Bajo este título consideramos conveniente examinar los temas del cálculo diferencial e integral, el cálculo de variaciones, las series infinitas, la probabilidad y las ecuaciones diferenciales.
Destacó en el desarrollo de estos temas Cauchy.
Augustin-Louis Cauchy[]78 (1789–1857) nació en París y recibió su educación temprana de su padre. Lagrange y Laplace, con quienes el padre entraba en contacto frecuente, predijeron la futura grandeza del muchacho. En la École Centrale du Panthéon se destacó en los estudios clásicos antiguos. En 1805 ingresó en la Escuela Politécnica y, dos años después, en la École des Ponts et Chaussées.
Cauchy partió hacia Cherburgo en 1810 en calidad de ingeniero. La Mécanique Céleste de Laplace y las Fonctions Analytiques de Lagrange figuraban entre sus libros de compañía allí.
Motivos de salud le indujeron a regresar a París al cabo de tres años. Cediendo a las persuasiones de Lagrange y Laplace, renunció a la ingeniería en favor de la ciencia pura. A continuación lo encontramos ocupando una cátedra en la Escuela Politécnica.
Con motivo de la expulsión de Carlos X y la subida al trono de Luis Felipe en 1830, Cauchy, al ser sumamente concienzudo, se vio incapaz de prestar el juramento que se le exigía.
En consecuencia, tras ser despojado de sus cargos, se marchó al exilio voluntario. En Friburgo (Suiza), Cauchy reanudó sus estudios y, en 1831, el rey de Piamonte lo persuadió para que aceptara la cátedra de física matemática, creada especialmente para él en la Universidad de Turín.
En 1833 obedeció la llamada de su rey exiliado, Carlos X, para encargarse de la educación de un nieto, el duque de Burdeos.
Esto le dio a Cauchy la oportunidad de visitar varias partes de Europa y de comprobar cuán extensamente se estaban leyendo sus obras. Carlos X le otorgó el título de barón.
A su regreso a París en 1838, se le ofreció una cátedra en el Collège de France, pero el juramento que se le exigía le impidió aceptarla. Fue nombrado miembro de la Oficina de Longitudes, pero el poder gobernante lo declaró inelegible.
Durante los acontecimientos políticos de 1848 el juramento fue suspendido, y Cauchy finalmente se convirtió en profesor de la Escuela Politécnica. Con el establecimiento del segundo imperio, el juramento fue reinstaurado, pero Cauchy y Arago estuvieron exentos de él.
Cauchy era un hombre de gran piedad, y en dos de sus publicaciones defendió con firmeza a los jesuitas.
Cauchy fue un matemático prolífico y profundo. Mediante la pronta publicación de sus resultados y la preparación de libros de texto estándar, ejerció una influencia más inmediata y beneficiosa sobre la gran masa de matemáticos que cualquier otro escritor contemporáneo. Fue uno de los líderes en infundir rigor al análisis. Sus investigaciones se extendieron por el campo de las series, de los imaginarios, teoría de números, ecuaciones diferenciales, teoría de sustituciones, teoría de funciones, determinantes, astronomía matemática, luz, elasticidad, etc., abarcando prácticamente todo el reino de las matemáticas, puras y aplicadas.
Animado por Laplace y Poisson, Cauchy publicó en 1821 su Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, una obra de gran mérito.
De haber sido estudiada con mayor diligencia por los autores de libros de texto en Inglaterra y Estados Unidos, muchos métodos de análisis laxos y descuidados que apenas hoy se han erradicado de los textos elementales habrían sido descartados hace más de medio siglo.
Cauchy fue el primero en publicar una demostración rigurosa del teorema de Taylor. Mejoró notablemente la exposición de los principios fundamentales del cálculo diferencial mediante su forma de considerar los límites y su nueva teoría sobre la continuidad de las funciones. El método de Cauchy y
Duhamel was accepted with favour by Hoüel and others. In
A la clara exposición de los principios fundamentales de Inglaterra le prestó especial atención De Morgan.
Los tratados americanos recientes sobre el cálculo introducen el tiempo como variable independiente y las nociones asociadas de velocidad y aceleración, volviendo así virtualmente al método de las fluxiones.
Cauchy hizo algunas investigaciones sobre el cálculo de variaciones.
Este asunto es ahora, en sus principios esenciales, el mismo que cuando salió de las manos de Lagrange.
Los estudios recientes se refieren a la variación de una doble integral cuando los límites también son variables, y a las variaciones de integrales múltiples en general. Se publicaron memorias por Gauss en 1829, Poisson en 1831 y Ostrogradsky de San Petersburgo en 1834, sin determinar, sin embargo, de manera general el número y la forma de las ecuaciones que deben subsistir en los límites en el caso de una integral doble o triple.
En 1837 Jacobi publicó una memoria, en la que demostró que las difíciles integraciones exigidas por la discusión de la segunda variación, mediante la cual se puede averiguar la existencia de un máximo o un mínimo, están incluidas en las integraciones de la primera variación y, por tanto, son superfluas. Este importante teorema, presentado con gran brevedad por Jacobi, fue aclarado y ampliado por V. A. Lebesgue,
C. E. Delaunay, Eisenlohr, S. Spitzer, Hesse y Clebsch.
Una importante memoria de Sarrus sobre la cuestión de determinar las ecuaciones límite que deben combinarse con las ecuaciones indefinidas para determinar por completo los máximos y mínimos de las integrales múltiples, fue galardonada con un premio por la Academia Francesa en 1845, haciéndose mención honorífica de un trabajo de Delaunay.
El método de Sarrus fue simplificado por Cauchy.
En 1852 G. Mainardi intentó exponer un nuevo método para discriminar máximos y mínimos, y extendió el teorema de Jacobi a las integrales dobles. Mainardi y F. Brioschi demostraron la utilidad de los determinantes para expresar los términos de la segunda variación.
En 1861 Isaac Todhunter
(1820–1884) de St. John's College, Cambridge, publicó su valiosa obra sobre la History of the Progress of the Calculus of Variations, que contiene investigaciones propias. En 1866 publicó una investigación sumamente importante, en la que desarrolló la teoría de las soluciones discontinuas (analizada en casos particulares por Legendre) e hizo por este tema lo que Sarrus había hecho por las integrales múltiples.
Los siguientes son los autores más importantes de tratados sistemáticos sobre el cálculo de variaciones y las fechas de publicación:
Robert Woodhouse, Fellow of Caius College, Cambridge,
- 1810; Richard Abbatt en Londres, 1837; John Hewitt
Jellett (1817–1888), en su día rector (Provost) del Trinity College de Dublín, 1850; G. W. Strauch en Zúrich, 1849; Moigno y Lindelöf,
1861; Lewis Buffett Carll de Flushing, en Nueva York, 1881.
Las conferencias sobre integrales definidas, impartidas por Dirichlet en
1858, han sido elaborados en una obra estándar por G. F. Meyer. El tema ha sido tratado de la manera más exhaustiva por
D. Bierens de Haan, de Leiden, en su Exposé de la théorie des intégrales définies, Ámsterdam, 1862.
La historia de las series infinitas ilustra vívidamente el rasgo sobresaliente de la nueva era en la que el análisis entró durante el primer cuarto de este siglo.
Newton y Leibniz sintieron la necesidad de investigar la convergencia de las series infinitas, pero no disponían de criterios adecuados, salvo la prueba propuesta por Leibniz para las series alternadas.
Mediante Euler y sus contemporáneos, el tratamiento formal de las series se extendió enormemente, mientras que por lo general se perdió de vista la necesidad de determinar la convergencia.
Euler llegó a algunos resultados muy bellos sobre series infinitas, hoy bien conocidos, y también a algunos resultados muy absurdos, hoy bastante olvidados. Los defectos de su época encontraron su culminación en la Escuela Combinatoria de Alemania, que hoy ha pasado a un merecido olvido.
Al principio del periodo que ahora se examina, los resultados dudosos, o claramente absurdos, obtenidos a partir de series infinitas estimularon investigaciones más profundas sobre la validez de las operaciones con ellas. Su contenido real pasó a ser la consideración primaria, y la forma, una secundaria.
La primera investigación importante y estrictamente rigurosa sobre las series fue realizada por Gauss en relación con la serie hipergeométrica. El criterio desarrollado por él resuelve la cuestión de la convergencia en todos los casos que pretende abarcar, y lleva así el sello de generalidad tan característico de los escritos de Gauss. Debido a la extrañeza del tratamiento y a su inusual rigor, el artículo de Gauss despertó poco interés entre los matemáticos de aquella época.
Más afortunado en llegar al público fue Cauchy, cuyo
El Analyse Algébrique de 1821 contiene un tratamiento riguroso de las series. Todas las series cuya suma no se aproxima a un límite fijo a medida que el número de términos aumenta indefinidamente se denominan divergentes.
Al igual que Gauss, establece comparaciones con las series geométricas y encuentra que las series de términos positivos son convergentes o no, según que la raíz -ésima del término -ésimo, o la razón entre el término -ésimo y el término -ésimo, sea en última instancia menor o mayor que la unidad.
Para abordar algunos de los casos en los que estas expresiones se vuelven en última instancia iguales a la unidad y fallan, Cauchy estableció otras dos pruebas. Demostró que las series con términos negativos convergen cuando los valores absolutos de los términos convergen, y a partir de ello dedujo la prueba de Leibniz para series alternadas.
No se halló que el producto de dos series convergentes fuera necesariamente convergente. Medio siglo después, F. Mertens, de Graz, demostró que el teorema de Cauchy —según el cual el producto de dos series absolutamente convergentes converge hacia el producto de las sumas de ambas series— sigue siendo verdadero si, de las dos series convergentes que se van a multiplicar, tan solo una de ellas es absolutamente convergente.
El crítico más acérrimo de los antiguos métodos sobre series fue Abel. Su carta a su amigo Holmboe (1826) contiene duras críticas. Es una lectura muy interesante, incluso para los estudiantes modernos.
En su demostración del teorema del binomio estableció el teorema de que si dos series y su serie producto son todas convergentes, entonces la serie producto convergerá hacia el producto de las sumas de las dos series dadas.
Este notable resultado resolvería todo el problema de la multiplicación de series si dispusiéramos de un criterio práctico universal de convergencia para las series semiconvergentes.
Como no poseemos tal criterio, recientemente A. Pringsheim, de Múnich, y A. Voss, de Wurzburgo, han establecido teoremas que eliminan en ciertos casos la necesidad de aplicar pruebas de convergencia a la serie producto mediante la aplicación de pruebas a expresiones relacionadas más sencillas.
Pringsheim llega a las siguientes conclusiones interesantes:
El producto de dos series semiconvergentes nunca puede converger absolutamente, pero una serie semiconvergente, o incluso una serie divergente, multiplicada por una serie absolutamente convergente, puede producir un producto absolutamente convergente.
Las investigaciones de Abel y Cauchy causaron un revuelo considerable. Se cuenta que, tras una sesión científica en la que Cauchy había presentado sus primeras investigaciones sobre series, Laplace se apresuró a volver a casa y permaneció allí recluido hasta haber examinado las series de su Mécanique Céleste.
¡Por suerte, se descubrió que todas eran convergentes!
No debemos concluir, sin embargo, que las nuevas ideas desplazaron de inmediato a las viejas. Por el contrario, los nuevos puntos de vista solo fueron aceptados de manera general tras una dura y larga lucha. Todavía en 1844, De Morgan comenzó un artículo sobre «series divergentes» con este tono:
«Creo que se admitirá generalmente que el encabezamiento de este artículo describe el único tema de carácter todavía elemental sobre el que existe un cisma serio entre los matemáticos en cuanto a la corrección o incorrección absoluta de los resultados».
Primeras en el tiempo en la evolución de criterios más delicados de convergencia y divergencia son las investigaciones de Josef Ludwig Raabe (Crelle, vol. IX); les siguen las de De Morgan tal como se exponen en su cálculo. De Morgan estableció los criterios logarítmicos que fueron descubiertos en parte de forma independiente por J. Bertrand. Las formas de estos criterios, tal como las da
Bertrand y por Ossian Bonnet, son más convenientes que
De Morgan.
Parece desprenderse de los papeles póstumos de Abel que este se había adelantado a los escritores antes mencionados en el establecimiento de criterios logarítmicos. En opinión de Bonnet, los criterios logarítmicos nunca fallan; pero Du Bois-Reymond y Pringsheim han descubierto sendas series demostrablemente convergentes en las cuales estos criterios no logran determinar la convergencia.
Los criterios a los que se ha aludido hasta ahora han sido denominados por Pringsheim criterios especiales, debido a que todos dependen de una comparación del término -ésimo de la serie con funciones especiales , , , etc.
Entre los primeros en sugerir criterios generales, y en considerar el asunto desde un punto de vista aún más amplio que culminó en una teoría matemática regular, estuvo Kummer. Él estableció un teorema que arroja una prueba compuesta de dos partes, cuya primera parte se descubrió más tarde que era superfluas. El estudio de los criterios generales fue continuado por U. Dini, de Pisa, Paul
Du Bois-Reymond, G. Kohn de Minden y Pringsheim.
Du Bois-Reymond divide los criterios en dos clases: criterios de la primera especie y criterios de la segunda especie, según que el término general -ésimo, o la razón del término -ésimo y el término -ésimo, se tome como base de la investigación.
El de Kummer es un criterio de la segunda especie. Un criterio de la primera especie, análogo a este, fue inventado por Pringsheim. De los criterios generales establecidos por Du Bois-Reymond y Pringsheim respectivamente, se pueden deducir todos los criterios especiales.
La teoría de Pringsheim es muy completa y ofrece, además de los criterios de la primera y de la segunda especie, criterios totalmente nuevos de una tercera especie, y también criterios generalizados de la segunda especie, los cuales se aplican, sin embargo, únicamente a series con términos que nunca aumentan.
- Los de la tercera especie se basan principalmente en la consideración del límite de la diferencia, ya sea de términos consecutivos o de sus recíprocos.
- En los criterios generalizados de la segunda especie no considera la razón de dos términos consecutivos, sino la razón de cualesquiera dos términos por alejados que estén, y deduce, entre otros, dos criterios dados previamente por Kohn y Ermakoff respectivamente.
En el estudio de las series de Fourier surgieron difíciles preguntas.79
Cauchy fue el primero que sintió la necesidad de investigar su convergencia. Pero Dirichlet encontró insatisfactorio su modo de proceder. Dirichlet realizó las primeras investigaciones exhaustivas sobre este tema (Crelle, vol. IV). Estas culminan en el resultado de que siempre que la función no se vuelva infinita, no tenga un número infinito de discontinuidades y no posea un número infinito de máximos y mínimos, la serie de Fourier converge hacia el valor de dicha función en todos los lugares, excepto en los puntos de discontinuidad, y allí converge hacia la media de los dos valores límite.
Schläfli, de Berna, y Du Bois-Reymond expresaron dudas en cuanto a la corrección del valor medio, las cuales, sin embargo, no estaban bien fundadas. Las condiciones de Dirichlet son suficientes, pero no necesarias. Lipschitz, de
Bonn, demostró que la serie de Fourier todavía representa la función cuando el número de discontinuidades es infinito, y estableció una condición bajo la cual representa una función que tiene un número infinito de máximos y mínimos. La creencia de Dirichlet de que todas las funciones continuas pueden ser representadas por la serie de Fourier en todos los puntos fue compartida por Riemann y
H. Hankel, pero Du Bois-Reymond y H. A. Schwarz demostraron que era falsa.
Riemann indagó qué propiedades debe poseer una función para que pueda haber una serie trigonométrica que, siempre que sea convergente, converja hacia el valor de la función. Encontró condiciones necesarias y suficientes para ello. Estas, sin embargo, no deciden si dicha serie representa efectivamente la función o no.
Riemann rechazó la definición de Cauchy de una integral definida debido a su arbitrariedad, dio una nueva definición e indagó luego cuándo una función tiene una integral. Sus investigaciones sacaron a la luz el hecho de que las funciones continuas no necesitan tener siempre un coeficiente diferencial. Pero esta propiedad, que Weierstrass demostró que pertenecía a grandes clases de funciones, no se encontró que necesariamente las excluyera de ser representadas por la serie de Fourier.
Se arrojaron dudas sobre algunas de las conclusiones acerca de la serie de Fourier mediante la observación, hecha por Weierstrass, de que se puede demostrar que la integral de una serie infinita es igual a la suma de las integrales de los términos separados solo cuando la serie converge uniformemente dentro de la región en cuestión. El tema de la convergencia uniforme fue investigado por Philipp Ludwig
Seidel (1848) y G. G. Stokes (1847), y ha adquirido una gran importancia en la teoría de funciones de Weierstrass. Se hizo necesario demostrar que una serie trigonométrica que representa una función continua converge uniformemente. De esto se encargó Heinrich Eduard Heine (1821–1881), de Halle. Investigaciones posteriores sobre las series de Fourier fueron realizadas por G. Cantor y
Du Bois-Reymond.
En comparación con el vasto desarrollo de otras ramas matemáticas, la teoría de la probabilidad ha logrado progresos muy insignificantes desde los tiempos de Laplace. A. De Morgan, G. Boole y A. Meyer (editado por E. Czuber) han introducido mejoras y simplificaciones en el modo de exposición,
J. Bertrand.
Cournot's and Westergaard's treatment of insurance and the theory of life-tables are classical.
Applications of the calculus to statistics have been made by L. A. J.
Quetelet (1796–1874), director of the observatory at Brussels;
por Lexis; Harald Westergaard, de Copenhague; y Düsing.
Digna de mención es el rechazo de la probabilidad inversa por parte de las mayores autoridades de nuestro tiempo. Esta rama de la probabilidad había sido desarrollada por Thomas Bayes (fallecido en 1761) y por Laplace
(Lib. II, Cap. VI de su Théorie Analytique). Mediante ella, algunos lógicos han explicado la inducción. Por ejemplo, si un hombre, que nunca ha oído hablar de las mareas, fuera a la orilla del océano Atlántico y presenciara durante días sucesivos la crecida del mar, entonces, dice Quetelet, tendría derecho a concluir que existe una probabilidad igual a de que el mar crezca al día siguiente. Si se hace , se ve que este punto de vista descansa sobre el supuesto injustificado de que la probabilidad de un evento totalmente desconocido es , o que de todas las teorías propuestas para su investigación la mitad son verdaderas. W. S. Jevons en sus Principles of
La ciencia funda la inducción en la teoría de la probabilidad inversa, y F. Y. Edgeworth también la acepta en su obra Mathematical
Videntes.
La única adición reciente digna de mención a la probabilidad es el tema de la «probabilidad local», desarrollado por varios matemáticos ingleses y unos pocos americanos y franceses.
El problema más antiguo sobre este tema se remonta a la época de Buffon, el naturalista, quien propuso el problema, resuelto por él mismo y por Laplace, de determinar la probabilidad de que una aguja corta, lanzada al azar sobre un suelo rayado con líneas paralelas equidistantes, caiga sobre una de las líneas.
Luego vino el problema de los cuatro puntos de Sylvester: hallar la probabilidad de que cuatro puntos, tomados al azar dentro de un límite dado, formen un cuadrilátero entrante.
La probabilidad local ha sido estudiada en Inglaterra por A. R. Clarke, H. McColl, S. Watson, J. Wolstenholme, pero con el mayor éxito por M. W. Crofton, de la escuela militar de Woolwich. Fue investigada en América por E. B. Seitz; en Francia por C. Jordan, E. Lemoine, E. Barbier y otros. A través de consideraciones de probabilidad local, Crofton fue conducido a la evaluación de ciertas integrales definidas.
El primer tratamiento científico completo de las ecuaciones diferenciales fue dado por Lagrange y Laplace.
Esta observación es especialmente cierta en el caso de las ecuaciones diferenciales parciales. Estas últimas fueron investigadas en tiempos más recientes por Monge, Pfaff, Jacobi, Émile Bour
(1831–1866) de París, A. Weiler, Clebsch, A. N. Korkine de San Petersburgo,
G. Boole, A. Meyer, Cauchy, Serret, Sophus Lie y otros.
En 1873 sus investigaciones sobre las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden fueron presentadas en forma de libro de texto por Paul Mansion, de la Universidad de Gante.
Las agudas investigaciones de Johann Friedrich Pfaff (1795-1825) marcaron un decidido avance. Fue amigo íntimo del joven Gauss en Gotinga. Posteriormente estuvo con el astrónomo Bode.
Más tarde fue profesor en Helmstädt y luego en Halle.
Mediante un método peculiar, Pfaff halló la integración general de las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden para cualquier número de variables. Partiendo de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden en variables, da primero su integración general y luego considera la integración de las ecuaciones diferenciales parciales como un caso particular de la primera, suponiendo, sin embargo, como conocida, la integración general de las ecuaciones diferenciales de cualquier orden entre dos variables.
Sus investigaciones llevaron a Jacobi a introducir el nombre de «problema de Pfaff».
De la conexión, observada por Hamilton, entre un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (en mecánica analítica) y una ecuación en derivadas parciales, Jacobi extrajo la conclusión de que, de la serie de sistemas cuya integración sucesiva exigía el método de Pfaff, todos excepto el primer sistema eran completamente superfluos.
Clebsch consideró el problema de Pfaff desde un nuevo punto de vista y lo redujo a sistemas de ecuaciones en derivadas parciales lineales simultáneas, las cuales pueden establecerse independientemente unas de otras sin integración alguna.
Jacobi hizo avanzar sustancialmente la teoría de las ecuaciones diferenciales de primer orden.
El problema de determinar funciones desconocidas de tal manera que una integral que contenga estas funciones y sus coeficientes diferenciales, de una manera prescrita, alcance un valor máximo o mínimo, exige, en primer lugar, la anulación de la primera variación de la integral.
Esta condición conduce a ecuaciones diferenciales, cuya integración determina las funciones.
Para cerciorarse de si el valor es un máximo o un mínimo, debe examinarse la segunda variación. Esto conduce a nuevas y difíciles ecuaciones diferenciales, cuya integración, para los casos más simples, fue deducida ingeniosamente por Jacobi a partir de la integración de las ecuaciones diferenciales de la primera variación.
La solución de Jacobi fue perfeccionada por Hesse, mientras que Clebsch extendió al caso general los resultados de Jacobi sobre la segunda variación.
Cauchy dio un método para resolver ecuaciones diferenciales parciales de primer orden que tienen cualquier número de variables, el cual fue corregido y ampliado por Serret, J. Bertrand,
O. Bonnet en Francia, e Imschenetzky en Rusia.
Fundamental es la proposición de Cauchy de que toda ecuación diferencial ordinaria admite en la vecindad de cualquier punto no singular una integral, que es sinéctica dentro de cierto círculo de convergencia, y es desarrollable mediante el teorema de Taylor.
Paralelo al punto de vista indicado por este teorema es el de Riemann, quien considera una función de una sola variable como definida por la posición y la naturaleza de sus singularidades, y que ha aplicado esta concepción a esa ecuación diferencial lineal de segundo orden que satisface la serie hipergeométrica.
Esta ecuación fue estudiada también por Gauss y Kummer. Su teoría general, cuando no se impone ninguna restricción al valor de la variable, ha sido considerada por J. Tannery, de París, quien empleó el método de las ecuaciones diferenciales lineales de Fuchs y halló los veinticuatrointegrales de Kummer de esta ecuación. Este estudio ha sido continuado por Édouard Goursat, de París.
Un libro de texto estándar sobre Ecuaciones Diferenciales, que incluye material original sobre factores integrantes, soluciones singulares y, especialmente, sobre métodos simbólicos, fue preparado en 1859 por George Boole (1815–1864), en una época profesor en Queen's
University, Cork, Ireland. He was a native of Lincoln, and a self-educated mathematician of great power. His treatise on Finite Differences (1860) and his Laws of Thought (1854) are works of high merit.
La fertilidad de las concepciones de Cauchy y Riemann respecto a las ecuaciones diferenciales queda atestiguada por las investigaciones a las que han dado lugar por parte de Lazarus Fuchs, de Berlín (nacido en 1835), Felix Klein, de Gotinga (nacido en 1849), Henri Poincaré, de París (nacido en 1854), y otros.
El estudio de las ecuaciones diferenciales lineales entró en un nuevo período con la publicación de las memorias de Fuchs de 1866 y 1868.
Antes de esto, las ecuaciones lineales con coeficientes constantes eran casi las únicas para las cuales se conocían métodos generales de integración.
Si bien la teoría general de estas ecuaciones ha sido presentada recientemente bajo una nueva luz por Hermite, Darboux y Jordan, Fuchs emprendió el estudio desde el punto de vista más general de las ecuaciones diferenciales lineales cuyos coeficientes no son constantes. Dirigió su atención principalmente a aquellas cuyas integrales son todas regulares.
Si se hace que la variable describa todos los caminos posibles que encierran uno o más de los puntos críticos de la ecuación, tenemos una sustitución determinada correspondiente a cada uno de los caminos; al conjunto de todas estas sustituciones se le llama grupo. Las formas de las integrales de tales ecuaciones fueron examinadas por Fuchs y por G. Frobenius mediante métodos independientes. Los logaritmos aparecen generalmente en las integrales de un grupo, y Fuchs y Frobenius investigaron las condiciones bajo las cuales no debe aparecer ningún logaritmo. Mediante el estudio de grupos, la reducibilidad o irreducibilidad de las ecuaciones diferenciales lineales ha sido examinada por Frobenius y Leo Königsberger. El tema de las ecuaciones diferenciales lineales, no todas cuyas integrales son regulares, ha sido abordado por G. Frobenius de Berlín, W. Thomé de Greifswald (nacido en 1841) y Poincaré, pero la teoría resultante de integrales irregulares se encuentra todavía en una forma muy incompleta.
La teoría de los invariantes asociados con las ecuaciones diferenciales lineales ha sido desarrollada por Halphen y por A. R. Forsyth.
Las investigaciones a las que se ha hecho referencia están estrechamente relacionadas con la teoría de las funciones y de los grupos.
Se ha procurado así determinar la naturaleza de la función definida por una ecuación diferencial a partir de la propia ecuación diferencial, y no a partir de ninguna expresión analítica de la función obtenida primeramente mediante la resolución de la ecuación diferencial.
En lugar de estudiar las propiedades de las integrales de una ecuación diferencial para todos los valores de la variable, los investigadores se contentaron al principio con el estudio de las propiedades en las proximidades de un punto dado.
La naturaleza de las integrales en los puntos singulares y en los puntos ordinarios es enteramente distinta.
Albert Briot
(1817–1882) y Jean Claude Bouquet (1819–1885), ambos de
Paris, estudió el caso en que, cerca de un punto singular, las ecuaciones diferenciales adoptan la forma .
Fuchs dio el desarrollo en series de las integrales para el caso particular de las ecuaciones lineales.
Poincaré hizo lo propio para el caso en que las ecuaciones no son lineales, así como para las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer orden.
Los desarrollos para los puntos ordinarios fueron dados por Cauchy y Madame Kowalevsky.
El intento de expresar las integrales mediante desarrollos que sean siempre convergentes y no estén limitados a puntos particulares en un plano hace necesaria la introducción de nuevas trascendentes, pues las funciones antiguas permiten la integración de solo un pequeño número de ecuaciones diferenciales.
Poincaré intentó este plan con las ecuaciones lineales, que entonces eran las mejor conocidas, habiendo sido estudiadas en la vecindad de puntos dados por Fuchs, Thomé,
Frobenius, Schwarz, Klein y Halphen. Restringiéndose a aquellas con coeficientes algebraicos racionales, Poincaré pudo integrarlas mediante el uso de funciones por él llamadas fuchsianas.81
Dividió estas ecuaciones en "familias". Si la integral de una de tales ecuaciones se somete a una cierta transformación, el resultado será la integral de una ecuación perteneciente a la misma familia.
Los nuevos trascendentes guardan una gran analogía con las funciones elípticas; mientras que la región de estas últimas puede dividirse en paralelogramos, cada uno de los cuales representa un grupo, los primeros pueden dividirse en polígonos curvilíneos, de modo que el conocimiento de la función en el interior de un polígono conlleva el conocimiento de esta en el interior de los demás.
Así llega Poincaré a lo que denomina grupos fuchsianos. Descubrió, además, que las funciones fuchsianas pueden expresarse como el cociente de dos trascendentes (theta-fuchsianas) del mismo modo en que pueden hacerlo las funciones elípticas.
Si, en lugar de sustituciones lineales con coeficientes reales, como las empleadas en los grupos anteriores, se utilizan coeficientes imaginarios, se obtienen entonces grupos discontinuos, a los que llamó kleinianos. La extensión a las ecuaciones no lineales del método aplicado de este modo a las ecuaciones lineales ha sido iniciada por Fuchs y Poincaré.
Hemos visto que entre los más tempranos de los varios tipos de «grupos» se encuentran los grupos finitos discontinuos (grupos en la teoría de la sustitución), los cuales, desde los tiempos de Galois, se han convertido en el concepto rector en la teoría de las ecuaciones algebraicas; que desde 1876 Felix Klein, H. Poincaré y otros han aplicado la teoría de los grupos finitos e infinitos discontinuos a la teoría de funciones y de ecuaciones diferenciales.
Los grupos finitos continuos fueron objeto por primera vez de investigación general en 1873 por Sophus Lie, actualmente en Leipzig, y aplicados por él a la integración de ecuaciones diferenciales parciales lineales ordinarias.
Gran interés reviste la determinación de aquellas ecuaciones diferenciales lineales que pueden integrarse mediante funciones más simples, tales como las algebraicas, elípticas o abelianas. Esto ha sido estudiado por C. Jordan, P. Appel de París (nacido en 1858) y
Poincaré.
El modo de integración antedicho, que da a conocer las propiedades de las ecuaciones desde el punto de vista de la teoría de funciones, no basta en la aplicación de las ecuaciones diferenciales a cuestiones de la mecánica.
Si consideramos la función como definitoria de una curva plana, entonces la forma general de la curva no se desprende del modo de investigación anterior. Con todo, a menudo es deseable construir las curvas definidas por ecuaciones diferenciales.
Estudios con este fin han sido llevados a cabo por Briot y Bouquet, y por Poincaré.81
El tema de las soluciones singulares de las ecuaciones diferenciales ha experimentado un avance material desde la época de Boole gracias a G. Darboux y Cayley.
Los artículos preparados por estos matemáticos señalan una dificultad aún no superada:
mientras que una solución singular, desde el punto de vista de la ecuación integrada, debería ser un fenómeno de aparición universal, o al menos general, es, por otra parte, un fenómeno muy especial y excepcional desde el punto de vista de la ecuación diferencial.89
Una teoría geométrica de las soluciones singulares semejante a la utilizada por Cayley fue empleada previamente por W. W. Johnson, de Annapolis.
Un tratado avanzado sobre ecuaciones diferenciales lineales (1889) fue publicado por Thomas Craig, de la Universidad Johns Hopkins
Universidad. Eligió el método algebraico de presentación seguido por Hermite y Poincaré, en lugar del método geométrico preferido por Klein y Schwarz. Una obra notable, el
Traité d'Analyse, is now being published by Émile Picard of
París, cuyo interés se hace girar en torno al tema de las ecuaciones diferenciales.