El conflicto entre la geometría y el análisis que surgió hacia finales del siglo pasado y principios del presente ha llegado ahora a su fin.

Ninguno de los dos bandos ha salido victorioso. Se descubre que la mayor fuerza no reside en la supresión de ninguno, sino en la rivalidad amistosa entre ambos y en la influencia estimulante del uno sobre el otro.

Lagrange se enorgullecía de que en su Mécanique Analytique había logrado evitar toda figura; pero desde su época la mecánica ha recibido mucha ayuda de la geometría.

La geometría sintética moderna fue creada por varios investigadores casi al mismo tiempo. Parecía ser el fruto de un deseo de métodos generales que sirvieran como hilos de Ariadna para guiar al estudiante a través del laberinto de teoremas, corolarios, porismas y problemas. La geometría sintética fue cultivada por primera vez por Monge, Carnot y Poncelet en Francia;

luego dio ricos frutos de la mano de Möbius y Steiner en

Alemania y Suiza, y fue finalmente desarrollada a una perfección aún mayor por Chasles en Francia, von Staudt en Alemania y Cremona en Italia.

Augustus Ferdinand Möbius (1790–1868) was a native of

Schulpforta, en Prusia. Estudió en Gotinga con Gauss, así como en Leipzig y Halle. En Leipzig se convirtió en, en

1815, privat-docent, al año siguiente profesor extraordinario de astronomía, y en 1844 profesor ordinario. Este puesto lo ocupó hasta su muerte.

Sus investigaciones más importantes versan sobre la geometría. Aparecieron en el Crelle's Journal y en su célebre obra titulada Der Barycentrische Calcul, Leipzig, 1827.

Como indica el nombre, este cálculo se basa en las propiedades del centro de gravedad.58 Así, el hecho de que el punto $S$ sea el centro de gravedad de los pesos $a$, $b$, $c$, $d$ colocados en los puntos $A$, $B$, $C$, $D$ respectivamente, se expresa mediante la ecuación $(a+b+c+d)S=aA+bB+cC+dD.$

Su cálculo es el comienzo de un álgebra cuaternaria y contiene los gérmenes del maravilloso sistema de Grassmann.

Al designar segmentos de líneas que encontramos en todo este trabajo por primera vez la consistencia en la distinción de positivo y negativo por el orden de las letras $AB$, $BA$. De manera similar para triángulos y tetraedros.

La observación de que siempre es posible dar a tres puntos $A$, $B$, $C$ tales pesos $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ que cualquier cuarto punto $M$ en su plano se convierta en un centro de masas, llevó a Möbius a un nuevo sistema de coordenadas en el cual la posición de un punto se indicaba mediante una ecuación, y la de una línea mediante coordenadas.

Mediante este algoritmo encontró por álgebra muchos teoremas geométricos que expresan principalmente propiedades invariantes, por ejemplo, los teoremas sobre la relación anarmónica.

Möbius escribió también sobre estática y astronomía. Generalizó la trigonometría esférica permitiendo que los lados o ángulos de los triángulos excedieran los $180°$.

Jacob Steiner (1796–1863), «el mayor geómetra desde los tiempos de Euclides», nació en Utzendorf, en el cantón de Berna. No aprendió a escribir hasta los catorce años. A los dieciocho se convirtió en discípulo de Pestalozzi. Más tarde estudió en Heidelberg y Berlín.

Cuando Crelle fundó, en 1826, la célebre revista matemática que lleva su nombre, Steiner y Abel se convirtieron en colaboradores principales. En 1832 Steiner publicó su Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander, «en la cual se descubre el organismo mediante el cual los más diversos fenómenos (Erscheinungen) del mundo del espacio están unidos entre sí».

Por influencia de Jacobi y otros, se fundó para él la cátedra de geometría en Berlín en 1834. Ocupó este puesto hasta su muerte, que se produjo tras años de mala salud. En sus Systematische Entwickelungen se introduce por primera vez el principio de dualidad desde el principio. Este libro y el de von Staudt sientan las bases sobre las que descansa la geometría sintética en su forma actual.

No solo completó razonablemente la teoría de las curvas y superficies de segundo grado, sino que hizo grandes avances en la teoría de las de grados superiores. En sus manos, la geometría sintética hizo progresos prodigiosos. Los nuevos descubrimientos se sucedieron con tanta rapidez que a menudo no se tomaba el tiempo de registrar sus demostraciones. En un artículo en el Journal de Crelle sobre Allgemeine Eigenschaften Algebraischer

Curven da sin demostración teoremas que Hesse declaró que eran «como los teoremas de Fermat, enigmas para las generaciones presentes y futuras». Desde entonces, otros han aportado demostraciones analíticas de algunos de ellos, pero Cremona terminó por demostrarlos todos mediante un método sintético. Steiner descubrió sintéticamente las dos propiedades más destacadas de una superficie de tercer orden; a saber, que contiene veintisiete líneas rectas y un pentaedro que tiene los puntos dobles como vértices y las líneas de la hessiana de la superficie dada como aristas.55 La primera propiedad fue descubierta analíticamente un poco antes en Inglaterra por Cayley y Salmon, y la segunda por Sylvester. El trabajo de Steiner sobre este tema fue el punto de partida de importantes investigaciones de H. Schröter,

F. August, L. Cremona y R. Sturm.

Steiner hizo investigaciones por métodos sintéticos sobre máximos y mínimos, y llegó a la solución de problemas que en aquel tiempo sobrepasaban por completo el poder analítico del cálculo de variaciones.

Generalizó el hexagrammum mysticum y también

El problema de Malfatti.59 Malfatti, en 1803, propuso el problema de recortar tres agujeros cilíndricos de un prisma triangular de tal manera que los cilindros y el prisma tengan la misma altura y que el volumen de los cilindros sea máximo.

Este problema se redujo a otro, conocido ahora generalmente como el problema de Malfatti: inscribir tres círculos en un triángulo de modo que cada círculo sea tangente a dos lados del triángulo y a los otros dos círculos.

Malfatti dio una solución analítica, pero Steiner dio una construcción sin demostración, señaló que había treinta y dos soluciones, generalizó el problema reemplazando las tres líneas por tres círculos, y resolvió el problema análogo para tres dimensiones. Este problema general fue resuelto analíticamente por C. H. Schellbach (1809–1892)

y Cayley, y por Clebsch con la ayuda del teorema de adición de las funciones elípticas.60

Las investigaciones de Steiner se limitan a la geometría sintética. Odiaba el análisis tan profundamente como a Lagrange le disgustaba la geometría.

Las Gesammelte Werke de Steiner se publicaron en Berlín en 1881 y 1882.

Michel Chasles (1793–1880) nació en Epernon, ingresó en la Escuela Politécnica de París en 1812, se dedicó después a los negocios, que más tarde abandonó para poder consagrar todo su tiempo a las investigaciones científicas. En 1841 se convirtió en profesor de geodesia y mecánica en la Escuela Politécnica; más tarde,

«Professeur de Géométrie supérieure à la Faculté des Sciences de Paris.» Era un autor prolífico en temas de geometría. En 1837 publicó su admirable Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie, que contiene una historia de la geometría y, como apéndice, un tratado «sur deux principes généraux de la Science.»

El Aperçu historique sigue siendo una obra histórica de referencia; el apéndice contiene la teoría general de la homografía (colineación) y de la dualidad (reciprocidad). El nombre de dualidad se debe a Joseph

Diaz Gergonne (1771–1859).

Chasles introduced the term anharmonic ratio, corresponding to the German Doppelverhältniss and to Clifford's cross-ratio. Chasles and Steiner elaborated independently the modern synthetic or projective geometry.

Numerous original memoirs of Chasles were published later in the Journal de l'École Polytechnique. He gave a reduction of cubics, different from Newton's in this, that the five curves from which all others can be projected are symmetrical with respect to a centre.

In 1864 he began the publication, in the Comptes rendus, of articles in which he solves by his "method of characteristics" and the "principle of correspondence"

un número inmenso de problemas. Determinó, por ejemplo, el número de intersecciones de dos curvas en un plano. El método de las características contiene la base de la geometría enumerativa. La aplicación del principio de correspondencia fue ampliada por Cayley, A. Brill, H. G. Zeuthen,

H. A. Schwarz, G. H. Halphen (1844–1889) y otros.

El valor total de estos principios de Chasles no se puso de manifiesto hasta la aparición, en 1879, del Kalkül der Abzählenden Geometrie de Hermann Schubert, de Hamburgo. Esta obra contiene una discusión magistral del problema de la geometría enumerativa, a saber, determinar cuántas figuras geométricas de definición dada satisfacen un número suficiente de condiciones. Schubert extendió su geometría enumerativa al espacio de $n$ dimensiones.55

A Chasles debemos la introducción en la geometría proyectiva de propiedades no proyectivas de las figuras mediante el esferocírculo imaginario del infinito.61 Es notable su completa solución, en 1846, por geometría sintética, de la difícil cuestión de la atracción de un elipsoide sobre un punto exterior. Esto fue logrado analíticamente por Poisson en

1835. Los trabajos de Chasles y Steiner elevaron la geometría sintética a una posición de honor y respeto junto al análisis.

Karl Georg Christian von Staudt (1798–1867) nació en

Rothenburg ob der Tauber y, a su muerte, fue profesor en Erlangen.

Sus grandes obras son la Geometrie der Lage, Núremberg, 1847, y sus Beiträge zur Geometrie der Lage, 1856–1860. El autor se desprendió de las fórmulas algebraicas y de las relaciones métricas, en particular de la razón anarmónica de Steiner y Chasles, y creó entonces una geometría de posición, que es una ciencia completa en sí misma, independiente de todas las medidas.

Demuestra que las propiedades proyectivas de las figuras no dependen en absoluto de las medidas y pueden establecerse sin mención alguna de ellas. En su teoría de lo que denomina «Würfe», llega incluso a dar una definición geométrica de un número en su relación con la geometría como determinante de la posición de un punto.

Los Beiträge contienen la primera teoría completa y general de los puntos, líneas y planos imaginarios en geometría proyectiva. La representación de un punto imaginario se busca en la combinación de una involución con una dirección determinada, ambas sobre la línea real que pasa por el punto. Aunque puramente proyectivo, el método de von Staudt está íntimamente relacionado conῷ el problema de representar mediante puntos y líneas reales los imaginarios de la geometría analítica.

Esto fue emprendido sistemáticamente por C. F. Maximilien Marie, quien trabajó, sin embargo, en líneas completamente diferentes. Recientemente (1893) F. H. Loud, de Colorado, ha realizado un intento independiente

College.

La geometría de posición de von Staudt fue desatendida durante mucho tiempo, debido principalmente, sin duda, a que su libro es extremadamente condensado. Un impulso para el estudio de esta materia fue dado por Culmann, quien basa su estática gráfica en la obra de von Staudt. Un intérprete de von Staudt fue por fin hallado en Theodor Reye de Estrasburgo, quien escribió un

Geometrie der Lage in 1868.

La geometría sintética ha sido estudiada con mucho éxito por Luigi Cremona, profesor en la Universidad de Roma. En su Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane desarrolló mediante un método uniforme muchos resultados nuevos y demostró sintéticamente todos los resultados importantes alcanzados antes de ese momento por el análisis. Sus escritos han sido traducidos al alemán por M. Curtze, profesor en el gimnasio de Thorn.

La teoría de la transformación de curvas y de la correspondencia de puntos en las curvas fue extendida por él a tres dimensiones.

Las superficies regladas, las superficies de segundo orden, las curvas espaciales de tercer orden y la teoría general de las superficies han recibido gran atención por su parte.

Karl Culmann, profesor del Politécnico de Zúrich, publicó una obra epochal sobre Die graphische Statik (Zúrich, 1864), la cual convirtió a la estática gráfica en una gran rival de la estática analítica.

Antes de Culmann, B. E. Cousinery había dirigido su atención al cálculo gráfico, pero hizo uso de la perspectiva y no de la geometría moderna.62

Culmann es el primero en emprender la presentación del cálculo gráfico como un todo simétrico, que guarda con la nueva geometría la misma relación que la mecánica analítica con el análisis superior. Hace uso de la teoría polar de las figuras recíprocas para expresar la relación entre los polígonos de fuerzas y funiculares. Deduce esta relación sin abandonar el plano de las dos figuras.

Pero si los polígonos se consideran como proyecciones de líneas en el espacio, estas líneas pueden tratarse como elementos recíprocos de un "Nullsystem" (sistema nulo). Esto fue hecho por Clerk Maxwell en 1864 y desarrollado aún más por Cremona.63

El cálculo gráfico ha sido aplicado por O. Mohr, de Dresde, a la línea elástica para tramos continuos. Henry T. Eddy, del Rose Polytechnic Institute, ofrece soluciones gráficas a problemas sobre las tensiones máximas en puentes bajo cargas concentradas, con la ayuda de lo que denomina "polígonos de reacción".

Una obra fundamental, La Statique graphique, de 1874, fue publicada por Maurice Levy, de París.

Geometría descriptiva (reducida a ciencia por Monge en

Francia, y desarrollado más a fondo por sus sucesores, Hachette,

Dupin, Olivier, J. de la Gournerie) se estudió pronto también en otros países. Los franceses dirigieron su atención principalmente a la teoría de las superficies y su curvatura; los alemanes y suizos, a través de Schreiber, Pohlke, Schlessinger y, en particular

Fiedler, interwove projective and descriptive geometry.

Bellavitis en Italia trabajó en la misma línea. La teoría de las sombras y penumbras fue investigada por primera vez por los autores franceses recién citados, y tratada de la manera más exhaustiva en Alemania por Burmester.62

Durante el presente siglo se han hecho generalizaciones generales muy notables, que llegan a la raíz misma de dos de las ramas más antiguas de las matemáticas: el álgebra elemental y la geometría.

En álgebra se han ampliado las leyes de operación; en geometría se han examinado los axiomas hasta el fondo, y se ha llegado a la conclusión de que el espacio definido por los axiomas de Euclides no es el único espacio no contradictorio posible.

Euclides demostró (I. 27) que «si una recta que corta a otras dos rectas hace que los ángulos alternos sean iguales entre sí, las dos rectas serán paralelas entre sí». Al ser incapaz de demostrar que en cualquier otro caso las dos líneas no son paralelas, supuso que esto era verdad en lo que generalmente se llama el 12.° «axioma», y algunos el 11.° «axioma».

Pero este supuesto axioma está lejos de ser axiomático. Tras siglos de intentos desesperados pero infructuosos por demostrar la suposición de Euclides, la audaz idea se alboró en las mentes de varios matemáticos de que se podía construir una geometría sin asumir el axioma de las paralelas. Mientras Legendre aún se esforzaba por establecer el axioma mediante una demostración rigurosa, Lobatchewsky sacó a la luz una publicación que suponía lo contrario de dicho axioma, y que fue la primera de una serie de artículos destinados a aclarar oscuridades en los conceptos fundamentales y a ampliar enormemente el campo de la geometría.

Nicholaus Ivanovitch Lobatchewsky (1793–1856) nació en Makarief, en Nischni-Nowgorod, Rusia, estudió en Kazán y, desde 1827 hasta 1846, fue profesor y rector de la Universidad de Kazán.

Sus puntos de vista sobre los fundamentos de la geometría se hicieron públicos por primera vez en un discurso ante la facultad de física y matemáticas de Kazán, y se imprimieron inicialmente en el Mensajero de Kazán en 1829, y después en Gelehrte Schriften der Universität Kasan, 1836–1838, bajo el título: "Nuevos elementos de geometría, con una teoría completa de las paralelas". Al estar en lengua rusa, la obra pasó desapercibida para los extranjeros, pero ni siquiera en su propio país atrajo atención alguna.

En 1840 publicó una breve exposición de sus investigaciones en Berlín. Lobatchewsky construyó una "geometría imaginaria", como él la llamó, que ha sido descrita por Clifford como "bastante simple, meramente Euclides sin la suposición viciosa".

Una parte notable de esta geometría es que por un punto se puede trazar en un plano un número indefinido de líneas, ninguna de las cuales corta a una línea dada en el mismo plano. Un sistema de geometría similar fue deducido de manera independiente por los Bolyai en Hungría, quienes lo denominaron "geometría absoluta".

Wolfgang Bolyai de Bolya (1775–1856) nació en Szekler-Land,

Transylvania. After studying at Jena, he went to

Gotinga, donde entabló una estrecha amistad con Gauss, que entonces tenía diecinueve años. Gauss solía decir que Bolyai era el único hombre que comprendía a cabalidad sus puntos de vista sobre la metafísica de las matemáticas.

Bolyai llegó a ser profesor en el Colegio Reformado de Maros-Vásárhely, donde durante cuarenta y siete años tuvo como alumnos a la mayoría de los actuales profesores de Transilvania. Las primeras publicaciones de este notable genio fueron dramas y poesía. Ataviado con un traje de hacendado a la antigua usanza, era verdaderamente original tanto en su vida privada como en su modo de pensar. Era sumamente modesto. Ningún monumento, decía, debía erigirse sobre su tumba, tan solo un manzano, en memoria de las tres manzanas: las dos de Eva y de París, que convirtieron la tierra en un infierno, y la de Newton, que elevó de nuevo a la tierra al coro de los cuerpos celestes.64

Su hijo, Johann Bolyai (1802-1860), fue educado para la carrera militar y se distinguió como un profundo matemático, un apasionado violinista y un experto esgrimidor. En una ocasión aceptó el reto de trece oficiales con la condición de que, tras cada duelo, se le permitiera tocar una pieza con su violín, y los venció a todos.

La obra matemática principal de Wolfgang Bolyai apareció en dos volúmenes, 1832–1833, titulada Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos puræ introducendi.

Le sigue un apéndice compuesto por su hijo Johann sobre La ciencia absoluta del espacio. Sus veintiséis páginas inmortalizan el nombre de Johann Bolyai. No publicó nada más, ¡pero dejó tras de sí mil páginas de manuscrito que jamás han sido leídas por un matemático competente!

Su padre parece haber sido la única persona en Hungría que apreció de verdad los méritos de la obra de su hijo. Durante treinta y cinco años este apéndice, al igual que las investigaciones de Lobatchewsky, permaneció en un olvido casi total. Por fin, Richard Baltzer, de la Universidad de Giessen, llamó la atención en 1867 sobre estas maravillosas investigaciones. La Ciencia absoluta del espacio de Johann Bolyai

El espacio y las Investigaciones geométricas de Lobatchewsky sobre la

Theory of Parallels (1840) were rendered easily accessible to

lectores estadounidenses a través de traducciones al inglés realizadas en 1891 por George Bruce Halsted, de la Universidad de Texas.

Los matemáticos ruso y húngaro no fueron los únicos a quienes se les ocurrió la pangeometría.

Un ejemplar del Tentamen llegó a manos de Gauss, antiguo compañero de habitación del viejo Bolyai en Gotinga, y este Néstor de los matemáticos alemanes se sorprendió al descubrir desarrollado en él lo que él mismo había comenzado mucho antes, solo para dejarlo relegado entre sus papeles. Ya en 1792 había iniciado investigaciones de esa índole.

Sus cartas muestran que en 1799 intentaba demostrar a priori la realidad del sistema de Euclides; pero en algún momento de los treinta años siguientes llegó a la conclusión a la que arribaron Lobachevski y Bolyai. En 1829 escribió a Bessel, afirmando que su «convicción de que no podemos fundar la geometría completamente a priori se ha vuelto, de ser posible, aún más firme», y que «si el número es meramente un producto de nuestra mente, el espacio también posee una realidad más allá de nuestra mente cuyas leyes no podemos predeterminar plenamente a priori».

El término geometría no euclidiana se debe a Gauss. Recientemente se ha dado a conocer que Girolamo Saccheri, un padre jesuita de

Milán, en 1733, anticipó la doctrina de la línea paralela de Lobatchewsky. Además, G. B. Halsted ha señalado que en 1766 Lambert escribió un artículo titulado "Zur Theorie der Parallellinien,"

publicado en el Leipziger Magazin für reine und angewandte Mathematik, de 1786, en el que: (1) El fallo del axioma de las paralelas en la esférica de superficies da una geometría con una suma de ángulos $>2$ ángulos rectos; (2) Para hacer intuitiva una geometría con una suma de ángulos $<2$ ángulos rectos necesitamos la ayuda de una «esfera imaginaria» (pseudoesfera); (3) En un espacio con una suma de ángulos que difiere de 2 ángulos rectos, hay una medida absoluta (la unidad natural de longitud de Bolyai).

En 1854, casi veinte años después, Gauss oyó de labios de su alumno, Riemann, una maravillosa disertación que llevaba la discusión un paso más allá al desarrollar la noción de magnitud de $n$ dimensiones («-ply extended magnitude»), y las relaciones de medida de las que es capaz una multiplicidad de $n$ dimensiones, bajo el supuesto de que cada línea puede ser medida por cualquier otra. Riemann aplicó sus ideas al espacio. Nos enseñó a distinguir entre «sin límite» («unboundedness») y «extensión infinita». Según él, poseemos en nuestra mente una noción más general del espacio, es decir, una noción de espacio no euclidiano; pero aprendemos por experiencia que nuestro espacio físico es, si no exactamente, al menos en un alto grado de aproximación, espacio euclidiano.

La profunda disertación de Riemann no se publicó hasta 1867, año en que apareció en los Göttingen Abhandlungen. Antes de esto, la idea de las dimensiones se le había presentado bajo diversos aspectos a Lagrange, Plücker y H. Grassmann. Casi al mismo tiempo que el artículo de Riemann, se publicaron otros salidos de las plumas de Helmholtz y Beltrami. Estos contribuyeron poderosamente a la victoria de la lógica sobre el empirismo excesivo.

Este período marca el comienzo de animados debates sobre este tema. Algunos escritores, como Bellavitis, por ejemplo, no pudieron ver en la geometría no euclidiana y en el espacio de -dimensiones más que enormes caricaturas o excrecencias enfermizas de las matemáticas.

El artículo de Helmholtz se titulaba Thatsachen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, 1868, y contenía muchas de las ideas de Riemann. Helmholtz popularizó el tema en conferencias y en artículos para varias revistas.

Eugenio Beltrami, nacido en Cremona, Italia, en 1835, y actualmente profesor en Roma, escribió el clásico artículo Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea (Giorn. di Matem., 6), que es analítico (y, al igual que otros artículos, debería mencionarse en otra parte si hubiéramos de adherirnos a una estricta separación entre síntesis y análisis).

Llegó a la brillante y sorprendente conclusión de que los teoremas de la geometría no euclidiana encuentran su realización sobre superficies de curvatura constante negativa. Estudió también las superficies de curvatura constante positiva, y terminó con el interesante teorema de que el espacio de curvatura constante positiva está contenido en el espacio de curvatura constante negativa.

Estas investigaciones de Beltrami,

Helmholtz y Riemann culminaron en la conclusión de que en superficies de curvatura constante podemos tener tres geometrías: la no euclidiana en una superficie de curvatura negativa constante, la esférica en una superficie de curvatura positiva constante, y la geometría euclidiana en una superficie de curvatura cero.

Las tres geometrías no se contradicen entre sí, sino que son miembros de un sistema: una trinidad geométrica. Las ideas del hiperespacio fueron expuestas y popularizadas brillantemente en

Inglaterra por Clifford.

William Kingdon Clifford (1845–1879) nació en Exeter, se educó en el Trinity College de Cambridge y, desde 1871 hasta su muerte, fue profesor de matemáticas aplicadas en el University College de Londres. Su prematura muerte dejó incompletas varias investigaciones brillantes que había emprendido. Entre ellas se encuentran su artículo On Classification of Loci y su Theory of Graphs. Escribió artículos On the Canonical Form and Dissection of a Riemann's Surface, sobre biquaterniones y una obra incompleta sobre los Elements of Dynamic. La teoría de los polares de curvas y superficies fue generalizada por él y por Reye. Su clasificación de lugares geométricos (classification of loci, 1878), al ser un estudio general de las curvas, constituyó una introducción al estudio del espacio de $n$ dimensiones en una dirección principalmente proyectiva. Este estudio ha sido continuado desde entonces principalmente por G. Veronese de Padua, C. Segre de Turín, E. Bertini, F. Aschieri y P. Del Pezzo de Nápoles.

A las investigaciones de Beltrami sobre la geometría no euclidiana le siguieron, en 1871, importantes investigaciones de Felix Klein, basadas en la Sexta memoria sobre las cuádricas de Cayley, de 1859.

La cuestión de si no es posible expresar las propiedades métricas de las figuras de tal manera que no varíen por proyección (o transformación lineal) había sido resuelta para proyecciones especiales por Chasles, Poncelet y E. Laguerre (1834–1886), de París, pero quedó en manos de Cayley dar una solución general al definir la distancia entre dos puntos como una constante arbitraria multiplicada por el logaritmo de la razón anarmónica en la que la línea que une los dos puntos es dividida por la cuádrica fundamental.

Ampliando esta noción, Klein mostró la independencia de la geometría proyectiva respecto al axioma de las paralelas y, eligiendo adecuadamente la ley de la medida de la distancia deducida de la geometría proyectiva, dedujo las geometrías esférica, euclidiana y pseudoesférica, denominadas por él, respectivamente, geometrías elíptica, parabólica e hiperbólica.

A esta sugerente investigación le siguieron numerosos autores, en particular G. Battaglini, de Nápoles, y E. d’Ovidio, de Turín,

• R. de Paolis de Pisa,
• F. Aschieri,
• A. Cayley,
• F. Lindemann de Múnich,
• E. Schering de Gotinga,
• W. Story de Clark

University, H. Stahl of Tübingen, A. Voss of Würzburg,

Homersham Cox, A. Buchheim.55 La geometría de $n$ dimensiones fue estudiada a lo largo de una línea principalmente métrica por una multitud de escritores, entre los cuales pueden mencionarse a Simon Newcomb de la Universidad Johns Hopkins, L. Schläfli de Berna, W. I.

Stringham de la Universidad de California, W. Killing de

Münster, T. Craig of the Johns Hopkins, R. Lipschitz of

Bonn. R. S. Heath y Killing investigaron la cinemática y la mecánica de dicho espacio. Los sólidos regulares en el espacio de dimensiones fueron estudiados por Stringham, Ellery W. Davis de la Universidad de Nebraska, R. Hoppe de Berlín y otros. Stringham ofreció imágenes de proyecciones sobre nuestro espacio de sólidos regulares en cuatro dimensiones, y Schlegel en

Hagen construyó modelos de tales proyecciones. Estos se cuentan entre los más curiosos de una serie de modelos publicados por L. Brill en Darmstadt. Se ha señalado que, si existiera una cuarta dimensión, podrían tener lugar ciertos movimientos que consideramos imposibles. Así, Newcomb demostró la posibilidad de volverse del revés una cáscara material cerrada mediante una simple flexión sin estirarla ni rasgarla; Klein señaló que los nudos no podrían atarse; Veronese mostró que un cuerpo podría ser sacado de una habitación cerrada sin romper las paredes; C. S. Peirce probó que un cuerpo en un espacio cuatridimensional o bien rota alrededor de dos ejes a la vez, o no puede rotar sin perder una de sus dimensiones.