166.

Ahora utilizaremos las leyes de radiación que hemos obtenido para calcular la temperatura de una radiación monocromática no polarizada de intensidad dada en el siguiente caso.

Dejemos que la luz pase normalmente a través de un área pequeña (rendija) y que incida sobre un sistema arbitrario de medios diatérmanos separados por superficies esféricas cuyos centros se encuentran sobre la misma línea, el eje del sistema. Dicha radiación consiste en haces homocéntricos y, por lo tanto, forma detrás de cada superficie refractante una imagen real o virtual de la superficie emisora, siendo dicha imagen asimismo normal al eje.

Para empezar, suponemos que tanto el último como el primer medio son un vacío puro. Entonces, para la determinación de la temperatura de la radiación según la ecuación [eqn:(274)] (274), solo necesitamos calcular la intensidad específica de la radiación ${𝖪}_{\nu }$ en el último medio, y esta viene dada por la intensidad total de la radiación monocromática $I_{\nu }$, el tamaño del área de la imagen $F$ y el ángulo sólido $\Omega$ del cono de rayos que pasa a través de un punto de la imagen.

Pues la intensidad específica de radiación ${𝖪}_{\nu }$ está determinada, según [eqn:(13)] (13), por el hecho de que una cantidad $2{𝖪}_{\nu }d\sigma d\Omega d\nu dt$

de energía de la luz no polarizada correspondiente al intervalo de frecuencias de $\nu$ a $\nu +d\nu$ es radiada, en el tiempo $dt$, en dirección normal a través de un elemento de área $d\sigma$ dentro del elemento cónico $d\Omega$. Si ahora $d\sigma$ denota un elemento del área de la imagen superficial en el último medio, entonces la radiación monocromática total que incide sobre la imagen tiene la intensidad $I_{\nu }=2{𝖪}_{\nu }\int d\sigma \int d\Omega .$ $I_{\nu }$ tiene las dimensiones de energía, ya que el producto $d\nu dt$ es un mero número.

El primero integral es el área total, $F$, de la imagen, el segundo es el ángulo sólido, $\Omega$, del cono de rayos que pasa a través de un punto de la superficie de la imagen. De aquí obtenemos $I_{\nu }=2{𝖪}_{\nu }F\Omega ,\mathrm{\backslash Label}[eqn](302)\text{upshape (302)}$ y, haciendo uso de [eqn:(274)] (274), para la temperatura de la radiación $T=\frac{h\nu }{k}·\frac{1}{\log ({\displaystyle \frac{2h{\nu }^{3}F\Omega }{c^2{I}_{\nu }}}+1)}.\mathrm{\backslash Label}[eqn](303)\text{upshape (303)}$

Si el medio diatérmano considerado no es el vacío sino que tiene un índice de refracción $n$, la [eqn:(274)] (274) se reemplaza por la relación más general [eqn:(300)] (300) y, en lugar de la última ecuación, obtenemos $T=\frac{h\nu }{k}\frac{1}{\log ({\displaystyle \frac{2h{\nu }^{3}F\Omega n^2}{c^2{I}_{\nu }}}+1)}\mathrm{\backslash Label}[eqn](304)\text{upshape (304)}$ o bien, al sustituir los valores numéricos de $c$, $h$ y $k$, $T=\frac{0.479·{10}^{-10}\nu }{\log ({\displaystyle \frac{1.43·{10}^{-47}{\nu }^{3}F\Omega n^2}{I_{\nu }}}+1)}\text{ grados centígrados}.$

En esta fórmula debe tomarse el logaritmo natural, y $I_{\nu }$ debe expresarse en ergios, $\nu$ en "segundos recíprocos", es decir, $(\text{segundos}{)}^{-1}$, $F$ en centímetros cuadrados.

En el caso de los rayos visibles, el segundo término, $1$, del denominador puede omitirse generalmente.