Nuevamente, para tomar otro ejemplo, consideremos la estructura interna del triángulo . Sus lados y ángulos están interrelacionados: el ángulo mayor se opone al lado mayor, y los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales. Si pasamos a la trigonometría, esta correlación recibe una determinación más exacta en la forma familiar , con otras dos fórmulas similares.
También existe la correlación aún más simple entre los ángulos del triángulo, a saber, que su suma es igual a dos ángulos rectos; y entre los tres lados, a saber, que la suma de las longitudes de cualesquiera dos es mayor que la longitud del tercero.
Así, el verdadero método para estudiar geometría es pensar en figuras simples e interesantes, como el triángulo, el paralelogramo y el círculo, e investigar las correlaciones entre sus diversas partes.
El geómetra tiene en su mente no una proposición aislada, sino una figura cuyas diversas partes son mutuamente interdependientes. Así como en álgebra, generaliza el triángulo en el polígono, y el lado en la sección cónica.
O bien, siguiendo una ruta inversa, clasifica los triángulos según sean equiláteros, isósceles o escalenos, los polígonos según su número de lados, y las secciones cónicas según sean hipérboles, elipses o parábolas.
Los ejemplos precedentes ilustran cómo las ideas fundamentales de la geometría son exactamente las mismas que las del álgebra; excepto que el álgebra trata con números y la geometría con líneas, ángulos, áreas y otras entidades geométricas.
Esta identidad fundamental es una de las razones por las cuales tantas verdades geométricas pueden vestirse de álgebra.
Así, si , y son los números de grados, respectivamente, en los ángulos del triángulo , la correlación entre los ángulos está representada por la ecuación y si , , son los números de pies, respectivamente, en los tres lados, la correlación entre los lados está representada por , , .
Asimismo, las fórmulas trigonométricas citadas anteriormente son otros ejemplos del mismo hecho. Por lo tanto, la noción de variable y la correlación de variables es tan esencial en la geometría como lo es en el álgebra.
Pero el paralelismo entre la geometría y el álgebra puede llevarse todavía más lejos, debido a que las longitudes, áreas, volúmenes y ángulos son todos medibles; de modo que, por ejemplo, el tamaño de cualquier longitud puede ser determinado por el número (no necesariamente entero) de veces que contiene alguna unidad conocida arbitrariamente, y de manera similar para áreas, volúmenes y ángulos.
Las fórmulas trigonométricas dadas anteriormente son ejemplos de este hecho. Pero recibe su aplicación culminante en la geometría analítica. Este gran tema suele ser mal llamado Secciones Cónicas Analíticas, fijando así la atención en meramente una de sus subdivisiones. Es como si la gran ciencia de la antropología fuera llamada el Estudio de las Narices, debido al hecho de que las narices son una parte prominente del cuerpo humano.
Aunque los procedimientos matemáticos en la geometría y en el álgebra son en esencia idénticos y están entrelazados en su desarrollo, existe necesariamente una distinción fundamental entre las propiedades del