Durante la época de noventa años, desde 1730 hasta 1820, los franceses y los suizos cultivaron las matemáticas con el más brillante éxito.

Ningún periodo anterior había mostrado tal despliegue de nombres ilustres. En este tiempo Suiza tuvo a su Euler; Francia, a sus Lagrange, Laplace, Legendre y Monge. A la mediocridad de las matemáticas francesas que caracterizó la época de Luis XIV le siguió ahora uno de los periodos más brillantes de toda la historia.

Inglaterra y Alemania, por otra parte, que durante el periodo improductivo en Francia tuvieron a su Newton y a su Leibniz, no podían presumir ahora de ningún gran matemático. Francia blandía ahora el cetro matemático.

Los estudios matemáticos entre los pueblos inglés y alemán habían caído al nivel más bajo. Entre ellos, la dirección de la investigación original estuvo mal elegida.

La primera se aferró con parcialidad excesiva a los antiguos métodos geométricos;
la segunda produjo la escuela combinatoria, que no dio nada de valor.

Los trabajos de Euler, Lagrange y Laplace se centraron en el análisis superior, y este lo desarrollaron hasta un grado maravilloso.

Mediante ellos, el análisis quedó completamente separado de la geometría.

Durante el período precedente, el esfuerzo de los matemáticos, no solo en Inglaterra, sino también, hasta cierto punto, en el continente, se había dirigido hacia la solución de problemas revestidos con ropaje geométrico, y los resultados del cálculo se reducían habitualmente a forma geométrica.

Un cambio tuvo lugar entonces.

Euler logró la emancipación del cálculo analítico respecto de la geometría y lo estableció como una ciencia independiente. Lagrange y Laplace se apegaron escrupulosamente a esta separación.

Sobre la amplia base sentada para el análisis superior y la mecánica por Newton y Leibniz, Euler, con una fecundidad de mente sin par, erigió una elaborada estructura.

Hay pocas grandes ideas cultivadas por los analistas sucesivos que no hayan sido sugeridas por Euler, o de las cuales él no haya compartido el honor de la invención.

Con, tal vez, menor exuberancia de invención, pero con un genio más abarcador y un razonamiento más profundo, Lagrange desarrolló el cálculo infinitesimal y dio a la mecánica analítica la forma en que hoy la conocemos.

Laplace aplicó el cálculo y la mecánica a la elaboración de la teoría de la gravitación universal y, así, ampliando y complementando en gran medida las labores de Newton, ofreció una discusión analítica completa del sistema solar.

También escribió una obra que marcó época sobre la Probabilidad.

Entre las ramas analíticas creadas durante este periodo se encuentran el cálculo de variaciones de Euler y Lagrange, los armónicos esféricos de Laplace y Legendre, y las integrales elípticas de Legendre.

Si comparamos el desarrollo del análisis en esta época con el desarrollo durante la época de Gauss, Cauchy y los matemáticos recientes, observamos una diferencia importante.

Durante el período anterior somos testigos principalmente de un desarrollo en lo que respecta a la forma. Depositando una confianza casi implícita en los resultados del cálculo, los matemáticos no siempre se detenían a descubrir pruebas rigurosas, y así fueron conducidos a proposiciones generales, algunas de las cuales se ha descubierto desde entonces que solo son verdaderas en casos particulares.

La Escuela Combinatoria en Alemania llevó esta tendencia al extremo más absoluto; adoraban el formalismo y no prestaban atención al contenido real de las fórmulas.

Pero en los tiempos recientes se ha añadido a la destreza en el tratamiento formal de los problemas un rigor de demostración muy necesario. Un buen ejemplo de este mayor rigor se observa en el uso actual de las series infinitas en comparación con el de Euler y el de Lagrange en sus obras anteriores.

El ostracismo de la geometría, provocado por las mentes maestras de este periodo, no podía durar eternamente. En efecto, una nueva escuela geométrica surgió en Francia antes de finales de este periodo. Lagrange no permitía que apareciera ni un solo diagrama en su Mécanique analytique, pero trece años antes de su muerte, Monge publicó su obra fundamental

Geometría descriptiva.

Leonhard Euler (1707–1783) was born in Basel. His father, a minister, gave him his first instruction in mathematics and then sent him to the University of Basel, where he became a favourite pupil of John Bernoulli.

In his nineteenth year he composed a dissertation on the masting of ships, which received the second prize from the French Academy of Sciences. When John Bernoulli's two sons, Daniel and Nicolaus, went to Russia, they induced Catharine I., in 1727, to invite their friend Euler to St. Petersburg, where Daniel, in 1733, was assigned to the chair of mathematics.

In 1735 the solving of an astronomical problem, proposed by the Academy, for which several eminent mathematicians had demanded some months' time, was achieved in three days by Euler with aid of improved methods of his own. But the effort threw him into a fever and deprived him of the use of his right eye. With still superior methods this same problem was solved later by the illustrious Gauss in one hour!47 The despotism of Anne I.

hizo que el apacible Euler se alejara de los asuntos públicos y dedicara todo su tiempo a la ciencia. Tras su convocatoria a Berlín por Federico el Grande en 1747, la reina de Prusia, que lo recibió amablemente, se extrañó de que un erudito tan distinguido fuera tan tímido y reticente. Euler respondió con ingenuidad: «Señora, es porque vengo de un país donde, cuando uno habla, es ahorcado».

En 1766 obtuvo con dificultad permiso para partir de Berlín y aceptar una invitación de Catalina II a San Petersburgo. Poco después de su regreso a Rusia quedó ciego, pero esto no detuvo su maravillosa productividad literaria, que continuó durante diecisiete años, hasta el día de su muerte.45

Dictó a su criado su Anleitung zur Algebra (Introducción al álgebra), de 1770, que, aunque puramente elemental, es meritoria por ser uno de los primeros intentos de fundamentar los procesos básicos sobre una base sólida.

Euler escribió una inmensa cantidad de obras, cuyas principales son las siguientes:

Introductio in analysin infinitorum, 1748, una obra que causó una revolución en las matemáticas analíticas, una disciplina que hasta entonces nunca se había presentado de una manera tan general y sistemática;
Institutiones calculi differentialis, 1755, y Institutiones calculi integralis, 1768–1770, que fueron las obras más completas y precisas sobre el cálculo de esa época, y contuvieron no solo un resumen completo de todo lo que se conocía entonces sobre este tema, sino también las funciones Beta y Gamma y otras investigaciones originales;
Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, 1744, que, mostrando una cantidad de genio matemático pocas veces igualada, contenía sus investigaciones sobre el cálculo de variaciones (un tema mejorado posteriormente por Lagrange), a cuya invención Euler fue conducido por el estudio de las curvas isoperimétricas, la braquistocrona en un medio resistente y la teoría de las geodésicas (temas que anteriormente habían ocupado la atención de los Bernoulli mayores y otros);
la Theoria motuum planetarum et cometarum, 1744, la Theoria motus lunæ, 1753, la Theoria motuum lunæ, 1772, son sus principales obras sobre astronomía;
Ses lettres à une princesse d'Allemagne sur quelques sujets de Physique et de Philosophie, 1770, fue una obra que gozó de gran popularidad.

Procedemos a mencionar las principales innovaciones e inventos de Euler. Él trató la trigonometría como una rama del análisis, introdujo (simultáneamente con Thomas Simpson en

Inglaterra) las abreviaturas actuales de las funciones trigonométricas y fórmulas simplificadas mediante el sencillo recurso de designar los ángulos de un triángulo con $A$ , $B$ , $C$ , y los lados opuestos con $a$ , $b$ , $c$ , respectivamente.

Señaló la relación entre las funciones trigonométricas y las exponenciales.

En un artículo de 1737 encontramos por primera vez el símbolo $π$ para denotar $3, 14159 \dots$ .21

Euler sentó las reglas para la transformación de coordenadas en el espacio, y dio un tratamiento analítico metódico de las curvas planas y de las superficies de segundo orden. Fue el primero en analizar la ecuación de segundo grado en tres variables, y en clasificar las superficies representadas por ella.

Mediante criterios análogos a los utilizados en la clasificación de las cónicas, obtuvo cinco especies. Ideó un método para resolver ecuaciones bicuadráticas asumiendo $x = \sqrt{p} + \sqrt{q} + \sqrt{r}$ , con la esperanza de que lo condujera a una solución general de las ecuaciones algebraicas. El método de eliminación por resolución de una serie de ecuaciones lineales (inventado independientemente por Bézout) y el método de eliminación por funciones simétricas se deben a él.20

De gran alcance son las investigaciones de Euler sobre los logaritmos. Leibniz y John Bernoulli discutieron una vez sobre la cuestión de si un número negativo tiene logaritmo. Bernoulli afirmó que dado que $(- a)^{2} = (+ a)^{2}$ , tenemos $\log (- a)^{2} = \log (+ a)^{2}$ y $2 \log (- a) = 2 \log (+ a)$ , y finalmente $\log (- a) = \log (+ a)$ .

Euler demostró que $a$ tiene en realidad un número infinito de logaritmos, todos los cuales son imaginarios cuando $a$ es negativo, y todos excepto uno cuando $a$ es positivo. Luego explicó cómo $\log (- a)^{2}$ podría ser igual a $\log (+ a)^{2}$ , y sin embargo $\log (- a)$ no ser igual a $\log (+ a)$ .

El tema de las series infinitas cobró nueva vida gracias a él.

A sus investigaciones sobre las series debemos la creación de la teoría de las integrales definidas mediante el desarrollo de las llamadas integrales eulerianas. Advierte a sus lectores ocasionalmente contra el uso de series divergentes, pero sin embargo es muy descuidado él mismo. El tratamiento riguroso al que se someten hoy en día las series infinitas era entonces impensable. No existían nociones claras sobre lo que constituye una serie convergente. Ni Leibniz ni Jakob y Johann Bernoulli habían albergado duda alguna seria sobre la corrección de la expresión $\frac{1}{2} = 1 - 1 + 1 - 1 + \dots$ . Guido Grandi llegó tan lejos como para deducir de esto que $12 = 0 + 0 +$

0 +$. En el tratamiento de las series, Leibniz avanzó un método metafísico de demostración que dominó las mentes de los Bernoullis mayores, e incluso de Euler.46 La tendencia de ese razonamiento era justificar resultados que hoy nos parecen altamente absurdos. La laxitud del tratamiento se puede ver mejor a través de ejemplos. El mismo artículo en el que Euler advierte contra las series divergentes contiene la demostración de que

$\dots \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n} + 1 + n + n^{2} + \dots = 0 del siguiente modo: n + n^{2} + \dots = \frac{n}{1 - n}, 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}} + \dots = \frac{n}{n - 1};$

estos sumados dan cero. Euler no duda en escribir $1 - 3 + 5 - 7 + \dots = 0$ , y nadie objetó tales resultados salvo Nicolaus Bernoulli, el sobrino de Juan y Jacobo. Por extraño que parezca, Euler finalmente logró convencer a Nicolaus Bernoulli de sus propios puntos de vista erróneos.

En la actualidad es difícil creer que Euler haya escrito con tanta confianza $\sin ϕ - 2 \sin 2 ϕ + 3 \sin 3 ϕ - 4 \sin 4 ϕ + \dots = 0$ , pero tales ejemplos ofrecen ilustraciones sorprendentes de la falta de base científica de ciertas partes del análisis en aquella época.

La demostración de Euler de la fórmula del binomio para exponentes negativos y fraccionarios, que ha sido reproducida en libros de texto elementales incluso de años recientes, es defectuosa.

Un desarrollo notable, debido a Euler, es lo que denominó la serie hipergeométrica, cuya sumación observó que dependía de la integración de una ecuación diferencial lineal de segundo orden, pero quedó en manos de Gauss señalar que, para valores especiales de sus letras, esta serie representaba casi todas las funciones conocidas entonces.

Euler desarrolló el cálculo de diferencias finitas en los primeros capítulos de sus Institutiones calculi differentialis, y a partir de él dedujo el cálculo diferencial.

Estableció un teorema sobre funciones homogéneas, conocido por su nombre, y contribuyó en gran medida a la teoría de las ecuaciones diferenciales, un tema que había recibido la atención de Newton, Leibniz y los Bernoulli, pero que aún estaba por desarrollar.

Clairaut,

Fontaine y Euler observaron casi al mismo tiempo los criterios de integrabilidad, pero Euler además mostró cómo emplearlos para determinar factores integrantes. Los principios en los que se basaban los criterios entrañaban cierto grado de oscuridad.

El célebre teorema de adición para integrales elípticas fue establecido por primera vez por Euler. Inventó un nuevo algoritmo para fracciones continuas, que empleó en la solución de la ecuación indeterminada $a x + b y = c$ . Hoy sabemos que prácticamente la misma solución a esta ecuación fue dada $1000$ años antes por los hindúes.

Al dar los factores del número $2^{2^{n}} + 1$ cuando $n = 5$ , señaló que esta expresión no siempre representaba números primos, como había supuesto Fermat. Él proporcionó por primera vez la demostración del «teorema de Fermat».

y a un segundo teorema de Fermat, que establece que todo número primo de la forma $4 n + 1$ puede expresarse como la suma de dos cuadrados de una y solo una manera.

Un tercer teorema de Fermat, según el cual $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ no tiene solución entera para valores de $n$ mayores que $2$ , fue demostrado por Euler como correcto cuando $n = 3$ .

Euler descubrió cuatro teoremas que, tomados en conjunto, conforman la gran ley de reciprocidad cuadrática, una ley descubierta de forma independiente por Legendre.48

Euler enunció y demostró un conocido teorema que establece la relación entre el número de vértices, caras y aristas de ciertos poliedros, el cual, sin embargo, parece haber sido conocido por Descartes.

Las capacidades de Euler se dirigieron también hacia el fascinante tema de la teoría de la probabilidad, en el cual resolvió algunos problemas difíciles.

De no poca importancia son los trabajos de Euler en la mecánica analítica. Dice Whewell: «La persona que más hizo para conferir a la hora del análisis la generalidad y la simetría que hoy son su orgullo, fue también la persona que hizo analítica la mecánica; me refiero a Euler».11 Desarrolló la teoría de la rotación de un cuerpo alrededor de un punto fijo, estableció las ecuaciones generales del movimiento de un cuerpo libre y la ecuación general de la hidrodinámica. Resolvió un número inmenso y variado de problemas mecánicos, que acudían a su mente en todas las ocasiones. Así, al leer los versos de Virgilio: «El ancla cae, la quilla veloz se detiene», no pudo evitar preguntarse cuál sería el movimiento de la nave en tal caso. Alrededor del mismo tiempo que Daniel Bernoulli, publicó el Principio de la Conservación de

Areas and defended the principle of "least action," advanced by Maupertius. He wrote also on tides and on sound.

A la astronomía le debe Euler el método de la variación de las constantes arbitrarias. Con él abordó el problema de las perturbaciones, explicando, en el caso de dos planetas, las variaciones seculares de las excentricidades, nodos, etc. Fue uno de los primeros en abordar con éxito la teoría del movimiento de la luna al dar soluciones aproximadas al «problema de los tres cuerpos».

Sentó una sólida base para el cálculo de las tablas lunares. Estas investigaciones sobre el movimiento de la luna, que obtuvieron dos premios, se llevaron a cabo mientras estaba ciego, con la asistencia de sus hijos y dos de sus discípulos.

La mayor parte de sus memorias se encuentra en las actas de la Academia de Ciencias de San Petersburgo y en las de la Academia de Berlín.

De 1728 a 1783, una gran parte de las actas petropolitanas estuvieron ocupadas por sus escritos. Se había comprometido a proveer a la Academia de Petersburgo con un número suficiente de memorias para enriquecer sus anales durante veinte años; una promesa más que cumplida, pues hasta 1818 los volúmenes solían contener uno o más artículos suyos.

Se ha dicho que una edición de las obras completas de Euler llenaría $16, 000$ páginas en cuarto.

Su método de trabajo consistía, primero, en concentrar sus fuerzas en un problema especial y, después, en resolver por separado todos los problemas derivados del primero. Nadie lo superaba en la destreza para adaptar métodos a problemas específicos.

Es fácil ver que los matemáticos no podían mantener por mucho tiempo la costumbre de Euler de escribir y publicar. El material pronto habría crecido hasta alcanzar proporciones tan descomunales que resultaría inmanejable. No nos sorprende observar casi lo contrario en Lagrange, su gran sucesor. Al gran francés le deleitaba lo general y abstracto, en lugar de lo especial y concreto, como a Euler. Sus escritos son condensados y ofrecen en pocas palabras lo que Euler narra con gran extensión.

Jean-le-Rond D'Alembert (1717–1783) fue abandonado de infante por su madre en un mercado junto a la iglesia de San Juan-le-Rond, cerca de Notre-Dame en París, de donde derivó su nombre de pila.

Fue criado por la esposa de un pobre vidriero. Se cuenta que cuando comenzó a mostrar signos de gran talento, su madre lo mandó llamar, pero recibió la respuesta: «Usted es solo mi madrastra; la mujer del vidriero es mi madre».

Su padre le proveyó una renta anual.

D'Alembert entró en el estudio del derecho, pero tal era su amor por las matemáticas, que el derecho pronto fue abandonado. A la edad de veinticuatro años, su reputación como matemático le aseguró la admisión en la Academia de Ciencias.

En 1743 apareció su Traité de dynamique, basado en el importante principio general que lleva su nombre:

Las fuerzas impresas son equivalentes a las fuerzas efectivas.

El principio de d'Alembert parece haber sido reconocido antes que él por Fontaine, y en cierta medida por John Bernoulli y Newton. D'Alembert le dio una forma matemática clara e hizo numerosas aplicaciones del mismo. Permitió que las leyes del movimiento y los razonamientos dependientes de ellas se representaran de la forma más general, en lenguaje analítico.

D'Alembert lo aplicó en 1744 en un tratado sobre el equilibrio y el movimiento de los fluidos, y en 1746 a un tratado sobre las causas generales de los vientos, que obtuvo un premio de la Academia de Berlín.

En ambos tratados, así como en uno de 1747, donde discute el famoso problema de las cuerdas vibrantes, fue conducido a ecuaciones diferenciales parciales. Fue uno de los principales pioneros en el estudio de tales ecuaciones.

A la ecuación $\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} = a^{2} \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}$ , que surge en el problema de las cuerdas vibrantes, le dio como solución general $y = f (x + a t) + ϕ (x - a t),$ y demostró que solo hay una función arbitraria si se supone que $y$ se anula para $x = 0$ y $x = l$ .

Daniel Bernoulli, partiendo de una integral particular dada por Brook Taylor, demostró que esta ecuación diferencial es satisfecha por la serie trigonométrica $y = α \sin \frac{π x}{l} \cdot \cos \frac{π t}{l} + β \sin \frac{2 π x}{l} \cdot \cos \frac{2 π t}{l} + \dots,$ y afirmó que esta expresión era la solución más general. Euler negó su generalidad, basándose en que, de ser cierto, se seguiría la dudosa conclusión de que la serie anterior representa cualquier función arbitraria de una variable. Estas dudas fueron disipadas por Fourier. Lagrange procedió a hallar la suma de la serie anterior, pero D'Alembert objetó con razón su procedimiento, basándose en que involucraba series divergentes.46

Un resultado hermosísimo alcanzado por D'Alembert, con la ayuda de su principio, fue la solución completa del problema de la precesión de los equinoccios, que había desconcertado el talento de las mejores mentes.

Envió a la Academia Francesa en 1747, el mismo día que Clairaut, una solución del problema de los tres cuerpos. Este se había convertido en un tema de interés universal para los matemáticos, en el cual cada uno rivalizaba para superar a todos los demás.

El problema de los dos cuerpos, que requiere la determinación de su movimiento cuando se atraen mutuamente con fuerzas inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia entre ellos, había sido completamente resuelto por Newton.

El «problema de los tres cuerpos» plantea el movimiento de tres cuerpos que se atraen mutuamente según la ley de la gravitación. Hasta ahora, la solución completa de este ha superado el poder del análisis. Las ecuaciones diferenciales generales del movimiento fueron establecidas por Laplace, pero la dificultad radica en su integración.

Las «soluciones» dadas hasta ahora son meramente métodos convenientes de aproximación en casos especiales cuando un cuerpo es el sol, perturbando el movimiento de la luna alrededor de la tierra, o donde un planeta se mueve bajo la influencia del sol y otro planeta.

En la discusión sobre el significado de las cantidades negativas, de los procesos fundamentales del cálculo y de la teoría de la probabilidad, D'Alembert prestó cierta atención a la filosofía de las matemáticas.

Sus críticas no siempre fueron acertadas.

En 1754 fue nombrado secretario perpetuo de la Academia Francesa.

Durante los últimos años de su vida se ocupó principalmente de la gran enciclopedia francesa, que había sido iniciada por Diderot y por él mismo. D'Alembert declinó, en 1762, una invitación de

Catalina II encargarse de la educación de su hijo. Federico el Grande le instó a ir a Berlín. Hizo una visita, pero declinó residir allí permanentemente.

Alexis Claude Clairaut (1713–1765) was a youthful prodigy.

A la edad de diez años, leyó las obras de l'Hôpital sobre el cálculo infinitesimal y sobre las secciones cónicas.

En 1731 se publicó sus Recherches sur les courbes à double courbure, que tenía listo para la imprenta a los dieciséis años. Fue una obra de notable elegancia y le aseguró la admisión en la Academia de Ciencias cuando aún era menor de edad.

En 1731 dio una demostración del teorema enunciado por Newton de que toda cúbica es una proyección de una de las cinco parábolas divergentes.

Clairaut formó amistad con Maupertius, a quien acompañó en una expedición a Laponia para medir la longitud de un grado del meridiano. En aquella época, la forma de la tierra era objeto de graves discrepancias.

Newton y Huygens habían deducido a partir de la teoría que la tierra estaba achatada en los polos. Alrededor de 1713, Dominico Cassini midió un arco que se extendía desde Dunkerque hasta Perpiñán y llegó al sorprendente resultado de que la tierra está alargada en los polos.

Para decidir entre las opiniones opuestas, se retomaron las mediciones. Maupertius se ganó con su trabajo en Laponia el título de «achatador de la tierra» al refutar la tesis de Cassini de que la tierra estaba alargada en los polos, y demostrar que Newton tenía razón.

A su regreso, en 1743, Clairaut publicó una obra, Théorie de la figure de la Terre, basada en los resultados de Maclaurin sobre elipsoides homogéneos. Contiene un teorema notable, que lleva el nombre de Clairaut, según el cual la suma de las fracciones que expresan laipticidad y el aumento de la gravedad en el polo es igual a $2 \frac{1}{2}$ veces la fracción que expresa la fuerza centrífuga en el ecuador, estando representada la unidad de fuerza por la fuerza de la gravedad en el ecuador.

Este teorema es independiente de cualquier hipótesis respecto a la ley de densidades de los estratos sucesivos de la tierra. Contiene la mayor parte de las investigaciones de Clairaut.

Todhunter afirma que «en la figura de la tierra ninguna otra persona ha logrado tanto como Clairaut, y el tema permanece en la actualidad sustancialmente tal como él lo dejó, aunque la forma sea diferente. El espléndido análisis que aportó Laplace adornó, pero no alteró realmente, la teoría que partió de las manos creadoras de Clairaut».

En 1752 obtuvo un premio de la Academia de San Petersburgo por su ensayo sobre la Théorie de la Lune, en el que por primera vez se aplica el análisis moderno al movimiento lunar. Este contenía la explicación del movimiento de los ápsides lunares. Dicho movimiento, que Newton había dejado sin explicar, le pareció al principio inexplicable mediante la ley de Newton, y estuvo a punto de proponer una nueva hipótesis sobre la gravitación cuando, al tomar la precaución de llevar su cálculo a un mayor grado de aproximación, llegó a resultados concordantes con la observación.

El movimiento de la luna fue estudiado casi al mismo tiempo por Euler y D'Alembert. Clairaut predijo que

"El cometa Halley", cuyo regreso se esperaba entonces, alcanzaría su punto más cercano al Sol el 13 de abril de 1759, una fecha que resultó ser un mes demasiado tarde.

Fue el primero en detectar soluciones singulares en ecuaciones diferenciales de primer orden pero de grado superior al primero.

En sus labores científicas hubo entre Clairaut y D'Alembert una gran rivalidad, a menudo poco amistosa.

La creciente ambición de Clairaut por brillar en la sociedad, donde era muy querido, entorpeció su labor científica en la última etapa de su vida.

Johann Heinrich Lambert (1728–1777), nacido en Mühl-hausen, en Alsacia, era hijo de un sastre pobre. Mientras trabajaba en el oficio de su padre, adquirió por sus propios esfuerzos un conocimiento de las matemáticas elementales. A la edad de treinta años se convirtió en tutor de una familia suiza y aseguró tiempo libre para continuar sus estudios. En sus viajes con sus alumnos por Europa conoció a los principales matemáticos. En 1764 se estableció en Berlín, donde se convirtió en miembro de la Academia y disfrutó de la compañía de Euler y Lagrange. Recibió una pequeña pensión y más tarde llegó a ser editor de las Efemérides de Berlín. Su erudición multifacética recuerda a la de Leibniz. En sus Cartas cosmológicas hizo algunas profecías notables sobre el sistema estelar. En matemáticas hizo varios descubrimientos que fueron ampliados y eclipsados por sus grandes contemporáneos. Su primera investigación sobre matemáticas puras desarrolló en una serie infinita la raíz $x$ de la ecuación

$x^{m} + p x = q$ . Como cada ecuación de la forma $a x^{r} + b x^{s} = d$ puede reducirse a $x^{m} + p x = q$ de dos maneras, siempre se descubría que una u otra de las dos series resultantes era convergente y proporcionaba un valor de $x$ . Los resultados de Lambert estimularon a Euler, quien extendió el método a una ecuación de cuatro términos, y particularmente a Lagrange, quien halló que una función de una raíz de

$a - x + ϕ (x) = 0$ puede expresarse mediante la serie que lleva su nombre.

En 1761 Lambert comunicó a la Academia de Berlín una memoria en la que demuestra que $π$ es irracional. Esta demostración se ofrece en la Nota IV de la Géometrie de Legendre, donde se extiende a $π^{2}$ .

Al genio de Lambert debemos la introducción en la trigonometría de las funciones hiperbólicas, que él designó como $sinh x$ , $cosh x$ , etc.

Su Freye Perspective, de 1759 y 1773, contiene investigaciones sobre geometría descriptiva y le hace acreedor al honor de ser el precursor de Monge.

En su esfuerzo por simplificar el cálculo de las órbitas cometarias, fue conducido geométricamente a algunos teoremas notables sobre cónicas, por ejemplo este: «Si en dos elipses que tienen un eje mayor común tomamos dos arcos tales que sus cuerdas sean iguales, y que también las sumas de los radios vectores, trazados respectivamente desde los focos hasta las extremidades de estos arcos, sean iguales entre sí, entonces los sectores formados en cada elipse por el arco y los dos radios vectores son entre sí como las raíces cuadradas de los parámetros de las elipses».13

John Landen (1719–1790) fue un matemático inglés cuyos escritos sirvieron como punto de partida para las investigaciones de Euler, Lagrange y Legendre.

El mayor descubrimiento de Landen, contenido en una memoria de 1755, fue que todo arco de hipérbola puede rectificarse inmediatamente por medio de dos arcos de elipse.

En su "análisis residual" intentó evitar las dificultades metafísicas de las fluxiones adoptando un método puramente algebraico. El Calcul des Fonctions de Lagrange se basa en esta idea.

Landen demostró cómo se podía deducir la expresión algebraica de las raíces de una ecuación cúbica mediante la aplicación del cálculo diferencial e integral.

La mayor parte del tiempo de este sugerente escritor transcurrió dedicado a las ocupaciones de la vida activa.

Étienne Bézout (1730–1783) fue un escritor francés de libros de texto populares de matemáticas. En su Théorie générale des Équations Algébriques, de 1779, dio el método de eliminación por ecuaciones lineales (inventado también por Euler).

Este método fue publicado por primera vez por él en una memoria de 1764, en la que utiliza determinantes, sin entrar, sin embargo, en su teoría. Un hermoso teorema sobre el grado del resultante lleva su nombre.

El alsaciano Louis Arbogaste (1759–1803) fue profesor de matemáticas en Estrasburgo.

Su obra principal, el Calcul des Dérivations (1800), expone el método que lleva su nombre, mediante el cual los coeficientes sucesivos de un desarrollo se derivan unos de otros cuando la expresión es complicada.

De Morgan ha señalado que la verdadera naturaleza de la derivación es la diferenciación acompañada de integración. En este libro se separan por primera vez los símbolos de operación de los de cantidad. La notación $D_{x} y$ para $d y / d x$ se debe a él.

Maria Gaetana Agnesi (1718–1799), de Milán, distinguida como lingüista, matemática y filósofa, ocupó la cátedra de matemáticas en la Universidad de Bolonia durante la enfermedad de su padre.

En 1748 publicó sus Instituzioni Analitiche, que fueron traducidas al inglés en 1801. La «bruja de Agnesi» o «versiera» es una curva plana que contiene una línea recta, $x = 0$ , y una cúbica ${(\frac{y}{c})}^{2} + 1 = \frac{c}{x}$ .

Joseph Louis Lagrange (1736–1813), uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, nació en Turín y murió en París. Era de ascendencia francesa.

Su padre, que estaba a cargo de la caja militar de Cerdeña, fue en su día acaudalado, pero lo perdió todo en especulaciones. Lagrange consideraba esta pérdida su buena fortuna, pues de otro modo quizá no habría hecho de las matemáticas la ocupación de su vida.

Mientras estaba en el colegio de Turín, su genio no tomó de inmediato su verdadera inclinación. Cicerón y Virgilio lo atrajeron al principio más que Arquímedes y Newton. Pronto llegó a admirar la geometría de los antiguos, pero la lectura de un tratado de Halley despertó su entusiasmo por el método analítico, en cuyo desarrollo estaba destinado a cosechar una gloria imperecedera.

Ahora se dedicó a las matemáticas y, a los diecisiete años, se convirtió en profesor de matemáticas en la real academia militar de Turín. Sin ayuda ni orientación, inició un curso de estudio que en dos años lo situó al nivel de los más grandes de sus contemporáneos.

Con la ayuda de sus alumnos fundó una sociedad que más tarde se convirtió en la Academia de Turín. En los primeros cinco volúmenes de sus actas aparecen la mayoría de sus primeros artículos. A la edad de diecinueve años comunicó a Euler un método general para tratar los «problemas isoperimétricos», conocido hoy como el cálculo de

Variaciones. Esto despertó la viva admiración de Euler, quien amablemente retuvo por un tiempo la publicación de algunas investigaciones propias sobre este tema, para que el joven Lagrange pudiera completar sus investigaciones y reclamar la invención.

Lagrange hizo tanto como Euler por la creación del cálculo de variaciones. Tal como surgió de las manos de Euler, carecía de un fundamento analítico, y esto fue lo que aportó Lagrange. Separó los principios de este cálculo de las consideraciones geométricas mediante las cuales su predecesor los había deducido.

Euler había asumido como fijos los límites de la integral, es decir, los extremos de la curva por determinar, pero Lagrange eliminó esta restricción y permitió que todas las coordenadas de la curva variaran al mismo tiempo.

Euler introdujo en 1766 el nombre de «cálculo de variaciones» e hizo mucho para perfeccionar esta ciencia en la línea trazada por Lagrange.

Otro tema que ocupó la atención de Lagrange en Turín fue la propagación del sonido. En sus trabajos sobre este tema en las Miscellanea Taurinensia, el joven matemático se presenta como el crítico de Newton y el árbitro entre

Euler and D'Alembert. By considering only the particles which are in a straight line, he reduced the problem to the same partial differential equation that represents the motions of vibrating strings. The general integral of this was found by

de D’Alembert contenía dos funciones arbitrarias, y se empezó a discutir entonces la cuestión de si una función arbitraria podía ser discontinua. D’Alembert sostuvo la negativa frente a Euler, Daniel Bernoulli y, por último, Lagrange,–argumentando que, para determinar la posición de un punto de la cuerda en un tiempo $t$ , la posición inicial de la cuerda debía ser continua. Lagrange zanjó la cuestión en sentido afirmativo.

Mediante una aplicación constante durante nueve años, Lagrange, a la edad de veintiséis años, se encontraba en la cumbre de la fama europea. Pero sus intensos estudios habían debilitado gravemente una constitución que nunca fue robusta, y aunque sus médicos le indujeron a tomar descanso y ejercicio, su sistema nervioso nunca recuperó por completo su tono y, desde entonces, estuvo sujeto a episodios de melancolía.

En 1764, la Academia Francesa propuso como tema de un premio la teoría de la libración de la luna. Exigía una explicación, basándose en el principio de la gravitación universal, de por qué la luna muestra siempre, con muy ligeras variaciones, la misma cara a la tierra.

Lagrange obtuvo el premio. Este éxito animó a la Academia a proponer como premio la teoría de los cuatro satélites de Júpiter, —un problema de seis cuerpos, más difícil que el de tres cuerpos resuelto previamente por Clairaut, D'Alembert y Euler.

Lagrange superó las dificultades, pero la brevedad del tiempo no le permitió agotar el tema. Veinticuatro años después fue completado por Laplace.

Investigaciones astronómicas posteriores de

Los trabajos de Lagrange sobre las perturbaciones cometarias (1778 y 1783), sobre el problema de Kepler y sobre un nuevo método para resolver el problema de los tres cuerpos.

Anioso por conocer personalmente a los principales matemáticos, Lagrange visitó París, donde disfrutó del estimulante placer de conversar con Clairaut, D'Alembert, Condorcet, el abate Marie y otros.

Había planeado una visita a Londres, pero cayó gravemente enfermo tras una cena en París y se vio obligado a regresar a Turín.

En 1766 Euler dejó Berlín para irse a San Petersburgo y señaló a Lagrange como el único hombre capaz de ocupar el puesto. D'Alembert lo recomendó al mismo tiempo. Federico el Grande envió entonces un mensaje a Turín, expresando el deseo de «el rey más grande de Europa» de tener a «el matemático más grande» en su corte.

Lagrange fue a Berlín y permaneció allí veinte años. Al encontrar a todos sus colegas casados, y al ser asegurado por sus esposas de que el estado conyugal es el único feliz, se casó. La unión no fue feliz. Su esposa murió pronto.

Federico el Grande lo tenía en alta estima y conversaba frecuentemente con él sobre las ventajas de una regularidad perfecta en la vida. Esto llevó a Lagrange a cultivar hábitos regulares. No trabajaba cada día más tiempo del que la experiencia le enseñaba que podía hacerlo sin derrumbarse. Sus artículos eran cuidadosamente meditados antes de empezar a escribir, y cuando escribía lo hacía sin una sola corrección.

Durante los veinte años que pasó en Berlín colmó las actas de la Academia de Berlín con memorias y escribió también la obra fundamental titulada Mécanique Analytique.

Enriqueció el álgebra con investigaciones sobre la resolución de ecuaciones.

Hay dos métodos para resolver directamente las ecuaciones algebraicas: el de la sustitución y el de la combinación. El primero de estos métodos fue desarrollado por Ferrari, Vieta, Tchirnhausen,

Euler, Bézout y Lagrange; este último por Vandermonde y

Lagrange.20 En el método de sustitución, las formas originales se transforman de tal manera que la determinación de las raíces pasa a depender de funciones más simples (resolventes). En el método de combinación, se sustituyen cantidades auxiliares por ciertas combinaciones simples («tipos») de las raíces desconocidas de la ecuación, y se obtienen ecuaciones auxiliares (resolventes) para estas cantidades con la ayuda de los coeficientes de la ecuación dada. Lagrange redujo todas las soluciones algebraicas de ecuaciones conocidas al principio uniforme consistente en la formación y solución de ecuaciones de menor grado cuyas raíces son funciones lineales de las raíces buscadas y de las raíces de la unidad. Demostró que la quíntica no puede reducirse de este modo, ya que su resolvente es de sexto grado. Sus investigaciones sobre la teoría de ecuaciones continuaron después de que abandonó Berlín. En la Résolution des équations numériques (1798) dio un método para aproximarse a las raíces reales de las ecuaciones numéricas mediante fracciones continuas. Entre otras cosas, contiene también una demostración de que toda ecuación debe tener una raíz, un teorema que antes de esto parecía haberse considerado evidente por sí mismo. Otras demostraciones de esto fueron dadas por Argand, Gauss y Cauchy.

En una nota a la obra citada, Lagrange emplea el teorema de Fermat y ciertas sugerencias de Gauss para llevar a cabo una solución algebraica completa de cualquier ecuación binómica.

Durante su estancia en Berlín, Lagrange publicó varios artículos sobre la teoría de números. En 1769 dio una solución en números enteros de ecuaciones indeterminadas de segundo grado, que se asemeja al método cíclico hindú; fue el primero en demostrar, en 1771, el «teorema de Wilson», enunciado por un inglés, John

Wilson, y publicado por primera vez por Waring en sus Meditationes Algebraicæ; investigó en 1775 bajo qué condiciones $\pm 2$ y $\pm 5$ (habiendo discutido Euler $- 1$ y $\pm 3$ )

son residuos cuadráticos o no residuos de números primos impares, $q$ ; demostró en 1770 el teorema de Méziriac de que todo entero es igual a la suma de cuatro cuadrados o de un número menor de ellos. Demostró el teorema de Fermat sobre $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ , para el caso $n = 4$ , así como el teorema de Fermat de que, si $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , entonces $a b$ no es un cuadrado.

En su memoria sobre las pirámides, de 1773, Lagrange hizo un uso considerable de determinantes de tercer orden y demostró que el cuadrado de un determinante es a su vez un determinante.

Sin embargo, nunca trató explícita y directamente con los determinantes; simplemente obtuvo de forma accidental identidades que hoy se reconocen como relaciones entre determinantes.

Lagrange escribió mucho sobre ecuaciones diferenciales. Aunque objeto de contemplación por parte de los más grandes matemáticos (Euler, D'Alembert, Clairaut, Lagrange, Laplace), más que otras ramas de las matemáticas, estas se resistieron a la aplicación sistemática de métodos y principios fijos. Lagrange estableció criterios para las soluciones singulares (Calcul des Fonctions,

Lecciones 14–17), las cuales son, sin embargo, erróneas. Fue el primero en señalar la importancia geométrica de tales soluciones. Generalizó las investigaciones de Euler sobre ecuaciones diferenciales totales de dos variables y de noveno orden; dio una solución de las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden (Memorias de Berlín, 1772 y 1774), y habló de sus soluciones singulares, extendiendo su solución en las Memorias de 1779 y 1785 a ecuaciones de cualquier número de variables. Ya se ha hecho referencia al debate sobre las ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden, llevado a cabo por D'Alembert, Euler y Lagrange, en nuestra exposición sobre D'Alembert.

Durante su estancia en Berlín, Lagrange escribió la «Mécanique Analytique», la mayor de sus obras (París, 1788). A partir del principio de las velocidades virtuales dedujo, con la ayuda del cálculo de variaciones, todo el sistema de la mecánica de forma tan elegante y armoniosa que bien puede llamarse, en palabras de Sir William Rowan Hamilton, «una especie de poema científico».

Es un ejemplo supremo de generalidad analítica. No se permite figura geométrica alguna en todo el libro. «On ne trouvera point de figures dans cet ouvrage» (Prefacio). Las dos ramas de la mecánica —la estática y la dinámica— se desarrollan de forma análoga en las primeras cuatro secciones de cada una, y ambas van precedidas de una semblanza histórica de sus principios.

Lagrange formuló el principio de la mínima acción. En su forma original, las ecuaciones del movimiento involucran las coordenadas $x$ , $y$ , $z$ , de las diferentes partículas $m$ o $d m$ del sistema. Pero $x$ , $y$ , $z$ , por lo general no son independientes, y Lagrange introdujo en su lugar cualesquiera variables $ξ$ , $ψ$ , $ϕ$ , que determinan la posición del punto en el tiempo. Estas pueden considerarse independientes. Las ecuaciones del movimiento pueden adoptar ahora la forma $\frac{d}{d t} \frac{d T}{d ξ^{'}} - \frac{d T}{d ξ} + Ξ = 0;$ o cuando $Ξ$ , $Ψ$ , $Φ, \dots$ son los coeficientes diferenciales parciales respecto de $ξ$ , $ψ$ , $ϕ, \dots$ de una y la misma función $V$ , entonces la forma $\frac{d}{d t} \frac{d T}{d ξ^{'}} - \frac{d T}{d ξ} + \frac{d V}{d ξ} = 0 .$ Esta última es por excelencia la forma lagrangiana de las ecuaciones del movimiento.

Con Lagrange se originó la observación de que la mecánica puede considerarse como una geometría de cuatro dimensiones. A él le corresponde el honor de la introducción del potencial en la dinámica.49

Lagrange estaba ansioso por que su Mécanique Analytique se publicara en París. La obra estaba lista para imprenta en 1786, pero no fue hasta 1788 cuando pudo encontrar un editor, y aun así con la condición de que al cabo de unos años compraría todos los ejemplares no vendidos. La obra fue editada por Legendre.

Tras la muerte de Federico el Grande, los hombres de ciencia dejaron de ser respetados en Alemania, y Lagrange aceptó una invitación de Luis XVI para trasladarse a París. La reina de Francia lo trató con consideración y se le consiguió alojamiento en el Louvre. Pero fue presa de un largo ataque de melancolía que destruyó su afición por las matemáticas. Durante dos años, su ejemplar impreso de la Mécanique, recién salido de la imprenta —la obra de un cuarto de siglo—, permaneció cerrado sobre su escritorio. A través de Lavoisier se interesó por la química, que encontró «tan fácil como el álgebra». La desastrosa crisis de la Revolución francesa lo devolvió a la actividad. Por entonces, la joven y distinguida hija del astrónomo Lemonnier se compadeció del triste y solitario

Lagrange, e insistió en casarse con él. Su devoción hacia él constituía el único lazo con la vida que, ante la proximidad de la muerte, le costaba trabajo romper.

Fue nombrado uno de los comisionados para establecer pesas y medidas con unidades basadas en la naturaleza. Lagrange era un firme partidario de la subdivisión decimal, cuya idea general se había obtenido de una obra de Thomas Williams, Londres,

Tal era la moderación del carácter de Lagrange, y tal el respeto universal hacia él, que fue retenido como presidente de la comisión de pesos y medidas aun después de que esta fuera depurada por los jacobinos mediante la supresión de los nombres de Lavoisier, Laplace y otros.

Lagrange se alarmó ante la suerte de Lavoisier y planeó regresar a Berlín, pero con el establecimiento de la École Normale en 1795 en París, fue persuadido para aceptar una cátedra. Apenas tuvo tiempo de esclarecer los fundamentos de la aritmética y el álgebra a los jóvenes alumnos, cuando la escuela fue cerrada. Sus adiciones al álgebra de Euler fueron preparadas en esta época. En 1797 la

Se fundó la École Polytechnique, con Lagrange como uno de los profesores. El primer triunfo de esta institución fue la devolución de Lagrange al análisis. Su actividad matemática estalló de nuevo.

Dio a luz la Théorie des fonctions analytiques (1797), las Leçons sur le calcul des fonctions, un tratado en la misma línea que el precedente (1801), y la Résolution des équations numériques (1798).

En 1810 comenzó una revisión exhaustiva de su Mécanique analytique, pero murió antes de completarla.

La Théorie des fonctions, cuyo germen se encuentra en una memoria suya de 1772, tenía como objetivo asentar los principios del cálculo sobre una base sólida al liberar a la mente de la difícil concepción de un límite o un infinitesimal. El cálculo residual de John Landen, que perseguía un objetivo similar, le era desconocido. Lagrange intentó demostrar el teorema de Taylor (cuya potencia fue el primero en señalar) mediante un álgebra sencilla, para luego desarrollar todo el cálculo a partir de dicho teorema.

Los principios del cálculo estaban en su época envueltos en dificultades filosóficas de naturaleza grave.

Los infinitésimos de Leibniz carecían de una base metafísica satisfactoria.

En el cálculo diferencial de Euler se trataban como ceros absolutos.

En la razón límite de Newton, las magnitudes de las cuales es razón no pueden ser halladas, pues en el momento en que deben ser atrapadas e igualadas, no hay ni arco ni cuerda. La cuerda y el arco no fueron tomados por Newton como iguales antes de desvanecerse, ni después de desvanecerse, sino cuando se desvanecen.

«Ese método», dijo Lagrange, «tiene el gran inconveniente de considerar las cantidades en el estado en el que dejan, por decirlo así, de ser cantidades; pues aunque siempre podemos concebir bien las razones de dos cantidades mientras permanezcan finitas, dicha razón no ofrece a la mente una idea clara y precisa tan pronto como sus términos se vuelven ambos cero al mismo tiempo».

El método de los límites de D'Alembert era muy similar al método de las razones primeras y últimas. D'Alembert enseñaba que una variable alcanzaba efectivamente su límite.

Cuando Lagrange se esforzó por liberar el cálculo de sus dificultades metafísicas, recurriendo al álgebra común, evitó el remolino de Caribdis solo para naufragar contra las rocas de Escila.

El álgebra de su época, tal como se la había legado Euler, se fundaba en una falsa concepción del infinito. Por entonces no se había establecido ninguna teoría correcta de las series infinitas.

Lagrange propuso definir el coeficiente diferencial de $f (x)$ con respecto a $x$ como el coeficiente de $h$ en el desarrollo de $f (x + h)$ mediante el teorema de Taylor, eludiendo así toda referencia a los límites. Pero utilizó series infinitas sin cerciorarse de que fuesen convergentes, y su demostración de que $f (x + h)$ siempre puede desarrollarse en una serie de potencias ascendentes de $h$ adolece de graves defectos.

Aunque el método de Lagrange para desarrollar el cálculo fue al principio muy aplaudido, sus defectos eran fatales y hoy su «método de las derivadas», como se le llamó, ha sido abandonado en general.

Introdujo una notación propia, pero era incómoda y él mismo la abandonó en la segunda edición de su Mécanique, en la que utilizó infinitesimales.

El objeto principal de la Théorie des fonctions no se alcanzó, pero sus resultados secundarios tuvieron un alcance muy amplio. Era un modo puramente abstracto de considerar las funciones, al margen de consideraciones geométricas o mecánicas.

En el desarrollo posterior del análisis superior, la función se convirtió en la idea principal, y la obra de Lagrange puede considerarse como el punto de partida de la teoría de funciones desarrollada por Cauchy, Riemann, Weierstrass y otros.

En el tratamiento de las series infinitas, Lagrange mostró en sus primeros escritos esa laxitud común a todos los matemáticos de su tiempo, a excepción de Nicolaus Bernoulli II y D'Alembert.

Pero sus artículos posteriores marcan el comienzo de un período de mayor rigor. Así, en el Calcul de fonctions da su teorema sobre los límites del teorema de Taylor. Las investigaciones matemáticas de Lagrange se extendieron a temas que no se han mencionado aquí —como las probabilidades, las diferencias finitas, las fracciones continuas ascendentes y las integrales elípticas—. En todas partes se manifiestan sus maravillosas facultades de generalización y abstracción. En ese aspecto no tuvo rival, pero su gran contemporáneo, Laplace, lo superó en sagacidad práctica. Lagrange se conformó con dejar la aplicación de sus resultados generales a otros, y algunas de las investigaciones más importantes de Laplace (particularmente aquellas sobre la velocidad del sonido y sobre la aceleración secular de la luna) están contenidas implícitamente en las obras de Lagrange.

Lagrange era un hombre sumamente modesto, deseoso de evitar la controversia y hasta tímido en la conversación. Hablaba con tono de duda, y sus primeras palabras por lo general eran: «Je ne sais pas». Jamás permitía que le tomaran un retrato, y los únicos que se consiguieron fueron bocetados sin su conocimiento por personas que asistían a las reuniones del Instituto.

Pierre Simon Laplace (1749–1827) nació en Beau-mont-en-Auge, en Normandía. Se sabe muy poco de sus primeros años. En la cúspide de su fama, era reacio a hablar de su infancia, transcurrida en la pobreza. Su padre era un pequeño agricultor. Algunos vecinos ricos que reconocieron el talento del muchacho le ayudaron a conseguir una educación. Como alumno externo, asistió a la escuela militar de Beaumont, donde a temprana edad se convirtió en profesor de matemáticas. A los dieciocho años se marchó a París, provisto de cartas de recomendación para D'Alembert, que entonces se encontraba en la cúspide de su fama. Las cartas pasaron desapercibidas, pero el joven Laplace, sin desanimarse, le escribió al gran geómetra una carta sobre los principios de la mecánica que obtuvo la siguiente respuesta entusiasta: «No necesitaba presentación; se ha recomendado a usted mismo; mi apoyo le corresponde por derecho». D'Alembert le consiguió un puesto en la École Militaire de París como profesor de matemáticas.

Su porvenir estaba ya asegurado, y se adentró en aquellas profundas investigaciones que le valieron el título de "el Newton de Francia".

Con un dominio maravilloso del análisis, Laplace acometió los problemas pendientes en la aplicación de la ley de la gravitación a los movimientos celestes. Durante los quince años siguientes aparecieron la mayor parte de sus contribuciones originales a la astronomía.

Su carrera fue de una prosperidad casi ininterrumpida. En 1784 sucedió a Bézout como examinador de la artillería real, y al año siguiente se convirtió en miembro de la Academia de Ciencias. Fue nombrado presidente de la Oficina de Longitudes; contribuyó a la introducción del sistema decimal y enseñó matemáticas, junto con Lagrange, en la École Normale.

Cuando, durante la Revolución, surgió un clamor por la reforma de todo, incluso del calendario,

Laplace sugirió la adopción de una era que comenzara con el año 1250, cuando, según su cálculo, el eje mayor de la órbita terrestre había sido perpendicular a la línea equinoccial. El año debía comenzar con el equinoccio de primavera, y el meridiano cero debía situarse al este de París a $185.30$ grados de la división centesimal del cuadrante, pues por este meridiano el comienzo de su era propuesta caía a la medianoche. Pero los revolucionarios rechazaron este plan, yanquedaron en que el inicio de la nueva era coincidiera con el comienzo de la gloriosa República Francesa.50

Laplace era justamente admirado en toda Europa como un científico sagacísimo y profundo, pero, desgraciadamente para su reputación, no solo aspiró a la grandeza en la ciencia, sino también a los honores políticos. La carrera política de este eminente científico estuvo manchada por el servilismo y la versatilidad.

Después del 18 de Brumario, el día en que Napoleón fue nombrado emperador, el ardor de Laplace por los principios republicanos dio paso repentino a una gran devoción por el emperador.

Napoleón recompensó esta devoción dándole el puesto de ministro del Interior, pero lo destituyó al cabo de seis meses por incapacidad. Dijo Napoleón: "Laplace no saisissait aucune question sous son véritable point de vue; il cherchait des subtilités partout, n'avait que des idées problematiques, et portait enfin l'esprit des infiniment petits jusque dans l'administration."

Deseoso de conservar su lealtad, Napoleón lo elevó al Senado y le otorgó varios otros honores.

Sin embargo, en 1814 dio alegremente su voto para la destitución de su protector y se apresuró a ofrecer sus servicios a los Borbones, ganándose así el título de marqués.

Esta pequeñez de su carácter se observa en sus escritos.

La primera edición del Système du monde estaba dedicada al Consejo de los Quinientos.
Al tercer volumen de la Mécanique Céleste le precede una nota que indica que, de todas las verdades contenidas en el libro, la más preciosa para el autor era la declaración que hacía así de gratitud y devoción hacia el pacificador de Europa.

Tras este acceso de afecto, nos sorprende encontrar en las ediciones de la Théorie analytique des probabilités, aparecidas después de la Restauración, que la dedicatoria original al emperador ha sido suprimida.

Aunque flexible y servil en política, hay que decir que en religión y ciencia Laplace nunca tergiversó ni ocultó sus propias convicciones, por desagradables que pudieran resultar para los demás. En matemáticas y astronomía su genio brilla con un brillo superado por pocos. Tres grandes obras legó al mundo científico: la Mécanique Céleste, la Exposition du système du monde y la Théorie analytique des probabilités. Además de estas, contribuyó con importantes memorias a la Academia Francesa.

Pasamos primero a revisar brevemente sus investigaciones astronómicas. En 1773 publicó un artículo en el que demostró que los movimientos medios o las distancias medias de los planetas son invariables o solo están sujetos a pequeños cambios periódicos. Este fue el primer y más importante paso para establecer la estabilidad del sistema solar.51

Tanto a Newton como a también a Euler les había parecido dudoso que unas fuerzas tan numerosas, tan variables en su posición, tan diferentes en intensidad como las del sistema solar, pudieran ser capaces de mantener permanentemente una condición de equilibrio.

Newton era de la opinión de que una mano poderosa debía intervenir de vez en cuando para reparar los des arreglos ocasionados por la acción mutua de los diferentes cuerpos.

Este artículo fue el comienzo de una serie de profundas investigaciones de Lagrange y Laplace sobre los límites de variación de los diversos elementos de las órbitas planetarias, en las cuales los dos grandes matemáticos se alternaron para superarse y complementarse mutuamente.

El primer artículo de Laplace surgió realmente de las investigaciones sobre la teoría de Júpiter y Saturno. El comportamiento de estos planetas había sido estudiado por Euler y Lagrange sin recibir una explicación satisfactoria.

La observación reveló la existencia de una aceleración constante de los movimientos medios de nuestra luna y de Júpiter, y una disminución igualmente extraña del movimiento medio de Saturno. Parecía como si Saturno pudiera acabar abandonando el sistema planetario, mientras que Júpiter caería en el sol y la luna sobre la tierra.

Laplace finalmente logró demostrar, en un artículo de 1784-1786, que estas variaciones (llamadas la "gran desigualdad") pertenecían a la clase de las perturbaciones periódicas ordinarias, dependientes de la ley de la atracción.

La causa de una perturbación tan influyente se encontró en la conmensurabilidad del movimiento medio de los dos planetas.

En el estudio del sistema joviano, Laplace pudo determinar las masas de las lunas. También descubrió ciertas relaciones simples y muy notables entre los movimientos de dichos cuerpos, conocidas como las «Leyes de Laplace».

Su teoría sobre estos cuerpos se completó en los artículos de 1788 y 1789. Estos, al igual que los demás artículos aquí mencionados, se publicaron en las Mémoires présentés par divers savans. El año

1787 se hizo memorable por el anuncio de Laplace de que la aceleración lunar dependía de los cambios seculares en la excentricidad de la órbita terrestre. Esto eliminó toda duda existente entonces sobre la estabilidad del sistema solar. Quedó establecida la validez universal de la ley de la gravitación para explicar todo movimiento en el sistema solar. Ese sistema, tal como se conocía entonces, resultó ser por fin una máquina completa.

En 1796 Laplace publicó su Exposition du système du monde, un tratado popular de astronomía no matemático que terminaba con un esbozo de la historia de la ciencia. En esta obra enuncia por primera vez su célebre hipótesis nebular.

Una teoría similar había sido propuesta anteriormente por Kant en 1755, y por Swedenborg; pero no parece que Laplace tuviera conocimiento de ello.

Laplace concibió la idea de escribir una obra que contuviera una solución analítica completa del problema mecánico presentado por el sistema solar, sin derivar de la observación más datos que los indispensables. El resultado fue la Mécanique Céleste, que es una exposición sistemática que abarca todos los descubrimientos de Newton, Clairaut, D'Alembert, Euler, Lagrange y del propio Laplace sobre la mecánica celeste.

El primero y el segundo volúmenes de esta obra se publicaron en 1799; el tercero apareció en 1802, el cuarto en 1805. Del quinto volumen, los libros XI. y XII. se publicaron en 1823; los libros XIII., XIV., XV. en 1824, y el libro XVI. en 1825.

Los dos primeros volúmenes contienen la teoría general de los movimientos y la figura de los cuerpos celestes.

El tercer y el cuarto volumen exponen teorías especiales de los movimientos celestes, —tratando en particular de los movimientos de los cometas, de nuestra luna y de otros satélites.

El quinto volumen se abre con una breve historia de la mecánica celeste, y presenta luego en apéndices los resultados de las últimas investigaciones del autor.

La Mécanique Céleste fue una obra maestra tal, y tan completa, que los sucesores de Laplace apenas han podido añadir comparativamente nada.

La parte general de la obra fue traducida al alemán por Joh. Karl Burkhardt, y apareció en Berlín, 1800–1802. Nathaniel Bowditch publicó una edición en inglés, con un extenso comentario, en Boston, 1829–1839.

La Mécanique Céleste no es una lectura fácil. Las dificultades radican, por lo general, no tanto en el tema en sí como en la falta de explicación verbal. A menudo, una cadena complicada de razonamiento no recibe explicación alguna.

Biot, que ayudó a Laplace a revisar la obra para su publicación, cuenta que una vez le pidió a Laplace alguna explicación sobre un pasaje del libro que había sido escrito poco antes, y que Laplace pasó una hora intentando recuperar el razonamiento que había sido omitido descuidadamente con el comentario: «Il est facile de voir».

No obstante las importantes investigaciones de la obra, que se deben al propio Laplace, esta contiene naturalmente una gran cantidad de material extraído de sus predecesores.

Es, de hecho, el resultado organizado de un siglo de paciente labor. Pero Laplace con frecuencia omite reconocer debidamente la fuente de la que bebe, y deja que el lector infiera que los teoremas y las fórmulas debidos a un predecesor son en realidad suyos.

Se nos cuenta que cuando Laplace le presentó a Napoleón un ejemplar de la Mécanique Céleste, este último hizo el comentario: «M. Laplace, me dicen que ha escrito este gran libro sobre el sistema del universo y ni siquiera ha mencionado a su Creador».

Se dice que Laplace respondió sin rodeos: «Je n'avais pas besoin de cette hypothèse-la».

Esta afirmación, tomada al pie de la letra, es impía, pero ¿no podría haber tenido la intención de transmitir un significado algo diferente al literal? Newton no pudo explicar mediante su ley de gravitación todas las cuestiones que surgen en la mecánica de los cielos. Así, al no poder demostrar que el sistema solar era estable, y sospechando de hecho que era inestable, Newton expresó la opinión de que la intervención especial, de vez en cuando, de una mano poderosa era necesaria para preservar el orden.

Ahora bien, Laplace pudo demostrar mediante la ley de gravitación que el sistema solar es estable, y en ese sentido se puede decir que no sintió la necesidad de hacer referencia al Todopoderoso.

Pasamos ahora a investigaciones que pertenecen más propiamente a las matemáticas puras. De estas, la más conspicua es la teoría de la probabilidad. Laplace ha hecho más por hacer avanzar este tema que cualquier otro investigador.

Publicó una serie de artículos, cuyos principales resultados fueron recopilados en su Théorie analytique des probabilités (1812). La tercera edición (1820) consta de una introducción y dos libros.

La introducción se publicó por separado bajo el título Essai philosophique sur les probabilités, y es una exposición admirable y magistral, sin la ayuda de fórmulas analíticas, de los principios y aplicaciones de la ciencia.
El primer libro contiene la teoría de las funciones generatrices, las cuales se aplican, en el segundo libro, a la teoría de la probabilidad.

Laplace expone en su obra sobre la probabilidad su método de aproximación a los valores de las integrales definidas. La solución de ecuaciones diferenciales lineales fue reducida por él a integrales definidas.

Una de las partes más importantes de la obra es la aplicación de la probabilidad al método de los mínimos cuadrados, del cual se demuestra que ofrece los resultados más probables además de los más convenientes.

La primera exposición impresa del principio de los mínimos cuadrados fue realizada en 1806 por Legendre, sin demostración.

Gauss lo había utilizado aún antes, pero no lo publicó hasta 1809. La primera deducción de la ley de probabilidad de errores que apareció en imprenta fue dada en 1808 por Robert Adrain en el

Analyst, una revista publicada por él mismo en Filadelfia.2 Desde entonces, Gauss, Ivory,

Herschel, Hagen y otros; pero todas las demostraciones contienen algún punto de dificultad. La demostración de Laplace es quizás la más satisfactoria.

El trabajo de Laplace sobre la probabilidad es de lectura muy difícil, particularmente la parte sobre el método de los mínimos cuadrados. Los procesos analíticos no están en absoluto claramente establecidos ni exentos de errores.

«Nadie estuvo más seguro de dar el resultado de los procesos analíticos correctamente, y nadie se preocupó jamás tan poco por señalar las diversas pequeñas consideraciones de las que depende dicha corrección» (De Morgan).

De los artículos de Laplace sobre la atracción de los elipsoides, el más importante es el publicado en 1785, y en gran parte reimpreso en el tercer volumen de la Mécanique Céleste. En él se ofrece un tratamiento exhaustivo del problema general de la atracción de cualquier elipsoide sobre una partícula situada en el exterior o en su superficie.

Los armónicos esféricos, o los llamados "coeficientes de Laplace", constituyen un potente instrumento analítico en la teoría de la atracción, en la electricidad y en el magnetismo. La teoría de los armónicos esféricos para dos dimensiones había sido dada previamente por Legendre. Laplace omitió el debido reconocimiento de esto y, como consecuencia, existió entre los dos grandes hombres "un sentimiento más que de frialdad".

La función potencial, $V$ , es muy utilizada por

Laplace, y él demuestra que satisface la ecuación en derivadas parciales $\frac{\partial^{2} V}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} V}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} V}{\partial z^{2}} = 0$ .

Esta se conoce como la ecuación de Laplace, y fue dada por primera vez por este en la forma más complicada que adopta en coordenadas polares. Sin embargo, la noción de potencial no fue introducida en el análisis por Laplace. El honor de tal logro le pertenece a Lagrange.49

Entre los descubrimientos menores de Laplace se encuentran su método para resolver ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado, su memoria sobre soluciones singulares de ecuaciones diferenciales, sus investigaciones sobre diferencias finitas y determinantes, el establecimiento del teorema de desarrollo en determinantes que Vandermonde había dado previamente para un caso especial, y la determinación de la integral completa de la ecuación diferencial lineal de segundo orden. En la Mécanique Céleste realizó una generalización del teorema de Lagrange sobre el desarrollo de funciones en series, conocido como el teorema de Laplace.

Las investigaciones de Laplace en física fueron bastante extensas. Mencionamos aquí su corrección de la fórmula de Newton sobre la velocidad del sonido en los gases, teniendo en cuenta los cambios de elasticidad debidos al calor de compresión y al frío de rarefacción;

sus investigaciones sobre la teoría de las mareas;
su teoría matemática de la capilaridad;
su explicación de la refracción astronómica;

sus fórmulas para medir alturas con el barómetro.

Los escritos de Laplace destacan en marcado contraste con los de Lagrange por su falta de elegancia y simetría. Laplace consideraba las matemáticas como la herramienta para la resolución de problemas físicos.

Una vez alcanzado el resultado verdadero, dedicaba poco tiempo a explicar los distintos pasos de su análisis o a pulir su obra.

Los últimos años de su vida los pasó principalmente en Arcueil, en un apacible retiro en una finca campestre, donde prosiguió sus estudios con su vigor habitual hasta su muerte.

Era un gran admirador de Euler, y solía decir: "Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous."

Abnit-Théophile Vandermonde (1735–1796) estudió música durante su juventud en París y defendía la teoría de que todo el arte se basaba en una ley general, mediante la cual cualquiera podía convertirse en compositor con la ayuda de las matemáticas.

Fue el primero en ofrecer una exposición lógica y conectada de la teoría de los determinantes y, por lo tanto, casi puede considerarse como el fundador de dicha teoría. Él y Lagrange originaron el método de las combinaciones en la resolución de ecuaciones.20

Adrien Marie Legendre (1752–1833) was educated at the

el Collège Mazarin de París, donde comenzó el estudio de las matemáticas bajo la tutela del abate Marie. Su genio matemático le aseguró el puesto de profesor de matemáticas en la escuela militar de París. Estando allí, preparó un ensayo sobre la curva descrita por proyectiles lanzados en medios con resistencia (curva balística), el cual obtuvo un premio ofrecido por la Real

Academia de Berlín. En 1780 dimitió de su puesto para reservar más tiempo al estudio de las matemáticas superiores. Fue nombrado entonces miembro de varias comisiones públicas.

En 1795 fue elegido profesor de la Escuela Normal y más tarde fue designado para algunos cargos gubernamentales menores. Debido a su timidez y a la poca simpatía que Laplace le tenía, apenas se le ofrecieron cargos públicos importantes acordes con su capacidad.

Como analista, segundo únicamente después de Laplace y Lagrange, Legendre enriqueció las matemáticas con importantes contribuciones, principalmente sobre integrales elípticas, teoría de números, atracción de elipsoides y mínimos cuadrados.

La más importante de las obras de Legendre es sus Fonctions elliptiques, publicada en dos volúmenes en 1825 y 1826. Retomó el tema donde Euler, Landen y Lagrange lo habían dejado, y durante cuarenta años fue el único en cultivar esta nueva rama del análisis, hasta que por fin Jacobi y

Abel intervino con admirables nuevos descubrimientos.52 Legendre confirió a la materia aquella conexión y ordenación que corresponden a una ciencia independiente. Partiendo de una integral dependiente de la raíz cuadrada de un polinomio de cuarto grado en $x$ , demostró que tales integrales pueden reducirse a tres formas canónicas, designadas por $F (ϕ)$ , $E (ϕ)$ y $Π (ϕ)$ , estando expresado el radical en la forma $Δ (ϕ) = \sqrt{1 - k^{2} \sin^{2} ϕ}$ . Asimismo, emprendió la prodigiosa tarea de calcular tablas de arcos de la elipse para diferentes grados de amplitud y excentricidad, las cuales proporcionan los medios para integrar un gran número de diferenciales.

Una publicación anterior que contenía parte de sus investigaciones sobre las funciones elípticas fue su Calcul intégral en tres volúmenes

(1811, 1816, 1817), en los que también trata extensamente de las dos clases de integrales definidas nombradas por él como eulerianas. Tabuló los valores de $\log Γ (p)$ para valores de $p$ entre $1$ y $2$ .

Uno de los primeros temas de investigación fue la atracción de esferoides, lo que sugirió a Legendre la función $P_{n}$ , llamada así en su honor.

Su memoria fue presentada a la Academia de Ciencias en 1783. Las investigaciones de Maclaurin y Lagrange suponen que el punto atraído por un esferoide se encuentra en la superficie o en el interior del esferoide, pero Legendre demostró que para determinar la atracción de un esferoide sobre cualquier punto exterior basta con hacer pasar por dicho punto la superficie de otro esferoide descrito sobre los mismos focos.

Otras memorias sobre elipsoides aparecieron más tarde.

Los dos dioses domésticos a los que Legendre sacrificaba con renovado placer en el silencio de su gabinete eran las funciones elípticas y la teoría de números.

Sus investigaciones sobre este último tema, junto con los numerosos fragmentos dispersos sobre la teoría de números debidos a sus predecesores en esta línea, fueron organizados en la medida de lo posible como un todo sistemático y publicados en dos grandes volúmenes en cuarto, titulados Théorie des nombres, 1830.

Antes de la publicación de esta obra, Legendre había publicado en diversas ocasiones artículos preliminares. Su cumbre culminante es el teorema de reciprocidad cuadrática, dado anteriormente de forma confusa por Euler y sin demostración, pero enunciado con claridad por primera vez y parcialmente demostrado por Legendre.48

Al actuar como uno de los comisionados para conectar Greenwich y París geodésicamente, Legendre calculó todos los triángulos de Francia. Esto dio lugar a la ocasión de establecer fórmulas y teoremas sobre geodésica, sobre el tratamiento del triángulo esférico como si fuera un triángulo plano mediante la aplicación de ciertas correcciones a los ángulos, y sobre el método de los mínimos cuadrados, publicado por primera vez por él sin demostración en 1806.

Legendre escribió unos Éléments de Géométrie, de 1794, que gozaron de gran popularidad y fueron adoptados generalmente en el continente y en los Estados Unidos como sustituto de Euclides.

Este gran rival moderno de Euclides pasó por numerosas ediciones; las posteriores contenían los elementos de trigonometría y una demostración de la irracionalidad de $π$ y $π^{2}$ .

Legendre dedicó mucha atención al tema de las líneas paralelas. En las primeras ediciones de los Éléments, recurrió directamente a los sentidos para comprobar la veracidad del «axioma de las paralelas». Luego intentó demostrar dicho «axioma», pero sus demostraciones no satisficieron ni al propio autor.

En el vol. XII de las Memoirs of the Institute aparece un artículo de Legendre que contiene su último intento de resolver el problema. Suponiendo que el espacio es infinito, demostró de manera satisfactoria que es imposible que la suma de los tres ángulos de un triángulo exceda dos rectos, y que si existe un triángulo cuya suma de ángulos sea dos rectos, entonces lo mismo debe cumplirse para todos los triángulos.

Pero en el paso siguiente, para demostrar que esta suma no puede ser menor que dos rectos, su demostración fracasó necesariamente. Si pudiera admitirse que la suma de los tres ángulos es siempre igual a dos rectos, entonces la teoría de las paralelas podría deducirse rigurosamente.

Joseph Fourier (1768–1830) nació en Auxerre, en el centro

Francia. Quedó huérfano a los ocho años. Por influencia de amigos fue admitido en la escuela militar de su localidad natal, dirigida entonces por los benedictinos del convento de San Marcos. Allí prosiguió sus estudios, en particular las matemáticas, con un éxito sorprendente.

Deseaba ingresar en la artillería, pero, al ser de baja condición (hijo de un sastre), su solicitud fue respondida así: «Fourier, por no ser noble, no podría entrar en la artillería, aunque fuera un segundo Newton».53

Pronto fue nombrado profesor de matemáticas en la escuela militar. A la edad de veintiún años fue a París para leer ante la Academia de Ciencias una memoria sobre la resolución de ecuaciones numéricas, que mejoraba el método de aproximación de Newton. De esta investigación de su temprana juventud nunca perdió de vista.

Dio conferencias sobre ella en la Escuela Politécnica; la desarrolló a orillas del Nilo; constituyó una parte de una obra titulada Analyse des équations déterminées (1831), que estaba en imprenta cuando le sorprendió la muerte. Esta obra contenía el «teorema de Fourier» sobre el número de raíces reales entre dos límites elegidos.

Budan había publicado este resultado ya en 1807, pero existen pruebas que demuestran que Fourier lo había establecido antes de la publicación de Budan. Estos brillantes resultados quedaron eclipsados por el teorema de Sturm, publicado en 1835.

Fourier tomó una parte prominente en su hogar en la promoción de la Revolución. Bajo la Revolución francesa las artes y las ciencias parecieron florecer por un tiempo. La reforma de los pesos y medidas fue planeada con grandeza de concepción. La Escuela Normal fue creada en 1795, de la cual Fourier se convirtió primero en alumno y luego en conferenciante. Su brillante éxito le aseguró una cátedra en la Escuela Politécnica, cuyas obligaciones abandonó después, junto con Monge y

Berthollet, para acompañar a Napoleón en su campaña a Egipto. Napoleón fundó el Instituto de Egipto, del cual Fourier se convirtió en secretario. En Egipto no solo se dedicó a la labor científica, sino que desempeñó importantes funciones políticas.

Tras su regreso a Francia, ocupó durante catorce años la prefectura de Grenoble. Durante este período llevó a cabo sus minuciosas investigaciones sobre la propagación del calor en los cuerpos sólidos, publicadas en 1822 en su obra titulada La Théorie Analytique de la Chaleur.

Esta obra marca una época en la historia de la física matemática. Las «series de Fourier» constituyen su joya. Mediante esta investigación se puso fin a una larga controversia y se estableció el hecho de que cualquier función arbitraria puede ser representada por una serie trigonométrica. El primer anuncio de este gran descubrimiento fue realizado por Fourier en 1807, ante la Academia Francesa.

La serie trigonométrica $\sum_{n = 0}^{n = \infty} (a_{n} \sin n x + b_{n} \cos n x)$ representa la función $ϕ (x)$ para cada valor de $x$ , si los coeficientes $a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} ϕ (x) \sin n x d x$ , y $b_{n}$ es igual a una integral similar.

El punto débil en el análisis de Fourier radica en su incapacidad para demostrar de manera general que la serie trigonométrica converge efectivamente al valor de la función. En 1827 Fourier sucedió a Laplace como presidente del consejo de la Escuela Politécnica.

Antes de pasar al origen de la geometría moderna, hablaremos brevemente de la introducción del análisis superior en Gran Bretaña. Esto tuvo lugar durante el primer cuarto de este siglo. Los británicos comenzaron a lamentar el muy escaso progreso que la ciencia estaba haciendo en Inglaterra en comparación con su vertiginoso progreso en el continente. En 1813 el «Analytical

Society" se formó en Cambridge. Este era un pequeño club establecido por George Peacock, John Herschel, Charles Babbage y algunos otros estudiantes de Cambridge para promover, según se expresaba humorísticamente, los principios del " $- d i s m o$ " puro, es decir, la notación leibniziana en el cálculo frente a los de la "edad del punto" (dot-age), o la notación newtoniana.

Esta lucha terminó con la introducción en Cambridge de la notación $\frac{d y}{d x}$ , con la exclusión de la notación fluxional $\dot{y}$ . Este fue un gran paso adelante, no debido a ninguna gran superioridad de la notación leibniziana sobre la newtoniana, sino porque la adopción de la primera abrió a los estudiantes ingleses los vastos depósitos de los descubrimientos continentales.

Sir William Thomson, Tait y algunos otros escritores modernos encuentran a menudo conveniente usar ambas notaciones. Herschel,

Peacock y Babbage tradujeron, en 1816, del francés,

el tratado de Lacroix sobre el cálculo diferencial e integral, y añadió en 1820 dos volúmenes de ejemplos. El de Lacroix era uno de los mejores y más extensos trabajos sobre el cálculo de aquella época.

De los tres fundadores de la "Sociedad Analítica", Peacock hizo después la mayor parte del trabajo en matemáticas puras. Babbage se hizo famoso por su invención de una máquina de calcular superior a la de Pascal. Nunca se terminó, debido a un malentendido con el gobierno y al consiguiente fracaso en la obtención de fondos.

John Herschel, el eminente astrónomo, demostró su dominio del análisis superior en memorias comunicadas a la Royal Society sobre nuevas aplicaciones del análisis matemático, y en artículos aportados a enciclopedias sobre la luz, sobre meteorología y sobre la historia de las matemáticas.

George Peacock (1791–1858) se educó en el Trinity College de Cambridge, donde llegó a ser profesor Lowndean y, más tarde, deán de Ely.

Sus principales publicaciones son su Algebra, de 1830 y 1842, y su Report on Recent Progress in Analysis, que fue el primero de varios resúmenes valiosos sobre el progreso científico impresos en los volúmenes de la Asociación Británica.

Fue uno de los primeros en estudiar seriamente los principios fundamentales del álgebra y en reconocer plenamente su carácter puramente simbólico. Propone, aunque de manera algo imperfecta, el "principio de la permanencia de las formas equivalentes". Este asume que las reglas aplicables a los símbolos del álgebra aritmética se aplican también al álgebra simbólica.

Por entonces, D. F. Gregory escribió un artículo "sobre la naturaleza real del álgebra simbólica", que puso de manifiesto con claridad las leyes conmutativa y distributiva. Estas leyes habían sido advertidas años antes por los inventores de los métodos simbólicos en el cálculo. Fue Servois quien introdujo los nombres de conmutativa y distributiva en 1813.

Las investigaciones de Peacock sobre los fundamentos del álgebra fueron considerablemente avanzadas por De Morgan y Hankel.

James Ivory (1765–1842) fue un matemático escocés que durante doce años, a partir de 1804, ocupó la cátedra de matemáticas en el Real Colegio Militar de Marlow (hoy en Sandhurst).

Fue esencialmente un matemático autodidacta y casi el único en Gran Bretaña, antes de la organización de la Sociedad Analítica, que estaba bien versado en las matemáticas continentales.

Es de importancia su memoria (Phil. Trans., 1809) en la cual el problema de la atracción de un elipsoide homogéneo sobre un punto exterior se reduce al problema más simple de la atracción de un elipsoide relacionado sobre un punto correspondiente interior a él. Esto se conoce como el «teorema de Ivory».

Criticó con indebida severidad la solución de Laplace del método de los mínimos cuadrados y dio tres demostraciones del principio sin recurrir a la probabilidad; pero están lejos de ser satisfactorias.

# El origen de la geometría moderna

Por las investigaciones de Descartes y la invención del cálculo, el tratamiento analítico de la geometría cobró gran prominencia durante más de un siglo. A pesar de los esfuerzos por revivir los métodos sintéticos realizados por Desargues, Pascal,

De La Hire, Newton y Maclaurin, el método analítico conservó una supremacía casi indiscutida. Estaba reservado al genio de Monge poner la geometría sintética en primer plano y abrir nuevas vías de progreso. Su Géométrie descriptive marca el comienzo de un desarrollo maravilloso de la geometría moderna.

De los dos problemas principales de la geometría descriptiva, el uno —representar magnitudes geométricas mediante dibujos— se llevó a un alto grado de perfección antes de la época de

Monge; el otro —resolver problemas sobre figuras en el espacio mediante construcciones en un plano— había recibido considerable atención antes de su época. Su predecesor más notable en geometría descriptiva fue el francés Frézier (1682–1773).

Pero quedó reservado a Monge crear la geometría descriptiva como una rama distinta de la ciencia al dotarla de generalidad y elegancia geométricas. Todos los problemas tratados anteriormente de manera especial e incierta fueron remitidos a unos pocos principios generales. Introdujo la línea de intersección del plano horizontal y el vertical como eje de proyección. Al hacer girar un plano sobre el otro alrededor de este eje o línea de tierra, se obtuvieron numerosas ventajas.54

Gaspard Monge (1746–1818) nació en Beaune. La realización de un plano de su ciudad natal llamó la atención de un coronel de ingenieros hacia el muchacho, el cual le consiguió un puesto en el colegio de ingenieros de Mézières. Debido a su origen humilde, no pudo recibir un grado militar en el ejército, pero se le permitió ingresar en el anexo de la escuela, donde se enseñaban topografía y dibujo.

Observando que todas las operaciones relacionadas con la construcción de planos de fortificación se realizaban mediante largos procesos aritméticos, sustituyó estos por un método geométrico que el comandante al principio se negó incluso a mirar, tan breve era el tiempo en el que se podía poner en práctica; una vez examinado, fue recibido con avidez.

Monge desarrolló aún más estos métodos y creó así su geometría descriptiva. Debido a la rivalidad entre las escuelas militares francesas de la época, no se le permitió divulgar sus nuevos métodos a nadie fuera de esta institución.

En 1768 fue nombrado profesor de matemáticas en Mézières.

En 1780, al conversar con dos de sus alumnos, S. F. Lacroix y Gayvernon en París, se vio obligado a decir: "Todo lo que aquí he hecho mediante el cálculo, podría haberlo hecho con la regla y el compás, pero no me está permitido revelaros estos secretos".

Pero Lacroix se propuso examinar cuál podía ser el secreto, descubrió los procedimientos y los publicó en 1795.

El método fue publicado por el propio Monge en el mismo año, primero en la forma en que los taquígrafos transcribieron sus lecciones impartidas en la Escuela Normal, donde había sido elegido profesor, y luego de nuevo, en forma revisada, en el Journal des écoles normales.

La siguiente edición tuvo lugar en 1798-1799.

Tras una existencia efímera de solo cuatro meses, la Escuela Normal fue cerrada en 1795. En el mismo año se abrió la Escuela Politécnica, en cuya fundación Monge participó activamente. Allí enseñó geometría descriptiva hasta su marcha de Francia para acompañar

Napoleón en la campaña de Egipto. Fue el primer presidente del Instituto de Egipto.

Monge era un ferviente partidario de Napoleón y fue, por esa razón, privado de todos sus honores por Luis XVIII.

Esto y la destrucción de la Escuela Politécnica afectaron gravemente a su salud mental. No sobrevivió mucho tiempo a este insulto.

Los numerosos artículos de Monge no se limitaban en absoluto a la geometría descriptiva. Sus descubrimientos analíticos son casi igual de notables. Introdujo en la geometría analítica el uso metódico de la ecuación de una recta. Hizo importantes contribuciones a las superficies de segundo grado (estudiadas previamente por Wren y Euler) y descubrió, entre la teoría de superficies y la integración de ecuaciones diferenciales parciales, una relación oculta que arrojó nueva luz sobre ambos temas. Dio el diferencial de las líneas de curvatura, estableció una teoría general de la curvatura y la aplicó al elipsoide. Encontró que la validez de las soluciones no se alteraba cuando se incluían imaginarios entre las cantidades auxiliares. Monge publicó los siguientes libros: Statics, 1786; Applications de l'algèbre à la géométrie, 1805; Application de l'analyse à la géométrie. Los dos últimos contienen la mayor parte de sus artículos misceláneos.

Monge era un profesor inspirador, y reunió a su alrededor a un gran círculo de alumnos, entre los que se encontraban Dupin, Servois,

Brianchon, Hachette, Biot y Poncelet.

Charles Dupin (1784–1873), profesor de mecánica durante muchos años en el Conservatorio de Artes y Oficios de París, publicó en 1813 una importante obra sobre Développements de géométrie, en la que se introduce el concepto de tangentes conjugadas de un punto de una superficie y de la indicatriz.53 Contiene además el teorema conocido como «teorema de Dupin». Las superficies de segundo grado y la geometría descriptiva fueron estudiadas con éxito por Jean Nicolas Pierre Hachette (1769–1834), quien llegó a ser profesor de geometría descriptiva en la Escuela Politécnica tras la marcha de Monge a Roma y Egipto. En 1822 publicó su Traité de géométrie descriptive.

La geometría descriptiva, que surgió, como hemos visto, en las escuelas técnicas de Francia, fue trasladada a Alemania con la fundación de escuelas técnicas allí.

G. Schreiber, profesor en Karlsruhe, fue el primero en difundir la geometría de Monge en Alemania mediante la publicación de una obra sobre la materia en 1828–1829.54

En los Estados Unidos, la geometría descriptiva fue introducida en 1816 en la Academia Militar de West Point por Claude Crozet, antiguo alumno de la Escuela Politécnica de

París. Crozet escribió la primera obra en inglés sobre el tema.2

Lazare Nicholas Marguerite Carnot (1753–1823) nació en Nolay, en Borgoña, y se educó en su provincia natal. Ingresó en el ejército, pero continuó sus estudios matemáticos y escribió en 1784 una obra sobre máquinas que contiene la primera demostración de que la energía cinética se pierde en las colisiones de los cuerpos.

Con la llegada de la Revolución se lanzó a la política, y cuando la Europa coaligada lanzó en 1793 un millón de soldados contra Francia, la titánica tarea de organizar catorce ejércitos para hacer frente al enemigo fue llevada a cabo por él. Fue desterrado en 1796 por oponerse al golpe de Estado de Napoleón.

El refugiado se dirigió a Ginebra, donde publicó en 1797 una obra aún citada con frecuencia titulada Réflexions sur la Métaphysique du Calcul Infinitésimal. Se declaró a sí mismo «enemigo irreconciliable de los reyes». Tras la campaña de Rusia ofreció luchar por Francia, aunque no por el imperio. Tras la Restauración fue exiliado. Murió en Magdeburgo.

Su Géométrie de position (1803) y su Essay on Transversals (1806) son contribuciones importantes a la geometría moderna. Mientras que Monge se deleitaba principalmente en la geometría tridimensional, Carnot se limitó a la de dos dimensiones. Mediante su esfuerzo por explicar el significado del signo negativo en geometría, estableció una «geometría de posición» que, sin embargo, es diferente de la Geometrie der Lage actual. Inventó una clase de teoremas generales sobre las propiedades proyectivas de las figuras que desde entonces han sido desarrollados en gran medida por Poncelet, Chasles y otros.

Jean Victor Poncelet (1788–1867), natural de Metz, participó en la campaña de Rusia, fue abandonado por muerto en el sangriento campo de Krasnoi y llevado prisionero a Sarátov.

Privado allí de todo libro y reducido al recuerdo de lo que había aprendido en el Liceo de Metz y en la Escuela Politécnica, donde había estudiado con predilección las obras de Monge, Carnot y Brianchon, comenzó a estudiar matemáticas desde sus elementos. Se adentró en investigaciones originales que más tarde le harían ilustre.

Estando en prisión hizo por las matemáticas lo que Bunyan por la literatura,–-produjo una obra muy leída que ha conservado un gran valor hasta el presente. Regresó a Francia en 1814 y en 1822 publicó la obra en cuestión, titulada Traité des Propriétés projectives des figures.

En ella investigó las propiedades de las figuras que permanecen inalteradas por la proyección de las mismas. La proyección no se efectúa aquí mediante rayos paralelos de dirección prescrita, como en el caso de Monge, sino mediante proyección central. Así, la proyección perspectiva, utilizada antes que él por Desargues, Pascal, Newton y Lambert, fue elevada por él a la categoría de método geométrico fructífero. Del mismo modo, elaboró algunas ideas de De Lahire,

Servois y Gergonne en un método regular: el método de los «polares recíprocos».

A él le debemos la ley de la dualidad como consecuencia de los polares recíprocos. Como principio independiente se debe a Gergonne.

Poncelet escribió mucho sobre mecánica aplicada. En 1838 la Facultad de Ciencias se amplió con su elección a la cátedra de mecánica.

Mientras que en Francia la escuela de Monge creaba la geometría moderna, en Inglaterra se hicieron esfuerzos para revivir la geometría griega por obra de Robert Simson (1687–1768) y Matthew Stewart

(1717–1785). Stewart fue alumno de Simson y Maclaurin, y sucedió a este último en la cátedra de Edimburgo. Durante el siglo XVIII, él y Maclaurin fueron los únicos matemáticos destacados en Gran Bretaña. Su genio estuvo mal dirigido por la moda entonces imperante en Inglaterra de ignorar el análisis superior.

En sus Four Tracts, Physical and Mathematical (1761), aplicó la geometría a la solución de difíciles problemas astronómicos, que en el continente se abordaban analíticamente con mayor éxito. Publicó, en 1746, General Theorems, y en 1763, sus Propositiones geometricæ more veterum demonstratæ. La primera obra contiene sesenta y nueve teoremas, de los cuales solo cinco van acompañados de demostraciones. Ofrece muchos resultados nuevos e interesantes sobre el círculo y la línea recta.

Stewart amplió algunos teoremas sobre transversales debidos a Giovanni Ceva (1648–1737), un italiano que publicó en 1678 en Mediolani una obra que contenía el teorema que hoy lleva su nombre.