115. Cuando un trinomio tiene la forma $x^2 + ax + b$.

Donde $a$ es la suma algebraica de dos números, y es positiva o negativa; y $b$ es el producto de estos dos números, y es positivo o negativo.

los factores de $x^{2} + 8 x + 15$ son $x + 5$ y $x + 3$ .

Los factores de $x^{2} + 2 x - 15$ son $(x + 5)$ y $(x - 3)$ .

Por consiguiente, si un trinomio de la forma $x^{2} + a x + b$ es una expresión tal que puede descomponerse en dos factores binomios, es obvio que el primer término de cada factor será $x$ , y que los segundos términos de los factores serán dos números cuyo producto es $b$ , el último término del trinomio, y cuya suma algebraica es $a$ , el coeficiente de $x$ en el término central del trinomio.

Descomponer en factores $x^{2} + 11 x + 30$ .

Se nos pide hallar dos números cuyo producto sea $30$ y cuya suma sea $11$ .

Dos números cuyo producto es $30$ son $1$ y $30$ , $2$ y $15$ , $3$ y $10$ , $5$ y $6$ , y la suma de los dos últimos números es $11$ . Por lo tanto, $x^{2} + 11 x + 30 = (x + 5) (x + 6) .$

Descomponer en factores $x^{2} - 7 x + 12$ .

Se nos pide encontrar dos números cuyo producto sea $12$ y cuya suma algebraica sea $- 7$ .

Dado que el producto es $+ 12$ , los dos números son ambos positivos o ambos negativos, y dado que su suma es $- 7$ , deben ser ambos negativos.

Dos números negativos cuyo producto es $12$ son $- 12$ y $- 1$ , $- 6$ y $- 2$ , $- 4$ y $- 3$ , y la suma de los dos últimos números es $- 7$ . Por lo tanto, $x^{2} - 7 x + 12 = (x - 4) (x - 3) .$

Descomponer en factores $x^{2} + 2 x - 24$ .

Se nos pide encontrar dos números cuyo producto sea $- 24$ y cuya suma algebraica sea $2$ .

Dado que el producto es $- 24$ , uno de los números es positivo y el otro negativo, y dado que su suma es $+ 2$ , el número mayor es positivo.

Dos números cuyo producto es $- 24$ , y el mayor de ellos positivo, son $24$ y $- 1$ , $12$ y $- 2$ , $8$ y $- 3$ , $6$ y $- 4$ , y la suma de los dos últimos números es $+ 2$ . Por lo tanto, $x^{2} + 2 x - 24 = (x + 6) (x - 4) .$

Descomponer en factores $x^{2} - 3 x - 18$ .

Dado que el producto es $- 18$ , uno de los números es positivo y el otro negativo, y dado que su suma es $- 3$ , el número mayor es negativo.

Dos números cuyo producto es $- 18$ , y el número mayor es negativo, son $- 18$ y $1$ , $- 9$ y $2$ , $- 6$ y $3$ , y la suma de los dos últimos números es $- 3$ . De ahí que $x^{2} - 3 x - 18 = (x - 6) (x + 3) .$

Ejercicio 38.

Descomponer en factores:

$a^{2} + 5 a + 6$ .

$a^{2} - 5 a + 6$ .

$a^{2} + 6 a + 5$ .

$a^{2} - 6 a + 5$ .

$a^{2} + 4 a - 5$ .

$a^{2} - 4 a - 5$ .

$c^{2} - 9 c + 18$ .

$c^{2} + 9 c + 18$ .

$c^{2} + 3 c - 18$ .

$c^{2} - 3 c - 18$ .

$x^{2} + 9 x + 14$ .

$x^{2} - 9 x + 14$ .

$x^{2} - 5 x - 14$ .

$x^{2} - 9 x + 20$ .

$x^{2} - x - 20$ .

$x^{2} + x - 20$ .

$x^{2} - 10 x + 21$ .

$x^{2} - 4 x - 21$ .

$x^{2} + 4 x - 21$ .

$x^{2} - 15 x + 56$ .

$x^{2} - x - 56$ .

$x^{2} - 10 x + 9$ .

$x^{2} + 13 x + 30$ .

$x^{2} + 7 x - 30$ .

$x^{2} - 7 x - 30$ .

$a^{2} + a b - 6 b^{2}$ .

$a^{2} - a b - 6 b^{2}$ .

$a^{2} + 3 a b - 4 b^{2}$ .

$a^{2} - 3 a b - 4 b^{2}$ .

$a^{2} x^{2} - 2 a x - 63$ .

$a^{2} + 2 a x - 63 x^{2}$ .

$a^{2} - 9 a b + 20 b^{2}$ .

$x^{2} y^{2} - 19 x y z + 48 z^{2}$ .

$a^{2} b^{2} + 15 a b c + 44 c^{2}$ .

$x^{2} - 13 x y + 36 y^{2}$ .

$x^{2} + 19 x y + 84 y^{2}$ .

$a^{2} x^{2} - 23 a x y + 102 y^{2}$ .

$x^{4} - 9 x^{2} y^{2} + 20 y^{4}$ .

$a^{4} x^{4} - 24 a^{2} x^{2} y^{2} + 143 y^{4}$ .

$a^{6} b^{6} - 23 a^{3} b^{3} c^{2} + 132 c^{4}$ .

$a^{2} - 20 a b c - 96 b^{2} c^{2}$ .

$a^{2} - 4 a b c - 96 b^{2} c^{2}$ .

$a^{2} - 10 a b c - 96 b^{2} c^{2}$ .

$a^{2} + 29 a b c - 96 b^{2} c^{2}$ .

$a^{2} - 46 a b c - 96 b^{2} c^{2}$ .

$a^{2} + 49 a b c + 48 b^{2} c^{2}$ .

$x^{2} - 18 x y z - 243 y^{2} z^{2}$ .

$x^{2} y^{2} - x y z - 182 z^{2}$ .

Caso VII.

115. Cuando un trinomio tiene la forma $x^2 + ax + b$.

Ejercicio 38.

Ejercicio 39.