Cada término se forma a partir del precedente, multiplicándolo por el mismo número. Así,
| b | = | b | × a (180); c = | c | × b ; |
|---|
| a | b |
| o c = | b | × b . |
|---|
| a |
| Nuevamente, d = | d | × c , |
| c |
| por lo tanto, d = | b | × c , y así sucesivamente |
|---|
| a |
| Si, pues, | b | (que se denomina la razón común de la serie) |
|---|
| a |
| se denota por r , tenemos |
b = ar c = br = arr d = cr = arrr y así sucesivamente; de donde resulta la serie
| a | | b | | c | | d | &c. |
|---|
| es | a | | ar | | arr | | arrr | &c. |
| Por tanto | a | : | c | ∷ | a | : | arr | |
| (186) | | ∷ | aa | : | aarr | |
| ∷ | aa | : | bb | |
porque, siendo b ar, bb es arar o aarr. De nuevo,
| a | : | d | ∷ | a | : | arrr | |
|---|
| (186) | | ∷ | aaa | : | aaarrr | |
| | ∷ | aaa | : | bbb | |
| a | : | e | ∷ | aaaa | : | bbbb | , y así sucesivamente; |
es decir, el primero guarda con el término n-ésimo desde el primero la misma proporción que la potencia n-ésima del primero con la potencia n-ésima del segundo.
- Puede encontrarse una regla breve para sumar cualquier número de términos
de una proporción continua. Supóngase primero que se requiere sumar los
términos 1, r, rr, etc., donde r es mayor que
la unidad. Es evidente que no alteramos ninguna expresión al sumar o
restar cualquier número, siempre y cuando después restemos o sumemos el
mismo. Por ejemplo, p = p - q + q - r
+ r - s + s