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108. Cuando un binomio es la diferencia de dos cuadrados.

Descomponer en factores $x^{2} - y^{2}$ .

lint Puesto que, (x + y)(x - y) = x^2 - y^2, los factores de $x^{2} - y^{2}$ son $x + y$ y $x - y$ .

encontrar los factores de un binomio cuando es una diferencia de dos cuadrados, por lo tanto,

Toma la raíz cuadrada del primer término y la raíz cuadrada del segundo término.

La suma de estas raíces formará el primer factor;

La diferencia de estas raíces formará el segundo factor.

La raíz cuadrada de un monomio es uno de los dos factores iguales del monomio.

Por tanto, $9 x^{8} y^{2} = 3 x^{4} y \times 3 x^{4} y$ ; y $3 x^{4} y$ es la raíz cuadrada de $9 x^{8} y^{2}$ .

La regla para extraer la raíz cuadrada de un monomio, cuando es un cuadrado perfecto, es la siguiente:

Extraiga la raíz cuadrada del coeficiente, y divida el índice de cada letra entre $2$ .

Ejercicio 33.

Descomponer en factores:

$4 - x^{2}$ .

$9 - x^{2}$ .

$9 a^{2} - x^{2}$ .

$25 - x^{2}$ .

$25 x^{2} - a^{2}$ .

$16 a^{4} - 121$ .

$121 a^{4} - 16$ .

$4 a^{2} b^{2} - c^{2} d^{2}$ .

$1 - x^{2} y^{2}$ .

$81 x^{2} y^{2} - 1$ .

$49 a^{2} b^{2} - 4$ .

$25 a^{4} b^{4} - 9$ .

$9 a^{8} b^{6} - 16 x^{10}$ .

$144 x^{2} y^{2} - 1$ .

$100 x^{6} y^{2} z^{4} - 1$ .

$1 - 121 a^{4} b^{8} c^{12}$ .

$25 a^{2} - 64 x^{6} y^{6}$ .

$16 x^{16} - 25 y^{18}$ .

Halle, descomponiendo en factores, el valor de:

$(375)^{2} - (225)^{2}$ .

$(579)^{2} - (559)^{2}$ .

$(873)^{2} - (173)^{2}$ .

$(101)^{2} - (99)^{2}$ .

$(7244)^{2} - (7242)^{2}$ .

$(3781)^{2} - (219)^{2}$ .

Si los cuadrados son expresiones compuestas, se puede emplear el mismo método.

Descomponer en factores $(x + 3 y)^{2} - 16 a^{2}$ .

La raíz cuadrada del primer término es $x + 3 y$ .

La raíz cuadrada del segundo término es $4 a$ .

La suma de estas raíces es $x + 3 y - 4 a$ .

La diferencia de estas raíces es $x + 3 y - 4 a$ .

Por lo tanto, $(x + 3 y)^{2} - 16 a^{2} = (x + 3 y + 4 a) (x + 3 y - 4 a)$ .

Factoriza $a^{2} - (3 b - 5 c)^{2}$ .

Las raíces cuadradas de los términos son $a$ y $(3 b - 5 c)$ .

La suma de estas raíces es $a + (3 b - 5 c)$ , o $a + 3 b - 5 c$ .

La diferencia de estas raíces es $a - (3 b - 5 c)$ , o $a - 3 b + 5 c$ .

Por lo tanto $a^{2} - (3 b - 5 c)^{2} = (a + 3 b - 5 c) (a - 3 b + 5 c)$ .

Ejercicio 34.

Descomponer en factores:

$(x + y)^{2} - z^{2}$ .

$(x - y)^{2} - z^{2}$ .

$z^{2} - (x + y)^{2}$ .

$z^{2} - (x - y)^{2}$ .

$(x + y)^{2} - 4 z^{2}$ .

$4 z^{2} - (x - y)^{2}$ .

$(a + 2 b)^{2} - c^{2}$ .

$(a - 2 b)^{2} - c^{2}$ .

$c^{2} - (a - 2 b)^{2}$ .

$(2 a + 5 c)^{2} - 1$ .

$1 - (2 a - 5 c)^{2}$ .

$(a + 3 b)^{2} - 16 c^{2}$ .

$(a - 5 b)^{2} - 9 c^{2}$ .

$16 c^{2} - (a - 5 b)^{2}$ .

$4 a^{2} - (x + y)^{2}$ .

$b^{2} - (a - 2 x)^{2}$ .

$4 z^{2} - (x + 3 y)^{2}$ .

$9 - (3 a - 7 b)^{2}$ .

$16 a^{2} - (2 b + 5 c)^{2}$ .

$25 c^{2} - (3 a - 2 x)^{2}$ .

$9 a^{2} - (3 b - 5 c)^{2}$ .

$16 y^{2} - (a - 3 c)^{2}$ .

$49 m^{2} - (p + 2 q)^{2}$ .

$36 n^{2} - (d - 2 c)^{2}$ .

$(x + y)^{2} - (a + b)^{2}$ .

$(x - y)^{2} - (a - b)^{2}$ .

$(2 x + 3)^{2} - (2 a + b)^{2}$ .

$(b - c)^{2} - (a - 2 x)^{2}$ .

$(3 x - y)^{2} - (2 a - b)^{2}$ .

$(x - 3 y)^{2} - (a + 2 b)^{2}$ .

$(x + 2 y)^{2} - (a + 3 b)^{2}$ .

$(x + y)^{2} - (a - z)^{2}$ .