El progreso del álgebra en los últimos tiempos puede considerarse bajo tres encabezados principales:
- el estudio de las leyes fundamentales y el nacimiento de nuevas álgebras,
- el crecimiento de la teoría de ecuaciones, y
- el desarrollo de lo que se denomina álgebra superior moderna.
Ya hemos hablado de George Peacock y D. F.
Gregory en relación con las leyes fundamentales del álgebra.
Mucho se hizo en este sentido por De Morgan.
Augustus De Morgan (1806–1871) nació en Madura (Madras) y se formó en el Trinity College de Cambridge. Sus escrúpulos sobre las doctrinas de la Iglesia establecida le impidieron obtener el grado de maestría (M.A.) y optar a una cátedra de investigación (fellowship).
En 1828 se convirtió en profesor de la recién fundada Universidad de Londres y enseñó allí hasta 1867, a excepción de cinco años, de 1831 a 1835. De Morgan fue un personaje singular y varonil, y un profesor sobresaliente.
El valor de su obra original no radica tanto en aumentar nuestro caudal de conocimientos matemáticos como en situarlo por completo sobre una base rigurosamente lógica. Sentía agudamente la falta de un razonamiento riguroso en las matemáticas tal como las recibió. Dijo una vez:
"Sabemos que a los matemáticos les importa la lógica tanto como a los logicians las matemáticas. Los dos ojos de la ciencia exacta son las matemáticas y la lógica: la secta matemática le saca el ojo lógico, la secta lógica le saca el ojo matemático; creyendo cada una que puede ver mejor con un ojo que con dos".
De Morgan veía con ambos ojos. Analizó la lógica matemáticamente y estudió el análisis lógico de las leyes, los símbolos y las operaciones de las matemáticas; escribió una Lógica formal, así como un Álgebra doble, y mantuvo correspondencia tanto con Sir William Hamilton, el metafísico, como con Sir William
Rowan Hamilton, el matemático.
Pocos contemporáneos estaban tan profundamente leídos en la historia de las matemáticas como lo estaba De Morgan. Ningún tema era demasiado insignificante para recibir su atención. La autoría de «Cocker's Arithmetic» y el trabajo de los cuadradores del círculo fueron investigados con tanta minuciosidad como la historia de la invención del cálculo.
Numerosos artículos suyos yacen dispersos en los volúmenes de las Penny y English Cyclopædias. Su Differential Calculus, de 1842, sigue siendo una obra de referencia y contiene mucho que es original del autor. Para la Encyclopædia Metropolitana escribió sobre el cálculo de funciones (aportando principios de razonamiento simbólico)
y sobre la teoría de la probabilidad. Celebrado es su Budget of Paradoxes, de 1872. Publicó las memorias «On the Foundation of Algebra» (Trans. of Cam. Phil. Soc., 1841, 1842, 1844 y 1847).
En Alemania, el álgebra simbólica fue estudiada por Martin Ohm, quien escribió un System der Mathematik en 1822.
Las ideas de Peacock y De Morgan reconocen la posibilidad de álgebras que difieren del álgebra ordinaria. Tales álgebras no tardaron ciertamente en surgir, pero, al igual que la geometría no euclidiana, algunas de ellas tardaron en encontrar reconocimiento.
Esto es cierto en el caso de los descubrimientos de Grassmann, Bellavitis y Peirce, pero los cuaterniones de Hamilton encontraron una apreciación inmediata en Inglaterra. Estas álgebras ofrecen una interpretación geométrica de los imaginarios.
En los tiempos de Descartes,
Newton, y Euler, hemos visto lo negativo y lo imaginario,
, aceptadas como números, pero estas últimas todavía se consideraban una ficción algebraica. El primero en darle una representación geométrica, análoga a la interpretación geométrica de los negativos, fue H. Kühn, un profesor en Danzig, en una publicación de
1750–1751. Representó mediante una línea perpendicular a la línea , e igual a en longitud, e interpretó como la media proporcional entre y . Esta misma idea fue desarrollada más a fondo, con el fin de dar una interpretación geométrica de , por Jean-Robert Argand (1768–?) de Ginebra, en un notable Essai (1806).70
Los escritos de Kühn y Argand pasaron casi desapercibidos, y correspondió a Gauss derribar la última oposición a lo imaginario. Introdujo como una unidad independiente coordinada con , y como un «número complejo».
La conexión entre los números complejos y los puntos en un plano, aunque artificial, constituyó una poderosa ayuda para el estudio posterior del álgebra simbólica. La mente requería una representación visual que le sirviera de apoyo. La noción de lo que hoy llamamos vectores se estaba abriendo paso entre los matemáticos, y la suma geométrica de vectores en el espacio fue descubierta de forma independiente por Hamilton, Grassmann y otros, aproximadamente al mismo tiempo.
William Rowan Hamilton (1805–1865) nació en Dublín de padres escoceses. Su educación temprana, llevada a cabo en el hogar, se centró principalmente en los idiomas. A la edad de trece años se dice que conocía tantos idiomas como años de vida tenía. Alrededor de esta época dio con un ejemplar de la Aritmética Universal de Newton. Tras leerlo, abordó sucesivamente la geometría analítica, el cálculo, los Principia de Newton y la Mécanique Céleste de Laplace. A la edad de dieciocho años publicó un artículo en el que corregía un error en la obra de Laplace. En 1824 ingresó en el Trinity College de Dublín y en 1827, siendo todavía estudiante universitario, fue nombrado catedrático de astronomía. Sus primeros artículos versaron sobre óptica. En 1832 predijo la refracción cónica, un descubrimiento con la ayuda de las matemáticas que se alza a la altura del descubrimiento de Neptuno por Le Verrier y Adams. A estos les siguieron trabajos sobre el Principio de Acción Variable (1827) y un método general de la dinámica (1834–1835). También escribió sobre la resolución de ecuaciones de quinto grado, el hodógrafo, las funciones fluctuantes y la resolución numérica de ecuaciones diferenciales.
El gran descubrimiento de Hamilton son sus cuaterniones, en los que culminó su estudio del álgebra.
En 1835 publicó en las Transactions of the Royal Irish Academy su Teoría de los pares algebraicos. Consideraba el álgebra «no como un mero arte, ni un lenguaje, ni principalmente como una ciencia de la cantidad, sino más bien como la ciencia del orden de progresión».
El tiempo se le aparecía como la imagen de dicha progresión. De ahí su definición del álgebra como «la ciencia del tiempo puro».
Fue objeto de años de meditación para él determinar qué debía considerar como el producto de cada par de un sistema de líneas dirigidas perpendiculares. Por fin, el 16 de octubre,
1843, mientras paseaba con su esposa una tarde a lo largo del Royal Canal en Dublín, el descubrimiento de los cuaterniones acudió a su mente de repente, y entonces grabó con su cuchillo sobre una piedra en el puente Brougham la fórmula fundamental .
En la asamblea general de la Academia Irlandesa, un mes después, realizó la primera comunicación sobre los cuaterniones. El año siguiente se dio cuenta del descubrimiento en el Philosophical Magazine.
Hamilton desplegó una fecundidad maravillosa en su desarrollo.
- Sus Lectures on Quaternions, impartidas en Dublín, se imprimieron en 1852.
- Sus Elements of Quaternions aparecieron en 1866.
Los cuaterniones fueron muy admirados en Inglaterra desde el principio, pero en el continente recibieron menos atención. El Elementary Treatise de P. G. Tait ayudó poderosamente a difundir su conocimiento en Inglaterra.
Cayley, Clifford y Tait hicieron avanzar el tema de algún modo con contribuciones originales.
Pero ha habido pocos progresos en los últimos años, salvo el realizado por Sylvester en la resolución de ecuaciones de cuaterniones, ni la aplicación de los cuaterniones a la física ha sido tan amplia como se predijo.
El cambio de notación realizado en Francia por Hoüel y por Laisant ha sido considerado en Inglaterra como un paso en falso, pero la verdadera causa de la falta de progreso es tal vez más profunda.
Existe de hecho una gran duda sobre si el producto cuaterniónico puede reclamar un lugar necesario y fundamental en un sistema de análisis vectorial. Los físicos afirman que hay una pérdida de naturalidad al considerar que el cuadrado de un vector sea negativo.
Con el fin de satisfacer más adecuadamente sus necesidades, J. W. Gibbs, de la Universidad de Yale, y A. Macfarlane, de la Universidad de Texas, han sugerido cada uno un álgebra de vectores con una nueva notación.
Cada uno da una definición propia para el producto de dos vectores, pero de tal manera que el cuadrado de un vector sea positivo. Un tercer sistema de análisis vectorial ha sido utilizado por Oliver Heaviside en sus investigaciones eléctricas.
Hermann Grassmann (1809–1877) nació en Stettin, asistió a un gimnasio en su localidad natal (donde su padre era profesor de matemáticas y física) y estudió teología en Berlín durante tres años.
En 1834 sucedió a Steiner como profesor de matemáticas en una escuela industrial en Berlín, pero regresó a Stettin en 1836 para asumir las funciones de profesor de matemáticas, de ciencias y de religión en una escuela de allí.71
Hasta ese momento sus conocimientos de matemáticas se reducían prácticamente a lo que había aprendido de su padre, quien había escrito dos libros sobre "Raumlehre" y "Grössenlehre". Pero ahora conoció las obras de Lacroix,
Lagrange y Laplace. Notó que los resultados de Laplace podían alcanzarse de un modo más breve mediante algunas ideas nuevas expuestas en los libros de su padre, y procedió a elaborar este método abreviado y a aplicarlo en el estudio de las mareas. Fue conducido así a un nuevo análisis geométrico.
En 1840 había hecho un progreso considerable en su desarrollo, pero un nuevo libro de Schleiermacher lo arrastró de nuevo hacia la teología. En 1842 retomó la investigación matemática y, al convencerme plenamente —Nota del traductor: mantener en tercera persona— [convenciéndose plenamente] de la importancia de su nuevo análisis, decidió dedicarse a él. Se convirtió entonces en su ambición conseguir una cátedra de matemáticas en una universidad, pero nunca lo logró.
En 1844 apareció su gran obra clásica, la Lineale Ausdehnungslehre, que estaba llena de materia nueva y extraña, y era tan general, abstracta y anticuada en su modo de exposición, que difícilmente habría podido tener menor influencia en las matemáticas europeas durante sus primeros veinte años de haber sido publicada en China. Gauss, Grunert y
Möbius lo hojeó, lo alabó, pero se quejó de su extraña terminología y de su «philosophische Allgemeinheit». Ocho años después, se decía que Bretschneider de Gotha era el único hombre que lo había leído de cabo a rabo.
Un artículo en el Crelle's Journal, en el que Grassmann eclipsaba a los geómetras de aquella época al construir geométricamente, con la ayuda de su método, cualquier curva algebraica, volvió a pasar desapercibido. ¿Hemos de maravillarnos si Grassmann volcó su atención en otros temas, —a la filosofía de Schleiermacher, a la política, a la filología?
Aun así, sus artículos siguieron apareciendo en el Crelle's Journal, y en 1862 vio la luz la segunda parte de su Ausdehnungslehre. Pretendía mostrar, mejor que la primera parte, el amplio alcance de la Ausdehnungslehre, al considerar no solo aplicaciones geométricas, sino al tratar también sobre funciones algebraicas, series infinitas y el cálculo diferencial e integral.
Pero la segunda parte no fue más apreciada que la primera. A la edad de cincuenta y tres años, este hombre maravilloso, con el corazón apesadumbrado, abandonó las matemáticas y dirigió sus energías al estudio del sánscrito, y logró en la filología resultados que fueron mejor apreciados y que compiten en esplendor con los de las matemáticas.
Comunes a la Ausdehnungslehre y a los cuaterniones son la adición geométrica, la función de dos vectores representada en los cuaterniones por y , y las funciones vectoriales lineales.
El cuaternión es exclusivo de Hamilton, mientras que en Grassmann encontramos, además del álgebra de vectores, un álgebra geométrica de amplia aplicación y que se asemeja al Barycentrische de Möbius
Cálculo, en el que el punto es el elemento fundamental. Grassmann desarrolló la idea del "producto externo", el "producto interno" y el "producto abierto". A este último lo llamamos hoy matriz.
Su Ausdehnungslehre tiene una extensión muy grande, sin limitación a ningún número particular de dimensiones. Solo en años recientes se ha empezado a apreciar la maravillosa riqueza de sus descubrimientos.
Una segunda edición de la Ausdehnungslehre de 1844 se imprimió en 1877. C. S. Peirce dio una representación del sistema de Grassmann en la notación lógica, y E. W. Hyde, de la Universidad de Cincinnati, escribió el primer libro de texto sobre el cálculo de Grassmann en idioma inglés.
Descubrimientos de menor valor, que en parte cubrieron los de Grassmann y Hamilton, fueron hechos por Saint-Venant (1797-1886), quien describió la multiplicación de vectores, y la suma de vectores y áreas orientadas; por Cauchy, cuyas "clefs algébriques" eran unidades sujetas a la multiplicación combinatoria, y que fueron aplicadas por el autor a la teoría de la eliminación del mismo modo que lo había hecho anteriormente Grassmann; por Justus Bellavitis (1803-1880), quien publicó en 1835 y 1837 en los Annali delle Scienze su cálculo de equipolencias.
Bellavitis, profesor en Padua durante muchos años, fue un matemático autodidacta de gran talento, que a los treinta y ocho años abandonó un cargo municipal en su localidad natal, Bassano, para poder dedicar su tiempo a la ciencia.65
La primera impresión de las ideas de Grassmann se manifiesta en los escritos de Hermann Hankel (1839–1873), quien publicó en
1867 sus Vorlesungen über die Complexen Zahlen. Hankel, entonces docente en Leipzig, había estado en correspondencia con Grassmann. Los «números alternantes» de Hankel están sujetos a su ley de multiplicación combinatoria.
Al considerar los fundamentos del álgebra, Hankel afirma el principio de la permanencia de las leyes formales enunciado previamente de forma incompleta por Peacock. Hankel fue un atento estudioso de la historia de las matemáticas y dejó una obra inconclusa sobre la materia. Antes de su muerte fue profesor en Tübingen. Su Vorlesungen über die Complexen Zahlen fue al principio poco leída, y debemos recurrir a Victor Schlegel, de Hagen, como el intérprete exitoso de Grassmann.
Schlegel was at one time a young colleague of Grassmann at the Marienstifts-Gymnasium in Stettin. Encouraged by Clebsch, Schlegel wrote a System der Raumlehre which explained the essential conceptions and operations of the Ausdehnungslehre.
El álgebra múltiple recibió un poderoso impulso gracias a Peirce, cuya teoría no es geométrica, como lo son las de Hamilton y Grassmann.
Benjamin Peirce (1809–1880) nació en Salem, Mass., y se graduó en el Harvard College, habiendo llevado como estudiante universitario el estudio de las matemáticas mucho más allá de los límites del plan de estudios de la universidad.2
Cuando Bowditch preparaba su traducción y comentario de la Mécanique Céleste, el joven Peirce ayudó en la lectura de las pruebas de imprenta. Fue nombrado profesor en Harvard en 1833, puesto que conservó hasta su muerte.
Durante algunos años estuvo a cargo del Nautical Almanac y fue superintendente de la Costa de los Estados Unidos (United States Coast Survey). Publicó una serie de libros de texto universitarios sobre matemáticas, una Analytical Mechanics (1855) y calculó, junto con Sears C. Walker de Washington, la órbita de Neptuno.
Profundas son sus investigaciones sobre el Álgebra Lineal Asociativa. El primero de varios artículos sobre el tema fue leído en la primera reunión de la Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia en 1864. En 1870 se distribuyeron copias litografiadas de una memoria entre amigos, pero tan pequeño pareció ser el interés despertado por este tema que la memoria no se imprimió hasta 1881 (Am. Jour. Math., vol. IV, n.º 2).
Peirce elabora las tablas de multiplicación, primero de álgebras simples, luego de álgebras dobles, y así sucesivamente hasta las séxtuplas, haciendo un total de 162 álgebras, cuya posibilidad demuestra a partir de la consideración de símbolos , , etc., que son funciones lineales de un número determinado de letras o unidades , , , , etc., con coeficientes que son magnitudes analíticas ordinarias, reales o imaginarias —siendo las letras , , etc., tales que cada combinación binaria , , , etc., es igual a una función lineal de las letras, pero bajo la restricción de satisfacer la ley asociativa.56
Charles S. Peirce, hijo de Benjamin Peirce, y uno de los escritores más destacados sobre lógica matemática, demostró que estas álgebras eran todas formas defectuosas de álgebras cuadradas que él había descubierto previamente mediante análisis lógico, y para las cuales había ideado una simple notación.
De estas álgebras cuadradas, los cuaterniones son un ejemplo sencillo; los noniones son otro. C. S. Peirce demostró que de todas las álgebras asociativas lineales solo hay tres en las que la división es inequívoca. Estas son el álgebra simple ordinaria, el álgebra doble ordinaria y los cuaterniones, de los cuales se excluye el escalar imaginario.
Demostró que las álgebras de su padre son operacionales y matriculares. Las conferencias sobre álgebra múltiple fueron impartidas por J. J. Sylvester en la Johns Hopkins
University, y publicados en varias revistas. Tratan principalmente sobre el álgebra de matrices.
La teoría de matrices fue desarrollada ya en 1858 por Cayley en una importante memoria que, en opinión de Sylvester, inauguró el reinado del Álgebra Segunda. Clifford, Sylvester, H. Taber,
C. H. Chapman, llevó las investigaciones mucho más lejos. El creador de las matrices es en realidad Hamilton, pero su teoría, publicada en sus Lectures on Quaternions, es menos general que la de Cayley. Este último no hace ninguna referencia a Hamilton.
La teoría de los determinantes[]73 fue estudiada por Hoëné Wronski en Italia y J. Binet en Francia; pero se vieron adelantados por el gran maestro de esta materia, Cauchy. En un artículo (Jour.
de l'ecole Polyt., IX., 16) Cauchy developed several general theorems. He introduced the name determinant, a term previously used by Gauss in the functions considered by him.
En 1826 Jacobi comenzó a usar este cálculo y dio una brillante demostración de su poder. En 1841 escribió extensas memorias sobre determinantes en el Crelle's Journal, lo que hizo que la teoría fuera fácilmente accesible.
En Inglaterra, el estudio de las transformaciones lineales de cúanticas dio un fuerte impulso. Cayley desarrolló los determinantes sesgados y los pfaffianos, e introdujo el uso de los corchetes de determinantes, o el par familiar de líneas verticales.
Investigaciones más recientes sobre determinantes pertenecen a formas especiales.
- Los "continuantes" se deben a Sylvester;
- los "alternantes", originados por Cauchy, han sido desarrollados por Jacobi, N. Trudi,
H. Nägelbach y G. Garbieri, "determinantes axisimétricos",
primero utilizado por Jacobi, han sido estudiados por V. A. Lebesgue,
Sylvester y Hesse; los «circulantes» se deben a E. Catalan de
Lieja, W. Spottiswoode (1825–1883), J. W. L. Glaisher y
R. F. Scott; a «determinantes centrosimétricos» estamos endeudados con G. Zehfuss. E. B. Christoffel de Estrasburgo y
G. Frobenius descubrió las propiedades de los "wronskianos", utilizados por primera vez por Wronski. V. Nachreiner y S. Günther, ambos de
Munich, pointed out relations between determinants and continued fractions; Scott uses Hankel's alternate numbers in his treatise. Text-books on determinants were written by Spottiswoode (1851), Brioschi (1854), Baltzer (1857), Günther
(1875), Dostor (1877), Scott (1880), Muir (1882), Hanus
El álgebra superior moderna se ocupa especialmente de la teoría de las transformaciones lineales. Su desarrollo es principalmente obra de Cayley y Sylvester.
Arthur Cayley, nacido en Richmond, Surrey, en 1821, se educó en el Trinity College de Cambridge.74 Se graduó como Senior Wrangler en 1842. Luego dedicó unos años al estudio y la práctica del derecho. A raíz de la creación de la cátedra Sadlerian en Cambridge, aceptó la oferta de ocupar dicho puesto, renunciando así a una profesión que prometía riqueza a cambio de una retribución muy modesta, pero que le permitiría dedicar todo su tiempo a las matemáticas.
Cayley comenzó sus publicaciones matemáticas en el Cambridge Mathematical Journal mientras aún era estudiante de grado. Algunos de sus descubrimientos más brillantes se produjeron durante su etapa de ejercicio en la abogacía. Apenas hay ningún tema en las matemáticas puras que el genio de Cayley no haya enriquecido, pero lo más importante es su creación de una nueva rama del análisis mediante su teoría de los invariantes.
Los gérmenes del principio de los invariantes se encuentran en los escritos de Lagrange, Gauss y, particularmente, de Boole, quien demostró en 1841 que la invarianza es una propiedad de los discriminantes en general, y la aplicó a la teoría de la sustitución ortogonal.
Cayley se propuso el problema de determinar a priori qué funciones de los coeficientes de una ecuación dada poseen esta propiedad de invarianza y descubrió, para empezar, en 1845, que los llamados «hiperdeterminantes» la poseían.
Boole hizo varios descubrimientos adicionales. Luego Sylvester comenzó sus artículos en el Cambridge and Dublin Mathematical Journal sobre el cálculo de formas.
Después de esto, los descubrimientos se sucedieron rápidamente. En esa época, Cayley y Sylvester residían ambos en Londres y se estimulaban mutuamente mediante frecuentes comunicaciones orales. A menudo ha sido difícil determinar cuánto le pertenece realmente a cada uno.
James Joseph Sylvester nació en Londres en 1814 y se educó en el St. John's College de Cambridge. Obtuvo el puesto de Second Wrangler en 1837. Su origen judío le impidió obtener el título universitario.
En 1846 ingresó como estudiante en el Inner Temple y fue admitido en el colegio de abogados en 1850. Fue profesor de filosofía natural en el University College de Londres; después, sucesivamente, profesor de matemáticas en la Universidad de Virginia, en la Real Academia Militar de Woolwich y en la Universidad Johns Hopkins de Baltimore, y es, desde 1883, profesor de geometría en Oxford.
Su primer artículo impreso trató sobre la teoría óptica de Fresnel, en 1837. A este le siguieron sus investigaciones sobre invariantes, la teoría de ecuaciones, la teoría de particiones, el álgebra múltiple, la teoría de números y otros temas mencionados en otros lugares.
Hacia 1874 participó en el desarrollo de la teoría geométrica de los mecanismos de articulación, originada por el hermoso descubrimiento de A. Peaucellier, Capitaine du Génie à Nice (publicado en
Nouvelles Annales, 1864 y 1873), y fue objeto de un detenido estudio por parte de A. B. Kempe.
A Sylvester se le atribuye la formulación general de la teoría de los contravariantes, el descubrimiento de las ecuaciones diferenciales parciales que satisfacen los invariantes y covariantes de los quantics binarios, y el tema de los concomitantes mixtos.
En el American Journal of Mathematics se encuentran memorias sobre quantics binarios y ternarios, elaboradas en parte con la ayuda de F. Franklin, ahora profesor en la Johns
Universidad de Hopkins. En Oxford, Sylvester ha abierto un nuevo tema, la teoría de los reciprocantes, que trata de las funciones de una variable dependiente y de las funciones de sus coeficientes diferenciales con respecto a , que permanecen inalteradas por el intercambio de e .
Esta teoría es más general que una sobre invariantes diferenciales de Halphen (1878), y ha sido desarrollada además por J. Hammond de Oxford, McMahon de Woolwich, A. R. Forsyth de Cambridge, y otros.
Sylvester reivindica juguetonamente el título de Adán Matemático, por los muchos nombres que ha introducido en las matemáticas. Así, los términos invariante, discriminante, hessiano,
Jacobiano, son suyos.
La gran teoría de los invariantes, desarrollada en Inglaterra principalmente por Cayley y Sylvester, pasó a ser estudiada con ahínco en Alemania, Francia e Italia.
Uno de los primeros en este campo fue Siegfried Heinrich Aronhold (1819–1884), quien demostró la existencia de los invariantes, y , de la cúbica ternaria.
Hermite descubrió los evectantes y el teorema de reciprocidad que lleva su nombre.
Paul Gordan demostró, con la ayuda de métodos simbólicos, que el número de formas distintas para un cúntico binario es finito.
Clebsch demostró que esto es verdad para cúnticos con cualquier número de variables.
Una prueba mucho más simple de esto fue dada en 1891 por David Hilbert, de Königsberg.
En Italia, F. Brioschi de Milán y Faà de Bruno
(1825–1888) contribuyó a la teoría de los invariantes, escribiendo este último un libro de texto sobre formas binarias, que se sitúa a la altura del tratado de Salmon y de los de Clebsch y Gordan. Entre otros escritores sobre invariantes se encuentra E. B. Christoffel,
Wilhelm Fiedler, P. A. McMahon, J. W. L. Glaisher de
Cambridge, Emory McClintock de Nueva York.
McMahon descubrió que la teoría de los semiinvariantes forma parte de la de las funciones simétricas. El álgebra superior moderna se ha extendido y se ha conectado indisolublemente con otras varias ramas de las matemáticas: geometría, cálculo de variaciones, mecánica.
Clebsch extendió la teoría de las formas binarias a las ternarias, y aplicó los resultados a la geometría. Clebsch, Klein,
Weierstrass, Burckhardt y Bianchi han utilizado la teoría de los invariantes en las funciones hiperelípticas y abelianas.
En la teoría de ecuaciones, Lagrange, Argand y Gauss proporcionaron la demostración del importante teorema de que toda ecuación algebraica tiene una raíz real o compleja. Abel demostró rigurosamente que la ecuación algebraica general de quinto grado o de grados superiores no puede resolverse mediante radicales (Crelle, I., 1826). Wantzel aportó una modificación de la demostración de Abel.
Antes de Abel, un médico italiano, Paolo Ruffini (1765–1822), había impreso demostraciones de la insolubilidad, las cuales fueron criticadas por su compatriota Malfatti. Aunque no concluyentes, los artículos de Ruffini son notables por contener anticipaciones de la teoría de grupos de Cauchy.76
Hermite dio una solución trascendental de la ecuación quíntica que involucra integrales elípticas (Compt. Rend., 1858,
1865, 1866). Tras la primera publicación de Hermite, Kronecker, en
1858, en una carta a Hermite, dio una segunda solución en la cual se obtenía un resolvente simple de sexto grado.
Jerrard, en sus Mathematical Researches (1832–1835), redujo la ecuación de quinto grado a la forma trinomio mediante una extensión del método de Tschirnhausen. Esta importante reducción ya había sido efectuada en 1786 por E. S. Bring, un sueco, y dada a conocer en una publicación de la Universidad de Lund.
Jerrard, al igual que Tschirnhausen, creía que su método proporcionaba una solución algebraica general para ecuaciones de cualquier grado. En 1836, William R. Hamilton elaboró un informe sobre la validez del método de Jerrard y demostró que, mediante su proceso, la quíntica podía transformarse en cualquiera de las cuatro formas trinomias. Hamilton definió los límites de su aplicabilidad a ecuaciones superiores.
Sylvester investigó esta cuestión: ¿Cuál es el grado más bajo que puede tener una ecuación para que admita ser privada de términos consecutivos con la ayuda de ecuaciones que no superen el grado ? Llevó la investigación hasta y fue conducido a una serie de números que denominó "números de Hamilton".
Una transformación de igual importancia que la de Jerrard es la de Sylvester, quien expresó la quíntica como la suma de tres quintas potencias. Los covariantes e invariantes de las ecuaciones superiores se han estudiado mucho en los últimos años.
La demostración de Abel de que las ecuaciones de grado superior no siempre pueden resolverse algebraicamente condujo a la investigación de qué ecuaciones de un grado dado pueden resolverse por radicales. Tales ecuaciones son las discutidas por Gauss al considerar la división del círculo.
Abel dio un paso más al demostrar que una ecuación irreducible siempre puede resolverse por radicales si, de dos de sus raíces, una puede expresarse racionalmente en función de la otra, siempre que el grado de la ecuación sea primo; si no es primo, entonces la solución depende de la de ecuaciones de menor grado.
A través de consideraciones geométricas, Hesse dio con ecuaciones algebraicamente solubles de noveno grado, no incluidas en los grupos anteriores. El tema experimentó un gran avance en París de la mano del joven Evariste Galois (nacido en 1811; muerto en duelo en 1832), quien introdujo la noción de grupo de sustituciones. A él se deben también algunos resultados valiosos en relación con otro conjunto de ecuaciones que se presentan en la teoría de las funciones elípticas, a saber, las ecuaciones modulares.
Los trabajos de Galois dieron origen a la importante teoría de las sustituciones, que ha sido enormemente desarrollada por C. Jordan de París, J. A. Serret (1819–1885)
de la Sorbona en París, L. Kronecker (1823–1891) de
- Berlin, Klein de Gotinga, M. Nöther de Erlangen, C. Hermite de París, A. Capelli de Nápoles, L. Sylow de Friedrichshald,
E. Netto de Giessen. El libro de Netto, la Substitutionstheorie, ha sido traducido al inglés por F. N. Cole, de la Universidad de Míchigan, quien contribuyó a la teoría. Un grupo simple de 504 sustituciones de nueve letras, descubierto por Cole, ha sido demostrado por E. H. Moore, de la Universidad de
Chicago ha de pertenecer a un sistema doblemente infinito de grupos simples.
La teoría de sustituciones tiene aplicaciones importantes en la teoría de ecuaciones diferenciales.
Kronecker publicó, en 1882, sus Grundzüge einer Arithmetischen Theorie der Algebraischen Grössen.
Desde Fourier y Budan, la solución de las ecuaciones numéricas ha sido impulsada por W. G. Horner, de Bath, quien dio un método mejorado de aproximación (Philosophical Transactions, 1819).
Jacques Charles François Sturm (1803–1855), natural de Ginebra (Suiza) y sucesor de Poisson en la cátedra de mecánica de la Sorbona, publicó en 1829 su célebre teorema que determina el número y la ubicación de las raíces de una ecuación comprendidas entre límites dados.
Sturm nos cuenta que su teorema se le apareció de repente en medio de algunas investigaciones mecánicas relacionadas con el movimiento de un péndulo compuesto.77
Este teorema, junto con el método de Horner, ofrece medios seguros y expeditivos para hallar las raíces reales de una ecuación numérica.
Las funciones simétricas de las sumas de las potencias de las raíces de una ecuación, estudiadas por Newton y Waring, fueron consideradas más recientemente por Gauss, Cayley, Sylvester, Brioschi. Cayley da reglas para el "peso" y el "orden" de las funciones simétricas.
La teoría de la eliminación experimentó un gran avance gracias a Sylvester,
Cayley, Salmon, Jacobi, Hesse, Cauchy, Brioschi y
Gordan. Sylvester dio el método dialítico (Philosophical)
Magazine, 1840), y en 1852 estableció un teorema relacionado con la expresión de un eliminante como determinante. Cayley formuló un nuevo planteamiento del método de eliminación de Bézout y estableció una teoría general de la eliminación (1852).