Multiplicación y División de Fracciones

Halla el producto de ${\displaystyle \frac{a}{b}}\times {\displaystyle \frac{c}{d}}$.

Sea ${\displaystyle \frac{a}{b}}=x$, y ${\displaystyle \frac{c}{d}}=y$.

Then $a=bx$, and $c=dy$.

El producto de estas dos ecuaciones es $ac=bdxy$. [1]
Pero $ab\times cd=xy$. [1]
Por lo tanto, $ab\times cd=\frac{ac}{bd}$.

encuentra el producto de dos fracciones, por lo tanto,

Halla el producto de los numeradores para el numerador requerido, y el producto de los denominadores para el denominador requerido.

De igual manera, $\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}\times \frac{e}{f}=\frac{ac}{bd}\times \frac{e}{f}=\frac{ace}{bdf}.$

136. Recíprocos.

Si el producto de dos números es igual a $1$, cada uno de los números se llama el recíproco del otro.

El recíproco de ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ es ${\displaystyle \frac{b}{a}}$, ya que ${\displaystyle \frac{b}{a}}\times {\displaystyle \frac{a}{b}}={\displaystyle \frac{ba}{ab}}=1$.

El recíproco de una fracción, por lo tanto, es la fracción invertida.

Como ${\displaystyle \frac{a}{b}}÷{\displaystyle \frac{a}{b}}=1$, y ${\displaystyle \frac{b}{a}}\times {\displaystyle \frac{a}{b}}=1$, se deduce que

Dividir entre una fracción es lo mismo que multiplicar por su recíproco.

Dividir por una fracción, por lo tanto,

Invierte el divisor y multiplica.

Toda expresión mixta debe reducirse primero a una fracción, y toda expresión entera debe escribirse como una fracción que tenga a $1$ por denominador.

Ambos términos de cada fracción deben expresarse en sus factores primos, y si un factor es común a un numerador y a un denominador, debe cancelarse, ya que la cancelación de un factor común antes de la multiplicación es evidentemente equivalente a cancelarlo después de la multiplicación.

1. Encuentra el producto de ${\displaystyle \frac{3a^{2}b}{2x^{2}y}}\times {\displaystyle \frac{6x{y}^2}{7ab}}\times {\displaystyle \frac{7abc}{9a^{2}b{y}^2}}$.

$\frac{3a^{2}b}{2x^{2}y}\times \frac{6x{y}^2}{7ab}\times \frac{7abc}{9a^{2}b{y}^2}=\frac{3\times 6\times 7a^3{b}^{2}cx{y}^2}{2\times 7\times 9a^3{b}^2{x}^2{y}^3}=\frac{c}{xy}.$

2. Halla el producto de ${\displaystyle \frac{ab-b^2}{a+b}}\times {\displaystyle \frac{ab+b^2}{a^2-b^2}}$. $\frac{ab-b^2}{a+b}\times \frac{ab+b^2}{a^2-b^2}=\frac{b(a-b)}{(a+b)}\times \frac{b(a+b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{b^2}{a+b}.$

3. Halla el cociente de ${\displaystyle \frac{ab}{(a-b{)}^2}}÷{\displaystyle \frac{ac}{a^2-b^2}}$.

$$\begin{gathered} \frac{ab}{(a-b{)}^2}÷\frac{ac}{a^2-b^2}\&=\frac{ab}{(a-b)(a-b)}\times \frac{(a-b)(a+b)}{ac} \\ \&=\frac{b(a+b)}{c(a-b)}. \end{gathered}$$

4. Encuentra el resultado de ${\displaystyle \frac{1}{x}}\times {\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2-4x-5}}÷{\displaystyle \frac{x^2+2x-3}{x^2-25}}$.

$$\begin{gathered} \&\frac{1}{x}\times \frac{x^2-1}{x^2-4x-5}÷\frac{x^2+2x-3}{x^2-25} \\ \&=\frac{1}{x}\times \frac{x^2-1}{x^2-4x-5}\times \frac{x^2-25}{x^2+2x-3} \\ \&=\frac{1}{x}\times \frac{(x-1)(x+1)}{(x-5)(x+1)}\times \frac{(x-5)(x+5)}{(x+3)(x-1)} \\ \&=\frac{x+5}{x(x+3)}. \end{gathered}$$

Ejercicio 49.

Expresa en su forma más simple:

1. ${\displaystyle \frac{15a^2}{7b^2}}\times {\displaystyle \frac{28ab}{9a^{3}c}}$.

2. ${\displaystyle \frac{3x^2{y}^2{z}^3}{4a^2{b}^2{c}^2}}\times {\displaystyle \frac{8a^3{b}^2{c}^2}{9x^{2}y{z}^3}}$.

3. ${\displaystyle \frac{5m^2{n}^2{p}^4}{3x^{2}y{z}^3}}\times {\displaystyle \frac{21xy{z}^2}{20m^2{n}^2{p}^2}}$.

4. ${\displaystyle \frac{16a^4{b}^2{c}^3}{21m^2{x}^3{y}^4}}\times {\displaystyle \frac{3m^3{x}^3{y}^4}{8a^2{b}^2{c}^2}}$.

5. ${\displaystyle \frac{2a}{bc}}\times {\displaystyle \frac{3b}{ac}}\times {\displaystyle \frac{5c}{ab}}$.

6. ${\displaystyle \frac{2a^3}{3bc}}\times {\displaystyle \frac{3b^3}{5ac}}\times {\displaystyle \frac{5c^3}{2ab}}$.

7. ${\displaystyle \frac{5ab{c}^3}{3x^2}}÷{\displaystyle \frac{10a{c}^3}{6b{x}^2}}$.

8. ${\displaystyle \frac{x^2-a^2}{x^2-4a^2}}\times {\displaystyle \frac{x+2a}{x-a}}$.

9. ${\displaystyle \frac{x^2{y}^2+3xy}{4c^2-1}}\times {\displaystyle \frac{2c+1}{xy+3}}$.

10. ${\displaystyle \frac{a^2-100}{a^2-9}}\times {\displaystyle \frac{a-3}{a-10}}$.

11. ${\displaystyle \frac{9x^2-4y^2}{x^2-4}}\times {\displaystyle \frac{x+2}{3x-2y}}$.

12. ${\displaystyle \frac{25a^2-b^2}{16a^2-9b^2}}÷{\displaystyle \frac{5a-b}{4a-3b}}$.

13. ${\displaystyle \frac{x^2-49}{(a+b{)}^2-c^2}}÷{\displaystyle \frac{x+7}{(a+b)-c}}$.

14. ${\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x^2-25}}÷{\displaystyle \frac{x+1}{x^2+5x}}$.

15. ${\displaystyle \frac{a^2+3a+2}{a^2+5a+6}}\times {\displaystyle \frac{a^2+7a+12}{a^2+9a+20}}$.

16. ${\displaystyle \frac{y^2-y-30}{y^2-36}}\times {\displaystyle \frac{y^2-y-2}{y^2+3y-10}}\times {\displaystyle \frac{y^2+6y}{y^2+y}}$.

17. ${\displaystyle \frac{x^2-2x+1}{x^2-y^2}}\times {\displaystyle \frac{x^2+2xy+y^2}{x-1}}÷{\displaystyle \frac{x^2-1}{x^2-xy}}$.

18. ${\displaystyle \frac{a^2-b^2}{a^2-3ab+2b^2}}\times {\displaystyle \frac{ab-2b^2}{a^2+ab}}÷{\displaystyle \frac{(a-b{)}^2}{a(a-b)}}$.

19. ${\displaystyle \frac{(a+b{)}^2-c^2}{a^2+ab-ac}}\times {\displaystyle \frac{a^2{b}^2{c}^2}{a^2+ab+ac}}÷{\displaystyle \frac{b^2{c}^2}{abc}}$.

20. ${\displaystyle \frac{x^2+7xy+10y^2}{x^2+6xy+5y^2}}\times {\displaystyle \frac{x+1}{x^2+4x+4}}÷{\displaystyle \frac{1}{x+2}}$.

138. Fracciones complejas.

Una fracción compleja es aquella que tiene una fracción en el numerador, o en el denominador, o en ambos.

El modo más breve de reducir a su forma más simple una fracción compleja es multiplicar ambos términos de la fracción por el m. c. m. de las fracciones contenidas en el numerador y el denominador.

1. Simplifica ${\displaystyle \frac{3x}{x-\frac{1}{4}}}$.

Multiplicamos ambos términos por $4$, y obtenemos $\frac{12x}{4x-1}.$

2. Simplifica ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a+x}{a-x}}-{\displaystyle \frac{a-x}{a+x}}}{{\displaystyle \frac{a+x}{a-x}}+{\displaystyle \frac{a-x}{a+x}}}}$.

El m. c. d. de las fracciones en el numerador y el denominador es $(a-x)(a+x).$

Multiplica por $(a-x)(a+x)$, y el resultado es

$$\begin{gathered} \&\frac{(a+x{)}^2-(a-x{)}^2}{(a+x{)}^2+(a-x{)}^2} \\ \&=\frac{(a^2+2ax+x^2)-(a^2-2ax+x^2)}{(a^2+2ax+x^2)+(a^2-2ax+x^2)} \\ \&=\frac{a^2+2ax+x^2-a^2+2ax-x^2}{a^2+2ax+x^2+a^2-2ax+x^2} \\ \&=\frac{4ax}{2a^2+2x^2} \\ \&=\frac{2ax}{a^2+x^2}. \end{gathered}$$

Ejercicio 50.

Reducir a la forma más simple:

1. ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{x}{b}}+{\displaystyle \frac{y}{b}}}{{\displaystyle \frac{z}{b}}}}$.

2. ${\displaystyle \frac{x+{\displaystyle \frac{y}{4}}}{x-{\displaystyle \frac{y}{3}}}}$.

3. ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{ab}{7}}-3d}{3c-{\displaystyle \frac{ab}{d}}}}$.

4. ${\displaystyle \frac{1+{\displaystyle \frac{1}{x+1}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{x-1}}}}$.

5. ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2m+x}{m+x}}-1}{1-{\displaystyle \frac{x}{m+x}}}}$.

6. ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{x+y}{x^2-y^2}}}{{\displaystyle \frac{x-y}{x+y}}}}$.

7. ${\displaystyle \frac{a+{\displaystyle \frac{ab}{a-b}}}{a-{\displaystyle \frac{ab}{a+b}}}}$.

8. ${\displaystyle \frac{9a^2-64}{a-1-{\displaystyle \frac{a+4}{4}}}}$.

9. ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}}{{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{y}}}}$.

10. ${\displaystyle \frac{x+3+{\displaystyle \frac{2}{x}}}{1+{\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x^2}}}}$.

11. ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}+{\displaystyle \frac{1}{x^3}}}{{\displaystyle \frac{(1-x{)}^2}{x^2}}}}$.

12. ${\displaystyle \frac{x^2-x-6}{1-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}}}$.

13. ${\displaystyle \frac{a^2-a+{\displaystyle \frac{a-1}{a+1}}}{a+{\displaystyle \frac{1}{a+1}}}}$.

14. ${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{4a(a-x)}{a^2-x^2}}}{{\displaystyle \frac{a-x}{a+x}}}}$.