El poder eclesiástico, que en los siglos de ignorancia fue un beneficio puro, en los siglos más esclarecidos se convirtió en un mal grave.

Así, en Francia, durante los reinados anteriores al de Enrique IV, predominó el espíritu teológico. Esto se muestra dolorosamente con las masacres de Vassy y de San Bartolomé.

Al estar ocupados en disputas religiosas, la gente no tenía tiempo para la ciencia y la literatura secular. De ahí que, hasta la época de Enrique IV, los franceses «no hubieran producido ni una sola obra cuya destrucción constituyera hoy una pérdida para Europa».

En Inglaterra, por otra parte, no se libraron guerras religiosas. El pueblo era comparativamente indiferente a las luchas religiosas; concentró su capacidad en los asuntos seculares y adquirió, en el siglo XVI, una literatura inmortalizada por el genio de Shakespeare y Spenser.

A esta gran época literaria en Inglaterra le siguió una gran época científica.

Al finalizar el siglo XVI, las cadenas de la autoridad eclesiástica fueron sacudidas por Francia. El ascenso de Enrique IV al trono fue seguido en 1598 por el Edicto de Nantes, que otorgaba libertad de culto a los hugonotes y ponía fin así a las guerras religiosas. El genio de la nación francesa comenzó entonces a florecer.

El cardenal Richelieu, durante el reinado de Luis XIII, aplicó la amplia política de no favorecer las opiniones de ninguna secta, sino de promover los intereses de la nación.

Su época fue notable por el progreso del conocimiento. Produjo esa gran literatura secular, cuyo equivalente se hallaba en Inglaterra en el siglo XVI.

El siglo XVII se hizo ilustre también por los grandes matemáticos franceses, Roberval, Descartes, Desargues, Fermat y Pascal.

Más sombrío es el panorama en Alemania.

Los grandes cambios que revolucionaron el mundo en el siglo XVI, y que llevaron a Inglaterra a la grandeza nacional, condujeron a Alemania a la degradación.

Los primeros efectos de la Reforma allí fueron salutíferos. A finales del siglo XV y durante el XVI, Alemania se había destacado por sus empresas científicas. Había sido la líder en astronomía y trigonometría. El álgebra también, exceptuando los descubrimientos sobre ecuaciones cúbicas, se encontraba, antes de la época de Vieta, en un estado más avanzado allí que en ninguna otra parte.

Pero a principios del siglo XVII, cuando el sol de la ciencia comenzó a elevarse en Francia, se puso en Alemania. Siguieron las disputas teológicas y las luchas religiosas.

La guerra de los Treinta Años (1618–1648) resultó ruinosa. El imperio alemán quedó destrozado y se convirtió en una mera confederación laxa de pequeños despotismos. El comercio fue destruido; el sentimiento nacional se extinguió. El arte desapareció y, en la literatura, solo hubo una imitación servil de la artificialidad francesa.

Tampoco se recuperó Alemania de este estado de postración durante $200$ años; pues en 1756 comenzó otra contienda, la guerra de los Siete Años, que convirtió a Prusia en una tierra arrasada.

De este modo ocurrió que, a principios del siglo XVII, el gran Kepler era el único matemático alemán de eminencia, y que en el intervalo de $200$ años entre Kepler y Gauss, no surgió ningún gran matemático en Alemania, a excepción de Leibniz.

Hasta el siglo XVII, las matemáticas se cultivaron muy poco en la Gran Bretaña.

Durante el siglo XVI, no produjo ningún matemático comparable con Vieta, Stifel o Tartaglia.

Pero con la época de Recorde, los ingleses se hicieron notar por su destreza numérica.

La primera obra aritmética importante de autoría inglesa fue publicada en latín en 1522 por Cuthbert Tonstall (1474–1559). Había estudiado en Oxford, Cambridge y Padua, y se inspiró libremente en las obras de Pacioli y Regiomontano. Las reimpresiones de su aritmética aparecieron en Inglaterra y en Francia.

Después

Recorde que las ramas superiores de las matemáticas comenzaron a estudiarse.

Más tarde, Escocia dio a luz a Napier, el inventor de los logaritmos. La apreciación instantánea de su valor es sin duda el resultado de la superioridad en el cálculo.

En Italia, y especialmente en Francia, la geometría, que durante mucho tiempo había sido una ciencia casi estacionaria, comenzó a estudiarse con éxito. Galileo, Torricelli, Roberval, Fermat, Desargues, Pascal, Descartes y el inglés Wallis son los grandes revolucionarios de esta ciencia.

La mecánica teórica comenzó a estudiarse. Fermat y Pascal sentaron las bases para la teoría de números y la teoría de probabilidades.

Consideraremos primero los perfeccionamientos introducidos en el arte del cálculo.

Las naciones de la antigüedad experimentaron durante miles de años con las notaciones numéricas antes de dar por casualidad con la llamada «notación arábiga». En el simple recurso de la cifra, introducida por los hindúes hacia el siglo V o VI después de Cristo, las matemáticas recibieron uno de sus impulsos más poderosos.

Parecería que, una vez comprendida a fondo la "notación arábiga", las fracciones decimales habrían surgido de inmediato como una extensión obvia de esta. Pero "resulta curioso pensar cuánto había intentado la ciencia en la investigación física y cuán profundamente se había reflexionado sobre los números, antes de percibir que la todopoderosa simplicidad de la 'notación arábiga' era tan valiosa y manejable en una progresión de descenso infinito como en una de ascenso infinito".28

Por simples que los fracciones decimales nos parezcan, su invención no es el resultado de una sola mente ni siquiera de una sola época. Surgieron en el uso por grados casi imperceptibles. Los primeros matemáticos vinculados con su historia no percibieron su verdadera naturaleza e importancia, y no lograron inventar una notación adecuada.

La idea de las fracciones decimales hace su primera aparición en los métodos para aproximar las raíces cuadradas de los números.

Así, Juan de Sevilla, presuntamente imitando las reglas hindúes, añade $2 n$ ceros al número, luego halla la raíz cuadrada y toma esto como el numerador de una fracción cuyo denominador es un 1 seguido de $n$ ceros.

El mismo método fue seguido por Cardano, pero no logró ser adoptado de manera general ni siquiera por sus

contemporáneos italianos; pues de otro modo ciertamente habría sido al menos mencionado por Cataldi (fallecido en 1626) en una obra dedicada exclusivamente a la extracción de raíces.

Cataldi encuentra la raíz cuadrada por medio de fracciones continuas, un método ingenioso y novedoso, pero que para fines prácticos es inferior al de Cardano.

Orontio Fineo (fallecido en 1555) en Francia, y William

Buckley (fallecido hacia 1550) en Inglaterra extrajo la raíz cuadrada de la misma manera que Cardano y Juan de Sevilla.

La invención de los decimales se atribuye con frecuencia a Regiomontano, bajo el argumento de que, en lugar de situar el sinus totus en trigonometría igual a un múltiplo de $60$ , como el

Griegos, él puso $R = 100, 000$ . Pero aquí las líneas trigonométricas se expresaban en números enteros, y no en fracciones.

Aunque adoptó una división decimal del radio, ni él ni sus sucesores aplicaron la idea fuera de la trigonometría y, de hecho, no tenían noción alguna de las fracciones decimales.

A Simón Stevin de Brujas, en Bélgica (1548–1620), un hombre que realizó una gran labor en los más diversos campos de la ciencia, le debemos el primer tratamiento sistemático de las fracciones decimales. En su La Disme (1585) describe en términos muy explícitos las ventajas, no solo de las fracciones decimales, sino también de la división decimal en los sistemas de pesos y medidas. Stevin aplicó las nuevas fracciones "a todas las operaciones de la aritmética ordinaria".25

De lo que carecía era de una notación adecuada. En lugar de nuestro punto decimal, utilizaba un cero; a cada posición en la fracción se le adjuntaba el índice correspondiente. Así, en su notación, el número $5.912$ sería $\overset{0}{5} \overset{1}{9} \overset{2}{1} \overset{3}{2}$ o $5 \CircleDigit 09 \CircleDigit 11 \CircleDigit 22 \CircleDigit 3$ .

Estos índices, aunque engorrosos en la práctica, son de interés porque son el germen de una innovación importante. A Stevin le pertenece el honor de haber inventado nuestro modo actual de designar potencias y también de haber introducido los exponentes fraccionarios en el álgebra. Estrictamente hablando, esto había sido hecho mucho antes por Oresme, pero pasó completamente inadvertido. Ni siquiera

Las innovaciones de Stevin fueron apreciadas de inmediato o aceptadas al instante, pero, a diferencia de las de Oresme, siguieron siendo una posesión segura.

No se introdujo ninguna mejora en la notación de los decimales hasta principios del siglo XVII.

Después de Stevin, los decimales fueron utilizados por Joost Bürgi, suizo de nacimiento, quien preparó un manuscrito sobre aritmética poco después de 1592, y por Johann Hartmann Beyer, quien se adjudica la invención como propia.

En 1603, publicó en Fráncfort del Meno una Logistica

Decimalis.

Con Bürgi, un cero colocado debajo de la cifra en el lugar de las unidades sirve como signo de separación.

La notación de Beyer se asemeja a la de Stevin.

El punto decimal, dice Peacock, se debe a Napier, quien en 1617 publicó su Rabdologia, que contiene un tratado sobre decimales, en el cual el punto decimal se emplea en uno o dos casos.

En la traducción inglesa de la Mirifici logarithmorum canonis descriptio de Napier, realizada por Edward Wright en 1616 y corregida por el autor, el punto decimal aparece en las tablas.

No hay mención de los decimales en los libros de aritmética ingleses entre 1619 y 1631.

Oughtred en

1631 designa la fracción $.56$ de este modo, $\olddecimal 056$ .

Albert Girard, alumno de Stevin, usa el punto en una ocasión en 1629.

John Wallis escribe 12345 en 1657, pero más adelante en su álgebra adopta el punto habitual.

De Morgan dice que "al primer cuarto del siglo XVIII debemos referir no solo la victoria completa y definitiva del punto decimal, sino también la del método hoy universal para realizar las operaciones de división y extracción de la raíz cuadrada".27

Nos hemos detenido con cierto detalle en el progreso de la notación decimal porque «la historia del lenguaje es del más alto orden de interés, así como de utilidad: sus sugerencias son la mejor lección para el futuro que una mente reflexiva puede tener».27

Los milagrosos poderes del cálculo moderno se deben a tres invenciones: la Notación Arábiga, las Fracciones Decimales y

Logaritmos.

La invención de los logaritmos en el primer cuarto del siglo XVII llegó en un momento admirable, pues Kepler se encontraba entonces examinando las órbitas planetarias y Galileo acababa de girar el telescopio hacia las estrellas.

Durante el Renacimiento, los matemáticos alemanes habían construido tablas trigonométricas de gran exactitud, pero esta mayor precisión incrementó enormemente el trabajo del calculista. No es exageración decir que la «invención de los logaritmos, al abreviar las labores, duplicó la vida del astrónomo».

Los logaritmos fueron inventados por John Napier, barón de Merchiston, en Escocia.

(1550–1617).

Es una de las mayores curiosidades de la historia de la ciencia que Napier construyera los logaritmos antes de que se utilizaran los exponentes. Sin duda, Stifel y Stevin hicieron algunos intentos de denotar potencias mediante índices, pero esta notación no era de conocimiento general, ni siquiera para Harriot, cuya álgebra apareció mucho después de la muerte de Napier.

Que los logaritmos se derivan naturalmente del símbolo exponencial no se observó hasta mucho más tarde. Fue Euler quien primero consideró los logaritmos como índices de potencias. ¿Cuál fue, entonces, el razonamiento de Napier?

Sea $A B$ una línea definida, $D E$ una línea que se extiende desde $D$ indefinidamente. Imagínese dos puntos que parten de un mismo

[width=2.5in]./images/176a.pdf momento; el uno moviéndose desde $A$ hacia $B$ , el otro desde $D$ hacia $E$ . Sea la velocidad durante el primer momento la misma para ambos: sea la del punto sobre la línea $D E$ uniforme; pero la velocidad del punto sobre $A B$ decreciendo de tal manera que cuando llega a cualquier punto $C$ , su velocidad es proporcional a la distancia restante $B C$ . Mientras el primer punto recorre una distancia $A C$ , el segundo recorre una distancia $D F$ . Neper llama a $D F$ el logaritmo de $B C$ .

El proceso de Napier es tan único y tan diferente de todos los demás modos de presentar el tema que no puede caber la menor duda de que esta invención es enteramente suya; es el resultado de la especulación solitaria y sin ayuda.

Primero buscó los logaritmos únicamente de los senos; la línea $A B$ era el seno de $90 °$ y se tomó $= 10^{7}$ ; $B C$ era el seno del arco, y $D F$ su logaritmo. Observamos que a medida que avanza el movimiento, $B C$ disminuye en progresión geométrica, mientras que $D F$ aumenta en progresión aritmética.

Sea $A B = a = 10^{7}$ , sea $x = D F$ ,

$y = B C$ , entonces $A C = a - y$ . La velocidad del punto $C$ es $\frac{d (a - y)}{d t} = y$ ; esto da $- \natlog y = t + c$ . Cuando $t = 0$ , entonces $y = a$ y $c = - \natlog a$ .

Nuevamente, sea $\frac{d x}{d t} = a$ la velocidad del punto $F$ , entonces $x = a t$ . Sustituyendo $t$ y $c$ por sus valores y recordado que $a = 10^{7}$ y que por definición $x = \Naplog y$ , obtenemos $\Naplog y = 10^{7} \natlog \frac{10^{7}}{y} .$

Es evidente a partir de esta fórmula que los logaritmos de Neper no son los mismos que los logaritmos naturales. Los logaritmos de Neper aumentan a medida que el número mismo disminuye. Él tomó el logaritmo de $\sin 90 = 0$ ; es decir, el logaritmo de $10^{7} = 0$ .

El logaritmo de $\sin α$ aumentaba desde cero a medida que $α$ disminuía desde $90 °$ . La génesis de los logaritmos de Neper a partir de la concepción de dos puntos en movimiento nos recuerda a la doctrina de las fluxiones de Newton.

La relación entre las progresiones geométrica y aritmética, utilizada con tanta destreza por Neper, había sido observada por Arquímedes, Stifel y otros.

Neper no determinó la base de su sistema de logaritmos. De hecho, la noción de "base" nunca se le ocurrió. La requerida por su razonamiento es la recíproca de la del sistema natural, pero dicha base no reproduciría con exactitud todas las cifras de Neper, debido a ligeras inexactitudes en el cálculo de las tablas.

El gran invento de Neper se dio a conocer al mundo en 1614 en una obra titulada Mirifici logarithmorum canonis descriptio. En ella explicó la naturaleza de sus logaritmos y proporcionó una tabla logarítmica de los senos naturales de un cuadrante de minuto en minuto.

Henry Briggs (1556–1631), en la época de Napier profesor de geometría en el Gresham College de Londres, y después profesor en Oxford, quedó tan prendado de la admiración por el libro de Napier que abandonó sus estudios en Londres para rendir homenaje al filósofo escocés. Briggs se retrasó en su viaje, y Napier se quejó a un amigo común: «¡Ah,

—John, el señor Briggs no vendrá». En ese mismo momento se oyeron golpes en la puerta y Briggs fue introducido en la cámara del lord. Se pasó casi un cuarto de hora contemplándose el uno al otro sin pronunciar una sola palabra. Por fin, Briggs comenzó:

«Mi lord, he emprendido este largo viaje con el propósito de ver su persona y saber mediante qué artificio de ingenio o agudeza se le ocurrió por primera vez este excelentísimo auxilio en la astronomía, a saber, los logaritmos; pero, mi lord, habiendo sido descubierto por usted, me extraña que nadie lo descubriera antes, cuando ahora, ya conocido, resulta tan sencillo».28

Briggs sugirió a Napier la ventaja que resultaría de retener el cero para el logaritmo del seno total, pero eligiendo $10, 000, 000, 000$ para el logaritmo de la décima parte de ese mismo seno, es decir, de $5 ° 44^{'} 22^{″}$ .

Napier dijo que ya había pensado en el cambio y señaló una ligera mejora en la idea de Briggs; a saber, que el cero fuera el logaritmo de $1$ , y $10, 000, 000, 000$ el del seno total, haciendo con ello que la característica de los números mayores que la unidad fuese positiva y no negativa, tal como sugería Briggs.

Briggs admitió que esto era más conveniente. La invención de los «logaritmos briggianos» ocurrió, por lo tanto, para Briggs y Napier de forma independiente.

El gran beneficio práctico del nuevo sistema era que su progresión fundamental se adaptaba a la base, $10$ , de nuestra escala numérica.

Briggs dedicó todas sus energías a la construcción de tablas basadas en el nuevo plan.

Napier murió en 1617, con la satisfacción de haber encontrado en Briggs a un hábil amigo para llevar a cabo sus planes inacabados.

En 1624 Briggs publicó su Arithmetica logarithmica, que contenía los logaritmos con $14$ cifras decimales de los números del $1$ al $20, 000$ y del $90, 000$ al $100, 000$ . El vacío del $20, 000$ al $90, 000$ fue cubierto por aquel ilustre sucesor de

Napier y Briggs, Adrian Vlacq de Gouda, en Holanda. Publicó en 1628 una tabla de logaritmos del 1 al $100.000$ , de los cuales $70.000$ fueron calculados por él mismo.

La primera publicación de logaritmos briggianos de funciones trigonométricas fue realizada en 1620 por Gunter, un colega de Briggs, quien halló los senos y tangentes logarítmicos para cada minuto con siete cifras decimales. Gunter fue el inventor de las palabras coseno y cotangente.

Briggs dedicó los últimos años de su vida a calcular logaritmos briggianos más extensos de funciones trigonométricas, pero murió en 1631, dejando su obra inconclusa. Fue continuada por el inglés Henry Gellibrand y publicada después por

Vlacq a sus propias expensas. Briggs dividió un grado en $100$ partes, pero debido a la publicación por parte de Vlacq de tablas trigonométricas construidas sobre la antigua división sexagesimal, la innovación de Briggs quedó sin reconocer. Briggs y Vlacq publicaron cuatro obras fundamentales, cuyos resultados "nunca han sido superados por ningún cálculo posterior".

Los primeros logaritmos con base natural $e$ fueron publicados por John Speidell en su obra New Logarithmes (Londres, 1619), la cual contiene los logaritmos naturales de senos, tangentes y secantes.

El único rival posible de John Napier en la invención de los logaritmos fue el suizo Justus Byrgius (Joost Bürgi). Publicó una rudimentaria tabla de logaritmos seis años después de la aparición del Canon Mirificus, pero parece que concibió la idea y construyó dicha tabla tan pronto como Napier la suya, o incluso antes. Sin embargo, descuidó hacer publicar los resultados hasta que los logaritmos de Napier fueron conocidos y admirados en toda Europa.

Entre los diversos inventos de Napier para ayudar a la memoria del estudiante o calculista, se encuentra la «regla de las partes circulares de Napier» para la resolución de triángulos esféricos rectángulos.

Es, tal vez, «el ejemplo más feliz de memoria artificial que se conoce».

La conquista más brillante del álgebra durante el siglo XVI había sido la solución de las ecuaciones cúbicas y bicuadráticas.

Habiendo resultado infructuosos todos los intentos de resolver algebraicamente ecuaciones de grados superiores, se abrió gradualmente una nueva línea de investigación: las propiedades de las ecuaciones y sus raíces. Hemos visto que Vieta había alcanzado un conocimiento parcial de las relaciones entre raíces y coeficientes. Peletarius, un

francés, había observado ya en 1558 que la raíz de una ecuación es un divisor del último término.

Quien extendió la teoría de las ecuaciones un poco más allá que Vieta fue Albert Girard (1590–1634), un matemático flamenco. Al igual que Vieta, este ingenioso autor aplicó el álgebra a la geometría y fue el primero en comprender el uso de las raíces negativas en la solución de problemas geométricos. Habló de cantidades imaginarias;

dedujo por inducción que toda ecuación tiene tantas raíces como unidades hay en el número que expresa su grado; y fue el primero en mostrar cómo expresar las sumas de sus potencias en función de los coeficientes.

Otro algebracista de considerable talento fue el inglés Thomas Harriot (1560–1621). Acompañó a la primera colonia enviada por sir Walter Raleigh a Virginia. Tras haber explorado ese país, regresó a Inglaterra.

Como matemático, fue el orgullo de su país. Aportó una visión global de la teoría de las ecuaciones al comprender en toda su extensión aquella verdad a la que Vieta y Girard solo se habían aproximado; es decir, que en una ecuación en su forma más simple,

el coeficiente del segundo término con su signo cambiado es igual a la suma de las raíces;
el coeficiente del tercero es igual a la suma de los productos de cada dos de las raíces;
etc.

Fue el primero en descomponer las ecuaciones en sus factores simples; pero, dado que no reconoció las raíces imaginarias ni tampoco las negativas, tampoco logró demostrar que toda ecuación podía descomponerse de este modo.

Harriot introdujo algunos cambios en la notación algebraica, adoptando letras minúsculas del alfabeto en lugar de las mayúsculas utilizadas por Vieta. Los símbolos de desigualdad $>$ y $<$

introducidos por él. La obra de Harriot, Artis Analyticæ praxis, se publicó en 1631, diez años después de su muerte.

William Oughtred (1574–1660) contribuyó enormemente a la propagación del conocimiento matemático en Inglaterra mediante sus tratados, que se usaron durante mucho tiempo en las universidades. Introdujo $\times$ como símbolo de multiplicación, y $: :$ como el de proporción. Mediante él, la razón se expresaba con un solo punto.

En el siglo XVIII, Christian Wolf consiguió la adopción general del punto como símbolo de multiplicación, y el signo de la razón fue cambiado en consecuencia a dos puntos.

Las obligaciones ministeriales de Oughtred le dejaban muy poco tiempo para el estudio de las matemáticas durante el día, y por las noches su ahorrativa esposa le negaba el uso de luz.

El álgebra se hallaba entonces en un estado de perfección suficiente para permitir a Descartes dar ese paso importante que constituye una de las grandes épocas en la historia de las matemáticas: la aplicación del análisis algebraico para definir la naturaleza e investigar las propiedades de las curvas algebraicas.

En geometría, la determinación de las áreas de figuras curvilíneas fue diligentemente estudiada en este periodo.

Paul Guldin

(1577–1643), matemático suizo de considerable renombre, redescubrió el siguiente teorema, publicado en su Centrobaryca, que ha recibido su nombre, aunque fue hallado por primera vez en las Colecciones matemáticas de Pappo:

El volumen de un sólido de revolución es igual al área de la figura generatriz multiplicada por la circunferencia descrita por el centro de gravedad.

Veremos que este método supera al de Kepler y Cavalieri por seguir un camino más exacto y natural; pero tiene la desventaja de requerir la determinación del centro de gravedad, lo cual puede constituir en sí mismo un problema más difícil que el original de hallar el volumen. Guldin hizo algunos intentos para demostrar su teorema, pero Cavalieri señaló la debilidad de su demostración.

Johannes Kepler (1571–1630) era natural de Wurtemberg y abrigó los principios copernicanos mientras estudiaba en la Universidad de Tubinga. Su carrera científica se vio interrumpida repetidamente por la guerra, la persecución religiosa, los apuros económicos, los frecuentes cambios de residencia y los problemas familiares. En 1600 se convirtió durante un año en ayudante del astrónomo danés Tycho Brahe en el observatorio cercano a Praga. La relación entre ambos grandes astrónomos no fue siempre de índole agradable. Las publicaciones de Kepler son voluminosas. Su primer intento de explicar el sistema solar tuvo lugar en 1596, cuando creyó haber descubierto una curiosa relación entre los cinco sólidos regulares y el número y la distancia de los planetas.

La publicación de este seudodescubrimiento le trajo mucha fama. Una reflexión más madura y el trato con Tycho Brahe y Galileo lo condujeron a investigaciones y resultados más dignos de su genio: las "leyes de Kepler". Enriqueció las matemáticas puras así como la astronomía. No es extraño que se interesara en la ciencia matemática que le había hecho tanto servicio; pues "si los griegos no hubieran cultivado las secciones cónicas,

Kepler could not have superseded Ptolemy."11

The Greeks never dreamed that these curves would ever be of practical use; Aristæus and Apollonius studied them merely to satisfy their intellectual cravings after the ideal; yet the conic sections assisted Kepler in tracing the march of the planets in their elliptic orbits.

Kepler hizo también un uso amplio de los logaritmos y las fracciones decimales, y se mostró entusiasta en la difusión de su conocimiento.

En cierta ocasión, mientras compraba vino, le llamó la atención la inexactitud de los modos ordinarios de determinar el contenido de los barriles. Esto lo llevó al estudio de los volúmenes de los sólidos de revolución y a la publicación de la Stereometria Doliorum en 1615.

En ella trata primero de los sólidos conocidos por Arquímedes y luego aborda otros.

Kepler introdujo una nueva idea en la geometría; a saber, la de las cantidades infinitamente grandes e infinitamente pequeñas. Los matemáticos griegos siempre huyeron de esta noción, pero con ella los matemáticos modernos han revolucionado por completo la ciencia.

Al comparar figuras rectilíneas, los antiguos empleaban el método de superposición, pero al comparar figuras rectilíneas y curvilíneas entre sí, este método fallaba porque ninguna suma o resta de figuras rectilíneas podía producir jamás figuras curvilíneas.

Para hacer frente a este caso, idearon el Método de Exhausción, que era largo y difícil; era puramente sintético y, en general, exigía que la conclusión se conociera desde el principio.

La nueva noción de infinito condujo gradualmente a la invención de métodos immeasurablemente más poderosos.

Kepler concibió el círculo como compuesto por un número infinito de triángulos que tenían sus vértices comunes en el centro y sus bases en la circunferencia, y la esfera como consistente en un número infinito de pirámides.

Aplicó concepciones de este tipo a la determinación de las áreas y volúmenes de figuras generadas por curvas que giran alrededor de cualquier línea como eje, pero logró resolver solo unos pocos de los más simples entre los 84 problemas que propuso para su investigación en su Stereometria.

Otros puntos de interés matemático en las obras de Kepler son (1) el planteamiento del problema más antiguo de tangentes inversas;

(2) una investigación que equivale a la evaluación de la integral definida $\int_{0}^{ϕ} \sin ϕ d ϕ = 1 - \cos ϕ$ ;

(3) la afirmación de que la circunferencia de una elipse, cuyos ejes son $2 a$ y $2 b$ , es aproximadamente $π (a + b)$ ;

(4) un pasaje del cual se ha inferido que Kepler sabía que la variación de una función cerca de su valor máximo se anula;

(5) la asunción del principio de continuidad (que diferencia la geometría moderna de la antigua), cuando muestra que una parábola tiene un foco en el infinito, que las líneas que radian desde este «cæcus focus» son paralelas y no tienen ningún otro punto en el infinito.

La Stereometria llevó a Cavalieri, un jesuita italiano, a la consideración de cantidades infinitamente pequeñas.

Bonaventura Cavalieri (1598–1647), discípulo de Galileo y profesor de

Bolonia, es célebre por su Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota, de 1635. Esta obra expone su método de los indivisibles, que ocupa un lugar intermedio entre el método de exhecución de los griegos y los métodos de Newton y Leibniz.

Él considera las líneas como compuestas por un número infinito de puntos, las superficies como compuestas por un número infinito de líneas, y los sólidos por un número infinito de planos. La magnitud relativa de dos sólidos o superficies podía encontrarse entonces simplemente mediante la suma de series de planos o líneas.

Por ejemplo, halla que la suma de los cuadrados de todas las líneas que componen un triángulo es igual a un tercio de la suma de los cuadrados de todas las líneas de un paralelogramo de igual base y altura; pues si en un triángulo la primera línea en el vértice es 1, entonces la segunda es 2, la tercera es 3, y así sucesivamente; y la suma de sus cuadrados es $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} = n (n + 1) (2 n + 1) \div 6 .$

En el paralelogramo, cada una de las líneas es $n$ y su número es $n$ ; de ahí que la suma total de sus cuadrados sea $n^{3}$ . La razón entre las dos sumas es, por tanto, $n (n + 1) (2 n + 1) \div 6 n^{3} = \frac{1}{3},$ dado que $n$ es infinito.

De esto concluye que la pirámide o el cono es, respectivamente, $\frac{1}{3}$ de un prisma o cilindro de igual base y altura, ya que los polígonos o círculos que componen al primero disminuyen desde la base hasta el vértice de la misma manera que disminuyen desde la base hasta el vértice los cuadrados de las líneas paralelas a la base en un triángulo.

Mediante el Método de los Indivisibles, Cavalieri resolvió la mayoría de los problemas propuestos por Kepler.

Aunque expeditivo y de resultados correctos, el método de Cavalieri carece de fundamento científico.

Si una línea no tiene absolutamente ninguna anchura, ningún número de líneas, por grande que sea, podrá jamás componer un área; si un plano no tiene grosor alguno, ni siquiera un número infinito de planos podrá formar un sólido.

La razón por la cual este método condujo a conclusiones correctas es que un área guarda con otra área la misma proporción que la suma de la serie de líneas de la primera guarda con la suma de la serie de líneas de la segunda.

Aunque carente de rigor científico, el método de Cavalieri se utilizó durante cincuenta años como una especie de cálculo integral. Arrojó soluciones a algunos problemas difíciles.

Guldin lanzó un severo ataque contra Cavalieri y su método. Este último publicó en 1647, tras la muerte de Guldin, un tratado titulado Exercitationes geometricæ sex, en el cual respondió a las objeciones de su oponente e intentó dar una explicación más clara de su método.

Guldin nunca había sido capaz de demostrar el teorema que lleva su nombre, excepto mediante razonamiento metafísico, pero Cavalieri lo demostró por el método de los indivisibles. Una edición revisada de la Geometría de los indivisibles apareció en 1653.

Hay una curva importante, desconocida para los antiguos, que ahora comenzó a estudiarse con gran celo. Roberval le dio el nombre de «trocoide», Pascal el de «ruleta»,

Galileo el nombre de «cicloide». La invención de esta curva parece deberse a Galileo, quien la valoraba por la elegante forma que daría a los arcos en la arquitectura. Determinó su área pesando figuras de papel de la cicloide frente a la del círculo generador, y descubrió así que la primera área era casi, pero no exactamente, tres veces la segunda. Una determinación matemática fue realizada por su discípulo, Evangelista Torricelli

(1608–1647), que es más ampliamente conocido como físico que como matemático.

Por el Método de los Indivisibles demostró que su área era el triple de la del círculo giratorio, y publicó su solución.

Esta misma cuadratura había sido efectuada pocos años antes por Roberval en Francia, pero su solución no era conocida por los italianos. Roberval, siendo un hombre de disposición irritable y violenta, acusó injustamente al apacible y amable Torricelli de robar la demostración. Esta acusación de plagio causó tal desconsuelo en Torricelli que se considera que fue la causa de su prematura muerte.

Vincenzo Viviani, otro alumno destacado de Galileo, determinó la tangente a la cicloide. Esto fue logrado en Francia por Descartes y Fermat.

En Francia, donde la geometría empezó a cultivarse con el mayor éxito, Roberval, Fermat y Pascal emplearon el Método de los Indivisibles y le introdujeron nuevas mejoras.

Giles Persone de Roberval (1602–1675), profesor de matemáticas en el Colegio de Francia en París durante cuarenta años, se atribuyó a sí mismo la invención del Método de los Indivisibles.

Dado que sus obras completas no se publicaron hasta después de su muerte, resulta difícil resolver las cuestiones de prioridad. Montucla y Chasles opinan que inventó el método de forma independiente y antes que el geómetra italiano, aunque la obra de este último se publicó mucho antes que la de Roberval. A Marie le resulta difícil creer que el

Frenchman borrowed nothing whatever from the Italian, for both could not have hit independently upon the word Indivisibles, which is applicable to infinitely small quantities, as conceived by Cavalieri, but not as conceived by Roberval.

Roberval y Pascal mejoraron la base racional del Método de los Indivisibles, al considerar un área compuesta por un número indefinido de rectángulos en lugar de líneas, y un sólido compuesto por sólidos infinitamente pequeños en lugar de superficies.

Roberval aplicó el método al cálculo de áreas, volúmenes y centros de gravedad. Efectuó la cuadratura de una parábola de cualquier grado $y^{m} = a^{m - 1} x$ , y también de la parábola $y^{m} = a^{m - n} x^{n}$ . Ya hemos mencionado su cuadratura de la cicloide.

Roberval es más conocido por su método para trazar tangentes. Fue el primero en aplicar el movimiento a la resolución de este importante problema. Su método está emparentado con el principio de las fluxiones de Newton.

Arquímedes concibió su espiral como generada por un doble movimiento. Esta idea la extendió Roberval a todas las curvas. Las curvas planas, como por ejemplo las secciones cónicas, pueden ser generadas por un punto sobre el que actúan dos fuerzas, y son la resultante de dos movimientos.

Si en cualquier punto de la curva la resultante es descompuesta en sus componentes, entonces la diagonal del paralelogramo determinado por ellas es la tangente a la curva en ese punto. La mayor dificultad relacionada con este ingenioso método consistía en descomponer la resultante en componentes que tuvieran las longitudes y direcciones adecuadas.

Roberval no siempre logró hacer esto, pero aun así su nueva idea supuso un gran avance. Se desmarcó de la antigua definición de tangente como una línea recta que solo tiene un punto en común con una curva, una definición que no es válida para curvas de grados superiores, ni apta siquiera en las curvas de segundo grado para revelar las propiedades de las tangentes y el papel que pueden desempeñar en la generación de las curvas.

El tema de las tangentes recibió especial atención también por parte de Fermat,

Descartes y Barrow, y alcanzó su más alto desarrollo tras la invención del cálculo diferencial.

Fermat y Descartes definieron las tangentes como secantes cuyos dos puntos de intersección con la curva coinciden; Barrow consideró que una curva era un polígono, y llamó tangente a uno de sus lados prolongados.

Un erudito profundo en todas las ramas del saber y un matemático de facultades excepcionales fue Pierre de Fermat (1601–1665).

Estudió derecho en Toulouse y, en 1631, fue nombrado consejero del parlamento de Toulouse. Su tiempo libre lo dedicaba principalmente a las matemáticas, que estudiaba con una pasión irresistible. A diferencia de Descartes y Pascal, llevó una vida tranquila y poco combativa.

Fermat dejó la impronta de su genio en todas las ramas de las matemáticas conocidas en su época. Una gran contribución a la geometría fue su De maximis et minimis.

Aproximadamente veinte años antes, Kepler había observado por primera vez que el incremento de una variable, como, por ejemplo, la ordenada de una curva, es evanescente para valores muy cercanos a un valor máximo o mínimo de la variable. Desarrollando esta idea, Fermat obtuvo su regla para máximos y mínimos. Sustituyó

$x + e$ para $x$ en la función dada de $x$ e igualados entre sí los dos valores consecutivos de la función y dividida la ecuación por $e$ . Si se toma $e$ como 0, entonces las raíces de esta ecuación son los valores de $x$ que hacen que la función sea un máximo o un mínimo.

Fermat estaba en posesión de esta regla en 1629. La principal diferencia entre ella y la regla del cálculo diferencial es que introduce la cantidad indefinida $e$ en lugar del infinitamente pequeño $d x$ . Fermat la convirtió en la base de su método para trazar tangentes.

Debido a cierta falta de claridad en su exposición, el método de máximos y mínimos, y de tangentes, de Fermat fue duramente atacado por su gran contemporáneo, Descartes, quien jamás llegó a hacerle plena justicia a su mérito. En la consiguiente disputa, Fermat encontró dos defensores entusiastas en Roberval y el padre Pascal; mientras que Mydorge, Desargues y

Hardy apoyaba a Descartes.

Desde que Fermat introdujo el concepto de diferencias infinitamente pequeñas entre valores consecutivos de una función y llegó al principio para encontrar los máximos y mínimos, Lagrange, Laplace y Fourier sostuvieron que

Fermat may be regarded as the first inventor of the differential calculus. This point is not well taken, as will be seen from the words of Poisson, himself a Frenchman, who rightly says that the differential calculus "consists in a system of rules proper for finding the differentials of all functions, rather than in the use which may be made of these infinitely small variations in the solution of one or two isolated problems."

Un matemático contemporáneo, cuyo genio superó incluso al del gran Fermat, fue Blaise Pascal (1623-1662). Nació en Clermont, en Auvernia. En 1626 su padre se retiró a París, donde se dedicó a enseñar a su hijo, pues no quería confiar su educación a otros.

El genio de Blaise Pascal para la geometría se manifestó cuando apenas tenía doce años.

Su padre era muy versado en matemáticas, pero no deseaba que su hijo las estudiara hasta que estuviera perfectamente familiarizado con el latín y el griego. Todos los libros de matemáticas fueron ocultados de su vista.

El muchacho preguntó una vez a su padre de qué trataban las matemáticas, y este le respondió, en general, «que era el método de hacer figuras con exactitud y de descubrir qué proporciones guardaban relativamente unas con otras». Al mismo tiempo se le prohibió hablar más del asunto o volver a pensar en él.

Pero su genio no pudo someterse a estar confinado dentro de estos límites. Partiendo del simple hecho de que las matemáticas enseñaban los medios para hacer figuras infaliblemente exactas, concentró sus pensamientos en ello y, con un trozo de carbón, dibujó figuras sobre las baldosas del pavimento, probando los métodos para trazar, por ejemplo, un círculo exacto o un triángulo equilátero. Dio nombres propios a estas figuras y luego formó axiomas y, en suma, llegó a realizar demostraciones perfectas.

De este modo llegó por sí mismo al teorema de que la suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos.

Su padre lo sorprendió en el acto de estudiar este teorema, y quedó tan asombrado ante la sublimidad y la fuerza de su genio que lloró de alegría. El padre le entregó entonces los Elementos de Euclides, los cuales él, sin ayuda, dominó con facilidad.

Siendo sus estudios ordinarios los idiomas, el muchacho empleaba únicamente sus horas de ocio en el estudio de la geometría, mas tenía una penetración tan rápida y viva que, a la edad de dieciséis años, escribió un tratado sobre las cónicas que pasó por un esfuerzo de genio tan sorprendente que se dijo que no se había producido nada igual en solidez desde los tiempos de Arquímedes.

Descartes se negó a creer que hubiera sido escrito por alguien tan joven como Pascal.

Este tratado nunca fue publicado, y hoy en día está perdido. Leibniz lo vio en París e informó sobre una parte de su contenido.

El precoz joven hizo vastos progresos en todas las ciencias, pero la aplicación constante a tan tierna edad mermó considerablemente su salud. Aun así, continuó trabajando y, a los diecinueve años, inventó su famosa máquina para realizar operaciones aritméticas de forma mecánica. Esta tensión continua por el exceso de trabajo dio lugar a una indisposición permanente, y solía decir que, desde los dieciocho años, jamás pasó un solo día sin dolor.

A la edad de veinticuatro años decidió dejar a un lado el estudio de las ciencias humanas y consagrar su talento a la religión.

Sus Cartas provinciales contra los jesuitas son célebres. Pero a veces regresaba al estudio favorito de su juventud.

Mantenido despierto una noche por un dolor de muelas, acudieron involuntariamente a su cabeza algunos pensamientos relativos a la ruleta o cicloide; una idea siguió a otra y descubrió así propiedades de esta curva hasta la demostración misma.

Una correspondencia entre él y Fermat sobre ciertos problemas fue el origen de la teoría de la probabilidad.

La enfermedad de Pascal se agravó, y murió en París a la temprana edad de treinta y nueve años.30

Por él, la respuesta a la objeción al Método de los Indivisibles de Cavalieri fue expuesta de la forma más clara. Como

Roberval, él explicó que "la suma de líneas rectas" significaba "la suma de rectángulos infinitamente pequeños". Pascal hizo avanzar enormemente el conocimiento de la cicloide. Determinó el área de una sección producida por cualquier línea paralela a la base; el volumen generado por su revolución alrededor de su base o alrededor del eje; y, finalmente, los centros de gravedad de estos volúmenes, así como también de la mitad de estos volúmenes cortados por planos de simetría. Antes de publicar sus resultados, envió, en 1658, a todos los matemáticos aquel famoso desafío ofreciendo premios por las primeras dos soluciones de estos problemas. Solo Wallis y A. La Louère compitieron por ellos. Este último era muy incapaz para la tarea; el primero, acuciado por el tiempo, cometió numerosos errores: ninguno obtuvo un premio. Pascal publicó entonces sus propias soluciones, lo que produjo una gran sensación entre los hombres de ciencia. Wallis también publicó las suyas, con los errores corregidos. Aunque no competían por los premios, Huygens, Wren y Fermat resolvieron algunas de las cuestiones. Los principales descubrimientos de Christopher Wren (1632–1723), el célebre arquitecto de la catedral de San Pablo en Londres, fueron la rectificación de un arco cicloidal y la determinación de su centro de gravedad. Fermat halló el área generada por un arco de la cicloide. Huygens inventó el péndulo cicloidal.

Los comienzos del siglo XVII fueron testigo asimismo de un renacimiento de la geometría sintética. Uno de los que trataron las cónicas aún mediante métodos antiguos, pero que logró simplificar enormemente muchas de las prolijas demostraciones de Apolonio, fue Claude Mydorge en

París (1585–1647), amigo de Descartes. Pero quedó reservado a Girard Desargues (1593–1662), de Lyon, y a Pascal, abandonar los caminos trillados y abrir nuevas sendas. Ellos introdujeron el importante método de la Perspectiva.

Todas las cónicas sobre un cono de base circular le parecen circulares a un ojo situado en el vértice. De ahí que Desargues y Pascal concibieran el tratamiento de las secciones cónicas como proyecciones de círculos.

Desargues aportó dos teoremas importantes y hermosos:

El uno trata sobre la «involución de los seis puntos», en la cual una transversal corta a una cónica y a un cuadrángulo inscrito;
el otro establece que, si los vértices de dos triángulos, situados ya sea en el espacio o en un plano, se encuentran sobre tres rectas que concurren en un punto, entonces sus lados se cortan en tres puntos situados sobre una recta; y recíprocamente.

Este último teorema ha sido empleado en tiempos recientes por Brianchon, Sturm, Gergonne y Poncelet. Poncelet lo convirtió en la base de su hermosa teoría de las figuras homológicas. A Desargues le debemos la teoría de la involución y de las transversales; así como también la hermosa concepción de que los dos extremos de una línea recta pueden considerarse como si se encontraran en el infinito, y que las paralelas difieren de otros pares de líneas únicamente en que sus puntos de intersección están en el infinito. Pascal admiraba enormemente la

resultados, diciendo (en sus Essais pour les Coniques), «Reconozco deber lo poco que he descubierto sobre este tema a sus escritos».

Los escritos de Pascal y Desargues contenían las ideas fundamentales de la geometría sintética moderna. En la maravillosa obra de Pascal sobre las cónicas, escrita a la edad de dieciséis años y hoy perdida, se daban el teorema sobre la razón anarmónica, hallado primeramente en Pappus, y también aquella célebre proposición sobre el hexágono místico, conocida como el «teorema de Pascal», a saber, que los lados opuestos de un hexágono inscrito en una cónica se cortan en tres puntos que son colineales.

Este teorema constituyó la clave de bóveda de su teoría. Él mismo afirmó que de este solo teorema dedujo más de 400 corolarios, que abarcaban las cónicas de Apolonio y muchos otros resultados.

De este modo, el genio de Desargues y Pascal desenterró varios de los ricos tesoros de la geometría sintética moderna; pero debido al absorbente interés que suscitó la geometría analítica de Descartes y, más tarde, el cálculo diferencial, el tema fue casi enteramente olvidado hasta el presente siglo.

En la teoría de los números no se habían alcanzado nuevos resultados de valor científico durante más de 1000 años, abarcando desde los tiempos de Diofanto y los hindúes hasta principios del siglo XVII.

Pero el ilustre periodo que ahora estamos considerando produjo hombres que rescataron esta ciencia del reino del misticismo y la superstición, en el que había estado tanto tiempo encarcelada; las propiedades de los números comenzaron de nuevo a estudiarse científicamente.

Al no estar en posesión del análisis indeterminado hindú, muchos resultados hermosos de los brahmanes tuvieron que ser redescubiertos por los europeos.

Así, una solución en números enteros de ecuaciones indeterminadas lineales fue redescubierta por el francés Bachet de Méziriac (1581–1638), quien fue el primer diofantista europeo digno de mención.

En 1612 publicó Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres, y en 1621 una edición griega de Diofanto con notas.

El padre de la teoría moderna de números es Fermat. Era de un carácter tan reservado que, por lo general, ocultaba sus métodos y daba a conocer únicamente sus resultados. En algunos casos, los analistas posteriores se han visto en grandes apuros al intentar aportar las demostraciones.

Fermat poseía un ejemplar de la Aritmética de Diofanto, editada por Bachet, en el que anotó numerosos comentarios al margen. En 1670 estas notas fueron incorporadas a una nueva edición de Diofanto, publicada por su hijo. Otros teoremas sobre números, debidos a Fermat, aparecieron en sus Opera varia (editadas por su hijo) y en el Commercium epistolicum de Wallis de 1658.

De los siguientes teoremas, los primeros siete se encuentran en las notas marginales:—

(1) $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ es imposible para valores enteros de $x$ , $y$ y $z$ , cuando $n > 2$ .

Observación: "He descubierto para esto una demostración verdaderamente maravillosa, pero el margen es demasiado pequeño para contenerla".

Repetidamente este teorema fue convertido en la pregunta de concurso de sociedades doctas. Ha dado lugar a investigaciones de gran interés y dificultad por parte de Euler, Lagrange,

Dirichlet y Kummer.

(2) Un número primo de la forma $4 n + 1$ es solo una vez la hipotenusa de un triángulo rectángulo; su cuadrado lo es dos veces; su cubo, tres veces, etc.

Ejemplo: * $5^{2} = 3^{2} + 4^{2}$ ; * $25^{2} = 15^{2} + 20^{2} = 7^{2} + 24^{2}$ ; * $125^{2} = 75^{2} + 100^{2} = 35^{2} + 120^{2} = 44^{2} + 117^{2}$ .

(3) Un número primo de la forma $4 n + 1$ puede expresarse única y exclusivamente como la suma de dos cuadrados. Demostrado por Euler.

(4) Un número compuesto de dos cubos puede descomponerse en otros dos cubos de una multiplicidad infinita de maneras.

(5) Todo número es un número triangular o la suma de dos o tres números triangulares; un cuadrado o la suma de dos, tres o cuatro cuadrados; un número pentagonal o la suma de dos, tres, cuatro o cinco números pentagonales; y de manera similar para los números poligonales en general.

La demostración de este y otros teoremas es prometida por Fermat en una obra futura que nunca llegó a aparecer. Este teorema también figura, junto con otros, en una carta de 1637 (?) dirigida al padre Mersenne.

(6) Se pueden encontrar tantos números como se quiera, tales que el cuadrado de cada uno sigue siendo un cuadrado al sumarle o restarle la suma de todos los números.

(7) $x^{4} + y^{4} = z^{2}$ es imposible.

(8) En una carta de 1640 da el célebre teorema generalmente conocido como «el teorema de Fermat», que enunciamos en

Notación de Gauss: Si $p$ es primo, y $a$ es primo con $p$ , entonces $a^{p - 1} \equiv 1 (\mod p)$ . Fue demostrada por Euler.

(9) Fermat murió con la creencia de que había encontrado una ley de los números primos tan buscada en la fórmula $2^{2^{n}} + 1 =$ un primo, pero admitió que era incapaz de demostrarla rigurosamente.

La ley no es cierta, tal como señaló Euler con el ejemplo $2^{2^{5}} + 1 = 4.294 .967 .297 = 6.700 .417 veces 641$ .

El calculador prodigio estadounidense Zerah Colburn, cuando era niño, encontró fácilmente los factores, pero fue incapaz de explicar el método mediante el cual realizó su maravilloso cálculo mental.

(10) Un número primo impar se puede expresar como la diferencia de dos cuadrados de una, y solo una, manera. Este teorema, dado en la Relation, fue utilizado por Fermat para la descomposición de números grandes en factores primos.

(11) Si los enteros $a$ , $b$ , $c$ representan los lados de un triángulo rectángulo, entonces su área no puede ser un número cuadrado. Esto fue demostrado por Lagrange.

(12) La solución de Fermat para $a x^{2} + 1 = y^{2}$ , donde $a$ es un número entero pero no un cuadrado, ha llegado hasta nosotros solo en sus rasgos más generales, tal como se expone en la Relation. Propuso el problema al francés Bernhard Frenicle de Bessy y, en 1657, a todos los matemáticos contemporáneos. En Inglaterra, Wallis y Lord Brounker hallaron conjuntamente una solución laboriosa, que se publicó en 1658 y también en 1668, en una obra de álgebra editada por John Pell. Aunque Pell no tuvo ninguna otra relación con el problema, este pasó a conocerse con el nombre de «problema de Pell». La primera solución fue dada por los hindúes.

No estamos seguros de que Fermat haya sometido todos sus teoremas a una demostración rigurosa. Sus métodos de demostración se perdieron por completo hasta 1879, año en que se encontró un documento sepultado entre los manuscritos de Huygens en la biblioteca de Leiden, titulado Relation des découvertes en la science des nombres.

Parece desprenderse de él que utilizaba un método inductivo, llamado por él la descente infinie ou indefinie. Dice que este método era particularmente aplicable para demostrar la imposibilidad de ciertas relaciones, como por ejemplo el Teorema 11 citado anteriormente, pero que también logró utilizarlo para demostrar afirmaciones afirmativas.

Así, demostró el Teorema 3 al mostrar que si suponemos que existe un número primo $4 n + 1$ que no posee esta propiedad, entonces habrá un primo más pequeño de la forma $4 n + 1$ que tampoco la posea; y un tercero más pequeño que el segundo, que tampoco la posea; y así sucesivamente. Descendiendo de este modo indefinidamente, llega al número $5$ , que es el factor primo más pequeño de la forma $4 n + 1$ . De la suposición anterior se seguiría que $5$ no es la suma de dos cuadrados, una conclusión contraria a los hechos. Por lo tanto, la suposición es falsa y el teorema queda establecido.

Fermat aplicó este método de descenso con éxito en un gran número de teoremas. Mediante este método, Euler, Legendre y Dirichlet demostraron varios de sus enunciados y muchas otras proposiciones numéricas.

Una correspondencia entre Pascal y Fermat relativa a cierto juego de azar fue el germen de la teoría de las probabilidades, que desde entonces ha alcanzado un vasto desarrollo.

El caballero de Méré propuso a Pascal el problema fundamental de determinar la probabilidad que tiene cada jugador, en cualquier etapa dada del juego, de ganar la partida. Pascal y Fermat supusieron que los jugadores tienen iguales oportunidades de ganar un solo punto.

El primero comunicó este problema a Fermat, quien lo estudió con vivo interés y lo resolvió mediante la teoría de combinaciones, una teoría que fue estudiada diligentemente tanto por él como por Pascal.

El cálculo de probabilidades atrajo también la atención de Huygens. El teorema más importante al que llegó fue que, si A tiene $p$ probabilidades de ganar una suma $a$ , y $q$ probabilidades de ganar una suma $b$ , entonces puede esperar ganar la suma $\frac{a p + b q}{p + q}$ .

La siguiente gran obra sobre la teoría de la probabilidad fue el Ars conjectandi de Jakob Bernoulli.

Entre los antiguos, Arquímedes fue el único que alcanzó nociones claras y correctas sobre la estática teórica. Había adquirido una firme posesión de la idea de presión, que se encuentra en la raíz de la ciencia mecánica. Pero sus ideas permanecieron dormidas durante casi veinte siglos, hasta la época de Stevin y Galileo.

Stevin determinó con exactitud la fuerza necesaria para sostener un cuerpo sobre un plano inclinado en cualquier ángulo respecto al horizonte. Poseía una doctrina completa del equilibrio.

Mientras Stevin investigaba la estática, Galileo se dedicó principalmente a la dinámica. Galileo fue el primero en abandonar la idea aristotélica de que los cuerpos descienden con tanta mayor rapidez cuanto más pesados son; estableció la primera ley del movimiento; determinó las leyes de la caída de los cuerpos; y, habiendo obtenido una clara noción de la aceleración y de la independencia de los diferentes movimientos, pudo demostrar que los proyectiles se mueven en trayectorias parabólicas.

Hasta su época se creía que una bala de cañón avanzaba primero en línea recta y luego caía repentinamente de forma vertical al suelo. Galileo comprendió las fuerzas centrífugas y dio una definición correcta del momento.

Aunque formuló el principio fundamental de la estática, conocido como el paralelogramo de fuerzas, no reconoció plenamente su alcance. El principio de las velocidades virtuales fue concebido en parte por Guido Ubaldo (fallecido en 1607) y, más tarde, de manera más completa por Galileo.

Galileo es el fundador de la ciencia de la dinámica. Entre sus contemporáneos fueron principalmente las novedades que descubrió en el cielo las que le hicieron célebre, pero Lagrange afirma que sus descubrimientos astronómicos solo requerían un telescopio y perseverancia, mientras que se necesitó un genio extraordinario para descubrir leyes a partir de fenómenos que vemos constantemente y cuya verdadera explicación había escapado a todos los filósofos anteriores. El primer colaborador de la ciencia de la mecánica después de Galileo fue Descartes.