"Las matemáticas, la reina de las ciencias, y la aritmética, la reina de las matemáticas". Tal fue el dictamen de Gauss, quien estaba destinado a revolucionar la teoría de los números.
Cuando le preguntaron quién era el matemático más grande de Alemania, Laplace respondió: Pfaff. Cuando el interrogador dijo que habría pensado que era Gauss, Laplace replicó: "Pfaff es, con mucho, el mayor matemático de Alemania; pero Gauss es el más grande de toda Europa".83
Gauss es uno de los tres más grandes maestros del análisis moderno:–Lagrange, Laplace,
Gauss. De estos tres contemporáneos era el más joven. Mientras que los dos primeros pertenecen al periodo de la historia matemática anterior al que ahora se considera, Gauss es aquel cuyos escritos puede decirse verdaderamente que marcan el comienzo de nuestra propia época.
En él, esa abundante fecundidad de invención, desplegada por los matemáticos del periodo precedente, se combina con un rigor absoluto en la demostración que con demasiada frecuencia falta en sus escritos, y que los antiguos griegos habrían podido envidiar. A diferencia de Laplace, Gauss se esmeró en sus escritos por la perfección de la forma. Rivaliza con Lagrange en elegancia, y supera a este gran francés en rigor.
Maravillosa fue su riqueza de ideas; un pensamiento sucedía a otro tan rápidamente que apenas tenía tiempo de escribir siquiera el más escueto esbozo. A la edad de veinte años, Gauss había derribado viejas teorías y viejos métodos en todas las ramas de las matemáticas superiores; pero pocos dolores se tomó en publicar sus resultados y, con ello, en establecer su prioridad.
Fue el primero en observar el rigor en el tratamiento de las series infinitas, el primero en reconocer plenamente y enfatizar la importancia, y en hacer un uso sistemático, de los determinantes y de los imaginarios, el primero en llegar al método de los mínimos cuadrados, el primero en observar la doble periodicidad de las funciones elípticas.
Inventó el heliotrópico y, junto con Weber, el magnetómetro bifilar y el instrumento de declinación. Reconstruyó toda la ciencia del magnetismo.
Carl Friedrich Gauss[]47 (1777–1855), hijo de un albañil, nació en Brunswick.
Solía decir, en broma, que sabía calcular antes de saber hablar. La maravillosa aptitud para el cálculo del muchacho llamó la atención de Bartels, más tarde profesor de matemáticas en Dorpat, quien lo presentó a Carlos Guillermo, duque de Brunswick.
El duque se encargó de la educación del muchacho y lo envió al Collegium Carolinum. Su progreso en las lenguas allí fue equivalente al obtenido en matemáticas.
En 1795 se marchó a Gotinga, aún indeciso sobre si dedicarse a la filología o a las matemáticas.
Abraham Gotthelf Kästner, por entonces profesor de matemáticas allí y hoy recordado principalmente por su Geschichte der Mathematik (1796), no era un profesor inspirador.
A la edad de diecinueve años, Gauss descubrió un método para inscribir en un círculo un polígono regular de diecisiete lados, y este éxito lo animó a dedicarse a las matemáticas.
Trabajó con total independencia de sus profesores y, mientras era estudiante en Gotinga, realizó varios de sus mayores descubrimientos. La aritmética superior era su estudio favorito. Entre su pequeño círculo de amigos íntimos se encontraba Wolfgang Bolyai.
Tras terminar sus estudios, regresó a Brunswick. En 1798 y 1799 se trasladó a la universidad de Helmstädt para consultar la biblioteca, y allí trabó conocimiento con Pfaff, un matemático de gran talento.
En 1807 el emperador de Rusia ofreció a Gauss una cátedra en la Academia de San Petersburgo, pero por consejo del astrónomo Olbers, que deseaba asegurarlo como director de un nuevo observatorio propuesto en Gotinga, rechazó la oferta y aceptó el puesto en Gotinga.
Gauss tenía una clara aversión a una cátedra de matemáticas, y prefería el puesto de astrónomo para poder dedicar todo su tiempo a la ciencia. Pasó su vida en Gotinga en medio de un trabajo continuo.
En 1828 fue a Berlín para asistir a una reunión de científicos, pero después de esto nunca volvió a salir de Gotinga, excepto en 1854, cuando se inauguró un ferrocarril entre Gotinga y Hanóver.
Tenía una fuerte voluntad, y su carácter mostraba una curiosa mezcla de dignidad autoconsciente y simplicidad infantil. Era poco comunicativo y, a veces, hosco.
Una nueva época en la teoría de números arranca desde la publicación de sus Disquisitiones Arithmeticæ, Leipzig, 1801. El inicio de esta obra se remonta hasta 1795. Algunos de sus resultados habían sido dados previamente por Lagrange y Euler, pero fueron alcanzados de manera independiente por Gauss, quien había profundizado mucho en la materia antes de familiarizarse con los escritos de sus grandes predecesores. Las Disquisitiones Arithmeticæ ya estaban en prensa cuando apareció la Théorie des Nombres de Legendre. La gran ley de reciprocidad cuadrática, dada en la cuarta sección de la obra de Gauss —una ley que abarca toda la teoría de los residuos cuadráticos—, fue descubierta por él mediante inducción antes de cumplir dieciocho años, y demostrada un año más tarde. Más tarde supo que Euler había enunciado imperfectamente ese teorema, y que Legendre había intentado demostrarlo, pero se había topado con dificultades aparentemente insuperables. En la quinta sección, Gauss dio una segunda demostración de esta «joya» de la aritmética superior. En 1808 le siguieron una tercera y una cuarta demostración; en 1817, una quinta y una sexta. No es de extrañar que sintiera un apego personal hacia este teorema. También dieron demostraciones Jacobi, Eisenstein, Liouville, Lebesgue, A. Genocchi,
Kummer, M. A. Stern, Chr. Zeller, Kronecker,
Bouniakowsky, E. Schering, J. Petersen, Voigt, E. Busche y Th. Pepin.48
La solución al problema de la representación de números mediante formas cuadráticas binarias es uno de los grandes logros de Gauss. Creó un nuevo algoritmo al introducir la teoría de las congruencias.
La cuarta sección de las Disquisitiones Arithmeticæ, que trata sobre las congruencias de segundo grado, y la quinta sección, sobre las formas cuadráticas, fueron, hasta la época de Jacobi, objeto de un olvido universal, pero desde entonces han constituido el punto de partida de una larga serie de importantes investigaciones.
La séptima o última sección, que desarrolla la teoría de la división del círculo, fue acogida desde el principio con el entusiasmo merecido y desde entonces ha sido elaborada repetidamente para los estudiantes. En 1872, Paul Bachmann, entonces en Breslau, publicó una obra clásica sobre la Kreistheilung.
Gauss había planeado una octava sección, que se omitió para abaratar los costes de publicación. Sus artículos sobre la teoría de números no se incluyeron todos en su gran tratado. Algunos de ellos se publicaron por primera vez tras su muerte en sus obras completas (1863–1871).
Escribió dos memorias sobre la teoría de los residuos bicuadráticos (1825 y 1831), la segunda de las cuales contiene un teorema de reciprocidad bicuadrática.
Gauss fue conducido a la astronomía por el descubrimiento del planeta
Ceres en Palermo en 1801. Su determinación de los elementos de su órbita con la precisión suficiente para permitir a Olbers redescubrirlo hizo que el nombre de Gauss fuera generalmente conocido. En 1809 publicó la Theoria motus corporum coelestium, que contiene una discusión de los problemas que surgen en la determinación de los movimientos de los planetas y cometas a partir de observaciones realizadas sobre ellos bajo cualquier circunstancia. En ella se encuentran cuatro fórmulas de trigonometría esférica, llamadas ahora habitualmente «analogías de Gauss», pero que fueron publicadas algo antes por Karl Brandon Mollweide de Leipzig (1774–1825), y antes aún por Jean Baptiste Joseph Delambre
(1749–1822).44
Muchos años de duro trabajo transcurrieron en el observatorio astronómico y magnético. Fundó la Unión Magnética Alemana, con el propósito de garantizar observaciones continuas en horarios fijos.
Participó en observaciones geodésicas y, en 1843 y 1846, escribió dos memorias, Ueber Gegenstände der höheren Geodesie.
Escribió sobre la atracción de elipsoides homogéneos, en 1813.
En una memoria sobre la atracción capilar, de 1833, resuelve un problema del cálculo de variaciones que involucra la variación de cierta integral doble, siendo también variables los límites de integración; es el ejemplo más antiguo de la solución de un problema semejante.
Analizó el problema de los rayos de luz que atraviesan un sistema de lentes.
Entre los alumnos de Gauss se encontraba Christian Heinrich Schumacher,
Christian Gerling, Friedrich Nicolai, August Ferdinand
Möbius, Georg Wilhelm Struve, Johann Frantz Encke.
Las investigaciones de Gauss sobre la teoría de números fueron el punto de partida de una escuela de escritores, entre los primeros de los cuales se encontraba Jacobi.
Este último contribuyó al Journal de Crelle con un artículo sobre residuos cúbicos, en el que exponía teoremas sin demostraciones.
Tras la publicación del ensayo de Gauss sobre los residuos bicuadráticos, que presentaba la ley de la reciprocidad bicuadrática, y su tratamiento de los números complejos, Jacobi halló una ley similar para los residuos cúbicos.
Mediante la teoría de las funciones elípticas, llegó a hermosos teoremas sobre la representación de números mediante , , y cuadrados.
Siguen las investigaciones de Dirichlet, el expositor de Gauss y colaborador de abundantes resultados propios.
Peter Gustav Lejeune Dirichlet[]88 (1805–1859) nació en Düren, asistió al gimnasio en Bonn y luego al gimnasio jesuita en Colonia. En 1822 se sintió atraído hacia París por los nombres de Laplace, Legendre, Fourier, Poisson,
Cauchy. Las facilidades para recibir una educación matemática allí eran mucho mejores que en Alemania, donde Gauss era la única gran figura. Leyó en París las Disquisitiones Arithmeticæ de Gauss, una obra que nunca dejó de admirar y estudiar. Mucho en ella fue simplificado por Dirichlet y, de este modo, quedó al alcance más fácil de los matemáticos.
Su primera memoria sobre la imposibilidad de ciertas ecuaciones indeterminadas de quinto grado fue presentada a la Academia Francesa en 1825. Demostró que la ecuación de Fermat, , no puede existir cuando . Algunas partes del análisis son, sin embargo, de Legendre. Euler y Lagrange habían demostrado esto cuando es
y , y Lamé lo demostró cuando . El conocimiento que tenía Dirichlet de Fourier le llevó a investigar las series de Fourier. Se convirtió en docent en Breslau en 1827. En 1828 aceptó un puesto en Berlín, y finalmente sucedió a Gauss en Gotinga en 1855.
Los principios generales de los que depende el número medio de clases de formas cuadráticas binarias de determinante positivo y negativo (un tema investigado por primera vez por Gauss) fueron dados por Dirichlet en una memoria, Ueber die Bestimmung der mittleren Werthe in der Zahlentheorie, de 1849.
Más recientemente, F. Mertens, de Graz, ha determinado los valores asintóticos de varias funciones numéricas.
Dirichlet prestó cierta atención a los números primos. Gauss y Legendre habían dado expresiones que denotan aproximadamente el valor asintótico del número de primos inferiores a un límite dado, pero correspondía a Riemann, en su memoria Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, de 1859, ofrecer una investigación rigurosa de la frecuencia asintótica de los primos.
Abordando el problema desde una dirección diferente, Patnutij Tchebycheff, antiguo profesor de la Universidad de San Petersburgo (nacido en 1821), estableció, en una célebre memoria, Sur les Nombres Premiers, 1850, la existencia de límites entre los cuales debe estar comprendida la suma de los logaritmos de los primos , inferiores a un número dado .89 Este artículo depende de consideraciones muy elementales y, en ese aspecto, contrasta fuertemente con el de Riemann, que involucra teoremas abstrusos del cálculo integral. Los artículos de Poincaré, la contracción de los límites de Tchebycheff por parte de Sylvester, con referencia a la distribución de los primos, y las investigaciones de J. Hadamard (galardonadas con el
Gran Premio de 1892), figuran entre las investigaciones más recientes en este sentido. La enumeración de los números primos ha sido emprendida en distintas épocas por varios matemáticos.
En 1877, la Asociación Británica comenzó la preparación de tablas de factores bajo la dirección de J. W. L. Glaisher. La impresión, por parte de la Asociación, de las tablas para el sexto millón marcó la culminación de unas tablas a cuya preparación contribuyeron Alemania, Francia e Inglaterra, y que nos permiten descomponer en factores primos todo número compuesto menor de .
Contribuciones diversas a la teoría de números fueron hechas por Cauchy.
Él mostró, por ejemplo, cómo hallar todas las soluciones infinitas de una ecuación indeterminada homogénea de segundo grado en tres variables cuando se da una solución.
Estableció el teorema de que si dos congruencias, que tienen el mismo módulo, admiten una solución común, el módulo es un divisor de su resultante.
Joseph Liouville
(1809–1882), profesor en el Collège de France, investigó principalmente cuestiones sobre la teoría de las formas cuadráticas de dos y de un mayor número de variables. Profundas investigaciones fueron iniciadas por Ferdinand Gotthold Eisenstein (1823–1852), de
Berlín.
Las formas cuadráticas ternarias habían sido estudiadas en cierta medida por Gauss, pero la extensión de dos a tres indeterminadas fue obra de Eisenstein, quien, en su memoria Neue Theoreme der höheren Arithmetik, definió los caracteres ordinales y genéricos de las formas cuadráticas ternarias de determinante impar; y, en el caso de las formas definidas, asignó el peso de cualquier orden o género.
Pero no publicó las demostraciones de sus resultados. Al examinar la teoría de las formas cúbicas binarias, se vio conducido al descubrimiento del primer covariante jamás considerado en el análisis. Mostró que la serie de teoremas relativos a la representación de números mediante sumas de cuadrados cesa cuando el número de cuadrados supera el ocho.
Muchas de las demostraciones omitidas por Eisenstein fueron aportadas por Henry Smith, quien fue uno de los pocos ingleses que se dedicaron al estudio de la aritmética superior.
Henry John Stephen Smith[]90 (1826–1883) nació en Londres y se educó en Rugby y en el Balliol College de Oxford. Antes de 1847 viajó mucho por Europa debido a su salud y en una ocasión asistió a las conferencias de Arago en París, pero a partir de ese año nunca se ausentó de Oxford ni un solo trimestre. En 1861 fue elegido profesor saviliano de geometría.
Su primer artículo sobre la teoría de los números apareció en 1855.
Los resultados de diez años de estudio de todo lo publicado sobre la teoría de los números se encuentran en sus Informes, que aparecieron en los volúmenes de la Asociación Británica de 1859 a 1865. Estos informes son un modelo de exposición clara y precisa, y de perfección en la forma.
Contienen gran cantidad de material original, pero los principales resultados de sus propios descubrimientos se imprimieron en las Philosophical Transactions de 1861 y 1867. Tratan sobre ecuaciones lineales indeterminadas y congruencias, y sobre los órdenes y géneros de formas cuadráticas ternarias. Estableció los principios de los cuales depende la extensión al caso general de indeterminadas de formas cuadráticas.
También contribuyó con dos memorias a las Proceedings de la Real Sociedad de 1864 y 1868, en la segunda de las cuales observa que los teoremas de Jacobi, Eisenstein y Liouville relativos a la representación de números mediante , , cuadrados y otras formas cuadráticas simples pueden deducirse mediante un método uniforme a partir de los principios indicados en su artículo.
Eisenstein dio teoremas relativos al caso de cuadrados, pero Smith completó el enunciado de estos y añadió los teoremas correspondientes para cuadrados.
La solución de los casos de , , cuadrados puede obtenerse mediante funciones elípticas, pero cuando el número de cuadrados es impar, implica procesos peculiares de la teoría de números. Esta clase de teoremas se limita a cuadrados, y Smith completó el grupo.
Sin tener conocimiento de las investigaciones de Smith, la Academia Francesa ofreció un premio por la demostración y finalización de los teoremas de Eisenstein para cuadrados. Esto Smith lo había logrado quince años antes. Presentó una disertación en 1882, y al año siguiente, un mes después de su muerte, se le concedió el premio, otorgándose también otro premio a H. Minkowsky, de Bonn.
La teoría de números condujo a Smith al estudio de las funciones elípticas. Escribió también sobre geometría moderna.
Su sucesor en Oxford fue J. J. Sylvester.
Ernst Eduard Kummer (1810–1893), profesor en la Universidad de Berlín, está estrechamente identificado con la teoría de números. El trabajo de Dirichlet sobre números complejos de la forma , introducidos por Gauss, fue extendido por él, por Eisenstein y por Dedekind. En lugar de la ecuación , cuyas raíces producen las unidades de Gauss, Eisenstein usó la ecuación
y los números complejos siendo una raíz cúbica de la unidad , cuya teoría se asemeja a la de los números de Gauss.
Kummer pasó al caso general y obtuvo números complejos de la forma , donde los son números reales enteros, y son raíces de la ecuación anterior.59
La teoría de Euclides del máximo común divisor no es aplicable a tales números complejos, y sus factores primos no pueden definirse de la misma manera en que se definen los factores primos de los enteros comunes.
En su esfuerzo por superar esta dificultad, Kummer fue conducido a introducir la concepción de "números ideales". Estos números ideales han sido aplicados por
G. Zolotareff, de San Petersburgo, a la solución de un problema del cálculo integral, dejado sin terminar por Abel (Liouville's
Journal, Second Series, 1864, Vol. IX.).
Julius Wilhelm Richard Dedekind, de Brunswick (nacido en 1831), ha dado en la segunda edición de las Vorlesungen über Zahlentheorie de Dirichlet una nueva teoría de los números complejos, en la cual se aparta hasta cierto punto del camino de Kummer y evita el uso de los números ideales. Dedekind ha tomado las raíces de cualquier ecuación irreducible con coeficientes enteros como las unidades para sus números complejos.
Atrado por las investigaciones de Kummer, su discípulo Leopold Kronecker (1823–1891) realizó investigaciones que aplicó a las ecuaciones algebraicas.
Por otra parte, se han hecho esfuerzos para utilizar en la teoría de números los resultados de la alta álgebra moderna.
Siguiendo las investigaciones de Hermite, Paul Bachmann, de Münster, investigó la fórmula aritmética que da los automorfos de una forma cuadrática ternaria.89 El problema de la equivalencia de dos formas cuadráticas ternarias positivas o definidas fue resuelto por L. Seeber; y el de los automorfos aritméticos de tales formas, por Eisenstein.
El problema más difícil de la equivalencia para formas ternarias indefinidas ha sido investigado por Edward Selling, de Wurzburgo. Sobre formas cuadráticas de cuatro o más indeterminadas se ha hecho aún poco.
Hermite demostró que el número de clases no equivalentes de formas cuadráticas que tienen coeficientes enteros y un discriminante dado es finito, mientras que Zolotareff y A. N. Korkine, ambos de San Petersburgo, investigaron los mínimos de las formas cuadráticas positivas.
En relación con las formas cuadráticas binarias, Smith estableció el teorema de que si el invariante conjunto de dos formas propiamente primitivas se anula, el determinante de cualquiera de ellas está representado primitivamente por el duplicado de la otra.
El intercambio de teoremas entre la aritmética y el álgebra se manifiesta en las recientes investigaciones de J. W. L. Glaisher, del Trinity College (nacido en 1848), y Sylvester.
Sylvester dio a conocer una teoría constructiva de las particiones (Constructive Theory of Partitions), la cual recibió aportaciones de sus alumnos F. Franklin y G. S. Ely.
La concepción de «número» se ha ampliado mucho en nuestra época.
Para los griegos incluía solo los números enteros positivos ordinarios; Diofanto añadió las fracciones racionales al dominio de los números. Más tarde, los números negativos e imaginarios llegaron a ser reconocidos gradualmente.
Descartes comprendió plenamente la noción de negativo; Gauss, la de imaginario.
Para Euclides, una razón, ya fuera racional o irracional, no era un número. El reconocimiento de las razones y los números irracionales como números tuvo lugar en el siglo XVI, y encontró expresión con Newton.
Mediante el método de las razones, la continuidad del sistema de los números reales se ha basando en la continuidad del espacio, pero en tiempos recientes se han propuesto tres teorías de los irracionales por Weierstrass, J. W. R. Dedekind, G. Cantor y
Heine, que prueban la continuidad de los números sin tomarla prestada del espacio. Se basan en la definición de los números mediante sucesiones regulares, el uso de series y límites, y algunas concepciones matemáticas nuevas.