Se ha visto que en Francia se hicieron prodigiosos progresos científicos durante principios y mediados del siglo XVII.

La tolerancia que caracterizó los reinados de Enrique IV y Luis XIII estuvo acompañada de una intensa actividad intelectual.

Se depositó una confianza extraordinaria en el poder de la mente humana. Las audaces conquistas intelectuales de Descartes, Fermat y Pascal enriquecieron las matemáticas con tesoros imperisibles.

Durante la primera parte del reinado de Luis XIV contemplamos el esplendor crepuscular de este glorioso periodo. A esto le siguió una noche de eclosión mental afeminada.

Esta escasez de grandes pensadores científicos durante el reinado de Luis XIV puede deberse al simple hecho de que no nacieron grandes mentes; pero, según Buckle, se debió al paternalismo, al espíritu de dependencia y subordinación, y a la falta de tolerancia que caracterizaron la política de Luis XIV.

A falta de grandes pensadores franceses, Luis XIV se rodeó de eminentes extranjeros. Römer, de Dinamarca,

Huygens from Holland, Dominic Cassini from Italy, were the mathematicians and astronomers adorning his court. They were in possession of a brilliant reputation before going to Paris.

Simply because they performed scientific work in Paris, that work belongs no more to France than the discoveries of Descartes belong to Holland, or those of Lagrange to Germany, or those of Euler and Poncelet to Russia.

We must look to other countries than France for the great scientific men of the latter part of the seventeenth century.

Por la época en que Luis XIV asumió la dirección del gobierno francés, Carlos II se convirtió en rey de Inglaterra.

Por entonces Inglaterra estaba extendiendo su comercio y su navegación, y avanzaba considerablemente en prosperidad material. Se produjo un fuerte movimiento intelectual, que fue apoyado involuntariamente por el rey.

A la era de la poesía le siguió pronto una era de ciencia y filosofía. ¡En dos siglos sucesivos Inglaterra produjo a Shakespeare y a Newton!

Alemania seguía sumida en un estado de degradación nacional. La guerra de los Treinta Años había desmembrado el imperio y brutalizado al pueblo. Sin embargo, este período más oscuro de la historia de Alemania produjo a Leibniz, uno de los más grandes genios de los tiempos modernos.

Hay ciertos puntos focales en la historia hacia los cuales convergen las líneas del progreso pasado, y desde los cuales se irradian los avances del futuro. Tal fue la era de Newton y Leibniz en la historia de las matemáticas.

Durante los cincuenta años que precedieron a esta era, varios de los más brillantes y agudos matemáticos volcaron la fuerza de su genio en una dirección que finalmente condujo al descubrimiento del cálculo infinitesimal por parte de Newton y Leibniz. Cavalieri, Roberval, Fermat, Descartes, Wallis y otros habían contribuido cada uno a la nueva geometría.

Tan grande fue el avance logrado, y tan cerca estuvieron de la invención del análisis infinitesimal, que tanto Lagrange como Laplace declararon que su compatriota Fermat era el verdadero inventor del mismo. El cálculo diferencial, por lo tanto, no fue tanto un descubrimiento individual como el gran resultado de una sucesión de descubrimientos de distintas mentes.

En verdad, ningún gran descubrimiento ha brotado jamás en la mente de golpe, y aunque los de Newton influirán en la humanidad hasta el fin del mundo, hay que admitir que los versos de Pope son tan solo una «fantasía poética»:–-

Dios dijo: «Hágase Newton», y la luz se hizo.

" Nature and Nature's laws lay hid in night; " [][c]God said, `Let Newton be,' and all was light."

Isaac Newton (1642-1727) was born at Woolsthorpe, in

Lincolnshire, el mismo año en que murió Galileo. Al nacer era tan pequeño y débil que se temió por su vida. Su madre lo envió a una edad temprana a una escuela rural, y en su duodécimo año a la escuela pública de Grantham.

Al principio parece haber prestado muy poca atención a sus estudios y haber ocupado un puesto muy bajo en la clase; pero cuando, un día, el pequeño Isaac recibió una fuerte patada en el estómago de parte de un chico que lo superaba, se esforzó duramente hasta situarse en la escuela por encima de su antagonista. A partir de ese momento siguió ascendiendo hasta convertirse en el alumno principal.33

En Grantham, Isaac mostró una marcada inclinación por las invenciones mecánicas. Construyó un reloj de agua, un molino de viento, un carruaje movido por la persona que iba sentada en él y otros juguetes. Cuando hubo cumplido quince años, su madre lo llevó a casa para que la ayudara en la gestión de la granja, pero su gran aversión por las faenas agrícolas y su irresistible pasión por el estudio la indujeron a enviarlo de regreso a Grantham, donde permaneció hasta su año dieciocho, en el que ingresó en el Trinity College de Cambridge (1660).

Cambridge fue el verdadero lugar de nacimiento del genio de Newton. Puede formarse uno cierta idea de sus poderosos poderes intuitivos por el hecho de que consideraba los teoremas de la geometría antigua como verdades evidentes por sí mismas y de que, sin ningún estudio preliminar, se hizo maestro de la Geometría de Descartes.

Posteriormente consideró este descuido de la geometría elemental como un error en sus estudios matemáticos, y expresó al Dr. Pemberton su pesar por «haberse dedicado a las obras de Descartes y a otros escritores algebraicos antes de haber considerado los Elementos de Euclid con la atención que un escritor tan excelente merece».

Además de la Geometría de Descartes, estudió la Clavis de Oughtred, la Óptica de Kepler, las obras de

Vieta, las Misceláneas de Schooten, las Conferencias de Barrow y las obras de Wallis. Se deleitaba particularmente con las de Wallis

Arithmetic of Infinites, un tratado cargado de ricas y variadas sugerencias.

Newton tuvo la buena fortuna de contar como maestro y entrañable amigo con el célebre Dr. Barrow, quien había sido elegido profesor de griego en 1660 y nombrado profesor lucasiano de matemáticas en 1663.

Las matemáticas de Barrow y de Wallis fueron los puntos de partida desde los cuales Newton, dotado de un poder superior al de sus maestros, avanzó hacia campos más amplios.

Wallis había efectuado la cuadratura de curvas cuyas ordenadas se expresan mediante cualquier potencia entera y positiva de $(1 - x^{2})$ .

Hemos visto cómo Wallis intentó, sin éxito, interpolar entre las áreas así calculadas las áreas de otras curvas, como la del círculo; cómo Newton acometió el problema, efectuó la interpolación y descubrió el Teorema del Binomio, el cual proporcionó un acceso mucho más fácil y directo a la cuadratura de curvas que el método de interpolación; pues, aunque la expresión binomial de la ordenada se eleve a una potencia fraccionaria o negativa, el binomio podía desarrollarse de inmediato en una serie, y la cuadratura de cada término independiente de dicha serie podía efectuarse mediante el método de Wallis.

Newton introdujo el sistema de índices literales.

El estudio de las cuadraturas llevado a cabo por Newton pronto lo condujo a otra invención profundísima. Él mismo afirma que en 1665 y 1666 concibió el método de las fluxiones y las aplicó a la cuadratura de curvas. Newton no comunicó la invención a ninguno de sus amigos hasta 1669, cuando puso en manos de Barrow un tratado titulado De Analysi per Æquationes Numero Terminorum Infinitas, el cual fue enviado por Barrow a Collins, quien lo admiró enormemente. En este tratado, el principio de las fluxiones, aunque señalado con claridad, solo está desarrollado y explicado parcialmente. Suponiendo que la abscisa aumentaba uniformemente en proporción al tiempo, consideraba que el área de una curva era una cantidad naciente que aumentaba por fluxión continua en proporción a la longitud de la ordenada. La expresión obtenida para la fluxión la desarrolló en una serie finita o infinita de términos monomios, a los cuales era aplicable la regla de Wallis. Barrow instó a Newton a publicar este tratado; «pero la modestia del autor, cuyo exceso, si no censurable, fue desde luego muy desafortunado en este caso, impidió que accediera»[26]. Si este tratado se hubiera publicado entonces, en lugar de cuarenta y dos años más tarde, probablemente no habría habido motivo para esa larga y lamentable controversia entre Newton y Leibniz.

Durante mucho tiempo el método de Newton permaneció desconocido, salvo para sus amigos y sus correspondientes. En una carta dirigida a Collins, con fecha del 10 de diciembre de 1672, Newton expone el hecho de su invención con un ejemplo, y luego dice:

"Este es un caso particular, o más bien un corolario, de un método general que se extiende, sin cálculo engorroso alguno, no solo al trazado de tangentes a cualquier línea curva, ya sea geométrica o mecánica, o que de algún modo guarde relación con líneas rectas u otras curvas, sino también a la resolución de otros tipos más abstrusos de problemas sobre la curvatura, áreas, longitudes, centros de gravedad de las curvas, etc.; ni tampoco está (como el método de Hudden de Maximis et Minimis) limitado a ecuaciones que estén libres de cantidades irracionales. Este método lo he entrelazado con aquel otro de operar con ecuaciones, reduciéndolas a series infinitas".

Estas últimas palabras se refieren a un tratado que compuso en el año 1671, titulado Método de las fluxiones, en el que pretendía presentar su método como un cálculo independiente y como un sistema completo. Este opúsculo estaba destinado a servir de introducción a una edición del Álgebra de Kinckhuysen, cuya publicación había emprendido.

«Pero el temor a verse envuelto en disputas sobre este nuevo descubrimiento, o tal vez el deseo de hacerlo más completo, o de reservarse la exclusiva ventaja de emplearlo en sus investigaciones físicas, le indujeron a abandonar este propósito.»33

A excepción de dos artículos sobre óptica, todas sus obras parecen haber sido publicadas únicamente tras las más apremiantes insistencias de sus amigos y en contra de sus propios deseos.34

Sus investigaciones sobre la luz fueron duramente criticadas, y en 1675 escribió: «Fui tan perseguido por las discusiones derivadas de mi teoría de la luz que culpé a mi propia imprudencia por haberme desprendido de un bien tan sustancial como mi tranquilidad para ir tras una sombra».

El método de las fluxiones, traducido por J. Colson de la obra de Newton

latín, se publicó por primera vez en 1736, es decir, sesenta y cinco años después de haber sido escrito. En él explica primero la expansión en series de cantidades fraccionarias e irracionales, un tema al que, en sus primeros años de estudio, dedicó la más minuciosa atención. Pasa luego a la solución de los dos siguientes problemas mecánicos, que constituyen los pilares, por así decirlo, del cálculo abstracto:–

I. La longitud del espacio descrito siendo continuamente (es decir, en todo momento) dada; encontrar la velocidad del movimiento en cualquier tiempo propuesto.

II. Siendo continuamente dada la velocidad del movimiento, hallar la longitud del espacio descrito en cualquier tiempo propuesto.

Como preparación para la solución, Newton dice:

"Así, en la ecuación $y = x^{2}$ , si $y$ representa la longitud del espacio descrito en cualquier tiempo, el cual (tiempo) otro espacio $x$ , al incrementarse con una celeridad uniforme $\dot{x}$ , mide y exhibe como descrito: entonces $2 x \dot{x}$ representará la celeridad con la que el espacio $y$ , en el mismo momento de tiempo, procede a ser descrito; y recíprocamente."

"Pero puesto que no necesitamos considerar aquí el tiempo, más que en la medida en que es expuesto y medido por un movimiento local equable; y además, puesto que solo cantidades de la misma especie pueden ser comparadas entre sí, así como también sus velocidades de aumento y disminución; por tanto, en lo que sigue no tendré en cuenta el tiempo considerado formalmente, sino que supondré que alguna de las cantidades propuestas, siendo de la misma especie, es aumentada por una fluxión equable, a la cual las demás pueden ser referidas, como si fuera al tiempo; y, por tanto, a modo de analogía, no impropiamente puede recibir el nombre de tiempo."

En esta afirmación de Newton se contiene una respuesta satisfactoria a la objeción que se ha planteado contra su método, de que introduce en el análisis la idea ajena del movimiento. Una cantidad que aumenta así por una fluxión uniforme, es lo que hoy llamamos una variable independiente.

Newton continúa:

"Now those quantities which I consider as gradually and indefinitely increasing, I shall hereafter call fluents, or flowing quantities, and shall represent them by the final letters of the alphabet, $v$ , $x$ , $y$ , and $z$ ; and the velocities by which every fluent is increased by its generating motion (which I may call fluxions, or simply velocities, or celerities), I shall represent by the same letters pointed, thus, $\dot{v}$ , $\dot{x}$ , $\dot{y}$ , $\dot{z}$ . That is, for the celerity of the quantity $v$ I shall put $\dot{v}$ , and so for the celerities of the other quantities $x$ , $y$ , and $z$ , I shall put $\dot{x}$ , $\dot{y}$ , and $\dot{z}$ , respectively."

Debe observarse aquí que Newton no considera las fluxiones mismas como infinitamente pequeñas. Los «momentos de las fluxiones», un término introducido más adelante, son cantidades infinitamente pequeñas. Estos «momentos», tal como se definen y utilizan en el Método de las fluxiones, son sustancialmente los diferenciales de Leibniz.

De Morgan señala que no poca confusión ha surgido a raíz del uso de la palabra fluxion y de la notación $\dot{x}$ por parte de todos los escritores ingleses anteriores a 1704, a excepción de Newton y Cheyne, con el sentido de incremento infinitamente pequeño.35

Por extraño que parezca, incluso en el Commercium Epistolicum las palabras momento y fluxión parecen usarse como sinónimas.

Tras mostrar mediante ejemplos cómo resolver el primer problema, Newton procede a la demostración de su solución:–-

"Los momentos de las cantidades que fluyen (esto es, sus partes infinitesimalmente pequeñas, por cuya adición, en porciones infinitamente pequeñas de tiempo, se incrementan continuamente) son como las velocidades de su flujo o incremento.

"Por tanto, si el momento de uno cualquiera (como $x$ ) se representa por el producto de su celeridad $\dot{x}$ por una cantidad infinitamente pequeña $0$ (es decir, por $\dot{x} 0$ ), los momentos de los demás, $v$ , $y$ , $z$ , se representarán por $\dot{v} 0$ , $\dot{y} 0$ , $\dot{z} 0$ ; porque $\dot{v} 0$ , $\dot{x} 0$ , $\dot{y} 0$ y $\dot{z} 0$ están entre sí como $\dot{v}$ , $\dot{x}$ , $\dot{y}$ y $\dot{z}$ .

"Now since the moments, as $\dot{x} 0$ and $\dot{y} 0$ , are the indefinitely little accessions of the flowing quantities $x$ and $y$ , by which those quantities are increased through the several indefinitely little intervals of time, it follows that those quantities, $x$ and $y$ , after any indefinitely small interval of time, become $x + \dot{x} 0$ and $y + \dot{y} 0$ , and therefore the equation, which at all times indifferently expresses the relation of the flowing quantities, will as well express the relation between $x + \dot{x} 0$ and $y + \dot{y} 0$ , as between $x$ and $y$ ; so that $x + \dot{x} 0$ and $y + \dot{y} 0$ may be substituted in the same equation for those quantities, instead of $x$ and $y$ . Thus let any equation $x^{3} - a x^{2} + a x y - y^{3} = 0$ be given, and substitute $x + \dot{x} 0$ for $x$ , and $y + \dot{y} 0$ for $y$ , and there will arise \left. {4} &\phantom{a}x^3 &&+ 3x^2\dot{x}0 &&+ 3x\dot{x}0\dot{x}0 &&+ \dot{x}^3 0^3 \ -{}&ax^2 &&- 2ax\dot{x}0 &&- a\dot{x}0\dot{x}0 \ +{}&axy &&+ ay\dot{x}0 &&+ a\dot{x}0\dot{y}0 \ & &&+ ax\dot{y}0 \ -{}&y^3 &&- 3y^2\dot{y}0 &&- 3y\dot{y}0\dot{y}0 &&- \dot{y}^3 0^3

\right} = 0.$

"Ahora bien, por suposición, $x^{3} - a x^{2} + a x y - y^{3} = 0$ , lo cual por lo tanto, siendo expuesto y divididos los términos restantes por 0, quedará

3x^2\dot{x} &- 2ax\dot{x} + ay\dot{x} + ax\dot{y} - 3y^2\dot{y} + 3x\dot{x}\dot{x}0 - a\dot{x}\dot{x}0 + a\dot{x}\dot{y}0 \ &- 3y\dot{y}\dot{y}0 + \dot{x}^3 00 - \dot{y}^300 = 0.

Pero como se supone que el cero es infinitamente pequeño, para poder representar los momentos de las cantidades, los términos que se multiplican por él no serán nada respecto al resto (termini in eam ducti pro nihilo possunt haberi cum aliis collati); por tanto, los desecho, y queda $3 x^{2} \dot{x} - 2 a x \dot{x} + a y \dot{x} + a x \dot{y} - 3 y^{2} \dot{y} = 0,$ como antes en el Ejemplo I." Newton aquí utiliza infinitesimales.

Mucho mayores que en el primer problema fueron las dificultades encontradas en la solución del segundo problema, que conlleva operaciones inversas que han puesto a prueba la habilidad de los mejores analistas desde su época.

Newton da primero una solución particular al segundo problema en la que recurre a una regla para la cual no ha dado ninguna demostración.

En la solución general de su segundo problema, Newton supuso la homogeneidad respecto a las fluxiones y luego consideró tres casos: (1) cuando la ecuación contiene dos fluxiones de cantidades y una sola de las fluentes; (2) cuando la ecuación involucra tanto a las fluentes como a ambas fluxiones; (3) cuando la ecuación contiene las fluentes y las fluxiones de tres o más cantidades. El primer caso es el más sencillo, ya que requiere simplemente la integración de $\frac{d y}{d x} = f (x)$ , a la cual es aplicable su «solución especial». El segundo caso no exigía nada menos que la solución general de una ecuación diferencial de primer orden. Quienes sepan qué esfuerzos se necesitaron después para la exploración completa de este campo en el análisis, no despreciarán el trabajo de Newton aun cuando recurriera a soluciones en forma de series infinitas.

El tercer caso de Newton entra ahora en la solución de ecuaciones diferenciales parciales. Tomó la ecuación $2 \dot{x} - \dot{z} + x \dot{y} = 0$ y logró hallar una integral particular de la misma.

El resto del tratado está dedicado a la determinación de máximos y mínimos, el radio de curvatura de las curvas y otras aplicaciones geométricas de su cálculo de fluxiones. Todo esto fue realizado antes del año 1672.

Hay que observar que en el Método de las Fluxiones (así como en su De Analysi y todos sus artículos anteriores) el método empleado por Newton es estrictamente infinitesimal y, en esencia, similar al de Leibniz.

Así, la concepción original del cálculo en Inglaterra, al igual que en el continente, se basó en los infinitesimales. Los principios fundamentales del cálculo fluxional se dieron a conocer por primera vez al mundo en los Principia; pero su notación peculiar no apareció hasta que fue publicada en el segundo volumen del Álgebra de Wallis en 1693.

La exposición dada en el Álgebra fue sustancialmente una contribución de Newton; se basa en infinitesimales. En la primera edición de los Principia (1687) la descripción de las fluxiones también se fundamenta en infinitesimales, pero en la segunda (1713) el fundamento está algo alterado. En el Libro II, Lema II, de la primera edición leemos:

"Cave tamen intellexeris particulas finitas. Momenta quam primum finitæ sunt magnitudinis, desinunt esse momenta. Finiri enim repugnat aliquatenus perpetuo eorum incremento vel decremento. Intelligenda sunt principia jamjam nascentia finitorum magnitudinum."

En la segunda edición, las dos frases que imprimimos en cursiva son reemplazadas por las siguientes:

"Particulæ finitæ non sunt momenta sed quantitates ipsæ ex momentis genitæ."

A través de la dificultad de las frases en ambos extractos, se desprende claramente que, en el primero, los momentos son cantidades infinitamente pequeñas. Qué más sean en el segundo no resulta claro.35 En el

En la Cuadratura de curvas de 1704, la cantidad infinitamente pequeña se abandona por completo. Se ha demostrado que en el Método de las fluxiones Newton rechazó los términos que involucran la cantidad 0, porque son infinitamente pequeños en comparación con otros términos.

Este razonamiento es evidentemente erróneo; pues mientras el 0 sea una cantidad, por muy pequeña que sea, este reajuste no puede hacerse sin afectar el resultado. Newton parece haberlo sentido, pues en la Cuadratura de curvas señaló que «en las matemáticas los errores más mínimos no deben ser desdeñados» (errores quam minimi in rebus mathematicis non sunt contemnendi).

La distinción temprana entre el sistema de Newton y el de Leibniz radica en esto: que Newton, aferrándose al concepto de velocidad o fluxión, utilizó el incremento infinitamente pequeño como medio para determinarlo, mientras que en Leibniz la relación de los incrementos infinitamente pequeños es en sí misma el objeto de determinación. La diferencia entre ambos descansa principalmente en una divergencia en el modo de generar las cantidades.35

Demos la exposición que hace Newton del método de las fluxiones o razones, tal como aparece en la introducción de su Cuadratura de curvas. «Considero aquí las cantidades matemáticas no como compuestas de partes muy pequeñas, sino como descritas por un movimiento continuo. Las líneas son descritas, y con ello generadas, no por la aposición de partes, sino por el movimiento continuo de puntos; las superficies, por el movimiento de líneas; los sólidos, por el movimiento de superficies; los ángulos, por la rotación de los lados; las porciones de tiempo, por un flujo continuo: y así sucesivamente en otras cantidades. Estas génesis tienen lugar realmente en la naturaleza de las cosas, y se observan diariamente en el movimiento de los cuerpos».

"Las fluxiones son, tan cerca como queramos (quam proxime), como los incrementos de los fluentes generados en tiempos iguales y tan pequeños como sea posible, y para hablar con precisión, están en la razón primera de los incrementos nacientes; aun así, pueden ser expresadas por cualesquiera líneas que sean proporcionales a ellas."

Newton ejemplifica esta última afirmación con el problema de la tangencia:

Sea $A B$ la abscisa, $B C$ la ordenada, $V C H$ la tangente, $E c$ el incremento de la ordenada, que al prolongarse corta a $V H$ en $T$ , y $C c$ el incremento de la curva.

Prolongada la línea recta $C c$ hasta $K$ , se forman tres pequeños triángulos, el rectilíneo $C E c$ , el mixtilíneo $C E c$ y el rectilíneo $C E T$ .

De estos, el primero es evidentemente el menor, y el último el mayor. Supóngase ahora que la ordenada $b c$ se desplaza hasta el lugar de $B C$ , de modo que el punto $c$ coincida exactamente con

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el punto $C$ ; $C K$ , y por consiguiente la curva $C c$ , coincide con la tangente $C H$ , $E c$ es absolutamente igual a $E T$ , y el triángulo evanescente rectilíneo-curuilineo $C E c$ es, en su última forma, semejante al triángulo $C E T$ ; y sus lados evanescentes $C E$ , $E c$ , $C c$ , serán proporcionales a $C E$ , $E T$ , y $C T$ , los lados del triángulo $C E T$ .

De aquí se sigue que las fluxiones de las líneas $A B$ , $B C$ , $A C$ , al estar en la última razón de sus incrementos evanescentes, son proporcionales a los lados del triángulo $C E T$ , o, lo que es lo mismo, del triángulo $V B C$ semejante a aquel.

Mientras los puntos $C$ y $c$ disten el uno del otro por un intervalo, por pequeño que sea, la línea $C K$ se apartará en un pequeño ángulo de la tangente $C H$ . Pero cuando $C K$ coincida con $C H$ , y las líneas $C E$ , $E c$ , $c C$ alcancen sus razones últimas, entonces los puntos $C$ y $c$ coincidirán exactamente y serán uno y el mismo.

Newton añade entonces que "en matemáticas no deben despreciarse los errores más mínimos".

Esto es claramente un rechazo de los postulados de Leibniz. La doctrina de las cantidades infinitamente pequeñas es aquí repudiada de una manera que haría suponer que Newton nunca la había sostenido él mismo.

Así resulta que la doctrina de Newton era diferente en distintos períodos.

Si bien, en el razonamiento anterior, se evita con seguridad la Caribdis de los infinitesimales, los peligros de una Escila nos acechan cara a cara. Se nos exige creer que un punto puede considerarse un triángulo, o que un triángulo puede inscribirse en un punto; es más, que tres triángulos disímiles llegan a ser similares e iguales cuando han alcanzado su forma última en uno y el mismo punto.

En la introducción a la Cuadratura de las curvas (Quadrature of Curves), la fluxión de $x^{n}$ se determina de la siguiente manera:–-

Al mismo tiempo que $x$ , al fluir, se convierte en $x + 0$ , la potencia $x^{n}$ se convierte en $(x + 0)^{n}$ , es decir, por el método de las series infinitas, en $x^{n} + n 0 x^{n - 1} + \frac{n^{2} - n}{2} 0^{2} x^{n - 2} + etc.,$ y los incrementos $0 y n 0 x^{n - 1} + \frac{n^{2} - n}{2} 0^{2} x^{n - 2} + etc.,$ guardan entre sí la misma proporción que $1 y n x^{n - 1} + \frac{n^{2} - n}{2} 0 x^{n - 2} + etc.$

"Que ahora los incrementos se anulen, y su última proporción será $1$ a $n x^{n - 1}$ : de aquí que la fluxión de la cantidad $x$ es a la fluxión de la cantidad $x^{n}$ como $1 : n x^{n - 1}$ .

"The fluxion of lines, straight or curved, in all cases whatever, as also the fluxions of superficies, angles, and other quantities, can be obtained in the same manner by the method of prime and ultimate ratios. But to establish in this way the analysis of infinite quantities, and to investigate prime and ultimate ratios of finite quantities, nascent or evanescent, is in harmony with the geometry of the ancients; and I have endeavoured to show that, in the method of fluxions, it is not necessary to introduce into geometry infinitely small quantities."

This mode of differentiating does not remove all the difficulties connected with the subject. When $0$ becomes nothing, then we get the ratio $\frac{0}{0} = n x^{n - 1}$ , which needs further elucidation. Indeed, the method of Newton, as delivered by himself, is encumbered with difficulties and objections. Among the ablest admirers of Newton, there have been obstinate disputes respecting his explanation of his method of "prime and ultimate ratios."

El llamado «método de los límites» se atribuye con frecuencia a Newton, pero él nunca adoptó el método puro de los límites como su método para construir el cálculo. Todo lo que hizo fue establecer en sus Principios ciertos principios que son aplicables a dicho método, pero que utilizó con un propósito diferente. El primer lema del primer libro se ha convertido en la base del método de los límites:—

"Las cantidades y las razones de las cantidades que en cualquier tiempo finito convergen continuamente a la igualdad, y antes del fin de ese tiempo se aproximan la una a la otra más que por cualquier diferencia dada, se vuelven finalmente iguales."

En este lema, así como en los que siguen a continuación, hay oscuridades y dificultades.

Newton parece enseñar que una cantidad variable y su límite en última instancia coinciden y son iguales. Pero hoy en día se acepta por lo general que, en las exposiciones más claras que se han hecho de la teoría de límites, la variable no alcanza en realidad su límite, aunque la variable puede aproximarse a este tanto como queramos.

El título completo de los Principia de Newton es Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. Fue impreso en 1687 bajo la dirección, y a expensas, del Dr. Edmund Halley. En 1713 se publicó una segunda edición con muchas alteraciones y mejoras, acompañada de un prólogo de

Mr. Cotes. Se agoto en pocos meses, pero una edición pirata publicada en Ámsterdam suplió la demanda.34

La tercera y última edición que apareció en Inglaterra durante la vida de Newton fue publicada en 1726 por Henry Pemberton.

Los Principia constan de tres libros, de los cuales los dos primeros, que constituyen la gran parte de la obra, tratan de los principios matemáticos de la filosofía natural, a saber, las leyes y condiciones de los movimientos y las fuerzas. En el tercer libro se expone la constitución del universo tal como se deduce de los principios anteriores.

El gran principio que subyace a esta memorable obra es el de la gravitación universal.

El primer libro fue completado el 28 de abril de 1686.
Tras el periodo notablemente corto de tres meses, el segundo libro fue terminado.
El tercer libro es el resultado de la labor de los siguientes nueve o diez meses.

Es solo un esbozo de una elaboración mucho más amplia del tema que había planeado, pero que nunca llegó a completarse.

La ley de la gravitación se enuncia en el primer libro. Su descubrimiento envuelve el nombre de Newton en un halo de gloria perpetua. La versión actual del descubrimiento es la siguiente: Hooke, Huygens, Halley, Wren, Newton y otros conjeturaron que, si la tercera ley de Kepler era verdadera (en ese momento se dudaba de su absoluta exactitud), entonces la atracción entre la tierra y los demás miembros del sistema solar variaba de manera inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Pero faltaba la demostración de la veracidad o falsedad de dicha conjetura. En 1666 Newton razonó, en esencia, que si $g$ representa la aceleración de la gravedad en la superficie de la tierra, $r$ es el radio terrestre, $R$ la distancia de la luna a la tierra, $T$ el tiempo de la revolución lunar y $a$ un grado en el ecuador, entonces, si la ley es verdadera, $g \frac{r^{2}}{R^{2}} = 4 π^{2} \frac{R}{T^{2}}, o g = \frac{4 π}{T^{2}} {(\frac{R}{r})}^{3} \cdot 180 a .$

Los datos de que disponía Newton daban $R = 60, 4 r$ , $T = 2 360 628$ segundos, pero $a$ solo era $60$ en lugar de $69 \frac{1}{2}$ millas inglesas. Este valor erróneo de $a$ hizo que el valor calculado de $g$ fuera menor que su valor real, tal como se conocía a partir de mediciones reales.

Parecía como si la ley del inverso de los cuadrados no fuera la ley verdadera, y Newton dejó el cálculo de lado.

En 1684 supo casualmente en una reunión de la Royal Society que Jean Picard había medido un arco del meridiano y obtenido un valor más preciso para el radio de la tierra.

Tomando el valor corregido de $a$ , halló una cifra para $g$ que correspondía al valor conocido. Así quedó verificada la ley del inverso de los cuadrados.

En un escolio de los Principia, Newton reconoció su deuda con Huygens por las leyes sobre la fuerza centrífuga empleadas en su cálculo.

El examen por parte del astrónomo Adams de una gran masa de cartas y manuscritos inéditos de Newton que forman la colección Portsmouth (la cual permaneció como propiedad privada hasta 1872, año en que su propietario la puso en manos de la Universidad de Cambridge) parece indicar que las dificultades con las que se encontró Newton en el cálculo anterior eran de otra naturaleza.

Según Adams, la verificación numérica de Newton era bastante completa en 1666, pero Newton no había sido capaz de determinar cuál sería la atracción de una capa esférica sobre un punto exterior. Sus cartas a Halley muestran que no suponía que la tierra atraía como si toda su masa estuviera concentrada en un punto en el centro. No podría haber afirmado, por tanto, que la ley de la gravedad supuesta quedaba verificada por las cifras, aunque para grandes distancias podría haber sostenido que arrojaba aproximaciones muy cercanas.

Cuando Halley visitó a Newton en 1684, le pidió a Newton que determinara cuál sería la órbita de un planeta si la ley de atracción fuera la de los inversos de los cuadrados. Newton había resuelto un problema similar para Hooke en 1679, y respondió de inmediato que era una elipse.

Tras la visita de Halley, Newton, con el nuevo valor de Picard para el radio de la tierra, revisó su cálculo anterior y pudo demostrar que si las distancias entre los cuerpos del sistema solar eran tan grandes que los cuerpos podían considerarse como puntos, entonces sus movimientos se ajustaban a la ley de la gravitación supuesta. En 1685 completó su descubrimiento al demostrar que una esfera cuya densidad en cualquier punto depende únicamente de la distancia desde el centro atrae a un punto exterior como si toda su masa estuviera concentrada en el centro.34

Los manuscritos inéditos de Newton en la colección Portsmouth muestran que había calculado, mediante fluxiones y fluentes, sus cálculos lunares con un mayor grado de aproximación que el dado en los Principia, pero que no fue capaz de interpretar geométricamente sus resultados.

Los documentos de dicha colección arrojan luz sobre el método mediante el cual Newton llegó a algunos de los resultados de los Principia, como, por ejemplo, la famosa construcción del Libro II, Prop. 25, que no está demostrada en los Principia, pero que él demuestra dos veces en un borrador de una carta dirigida a David Gregory, de Oxford.34

Es principalmente sobre los Principia donde descansa la fama de Newton. Brewster la califica como "la página más brillante en los registros de la razón humana".

Escuchemos, por un momento, los comentarios de Laplace, el primero entre aquellos seguidores de Newton que lidiaron con los sutiles problemas de los movimientos de los planetas bajo la influencia de la gravitación:

"Newton ha establecido bien la existencia del principio que tuvo el mérito de descubrir, pero el desarrollo de sus consecuencias y ventajas ha sido obra de los sucesores de este gran matemático. La imperfección del cálculo infinitesimal, cuando fue descubierto por primera vez, no le permitió resolver por completo los difíciles problemas que ofrece la teoría del universo; y se vio obligado a menudo a dar meras sugerencias, que siempre eran inciertas hasta ser confirmadas por un análisis riguroso. A pesar de estos defectos inevitables, la importancia y la generalidad de sus descubrimientos respecto al sistema del universo, y a los puntos más interesantes de la filosofía natural, el gran número de visiones profundas y originales que han dado origen a los descubrimientos más brillantes de los matemáticos del siglo pasado, las cuales fueron presentadas todas con mucha elegancia, asegurarán a los Principia una preeminencia duradera sobre todas las demás producciones de la mente humana".

La Arithmetica Universalis de Newton, que consta de las conferencias sobre álgebra que impartió durante los primeros nueve años que fue profesor en Cambridge, se publicó en 1707, es decir, más de treinta años después de haber sido escrita.

Esta obra fue publicada por el Sr. Whiston. No estamos informados con precisión sobre cómo

El señor Whiston entró en posesión de la misma, pero, según algunas autoridades, su publicación constituyó una violación de confianza por su parte.

La Arithmetica Universalis contiene resultados nuevos e importantes sobre la teoría de ecuaciones. Su teorema sobre las sumas de las potencias de las raíces es bien conocido.

Newton demostró que, en las ecuaciones con coeficientes reales, las raíces imaginarias siempre aparecen en parejas. Su genio inventivo se manifiesta grandiosamente en su regla para determinar el límite inferior del número de raíces imaginarias y los límites superiores para el número de raíces positivas y negativas.

Aunque es menos expeditiva que la de Descartes, la regla de Newton siempre ofrece límites tan próximos, y por lo general más próximos, al número de raíces positivas y negativas.
Newton no demostró su regla.

Esta tuvo que esperar un siglo y medio para ser demostrada, hasta que, por fin, Sylvester estableció un notable teorema general que incluye la regla de Newton como un caso particular.

El tratado sobre el Método de las fluxiones contiene el método de Newton para aproximar las raíces de ecuaciones numéricas. Este es simplemente el método de Vieta mejorado.

El mismo tratado contiene el «paralelogramo de Newton», que le permitió, en una ecuación $f (x, y) = 0$ , hallar una serie en potencias de $x$ igual a la variable $y$ .

La gran utilidad de esta regla residía en que determinaba la forma de la serie; pues, tan pronto como se conocía la ley por la cual varían los exponentes en la serie, el desarrollo podía efectuarse mediante el método de los coeficientes indeterminados. La regla todavía se usa para determinar las ramas infinitas de las curvas, o su figura en puntos múltiples.

Newton no dio ninguna prueba de ello, ni ninguna pista sobre cómo lo descubrió. La prueba fue proporcionada medio siglo después por Kaestner y

Cramer, por su cuenta.37

En 1704 se publicó, como apéndice de la Opticks, el Enumeratio linearum tertii ordinis, que contiene teoremas sobre la teoría de curvas. Newton divide las cúbicas en setenta y dos especies, dispuestas en grupos mayores, para los cuales sus comentaristas han proporcionado los nombres de "géneros" y "clases", reconociendo catorce de los primeros y siete (o cuatro) de las últimas.

Passó por alto seis especies exigidas por sus principios de clasificación, que más tarde añadieron Stirling, Murdoch y Cramer. Enuncia el notable teorema de que las cinco especies que denomina "parábolas divergentes" dan por su proyección cualquier curva cúbica dada.

Por regla general, el tratado no contiene demostraciones. Ha sido objeto de frecuentes conjeturas cómo dedujo Newton sus resultados. Recientemente hemos llegado a conocer los hechos, ya que gran parte del análisis utilizado por Newton y algunos teoremas adicionales se han descubierto entre los documentos de Portsmouth.

W. W. Rouse Ball ha publicado una reseña de los cuatro manuscritos ológrafos sobre este tema en las Transactions of the London Mathematical Society (vol. xx., págs. 104-143). Es interesante observar cómo Newton comienza su investigación sobre la clasificación de las curvas cúbicas mediante el método algebraico, pero, al encontrarlo laborioso, aborda el problema geométricamente y luego vuelve otra vez al análisis.36

El espacio no nos permite hacer más que mencionar someramente las prolongadas investigaciones de Newton en otros departamentos de la ciencia.

Llevó a cabo una larga serie de experimentos en óptica y es el autor de la teoría corpuscular de la luz. El último de una serie de artículos sobre óptica que aportó a la Royal Society en 1687 elabora la teoría de los «accesos». Explicó la descomposición de la luz y la teoría del arco iris.

De su autoría fueron la invención del telescopio reflector y del sextante (redescubierto más tarde por Thomas Godfrey de Filadelfia[]2 y por John Hadley).

Dedujo una expresión teórica para la velocidad del sonido en el aire, se embarcó en experimentos sobre química, elasticidad, magnetismo y la ley del enfriamiento, y se adentró en especulaciones geológicas.

Durante los dos años posteriores al cierre de 1692, Newton sufrió de insomnio e irritabilidad nerviosa. Algunos pensaron que padecía una aberración mental temporal.

Aunque recuperó la tranquilidad y la fuerza mental, el tiempo de los grandes descubrimientos había terminado; estudiaba las cuestiones que se le proponían, কিন্তু ya no se adentraba por iniciativa propia en nuevos campos de investigación.

La investigación más destacada tras su enfermedad fue la comprobación de su teoría lunar mediante las observaciones de Flamsteed, el astrónomo real.

En 1695 fue nombrado warden, y en 1699 master, de la Casa de la Moneda, cargo que desempeñó hasta su muerte. Su cuerpo fue sepultado en la Abadía de Westminster, donde en 1731 se erigió un magnífico monumento que lleva una inscripción que termina con: "Sibi gratulentur mortales tale tantumque exstitisse humani generis decus."

No es verdad que el Teorema del Binomio esté grabado también en él.

Pasamos a Leibniz, el segundo e independiente inventor del cálculo. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) nació en Leipzig.

Ningún periodo en la historia de ninguna nación civilizada podría haber sido menos favorable para las empresas literarias y científicas que mediados del siglo XVII en Alemania. Sin embargo, las circunstancias parecen haberse combinado felizmente para otorgar al joven genio una educación difícilmente obtenible de otro modo durante este periodo más oscuro de la historia alemana. Entró en contacto desde muy pronto con lo mejor de la cultura existente en aquel entonces.

A los quince años ingresó en la Universidad de Leipzig. Aunque el derecho era su estudio principal, se dedicó con gran diligencia a todas las ramas del saber.

La enseñanza en las universidades alemanas era entonces muy deficiente. Las matemáticas superiores no se enseñaban en absoluto. Se nos dice que cierto John Kuhn dio conferencias sobre los Elementos de Euclides, pero que sus explicaciones eran tan oscuras que nadie, excepto Leibniz, pudo entenderlas.

Más tarde, Leibniz asistió, durante medio año, en Jena, a las conferencias de Erhard Weigel, un filósofo y matemático de reputación local. En 1666 Leibniz publicó un tratado, De Arte Combinatoria, en el que no pasa de los rudimentos de las matemáticas. Otras tesis escritas por él en esta época fueron de carácter metafísico y jurídico.

Una feliz circunstancia condujo a Leibniz al extranjero. En 1672 fue enviado por el barón de Boineburg en una misión política a París.

Allí trabó conocimiento con los hombres más distinguidos de la época. Entre ellos se encontraba Huygens, quien le entregó a Leibniz un ejemplar de su obra sobre la oscilación del péndulo, introduciendo por primera vez al talentoso joven alemán en el estudio de las matemáticas superiores.

En 1673 Leibniz fue a Londres, y permaneció allí desde enero hasta marzo. Allí conoció de manera incidental al matemático Pell, a quien le explicó un método que había descubierto sobre la sumación de series de números mediante sus diferencias. Pell le dijo que una fórmula similar había sido publicada por Mouton ya en 1670, y luego llamó su atención sobre la obra de Mercator acerca de la rectificación de la parábola.

Durante su estancia en Londres, Leibniz mostró a la Royal Society su máquina aritmética, la cual era similar a la de Pascal, pero más eficaz y perfecta.

Tras su regreso a París, tuvo el tiempo libre necesario para estudiar matemáticas de un modo más sistemático. Con indomable energía se dispuso a remediar su ignorancia en matemáticas superiores. Huygens fue su maestro principal. Estudió las obras geométricas de Descartes, Honorarius Fabri, Gregorio de San Vicente y Pascal. Un estudio minucioso de las series infinitas lo condujo al descubrimiento de la siguiente expresión para la razón entre la circunferencia y el diámetro del círculo, descubierta previamente por James Gregory:–- $\frac{π}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - etc.$ Esta elegante serie fue hallada del mismo modo que la de Mercator sobre la hipérbola. A Huygens le complació enormemente y lo incitó a emprender nuevas investigaciones. Leibniz se adentró en el estudio detallado de la cuadratura de curvas y con ello llegó a familiarizarse íntimamente con las matemáticas superiores. Entre los manuscritos de Leibniz todavía se conserva uno sobre cuadraturas, escrito antes de su marcha de París en 1676, pero que él nunca llegó a publicar. Las partes más importantes del mismo se incorporaron en artículos publicados más tarde en los Acta Eruditorum.

En el estudio de la geometría cartesiana, la atención de Leibniz se inclinó pronto hacia los problemas directo e inverso de las tangentes.

El problema directo había sido resuelto por Descartes únicamente para las curvas más simples; mientras que el inverso había trascendido por completo el poder de su análisis. Leibniz investigó ambos problemas para cualquier curva; construyó lo que llamó el triangulum characteristicum —un triángulo infinitamente pequeño entre la parte infinitamente pequeña de la curva que coincide con la tangente, y las diferencias de las ordenadas y abscisas.

Una curva se considera aquí como un polígono. El triangulum characteristicum es semejante al triángulo formado por la tangente, la ordenada del punto de contacto y la subtangente, así como al comprendido entre la ordenada, la normal y la subnormal.

Fue empleado por primera vez por Barrow en Inglaterra, pero parece haber sido reinventado por Leibniz. A partir de él, Leibniz observó la conexión existente entre los problemas directo e inverso de las tangentes. Vio también que este último podía reducirse a la cuadratura de las curvas. Todos estos resultados están contenidos en un manuscrito de Leibniz, escrito en 1673.

Uno de los métodos utilizados por él para efectuar cuadraturas era el siguiente: El rectángulo formado por una subtangente $p$ y un elemento $a$ (es decir, una parte infinitamente pequeña de la abscisa) es igual al rectángulo formado por la ordenada $y$ y el elemento $l$ de dicha ordenada; o en símbolos, $p a = y l$ . Pero la suma de estos rectángulos a partir de cero da un triángulo rectángulo igual a la mitad del cuadrado de la ordenada. Así, usando la notación de Cavalieri, obtiene

&\omn pa = \omn yl = \frac{y^2}{2} \quad \text{(\textit{omn.} que significa \textit{omnia}, todo)}.

\intertext{Pero $y = \omn l$ ; por tanto}

&\overline{\omn \overline{\omn l}\, \frac{l}{a}} = \overline{\frac{\omn l^2}{2a}}.

Esta ecuación es especialmente interesante, ya que es aquí donde Leibniz introduce por primera vez una nueva notación. Dice:

"Será útil escribir $\int$ en lugar de omn., como $\int l$ en lugar de $omn. l$ , es decir, la suma de las $l$ ";

a continuación, escribe la ecuación de este modo:--

$\frac{\int \overset{―}{l^{2}}}{2 a} = \int \overset{―}{\int \bar{l} \frac{l}{a}} .$

A partir de esto dedujo las integrales más simples, tales como

$\int x = \frac{x^{2}}{2}, \int (x + y) = \int x + \int y .$

Como el símbolo de la suma $\int$ eleva las dimensiones, concluyó que el cálculo opuesto, o el de las diferencias $d$ , las disminuiría. Así, si $\int l = y a$ , entonces $l = \frac{y a}{d}$ .

El símbolo $d$ fue colocado al principio por Leibniz en el denominador, porque la disminución de la potencia de un término se lograba en el cálculo ordinario mediante la división. El manuscrito que presenta lo anterior está fechado el 29 de octubre de 1675.39

Este fue, pues, el día memorable en que nació la notación del nuevo cálculo, una notación que contribuyó enormemente al rápido crecimiento y al perfecto desarrollo del cálculo.

Leibniz procedió a aplicar su nuevo cálculo a la solución de ciertos problemas agrupados entonces bajo el nombre de los Problemas Inversos de Tangentes. Halló que la parábola cúbica era la solución al siguiente: Hallar la curva en la que el subnormal es recíprocamente proporcional a la ordenada. La exactitud de su solución fue comprobada por él aplicando al resultado el método de tangentes de Sluze y razonando en sentido inverso hasta llegar a la suposición original.

En la solución del tercer problema cambia su notación de $\frac{x}{d}$ a la ahora habitual notación $d x$ .

Es digno de mención que en estas investigaciones Leibniz no explica en ninguna parte el significado de $d x$ y $d y$ , excepto en un lugar de una nota al margen: "Idem est $d x$ et $\frac{x}{d}$ , id est, differentia inter duas $x$ proximas".

Tampoco utiliza el término diferencial, sino siempre diferencia. No fue hasta diez años después, en las Acta Eruditorum, cuando dio más explicaciones sobre estos símbolos.

A lo que aspiraba principalmente era a determinar el cambio que experimenta una expresión cuando se coloca ante ella el símbolo $\int$ o $d$ .

Puede ser un consuelo para los estudiantes que batallan con los elementos del cálculo diferencial saber que a Leibniz le costó considerable reflexión y atención[39] determinar si $d x d y$ es lo mismo que $d (x y)$ , y $\frac{d x}{d y}$ lo mismo que $d \frac{x}{y}$ . Tras considerar estas cuestiones al final de uno de sus manuscritos, concluyó que las expresiones no eran las mismas, aunque no pudo dar el valor correcto para cada una. Diez días después, en un manuscrito fechado el 21 de noviembre de 1675, halló la ecuación $y d \overset{―}{x} = d \overset{―}{x y} - x d \overset{―}{y}$ , la cual proporcionaba una expresión para $d (x y)$ que observó que era verdadera para todas las curvas. También logró eliminar $d x$ de una ecuación diferencial, de modo que esta solo contenía $d y$ , y condujo así a la solución del problema en cuestión.

«¡He aquí un modo de los más elegantes mediante el cual se resuelven los problemas de los métodos inversos de las tangentes, o al menos se reducen a cuadraturas!»

Vio así claramente que los problemas inversos de las tangentes podían resolverse por cuadraturas, o, en otras palabras, por el cálculo integral.

En el transcurso de medio año descubrió que el problema directo de las tangentes también cedía ante el poder de su nuevo cálculo, y que con ello se podía obtener una solución más general que la de Descartes. Consiguió resolver todos los problemas especiales de este tipo que Descartes había dejado sin resolver.

De entre ellos mencionamos tan solo el célebre problema propuesto a Descartes por De Beaune, a saber: hallar la curva cuya ordenada es a su subtangente como una línea dada es a aquella parte de la ordenada que se encuentra entre la curva y una línea trazada desde el vértice de la curva con una inclinación dada respecto al eje.

Tal fue, en resumen, el progreso en la evolución del nuevo cálculo realizado por Leibniz durante su estancia en París.

Antes de su partida, en octubre de 1676, se hallaba en posesión de las reglas y fórmulas más elementales del cálculo infinitesimal.

De París, Leibniz regresó a Hanover pasando por Londres y Ámsterdam. En Londres conoció a Collins, quien le mostró una parte de su correspondencia científica. De esto hablaremos más adelante.

En Ámsterdam conversó sobre matemáticas con Sluze, y quedó convencido de que su propio método para construir tangentes no solo lograba todo lo que el de Sluze, sino incluso más, ya que podía extenderse a tres variables, mediante las cuales se podían hallar planos tangentes a superficies; y sobre todo, dado que ni los números irracionales ni las fracciones impedían la aplicación inmediata de su método.

En un artículo del 11 de julio de 1677, Leibniz dio reglas correctas para la diferenciación de sumas, productos, cocientes, potencias y raíces. Ya había dado los diferenciales de unas pocas potencias negativas y fraccionarias, tan temprano como en noviembre de 1676, pero había cometido algunos errores.

Para $d \sqrt{x}$ había dado el valor erróneo $\frac{1}{\sqrt{x}}$ , y en otro lugar el valor $- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$ ; para $d \frac{1}{x^{3}}$ aparece en un lugar el valor incorrecto, $- \frac{2}{x^{2}}$ , mientras que unas líneas más abajo se da $- \frac{3}{x^{4}}$ , su valor correcto.

En 1682 se fundó en Berlín los Acta Eruditorum, una revista conocida habitualmente con el nombre de Actas de Leipzig. Fue una imitación parcial del Journal des Savans francés (fundado en 1665), y la revista literaria y científica publicada en Alemania.

Leibniz fue un colaborador frecuente. Tschirnhaus, que había estudiado matemáticas en París con Leibniz y que estaba familiarizado con el nuevo análisis de Leibniz, publicó en los Acta Eruditorum un artículo sobre cuadraturas, que consiste principalmente en materia comunicada por Leibniz a Tschirnhaus durante una controversia que habían tenido sobre este tema.

Temiendo que Tschirnhaus pudiera reclamar como propia y publicar la notación y las reglas del cálculo diferencial, Leibniz decidió, por fin, hacer públicos los frutos de sus invenciones.

En 1684, es decir, nueve años después de que el nuevo cálculo amaneciera por primera vez en la mente de Leibniz, y diecinueve años después de que Newton trabajara por primera vez en las fluxiones, y tres años antes de la publicación de los Principia de Newton, Leibniz publicó, en las Actas de Leipzig, su primer artículo sobre el cálculo diferencial.

No estaba dispuesto a entregar al mundo todos sus tesoros, sino que eligió aquellas partes de su trabajo que eran más abstrusas y menos perspicuas.

Este artículo, que hizo época y consta de solo seis páginas, lleva el título:

"Nova methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quæ nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus."

Las reglas de cálculo se enuncian brevemente sin demostración, y el significado de $d x$ y $d y$ no se aclara.

De esto se ha inferido que el propio Leibniz no tenía ideas definidas y establecidas sobre este tema.

¿Son $d y$ y $d x$ cantidades finitas o infinitesimales?

Al principio, en verdad, parece que se han tomado como finitas, cuando dice: «Ahora llamamos $d x$ a cualquier línea elegida al azar, luego designamos como $d y$ , que es la diferencia de $y$ , a la línea que es a $d x$ como $y$ es a la subtangente».

A continuación, Leibniz determina, mediante su cálculo, de qué manera un rayo de luz que atraviesa dos medios con distinta refracción puede viajar más fácilmente de un punto a otro; y luego cierra su artículo dando su solución, en pocas palabras, al problema de De Beaune.

Dos años más tarde (1686) Leibniz publicó en los Acta Eruditorum un artículo que contenía los rudimentos del cálculo integral. Las cantidades $d x$ y $d y$ son tratadas allí como infinitamente pequeñas. Mostró que, mediante el uso de su notación, las propiedades de las curvas podían expresarse plenamente mediante ecuaciones.

Así, la ecuación $y = \sqrt{2 x - x^{2}} + \int \frac{d x}{\sqrt{2 x - x^{2}}}$ caracteriza la cicloide.38

El gran invento de Leibniz, hecho público ahora por sus artículos en las Actas de Leipzig, causó poca impresión en la masa de matemáticos.

En Alemania nadie comprendió el nuevo cálculo excepto Tschirnhaus, quien permaneció indiferente ante él. Las exposiciones del autor eran demasiado breves y concisas para que el cálculo se entendiera de manera general.

Los primeros en reconocer su importancia y en emprender su estudio fueron dos extranjeros: el escocés John Craig y el suizo Jakob Bernoulli. Este último le escribió una carta a Leibniz en 1687, deseando ser iniciado en los misterios del nuevo análisis. Leibniz se encontraba entonces viajando por el extranjero, por lo que esta carta quedó sin responder hasta 1690. Jakob Bernoulli logró mientras tanto, mediante una atenta dedicación, descubrir los secretos del cálculo diferencial sin ayuda. Él y su hermano Johann demostraron ser matemáticos de un talento excepcional. Se dedicaron a la nueva ciencia con un éxito y en una medida que llevaron a Leibniz a declarar que era tanto de ellos como suya.

Leibniz mantuvo una extensa correspondencia con ellos, así como con otros matemáticos. En una carta a John Bernoulli sugiere, entre otras cosas, que el cálculo integral sea mejorado reduciendo las integrales a ciertas formas fundamentales irreducibles. La integración de expresiones logarítmicas fue estudiada entonces.

Los escritos de Leibniz contienen muchas innovaciones y anticipaciones de métodos que desde entonces han adquirido relevancia.

Así, hizo uso de parámetros variables, sentó las bases del analysis in situ, introdujo la primera noción de determinantes en su esfuerzo por simplificar la expresión resultante de la eliminación de las incógnitas en un conjunto de ecuaciones lineales.

Recurrió al artificio de descomponer ciertas fracciones en la suma de otras fracciones con el fin de facilitar la integración; asumió explícitamente el principio de continuidad; dio el primer ejemplo de una «solución singular» y sentó las bases de la teoría de envolventes en dos artículos, uno de los cuales contiene por primera vez los términos coordenada y ejes de coordenadas.

Escribió sobre curvas osculatrices, pero su artículo contenía el error (señalado por Juan Bernoulli, pero no admitido por él) de que un círculo osculador cortará necesariamente a una curva en cuatro puntos consecutivos.

Bien conocido es su teorema sobre el $n$ -ésimo coeficiente diferencial del producto de dos funciones de una variable.

De sus muchos artículos sobre mecánica, algunos son valiosos, mientras que otros contienen graves errores.

Antes de trazar el desarrollo posterior del cálculo, esbozaremos la historia de esa larga y enconada controversia entre los matemáticos ingleses y continentales sobre la invención del cálculo. La cuestión era: ¿inventó Leibniz el cálculo de forma independiente a Newton, o era un plagiarista?

Debemos comenzar con la correspondencia temprana entre las partes que aparecen en esta disputa. Newton había comenzado a usar su notación de fluxiones en 1666.41 En 1669 Barrow envió a Collins

El tratado de Newton, De Analysi per Equationes, etc.

La primera visita de Leibniz a Londres se prolongó desde el 11 de enero hasta marzo de 1673. Tenía la costumbre de poner por escrito las comunicaciones científicas importantes recibidas de otros. En 1890, Gerhardt descubrió en la biblioteca real de Hanóver una hoja de manuscrito con notas tomadas por Leibniz durante este viaje.40

Están encabezadas como "Observata Philosophica in itinere Anglicano sub initium anni 1673." La hoja está dividida por líneas horizontales en secciones. Las secciones dedicadas a Chymica, Mechanica, Magnetica, Botanica, Anatomica, Medica, Miscellanea, contienen extensos memorandos, mientras que las dedicadas a las matemáticas tienen muy pocas notas. Bajo Geometrica dice únicamente esto: "Tangentes omnium figurarum. Figurarum geometricarum explicatio per motum puncti in moto lati."

Sospechamos a partir de esto que Leibniz había leído las conferencias de Barrow. De Newton se hace referencia únicamente bajo Optica. Evidentemente, Leibniz no obtuvo un conocimiento de las fluxiones durante esta visita a Londres, ni sus oponentes afirman que lo hiciera.

Diversas cartas de Newton, Collins y otros, hasta principios de 1676, afirman que Newton inventó un método mediante el cual se podían trazar tangentes sin necesidad de liberar sus ecuaciones de términos irracionales.

Leibniz anunció en 1674 a Oldenburg, entonces secretario de la Royal Society, que poseía métodos analíticos muy generales, mediante los cuales había hallado teoremas de gran importancia sobre la cuadratura del círculo por medio de series.

En respuesta, Oldenburg declaró que Newton y James Gregory también habían descubierto métodos de cuadraturas, los cuales se extendían al círculo. Leibniz deseaba que se le comunicaran dichos métodos; y Newton, a petición de Oldenburg y Collins, escribió al primero las célebres cartas del 13 de junio y el 24 de octubre de 1676.

La primera contenía el Teorema del Binomio y una variedad de otros asuntos relativos a series infinitas y cuadraturas; pero nada directamente sobre el método de las fluxiones.

Leibniz in reply speaks in the highest terms of what Newton had done, and requests further explanation. Newton in his second letter just mentioned explains the way in which he found the Binomial Theorem, and also communicates his method of fluxions and fluents in form of an anagram in which all the letters in the sentence communicated were placed in alphabetical order.

Thus Newton says that his method of drawing tangents was $6 a\,cc\,d\,æ 13 e\,ff 7 i 3 l 9 n 4 o 4 q\,rr 4 s 9 t 12 v\,x .$

The sentence was, latin"Data æquatione quotcunque fluentes quantitates involvente fluxiones invenire, et vice versa." ("Having any given equation involving never so many flowing quantities, to find the fluxions, and vice versa.")

Surely this anagram afforded no hint.

Leibniz escribió una respuesta a Collins en la que, sin ningún deseo de ocultación, explicó el principio, la notación y el uso del cálculo diferencial.

La muerte de Oldenburg puso fin a esta correspondencia. Nada de importancia sucedió hasta 1684, cuando Leibniz publicó su primer artículo sobre el cálculo diferencial en las Actas de Leipzig, de modo que, si bien la pretensión de Newton a la prioridad de la invención debe ser admitida por todos, también hay que conceder que Leibniz fue el primero en brindar al mundo el beneficio pleno del cálculo.

Así, mientras la invención de Newton permaneció en secreto, comunicada tan solo a unos pocos amigos, el cálculo de Leibniz se extendía por el continente. Todavía no existía rivalidad ni hostilidad alguna entre los ilustres científicos. Newton expresó una opinión muy favorable sobre los inventos de Leibniz, conocidos por él a través de la citada correspondencia con Oldenburg, en el siguiente célebre escolio (Principia, primera edición, 1687, Libro II, Prop. 7, escolio):–

"En cartas que cruzamos entre mí y aquel geótrice eximio, G. G. Leibniz, hace diez años, cuando le indiqué que poseía el conocimiento de un método para determinar máximos y mínimos, para trazar tangentes y cosas semejantes, y cuando lo oculté en letras traspuestas que contenían esta sentencia (Dada la ecuación, etc., citada más arriba), aquel hombre preclaro me respondió por carta que él también había dado con un método del mismo género, y me comunicó su método, que apenas difería del mío, salvo en sus formas de palabras y símbolos."

En lo que respecta a este pasaje, veremos que Newton fue posteriormente lo suficientemente débil, como dice De Morgan:

"Primero, para negar el sentido claro y obvio, y segundo, para omitirlo por completo de la tercera edición de los Principia".

En el continente, Leibniz y sus colaboradores, los hermanos Jakob y Johann Bernoulli, hicieron grandes progresos en el cálculo, y

Marquis de l'Hospital.

En 1695 Wallis comunicó a Newton por carta que "había oído que sus nociones de fluxiones pasaban en Holanda con gran aplauso bajo el nombre de Calculus Differentialis de Leibniz".

En consecuencia, Wallis afirmó en el prefacio de un volumen de sus obras que el calculus differentialis era el método de fluxiones de Newton que se le había comunicado a Leibniz en las cartas de Oldenburg.

Una reseña de las obras de Wallis, en las Actas de Leipzig de 1696, recordó al lector la propia admisión de Newton en el escolio citado anteriormente.

Durante quince años, Leibniz había disfrutado sin oposición del honor de ser el inventor de su cálculo. Pero en 1699 Fato de Duillier, un suizo establecido en Inglaterra, expresó en un artículo matemático presentado a la Royal Society su convicción de que Newton era el primer inventor; añadiendo que, en cuanto a si Leibniz, el segundo inventor, había tomado algo prestado del otro, lo dejaría al juicio de quienes habían visto las cartas y manuscritos de Newton.

Esta fue la primera insinuación clara de plagio. Al parecer, los matemáticos ingleses llevaban algún tiempo albergar sospechas desfavorables hacia Leibniz. Sin duda, había prevalecido durante mucho tiempo el sentimiento de que Leibniz, durante su segunda visita a Londres en 1676, había visto —o bien podría haber visto— entre los papeles de Collins,

Analysis per æquationes, etc., de Newton, que contenía aplicaciones del método de las fluxiones, pero ningún desarrollo o explicación sistemática del mismo. Leibniz ciertamente vio al menos una parte de este tratado.

Durante la semana que pasó en Londres, tomó nota de todo lo que le interesaba entre las cartas y papeles de Collins. Sus notas, descubiertas por Gerhardt en 1849 en la biblioteca de Hanóver, ocupan dos hojas.40

La que se refiere a nuestra cuestión lleva por título "Excerpta ex tractatu Newtoni Msc. de Analysi per æquationes numero terminorum infinitas". Las notas son muy breves, a excepción de las De Resolutione æquationum affectarum, de las cuales hay una copia casi completa. Esta parte era evidentemente nueva para él. Si examinó todo el tratado de Newton, las otras partes no le impresionaron especialmente.

De él parece no haber obtenido nada relativo al cálculo infinitesimal. Mediante la introducción previa de su propio algoritmo, había hecho mayores progresos que con lo que llegó a su conocimiento en Londres. Nada de lo matemático que había recibido ocupó sus pensamientos en el futuro inmediato, pues en su camino de regreso a Holanda compuso un largo diálogo sobre temas mecánicos.

Las insinuaciones de Duillier encendieron una llama de discordia que apenas bastó un siglo entero para extinguir. Leibniz, que nunca había disputado la prioridad del descubrimiento de Newton, y que parecía bastante satisfecho con la admisión de Newton en su escolio, comparece ahora por primera vez en la controversia. Dio una respuesta animada en las Actas de Leipzig y se quejó ante la Royal Society de la injusticia que se le había hecho.

Aquí quedó el asunto por algún tiempo.

En la Quadrature of Curves, publicada en 1704, se hizo pública por primera vez una exposición formal del método y la notación de las fluxiones.

En 1705 apareció en las Actas de Leipzig una reseña desfavorable sobre esto, que afirmaba que Newton usa y siempre ha usado fluxiones en lugar de las diferencias de Leibniz. Los amigos de Newton consideraron esto como una imputación de plagio hacia su líder, pero esta interpretación siempre fue rechazada enérgicamente por Leibniz.

Keill, profesor de astronomía en Oxford, emprendió con más celo que juicio la defensa de Newton. En un artículo incluido en las Philosophical Transactions de 1708, afirmó que Newton fue el primer inventor de las fluxiones y «que el mismo cálculo fue publicado más tarde por Leibniz, habiendo cambiado el nombre y el modo de notación». Leibniz se quejó ante el secretario de la Royal Society por el mal trato y solicitó la intervención de dicho organismo para inducir a Keill a desmentir la intención de imputar fraude.

A Keill no se le obligó a retractarse de su acusación; por el contrario, fue autorizado por Newton y la Real Sociedad para explicar y defender su afirmación. Esto lo hizo en una larga carta. Leibniz se quejó entonces de que la acusación era ahora más abierta que antes, y apeló a la justicia de la Real Sociedad y del propio Newton.

La Royal Society, apelada de este modo como juez, nombró un comité que reunió e informó sobre una gran cantidad de documentos —en su mayoría cartas de y para Newton, Leibniz, Wallis, Collins, etc.—. Este informe, llamado el

Commercium Epistolicum, apareció en el año 1712 y de nuevo en 1725, con una Recensio como prefacio y notas adicionales de Keill.

La conclusión final del Commercium Epistolicum fue que Newton era el primer inventor. Pero esto no venía al caso. La cuestión no era si Newton era el primer inventor, sino si Leibniz había robado el método.

El comité no se había aventurado formalmente a afirmar su creencia de que Leibniz era un plagiarario. Sin embargo, a lo largo de todo el documento corre el deseo de probar que Leibniz era culpable de más de lo que pretendían afirmar categóricamente.

Leibniz protestó solo en cartas privadas contra el procedimiento de la Royal Society, declarando que no respondería a un argumento tan débil.

John Bernoulli, en una carta a Leibniz que se publicó más tarde en un folleto anónimo, se muestra tan decididamente injusto con Newton como lo habían sido los amigos de este último con Leibniz.

Keill replicó, y entonces Newton y Leibniz aparecen como acusadores mutuos en varias cartas dirigidas a terceras partes.

En una carta a Conti, del 9 de abril de 1716, Leibniz volvió a recordarle a Newton la admisión que había hecho en el escolio, la cual ahora deseaba desmentir; Leibniz afirma también que siempre creyó en Newton, pero que, al verlo connivente con acusaciones que debía de saber que eran falsas, era natural que él (Leibniz) empezara a dudar.

Newton no respondió a esta carta, sino que hizo circular entre sus amigos algunos comentarios que publicó inmediatamente después de enterarse de la muerte de Leibniz, el 14 de noviembre de 1716.

Este escrito de Newton da la siguiente explicación relativa al escolio en cuestión:

"Él [Leibniz] pretende que en mi libro de los principios le concedí la invención del calculus differentialis, independientemente de la mía; y que atribuirme esta invención es contrario a lo que allí reconozco expresamente. Pero en el párrafo a que se alude no encuentro ni una sola palabra con este propósito".

En la tercera edición de los Principia, de 1726, Newton omitió el escolio y lo sustituyó por otro en el que no aparece el nombre de Leibniz.

El orgullo nacional y el sentimiento partidista impidieron durante mucho tiempo la adopción de opiniones imparciales en Inglaterra, pero ahora es generalmente admitido por casi todos los familiarizados con el asunto, que Leibniz fue realmente un inventor independiente.

Quizás la evidencia más elocuente para demostrar que Leibniz fue un inventor independiente se encuentra en el estudio de sus artículos matemáticos (recopilados y editados por C. I. Gerhardt, en seis volúmenes, Berlín, 1849-1860), los cuales señalan una evolución gradual y natural de las reglas del cálculo en su propia mente.

"Existió a lo largo de toda la disputa", dice De Morgan, "una confusión entre el conocimiento de las fluxiones o diferenciales y el de un cálculo de fluxiones o diferenciales; es decir, un método digerido con reglas generales".

Esta controversia es de lamentar debido a la larga y amarga enajenación que produjo entre los matemáticos ingleses y continentales.

Detuvo casi por completo todo intercambio de ideas sobre temas científicos.
Los ingleses se apegaron estrechamente a los métodos de Newton y, hasta alrededor de 1820, permanecieron, en la mayoría de los casos, ignorantes de los brillantes descubrimientos matemáticos que se estaban realizando en el continente.
La pérdida en cuanto a ventaja científica estuvo casi en su totalidad del lado de Gran Bretaña.

La única manera en que puede decirse que esta disputa impulsó, en pequeña medida, el progreso de las matemáticas es a través de los problemas de desafío con los que cada bando intentó fastidiar a sus adversarios.

La práctica recurrente de plantear problemas de desafío fue inaugurada en esta época por Leibniz. Al principio no pretendían ser provocaciones, sino meros ejercicios sobre el nuevo cálculo.

Tal fue el problema de la curva isócrona (encontrar la curva a lo largo de la cual un cuerpo cae con velocidad uniforme), propuesto por él a los cartesianos en 1687, y resuelto por el propio Jakob Bernoulli, él mismo y Johann Bernoulli.

Jakob Bernoulli propuso en el Leipzig Journal la cuestión de hallar la curva (la catenaria) formada por una cadena de peso uniforme suspendida libremente por sus extremos. Fue resuelta por Huygens,

Leibniz, y él mismo. En 1697, John Bernoulli desafió a los mejores matemáticos de Europa a resolver el difícil problema de hallar la curva (la cicloide) a lo largo de la cual un cuerpo cae de un punto a otro en el tiempo más corto posible.

Leibniz lo resolvió el día en que lo recibió. Newton, de l'Hospital y los dos Bernoulli dieron soluciones. La de Newton apareció anónimamente en las Philosophical Transactions, pero John Bernoulli reconoció en ella su poderosa mente, «tanquam», dice, «ex ungue leonem».

El problema de las trayectorias ortogonales (dado un sistema de curvas descritas por una ley conocida, describir una curva que las corte a todas en ángulos rectos) había sido propuesto hacía tiempo en los Acta Eruditorum, pero al principio no recibió mucha atención. Fue propuesto nuevamente en 1716 por Leibniz, para tomarle el pulso a los matemáticos ingleses.

Esto puede considerarse como el primer problema de desafío dirigido expresamente a los ingleses. Newton lo resolvió la misma tarde en que se le entregó, aunque estaba muy fatigado por el trabajo del día en la casa de la moneda.

Su solución, tal como se publicó, era más bien un plan general de investigación que una solución real y, por ello, Bernoulli la criticó por considerarla carente de valor. Brook Taylor emprendió su defensa, pero terminó empleando un lenguaje muy censurable.

Bernoulli no se quedó atrás en grosería y dio una respuesta amarga. No mucho después, Taylor envió un desafío abierto a los matemáticos continentales sobre un problema relativo a la integración de una fluxión de forma complicada que era conocido por muy pocos geómetras en Inglaterra y se suponía que iba más allá de las capacidades de sus adversarios.

La selección fue poco acertada, pues Bernoulli ya había explicado mucho antes el método de esta y similares integraciones. No sirvió más que para demostrar la habilidad y acrecentar el triunfo de los seguidores de Leibniz.

El último y más torpe desafío fue el de John Keill. El problema consistía en hallar la trayectoria de un proyectil en un medio que ofrece resistencia proporcional al cuadrado de la velocidad. Sin asegurarse primero de que él mismo podía resolverlo, Keill desafió audazmente a Bernoulli a presentar una solución.

Este último resolvió la cuestión en muy poco tiempo, no solo para una resistencia proporcional al cuadrado, sino a cualquier potencia de la velocidad. Sospechando la debilidad del adversario, ofreció repetidamente enviar su solución a una persona de confianza en Londres, con la condición de que Keill hiciera lo mismo. Keill nunca respondió, y Bernoulli lo insultó y se regodeó cruelmente a su costa.26

Las explicaciones de los principios fundamentales del cálculo, tal como las dieron Newton y Leibniz, carecían de claridad y rigor. Por esa razón, este encontró oposición en varios sectores.

En 1694, el holandés Bernard Nieuwentyt negó la existencia de diferenciales de órdenes superiores y objetó la práctica de despreciar las cantidades infinitamente pequeñas. Leibniz no pudo responder satisfactoriamente a estas objeciones. En su réplica afirmó que el valor de $\frac{d y}{d x}$ en geometría podía expresarse como la razón de cantidades finitas.

En la interpretación de $d x$ y $d y$ , Leibniz vaciló. En ocasiones aparecen en sus escritos como líneas finitas; luego se les denomina cantidades infinitamente pequeñas y, de nuevo, quantitates inassignabiles, que surgen a partir de quantitates assignabiles por la ley de continuidad. En esta última presentación, Leibniz se acercó más a Newton.

En Inglaterra los principios de las fluxiones fueron audazmente atacados por el obispo Berkeley, el eminente metafísico, quien argumentó con gran agudeza, sosteniendo, entre otras cosas, que la idea fundamental de suponer que existe una razón finita entre términos absolutamente evanescentes —«los fantasmas de cantidades difuntas», como los llamó— era absurda e ininteligible.

La respuesta dada por Jurin no logró eliminar todas las objeciones. Berkeley fue el primero en señalar lo que más tarde volvería a mostrar Lazare Carnot, a saber, que se llegaba a respuestas correctas mediante una «compensación de errores».

El ataque de Berkeley no careció de buenos resultados, pues fue la causa directa de la obra sobre fluxiones de Maclaurin. En Francia, Michel

Rolle rechazó el cálculo diferencial y mantuvo una controversia con Varignon sobre el tema.

Entre los promotores más enérgicos del cálculo en el continente se encontraban los Bernoulli. Ellos y Euler hicieron famosa a Basilea, en Suiza, como la cuna de grandes matemáticos. La familia Bernoulli produjo a lo largo de un siglo ocho miembros que se distinguieron en las matemáticas.

A continuación, añadimos la siguiente tabla genealógica:–-

lll@ Jacob, 1654–1705 Nicolaus Johann, 1667–1748 $|$ $|$ Nicolaus, 1687–1759 Nicolaus, 1695–1726 Daniel, 1700–1782 Johann, 1710–1790 2c [c]$

ccc@ Daniel Johann, 1744–1807 Jacob, 1758–1789

^Nicolaus Bernoulli, el Padre

Los más célebres fueron los dos hermanos Jacob (James) y Johann (John), y Daniel, el hijo de John. James y

John were staunch friends of Leibniz and worked hand in hand with him. James Bernoulli (1654–1705) was born in

Basilea. Interesado en el cálculo, lo dominó sin la ayuda de un maestro. Desde 1687 hasta su muerte ocupó la cátedra de matemáticas en la Universidad de Basilea.

Él fue el primero en dar solución al problema de la curva isócrona de Leibniz. En su solución, publicada en los Acta Eruditorum, 1690, nos encontramos por primera vez con la palabra integral. Leibniz había llamado al cálculo integral calculus summatorius, pero en 1696 el término calculus integralis fue acordado entre Leibniz y Johann Bernoulli.

James propuso el problema de la catenaria, luego demostró la exactitud de la construcción de Leibniz de esta curva, y resolvió los problemas más complicados, suponiendo que la cuerda era (1) de densidad variable, (2) extensible, (3) sobre la cual actuaba en cada punto una fuerza dirigida hacia un centro fijo. De estos problemas publicó respuestas sin explicaciones, mientras que su hermano Juan dio además la teoría de estas.

Él determinó la forma de la "curva elástica" formada por una placa o varilla elástica fija por un extremo y doblada por un peso aplicado en el otro extremo; de la "lintearia", una placa rectangular flexible con dos lados fijos horizontalmente a la misma altura, llena de un líquido; de la "volaria", una vela rectangular inflada por el viento.

Estudió las espirales loxodrómica y logarítmica, en esta última encontrando un deleite particular por su notable propiedad de reproducirse a sí misma bajo una variedad de condiciones. Siguiendo el ejemplo de Arquímedes, dispuso en su testamento que dicha curva fuera grabada en su lápida con la inscripción "eadem mutata resurgo".

En 1696 propuso el famoso problema de las figuras isoperimétricas y en 1701 publicó su propia solución.

Escribió una obra sobre el Ars Conjectandi, que es un desarrollo del cálculo de probabilidades y contiene la investigación llamada ahora "teorema de Bernoulli" y los denominados "números de Bernoulli", que son de hecho (aunque él no los considerara así) los coeficientes de $\frac{x^{n}}{n!}$ en el desarrollo de $(e^{x} - 1)^{- 1}$ .

De sus obras completas, en tres volúmenes, uno se imprimió en 1713 y los otros dos en 1744.

John Bernoulli (1667–1748) fue iniciado en las matemáticas por su hermano. Posteriormente visitó Francia, donde conoció a Malebranche, Cassini, De Lahire, Varignon y a de l'Hospital. Durante diez años ocupó la cátedra de matemáticas en Groninga y luego sucedió a su hermano en Basilea.

Fue uno de los profesores más entusiastas y de los investigadores originales más exitosos de su época. Fue miembro de casi todas las sociedades científicas de Europa. Sus controversias fueron casi tan numerosas como sus descubrimientos. Era ferviente en sus amistades, pero injusto, mezquino y violento hacia todos los que se ganaban su antipatía, incluso su propio hermano e hijo.

Mantuvo una amarga disputa con James sobre el problema isoperimétrico. James lo condenó por varios paralogismos. Tras la muerte de su hermano, intentó sustituir una solución disfrazada del primero por una incorrecta suya propia.

John admiraba los méritos de Leibniz y Euler, pero era ciego ante los de Newton. Enriqueció inmensamente el cálculo integral con sus trabajos. Entre sus descubrimientos se encuentran el cálculo exponencial, la línea de descenso más rápido y su hermosa relación con la trayectoria descrita por un rayo que atraviesa estratos de densidad variable. Trató la trigonometría mediante el método analítico, estudió las curvas cáusticas y las trayectorias. En varias ocasiones fue premiado por la Academia de Ciencias de París.

De sus hijos, Nicolás y Daniel fueron nombrados profesores de matemáticas al mismo tiempo en la Academia de San Petersburgo.

El primero murió pronto en la flor de la vida; el segundo regresó a Basilea en 1733, donde asumió la cátedra de filosofía experimental.

Su primera publicación matemática fue la solución de una ecuación diferencial propuesta por Riccati. Escribió una obra sobre hidrodinámica.

Sus investigaciones sobre la probabilidad son notables por su audacia y originalidad. Propuso la teoría de la esperanza moral, que creía daría resultados más acordes con nuestras nociones ordinarias que la teoría de la probabilidad matemática. Su «esperanza moral» se ha vuelto clásica, pero nadie la utiliza jamás.

Aplica la teoría de la probabilidad a los seguros; a determinar la mortalidad causada por la viruela en diversas etapas de la vida; a determinar el número de supervivientes a una edad dada a partir de un número dado de nacimientos; a determinar cuánto prolonga la inoculación la duración media de la vida.

Mostró cómo se podía utilizar el cálculo diferencial en la teoría de la probabilidad. Él y Euler disfrutaron del honor de haber ganado o compartido nada menos que diez premios de la Academia de Ciencias de París.

Johann Bernoulli (nacido en 1710) sucedió a su padre en la cátedra de matemáticas en Basilea. Obtuvo tres premios (sobre el cabrestante, la propagación de la luz y el imán) de la Academia de Ciencias de París.

Nicolaus Bernoulli (nacido en 1687) ocupó durante un tiempo la cátedra de matemáticas en Padua que Galileo había ocupado en su día.

Johann Bernoulli (nacido en 1744), a la edad de diecinueve años, fue nombrado astrónomo real en Berlín y, más tarde, director del departamento de matemáticas de la Academia. Su hermano Jacob asumió las funciones de la cátedra de física experimental en Basilea, desempeñadas anteriormente por su tío Jacob, y posteriormente fue nombrado profesor de matemáticas en la Academia de San Petersburgo.

Se hará ahora una breve mención de algunos otros matemáticos pertenecientes al período de Newton, Leibniz y los Bernoulli mayores.

Guillaume François Antoine l'Hospital (1661–1704), discípulo de John Bernoulli, ya ha sido mencionado como participante en los desafíos lanzados por Leibniz y los Bernoulli.

Contribuyó poderosamente a dar a conocer el cálculo de Leibniz a la masa de matemáticos mediante la publicación de un tratado sobre el mismo en 1696. Este contiene por primera vez el método para hallar el valor límite de una fracción cuyos dos términos tienden hacia cero al mismo tiempo.

Otro entusiasta defensor francés del cálculo fue Pierre Varignon (1654–1722).

Joseph Saurin (1659–1737) resolvió el delicado problema de cómo determinar las tangentes en los puntos múltiples de las curvas algebraicas.

François Nicole (1683–1758)

en 1717 publicó el primer tratado sistemático sobre diferencias finitas, en el que halla las sumas de un número considerable de series interesantes. Escribió también sobre ruletas, en particular sobre las epicicloides esféricas, y su rectificación.

También interesado en las diferencias finitas estuvo Pierre Raymond de Montmort

(1678–1719). Sus principales escritos sobre la teoría de la probabilidad sirvieron para estimular a su más distinguido sucesor, De Moivre.

Jean Paul de Gua (1713–1785) dio la demostración de la regla de los signos de Descartes, que ahora aparece en los libros. Este hábil geómetra escribió en 1740 una obra sobre geometría analítica, cuyo objeto era demostrar que la mayoría de las investigaciones sobre curvas podían llevarse a cabo con el análisis de Descartes con la misma facilidad que con el cálculo.

Muestra cómo hallar las tangentes, asíntotas y varios puntos singulares de curvas de todos los grados, y demostró mediante la perspectiva que varios de estos puntos pueden estar en el infinito.

Un matemático que se aferró a los métodos de los antiguos fue Philippe de Lahire (1640–1718), alumno de

Desargues. Su obra sobre las secciones cónicas es puramente sintética, pero difiere de los tratados antiguos en la deducción de las propiedades de las cónicas a partir de las de la circunferencia del mismo modo que lo hicieron Desargues y Pascal. Sus innovaciones guardan una estrecha relación con la geometría sintética moderna. Escribió sobre ruletas, métodos gráficos, epicicloides, concoides y cuadrados mágicos.

Michel Rolle (1652–1719) es el autor de un teorema que lleva su nombre.

De los matemáticos italianos, no deben dejar de mencionarse a Riccati y Fagnano.

Jacopo Francesco, conde Riccati (1676–1754), es más conocido en relación con su problema, llamado la ecuación de Riccati, publicado en los Acta Eruditorum en 1724. Logró integrar esta ecuación diferencial para algunos casos especiales.

Un geómetra de notable talento fue Giulio Carlo, conde de Fagnano (1682–1766). Descubrió la siguiente fórmula, $π = 2 i \log \frac{1 - i}{1 + i}$ , en la cual se anticipó a Euler en el uso de exponentes y logaritmos imaginarios. Sus estudios sobre la rectificación de la elipse y la hipérbola son los puntos de partida de la teoría de las funciones elípticas. Demostró, por ejemplo, que se pueden encontrar dos arcos de una elipse de un número indefinido de maneras, cuya diferencia es expresable mediante una línea recta.

En Alemania el único contemporáneo notable de Leibniz es

Ehrenfried Walter Tschirnhausen (1651–1708), que descubrió la cáustica de reflexión, experimentó con reflectores metálicos y grandes lentes ustorias, y nos legó un método de transformación de ecuaciones que lleva su nombre.

Convencido de que los métodos más simples (como los de los antiguos) son los más correctos, concluyó que en las investigaciones relativas a las propiedades de las curvas bien se podía prescindir del cálculo.

Tras la muerte de Leibniz no quedó en Alemania ni un solo matemático de nota. Christian Wolf (1679–1754), profesor en Halle, aspiraba a figurar como sucesor de Leibniz, pero «forzó las ingeniosas ideas de Leibniz en una escolástica pedante, y tuvo la envidiable reputación de haber presentado los elementos de la aritmética, el álgebra y el análisis desarrollados desde la época del Renacimiento bajo la forma de Euclides,–por supuesto que solo en la forma exterior, pues en su espíritu era del todo incapaz de penetrar».16

Los contemporáneos y sucesores inmediatos de Newton en la Gran Bretaña fueron hombres de no escaso mérito. Hacemos referencia a Cotes, Taylor, Maclaurin y De Moivre.

Se nos dice que a la muerte de Roger Cotes (1682–1716), Newton exclamó: «Si Cotes hubiera vivido, podríamos haber sabido algo». Fue a petición del Dr. Bentley que Cotes asumió la publicación de la segunda edición de los Principia de Newton.

Sus trabajos matemáticos fueron publicados después de su muerte por Robert Smith, su sucesor en la cátedra plumiana del Trinity College. El título de la obra, Harmonia Mensurarum, fue sugerido por el siguiente teorema contenido en ella:

Si en cada radio vector, a través de un punto fijo $O$ , se toma un punto $R$ tal que el recíproco de $O R$ sea la media aritmética de los recíprocos de $O R_{1}, O R_{2}, \dots O R_{n}$ , entonces el lugar geométrico de $R$ será una línea recta.

En esta obra se lograron avances en la aplicación de los logaritmos y de las propiedades del círculo al cálculo de fluentes. A Cotes debemos un teorema de trigonometría que depende de la formación de factores de $x^{n} - 1$ .

Entre los principales admiradores de Newton se encontraban Taylor y Maclaurin. La disputa entre los matemáticos ingleses y continentales hizo que trabajaran con bastante independencia de sus grandes contemporáneos al otro lado del Canal.

Brook Taylor (1685–1731) se interesó por muchas ramas del saber y, en la última etapa de su vida, se dedicó principalmente a especulaciones religiosas y filosóficas. Su obra principal, Methodus incrementorum directa et inversa, Londres, 1715–1717, añadió una nueva rama a las matemáticas, llamada hoy en día "diferencias finitas".

Él hizo muchas aplicaciones importantes del mismo, particularmente al estudio de la forma del movimiento de las cuerdas vibrantes, reducidas por primera vez a principios mecánicos por él.

Este trabajo contiene también el «teorema de Taylor», cuya importancia no fue reconocida por los analistas durante más de cincuenta años, hasta que Lagrange señaló su potencia.

Su demostración del mismo no considera la cuestión de la convergencia y carece por completo de valor. La primera demostración rigurosa fue dada un siglo más tarde por Cauchy.

El trabajo de Taylor contiene la primera explicación correcta de la refracción astronómica.

Escribió también una obra sobre perspectiva lineal, un tratado que, al igual que sus otros escritos, adolece de falta de plenitud y claridad de expresión.

A la edad de veintitrés años dio una solución notable al problema del centro de oscilación, publicada en 1714. Su derecho a la prioridad fue disputado injustamente por Johann Bernoulli.

Colin Maclaurin (1698–1746) fue elegido profesor de matemáticas en Aberdeen a la edad de diecinueve años mediante un concurso-oposición, y en 1725 sucedió a James Gregory en la Universidad de Edimburgo.

Disfrutó de la amistad de Newton y, inspirado por los descubrimientos de este, publicó en 1719 su Geometria Organica, que contiene un nuevo y notable método para generar cónicas, conocido con su nombre.

Un segundo tratado, De Linearum geometricarum Proprietatibus, de 1720, destaca por la elegancia de sus demostraciones. Se basa en dos teoremas:

el primero es el teorema de Cotes;
el segundo es

De Maclaurin: Si por cualquier punto $O$ se traza una línea que corta a la curva en $n$ puntos, y en estos puntos se trazan tangentes, y si cualquier otra línea por $O$ corta a la curva en $R_{1}$ , $R_{2}$ , etc., y al sistema de $n$ tangentes en $r_{1}$ , $r_{2}$ , etc., entonces $\sum \frac{1}{O R} = \sum \frac{1}{O r}$ . Este teorema y el de Cotes son generalizaciones de teoremas de Newton. Maclaurin los utiliza en su tratamiento de curvas de segundo y tercer grado, culminando en el notable teorema de que si un cuadrilátero tiene sus vértices y los dos puntos de intersección de sus lados opuestos sobre una curva de tercer grado, entonces las tangentes trazadas en dos vértices opuestos se cortan entre sí sobre la curva. Dedujo de forma independiente el teorema de Pascal sobre el hexagrama.

La siguiente es su ampliación de este teorema (Phil. Trans., 1735):

Si un polígono se mueve de tal manera que cada uno de sus lados pasa por un punto fijo, y si todos sus vértices, excepto uno, describen curvas de los grados $m$ , $n$ , $p$ , etc., respectivamente, entonces el vértice libre se mueve sobre una curva del grado $2 m n p \dots$ , que se reduce a $m n p \dots$ cuando los puntos fijos se encuentran todos sobre una línea recta.

Maclaurin escribió sobre curvas podarias. Es el autor de una Álgebra. El objetivo de su tratado sobre las fluxiones era fundamentar la doctrina de las fluxiones en demostraciones geométricas al modo de los antiguos y, así, mediante una exposición rigurosa, responder a ataques como los de Berkeley de que la doctrina se basaba en razonamientos falsos.

Las Fluxions contenían por primera vez la forma correcta de distinguir entre máximos y mínimos, y explicaban su uso en la teoría de los puntos múltiples.

El "teorema de Maclaurin" había sido dado previamente por James Stirling, y no es más que un caso particular del "teorema de Taylor".

Anexo al tratado sobre las Fluxiones se encuentra la solución a una serie de hermosos problemas geométricos, mecánicos y astronómicos, en los que emplea los métodos antiguos con tan consumada maestría que indujo a Clairaut a abandonar los métodos analíticos y a abordar el problema de la figura de la tierra mediante geometría pura. Sus soluciones suscitaron la más viva admiración de Lagrange.

Maclaurin investigó la atracción del elipsoide de revolución y demostró que una masa líquida homogénea que gira uniformemente alrededor de un eje bajo la acción de la gravedad debe adoptar la forma de un elipsoide de revolución. Newton había enunciado este teorema sin demostración.

A pesar del genio de Maclaurin, su influencia en el progreso de las matemáticas en Gran Bretaña fue desafortunada; pues, con su ejemplo, indujo a sus compatriotas a desdeñar el análisis y a mostrarse indiferentes ante el maravilloso progreso del análisis superior logrado en el continente.

Nos queda por hablar de Abraham de Moivre (1667–1754), quien era de ascendencia francesa, pero se vio obligado a abandonar Francia a la edad de dieciocho años, tras la Revocación del Edicto de Nantes. Se estableció en Londres, donde impartió clases de matemáticas. Vivió hasta la avanzada edad de ochenta y siete años y cayó en un estado de letargo casi total.

Su sustento dependía últimamente de la resolución de preguntas sobre juegos de azar y problemas de probabilidades, que solía plantear en una taberna de St. Martin's Lane. Poco antes de su muerte declaró que le era necesario dormir diez o veinte minutos más cada día. El día después de haber alcanzado un total de más de veintitrés horas, durmió exactamente veinticuatro horas y luego falleció mientras dormía.

De Moivre disfrutó de la amistad de Newton y Halley. Su talento como matemático radicaba en la investigación analítica más que en la geométrica. Revolucionó la trigonometría superior mediante el descubrimiento del teorema que lleva su nombre y al extender los teoremas sobre la multiplicación y división de sectores desde el círculo hasta la hipérbola. Su obra sobre la teoría de la probabilidad supera a cualquier otra realizada por cualquier otro matemático, con excepción de Laplace.

Sus principales contribuciones son sus investigaciones respecto a la duración del juego, su teoría de las series recurrentes y su extensión del valor del teorema de Bernoulli con la ayuda del teorema de Stirling.42 Sus obras principales son The Doctrine of Chances, 1716, Miscellanea Analytica, 1730, y sus artículos en las Philosophical Transactions.