Caso IV.

111. Cuando un binomio es la diferencia de dos cubos.

lint Dado que $\frac{a^{3} - b^{3}}{a - b} = a^{2} + a b + b^{2}$ , los factores de $a^{3} - b^{3}$ son $a - b$ y $a^{2} + a b + b^{2}$ .

De igual manera podemos descomponer en factores cualquier expresión que pueda escribirse como la diferencia de dos cubos.

La regla para extraer la raíz cúbica de un monomio, cuando el monomio es un cubo perfecto, es,

Extraiga la raíz cúbica del coeficiente y divida el índice de cada letra por $3$ .

Descomponer en factores $8 a^{3} - 27 b^{6}$ .

Dado que $8 a^{3} = (2 a)^{3}$ y $27 b^{6} = (3 b^{2})^{3}$ , podemos escribir $8 a^{3} - 27 b^{6}$ como $(2 a)^{3} - (3 b^{2})^{3}$ .

Dado que $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , tenemos, sustituyendo $2 a$ por $a$ y $3 b^{2}$ por $b$ ,

$(2 a)^{3} - (3 b^{2})^{3} & = (2 a - 3 b^{2}) [(2 a)^{2} + 2 a \times 3 b^{2} + (3 b^{2})^{2}] & = (2 a - 3 b^{2}) (4 a^{2} + 6 a b^{2} + 9 b^{4}) .$

Descomponer en factores $64 x^{3} - 1$ .

$64 x^{3} - 1 & = (4 x)^{3} - 1 & = (4 x - 1) [(4 x)^{2} + 4 x + 1] & = (4 x - 1) (16 x^{2} + 4 x + 1) .$

encontrar los factores de un binomio cuando es una diferencia de dos cubos, por lo tanto,

Tome la diferencia de las raíces cúbicas de los términos para un factor, y la suma de los cuadrados de las raíces cúbicas de los términos más su producto para el otro factor.

Ejercicio 35.

Descomponer en factores:

$8 x^{3} - y^{3}$ .

$x^{3} - 1$ .

$x^{3} y^{3} - z^{3}$ .

$x^{3} - 64$ .

$125 a^{3} - b^{3}$ .

$a^{3} - 343$ .

$a^{3} b^{3} - 27 c^{3}$ .

$x^{3} y^{3} z^{3} - 8$ .

$8 a^{3} b^{3} - 27 y^{6}$ .

$64 x^{3} - y^{9}$ .

$27 a^{3} - 64 c^{6}$ .

$x^{3} y^{3} - 216 z^{3}$ .

$64 x^{3} - 729 y^{3}$ .

$27 a^{3} - 512 c^{3}$ .

$8 x^{6} - 125 y^{3}$ .

$64 x^{12} - 27 y^{15}$ .

$216 - 8 a^{3}$ .

$343 - 27 y^{3}$ .