En el capítulo precedente nos esforzamos por ofrecer una visión instantánea del rápido avance de la geometría sintética. En relación con el hiperespacio, también mencionamos los tratados analíticos.
La geometría sintética moderna y la geometría analítica moderna tienen mucho en común, y pueden agruparse bajo el nombre común de "geometría proyectiva". Cada una tiene ventajas sobre la otra.
- La contemplación directa y continua de las figuras como existentes en el espacio añade un encanto excepcional al estudio de la primera, pero la segunda tiene la ventaja de que una rutina bien establecida puede, en cierto grado, adelantarse al pensamiento mismo y, de este modo, ayudar a la investigación original.
Mientras que en Alemania Steiner y von Staudt desarrollaron la geometría sintética,
Plücker sentó las bases de la geometría analítica moderna.
Julius Plücker (1801–1868) nació en Elberfeld, en Prusia. Tras estudiar en Bonn, Berlín y Heidelberg, pasó un corto periodo en París asistiendo a las conferencias de Monge y de sus discípulos.
Entre 1826 y 1836 ocupó sucesivamente puestos en Bonn, Berlín y Halle. Después pasó a ser profesor de física en Bonn.
Hasta 1846 sus investigaciones originales versaron sobre geometría. En 1828 y en 1831 publicó sus Analytisch-Geometrische Entwicklungen en dos volúmenes. En ellos adoptó la notación abreviada (utilizada antes que él de un modo más restringido por Bobillier) y evitó el tedioso proceso de eliminación algebraica mediante una consideración geométrica. En el segundo volumen, el principio de dualidad se formula de manera analítica.
Con él, la dualidad y la homogeneidad encontraron expresión ya en su sistema de coordenadas. El sistema homogéneo o trilineal utilizado por él es muy similar a las coordenadas de Möbius. En la identidad de la operación analítica y la construcción geométrica, Plücker buscó la fuente de sus demostraciones.
El System der Analytischen Geometrie, de 1835, contiene una clasificación completa de las curvas planas de tercer orden, basada en la naturaleza de los puntos en el infinito. El
Theorie der Algebraischen Curven, de 1839, contiene, además de una enumeración de curvas de cuarto orden, las relaciones analíticas entre las singularidades ordinarias de las curvas planas conocidas como «ecuaciones de Plücker», mediante las cuales pudo explicar la «paradoja de Poncelet».
El descubrimiento de estas relaciones es, según Cayley, «el más importante sin comparación alguna de todo el tema de la geometría moderna».
Pero en Alemania las investigaciones de Plücker no encontraron favor alguno. ¡Se declaró que su método era improductivo en comparación con el método sintético de Steiner y Poncelet! Sus relaciones con Jacobi no eran del todo amistosas. Steiner declaró en una ocasión que dejaría de escribir para el Crelle's Journal si Plücker seguía colaborando en él.66 El resultado fue que muchas de las investigaciones de Plücker se publicaron en revistas extranjeras, y que su obra llegó a ser más conocida en Francia e Inglaterra que en su propio país.
A Plücker se le achacó también que, a pesar de ocupar la cátedra de física, no era físico. Esto le indujo a abandonar las matemáticas y a consagrar sus energías a la física durante casi veinte años. Realizó importantes descubrimientos sobre la superficie ondulatoria de Fresnel, el magnetismo y el análisis espectral.
Pero hacia el final de su vida volvió a su primer amor, la matemática, y la enriqueció con nuevos descubrimientos. Al considerar el espacio como compuesto de líneas, creó una "nueva geometría del espacio". Considerando una línea recta como una curva que implica cuatro parámetros arbitrarios, se tiene todo el sistema de líneas en el espacio. Al conectarlas mediante una sola relación, obtuvo un "complejo" de líneas; al conectarlas con una relación doble, obtuvo una "congruencia" de líneas. Sus primeras investigaciones sobre este tema fueron presentadas ante la Real Sociedad en 1865. Sus posteriores investigaciones al respecto aparecieron en 1868 en una obra póstuma titulada Neue Geometrie des Raumes gegründet auf die Betrachtung der geraden Linie als Raumelement, editada por Felix Klein. El análisis de Plücker carece de la elegancia que se encuentra en Lagrange, Jacobi, Hesse y Clebsch.
Desde hacía muchos años no se había mantenido al día con los progresos de la geometría, de modo que muchas investigaciones de su última obra ya habían recibido un tratamiento más general por parte de otros.
La obra contenía, sin embargo, mucho que era nuevo y original. La teoría de los complejos de segundo grado, dejada inconclusa por Plücker, fue continuada por Felix Klein, quien amplió y complementó en gran medida las ideas de su maestro.
Ludwig Otto Hesse (1811–1874) was born at Königsberg, and studied at the university of his native place under Bessel,
Jacobi, Richelot y F. Neumann.
Tras haberse doctorado en 1840, se convirtió en docent en Königsberg, y en 1845, en profesor extraordinario en dicha ciudad. Entre sus alumnos de entonces se encontraban Durège, Carl Neumann, Clebsch y Kirchhoff.
El periodo de Königsberg fue de una gran actividad para Hesse. Cada nuevo descubrimiento incrementaba su celo por alcanzar logros aún mayores.
Sus primeras investigaciones versaron sobre superficies de segundo orden y fueron parcialmente sintéticas. Resolvió el problema de construir cualquier décimo punto de dicha superficie cuando se dan nueve puntos. El problema análogo para una cónica había sido resuelto por Pascal mediante el hexagrama.
Un problema difícil al que se enfrentaban los matemáticos de esta época era el de la eliminación. Plücker se había dado cuenta de que la principal ventaja de su método especial en geometría analítica residía en evitar la eliminación algebraica. Hesse, sin embargo, mostró cómo, mediante determinantes, se podía facilitar la eliminación algebraica. En sus primeros resultados se le adelantó Sylvester, quien publicó su método dialítico de eliminación en 1840.
Estos avances en álgebra los aplicó Hesse al estudio analítico de las curvas de tercer orden. Mediante sustituciones lineales, redujo una forma de tercer grado en tres variables a una de tan solo cuatro términos, y fue conducido a un determinante importante que involucra el segundo coeficiente diferencial de una forma de tercer grado, llamado el «hessiano».
El "hessiano" desempeña un papel protagonista en la teoría de los invariantes, un tema estudiado por primera vez por Cayley. Hesse demostró que su determinante proporciona para cada curva otra curva, de tal modo que los puntos dobles de la primera son puntos de la segunda, o "hessiano".
De manera similar para las superficies (Crelle, 1844).
Muchos de los teoremas más importantes sobre curvas de tercer orden se deben a Hesse. Determinó la curva de orden 14, que pasa por los 56 puntos de contacto de las 28 bitangentes de una curva de cuarto orden.
Su gran memoria sobre este tema (Crelle, 1855) se publicó al mismo tiempo que un artículo de Steiner que trataba el mismo asunto.
Los ingresos de Hesse en Königsberg no habían estado a la altura de su creciente reputación. Apenas podía mantenerse a sí mismo y a su familia. En 1855 aceptó un puesto más lucrativo en Halle, y en 1868 uno en Heidelberg.67
Aquí permaneció hasta 1868, cuando aceptó un puesto en una escuela técnica en Múnich.
En Heidelberg revisó y amplió sus investigaciones anteriores, y publicó en 1861 sus Vorlesungen über die Analytische Geometrie des Raumes, insbesondere über Flächen 2. Ordnung. Obras más elementales no tardaron en seguir.
Estando en Heidelberg elaboró un principio, su «Uebertragungsprincip» (principio de transferencia). De acuerdo con este, a cada punto en un plano le corresponde un par de puntos en una línea, y la geometría proyectiva del plano puede reducirse a la geometría de los puntos en una línea.
Las investigaciones de Plücker y Hesse fueron continuadas en Inglaterra por Cayley, Salmon y Sylvester.
Puede premisas aquí que entre los primeros escritores sobre geometría analítica en Inglaterra se encontraban James Booth (1806–1878), cuyos principales resultados se plasman en su obra Treatise on Some New Geometrical Methods; y James MacCullagh (1809–1846), que fue profesor de filosofía natural en Dublín y realizó algunos descubrimientos valiosos sobre la teoría de las cuádricas.
La influencia de estos hombres en el progreso de la geometría fue insignificante, ya que el intercambio de resultados científicos entre diferentes naciones no era en aquel entonces tan completo como cabría haber deseado. Como mayor ilustración de esto, mencionamos que Chasles, en Francia, desarrolló temas de los que Steiner ya se había ocupado previamente en
Alemania, y Steiner publicaron investigaciones que habían sido dadas por Cayley, Sylvester y Salmon casi cinco años antes.
Cayley y Salmon en 1849 determinaron las líneas rectas en una superficie cúbica y estudiaron sus principales propiedades, mientras que Sylvester en 1851 descubrió el pentaedro de dicha superficie.
Cayley extendió las ecuaciones de Plücker a curvas de singularidades superiores. Las propias investigaciones de Cayley, y las de M. Nöther de Erlangen, G. H. Halphen (1844–1889) del
Escuela Politécnica de París, De La Gournerie de París, A. Brill de Tubinga, conducen a la conclusión de que cada singularidad superior de una curva es equivalente a cierto número de singularidades simples —el nodo, la cúspide ordinaria, la tangente doble y la inflexión—. Sylvester estudió el «cartesiano retorcido»,
una curva de cuarto orden. Salmon contribuyó poderosamente a la difusión del conocimiento de los nuevos métodos algebraicos y geométricos mediante la publicación de una excelente serie de libros de texto (Conic Sections, Modern Higher Algebra, Higher Plane Curves, Geometry of Three Dimensions), que han sido puestos al alcance de los lectores alemanes gracias a una traducción libre, con adiciones, realizada por Wilhelm Fiedler del
Polytechnicum de Zúrich. El siguiente gran trabajador en el campo de la geometría analítica fue Clebsch.
Rudolf Friedrich Alfred Clebsch (1833–1872) nació en Königsberg, en Prusia, estudió en la universidad de dicho lugar bajo la tutela de Hesse, Richelot y F. Neumann.
De 1858 a 1863 ocupó la cátedra de mecánica teórica en el Polytechnicum de Karlsruhe. El estudio de las obras de Salmon lo introdujo en el álgebra y la geometría.
En 1863 aceptó un puesto en la Universidad de Giessen, donde trabajó junto con Paul Gordan (actualmente en Erlangen). En 1868 Clebsch se marchó a
Gotinga, y permaneció allí hasta su muerte. Trabajó sucesivamente en los siguientes temas:
- Física matemática,
- el cálculo de variaciones y las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden,
- la teoría general de curvas y superficies,
- las funciones abelianas y su uso en la geometría,
- la teoría de invariantes, y
- «Flächenabbildung».68
Demostró teoremas sobre el pentaedro enunciados por Sylvester y Steiner; hizo un uso sistemático del «defecto» (Geschlecht) como principio fundamental en la clasificación de curvas algebraicas. La noción de defecto ya era conocida antes que él por Abel y Riemann.
Al comienzo de su carrera, Clebsch había demostrado cómo las funciones elípticas podían aplicarse con ventaja al problema de Malfatti.
La idea implícita en ello, a saber, el uso de trascendentes superiores en el estudio de la geometría, lo condujo a sus mayores descubrimientos. No solo aplicó las funciones abelianas a la geometría, sino que, a la inversa, puso la geometría al servicio de las funciones abelianas.
Clebsch hizo un uso liberal de los determinantes. Su estudio de curvas y superficies comenzó con la determinación de los puntos de contacto de las líneas que cortan a una superficie en cuatro puntos consecutivos. Salmon había demostrado que estos puntos yacen en la intersección de la superficie con una superficie derivada del grado , pero su solución se dio en una forma inconveniente. La investigación de Clebsch al respecto es una pieza de análisis bellísima.
La representación de una superficie sobre otra (Flächenabbildung), de modo que tengan una correspondencia , fue estudiada a fondo por primera vez por Clebsch. La representación de una esfera sobre un plano es un viejo problema que atrajo la atención de Ptolomeo, Gerard Mercator, Lambert,
Gauss, Lagrange. Su importancia en la construcción de mapas es obvia.
Gauss fue el primero en representar una superficie sobre otra con vistas a llegar más fácilmente a sus propiedades.
Plücker, Chasles, Cayley, representaron de este modo sobre un plano la geometría de las superficies cuádricas; Clebsch y Cremona, la de las superficies cúbicas.
Otras superficies han sido estudiadas del mismo modo por escritores recientes, en particular el Sr. Nöther de Erlangen,
Armenante, Felix Klein, Korndörfer, Caporali, H. G. Zeuthen de Copenhague.
Una cuestión fundamental que hasta ahora solo ha recibido una respuesta parcial es la siguiente: ¿Qué superficies pueden ser representadas por una correspondencia sobre una superficie dada?
Esta y la cuestión análoga para curvas fueron estudiadas por Clebsch. Las correspondencias superiores entre superficies han sido investigadas por Cayley y Nöther.
La teoría de superficies también ha sido estudiada por Joseph Alfred Serret (1819–1885), profesor en la Sorbona de París, Jean Gaston Darboux de París,
John Casey de Dublín (fallecido en 1891), W. R. W. Roberts de Dublín,
H. Schröter (1829–1892) de Breslau. Las superficies de cuarto orden fueron investigadas por Kummer, y la superficie de onda de Fresnel, estudiada por Hamilton, es un caso particular de
La superficie cuártica de Kummer, con dieciséis puntos canónicos y dieciséis planos tangentes singulares.56
El cálculo infinitesimal fue aplicado por primera vez a la determinación de la medida de curvatura de las superficies por Lagrange,
Euler y Meusnier (1754–1793) de París. A continuación siguieron las investigaciones de Monge y Dupin, pero fueron eclipsadas por la obra de Gauss, quien resolvió este difícil tema de un modo que abrió nuevas perspectivas a los geómetras. Su tratamiento se plasma en las Disquisitiones generales circa superficies curvas (1827) y en los Untersuchungen über gegenstände der höheren Geodäsie de 1843 y 1846.
Él definió la medida de la curvatura en un punto como el recíproco del producto de los dos radios principales de curvatura en dicho punto. De esto se deriva el teorema de Johann August Grunert (1797–1872;
profesor en Greifswald), que la media aritmética de los radios de curvatura de todas las secciones normales que pasan por un punto es el radio de una esfera que tiene la misma medida de curvatura que la superficie en ese punto. La deducción de Gauss de la fórmula de curvatura fue simplificada mediante el uso de determinantes por Heinrich Richard Baltzer (1818–1887) de Giessen.69
Gauss obtuvo un teorema interesante: si una superficie es desarrollada (abgewickelt) sobre otra, la medida de curvatura permanece inalterada en cada punto. La cuestión de si dos superficies que tienen la misma curvatura en puntos correspondientes pueden desenrollarse una sobre la otra fue respondida por F. Minding en afirmativo solo cuando la curvatura es constante. El caso de curvatura variable es difícil, y fue estudiado por Minding, J. Liouville (1806–1882), de la Politécnica
Escuela de París, Ossian Bonnet de París (fallecido en 1892).
La medida de curvatura de Gauss, expresada como una función de coordenadas curvilíneas, dio un impulso al estudio de los invariantes diferenciales, o parámetros diferenciales, que han sido investigados por Jacobi, C. Neumann, sir James Cockle,
Halphen, y elaborado en una teoría general por Beltrami,
S. Lie y otros. Beltrami también demostró la conexión entre la medida de curvatura y los axiomas geométricos.
Varias investigaciones se han agrupado bajo el título de «analysis situs». El tema fue investigado por primera vez
Leibniz, y fue tratado más tarde por Gauss, cuya teoría de nudos (Verschlingungen) ha sido empleada recientemente por J. B. Listing, O. Simony, F. Dingeldey y otros en sus «estudios topológicos».
Tait fue conducido al estudio de los nudos por la teoría de átomos de vórtice de Sir William Thomson.
En manos de Riemann, el analysis situs tenía por objeto la determinación de lo que permanece inalterado bajo transformaciones provocadas por una combinación de distorsiones infinitesimales. Como continuación de su trabajo, Walter Dyck, de Múnich, escribió sobre el analysis situs de los espacios tridimensionales.
De los manuales de geometría aún no mencionados, debe hacerse referencia a las Vorlesungen über Geometrie de Alfred Clebsch, editadas por Ferdinand Lindemann, actualmente en Múnich; al de Frost