierta función que involucra un producto doblemente infinito ha sido denominada por Weierstrass la función sigma, y constituye la base de su hermosa teoría de las funciones elípticas.

La primera exposición sistemática de la teoría de las funciones elípticas de Weierstrass fue publicada en 1886 por G. H. Halphen en su Théorie des fonctions elliptiques et des leurs applications.

A. G. Greenhill también ha proporcionado aplicaciones de estas funciones.

Felix Klein ha realizado generalizaciones análogas a las de Weierstrass sobre las funciones elípticas aplicadas a las funciones hiperelípticas.

Las obras estándar sobre funciones elípticas han sido publicadas por

Briot y Bouquet (1859), por Königsberger, Cayley, Heinrich

Durège de Praga (1821-1893) y otros.

El trabajo de Jacobi sobre las funciones abelianas y theta fue ampliado enormemente por Adolph Göpel (1812–1847), profesor en un gimnasio cerca de Potsdam, y Johann Georg Rosenhain, de Königsberg

(1816–1887). Göpel en su obra en latín Theoriæ transcendentium primi ordinis adumbratio levis (Crelle, 35, 1847) y Rosenhain en varias memorias establecieron de forma independiente, por analogía con las funciones theta simples, las funciones de dos variables, llamadas funciones theta dobles, y desarrollaron en relación con ellas la teoría de las funciones abelianas de dos variables.

Las relaciones theta establecidas por Göpel y Rosenhain no recibieron desarrollo alguno durante treinta años, a pesar de que las series theta dobles adquirieron una importancia creciente en problemas analíticos, geométricos y mecánicos, y de que Hermite y Königsberger habían considerado el tema de la transformación.

Finalmente, las investigaciones de C. W. Borchardt, de Berlín (1817–1880), relativas a la representación de la superficie de Kummer mediante la relación bicuadrática de Göpel entre cuatro funciones theta de dos variables, y las investigaciones de H. H. Weber, de Marburgo, F. Prym, de Wurzburgo, Adolf Krazer y

Martin Krause, de Dresde, condujo a puntos de vista más amplios. Las investigaciones sobre las funciones theta dobles, realizadas por Cayley, fueron extendidas a las funciones theta cuádruples por Thomas Craig de los Johns

Universidad Hopkins.

Partiendo de las integrales de la forma más general y considerando las funciones inversas correspondientes a estas integrales (las funciones abelianas de $p$ variables), Riemann definió las funciones theta de $p$ variables como la suma de una serie infinitamente $puple$ de exponenciales, cuyo término general depende de $p$ variables.

Riemann demuestra que las funciones abelianas están conectadas algebraicamente con las funciones theta de los argumentos apropiados, y presenta la teoría de la forma más amplia.56 Cimenta la teoría de las funciones theta múltiples sobre los principios generales de la teoría de funciones de una variable compleja.

Por medio de las investigaciones de A. Brill, de Tubinga; M. Nöther, de Erlangen, y Ferdinand Lindemann, de Múnich, realizadas en relación con el teorema de Riemann-Roch y la teoría de la residuación, ha surgido, a partir de la teoría de las funciones abelianas, una teoría de las funciones algebraicas y de los grupos de puntos sobre curvas algebraicas.

Antes de pasar a la teoría general de funciones, hacemos mención del «cálculo de funciones», estudiado principalmente por C. Babbage, J. F. W. Herschel y De Morgan, que no era tanto una teoría de funciones como una teoría de la resolución de ecuaciones funcionales mediante funciones o símbolos conocidos.

La historia de la teoría general de funciones comienza con la adopción de nuevas definiciones de función.

Con los Bernoulli y Leibniz, se decía que $y$ era una función de $x$ si existía una ecuación entre estas variables que permitía calcular $y$ para cualquier valor dado de $x$ situado en cualquier lugar entre $-\infty$ y $+\infty$.

El estudio de la teoría del calor de Fourier condujo a Dirichlet a una nueva definición: se llama a $y$ función de $x$ si $y$ posee uno o más valores definidos para cada uno de ciertos valores que se supone que toma $x$ en un intervalo de $x_0$ a $x_1$. En las funciones así definidas, no es necesario que exista una conexión analítica entre $y$ y $x$, y se hace necesario buscar posibles discontinuidades.

Una gran revolución en las ideas sobre una función fue provocada por Cauchy cuando, en una función tal como la definió Dirichlet, dio a las variables valores imaginarios, y cuando extendió la noción de integral definida haciendo que la variable pasara de un límite a otro mediante una sucesión de valores imaginarios a lo largo de trayectorias arbitrarias.

Cauchy estableció varios teoremas fundamentales y dio el primer gran impulso al estudio de la teoría general de funciones. Sus investigaciones fueron continuadas en Francia por Puiseux y Liouville. Pero en Alemania, Riemann realizó investigaciones más profundas.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866) nació en

Breselenz en Hannover. Su padre deseaba que estudiase teología, y en consecuencia comenzó estudios filológicos y teológicos en Gotinga. Asistió también a algunas clases de matemáticas. Tal era su predilección por esta ciencia que abandonó la teología. Tras estudiar durante un tiempo bajo la tutela de Gauss y Stern, fue atraído, en 1847, a Berlín por una pléyade de matemáticos, entre los que brillaban Dirichlet,

Jacobi, Steiner y Eisenstein. Returning to Göttingen in

1850, he studied physics under Weber, and obtained the doctorate the following year. The thesis presented on that occasion, Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen complexen Grösse, excited the admiration of Gauss to a very unusual degree, as did also Riemann's trial lecture, Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen.

Riemann's Habilitationsschrift was on the Representation of a Function by means of a Trigonometric Series, in which he advanced materially beyond the position of Dirichlet.

Our hearts are drawn to this extraordinarily gifted but shy genius when we read of the timidity and nervousness displayed when he began to lecture at Göttingen, and of his jubilation over the unexpectedly large audience of eight students at his first lecture on differential equations.

Más tarde dio una conferencia sobre funciones abelianas a una clase de solo tres personas: Schering, Bjerknes y Dedekind. Gauss murió en 1855, y le sucedió Dirichlet. A la muerte de este último, en 1859, Riemann fue nombrado profesor ordinario. En 1860 visitó París, donde conoció a matemáticos franceses. El delicado estado de su salud lo indujo a ir a Italia tres veces. Murió en su último viaje en Selasca y fue enterrado en Biganzolo.

Como todas las investigaciones de Riemann, las sobre las funciones fueron profundas y de gran alcance.

Sentó las bases para una teoría general de funciones de una variable compleja. La teoría del potencial, que hasta entonces se había utilizado únicamente en física matemática, fue aplicada por él a las matemáticas puras.

En consecuencia, basó su teoría de funciones en la ecuación diferencial parcial, ${\displaystyle \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}}+{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}}=\Delta u=0$, que debe cumplirse para la función analítica $w=u+iv$ de $z=x+iy$.

Dirichlet había demostrado que (para un plano) siempre existe una, y solo una, función de $x$ e $y$ que satisface $\Delta u=0$, y que, junto con sus cocientes diferenciales de los primeros dos órdenes, es monovaluada y continua para todos los valores de $x$ e $y$ dentro de un área dada, y que tiene valores dados arbitrariamente para los puntos en la frontera del área.86

Riemann llamó a esto "el principio de Dirichlet", pero el mismo teorema fue enunciado por Green y demostrado analíticamente por Sir William

Thomson. De esto se deduce entonces que $w$ queda unívocamente determinado para todos los puntos dentro de una superficie cerrada, si $u$ se da arbitrariamente para todos los puntos de la curva, mientras que $v$ se da para un punto dentro de la curva.

Para tratar el caso más complicado en el que $w$ tiene $n$ valores para un valor de $z$, y para observar las condiciones acerca de la continuidad, Riemann inventó las celebres superficies, conocidas como "superficies de Riemann", que constan de $n$ planos u hojas coincidentes, tales que el paso de una hoja a otra se realiza en los puntos de ramificación, y que las $n$ hojas forman juntas una superficie múltiplemente conexa, la cual puede diseccionarse mediante cortes transversales para formar una superficie simplemente conexa.

La función de $n$ valores $w$ se convierte así en una función de un solo valor. Auxiliado por las investigaciones de J. Lüroth de Furgoburgo y de Clebsch,

W. K. Clifford llevó la superficie de Riemann para funciones algebraicas a una forma canónica, en la cual solo las dos últimas de las $n$ hojas son múltiplemente conexas, y luego transformó la superficie en la superficie de un sólido con $p$ agujeros.

A. Hurwitz, de Zúrich, discutió la cuestión de hasta qué punto una superficie de Riemann está determinada por la asignación de su número de hojas, sus puntos de ramificación y sus líneas de ramificación.62

La teoría de Riemann establece los criterios que determinarán una función analítica con la ayuda de sus discontinuidades y condiciones de contorno, y define así una función independientemente de una expresión matemática. Para demostrar que dos expresiones distintas son idénticas, no es necesario transformar la una en la otra, sino que basta con probar la coincidencia en una medida mucho menor, meramente en ciertos puntos críticos.

La teoría de Riemann, tal como se basa en el principio de Dirichlet (el teorema de Thomson), no está libre de objeciones.

Se ha hecho evidente que la existencia de una función derivada no es consecuencia de la continuidad, y que una función puede ser integrable sin ser diferenciable.

No se sabe hasta qué punto los métodos del cálculo infinitesimal y del cálculo de variaciones (mediante los cuales se establece el principio de Dirichlet) pueden aplicarse a una función analítica desconocida en su generalidad.

De ahí que el uso de estos métodos dotará a las funciones de propiedades que por sí mismas requieren demostración. Objeciones de este tipo a la teoría de Riemann han sido planteadas por Kronecker,

Weierstrass y otros, y se ha puesto en duda si sus teoremas más importantes están realmente demostrados. Como consecuencia de esto, se ha intentado injertar las especulaciones de Riemann en los métodos de raíces más firmes de Weierstrass. Este último desarrolló una teoría de funciones partiendo, no de la teoría del potencial, sino de expresiones y operaciones analíticas. Ambos aplicaron sus teorías a las funciones abelianas, pero en ese aspecto el trabajo de Riemann es más general.86

La teoría de las funciones de una variable compleja ha sido estudiada desde la época de Riemann principalmente por Karl Weierstrass de

Berlín (nacido en 1815), Gustaf Mittag-Leffler de Estocolmo (nacido

1846), y Poincaré de París.

De las tres clases de tales funciones (a saber, funciones uniformes en todas partes, funciones uniformes únicamente en espacios lagunares y funciones no uniformes), Weierstrass demostró que aquellas funciones de la primera clase que pueden desarrollarse según potencias crecientes de $x$ en series convergentes, pueden descomponerse en un producto de un número infinito de factores primarios.

Un factor primario de la especie $n$ es el producto $(1-{\displaystyle \frac{x}{a}})e^{P(x)}$, siendo $P(x)$ un polinomio entero de grado $n$.

Una función de la especie $n$ es aquella cuyos factores primarios son todos de la especie $n$. Esta clasificación dio lugar a muchos problemas interesantes estudiados también por Poincaré.

La primera de las tres clases de funciones de una variable compleja abarca, entre otras, funciones que poseen un número infinito de puntos singulares, pero ninguna línea singular y, al mismo tiempo, ningún punto singular aislado.

Estas son las funciones fucsianas, que existen en toda su extensión. Poincaré dio por primera vez un ejemplo de tal función.

Las funciones uniformes de dos variables, inalteradas por ciertas sustituciones lineales, llamadas funciones hiperfuchsianas, han sido estudiadas por E. Picard, de París, y por Poincaré.81

Las funciones de la segunda clase, uniformes únicamente en espacios lacunares, fueron señaladas por primera vez por Weierstrass.

Las funciones fucsianas y kleinianas no existen por lo general, excepto en el interior de un círculo o de un dominio acotado de otro modo, y son por tanto ejemplos de funciones de la segunda clase.

Poincaré ha demostrado cómo generar funciones de esta clase y las ha estudiado siguiendo las líneas trazadas por Weierstrass.

Es importante su demostración de que no hay forma de generalizarlas de modo que se supriman las lagunas.

Las funciones multiformes están mucho menos desarrolladas que las clases precedentes, a pesar de que sus propiedades en las inmediaciones de un punto dado se han estudiado con diligencia, y de que la utilización de las superficies de Riemann ha arrojado mucha luz sobre ellas.

Con el propósito de reducir su estudio al de las trascendentes uniformes, Poincaré demostró que si $y$ es una función analítica multiforme cualquiera de $x$, siempre es posible encontrar una variable $z$ tal que $x$ e $y$ sean funciones uniformes de $z$.

Weierstrass y Darboux han dado sendos ejemplos de funciones continuas que no tienen derivadas. Antiguamente se había supuesto en general que toda función tenía derivada.

Ampère fue el primero que intentó demostrar analíticamente

(1806) la existencia de una derivada, pero la demostración no es válida. Al tratar con funciones discontinuas, Darboux estableció rigurosamente la condición necesaria y suficiente para que una función continua o discontinua sea susceptible de integración. Dio una nueva prueba del cuidado que debe ejercerse en el uso de series al dar un ejemplo de una serie siempre convergente y continua, tal que la serie formada por las integrales de los términos es siempre convergente, y sin embargo no representa la integral de la primera serie.87

La teoría general de las funciones de dos variables ha sido investigada hasta cierto punto por Weierstrass y Poincaré.

H. A. Schwarz de Berlín (nacido en 1845), alumno de Weierstrass, ha dado la representación conforme (Abbildung) de varias superficies sobre un círculo. Al transformar mediante ciertas sustituciones un polígono limitado por arcos circulares en otro también limitado por arcos circulares, fue conducido a una notable ecuación diferencial $\psi (u^{\prime },t)=\psi (u,t)$, donde $\psi (u,t)$ es la expresión que Cayley denomina la "derivada schwarziana".

y que llevó a Sylvester a la teoría de los recíprocos.

Los desarrollos de Schwarz sobre superficies mínimas, su trabajo en series hipergeométricas y sus investigaciones sobre la existencia de soluciones a importantes ecuaciones en derivadas parciales bajo condiciones prescritas le han asegurado un lugar prominente en la literatura matemática.

La teoría moderna de funciones de una variable real fue desarrollada por primera vez por H. Hankel, Dedekind, G. Cantor, Dini y

Heine, y llevado más adelante, principalmente, por Weierstrass,

Schwarz, Du Bois-Reymond, Thomae y Darboux. Hankel estableció el principio de la condensación de singularidades;

Dedekind y Cantor dieron definiciones para los números irracionales;

las integrales definidas fueron estudiadas por Thomae, Du Bois-Reymond y Darboux siguiendo las líneas indicadas por las definiciones de tales integrales dadas por Cauchy, Dirichlet y Riemann. Dini escribió un libro de texto sobre funciones de una variable real (1878), que fue traducido al alemán, con adiciones, por J. Lüroth y

A. Schepp. Importantes trabajos sobre la teoría de funciones son el Cours de M. Hermite, la Théorie des Fonctions d'une variable seule de Tannery, A Treatise on the Theory of Functions de James Harkness y Frank Morley, y Theory of Functions of a Complex Variable de A. R. Forsyth.